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∑ -βE

E e

n n ∞

d

n = 0  

⟨E ⟩ -βEn

= = - ln e

 

∞ dβ n = 0

∑ -βEn

e

n = 0

Utilizzando la formula della somma di una serie geometrica

∞ ∞ 1

∑ ∑ βh ν

-βEn -n

e = e = βh ν

-

1 - e

n = 0 n = 0

si ottiene subito ν

ν

νe

-βh h

h

⟨E ⟩ = = (1.30)

ν ν/

-βh h kT

1 - e e - 1

ν, ν

Siccome hν è l'energia di un fotone di frequenza il numero medio di fotoni di frequenza (detto

anche numero di occupazione) è 1

⟨n ⟩ = (1.31)

ν ν/

h kT

e - 1

(dove si riconosce l'usuale espressione della distribuzione di Bose-Einstein per particelle con

potenziale chimico nullo).

A questo punto abbiamo a disposizione l'energia media di uno stato (o grado di libertà) della

radiazione in una cavità isoterma. Basterà quindi moltiplicare per il numero di gradi di libertà di

quello stato per ottenere la densità di energia della radiazione nella cavità e quindi la brillanza della

radiazione di corpo nero. Questo approccio ha il vantaggio di essere completamente indipendente

dai dettagli dei processi di emissione ed assorbimento dei fotoni sulle pareti della cavità.

Il calcolo del numero di gradi di libertà (o modi) del campo elettromagnetico nella cavità è analogo

al problema della corda vibrante (unidimensionale) o delle onde sonore stazionarie in una cavità

(caso tridimensionale). Le onde stazionarie sulla corda possono avere una varietà di lunghezze

λ/

d'onda (fondamentale ed armoniche), a patto che sia m 2 = L, dove m e' il numero intero che

ν/c,

definisce il modo di vibrazione ed L e la lunghezza della corda. Quindi m = 2 L e dm = 2 L

dν/c. La generalizzazione tridimensionale della precedente equazione, in coordinate sferiche, è dm

ν

3 2 3

= 2 L dνdΩ/ c e quindi la densità di stati o modi (per unità di volume, frequenza, angolo solido)

è ν 2 3

Z (ν) = 2 / c (1.32).

La densità di energia dei fotoni sarà quindi in media (in energia per unità di volume, angolo solido e

frequenza) ν

ν h

2

2

u (ν, T) = Z(ν) ×⟨E(ν) = (1.33)

3 ν/

c h kT

e - 1

Il legame tra densità di energia e brillanza si ottiene semplicemente notando che per la superficie

dA passeranno nel tempo dt tutti i fotoni contenuti in un cilindro allineato con l'angolo solido

considerato, lungo c dt e di volume c dA dt: quindi l'energia in esso contenuta sarà dE = u c A dt dν

dΩ. Si ha quindi dE

B = = c u (1.34)

ν dA dΩdt dν

e, nel caso del corpo nero, si ottiene la funzione di Planck per la brillanza:

ν 1

3

2 h

BB(ν, T) = (1.35)

ν/

2 h kT

c e - 1

La potenza contenuta in un fascio di radiazione di corpo nero sarà semplicemente

ν 1

3

2 h

P(ν, T) dν = AΩBB(ν,T) dν = A dν (1.36)

ν/

2 h kT

c e - 1

Finora abbiamo ricavato la brillanza della radiazione in una cavità in equilibrio termico. Per

generalizzare questo risultato a radiazione che si propaga nello spazio aperto, si calcolerà di nuovo

il numero di modi presenti nel fascio di radiazione, e si moltiplicherà per l'energia media del singolo

modo.

Se consideriamo un unico modo, la sua rapidità ottica sarà limitata dalla diffrazione: infatti un

fascio di radiazione di lunghezza d'onda finita deve anche avere una divergenza finita. Per

calcolarla basta considerare la diffrazione di Fraunhoffer attraverso una apertura circolare (la

sorgente del fascio di radiazione) di diametro d qualsiasi: si avrà

π  λ 

1.22

2 2

d

π   ≅ λ 2

A ×Ω = × (1.37)

 

4 4 d Ω),

Quindi se vogliamo rendere il fascio parallelo (e quindi ridurre siamo obbligati ad aumentare

l'area della sorgente, per limitare l'effetto della diffrazione (questo è il motivo per cui per ottenere

alta risoluzione angolare si costruiscono radiotelescopi di grande diametro). E' ragionevole pensare

che un singolo modo della radiazione abbia rapidità ottica minima, e quindi data dalla (1.37). In un

fascio di radiazione non limitato dalla diffrazione il numero di modi contenuti sarà semplicemente

Ω Ων

A 2

A

M = 2 × = 2 × (1.38)

2

λ c

2

dove il fattore 2 è stato inserito per contare le due polarizzazioni indipendenti. La potenza in un

fascio di radiazione termica che si propaga nello spazio libero si otterrà moltiplicando il numero di

[(hν)/ kT] -1

modi M per l'energia per fotone hν per il numero di fotoni per modo (e -1) : si ottiene allora

Ων ν

2 3

2h

A

⟩ ⟩dν

P(ν, T) dν = M ×⟨E = 2 ×⟨E = = AΩ dν (1.39)

ν/

2 h kT

2

c e - 1

c

che è il risultato già noto (1.36) per la potenza di corpo nero, ma generalizzato al caso di un fascio

di radiazione che si propaga fuori da cavità, nello spazio aperto. L' unica ipotesi di lavoro che

abbiamo fatto è che il numero di fotoni per secondo e per unità di frequenza in un modo sia sempre

[(hν)/ kT] -1

dato da (e -1) , visto che la radiazione è di origine termica. Il risultato ottenuto, confermato

sperimentalmente, giustifica questa ipotesi. Formule pratiche per il calcolo dell' emissione di corpo

nero sono riportate qui sotto: σ 3

2

BB(σ, T) = c BB(ν, T) = 2 h c =

[( hcσ)/ kT]

e - 1

σ 3 σ

-12 2 -1 -1

= 1.191×10 W/cm /sr/cm , in cm , T in K (1.40)

σ)/

[(1.4388 T]

e - 1 2

c 2 h c

BB(λ, T) = BB(ν, T) = =

λkT)]

λ 5 [ hc/(

λ 2 ( e - 1)

1 λ µm

4 2

= 1.191×10 W/cm /sr/µm , in , T in K (1.41)

λT)]

λ 5 [14388/(

e - 1

Per il calcolo numerico di integrali sulla distribuzione spettrale, è utile introdurre la variabile

adimensionale x = hν/ kT, pari al rapporto tra energia del fotone ed energia termica. La brillanza di

corpo nero si scrive allora 4 3

kT 2 k x

4

BB(x, T) = BB(ν, T) = T =

3 2 x

h c e - 1

h 3

x

-13 4 2

= 2.779×10 T W/cm /sr , T in K (1.42)

x

e - 1

In fig.1.10 sono graficate su scale lineari e logaritmiche curve di corpo nero con diverse

temperature. Si deve notare che la brillanza emessa da un corpo nero a temperatura superiore è

sempre maggiore (qualsiasi sia la lunghezza d'onda) di quella emessa da un corpo nero a

temperatura inferiore (le curve di corpo nero non si intersecano). La regione spettrale a lunghezze

>>

d'onda inferiori a quella di massima emissione è detta regione di Wien (x 1); la regione spettrale

<<

a lunghezze d'onda maggiori è detta regione di Rayleigh-Jeans (x 1). Il massimo dell'emissione

di corpo nero si trova annullando la derivata della brillanza fatta rispetto alla variabile spettrale. Si

noti che a causa delle diverse espressioni della brillanza, usando BB(ν,T), o BB(σ,T), o BB(λ,T), o

BB(x,T) si troveranno lunghezze d'onda di massima brillanza leggermente diverse tra loro.

-xm

Utilizzando la BB(x,T), si trova 1-e = x /5 e quindi x = 4.96, da cui deriva

m m

λ T = 0.290 cm K (1.43)

m

La (1.43) è detta legge di Wien. Alcuni esempi: un corpo nero con T = 6000 K ha massima

λ ≅ λ ≅ µm ≅

emissione a 5000 Å; un corpo nero a 3 K ha massima emissione a 970 1 mm

m m

(microonde).

Integrando la (1.42) su tutte le frequenze, si ottiene la relazione σ

3 π

4 4 4

x dx

2 k 2 k

⌠ ⌠

∞ ∞

4 4 4

B = BB dν = T dx = T = T (1.44)

ν

⌡ ⌡

0 0

3 2 3 2 π

x

h c h c 15

e -1 σ -5 -1 -2

detta legge di Stefan-Boltzmann. La costante di Stefan-Boltzmann vale = 5.67 ×10 erg s cm

-4 2

K . Dalla (1.44) è subito evidente che un corpo nero sferico di superficie 1 m a temperatura

ambiente (300 K) emette su tutte le direzioni ben 460 W di potenza radiativa. Su questo fatto si

basano i radiatori passivi, che vengono usati sui satelliti per dissipare verso lo spazio aperto

l'energia termica in eccesso, oppure per raffreddare radiativamente parti del satellite (si possono

ottenere temperature di 150 K in questo modo).

<<

Nella regione delle basse frequenze (x 1) vale l' approssimazione di Rayleigh-Jeans

ν c

2

BB(ν, T) = 2 kT o BB(λ, T) = 2 kT (1.45)

2 λ 4

c

Questa legge viene usata in radioastronomia per definire la temperatura di brillanza:

2

c

T = B (1.46)

ν

b ν 2

2 k

che è per definizione proporzionale alla brillanza, ed è quindi funzione della frequenza. Nel caso

che la sorgente sia di corpo nero ed il ricevitore operi nella regione di Rayleigh-Jeans (come

avviene spesso in radioastronomia), la temperatura di brillanza è costante e coincide con la

temperatura della sorgente.

Dalla (1.39) si può calcolare il numero medio di fotoni per unità di volume e frequenza nella

radiazione di corpo nero: πν

u (ν, T) 1

2

8

n(ν, T) = 4π = (1.47)

ν/

3

ν h kT

c

h e - 1

Integrando su tutte le frequenze si ottiene 2

kT kT

x

  ⌠  

3 ∞ 3

π ≅ 3 -3

n(T) = 8 dx = 60.4 20.3 T cm (1.48)

  ⌡  

x

0 e - 1

hc hc

Ricordiamo che l' universo è riempito uniformemente di radiazione di corpo nero a 2.7 K : dalla

3

(1.48) si vede che sono circa 400 fotoni per cm .

1.7) Corpi Neri per calibrazione assoluta dei fotometri

Vediamo adesso alcuni strumenti che sono stati realizzati per produrre una accurata emissione di

corpo nero.

Le prime misure, di interesse storico, su cui si basò Planck per la sua teoria, furono effettuate da

Lummer e Pringshe im (1897) e da Rubens e Kurlbaum (1900) al Physikalische Technische

Reichsanstalt Berlino. Essi utilizzarono corpi neri in ferro e in rame scaldati a temperature

o

comprese tra 200 e 1250 C. I corpi erano sagomati a forma di cono concavo, in modo da

massimizzare il numero di riflessioni subite da un raggio all'interno del cono prima di essere riflesso

fuori. In fig.1.11 è mostrata la costruzione geometrica che permette di studiare il numero di

riflessioni in funzione dell'angolo di incidenza.

1.7.1) Infrarosso Termico: esperienza di Quinn e Martin σ

Recentemente Quinn e Martin (1985) hanno effettuato una misura di precisione di realizzando un

apparato sperimentale (fig.1.12) costituito da due corpi neri: un emettitore a temperatura ambiente

(da 230 a 370 K) ed un assorbitore a bassa temperatura (da 2 a 10 K), affacciati attraverso un

sistema di aperture calibrate. L'assorbitore è posto in debole contatto termico con un termostato a

temperatura di 2 K, in modo che la potenza radiativa ricevuta dall' emettitore sia sufficiente a

scaldarlo di alcuni gradi sopra la temperatura del termostato.

La misura avviene in due fasi: dapprima si fa scaldare l'assorbitore sotto l'azione della radiazione

dell' emettitore: raggiunto l'equilibrio si misura la sua temperatura T . Poi si chiude la zona a bassa

a

temperatura, e si azionano delle resistenze in modo da riportare la temperatura dell'assorbitore di

nuovo a T . La potenza elettrica dissipata in queste condizioni può essere misurata con alta

a

precisione, ed è uguale alla potenza radiativa emessa dal radiatore ed assorbita dall'assorbitore nella

prima fase, che è quanto si voleva misurare.

Fig. 1.10: Curve di corpo nero per diverse temperature della sorgente.

Fig. 1.11: Corpo nero conico. Sotto è riportata la costruzione geometrica che, per raggi non

sghembi, permette di stimare il numero di riflessioni subite prima di uscire dal corpo nero.

Fig. 1.12: Apparato sperimentale comprendente due cavita' di corpo nero a diversa temperatura (273

K e 4 K) usato da Quinn e Martin per la determinazione radiometrica della costante di Stefan-

Boltzmann e della costante di Boltzmann.

Per ottenere una alta precisione di misura si devono affrontare i seguenti problemi:

1) La formula di Planck vale a rigore solo se tutte le lunghezze d'onda sono infinitesime rispetto alle

dimensioni della cavità. Questo è rispettato facilmente con ottima approssimazione per la cavità a

µm,

temperatura ambiente: le lunghezze d'onda in gioco sono intorno a 10 e le dimensioni della

cavità possono essere di alcune decine di centimetri. Invece non e' facile da realizzare per la cavità a

temperatura criogenica (lunghezze d'onda in gioco tra 1 mm e 1 cm). Qui cominciano a essere

importanti gli effetti della forma della cavità, che modificano il numero di modi disponibili. Baltes

(1973) ha studiato il problema per una cavità cilindrica (raggio r e lunghezza L, misurate in cm),

ricavando la seguente correzione alla formula di Stefan-Boltzmann:

 

2r 0.1 2r 0.1

       

2 3

σT  

4

B = 1 - +0.85 + + .... (1.49)

       

 

L rT L rT

∼ ∼ ∼

che per T 5 K, L 10 cm, r 1 cm prevede una correzione del 2 %. D' altra parte in questa misura

la potenza riemessa dall'assorbitore a bassa temperatura è essa stessa una piccola correzione nel

4

bilancio termico risultando essere un fattore (5K/300K) inferiore alla potenza assorbita: una

correzione del 2 % sulla potenza riemessa risulta quindi trascurabile.

2) L'angolo solido sotteso dall'emettitore deve essere noto con grande precisione. I diaframmi che

µm.

limitano l'angolo solido sono circolari, con una precisione nel raggio molto migliore di 1

Inoltre è stato necessario valutare attentamente i contributi di diffrazione. Infatti le lunghezze

d'onda in gioco non sono infinitesime rispetto al diametro della apertura. Si avranno quindi effetti di

diffrazione che allargheranno l' angolo solido sotteso dalla sorgente sull'assorbitore. Questa

condizione, assieme alla 1), ha reso necessario utilizzare aperture di alcuni cm di diametro.

3) essendo la cavità aperta, le sue superfici devono avere una grande emissività, e la forma della

cavità deve essere studiata in modo da massimizzare il numero di riflessioni sulle pareti. In questo

modo un fascio di luce che entri subirà un numero di riflessioni all' interno della cavità tale da farlo

assorbire completamente prima di rifletterlo fuori: si approssima così la definizione di corpo nero.

Quinn e Martin hanno utilizzato per le superfici una vernice nera prodotta dalla 3M, composta da

µm,

nero fumo, sfere di vetro di diametri tra 5 e 100 ed una piccola parte di colla. Questa vernice ha

una alta emissività in una ampia regione spettrale (in pratica superiore al 90 % in tutto l'infrarosso).

La forma della cavità è cilindrica, ma un cono rovesciato riempie il fondo della cavità stessa,

aumentando enormemente il numero di riflessioni interne.

4) La cavità deve essere isoterma. Quinn e Martin hanno utilizzato rame di spessore 5 mm (per un

peso totale dell' emettitore di 40 Kg).

Il risultato finale della esperienza di Quinn e Martin è la prima misura radiometrica della costante di

σ ±0.00076) -8 -2 -4

Stefan Boltzmann, pari a = (5.66967 ×10 W m K . Questa misura, che ha una

r

precisione di circa 100 parti per milione, permette di ricavare la costante di Boltzmann k con una

precisione di 25 parti per milione (k compare alla quarta potenza); inoltre è una determinazione

radiometrica di k, e quindi indipendente dalle proprietà dei gas (usualmente si ricava k dal numero

di Avogadro e dalla costante dei gas R, assumendo il gas perfetto o eseguendo complicate

correzioni per i gas reali; per una rassegna sulle misure di k vedi Cohen e Dumond).

1.7.2) Visibile: Calibrazione della scala delle magnitudini; colori

In ambito più propriamente astrofisico, un corpo nero di precisione è stato realizzato da Tug et al.

(1977) ed è stato utilizzato per ottenere una calibrazione di grande precisione della scala delle

magnitudini (Johnson 1980). Infatti la relazione di Pogson (1.26) lega la magnitudine al flusso. Il

flusso di riferimento F deve essere misurato in assoluto per alcune 'stelle standard' con le quali ci si

o

confronterà nelle misure (relative) su altre stelle. Una delle stelle di riferimento più usate è Vega (α

Lyrae), una stella brillante dell'emisfero nord. Questa è stata osservata a lunghezze d'onda del

continuo, relativamente libere da righe di assorbimento stellare, sia nel visibile (da terra) che

nell'UV (da satellite). La misura a terra si fa confrontando con lo stesso telescopio la radiazione

proveniente dalla stella e quella proveniente da una sorgente di corpo nero di caratteristiche

geometriche note. Il telescopio viene puntato alternativamente verso la stella e verso la sorgente di

corpo nero (posta a circa 300 m di distanza). Il fotometro montato nel fuoco del telescopio produce

dei segnali in uscita proporzionali alla potenza ricevuta (V = W). Se i segnali misurati nei due

ℜ ℜ Ω

casi sono rispettivamente V = A F e V = A BB (ν, T), si otterrà

o o bb bb

V

o Ω

F = BB(ν, T) (1.50).

o bb

V

bb

Si sono trascurate qui le attenuazioni introdotte dall' atmosfera terrestre in ambedue casi. A parte

queste, la misura sarà precisa se il rivelatore sarà abbastanza sensibile e lineare (per cui il rapporto

V / V sarà misurato con buona precisione), se sarà possibile misurare con esattezza la distanza e

o bb Ω

le dimensioni della sorgente di corpo nero (e quindi ), e se soprattutto la sorgente di riferimento

bb

sarà un buon corpo nero. Nel caso di Tug et al., la sorgente (fig.1.13) era un corpo nero alla

temperatura di fusione del platino ( 2040 K), con una apertura di diametro variabile da 0.5 a 2 mm,

posto ad una distanza di 300 m dal telescopio.

In questo modo i due segnali V e V non erano troppo differenti tra loro, ed al rivelatore non erano

o bb

richieste ne' una grande dinamica ne' una grande linearità. Possiamo calcolare esplicitamente le

potenze misurate nei due casi. -9

Il corpo nero, con un diaframma di 1 mm a 300 metri, sottende un angolo solido pari a 3.5 ×10 sr.

µm.

-9 2

Con una temperatura di 2040 K si ottiene dalla (1.41) un flusso di 2.4×10 W/cm /µm a 0.5556

La stella può essere schematizzata come una sfera, in cui ciascun elemento di superficie emette in

modo isotropo con brillanza B. Dovremo calcolare quindi il flusso usando la (1.7), ottenendo

⌠ ω π

2

F = B cos(θ) dS / R = B / (1.51)

*

⌡ semisfera

ω θ,

dove e' l'angolo solido geometrico sotteso dalla stella. Se il diametro angolare della stella è

*

ω ≅πθ

2 -16

sarà /4. Questo è dell'ordine di 1.7 ×10 sr (ci è noto indipendentemente da misure

*

interferometriche) e la sua temperatura è dell'ordine di 10000 K, per cui ci si aspetta dalla stella un

µm.

-12 2

flusso di 1.0 ×10 W/cm /µm a 0.5556 Il segnale aspettato dalla stella è quindi circa 3000

volte più debole che nel caso del corpo nero. Questo rapporto è comunque ben compatibile con

l'intervallo dinamico del rivelatore, il che consente di eseguire una misura sufficientemente

accurata. In realtà Tug ha utilizzato uno spettrometro all'uscita del telescopio, che gli ha permesso

di misurare il flusso specifico a varie lunghezze d'onda in un intervallo relativamente ampio.

Nel caso di Vega, lo spettro continuo ottenuto con questa tecnica è riportato in fig.1.14. Per

lunghezze d'onda maggiori di 600 nm lo spettro è consistente con quello di un corpo nero a 10000

-17

K moltiplicato per una costante (detta fattore di diluizione) molto piccola: 5.3 ×10 . Questo è

ovvio, essendo l'angolo solido sotteso dalla stella minuscolo. Il fattore di diluizione trovato implica

una dimensione angolare della stella (usando la (1.51))

 4 F(λ)

θ = (1.52)

√ BB(λ, T)

-3

pari a 3 ×10 arcsec. Questo è esattamente il diametro angolare ottenuto anche con misure

interferometriche. D'altra parte i dati tra 400 nm e 800 nm potrebbero ugualmente bene essere

-17

descritti da un corpo nero a 16000 K, con diluizione 2×10 . Questa ambiguità è dovuta al fatto che

l'emissione di una stella non è una emissione di puro corpo nero. I fotoni con energie corrispondenti

a transizioni elettroniche in ioni ed atomi subiscono l'ultimo scattering nella atmosfera stellare

lontano dal centro, e creano quindi una emissione corrispondente a quella di un corpo nero a

temperatura relativamente bassa (dell'ordine di 10000 gradi. I fotoni che hanno lunghezze d'onda

libere da transizioni provengo da strati più profondi della stella, e quindi più caldi. La discontinuità

λ >

a 380 nm (detta di Balmer) è dovuta all'addensarsi delle righe di Balmer per 365 nm, ed alla

λ <

ionizzazione di Balmer per 365 nm.

Lo spettro di Vega è abbastanza tipico, e questo ci permette di fare alcune importanti considerazioni

sull'importanza della fotometria multibanda: questa può essere utilizzata infatti per ricavare la

temperatura, la discontinuità di Balmer, e l'arrossamento interstellare presente tra noi e la stella in

esame.

L'indice di colore B-V è legato quasi linearmente al tipo spettrale per le stelle della sequenza

principale. Questo fatto è dovuto alla dipendenza di ambedue le quantità dalla temperatura della

stella. Per la maggior parte delle stelle le bande B e V si trovano nella regione a lunghezze d'onda

maggiori di quella di massima emissione, dove, come abbiamo visto nel caso di Vega, lo spettro è

approssimativamente di corpo nero. Assumendo che i filtri B e V trasmettano rispettivamente a 440

e 550 nm, ed usando la legge di Planck (1.41) si ottiene

   

26170/T

BB(λ ,T) e - 1 7090

B ≅

   

B-V = -2.5 log = -2.5 log 3.05 -1.21 + (1.53)

   

32700/T

BB(λ ,T) e - 1 T

V

In realtà si dovrebbe tener conto di due fattori correttivi: la non monocromaticità dei filtri B e V e lo

zero della scala delle magnitudini, tale che B-V deve essere 0 per stelle di tipo spettrale A0, che

hanno temperatura di circa 10000 K (dalla 1.53 invece ci vorrebbero 5900 K per avere B-V = 0). In

ogni caso una relazione empirica simile alla (1.53), ottenuta come best fit dei dati sperimentali,

descrive bene la relazione tra B-V e la temperatura della stella tra 4000 e 10000 K:

8540

B-V = -0.865 + (1.54)

T

Una altra combinazione di colori importante è la U - B: i due filtri si trovano infatti uno a destra ed

uno a sinistra della discontinuità di Balmer (cfr. tab.1.3 e fig.1.14). L'indice di colore U-B permette

quindi di misurare la profondità della discontinuità di Balmer nella stella in esame. Mentre l'indice

B-V è sostanzialmente una misura della temperatura della stella, l'indice U-B è una funzione

complicata della temperatura e della luminosità della stella.

Un diagramma in cui ogni stella è un punto in un piano U-B vs B-V è detto diagramma colore -

colore, e rappresenta un utile sistema di classificazione delle varie classi di stelle (fig.1.15). Le

stelle più lontane sono affette da assorbimento, dovuto alla presenza nel mezzo interstellare di

granelli di polvere. Nel visibile l' assorbimento e' inversamente proporzionale alla lunghezza

d'onda: -10 -1 -4 -1

A = 6.5 ×10 [λ(m)] - 2.0 ×10 (mag pc ) (1.55)

λ

e quindi i colori U-B e B-V vengono alterati (arrossamento: le lunghezze d'onda più brevi (blu)

sono assorbite maggiormente, e gli spettri stellari appaiono più rossi). Il grado di arrossamento di

uno spettro viene definito dagli eccessi di colore

E = (U-B) - (U-B) E = (B-V) - (B-V) (1.56)

U-B 0 B- V 0

dove l'indice 0 si riferisce alle quantità non arrossate. Se si approssimano i filtri U, B, V come

monocromatici, e si assume una distanza di D(pc), si avrà U-U = U + A(λ ) D - U = A(λ ) D ed

0 0 U 0 U

analogamente per gli altri colori. Si ottiene quindi E(U-B) = [ A(λ ) - A(λ ) ] D, ed usando la

U B

relazione semiempirica (1.55) si ottiene che il rapporto degli eccessi di colore

E

U-B = 1.027

E

B-V

Fig. 1.13:Esperimento di Tug per la calibrazione assoluta della scala delle magnitudini. Nel

riquadro è mostrato il sistema usato per realizzare un corpo nero alla temperatura di fusione del

platino (2040 K). Il telescopio viene puntato alternativamente verso la stella di riferimento (Vega) e

verso il corpo nero, a distanza di circa 300 m. In questo modo si può misurare il flusso assoluto

proveniente dalla stella e conoscere così la costante F di calibrazione della scala delle magnitudini

o

(vedi eq. 1.26).

Fig. 1.14: Spettro del flusso specifico proveniente da Vega, ottenuto da terra nel visibile e vicino

UV e dallo spazio nell'UV. La curva continua è un corpo grigio a 16000 K, mentre la curva

tratteggiata è un corpo grigio a 10000 K.

Fig. 1.15: Diagramma colore-colore per stelle di diverse classi spettrali (a sinistra). Risultati di

fotometria UBV per 46000 stelle (a destra).

è indipendente dalla distanza e dall' arrossamento. Se si tiene conto della non monocromaticità dei

filtri, si ha una leggera dipendenza dalla temperatura stellare, ottenendo in media (per temperature

tra 5000 e 30000 K) E

U-B

⟨ ⟩ ±0.03

= 0.79 .

E

B-V

Si definisce poi il rapporto di colore E

U-B

⟨ ⟩(B-V)

Q = (U-B) - (1.57).

E

B-V

Sostituendo le definizioni (1.56) si trova che E

U-B

⟨ ⟩(B-V)

Q = (U-B) -

0 0

E

B-V

e quindi Q risulta essere indipendente dall' arrossamento, e molto sensibile al tipo spettrale.

Misurando Q si ha quindi un metodo per ricavare il tipo spettrale della stella anche in presenza di

arrossamento interstellare rilevante. Appare quindi evidente come la semplice fotometria UBV

÷

possa fornire una grande quantità di informazioni sulla fisica delle stelle (vedi Kitchin, pg.231

247).

Fig. 1.16: Esperimento FIRAS a bordo del satellite COBE. L'esperimento era configurato in modo

da misurare la differenza di brillanza tra la radiazione proveniente da una antenna puntata verso il

cielo (sky horn) e la radiazione proveniente da un corpo nero di precisione interno (Reference

Blackbody), con temperatura variabile tra 2 e 14 K. La radiazione era analizzata per lunghezze

d'onda comprese tra 1 cm e 100 mm da un interferometro a polarizzatori e rivelata da bolometri

raffreddati a 1.6 K (B). Per limitarne l'emissione termica, l'intero strumento era raffreddato a circa 4

K. Lo zero della differenza di brillanza è stato ottenuto per una temperatura del corpo nero di

calibrazione pari a 2.735 K.La brillanza specifica della radiazione celeste (radiazione di fondo

cosmico) così misurata è riportata sotto lo schema dello strumento. Le deviazioni da un perfetto

corpo nero sono inferiori allo 0.03% del valore massimo della brillanza.

1.7.3) Millimetrico e sub-millimetrico: COBE e il fondo a 3 K

Un corpo nero di grande precisione è stato installato a bordo del satellite COBE (Cosmic

Background Explorer) per studiare lo spettro della radiazione di fondo cosmico. La teoria standard

del Big Bang prevede infatti che l' universo sia riempito di un bagno di fotoni termici. Questi sono

stati generati durante l'epoca in cui l'universo primordiale era un plasma ad alta temperatura, e si

sono raffreddati con l'espansione successiva. La loro temperatura attuale è di circa 3 K; abbiamo

-3

visto che il loro numero è circa 400 cm .

Sul satellite COBE (esperimento FIRAS: Far Infrared Absolute Spectrometer) è stata montata una

cavità di corpo nero, con temperatura regolabile da 2 a 25 K. Lo strumento (un spettrometro

interferometrico a polarizzatori, vedi cap.7) misurava la differenza tra lo spettro emesso dalla cavità

e lo spettro emesso dal cielo. E' quindi un esempio di misura di zero, che permette misure molto

sensibili nel caso si abbia una valutazione teorica precisa dell'osservabile. Variando la temperatura

della cavità è stato possibile ricavare uno spettro differenza nullo (entro gli errori di misura, dovuti

-14 -2 -1 -1

al rumore del rivelatore, dell'ordine di 10 W cm sr /cm ). Questo implica che lo spettro emesso

dal cielo è anche esso un corpo nero con temperatura uguale a quella del corpo nero interno (2.735

K). In fig.1.16 sono mostrati uno schema dell'esperimento ed il risultato della misura: questa

rappresenta una delle prove più convincenti della teoria del Big Bang, ed uno dei più importanti

risultati sperimentali in cosmologia (Mather et al., 1990). Qui le lunghezze d'onda in gioco sono

intorno al millimetro. Di conseguenza il corpo nero e' stato realizzato utilizzando un assorbitore per

microonde: Eccosorb CR-110. Questo materiale e' costituito da un impasto di grani di ferro di

∼ µm 8 3

diametro 5 in una resina epossidica che fa da colla. Nel CR-110 ci sono circa 10 grani/cm .

µ

In questo modo la permeabilità magnetica dell' impasto è molto simile alla sua costante dielettrica

ε, √{µ/ ε}

e l' impedenza del mezzo Z = approssima 1, cioè l'impedenza del vuoto. In questo modo

le microonde incidenti alla sua superficie vengono riflesse molto poco, e penetrano nel materiale

venendo assorbite. Bastano 0.5 mm di questo materiale per assorbire l'80 % della radiazione

o

incidente. La forma del corpo nero è quella di di un cono rientrante con angolo di 25 . Si può vedere

che un qualsiasi raggio incidente sul cono subisce almeno 7 riflessioni prima di tornare indietro

verso il rivelatore. Anche se la riflettività dell'Eccosorb a queste lunghezze d'onda fosse dell' ordine

<∼

7 -4

del 25%, la riflettività totale sarebbe dell'ordine di (0.25) 10 . Si otterrebbe quindi un corpo

nero meglio di una parte su 10000. In realtà la riflettività dell'Eccosorb è decisamente inferiore, ed

il limite reale sulla precisione del corpo nero di COBE (sempre dell' ordine di 1/10000) è dovuto ad

effetti di diffrazione e di rugosità superficiale del cono. Per un calcolo quantitativo si deve inoltre

tener conto del fatto che ciascuna riflessione e' accompagnata anche da diffusione di una frazione

cospicua della radiazione, il che complica notevolmente il calcolo della riflettività.

1.8) Altre sorgenti di radiazione termica

Il fondo cosmico a 3 K è l'unica sorgente astrofisica che emetta radiazione esattamente di corpo

nero. Ma altri corpi celesti emettono radiazione termica, anche se non di corpo nero: se gli strati

superficiali della sorgente sono parzialmente trasparenti possono trasmettere radiazione proveniente

da strati più profondi a temperatura differente (e' quanto accade ne lle atmosfere stellari, come

abbiamo visto nel caso di Vega). La brillanza emessa da sorgenti di questo genere può essere

calcolata utilizzando le equa zioni del trasporto radiativo.

Val la pena di ricordare che se un corpo ha emissività inferiore ad 1, ma è isotermo, emette

radiazione descritta dalla formula del corpo grigio:

ν 1

3

2 h

ε(ν,

GB(ν, T) = T) (1.58).

ν/

2 h kT

c e - 1

I pianeti emettono radiazione infrarossa di corpo grigio corrispondente alla loro temperatura (tra 40

e 400 K), e con emissività dipendente dalla loro albedo (capacità di riflettere la radiazione solare).

La polvere interplanetaria (minuscoli granelli di materiale solido presenti nel piano dell' eclittica,


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AUTORE

Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Tecniche sperimentali in astrofisica del Porf. Paolo De Bernardis, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: le misure astrofisiche; i fotoni, il flusso e la brillanza; elementi di fotometria, la rapidità ottica e il campo di vista; brillanza specifica, flusso specifico e relative unità di misura; il fotometro; l'efficienza spettrale; magnitudine apparente e magnitudini; il corpo nero e la radiazione termica; l'infrarosso termico e l'esperimento di Quinn e Martin; la calibrazione della scala delle magnitudini e i colori.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in fisica e astrofisica
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Tecniche sperimentali in astrofisica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof De Bernardis Paolo.

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