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Probabilità di "cadere" in un intervallo

Integrando la PDF gaussiana tra due valori sull'asse reale si

trova la probabilità che il risultato (misura) "cada" (sia)

nell'intervallo

nell intervallo compreso tra i due valori considerati

Le AREE sottese dalla curva PDF

sono le probabilità di avere valori

(misure) in un dato intervallo

sull'asse reale μ

Lontano dalla media , rispetto alla

σ

larghezza , la PDF diviene molto

bassa e dunque le aree sottese

molto

l piccole

i l (misure

( i improbabili)

i b bili)

{ σ ≅

1 68.27%

68.27%≅ 68.3% ~68%

σ

Livelli di confidenza ≅

2 95.45%

95.45%≅ 95.5% ~95%

σ ≅

99.73%≅

99.73% 99.7%

3

μ σ μ σ

≤ ≤ ≅

e.g. P [ ( - ) x ( + ) ] 68.3%

x x x x

Incertezza di Misura 12

12/102

/102

Esempio

p di PDF g

gaussiana

misura di corrente (di valore nominale 1 A e incertezza 0.1 A)

Incertezza di Misura 13

13/102

/102

Incertezza standard

Per qualsiasi misura si definisce:

incertezza standard o scarto tipo, con

simbolo “u

u ” dall’inglese uncertainty

uncertainty,

,

σ

una stima della deviazione standard ,

σ

radice quadrata della varianza ,

2

prevista

p per

p il valore di misura

A seconda del metodo impiegato per la stima

di u

( ) classificheremo questa incertezza come

di categoria A o B Incertezza di Misura 14

14/102

/102

Media campionaria

Variabile X [misurando] nota attraverso n

determinazioni [misure] x (

k = 1 ,

2 ,

… ,

n

)

k

ottenute in condizioni di ripetibilità:

ripetibilità :

STIMA del valor medio della (intera)

μ

popolazione, (

x ), attraverso lo stimatore

MEDIA CAMPIONARIA

1 n

= =

x x x

k k

n =

1

k

Δ S

[ ] uguale nel senso

( ) S

μ μ

= = = = =

x E x x x della Stima

x k

Incertezza di Misura 15

15/102

/102

Dimostrazione

⎧ ⎫

1 n

Dim. { } ∑

= =

E x E x k ⎭

⎩ n =

1

k

⎧ ⎫

1 n

∑ =

= ⎨ ⎬

E x k

⎩ ⎭

n =

1

k

1 n { }

= =

E x k

n =

1

k

1 n { }

= =

E x

n =

1

k

1 n ( )

∑ μ

= =

x

n =

1

k

1 ( ) ( )

μ μ

= =

n x x

n Incertezza di Misura 16

16/102

/102

Dispersione

p della media

Per misure ripetute di una grandezza X la

miglior stima del valore di misura x coincide

con il valor medio delle misure ripetute:

ripetute

:

= =

x x x VALORE DI MISURA

k

Per determinare la dispersione (incertezza)

sul valore di misura dovremo valutare la

dispersione, almeno potenziale, della

variabile casuale (

(“valore

valore di misura”)

misura ).

)

.

x σ

Dunque cercheremo ( ) che, come vedremo,

x

σ

risulta funzione di (

x ) e del numero n di

misure ripetute Incertezza di Misura 17

17/102

/102

Varianza campionaria

p

STIMA della varianza della (intera)

σ

popolazione

popolazione, (

x ),

) attraverso lo stimatore

2

VARIANZA CAMPIONARIA

1 n

( ) ( ) ( )

∑ 2

= = −

2 2

s x s x x x

k k

1

n =

1

k

[ ]

Δ S

( ) ( ) ( ) ( )

σ σ μ 2

= = − = =

2 2 2 2

x E x s x s x

x k

⎡ ⎤

⎛ ⎞

1 n

( ) ∑ −

= ⎟

inoltre: 2 2 2

⎢ ⎥

x n x

s x − k

1 ⎝ ⎠

⎣ ⎦

n =1

k

Incertezza di Misura 18

18/102

/102

Gradi di libertà della stima

Nella varianza campionaria, il denominatore

ν = n

-

1 è il numero di g

gradi di libertà

Vediamo 3 validi motivi per cui è opportuno dividere la

somma degli

g n scarti q

quadratici, che compare

p nell’espressione

p

della varianza campionaria, per n

-

1 e non per n

1 ) Non ha alcun senso calcolare la varianza per un campione

che contenga un solo dato ( n

=

1 )

. In tale caso,

caso dividendo per

n

-

1, otteniamo come s (

x ) una forma indefinita del tipo 0 /

0

2

2 ) Nella formula di s (

x ) calcoliamo di fatto gli scarti

2

quadratici dalla media campionaria, (nota), e non dalla

x

μ : dunque degli n scarti sommati

media della popolazione, x

solamente n

-

1 sono tra loro indipendenti

3) Si dimostra che il valore atteso della varianza campionaria,

campionaria ,

con l

l’

l’n

n

-

1 al denominatore, è la varianza della popolazione

popolazione::

σ

{ }

E s (

x ) = (x)

2 2

Incertezza di Misura 19

19/102

/102

Dimostrazione

⎛ ⎞

{ } 1

DIM: ( ) ∑ ∑

= − + =

⎜ ⎟

2 2 2

2

⎨ ⎬

E s x E x x x n x

− k k

1 ⎝ ⎠

⎩ ⎭

n k k

⎧ ⎫

2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎪ ⎪

1 2 1

∑ ∑ ∑ ∑ =

= − +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

2

⎨ ⎬

E x x x n x

− k k k k

1 ⎪

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n n n

⎩ ⎭

k k k k E

{

x x }=

}=E

E

{

x }

E

{

x }

⎧ ⎫

⎛ ⎞

1 1 k j k j

∑ ∑ ∑

− =

= ⎟

⎜ 2 se x e x sono

⎨ ⎬

E x x x k j

− k k k

1 ⎝ ⎠

⎩ ⎭

n n statisticamente

k k k indipendenti

⎧ ⎫

⎛ ⎞

1 1 1

∑ ∑ ∑

= − − =

⎜ 2 2

⎨ ⎬

E x x x x

− ( )

k k k j

1 ⎝ ⎠

⎩ ⎭

n n n ≠ μ μ

= + −

k k k j x x

k x k x

⎡ ⎤

{ } { }

⎛ ⎞

1 1 1 { }

∑ ∑

= − =

2

⎜ ⎟

1 ⎥

⎢ E x E x E x

− k k j

1 ⎝ ⎠

⎣ ⎦

n n n ≠

k k j ( )

( ) μ σ

= +

2 2 2

[ ]

⎡ ⎤

− −

⎛ ⎞

1 1 1 E x

( ) ( ) ( )

n n

n μ σ μ

= =

+ −

2 2 2

⎜ ⎟ x x

⎢ n x x x

− 1 ⎝ ⎠

⎣ ⎦

n n n

( ) ( ) ( ) ( )

μ σ μ σ

= + − =

2 2 2 2

x x x x

Incertezza di Misura 20

20/102

/102

Incertezza di cat. A (

(1/2)

)

Per determinare l’incertezza sul valore di

misura valutiamo la deviazione standard

della variabile casuale x

è

è, almeno

l potenzialmente,

t i l t una variabile

i bil casuale

l i

in quanto

t il

x

suo valore specifico dipende dal particolare campione di dati

considerato. Se disponessimo

p di m diversi insiemi di n misure

ripetute e per ciascuno calcolassimo la corrispondente,

x

otterremo m valori di differenti tra loro,

loro

, la cui varianza è:

x ( )

σ

⎛ ⎞ 2

1 1 1

( ) ( ) ( ) x

∑ ∑

σ σ σ σ

= = = =

⎜ ⎟

2 2 2 2

x x x n x

2 2

k k

⎝ ⎠

n n n n

k k

σ

La miglior stima di ( ) si ottiene quindi come:

2 x

( ) ( ) ( )

σ x s x s x

2 2

S

( ) ( )

σ σ

= = =

x x

e

2 n n n

Incertezza di Misura 21

21/102

/102

Incertezza di cat. A (

(2/2)

)

Si definisce incertezza di categoria A la

dispersione

di i d

del

l valor

l medio

di delle

d ll misure

i

ripetute, calcolabile come

( ) 1 n

( ) ( ) ( )

s x ∑ 2

= = = −

u x s x x x

( )

A − k

1

n n

n =

1

k

Nel caso di incertezza solo di categoria A,

( )

= ±

il risultato di misura è allora /

x x s x n

con una qualità della misura che migliora

(

(l’incertezza diminuisce)

) al crescere di n

Incertezza di Misura 22

22/102

/102

Incertezza relativa

Parleremo di incertezza relativa quando

normalizziamo il valore di incertezza tipo al

valore di misura ( )

u y

( ) =

u y [1] numero puro!

r y

Incertezze relative anche di grandezze diverse

(non omogenee) possono essere confrontate

direttamente fra loro.

loro

.

L'inc

L inc

inc.

. rel

rel.. indica,

indica indipendentemente dal valore

e tipo del misurando, il grado di conoscenza

che abbiamo raggiunto sul valore di misura

Incertezza di Misura 23

23/102

/102

Incertezza estesa

Quando si vuole definire un intervallo di

=

y y

valori, attorno al valore di misura ,

quale

q si ritiene che il

“all’interno del

misurando debba cadere con un certo livello di

confidenza (probabilità P )

)”,

, si utilizza

l’incertezza

l’

incertezza estesa

( ) ( )

=

U y k u y

k fattore di copertura

valori tipici k = 1; 2; 3 ( 68

68%

%; 95

95%

%; 99

99..7 % )

Incertezza di Misura 24

24/102

/102

Cifre significative

g p

per l’incertezza

L’incertezza

L incertezza si esprime con una o al più due

cifre significative:

significative : esiste infatti anche

un’incertezza

un incertezza dell’incertezza

dell incertezza e di norma non

ha senso impiegare più di due cifre

significative per u

(

x )

Nei calcoli e passaggi intermedi, tuttavia,

conviene conservare anche più di due cifre

significative Incertezza di Misura 25

25/102

/102

Alternativa di calcolo per la varianza

La varianza campionaria di n valori x si può

k

anche calcolare come somma dei singoli

g valori,

elevati

l i al

l quadrato,

d meno n volte

l la

l media

di dei

d i

valori, al quadrato, il tutto diviso per n

-

1 :

⎡ ⎤

⎛ ⎞

1 1

n n

( ) ( )

∑ ∑

2

= − = −

⎜ ⎟

2 2 2

⎢ ⎥

s x x x x n x

− −

k k

1 1 ⎝ ⎠

⎣ ⎦

n n

= =

1 1

k k

( )

( )

∑ ∑

2

− = − + =

2 2

2

DIM::

DIM x x x x x x

k k k

( ) ( )

∑ ∑

= − + =

2 2

2

x x x n x

k k

( )

= −

2 2

x n

x

k n

x

Incertezza di Misura 26

26/102

/102

Esercizio: calcolo inc. cat. A (1/5)

Si dispone di n = 10 misure ripetute V di

k

una tensione

t i i

incognita

it V .

Calcolare V e u (

V )

A

k [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

V [V] 7 9 8 6 7 5 7 8 6 7

k Incertezza di Misura 27

27/102

/102

Esercizio: calcolo inc. cat. A (

(2/5)

)

1 1

n

∑ = =

= =

V V 70 V 7 V

V

k 10

n =

1

k

( ) 1

a

s V

( ) = a

= 2

u V

A n 2

( )

1 n

= − =

V V

( )

− k

1

n n =1

k

3

a ⎡ ⎤

⎛ ⎞

1 n

∑ −

= ⎟

⎜ 2 2

⎢ ⎥

V n V

( )

− k

1 ⎝ ⎠

⎣ ⎦

n n =1

k

Incertezza di Misura 28

28/102

/102

Esercizio: calcolo inc. cat. A (

(3/5)

) 2

1 N ( )

2 espressione

p p

per u (

V )

a = −

∑ V V

k

A ( )

n n 1 =1

k

( )

V V

Calcoliamo

Ca co a o p

prima

a g

gli scarti

sca t k

( ) [ ]

V V V 0 2 1 -

1 0 -

2 0 1 -1 0

k per poi ricavare

1

( ) ( )

= + + + + + + + + + =

2

0 4 1 1 0 4 0 1 1 0 V

u V ×

A 10 9 12

= ≅

2

V 0 . 37 V

90 Incertezza di Misura 29

29/102

/102

Esercizio: calcolo inc. cat. A (

(4/5)

)

⎡ ⎤

⎛ ⎞

1 N 2 2

=

3 espressione

p p

per u (

V )

a ∑ V n V

⎢⎣ ⎥⎦

k

( )

A −

n n ⎝ ⎠

1 =1

k

N 2 2 =

=

si calcola e V V

∑ 7

V V

502

k

=

k 1 [ ]

1

( ) = − × =

2 2

502 V 10 49 V

u V ×

A 10 9

12

= ≅

2

V 0 . 37 V

90 Incertezza di Misura 30

30/102

/102

Esercizio: calcolo inc. cat. A (

(5/5)

)

( )

s V

1 espressione

p p

per u (

V ) =

a A n

dobbiamo p

prima conoscere o calcolare la

radice della varianza campionaria

s

(

V ) = 1.1547 V e poi dividere

d d per n

1

. 1547 V

( ) = ≅

u V 0

.

37 V

A 10

Incertezza di Misura 31

31/102

/102

Cifre significative nel risultato

di una misura

i

Con i numeri dell’esercizio

dell esercizio precedente:

±

V = 7.00 V 0.37 V oppure V = 7.00(37) V

o anche,

anche in modo più approssimato

approssimato,

±

V = 7.0 V 0.4 V

Altro esempio: =5289 V e u

(

V )=300 V=3.0×

V=3.0 × 10 V

2

V

±

V = 5290 V 300 V =529(30)×

=529(30)

529(30)

× 10 V

1

o anche, in modo più approssimato,

±

V = (5.3

(5 3 0.3)

0 3) kV

e se fosse u

(

V )=0.37 V come nel caso precedente:

±

V = 5289.00

289 00 V 0.37

0 3 V oppure V = 5289.00(37)

289 00(3 ) V

Incertezza di Misura 32

32/102

/102

Incertezza di categoria

g B

Si basa sulla definizione “a priori” di un

opportuno intervallo di valori entro il quale si

suppone debbano cadere i valori del

misurando

i d (con

( una data

d t probabilità)

b bilità) Es..

Es V

rete

Incertezza di Misura 33

33/102

/102

Parametri dell’intervallo

L’intervallo fissato è tipicamente centrato

attorno al valor medio

( ) ( )

+ + −

a a a a

= = 0 0

x a 0 2

e ha una piena larghezza

( ) ( )

Δ = + − − = 2

x a a a a a

0 0

Δ

All

Alla larghezza

l h x sarà legata

l

l’incertezza

l’

incertezza della misura

Incertezza di Misura 34

34/102

/102

Stima dell’incertezza di categoria

g B

3 PASSI:

(1) (2) (3)

1) definito un intervallo di categoria B

2) si associa una densità di probabilità (PDF

(

PDF))

3) di questa si calcolano media,

media

, varianza

e deviazione standard

Incertezza di Misura 35

35/102

/102

Esempi

p di PDF comuni

uniforme triangolare

a “U” gaussiana

Incertezza di Misura 36

36/102

/102

Scelta di intervallo e PDF

Tanto la larghezza dell’intervallo quanto la

PDF ad

d esso associata si scelgono

l sulla

ll base

b d

di:

di

:

precedenti

d ti conoscenze o d

dati

ti di misura

i

• esperienza

p sul comportamento

p del misurando

• specifiche dai costruttori di materiali e

strumenti coinvolti nella misura

• dati di calibrazioni

• informazioni da articoli scientifici/tecnici

• incertezza sui parametri di riferimento

(

(presa d

dai

i manuali

li o da

d altre

lt fonti)

f ti)

Incertezza di Misura 37

37/102

/102

Stima di u (

x )

B

Quando si dispone di una PDF per la

σ

grandezza x , è possibile calcolare µ

(

x ) e (

x

)

che

h danno,

d rispettivamente, il

l valore

l d

di

misura e la sua incertezza:

incertezza :

( )

μ

= =

x x x

MIS

( ) ( ) ( )

σ

= =

u x INC x x

B B

Incertezza di Misura 38

38/102

/102

PDF p

più comuni

Incertezza di Misura 39

39/102

/102

PDF normale

σ

Già si dispone

d di

d µ

(

x ) e (

x ),

) dalla

d ll espressione

della PDF. Occorre ricordare, o calcolare, che:

σ σ

1 σ level

level:

: P [ µ

- ≤ x ≤ µ

+ ] ≈ 68.3%

σ σ

2 σ level

level:

: P [ µ

-

2 ≤ x ≤ µ

+2 ] ≈ 95.5%

95 5%

σ σ

3 σ level

level:

: P [

µ -

3 ≤ x ≤ µ

+3 ] ≈ 99.7%

99 7%

Incertezza di Misura 40

40/102

/102

PDF uniforme (

(1/2)

)

0 x < a – a

0

p (

x ) = 1/2a

1/2 a a – a ≤ x ≤ a + a

0 0

0 x > a + a

Δ

x = 2a

2 a 0

E’ immediato verificare che:

+∞

[ ]

( ) ( )

μ = = =

d

x E x x p x x a 0

− ∞ Δ x

( )

σ =

x 12

Incertezza di Misura 41

41/102

/102

PDF uniforme (

(2/2)

)

+

+∞ a a 1

0

( ) ( )

∫ ∫

μ = =

d d

x x p x x x x

2 a

− ∞ −

a a

0

+

a a

2

⎡ ⎤ +

0

x a a a a

1 1 2 2

= = =

0 0 a

⎢ ⎥ 0

a a

2 2 2 2

⎣ ⎦ −

a a

0

[ ] + ∞

( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )

2 2 2

σ μ μ

= − = −

x E x x x x p x d

x

− ∞ +

a a

( )

+ 3

⎡ ⎤

a a −

x a 0

1 1

0 ( )

2

= − = =

0

x a d

x

∫ ⎥

0 a a

2 2 3

⎣ ⎦

a a −

a a

0 0

( )

⎡ ⎤

3 3 2

⎛ 2

a a a Δ x Δ

1 ( ) x

σ

⎜ ⎟ =

= − − = =

⎢ ⎥ x

⎜ ⎟ UNI

2a 3 3 3 12 12

⎝ ⎠

⎣ ⎦

Incertezza di Misura 42

42/102

/102

PDF triangolare

g

( )

μ =

x a

0

( )

2 2

a Δ x

( )

2

σ = =

x 6 24

Δ x

( )

σ =

x 24

Δ

A pari larghezza , si ha naturalmente che

x Δ

Δx

Δ

Δx

u (

x

)= < u (

x )=

B,triangolare B,uniforme 12

24

infatti la PDF è "meno dispersa" della PDF

Tri Uni

Incertezza di Misura 43

43/102

/102

Altri metodi di stima di u (

x ) (1/2)

B

• Si calcola u (

x ) p

partendo dalla conoscenza di un

B

intervallo di confidenza con probabilità P :

si usa PDF normale con confidenza P , centrata

sul valore centrale dell'intervallo, e si stima

σ σ

u (

x ) = (

x )=

) Es..

Es V

B x rete

• Si calcola u (

x ) partendo da conoscenza di una

B (

U = k u )

:

INCERTEZZA ESTESA B B

già si conosce il fattore di copertura k

e quindi si ricava u (

x )=

)=U

U (

x )/

)/k

k Es..

Es …

B B

Incertezza di Misura 44

44/102

/102

Altri metodi di stima di u (

x ) (2/2)

B

.

Intervallo con

Probabilità

preassegnata Incertezza di Misura 45

45/102

/102

Misure dirette e indirette

MISURE DIRETTE:

DIRETTE :

y = x e.g.:

e.g.

: misura di V con un voltmetro

u = u + u Incertezza Composta

2 2 2

C A B

MISURE INDIRETTE:

INDIRETTE : INC = ???

y = f (

x , x , …, x )

1 2 N

P = R I

2 misura ottenuta da R e I (

(no

no wattmetro

wattmetro))

α α

P = R [1 + (

T - T )]

)]II = f (

I

, R , , T )

2

0 0 0

Incertezza di Misura 46

46/102

/102

Misure indirette (

(definizioni)

)

Misurando Y = f (

X , X , …, X ) ricavato

1 2 N

"indirettamente" dalla conoscenza di N altre

grandezze (parametri

(

parametri di ingresso)

ingresso

)

f (

X ) prende

p il nome di

La funzione i

relazione funzionale (equazione della misura)

Y e X sono le variabili mentre y e x i valori

i i

Naturalmente da

dalla

lla conoscenza dei valori

d

degli

li ingressi

i i è possibile

ibil ricavare

i il valore

l

dell'uscita:

dell'uscita : y

= f

(

x )

i

Saranno invece le incertezze degli ingressi,

ingressi

,

opportunamente

pp "combinate"

"combinate",

, a fornire

Φ ⋅

l'l'incertezza

incertezza dell'uscita:

dell'uscita : u (

y

)= [

u

(

x );

);ff

( )]

C i

Incertezza di Misura 47

47/102

/102

INC composta u in misure ind. (1/5)

C

Valori della relazione funz. (

equazione della misura)

misura )

y = f ( x , x , …, x )

1 2 N

In un intorno del valore di misura (

punto

t di l

lavoro)

lavoro )

( )

=

y f x , x ,..., x N

1 2

è possibile sviluppare in serie di Taylor (1

(1°° ordine)

la relazione funzionale f : ⎛ ⎞

⎛ ⎞

∂ ∂

f f

( ) ( )

( )

− ≅ − + + −

⎜ ⎟

⎜ ⎟

y y x x ... x x

N N

1 1

∂ ∂

x x

⎝ ⎠

⎝ N

1 y y

Scarto dell’uscita dal suo valor medio

Incertezza di Misura 48

48/102

/102

INC composta u in misure ind. (2/5)

C

Definiamo coefficienti di sensibilità

⎛ ⎞

∂ coeff. "costante"

f

Δ ⎜ ⎟

c = una volta stabilito

i ∂

x

⎝ ⎠ il punto di lavoro

i y

l

le derivate

d i prime

i parziali

i li della

d ll relazione

l i

funzionale rispetto alla variabile x i

c indica

d ca co

come

e varia

a a il misurando

su a do Y in

i

corrispondenza di una variazione del

parametro X di dipendenza

i Incertezza di Misura 49

49/102

/102

INC composta u in misure ind. (3/5)

C

Incertezza di Misura 50

50/102

/102

INC composta u in misure ind. (4/5)

C

⎧ ⎫

⎡ ⎤

{ } ⎛ ⎞

⎛ ⎞

∂ ∂

⎡ ⎤

∂ ∂

f f ( )

⎪ ⎪

N N

( ( )

( ) f f ( )

∑ ∑

( )

− ≅ − + + −

2 ⎜ ⎟ − −

− = ⋅ x x

y y x x ... ⎢ ⎥

⎨ ⎬

⎢ x x

E y y E x x N N

1 1

∂ ∂

∂ ∂

x x

i i j j

⎪⎩ ⎪⎭

⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎥

⎝ ⎠

⎣ ⎦

x x ⎦

= = N

1 1 1

y y

i j

i j

⎧ ⎫

( )

∂ ∂

⎪ ⎪

f f

N N ( )

∑∑

= − − =

E x x x x

⎨ ⎬

i i j j

∂ ∂

x x

⎪⎩ ⎪⎭

= =

i 1 j 1 i j

⎧ ⎫

2

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ∂ ∂

∂ −1

⎪ ⎪

N N N

( )

f f f

∑ ∑ ∑

⎜ ⎟ 2

= ⎢ ⎥ − + − −

2 ( )( )

⎨ ⎬

E x x x x x x

⎜ ⎟

∂ ∂ ∂

i i i i j j

⎝ ⎠

x x x

⎪⎩ ⎪⎭

⎣ ⎦

= = = +

1 1 1

i i j i

i i j

y

{ } Δ VARIANZA o

( ) ( ) ( )

2 2

2 σ

− =

E x x x u x

=

i i i i INCERTEZZA

2

{ ( ) } ( ) ( )

Δ

( ) =

σ

− − =

2

E x x x x x , x u x , x

i i j j i j i j

COVARIANZA tra x e x

i j

Incertezza di Misura 51

51/102

/102

INC composta u in misure ind. (5/5)

C

( espressione con le covarianze )

2 ⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∂ ∂ ∂

− ( )

1

N N N

( ) ( )

f f f

∑ ∑ ∑ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= +

2 2 2 ,

u y u x u x x

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟

C ∂ ∂ ∂

i i j

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x x x

⎝ ⎠

= = = +

1 1 1

i i j i

i i j

Somma pesata, con pesi c , delle incertezze

2

i

(

(varianze)

a a e) deg

degli ingressi

g ess x più

p ù la

a somma

so a de

dei

i

termini di covarianza

covarianza,, sempre pesati con le

derivate prime della relazione funzionale

Incertezza di Misura 52

52/102

/102

Risultato della misura

Il valore di misura della grandezza Y è:

( )

= =

y y f x , x ,..., x N

1 2

con una incertezza

i t composta

composta:

t :

− ( )

1

N N N

( ) ( )

∑ ∑ ∑

= +

2 2 2 ,

u y c u x c c u x x

C i i i j i j

= = = +

1 1 1

i i j i

In generale ciascuna incertezza u

(

x ) è:

i

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= + = + =

2 2 2 2

u x u x u x s x u x

C A B B

i i i i i

( )

2 ( )

s x

= + 2

i u x

B i

n Incertezza di Misura 53

53/102

/102

Coefficienti di correlazione σ 2

Δ

= ij

r

( , ) σ σ

ij

Δ u x x [ ]

= ∈ − +

i j

( , ) 1

, 1 i j

r x x

ij i j ( ) ( )

u x u x STAT.

i j

= ⇐ x e x statisticamente

r 0 i j

ij i

indipendenti

di d ti

Utilizzando la definizione di r , si può scrivere:

ij

( espressione con i coefficienti di correlazione )

−1 ( )

1

N N N

( ) ( ) ( )

∑ ∑ ∑

= +

2 2 2

u y c u x c c r u x u x

C i i i j ij i j

= = = +

1 1 1

i i j i

L'INC dell'uscita si ricava dalle INC degli ingressi (con c e r )

i ij

Incertezza di Misura 54

54/102

/102

Variabili statisticamente indipendenti

Nel caso di variabili d’ingresso statisticamente

indipendenti tutti i termini di covarianza e i

coefficienti di correlazione sono nulli (

r 0 tra

ij

l

le variabili

i bili x e x con x ≠ x ) e pertanto

pertanto:

t t :

i j i j 2

⎛ ⎞

N

( ) ( )

f

∑ ⎜ ⎟

= 2

u y u x

⎜ ⎟

C ∂ i

⎝ x

=

1

i i

N

( ) ( )

=

2 2 2

u y c u x

C i i

=

1

i

combinazione di varianze

somma pesata

Incertezza di Misura 55

55/102

/102

Casi particolari di rel. funzionali (1/2)

Casi particolari di relazioni funzionali per

variabili d’ingresso X statisticamente

i

indipendenti:

p :

indipendenti

• Misurando come somma o differenza delle x :

i

= ± ± ± ±

... ...

y n x n x n x

1 1 i i N N

N

( ) ( )

=

2 2 2

u y n u x

C i i

=

1

i

Se inoltre = 1 per ogni , cioè la relazione funzionale

n i

i N

( ) ( )

= 2

è una somma semplice

semplice,

, si ottiene: u y u x

C i

=

1

i

Incertezza di Misura 56

56/102

/102


PAGINE

102

PESO

1.45 MB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Elettrotecnica e misure elettroniche del Prof. Cesare Svelto, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: l'incertezza di misura, la dispersione; la teoria degli errori; i tipi di errori; incertezza standard e media campionaria; media pesata e incertezza della media pesata; gradi di libertà e formula di Welch - Satterthwaite; esercizi di chiarimento.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria fisica
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Elettrotecnica e misure elettroniche e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Svelto Cesare.

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