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Lezione 33

n

Topologia su R n

Proprietà topologiche su R

n

Dati un punto x ed un numero r 0 si chiama intorno (circolare)

>

R

di centro x e raggio r l’insieme

n n

{y ∈ } {y ∈ kx − }.

) = : (x, = :

I(x, r d y) r yk r

< <

R R

n n

⊆ ∈

Dati un insieme A e x si dice che

R R ⊂

)

x è interno ad A se esiste un intorno I(x, r A,

∩ ∅,

) =

x è esterno ad A se esiste un intorno I(x, r A

x è di frontiera per A se non è né interno né esterno ad A cioè per

)

ogni intorno I(x, r si ha c

∩ 6 ∅ ∩ 6 ∅.

) = ) =

I(x, r A e I(x, r A dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 33 6 / 22

Lezione 33

n

Topologia su R n

Un insieme A si dice

R

chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera,

aperto se tutti i suoi punti sono interni e quindi non contiene alcun

punto della sua frontiera,

limitato se è contenuto in un intorno dell’origine,

convesso se dati due punti qualsiasi x, y A il segmento che li

unisce è contenuto in A,

compatto se è chiuso e limitato. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 33 7 / 22

Lezione 33

n

Funzioni in R

Passiamo a studiare il grafico di una funzione in più variabili;

innanzitutto. . .

. . . poiché la teoria sulle funzioni in più variabili coincide esattamente

con quella per le funzioni in due sole variabili, per semplicità

l’esposizione verrà fatta solamente per queste ultime.

Solitamente si indica con x la variabile indipendente e con

x x x le sue componenti; quindi si scrive

, , . . . , n

1 2 = (x) = (x ).

y f f x x

, , . . . , n

1 2

Se la funzione dipende da due sole variabili (come sarà nel nostro

= (x, = (x,

caso) indicheremo x y) e quindi z f y). dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 33 8 / 22

Lezione 33

Curve di livello 2

−→ ⊆

:

Il grafico di una funzione f A con A è un oggetto

R R

3

geometrico contenuto in (sarà una specie di superficie più o meno

R

ondulata). Vediamo se è possibile descrivere il comportamento di una

funzione utilizzando oggetti di dimensione più bassa.

Definizione 2

−→ ⊆ ∈

:

Dati f A con A ed il numero k si chiama curva di

R R R

livello k di f l’insieme L {x ∈

(f ) = : (x) =

A f k}.

k dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 33 9 / 22

Lezione 33

Curve di livello

Una curva di livello k si ottiene sezionando il grafico della funzione f

=

con il piano orizzontale di equazione z k e quindi proiettando

l’intersezione sul dominio.

Esempio. Proviamo a visualizzare il comportamento della funzione

(x, =

f y) xy

6 =

attraverso le sue curve di livello. Se k 0 possiamo descriverle

k

2 2

L {(x, ∈ ∈

(f ) = : = = (x, : =

y) xy k} y) y .

R R

k x

e si osserva che sono tutte delle iperboli equilatere.

L (f )?

Domanda: cos’è 0 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 33 10 / 22

Lezione 33

Curve di livello 6

6 3

3 1

1

1 1

3 3

6 6

(x ) =

Figure: Curve di livello di f y xy

, dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 33 11 / 22

Lezione 33

Curve di livello

Se la funzione f rappresenta la funzione di utilità le curve di livello

prendono il nome di curve di indifferenza.

Esempi. Calcoliamo le curve di livello della funzione di utilità lineare

(x, = + (x, =

f y) x 2y e di quella di Leontief f y) min{x, y}. Nel primo

caso le curve di livello sono delle rette tra loro parallele

6

H (f )

L HH

5 HH

H (f )

L HH

HH 2

L {(x, ∈

(f ) = : + =

y) x 2y k}

4 R

k

H

H

H H

H

(f )

L HH HH

HH

3 H HH

H

H H H

(f )

L HH HH H

HH

2 H H H

H H H H

(f )

L HH HH HH H

1 -

H H H dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 33 12 / 22

Lezione 33

Curve di livello

Nel secondo caso le curve di livello sono

6 (f )

L 5

(f )

L 4 2

L {(x, ∈

(f ) = : =

y) min{x, y} k}

R

k

(f )

L 3

(f )

L 2

(f )

L 1 -

Domanda: come sono fatte le curve di indifferenza della funzione di

(x, =

utilità di Leontief f y) min{x, 2y}? dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 33 13 / 22

Lezione 33

Restrizione a rette 2

−→ ⊆

:

Sia f A definita su A . Un’altra maniera per cercare di

R R

capire il comportamento di una funzione è di restringere la nostra

attenzione a particolari sottoinsiemi del dominio A. In particolare

invece di valutare la legge f su tutti i punti di A potremmo sostituirci

solamente quelli che appartengono ad opportune rette.

2 −

(x, = +

Esempio. Determiniamo la restrizione di f y) x 3xy y alla

+ =

retta r di equazione 3x y 4 0. Per calcolarla, esplicitiamo

−3x

= +

un’incognita nell’equazione di r (ad esempio y 4) e

sostituiamola nella funzione f , ottenendo una nuova funzione f

r

dipendente da una sola incognita (la x):

2 2

−3x − −

(x) = (x, + = + + (−3x + = +

f f 4) x 3x(−3x 4) 4) 10x 15x 4

r dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 33 14 / 22


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AUTORE

Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Funzioni di più variabili: definizioni ed esempi; topologia dello spazio reale di dimensione n [math]\mathbb{R}^n[/math]: punti interni, esterni, di frontiera; insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, compatti; curve di livello; restrizione di funzioni di più variabili a rette; limiti di funzioni di più variabili e continuità; derivata direzionale; derivate parziali.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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