Gruppi del punto in 3D

2 + traslazione"

2m| + traslazione " 5

2m| + traslazione "

mm + traslazione" 6

m + traslazione "

Gruppi ciclici

Rotazioni proprie in 3D 7

Rotazioni proprie in 3D (1)

• Ai gruppi ciclici di rotazioni attorno ad un punto

nelle due dimensioni corrispondono, nelle tre

dimensioni, altrettanti gruppi ciclici di rotazioni

asse:

attorno ad un

– C C C " C "

1 2 3 n

– C = E R R R

4 90° 180° 270°

Il prodotto di due rotazioni è

commutativo:

R = R R

R

i j j i

Gruppi diedrici

• La configurazione spaziale rappresentata è

riportata in sé dalle rotazioni proprie e dalle

quattro linee di riflessione nel piano. (gruppo

improprio in 2D, denominato D4’ (4mm) 8

Gruppi diedrici

tetrathiacyclododecane

• Nello spazio tale configurazione può essere ottenuta dalle

sole operazioni proprie: rotazioni di 90° attorno all’asse

verticale e dalle quattro rotazioni di 180° attorno a quattro

assi orizzontali disposti a 45° l’uno dall’altro

Gruppi diedrici

D (422)

4

E R R R

90° 180° 270°

A B C D

R R R R

180° 180° 180° 180° 9

Gruppi diedrici

• Agli infiniti gruppi D ’, D ’, D ’, D ’,"D ’, "

1 2 3 4 n

corrispondono in 3D gli infiniti gruppi

diedrici D , D , D , "D , ", di sole

2 3 4 n

rotazioni proprie

Gruppi diedrici

D D D " D "

2 3 4 n

esempi YbI (thf)

twistane tris(oxalato)iron(III) 2 5 10

esempi

ferrocene (twisted)

L’infinito numero di gruppi finiti di rotazioni proprie nel piano

corrisponde all’infinito numero di poligoni regolari.

La situazione in 3D è profondamente diversa. Esistono

infatti solo cinque poliedri regolari o solidi platonici:

tetraedro

ottaedro

cubo

pentagonododecaedro

icosaedro

e sono connessi con i gruppi di rotazioni proprie attorno ad

un centro O nello spazio.

Relazione di Eulero per i poliedri

F + V = S + 2 11

T E 4A 3A

3 2

• 4 facce triangolari

• 4 vertici

• 6 spigoli 12

esempi

four labile metal centers (AlIII, GaIII, InIII, FeIII) and six

achiral bis-catecholate ligands in a rigid tetrahedral

assembly Cobaltite CoAsS

O E 4A 3A 6A

3 4 2

• 8 facce triangolari

• 6 vertici

• 12 spigoli

• Il poliedro duale dell’ottaedro è il cubo 13

esempi 14

O E 4A 3A 6A

3 4 2

• 6 facce quadrate

• 8 vertici

• 12 spigoli

I E 6A 10A 15A

5 3 2

• (Pentagono)dodecaedro: • Icosaedro:

• 12 facce pentagonali • 20 facce triangolari

• 20 vertici • 12 vertici

• 30 spigoli • 30 spigoli 15

Gruppi di rotazioni proprie in 3D

• C D T O I

n n 16

Operazioni improprie

Sono operazioni improprie:

inversione i

riflessione m

σ n

rotoriflessioni S

n

rotoinversioni

Assi di rotoinversione e rotoriflessione

ordine _

1 S

1 1

_

2 S

2 2

_

3 S 3

3

_ S

4 4

4

_ S

6

6 6 17