Gruppi del punto in 3D
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2 + traslazione"
2m| + traslazione " 5
2m| + traslazione "
mm + traslazione" 6
m + traslazione "
Gruppi ciclici
Rotazioni proprie in 3D 7
Rotazioni proprie in 3D (1)
• Ai gruppi ciclici di rotazioni attorno ad un punto
nelle due dimensioni corrispondono, nelle tre
dimensioni, altrettanti gruppi ciclici di rotazioni
asse:
attorno ad un
– C C C " C "
1 2 3 n
– C = E R R R
4 90° 180° 270°
Il prodotto di due rotazioni è
commutativo:
R = R R
R
i j j i
Gruppi diedrici
• La configurazione spaziale rappresentata è
riportata in sé dalle rotazioni proprie e dalle
quattro linee di riflessione nel piano. (gruppo
improprio in 2D, denominato D4’ (4mm) 8
Gruppi diedrici
tetrathiacyclododecane
• Nello spazio tale configurazione può essere ottenuta dalle
sole operazioni proprie: rotazioni di 90° attorno all’asse
verticale e dalle quattro rotazioni di 180° attorno a quattro
assi orizzontali disposti a 45° l’uno dall’altro
Gruppi diedrici
D (422)
4
E R R R
90° 180° 270°
A B C D
R R R R
180° 180° 180° 180° 9
Gruppi diedrici
• Agli infiniti gruppi D ’, D ’, D ’, D ’,"D ’, "
1 2 3 4 n
corrispondono in 3D gli infiniti gruppi
diedrici D , D , D , "D , ", di sole
2 3 4 n
rotazioni proprie
Gruppi diedrici
D D D " D "
2 3 4 n
esempi YbI (thf)
twistane tris(oxalato)iron(III) 2 5 10
esempi
ferrocene (twisted)
L’infinito numero di gruppi finiti di rotazioni proprie nel piano
corrisponde all’infinito numero di poligoni regolari.
La situazione in 3D è profondamente diversa. Esistono
infatti solo cinque poliedri regolari o solidi platonici:
tetraedro
ottaedro
cubo
pentagonododecaedro
icosaedro
e sono connessi con i gruppi di rotazioni proprie attorno ad
un centro O nello spazio.
Relazione di Eulero per i poliedri
F + V = S + 2 11
T E 4A 3A
3 2
• 4 facce triangolari
• 4 vertici
• 6 spigoli 12
esempi
four labile metal centers (AlIII, GaIII, InIII, FeIII) and six
achiral bis-catecholate ligands in a rigid tetrahedral
assembly Cobaltite CoAsS
O E 4A 3A 6A
3 4 2
• 8 facce triangolari
• 6 vertici
• 12 spigoli
• Il poliedro duale dell’ottaedro è il cubo 13
esempi 14
O E 4A 3A 6A
3 4 2
• 6 facce quadrate
• 8 vertici
• 12 spigoli
I E 6A 10A 15A
5 3 2
• (Pentagono)dodecaedro: • Icosaedro:
• 12 facce pentagonali • 20 facce triangolari
• 20 vertici • 12 vertici
• 30 spigoli • 30 spigoli 15
Gruppi di rotazioni proprie in 3D
• C D T O I
n n 16
Operazioni improprie
Sono operazioni improprie:
inversione i
riflessione m
σ n
rotoriflessioni S
n
rotoinversioni
Assi di rotoinversione e rotoriflessione
ordine _
1 S
1 1
_
2 S
2 2
_
3 S 3
3
_ S
4 4
4
_ S
6
6 6 17
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Cristallografia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Pisa - Unipi o del prof Bonaccorsi Elena.
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