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CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 51

( a

[− , se 0

+∞) >

4a

f (R) = ∆ a

(−∞, ] se 0

− <

4a

e, pertanto, esistono rette parallele all’asse delle ascisse che non intersecano il gra-

fico della funzione. Come si può osservare dal grafico della funzione quadrati-

a

ca, essa non è monotòna: ad esempio se 0 e 0, essa risulta decrescente

> > b

b ) mentre risulta crescente nell’intervallo (− ,

nell’intervallo (−∞, +∞).

− 2a 2a

b c

Nel caso particolare in cui 0, la funzione quadratica diviene

= = 2

f ax

(x) .

=

Essa è una parabola con vertice nel punto (0, 0) e intersezione con l’asse delle ordi-

nate e delle ascisse coincidenti col punto (0, 0). Essendo in tal caso l’asse di simme-

tria coincidente con l’asse delle ordinate, tale funzione risulta essere pari:

2 2

a(−x) ax .

=

f(x) f(x)

x x

a b

Figura 2.15

2

ax a a

Grafico della parabola con 0 (a) e 0 (b).

> <

2.4.3.1 Un modello economico quadratico

Nel caso in cui il prezzo di vendita di un certo bene subisca sconti legati alla quan-

p(x)

tità di merce venduta si può porre tale prezzo di vendita dipendente dalla

x,

quantità venduta cioè p(x) p ax a 0.

= − >

CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 52

x R(x)

Dalla vendita di unità del bene si avrà un ricavo pari a

2

R(x) x(p ax) px.

= − = −ax +

Se per la funzione costo si assume un andamento affine,

C mx q,

(x) = +

G(x) x

il guadagno relativo alla vendita della quantità sarà

2 2

G(x) R(x) px mx q m)x q,

(x) (p

= −C = −ax + − − = −ax + − −

il cui grafico è una parabola con la concavità rivolta verso il basso. L’ascissa del ver-

tice di tale parabola rappresenta la quantità da vendere per massimizzare il guada-

gno. n

x

2.4.4 Funzioni n N,

f x n n−esima x.

La funzione (x) , con si chiama potenza di Si considerino

= ∈

due casi distinti: n

• potenza con esponente 2 e pari. In tal caso il grafico della funzione po-

> 2

f x

tenza è qualitativamente simile a quello di (x) . Pertanto si può conclu-

=

dere che tali funzioni non sono iniettive né suriettive (se considerate a valori

R) x

in tutto e, di conseguenza, non sono invertibili. Sono decrescenti per 0

<

x n

e crescenti per 0. Poiché se è pari risulta

> n n

x

(−x) ,

=

tali funzioni sono pari.

CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 53

f(x) x

Figura 2.16

n

x n

Grafico della funzione con 2 e pari.

n

• Potenza con esponente 2 e dispari. Il grafico di tali funzioni è qualitati-

> 3

f x

vamente simile. Si può fare riferimento a quello di (x) , (si veda figura

=

2.17). Dall’analisi del grafico di tali funzioni si può concludere che esse sono

iniettive e suriettive e, pertanto, sono invertibili. Sono funzioni strettamente

n

crescenti e visto che per dispari risulta

n n

(−x) ,

= −x

esse sono dispari. Figura 2.17

n

x n

Grafico della funzione con 3 e dispari.

CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 54

2.4.5 Funzioni inverse delle funzioni potenza n N

f x n n

Si è visto precedentemente che le funzioni potenza (x) , con 3 e di-

= ∈ ≥

spari , risultano essere funzioni invertibili. Le corripondenti funzioni inverse sono

n−esime:

le cosiddette radici p

n

x y

=

o, utilizzando la notazione standard per la variabile dipendente e quella indipen-

dente, p

n x.

y =

Il grafico di tali funzioni inverse si può ottenere, come visto in precedenza, rifletten-

do il grafico delle funzioni dirette rispetto la bisettrice del primo e terzo quadrante.

f (x) x

Figura 2.18 p

n n

x n x

Grafico della funzione con 3 e dispari (linea continua) e della sua inversa (linea

≥ tratteggiata).

n N

f x n n

Le funzioni (x) , con 2 e pari, come si è osservato precedentemente,

= ∈ ≥

non sono invertibili.

CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 55

f(x) x

Figura 2.19

n N

x n n

La funzione , con 2 e pari non è invertibile non essendo iniettiva.

∈ ≥

Si osservi comunque che se si considera la restrizione di tali funzioni al semiasse

positivo cioè +

R R

f : →

0

R

+

(con si intende l’intervallo [0, tali funzioni risultano monotòne crescenti

+∞))

0

quindi iniettive e invertibili. f (x) x

Figura 2.20

n

x n

Restrizione della funzione , con 2 e pari, all’intervallo [0, Essa risulta essere

≥ +∞).

iniettiva e, quindi, invertibile.

n−esime

Le funzioni inverse sono le radici di ordine pari:

p

−1 n

f x.

(x) =

CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 56

f (x) x

Figura 2.21 p

n n

x n x

Grafico della funzione , con 2 e pari (linea continua), e della sua inversa (linea

≥ tratteggiata).

1

2.4.6 Funzioni n

x

N

n

Se è un numero pari, la funzione

∈ 1

f (x) = n

x

R\{0} R +

ha come dominio e come immagine . x

Figura 2.22 1 N

f n

Grafico della funzione (x) , con e pari.

= ∈

n

x

Dalla figura 2.22 si può osservare che tale funzione non è iniettiva, visto che ogni

y k k

retta con 0 interseca il suo grafico in due punti e, vista come funzione

= >

R\{0} R f

da a non è suriettiva, essendo la sua immagine (R\{0}) (0, Essa non

= +∞)

x x

è monotona (è crescente per 0 e decrescente per 0) e risulta essere una

< >

funzione pari.

CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 57

N

n

Se, invece, è un numero dispari la funzione

∈ 1

f (x) = n

x

R\{0} R\{0}.

è definita nel dominio ed assume valori nell’immagine

x

Figura 2.23

1 N

f n

Grafico della funzione (x) con dispari.

= ∈

n

x

Come si può osservare dalla figura 2.23, tale funzione è iniettiva, visto che ogni

y k

retta interseca il suo grafico al più in un punto. Non è suriettiva se l’insieme

= R, y

di arrivo è posto pari a visto che la retta 0 non interseca il suo grafico. E’

=

decrescente negli intervalli (−∞, 0) e (0, ma non è monotòna su tutto il suo

+∞) n n

N

n

dominio. E’ una funzione dispari visto che, per dispari risulta (−x)

∈ = −(x)

e, quindi, f f

(−x) (x).

= −

2.4.7 Funzione esponenziale

La funzione x

f a a

(x) , 0,

= >

a

è detta funzione esponenziale. Il parametro è noto come base della potenza men-

x

tre si chiama esponente. Il dominio della funzione esponenziale è, tutto l’insieme

2

R R +

a

dei numeri reali mentre l’immagine è, se 1, pari a .

6=

2 a f

Se 1 la funzione esponenziale si riduce alla funzione costante (x) 1.

= =

CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 58

f (x)

f (x) 1

1 x

x

a b

Figura 2.24 a a

Grafico della funzione esponenziale con 1 (a) e con 0 1 (b).

> < <

Come si può osservare dalla figura 2.24, la funzione esponenziale è iniettiva: la

y k

generica retta interseca il suo grafico al più una volta. Vista come funzione a

=

R y k, k

valori in non è suriettiva poiché le rette 0 non inersecano il suo grafico.

= ≤

a a

La funzione risulta essere crescente se 1 mentre è decrescente se 0 1.

> < <

2.4.8 Funzione logaritmica a

Come visto precedentemente, la funzione esponenenziale è, per 1, iniettiva e,

6=

quindi, invertibile. La funzione inversa della funzione esponenziale

x

y a

=

a:

si chiama logaritmo in base x y.

log

= a

x a y.

Esso rappresenta l’esponente da assegnare alla base per ottenere il valore

Usando le notazioni solite per la variabile dipendente e quella indipendente si ha:

y x.

log

= a

Il grafico del logaritmo si può ottenere immediatamente a partire da quello della

funzione esponenziale ribaltando quest’ultimo rispetto la bisettrice del primo e del

terzo quadrante:

CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 59

f (x) f (x)

x

1 x

1

a b

Figura 2.25

f x a a

Grafico della funzione (x) log con 1 (a) e 0 1 (b).

= > < <

a y

La funzione logaritmo risulta essere iniettiva e suriettiva visto che ogni retta =

k interseca il suo grafico in uno ed un solo punto. Risulta essere una funzione

a a

crescente se 1 mentre è decrescente se 0 1.

> < <

Una particolare importanza, per motivi che saranno ovvi nel seguito, è rivestita dal

cosiddetto logaritmo naturale, indicato con il simbolo

f x

(x) ln :

=

e, e

esso è il logaritmo in base dove 2.7182818... è noto come numero di Nepero.

= a

Il legame tra il logaritmo naturale e quello in base (0, 1) (1, è dato dalla

∈ ∪ +∞)

seguente relazione x

ln

x

log .

=

a a

ln

Si ricordano inoltre le principali proprietà della funzione logaritmo (si supporrà

a b e):

0, 0 e, per comodità, saranno espresse usando la base naturale

> >

a

ln

e a

• =

a b

• ln ln ln(ab)

+ = a

a b

• ln ln ln( )

− = b

b

a b a

• ln ln

=

e

• ln 1

=

• ln 1 0

=

CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 60

2.4.8.1 Un modello economico esponenziale

t C

Si supponga di investire, al tempo 0 la somma al tasso di interesse annuo pari

=

i s

a . Se al tempo 0 si disinveste, si ritorna in possesso della somma inizialmente

> t s.

versata e dell’ interesse maturato tra 0 e Molto spesso il computo degli in-

=

teressi è effettuato secondo la cosiddetta legge di capitalizzazione composta che

prevede un reinvestimento continuo degli interessi via via maturati. In tal caso la

s

somma della quale si ritorna in possesso all’istante vale

s

C C i

(s) (1 ) :

= +

s, C

al variare di pertanto, la funzione (s) è descritta da un esponenziale di base 1+i

s.

ed esponente

2.4.9 Funzioni goniometriche

Le funzioni goniometriche sono le più semplici funzioni periodiche cioè funzioni

R

che assumono valori uguali ad intervalli regolari. Più precisamente

(Funzione periodica)

Definizione

f

La funzione (x) si dice periodica se Z.

f kT f k

(x ) (x),

+ = ∈

T

Il più piccolo per cui la relazione precedente è soddisfatta si chiama periodo della

funzione periodica.

Per introdurre le funzioni goniometriche si può fare riferimento alla circonferenza

O

goniometrica ovvero una circonferenza di centro e raggio unitario.

CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 61

P

sinx x

O A

cosx

Figura 2.26 x x.

La circonferenza goniometrica e le funzioni goniometriche sin e cos

Si ricorda che, sulla circonferenza unitaria, misurando gli angoli in radianti, come si

x

supporrà sempre nel seguito, la misura dell’angolo coincide con quella dell’arco

3

AP e che si conviene di considerare come verso di crescita di un angolo quello

π/2,

antiorario. Si ricorda anche che all’angolo retto (90 ) corrisponde la misura

π,

◦ ◦

all’angolo piatto (180 ) corrisponde la misura all’angolo di 270 corrisponde la

misura 3π/2 e all’angolo giro (360 ) corrisponde la misura 2π.

P

Si consideri il punto sulla circonferenza goniometrica (si osservi la figura 2.26),

OP

x e l’asse delle ascisse. L’ascissa di tale

che individua l’angolo compreso tra

x, x

punto è detta coseno dell’angolo ed indicata come cos mentre l’ordinata è detta

x x.

seno dell’angolo ed indicata come sin

Una relazione tra le funzioni seno e coseno può essere ottenuta applicando il teo-

OP

rema di Pitagora al triangolo rettangolo di ipotenusa rappresentato nella figura

2.26. Si ottiene: 2 2

x) x)

(cos (sin 1.

+ =

I valori che le funzioni assumono in corrispondenza dei principali angoli sono ri-

portati nella tabella seguente:

3 R AP Rx.

Più in generale se la circonferenza avesse raggio risulterebbe =

CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 62

x x x

cos sin

0 1 0

π/2 0 1

π 0

−1

3π/2 0 −1

2π 1 0

Dalla definizione delle funzioni seno e coseno si evince che esse sono funzioni

x

periodiche di periodo 2π : in effetti la misura dell’angolo è equivalente a quel-

Z

x k x

la dell’angolo 2kπ, e, pertanto, sono uguali seno e coseno dell’angolo

+ ∈

Z.

x k

o dell’angolo 2kπ, I grafici delle funzioni seno e coseno possono essere

+ ∈ x

pertanto riportati solo per [0, 2π].

sinx cosx

1 1

π π

π π

3 /2 x 3 /2 x

π π π π

0 0

2 2

/2 /2

−1

−1 Figura 2.27

Grafici delle funzioni seno e coseno

Le funzioni seno e coseno non sono iniettive, hanno come codominio l’intervallo

[−1, 1] e non sono monotòne.

Come visto in precedenza per la funzione quadratica, se si considera la restrizione

di una funzione in un sottoinsieme del dominio in cui essa risulti iniettiva, è pos-

sibile introdurre la relativa funzione inversa. In particolare, per la funzione seno si

π π

conviene di considerare la sua restrizione all’intervallo [− , ] :si può introdurre a

2 2 y x.

questo punto la sua funzione inversa, detta arcoseno e indicata come arcsin

=

Anche la funzione coseno risulta essere invertibile se considerata nell’intervallo

π]. x.

[0, La sua funzione inversa, detta arcoseno, è indicata con arccos

CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 63

Figura 2.28

x x

Grafico delle funzioni arcsin (a) e arccos (b).

Tra le funzioni goniometriche elementari si annovera anche la funzione tangente.

Essa può essere definita a partire dalle funzioni seno e coseno tramite

x

sin

x .

tan = x

cos ′

P

tanx P

sinx x

cosx

O A

A

Figura 2.29

x

Rappresentazione di tan sulla circonferenza goniometrica e suo significato geometrico.

CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 64

0 0

O A P O AP

Dalla similitudine tra i triangoli (si veda figura 2.29) e segue che la

0

x P

tangente dell’angolo rappresenta l’ordinata del punto .

Figura 2.30 x.

Grafico della funzione tan

Come si può osservare dalla figura 2.30, tale funzione non è definita per quei valori

π

x x, x kπ. x

che annullano cos cioè per La funzione tan non è iniettiva ed

= +

2

è suriettiva. Non è una funzione monotòna e risulta essere periodica di periodo

π. x

Si osservi che tale funzione è comunque iniettiva e, quindi, invertibile per ∈

π π

[− , ]: la corrispondente funzione inversa si chiama arcotangente ed è indicata

2 2 x.

come arctan Figura 2.31 x.

Grafico della funzione arctan

CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 65

2.4.10 Funzioni deducibili dalle funzioni elementari

Le funzioni elementari introdotte precedentemente possono essere considerate i

“mattoni” con cui costruire funzioni più complesse, quali quelle necessarie per la

descrizione dei fenomeni economici.

2.4.10.1 Funzione composta

Si considerino le due funzioni f X Y

: →

e g Y Z

: .

x X y f y Y g

Sia e (x). Siccome il punto appartiene al dominio della funzione ,

∈ = z g g f

ha senso considerare il valore (y) ( (x)).

= ≡

f g

y

x Y z

X Z

Figura 2.32 z g f

Rappresentazione grafica di ( (x)).

=

h, x X

Risulta definita, quindi, un’applicazione, sia essa che trasforma il punto ∈

z Z

nel punto :

R h X Z

: .

(Funzione composta)

Definizione

f X Y g Y Z h X Z

Siano : e : due funzioni. L’applicazione : che associa

→ → →

x X g f Z

ad ogni il valore ( (x)) è detta applicazione composta ed indicata con il

∈ ∈

4 g f

simbolo .

4 g f f

Il simbolo si legge “g composto ”.

CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 66

f g

y

x Y z

X Z

g ◦ f

Figura 2.33 g f

Rappresentazione grafica della funzione composta .

"

Osservazione f X Y g Y Z

Date le funzioni : e : non è detto che si possa costruire la funzione

→ →

f g y Y g Z

composta : potrebbe risultare, infatti, che, fissato un il valore (y)

◦ ∈ ∈

X f

non appartenga al dominio della funzione , per cui non avrebbe senso consi-

f y Y

derare il valore (g (y)). Se ciò accadesse per ogni il dominio della funzione

composta sarebbe l’insieme vuoto .

"

Osservazione f X Y g Y Z Z X

Date le funzioni : e : , con , ha senso considerare anche

→ → ⊆

f g y Y g Z g X

la funzione composta in quanto, fissato , risulterà (y) (y) .

◦ ∈ ∈ ⇒ ∈

f f

L’operazione (g (y)) è quindi ben definita. In generale, comunque, risulterà ◦g 6=

g f , come sarà chiaro dagli esempi che seguiranno.

" g f

Quando si considera la funzione composta senza specificare

Osservazione ◦

f g f

i domini ed i codomini di e si supporrà di aver scelto il dominio di in modo

g

che la sua immagine sia contenuta nel dominio di .

A partire dalla nozione di funzione composta si possono costruire funzioni più

x

3 R R

f x g e

complesse: si considerino, ad esempio, le funzioni (x) : e (x) :

= → =

R R + . Si ha:

→ x

3 3 3x +

R R

f g f e

(x) (g (x)) [g (x)] [e ] :

◦ = = = = →

e 3

f x

(x) +

R R

g f g f e e

(x) ( (x)) : .

◦ = = = →

g f f g

Si osservi che, in generale, .

◦ 6= ◦

CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 67

E

Esempio 2.3 x

2

f x x g e f g g f

Siano (x) e (x) . Per le funzioni composte e si ottiene:

= − = ◦ ◦

x

2 2x

f g f g e e

(x) (g (x)) (x) [g (x)]

◦ = = − = −

e 2

f x−x

(x)

g f g f e e

(x) ( (x)) .

◦ = = =

E

Esempio 2.4

p

f x g x. f g g f

Siano (x) 1 e (x) ln Per le funzioni composte e si ottiene:

= + = ◦ ◦

p

p

f g f g x

(x) (g (x)) (x) 1 ln 1

◦ = = + = +

e p

g f g f f x

(x) ( (x)) ln (x) ln 1.

◦ = = = +

E

Esempio 2.5

p x g f g g f

f e (x) ln(x 1). Per le funzioni composte e si ottiene:

Siano (x) = − ◦ ◦

= p

p

f g f g

(x) (g (x)) (x) ln(x 1)

◦ = = = −

e p

g f g f f x

(x) ( (x)) ln( (x) 1) ln( 1).

◦ = = − = −

E

Esempio 2.6

x 2

f e g f g g f

Siano (x) e (x) ln(x 1). Per le funzioni composte e si ottiene:

= = + ◦ ◦

2

g (x) ln(x 2

+1)

f g f e e x

(x) (g (x)) 1

◦ = = = = +

e 2 2x

g f g f f

(x) ( (x)) ln([ (x)] 1) ln(e 1).

◦ = = + = +

E

Esempio 2.7 1

2

f x g f g g f g g

Siano (x) e (x) . Per le funzioni composte , e si ottiene:

= = ◦ ◦ ◦

x+1

CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 68

1

2

f g f

(x) (g (x)) [g (x)] ,

◦ = = = 2

(x 1)

+

1 1

g f g f

(x) ( (x))

◦ = = = 2

f x

(x) 1 1

+ +

e x

1 1

1 +

g g g .

(x) (g (x)) = =

◦ = = 1

g x

(x) 1 2

+ +

1

+

x+1

2.4.10.2 Funzioni definite a più leggi

In molti casi non è possibile esplicitare tramite un’unica forma analitica la dipen-

denza tra la variabile dipendente e quella indipendente per ogni punto del domi-

nio. Tuttavia può accadere di poter suddividere il dominio in intervalli tali che in

ciascuno di essi la legge che lega le variabili dipendente ed indipendente possa es-

sere espressa tramite una forma analitica elementare (o derivante dalla composi-

E

zione di funzioni elementari).

Esempio 2.8

R R

f x

Sia : una funzione di tipo quadratico per valori di 0 e di tipo logaritmico

→ ≤

x

per valori di 0. Tale funzione può essere rappresentata come

> ( x se x 0

ln >

f . (2.1)

(x) = 2

x se x 0

f(x) x

Figura 2.34

Grafico della funzione (2.1).

CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 69

" Osservazione

f

La funzione (x) che definisce la distanza (euclidea) tra il punto della retta orien-

x x

tata di coordinata e l’origine (di coordinata 0) è nota come funzione modulo

=

ed indicata con il simbolo Essa risulta descrivibile come funzione definita a più

|x|.

leggi: ( x x 0

se ≥ .

|x| = x 0

se

−x <

f (x) x

Figura 2.35

Grafico della funzione modulo.

2.4.10.3 Trasformazioni di funzioni note

f

Si supponga assegnata la funzione (x) e si supponga di conoscere il suo grafico.

g

Dalla conoscenza di quest’ultimo è possibile risalire al grafico della funzione (x)

f

ottenuta da (x) tramite le trasformazioni

R.

g f c, c g

1. (x) (x) In tal caso il grafico della funzione si ottiene a partire da

= + ∈ f c

quello della funzione traslando quest’ultimo verticalmente verso l’alto (se 0)

>

c

o verso il basso (se 0).

<

CAPITOLO 2. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 70

x

x

a b

Figura 2.36

f f c c c

Grafico della funzione (x) (linea continua) e della funzione (x) con 0 (a) e 0 (b).

+ > <

R.

g f c), c g

2. (x) (x Il grafico della funzione (x) può essere ottenuto da quello

= + ∈

f c

di (x) traslando il grafico di quest’ultima orizzontalmente verso sinistra (se 0)

>

c

o verso destra (se 0).

< x

x

a b

Figura 2.37

f f c)

Grafico della funzione (x) (linea continua) e della funzione (x (linea tratteggiata) nel

+

c c

caso 0 (a) e 0 (b).

> <

R +

g c f c g

3. (x) (x), . In tal caso il grafico di (x) può essere ottenuto per dilata-

= ∈

c c

zione (se 1) o per contrazione (se 1) tenendo conto del fatto che i punti in

> <

f g

cui si annulla (x) sono tutti e soli i punti in cui si annulla (x).


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Dispense del Prof. Pierangelo Ciurlia del corso di Matematica Generale che tratta i seguenti argomenti:

Funzioni reali di una variabile reale
Generalità: Funzioni reali di variabile reale. Il piano cartesiano e il grafico di una funzione. Funzioni iniettive e suriettive e grafico. Funzioni pari e dispari. Crescenza e decrescenza e funzioni monotone in un intervallo. Concavità e convessità in un intervallo. Funzioni limitate. Funzione composta. Funzione inversa, monotonia e invertibiliàt, grafico della funzione inversa. Funzioni elementari. Funzioni a più leggi. Operazioni sui grafici. Ricerca del dominio di una funzione.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Roma Tre - Uniroma3 o del prof Ciurlia Pierangelo.

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