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Modulo X – Modelli VAR

dove si è fatto uso dell’uguaglianza

00 * *

− = ′ ⊗ +

µ

y (Z I ) u

π

k

che è l’analoga della (2.1.7) se il modello (2.1.1) viene scritto nella forma (2.6.1), con

* *

= Π

vec

π 0

Se si considerano costanti i valori iniziali contenuti in la log-verosimiglianza del

Y

modello VAR( ) si trae dalla (2.8.3).

p

( ) kn n

∗ = − ⋅ π − ⋅ +

µ Π Σ Σ

ln , , ln 2 ln

L u u

2 2

[ ]( [ ]

( ) ) ( )

1 ′

′ ′

− ⋅ − − ⊗ ⊗ − − ⊗ =

00 * * 1 00 * *

y µ Z I π I Σ y µ Z I π

k k u k

2 kn n

= − ⋅ π − ⋅ +

Σ

ln 2 ln u

2 2 ′

 

   

p p

 

n

1 ( ) ( ) ( ) ( )

∑ ∑ ∑

− ⋅ − − − − − − =

1

y µ A y µ Σ y µ A y µ

 

   

− −

t i t i u t i t i

2    

 

= = =

i i

t 1 1 1

 

 

   

p p

n

1

kn n ∑ ∑ ∑ 

   

= − ⋅ π − ⋅ − ⋅ − − +

1

Σ y A y Σ y A y

ln 2 ln     

− − 

u t i t i u t i t i

2 2 2    

= = =

t i i

1 1 1 

′ 

 

 p p 

n

∑ ∑ ∑

′ 

 

 − +

+ − 1

µ I A Σ y A y 

 

 −

k i u t i t i 

 

 

= = =

i t i

1 1 1 

   

p p

n ∑ ∑

′    

− ⋅ − − =

1

µ I A Σ I A µ

   

k i u k i

2    

= =

i i

1 1 ′

( ) ( )

1

kn n  

= − ⋅ π − ⋅ − ⋅ − −

* * * 1 * * *

tr

Σ Y Π Z Σ Y Π Z

ln 2 ln  

u u

 

2 2 2 (2.8.4)

dove nell’ultima uguaglianza è stato sfruttato il fatto che l’analoga della (2.1.2) nel

) sia scritta nella forma (2.6.1) è

caso che la rappresentazione del VAR( p

* * *

= + (2.8.5)

Y Π Z U Pagina 2-14

Modulo X – Modelli VAR

2.9. Gli stimatori di massima verosimiglianza e le loro proprietà

Derivando la log-verosimiglianza (2.8.4) ed uguagliando a zero si ottengono le stime

*

(ed i relativi stimatori) dei parametri , e del modello VAR( ) (2.6.1). Le

µ π Σ p

u

derivate sono ′

′ 

 

 

∂ p p p p

n

L

ln ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

− −

 

 

− ⋅ −

− =

= − −

1 1

n

I A Σ y A y I A Σ I A µ

 

 

′ k i u t i t i k i u k i

∂ µ 

 

 

= = = = =

i 1 t 1 i 1 i 1 i 1

′  

 p p p

n

∑ ∑ ∑ ∑

− 

 − −

= − 1 n

I A Σ y A y I A µ

 

 −

k i u t i t i k i 

  

= = = =

i 1 t 1 i 1 i 1

[ ]

∂ ( )( ) ( )

L

ln ′

= ⊗ ⊗ − − ⊗ =

* 1 00 * *

Z I I Σ y µ Z I π

′ k n u k

∂ *

π ( )( ) ( )

− −

= ⊗ − − ⊗

* 1 00 * * 1 *

Z Σ y µ Z Z Σ π

u u ′

∂ ( )( )

L n

ln 1

− − −

= − + − − =

1 1 * * * * * * 1

Σ Σ Y Π Z Y Π Z Σ

u u u

∂ Σ 2 2

u ′

( )( )

1  

− −

= − + − −

1 * * * * * * 1

Σ n Y Π Z Y Π Z Σ

 

u u

 

2

Uguagliando a zero le derivate si ottengono le stime (e gli stimatori) di massima

verosimiglianza  

1 

 

 p p

n

1 ∑ ∑ ∑ 

 

 −

= ⋅ −

 

ˆ

µ I A y A y (2.9.1)

 

 −

k i t i t i

n  

 

 

= = =

i 1 t 1 i 1

( ) ( )( )

1

′ − −

= ⊗ ⊗ − =

* * * 1 * 1 00

ˆ

π Z Z Σ Z Σ y µ

u u

[ ] (2.9.2)

( ) ( )

1

= ⊗ −

* * * 00

Z Z Z I y µ

k ′

( )( )

1

ˆ = − −

* * * * * *

Σ Y Π Z Y Π Z (2.9.3)

u n * * 00

, data dalla (2.6.4), di , data dalla (2.6.5), e di

dove ora nelle definizioni di Z Y µ

è stata sostituita al posto di .

µ̂ µ Pagina 2-15

Modulo X – Modelli VAR

Tramite le derivate seconde della log-verosimiglianza è possibile trovare le

condizioni sufficienti per la sua massimizzazione. Sotto le condizioni di normalità

(2.8.1) si dimostra che gli stimatori di massima verosimiglianza (2.9.1), (2.9.2) e

(2.9.3) godono delle seguenti proprietà:

i) sono consistenti,

ii) sono asintoticamente normali, *

µ̂ è asintoticamente indipendente da e da ,

π̂ Σ̂

iii) u

* è asintoticamente indipendente da e da .

µ̂

π̂ Σ̂

iv) u Pagina 2-16

Modulo X – Modelli VAR

2.10. Scelta dell’ordine del modello processo

La scelta dell’ordine del modello VAR( ), quando questo è considerato il

p p

generatore dei dati (DGP ), è utilmente effettuata con un criterio che dipende

1

dall’obiettivo che il ricercatore si pone. Ad esempio, se l’obiettivo è la previsione è

conveniente adoperare un criterio basato su di essa, come vedremo nel prossimo

capitolo. Se invece l’obiettivo è quello di effettuare analisi di risposte all’impulso

criteri non basati sulla previsione sono più convenienti, tre dei quali sono esposti di

seguito.

Il metodo di scelta dell’ordine p è tuttavia sempre lo stesso: si costruisce una

=

funzione di , la si valuta per diversi VAR( ), diciamo con , e quindi si

p p p 1, 2, ..., P

sceglie il VAR con l’ordine che ottimizza (minimizza o massimizza a seconda del

p

criterio) la funzione.

Il primo criterio che cronologicamente fu proposto risale ad Akaike (1973, 1974),

che lo sviluppò per modelli AR semplici. Esteso ai modelli VAR, si basa sulla

minimizzazione della funzione 2 2

+ ⋅

AIC(p) = ln Σ̂ pk (2.10.1)

u n

dove è la stima della matrice di dispersione dei residui fornita dalla (2.4.5) e

Σ̂ pk

u

è il numero dei parametri stimati liberamente in ogni equazione del VAR, come

indicato alla fine del paragrafo 2.4. Il nome dato alla funzione obiettivo è

AIC

Automatic Information Criterion

l’acronimo di formulato da Akaike stesso . Come

2

indicato sopra, l’operazione di scelta del VAR( ) è effettuata selezionando l’ordine

p

per il quale la funzione (2.10.1) è minima.

p̂ in modo tale che sia

Altri due criteri conducono alla scelta dell’ordine p̂

( )

= =

ˆ (2.10.2)

lim Pr p p 1

→ ∞

n

dove è l’ordine vero del DGP. Si noti che se è considerato come uno stimatore

p consistente

dell’ordine la (2.10.2) indica che tale stimatore è .

p 3

Il primo criterio che comporta una stima consistente si basa sulla seguente

funzione obiettivo

Data Generation Process

, in inglese.

1 Akaike’s Information

Alcuni autori, per motivi non noti, hanno modificato il nome in

2

Criterion

.

In effetti si osserva che la proprietà (2.10.2) è uguale a quella che si definisce

3

normalmente se lo stimatore, come in questo caso, può assumere soltanto valori interi.

Pagina 2-17

Modulo X – Modelli VAR

ln n 2

+ ⋅

Σ̂

BIC(p) = ln pk (2.10.3)

u n Bayesian Information Criterion

dove ancora è data dalla (2.4.5). Il nome,

Σ̂ 4

u

deriva dal fatto che il suo autore, Schwarz (1978), lo sviluppò, per modelli AR

semplici, utilizzando una dimostrazione di carattere bayesiano.

è stato costruito da Hannan e Quinn

Il secondo criterio con la consistenza 5

(1979) e da Quinn (1980) e si basa sulla funzione

2 ln n 2

+ ⋅

Σ̂

HQ(p) = ln pk (2.10.4)

u n

anche questa da minimizzare.

Osservazione 2.1 – E’ bene ricordarsi che la scelta dell’ordine può

p

spesso produrre risultati carenti. Per diversi motivi. Ad esempio perché

il criterio formale utilizzato non è il migliore, dati gli obiettivi che si

pone il ricercatore. Oppure perché l’ordine del VAR è infinito ed invece

lo si cerca finito. Oppure ancora perché l’ordine massimo utilizzato

P

nella procedura di selezione è troppo piccolo.

Esempio – Riprendiamo il modello VAR(1) introdotto nel paragrafo 1.8. La scelta

dell’ordine dell’autoregressione vettoriale fino a questo punto della trattazione è

stata supposta data.

Verifichiamo se il ritardo di ordine uno utilizzato è coerente con i risultati dei

criteri AIC, BIC e HQ esposti in questo paragrafo. P piuttosto

Fissiamo come ritardo massimo del modello VAR un valore di =

elevato, ad esempio 8. Ricordiamo, inoltre, il vettore è composto da variabili

y k 3

t

=

e che il periodo campionario è composto da osservazioni. Come primo passo,

n 82

calcoliamo il determinante della matrice di dispersione dei residui secondo la

(2.4.5) per ciascuno degli otto ritardi

Ritardi 1 2 3 4 5 6 7 8

ˆ 0.07 0.06 0.03 0.03 0.02 0.01 0.01 0.01

Σ u

Tavola 2.1 – Determinante della matrice di dispersione dei residui del VAR(1.8.1) stimato

=

p 1,...,8 .

per i ritardi BIC SC Schwarz’s Criterion

Da cui l’acronimo , che alcuni autori hanno modificato in , .

4 La dimostrazione della consistenza nei due criteri può essere trovata in Quinn (1980) e in

5

Paulsen (1984). Pagina 2-18

Modulo X – Modelli VAR

mediante il quale è immediato ottenere il ritardo ottimale (riportato in grassetto)

secondo i tre criteri esaminati

Ritardi 1 2 3 4 5 6 7 8

AIC -2.48 -2.45 -2.71 -2.77 -2.88 -2.91 -2.94 -3.13

BIC -2.21 -1.92 -1.91 -1.72 -1.56 -1.33 -1.09 -1.02

HQ -1.73 -0.95 -0.46 0.22 0.86 1.57 2.30 2.85

Tavola 2.2 – Indicazione del ritardo ottimale dell’autoregressione vettoriale per il modello

(1.8.1) secondo i criteri AIC, BIC e HQ.

Il ritardo scelto appare coerente con i risultati ottenuti mediante il criterio BIC

e HQ, mentre i ritardi ottimali secondo il criterio AIC sono otto. Al fine di utilizzare

un modello parsimonioso (in termini di numero complessivo di parametri stimati) si

=

sceglie di accettare come ritardo ottimale per il modello utilizzato

p 1

nell’esempio. Pagina 2-19

Modulo X – Modelli VAR

2.11. Verifica della bianchezza dei residui

In molti casi rilevanti è utile verificare se le ipotesi deboli (1.5.1) relative ad un

particolare VAR( ) sono soddisfatte. Ad esempio può essere necessario verificarle a

p

seguito di una scelta dell’ordine effettuata con uno dei criteri del paragrafo

p

precedente, oppure derivata da una specifica teoria economica. In particolare è

utile verificare se le correlazioni tra i residui sono nulle oppure no, ai vari ritardi.

~

Queste verifiche, dal processo del tipo rumore bianco vettoriale, prendono il

u

{ }

t

verifiche della bianchezza

nome di .

test di bianchezza riguarda le covarianze incrociate della serie storica

Il primo ~

-esima del vettore nel caso in cui il modello VAR( ) non debba essere stimato

y

i { } p

t ( )

(cioè sia teorico) e si basa sul fatto che se le matrici delle autocovarianze dei

Γ τ

u

~

residui sono calcolate con le

u

{ }

t (2.11.1)

n ′

1

( ) ( ) ( )

= ⋅ − −

Γ u u u u

τ −

u t t τ

n = +

t τ 1

dove (2.11.2)

n

1 ∑

= ⋅

u u t

n =

t 1

e se si pone [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) (2.11.3)

=

γ τ vec Γ 1 Γ 2 ... Γ τ

u u u

si dimostra (si veda ad esempio Fuller, 1976) che

[ ]

( ) (2.11.4)

⋅ 

→ ⊗ ⊗

d

γ τ 0 , I Σ Σ .

n N τ u u ( )

( ) τ

è il vettore colonna di tutte le covarianze incrociate tra il residuo e

γ i

γ τ ij

τ

quello con ritardo , per cui

j ( )

τ

γ

( ) = ij

τ

ρ [ ]

ij ( ) ( )

⋅ 1 / 2

γ 0 γ 0 (2.11.5)

ii jj τ

e quello con ritardo , elemento generico

è la correlazione incrociata tra il residuo i j

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

= per il quale dalla (2.11.4) si trae

del vettore ρ τ vec P 1 P 2 ... P τ

[ ]

( ) (2.11.6)

⋅ 

→ ⊗ ⊗

d

ρ τ 0 , I P P

n N τ

dove è la matrice delle correlazioni del vettore al ritardo zero. Infatti

P u Pagina 2-20

Modulo X – Modelli VAR

( ) ( ) ( ) ( )

 

⋅ = ⋅ =

ρ P P ... P

τ vec 1 2 τ

n n  

( ) ( ) ( ) ( )

− −  

= ⋅ ⊗ ⋅ =

1 1

D D Γ Γ ... Γ

vec 1 2 τ

n  

( ) ( )

− −  

= ⋅ ⊗ ⋅ τ 

→ ⊗ ⊗

d

1 1

D D γ 0 I P P

,

n N  

τ

dove è la matrice diagonale delle radici quadrate degli elementi diagonali di

D Σ u

per cui ( ) ( ) =

− −

= (2.11.7)

τ 1

, 2

,..., τ

1 1

P D Γ D

τ τ

u

ed essendo

( ) ( ) ( )

( )

− − − − − − − −

⊗ ⋅ ⊗ ⋅ ⊗ = ⊗ = ⊗

1 1 1 1 1 1 1 1

p lim D D Σ Σ D D p lim D Σ D D Σ D P P

u u u u

con − −

= (2.11.8)

1 1

P D Σ D

u

che è l’analoga matriciale della (2.11.5). ⊗ valgono tutti uno per cui,

Gli elementi diagonali della matrice P P ( )

asintoticamente, la distribuzione di probabilità di ogni è la normale

ρ τ

n ij

standardizzata [ ]

( ) τ

∀ (2.11.9)

, ,

i j

⋅ 

→

d

ρ τ 0 , 1

n N

ij

per mezzo della quale è semplice verificare l’ipotesi nulla

( ) =

: ρ τ 0

H

0 ij

contro l’alternativa ( ) ≠

:

H ρ τ 0

1 ij

Basta infatti verificare che sia 2 2

( )

− ≤ <

ρ τ (2.11.10)

ij

n n

per accettare al livello di significatività, approssimativo, del , mentre se la

5%

H

0

(2.11.10) non è verificata la si rifiuta.

( ) non sono stimati ma sono quelli che si hanno

Si noti che i residui nella Γ τ

u

con i parametri del modello VAR( ) considerati come veri. Generalmente, tuttavia,

p

i valori di tali parametri non sono noti e devono essere stimati con uno dei criteri

illustrati in precedenza. In questo caso si usa ancora il test (2.11.6), avendo

sostituito la stima al posto di nelle (2.11.1) e (2.11.2), sebbene si dimostri (si

û u

t

t Pagina 2-21

Modulo X – Modelli VAR

veda Lütkepohl (1991)) che la distribuzione dei coefficienti di correlazione sia

τ

leggermente differente dalla (2.11.9). Per piccolo,diciamo , la varianza è

1, 2, 3

minore dell’unità e quindi l’intervallo di confidenza (2.11.10) è un poco più largo di

quello effettivo. Se si usa il (2.11.10) si rifiuta così più spesso del necessario.

H

0

τ τ ≥

più grande, viceversa, diciamo , la varianza nella (2.11.9) è all’incirca

Per 5

uno e l’intervallo (2.11.10) è approssimativamente giusto.

Si ricordi bene, tuttavia, che il test descritto vale asintoticamente; in pratica,

per grande.

n

Esempio – Utilizziamo ancora come esempio il modello VAR(1) esposto nel

paragrafo 1.8. Per lo studio delle autocorrelazioni incrociate il ritardo massimo

τ =

scelto è pari a . Il primo passo dell’indagine consiste nel calcolare l’intervallo

12 ( )

di confidenza per ciascun elemento . Ricordando che le osservazioni

ρ τ

ij

campionarie sono 82, si ha che gli estremi dell’intervallo di confidenza (2.11.10)

±

sono pari a .

0.22

I valori degli elementi non diagonali della matrice delle correlazioni ai tempi

τ = sono riportati di seguito, evidenziando in grassetto quelli che cadono al

1,...,12

di fuori dell’intervallo (2.11.10)

( ) τ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

ρ τ

ij

USA-JAP -0.03 -0.08 0.20 -0.28 0.26 -0.10 -0.09 0.10 0.03 -0.12 0.01 0.03

USA-ITA -0.05 0.07 -0.06 0.00 0.13 -0.02 0.15 -0.04 0.36 0.02 0.04 -0.06

JAP-ITA -0.01 0.06 0.08 -0.01 -0.07 0.23 -0.14 0.01 -0.16 -0.10 -0.07 -0.04

Tavola 2.3 – Coefficienti di correlazione dei residui del modello (1.8.1) relativi ai primi

τ = 1,...,12 ritardi. Valori in grassetto statisticamente diversi da zero al 5% di probabilità.

Come si può notare immediatamente, la gran parte dei coefficienti di

correlazione appare statisticamente non diversa da zero, con le eccezioni

rappresentate da tre valori. Due di questi sono relativi a ritardi inferiori o uguali a

5, limite per il quale si tende a rifiutare piuttosto che accettare l’ipotesi nulla.

Inoltre, i valori appaiono molto prossimi al limite (inferiore e superiore,

rispettivamente) dell’intervallo. Possiamo, quindi, concludere che l’unico caso in cui

sembra che si abbia un coefficiente di correlazione incrociata statisticamente

τ =

diverso da zero è quello relativo ai residui di USA ed Italia al ritardo .

9

Pagina 2-22

Modulo X – Modelli VAR

2.12. Test del Portmanteau

Un secondo tipo di test di bianchezza non riguarda più il singolo coefficiente di

ρ τ τ

correlazione ma contemporaneamente tutte le matrici di correlazione ,

( ) P( )

ij =

ρ τ

formate dai , per , dove è scelto in modo che la bianchezza dei

τ 1

, 2

,..., τ τ

( )

ij

residui sia sufficientemente stabilita considerandoli fino a tale ritardo. Dunque un

del Portmanteau

test di bianchezza globale, detto , verifica l’ipotesi nulla

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

= =

: τ vec 1 2 ... τ

ρ P P P 0

H

0

contro l’alternativa [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

= ≠

ρ τ vec P 1 P 2 ... P τ 0

:

H

1

Si dimostra che la statistica del test (che chiamiamo )

Q

[ ]

τ ( ) ( )

∑ ′ − −

⋅ ⋅ ⋅ =

1 1

n tr τ τ

P P P P

=

τ 1 [ ]

τ ( ) ( )

∑ ′ − − −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

1 1 1

n tr τ τ

P P P P D D

=

τ 1 [ ]

τ ( ) ( )

∑ ′ − − − − − −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

1 1 1 1 1 1

n tr D P τ D D P D D P τ D D P D

=

τ 1 [ ]

τ ( ) ( )

∑ − −

= ⋅ ⋅ ⋅

1 1

n tr Γ τ Σ Γ τ Σ

u u (2.12.1)

=

τ 1

dove nel terzo passaggio è stata utilizzata una proprietà fondamentale

( )

χ −

2

con

dell’operatore traccia, si distribuisce asintoticamente come un k τ p

2

gradi di libertà se è sufficientemente grande.

τ

Il test con statistica (2.12.1) si è rivelato possedere scarsa potenza contro

svariate alternative. Come suggerito da Ljung e Box (1979) nel caso univariato, al

posto della statistica (2.12.1) si utilizza l’altra (che chiamiamo )

Q

[ ]

τ 1 ( ) ( )

∑ ′ − −

⋅ ⋅ ⋅

2 1 1

n tr P τ P P τ P (2.12.2)

( )

n τ

=

τ 1 e

con potenza maggiore. Si ricordi che i due test del Portmanteau valgono per n τ

grandi.

Esempio – Continuiamo l’indagine sulla struttura correlativa dei residui del

modello VAR (1.8.1) iniziata nel paragrafo precedente. Nell’esempio del paragrafo

τ =

precedente si è mostrato come il ritardo massimo sia sufficientemente

12 Pagina 2-23

Modulo X – Modelli VAR

adeguato per affermare la bianchezza dei residui del modello. Utilizziamo ora i test

di bianchezza globale (2.12.1) e (2.12.2). I gradi di libertà dei test, le realizzazioni

p value

delle statistiche e i rispettivi , sono riportate di seguito

τ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

g.d.l. 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99

Q 9.86 32.59 44.05 54.60 63.93 72.20 78.53 93.21 100.06 104.48 111.91

prob. 0.36 0.02 0.02 0.02 0.03 0.05 0.09 0.05 0.07 0.14 0.18

Q 10.07 33.67 45.72 56.95 67.01 76.07 83.07 99.57 107.37 112.47 121.18

prob. 0.34 0.01 0.01 0.01 0.02 0.03 0.05 0.02 0.03 0.05 0.06

Tavola 2.3 – Coefficienti di correlazione dei residui del modello (1.8.1) relativi ai primi

τ = 1,...,12 ritardi. Valori in grassetto statisticamente diversi da zero al 5% di probabilità.

χ

τ = 2

Il ritardo minimo è pari a poiché i gradi di libertà della statistica del

2 ( )

2

seguita dalle statistiche dei test sono pari a . In ambedue le versioni i

k τ p

risultati non appaiano del tutto soddisfacenti poiché il test è superato solamente

all’1% di probabilità per quasi tutti i ritardi. Pagina 2-24

Modulo X – Modelli VAR

2.13. Test di non normalità

In diverse occasioni è necessario supporre che i residui di un modello VAR siano

normali: un caso di questo genere è stato visto nel paragrafo 2.8, quando è stata

p

costruita la funzione di verosimiglianza di un VAR( ); un altro caso si avrà nel

paragrafo 3.6, quando sarà esposta la proiezione intervallare. E’ pertanto utile

possedere un test che verifichi la normalità dei residui di un VAR. ~

In effetti il test che passiamo ad illustrare si basa sui residui che non sono

u t

disponibili al ricercatore: questi può soltanto stimarli con le , ma affermeremo

û t

~

asintoticamente

che, , il test non cambia se è sostituito da .

u û

t t

Sia, dunque, ( )

~ ∼

u N µ , Σ

t u u −1

=

e fattorizziamo nella forma , con matrice triangolare (per fissare le

Σ Σ P P P

u u

idee, inferiore). Allora è ( ) ( )

~ ~ ~ ~ ~

−1

= ′ = − ∼

v [ v v … v ] P u µ N 0 , I

t 1

t 2 t kt t u k

~ sono variabili normali standardizzate indipendenti,

per cui gli elementi di v t

quindi con momenti terzi nulli e momenti quarti pari a 3

~ ~ ~ ′ = ′ (2.13.1)

3 3 3

v v v

E[ … ] 0

1 2

t t kt

~ ~ ~ ′ = ′ = (2.13.2)

4 4 4

E v v v

[ … ] [ 3 3 … 3 ] 3

1t 2t kt

Allora, per verificare la normalità dei residui è sufficiente costruire la matrice

n ′

1 ( )( )

= ⋅ − −

Σ u u u u (2.13.3)

u t t

n 1 =

t 1

con n

1 ∑

= ⋅

u u (2.13.4)

t

n =

t 1

= = ⋅

, , fattorizzare , calcolare

basata sulle realizzazioni t n

u 1, 2, …, Σ P P

t u

( )

= ′ = −

-

1

v v v

v [ … ] P u u

t 1

t 2 t kt t

e confrontare i vettori ′

 

n n

1 1

∑ ∑

= ⋅ ⋅ (2.13.5)

3 3

v v ... v

 

* 1

t kt

n n

 = =

t 1 t 1 Pagina 2-25


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28

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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto, tratto dal corso di lezioni di econometria tenute dal professor Francesco Carlucci, analizza l'inferenza statistica nei modelli VAR. Nello specifico i temi trattati sono: La stima dei minimi quadrati, la Normalità asintotica dello stimatore dei minimi quadrati, La stima di Yule–Walker, La funzione di verosimiglianza e il Test Portmanteau e il Test di non normalità.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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