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∗ ∗

|A|I

Ne segue che AA = . Con analogo ragionamento si prova che A A =

n

|A|I .

n ∈ |A| 6

Teorema. Sia A M (K). Allora A è invertibile se, e solo se, = 0.

n −1

Dimostrazione. Se A è invertibile allora esiste una matrice A tale che

−1 −1 −1

|A| · |A |

AA = A A = I . Dal teorema di Binet si ha dunque =

n

−1

|AA | |I | |A| 6 |A| 6

= = 1, e quindi = 0. Viceversa supponiamo = 0. In

n ∗

1 A . Proviamo che A è invertibile e che

tal caso risulta definita la matrice |A|

1

l’inversa di A è la matrice A . Infatti dal teorema precedente si ha

|A|

1 1

∗ |A|I

A A = = I ,

n n

|A| |A|

1 1 1

∗ ∗ |A|I

A( A )= AA = = I .

n n

|A| |A| |A|

Teorema di Cramer. Un sistema lineare AX = B di n equazioni in n

|A| 6

incognite, tale che = 0, ammette un’unica soluzione.

|A| 6

Dimostrazione. Poiché = 0 ne segue che ρ(A) = n, quindi ρ(A|B) = n.

Il sistema lineare AX = B è pertanto compatibile e possiede dunque almeno

una soluzione. Proviamo l’unicità della soluzione. Se X e X sono due

1 2 |A| 6

soluzioni, allora AX = AX = B. Dal teorema precedente, essendo = 0,

1 2

segue che la matrice A è invertibile. Moltiplicando a sinistra per la matrice

−1 −1 −1

A si ottiene A AX = A AX , da cui X = X .

1 2 1 2

Determiniamo una descrizione esplicita per l’unica soluzione X del sistema.

Tale soluzione è data da  

t b

 

· · ·

Γ Γ Γ 1

11 12 1n b

1

1 · · ·

Γ Γ Γ  

2

21 22 2n

−1  

A B = =

X = A B =  

..

 

· · · · · · · · · · · ·

|A| |A|  

.

   

· · ·

Γ Γ Γ b

n1 n2 nn n

 

b

 

· · ·

Γ Γ Γ  

1 Γ Γ Γ

11 21 n1 b

· · · 

 11 21 n1 1

|A| |A| |A|

b

1 · · ·

Γ Γ Γ   ...

2

12 22 n2

  ··· · · · · · · · · ·

= = =

  

.

  

..

· · · · · · · · · · · ·

|A|    

Γ Γ

  Γ

· · · nn

1n 2n

  b

· · · |A| |A| |A| n

Γ Γ Γ b

1n 2n nn n 2


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AUTORE

Sara F

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+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra e Geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Franco Davide.

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