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• Tuttavia, non tutta la curva di costo marginale esprime la curva d’offerta effettiva dell’impresa!

Le condizioni marginali non tengono conto dei costi fissi e può quindi succedere che la quantità

∗ non sia capace di rendere i profitti non negativi. Ovvero, data la funzione di profitto

ottima q ∗ ∗ ∗

) = pq − c (q ) − F può succedere che

"ottimizzata" π (q v ∗ ∗ ∗

pq − c (q ) < F =⇒ π (q ) < 0

v

Per tener conto di questo aspetto, consideriamo che l’impresa sia effettivamente disposta ad offrire

un prodotto sul mercato, solo quando il prezzo di vendita le consenta di ottenere almeno profitti nulli

o positivi. Tale condizione equivale a capire quale sia la quantità o il prezzo minimo (a seconda che si

usi la (3) o la (4)) che garantisca profitti non negativi. Per calcolare il prezzo minimo (o la quantità

minima) è necessario calcolare quale sia il punto di intersezione fra la curva di costo medio totale e la

curva di costo marginale che rappresenta la curva d’offerta. Vediamo perché.

Il prezzo detto di "chiusura" o di "break-even" di lungo periodo è il prezzo minimo

Proposizione 1

a cui l’impresa è disposta a vendere il prodotto e deve essere non inferiore al costo medio totale

≥ CM E

p

min T OT

Dimostrazione ∗

π (q ) : pq − c (q) − F ≥ 0

v

∗ c F

) (q)

π (q pq v

− − ≥ 0

:

q q q q

ovvero se e solo se (q)

c F

v

p ≥ +

q q ∗ ), cerchiamo

Per avere un’equazione espressa nella sola variabile q, sapendo che a sinistra p = CM A(q

tale che:

q

MIN F

(q)

c

v +

) ≥

CM A(q

MIN q q

Una volta trovato q lo sostituiamo nella funzione di costo marginale e troviamo il prezzo minimo

MIN

necessario affinché l’impresa resti sul mercato nel lungo periodo

p = CM A(q )

MIN MIN

.QVD. Il prezzo di "chiusura" di breve periodo è il prezzo minimo a cui l’impresa è disposta

Proposizione 2

a vendere il prodotto nel breve periodo e deve essere non inferiore al costo medio variabile

(q)

c

v

p ≥

min q

Si può assumere che nel breve periodo, durante un ciclo avverso l’impresa possa permettersi tem-

poraneamente di non ripagare i costi fissi, ma deve poter ripagare i costi variabili della produzione.

Dimostrazione ∗ ) : pq − c (q) ≥ 0

π (q v

∗ c

) (q)

π (q pq v

− ≥ 0

:

q q q

ovvero se e solo se (q)

c

v

BP

p ≥

MIN q

5 BP ∗

Per avere un’equazione espressa nella sola variabile q, sapendo che a sinistra p = CM A(q ),

MIN

BP

cerchiamo q tale che:

MIN (q)

c

v BP

=⇒ q

CM A(q) = MIN

q

Una volta trovato q lo sostituiamo nella funzione di costo marginale e troviamo il prezzo minimo

MIN

necessario affinché l’impresa resti sul mercato nel lungo periodo

BP

= CM A(q )

p

MIN MIN

QVD.

Seguono nel paragrafo le applicazioni con i diversi tipi di funzioni di costo.

4 Derivazione della funzione d’offerta nelle diverse ipotesi di rendi-

menti di scala

Presentiamo alcuni esempi espliciti, utilizzando le funzioni di costo presentate in precedenza. Inseriamo

ciascuna funzione di costo nella funzione di profitto e deriviamo la curva d’offerta massimizzando la

funzione del profitto rispetto ad q.

4.1 Costi più che proporzionali alla crescita dell’output q (Rendimenti di scala

decrescenti)

2

Es. C(q) = 10 + 5q . ¡ ¢

2

max π(q; p) = pq − 10 + 5q

q

Deriviamo la funzione e la poniamo pari a zero

dπ(q; p) : p − 2 · 5q = 0

dq p

q = 10

Analogamente, per sapere qual’è la curva di offerta effettiva devo disegnare anche il costo medio totale.

Se nel grafico è chiaro vedere qual’è il prezzo minimo, ci chiediamo quale sia il metodo generale per

calcolarlo.

Il prezzo minimo è individuato da quel livello di q in cui la funzione di costo marginale interseca

LP tale che

la curva di costo medio, ovvero. cerco p MIN

CM A(q) = CM E (q)

T

10 + 5q

2 · 5q = q

30

Cma,Cme 20

10

0 0 1 2 3 4 5

q

6

Se nel grafico è chiaro vedere qual’è il prezzo minimo, ci chiediamo quale sia il metodo generale per

calcolarlo. o n o

n √ √

∗ ∗

= 2 , q = − 2

Soluzione q

Naturalmente si scarta la soluzione negativa (una quantità negativa non ha senso).

∗ = 2 nella funzione del costo

Per trovare la coordinata sull’asso del prezzo si sostituisce q MIN

marginale. Si ottiene √

∗ = 2 · 5 · 2 = 14.14

p MIN

4.2 Costi proporzionali alla crescita dell’output q (Rendimenti di scala costanti)

C(q) = 10 + 5q

Es. π(q; p) = pq − (10 + 5q)

max

q

Deriviamo la funzione e la poniamo pari a zero

dπ(q; p) : p − 5=0

dq

⎧ 0 se p < 5

∗ intera retta [0, ∞) se p = 5

q = ⎩ ∞ se p > 5

30

Cma,Cme 20

10

0 0 1 2 3 4 5

q

La retta in grassetto è la funzione di costo marginale, mentre la curva decrescente è la curva di costo

medio totale. L’impresa decide di produrre se e solo se il prezzo è almeno pari al costo marginale

che in questo caso è 5. Se il prezzo è uguale al costo marginale l’impresa è indifferente rispetto alla

quantità prodotta, dal momento che ogni unità addizionale di prodotto costa quanto il prezzo a cui

viene venduta. Per sapere qual’è la curva di offerta effettiva devo disegnare quindi anche il costo medio

LP tale che

totale (la curva decrescente nella figura.. Cerco p MIN (q)

CM A(q) = CM E

T

10 +5

5 = q

Attenzione! la curva di costo marginale è costante e la curva di costo medio è

Osservazione 1

decrescente e si incontreranno solo all’infinito. Questo vuol dire che se l’impresa rispettasse la regola

di vendere la propria merce ad un prezzo pari al suo costo marginale 5, guadagnerebbe zero su ogni

quantità venduta e quindi non si ripagherebbe MAI gli eventuali costi fissi.

7 q

4.3 Costi meno che proporzionali rispetto alla crescita dell’output (Rendimenti

di scala crescenti)

Es. C(q) = 10 + 5 q √

π(q; p) = pq − (10 + 5 q)

max

q

Deriviamo la funzione e la poniamo pari a zero

dπ(q; p) 5

: p − =0

dq 2 q

, 25

q = 2

4p

Analogamente, per sapere qual’è la curva di offerta effettiva devo disegnare anche il costo medio

LP tale che

totale.e cerco p MIN (q)

CM A(q) = CM E

T

10 5

5 = +

√ √

2 q q q

20

Cma,Cme 15

10

5

0 0 10 20 30

q

La curva del costo fisso medio è rosa. Nel grafico disegnamo la curva di costo marginale in grassetto

tratteggiato espressa dal membro di sinistra e la curva del costo medio totale. Si vede che si incontrano

per q −→ ∞. Cosa vuol dire? La regola prezzo = CMA direbbe che quanto più produco, tanto più

il cma si abbassa e dunque il prezzo a cui l’impresa deve vendere si abbassa. In questo modo non

solo l’impresa non ripagherà mai i costi fissi, ma nemmeno i costi marginali delle unità precedenti che

erano più "care".

Questa è la ragione per la quale una merce venduta a prezzi bassi o bassissimi deve ottenere

una quota di mercato praticamente infinita. Questa è la ragione per cui oggi dominano le grandi

multinazionali, i supermercati enormi, le librerie on-line. Es. Ikea, Amazon.

5 Funzione di offerta aggregata

La curva d’offerta aggregata è la somma delle curve d’offerta in termini di quantità

Definizione 1

di uno stesso prodotto da parte delle imprese singole i = 1, .., N

n

X q(p)

S(p) = i=1

8

5.1 Esempio numerico 1 2 2 2

Siano date due imprese con funzioni di costo C (q) = 10 + q e C (q) = 5 + 3q . Calcolare

(i) le funzioni d’offerta di lungo periodo e di breve (ovvero da quale prezzo l’impresa sta sul mercato,

ovvero è in grado di produrre una quantità positiva).

Prima impresa. ¡ ¢

2

π(q; p) = pq − 10 + q

max

q

Deriviamo la funzione e la poniamo pari a zero

dπ(q; p) : p − 2q = 0

dq

Ricaviamo la curva d’offerta diretta risolvendo per q in funzione di p.

p

S (p) =

q

1 2

Analogamente, per sapere qual’è la curva di offerta effettiva devo disegnare anche il costo medio totale.

10 + q (5)

=

CM E

LP q

20

y 15

10

5

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

T

min

p : CM A(q) = CM E (q)

1 10 + q

2q = q

n o

q = 10 = 3.1

min = 2 10 = 6.32

p

1

Dunque la funzioni d’offerta per la prima impresa è

½ 0 se non ci sono costi fissi, per ogni valore di 0 ≤ p < 6.32

S

q (p) = s

1 p/2 se ci sono i costi fissi, se e solo se p ≥ 6.32 = p

MIN

Seconda impresa ¢

¡ 2

max π(q; p) = pq − 5 + 3q

q 9


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratto dal corso di economia dell'organizzazione industriale tenuto da Augusta Miceli tratta delle funzioni di costo e funzioni d’offerta in concorrenza perfetta nelle diverse ipotesi di rendimenti di scala. Nello specifico viene anche analizzato la curva d’offerta dell’impresa e la derivazione della funzione d’offerta nelle diverse ipotesi di rendimenti di scala.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Economia dell'organizzazione industriale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Miceli Maria Augusta.

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