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Matematica Generale

Marco Castellani

Facoltà di Economia

marco.castellani@univaq.it

Lezione 3 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 3 1 / 18

Lezione 3

Topologia

Topologia significa letteralmente ”studio del luogo” e studia le proprietà

delle figure geometriche che restano invariate dopo una deformazione

continua, senza strappi e sovrapposizioni.

Il punto di partenza della topologia è l’individuazione delle relazioni

esistenti tra un punto ed un insieme. L’unica analisi che per ora

possiamo fare è affermare se il punto appartiene oppure no ad un

insieme dato.

Esempio. Dato l’insieme ∪ {5}

= [1,

A 3)

consideriamo i seguenti punti: 1,2,3,4,5. Per ora possiamo solamente

∈ ∈ 6∈ 6∈ ∈

affermare che 1 A, 2 A, 3 A, 4 A e 5 A. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 3 2 / 18

Lezione 3

Punti interni, esterni, frontiera

∈ ⊂

Dati x e A si dice che

R R

x è interno ad A se esiste un intorno di x interamente contenuto in

A cioè ∃ε − ⊂

: (x +

0 x A.

> ε, ε)

x è esterno ad A se esiste un intorno di x interamente disgiunto

da A cioè ∃ε − ∩ ∅.

: (x + =

0 x A

> ε, ε)

x è di frontiera per A se non è né interno né esterno ad A cioè

∀ε 0 si ha

> c

− ∩ 6 ∅ − ∩ 6 ∅.

(x + = (x + =

x A e x A

ε, ε) ε, ε) dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 3 3 / 18

Lezione 3

Punti di aderenza, isolati, di accumulazione

∈ ⊂

Dati x e A si dice che

R R

x è di aderenza ad A se qualsiasi intorno di x contiene punti di A

cioè ∀ε − ∩ 6 ∅.

: (x + =

0 x A

> ε, ε)

x è isolato di A se esiste un intorno di x che non contiene altri

punti di A eccetto x cioè

∃ε − ∩ {x}.

: (x + =

0 x A

> ε, ε)

x è di accumulazione per A se è aderente ma non è isolato. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 3 4 / 18

Lezione 3

Punti di accumulazione

Teorema (Caratterizzazione dei punti di accumulazione)

∈ ⊂

Un punto x è di accumulazione per A se e solo se

R R

∀ε ∃a ∈ 6 ∈ −

= : (x +

0, A con a x a x

> ε, ε)

cioè se ogni intorno di x possiede almeno un elemento di A diverso da

x.

In altre parole x è di accumulazione per A se ”è possibile avvicinarsi

arbitrariamente a x senza toccarlo e camminando su A.” L’insieme di

tutti i punti di accumulazione di A si chiama derivato di A e si indica

D(A). dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 3 5 / 18

Lezione 3

Esercizio

Esercizio per casa

Determinare i punti interni, esterni, di frontiera, di aderenza, isolati e di

accumulazione dei seguenti insiemi:

23

= [

A 5)

, ∪ {5}

= [1,

A 3) 1

{x ∈ ∈

= : =

A x al variare di n

R N}

,

n

=

A Z

=

A Q dsm

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Lezione 3

Insiemi aperti e chiusi

A questo punto forniamo una catalogazione degli insiemi.

Definizione ⊂

Un insieme A si dice

R

aperto se tutti i suoi punti sono interni,

chiuso se tutti i punti frontiera appartengono ad A oppure,

equivalentemente, se coincide con l’insieme di tutti i suoi punti di

aderenza,

compatto se risulta chiuso e limitato. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 3 7 / 18

Lezione 3

Insiemi aperti e chiusi

Esempi. (a, (a, +∞) (−∞,

Gli intervalli b), e b) sono aperti.

[a, [a, +∞) (−∞,

Gli intervalli b], e b] sono chiusi ed il primo, in

quanto limitato, è anche compatto.

[a, (a,

Gli intervalli b) e b] non sono né aperti né chiusi.

∅?

Come sono gli intervalli e

R

Come sono gli insiemi del precedente esempio? dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 3 8 / 18


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AUTORE

Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Topologia della retta reale: punti interni, esterni, di frontiera. Punti di aderenza, punti isolati e punti di accumulazione. Caratterizzazione dei punti di accumulazione. Insiemi aperti e insiemi chiusi; insiemi compatti. Funzioni e definizioni principali: dominio, codominio, immagine, controimmagine, funzione inversa, grafico. Funzioni particolari: iniettive, suriettive, biiettive.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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