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1 INTRODUZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 LEGGI COSTITUTIVE GENERALI . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1 Sforzi e risultanti delle azioni aerodinamiche . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Analisi dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Teorema di Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.2 Vento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.3 Caratterizzazione delle dipendenze . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.4 Coefficienti adimensionali di forza e momento . . . . . . . 10

2.3 Componenti delle azioni aerodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1 Componenti di forza nel riferimento aerodinamico . . . . 11

2.3.2 Componenti di forza nel riferimento solidale . . . . . . . . 13

2.3.3 Componenti di momento nel riferimento solidale . . . . . 13

2.4 Effetto del numero di Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4.1 Numero di Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.2 Regimi di volo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Effetto del numero di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.1 Numero di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.2 Strato limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6 Dipendenza dalla velocità equivalente . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 AERODINAMICA DEL PROFILO ALARE . . . . . . . . . . . . 21

4 AERODINAMICA DELL’ALA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 AERODINAMICA DEL VELIVOLO . . . . . . . . . . . . . . . . 21

NB – Versione parziale in corso di completamento.

11 aprile 2008

(Versione 2)

1 INTRODUZIONE 3

If you push the stick forward, the houses get bigger. If you pull the stick

back, they get smaller. Unless you keep pulling the stick all the way back

- then they get bigger again.

– one of the ‘Flight rules’ (from the Internet).

1 INTRODUZIONE

In questa sezione consideriamo la modalità di generazione delle forze aerodi-

namiche sul velivolo, con particolare riferimento al volo rettilineo stazionario.

Infatti questo, da un lato è di fondamentale importanza in quanto rappresen-

tativo delle condizioni di volo affrontate per la maggior parte del tempo nel

corso di una missione dalla grande maggioranza dei velivoli; dall’altro, consente

di mettere in luce gli aspetti più importanti ed utili alla comprensione delle

fenomenologie coinvolte. Inoltre, una discussione dedicata al volo curvilineo

e/o non stazionario comporterebbe un notevole incremento della complessità

dell’esposizione, inadatto al carattere introduttivo della presente trattazione.

Il velivolo é assunto come caratterizzato da una forma fissata, intendendo

con ciò che

• tutte le superfici di controllo primarie (equilibratori, alettoni, timone di

direzione) siano bloccate in una certa posizione;

• la configurazione sia fissata, dove con ciò ci si riferisce principalmente

alla posizione delle superfici d’ipersostentazione (flaps, slats) ed eventuali

superfici di controllo secondarie (diruttori, aerofreni) ed al carrello, nonchè

alla freccia dell’ala (per velivoli a geometria variabile), al calettamento

delle gondole motrici (per convertiplani), etc.

Per gli scopi che ci interessano, possiamo limitarci a considerare che tale confi-

gurazione sia quella nominale di crociera, detta in gergo ‘pulita’ (clean configu-

ration), ossia con ipersostentatori non deflessi e carrello retratto, e con superfici

di controllo non deflesse.

La struttura di questa sezione comporta

• la discussione della forma generale delle leggi costutitive per le diverse

componenti di forze e momenti aerodinamici sul velivolo, da cui emerge il

ruolo fondamentale dei coefficienti di forza e momento, i quali dipendono

dagli angoli aerodinamici e dai numeri di Mach e Reynolds di volo;

• la trattazione della fenomenologia aerodinamica che permette di carat-

terizzare le dipendenze di questi coefficienti; tale fenomenologia è tradi-

zionalmente esaminata a partire dal caso dei profili bidimensionali, per

arrivare, attraverso l’ala tridimensionale, al velivolo completo, secondo un

approccio a complessità crescente.

2 LEGGI COSTITUTIVE GENERALI 4

2 LEGGI COSTITUTIVE GENERALI

2.1 Sforzi e risultanti delle azioni aerodinamiche

Le relazioni che esprimono la dipendenza delle azioni aerodinamiche dalle va-

riabili che caratterizzano lo stato di moto del velivolo e lo stato dell’ambiente

circostante sono dette leggi costitutive delle forze aerodinamiche.

La valutazione accurata delle azioni aerodinamiche in condizioni di volo ar-

bitrarie è un compito impegnativo e non viene affrontato in questa sede, in

quanto va al di là delle necessità della Meccanica del Volo, ed in particolare

dell’analisi delle prestazioni e delle caratteristiche fondamentali di equilibrio e

stabilità dei velivoli. A questo fine, è sufficiente analizzare la dipendenza del

risultante delle azioni aerodinamiche e del loro momento risultante da alcune

variabili fondamentali.

Il risultante F ed il momento risultante M rispetto al generico polo P delle

P

azioni aerodinamiche possono essere espressi nel modo più generale possibile

come integrali delle corrispondenti distribuzioni superficiali di sforzi e dei loro

momenti, secondo le formule Z

F = τ dA ,

Q Q

S

Z a (1)

M = τ × (P − Q) dA ,

P Q Q

S

a

dove τ rappresenta lo sforzo esercitato dall’aria sulle superfici del velivolo nel

Q

punto Q, punto materiale corrente d’integrazione, dA la superficie elementare

Q

relativa a tale punto. Questi integrali sono estesi alla superficie S , corrispon-

a

dente alla superficie ‘bagnata’ del velivolo (ossia la superficie esposta al contatto

1

con l’aria esterna), fatta salva la superficie pertinente agli organi propulsivi.

Adottando per l’aria il modello di fluido viscoso comprimibile, che risulta

molto generale tra i possibili modelli disponibili nella fluidodinamica dei mezzi

continui, si può mostrare che lo sforzo τ nel punto x è decomponibile secondo

x

l’espressione n t

τ = τ + τ , (2)

x x x

n

dove τ è normale alla superficie su cui si esercita lo sforzo (sforzo di com-

x t

pressione), mentre τ è ad essa tangente (sforzo di taglio). Assumendo inoltre

x

l’ipotesi di flusso traslatorio stazionario, si puó dimostrare che entrambi i com-

ponenti vettoriali normale e tangenziale dello sforzo τ dipendono dai valori

x

locali della velocità del flusso u , della viscosità µ , nonchè dal versore locale

x x

normale alla superficie e , mentre il solo sforzo normale dipende anche dalla

x n

pressione locale p :

x n n

τ = τ (u , p , µ , e ),

x x x x n

x x (3)

t t

τ = τ (u , µ , e ).

x x x n

x x

1 La superficie S pertinente agli organi propulsivi corrisponde a quella delle pale nei velivoli

p

propulsi a motoelica, alle superfici interne (condotti) ed esterne (prese d’aria e carenature se

montati su gondole) per i motori a getto.

2 LEGGI COSTITUTIVE GENERALI 5

Pertanto, si deduce che gli integrali nelle eq. 1 possono essere intesi come di-

pendenti da un valore di pressione di riferimento, da un valore di velocità di

riferimento, da un valore di viscosità di riferimento, da un valore di superficie di

riferimento e da opportune grandezze – che lasceremo qui indefinite – che tengo-

no conto della forma della superficie S , intendendo con ciò tanto la geometria

a

generale, quanto il grado di finitura superficiale locale:

F = F(u , p , µ , S , forma),

ref ref ref ref (4)

M = M (u , p , µ , S , forma).

P P ref ref ref ref

Per il velivolo, i valori di riferimento (u , p , µ ) sono assunti come quelli

ref ref ref

caratterizzanti il flusso d’aria indisturbato a monte del velivolo, tipicamente

indicati con (u , p , µ ). Inoltre, la superficie di riferimento S , nel caso di

∞ ∞ ∞ ref

un velivolo ad ala fissa, è generalmente assunta pari alla superficie nominale

2

dell’ala, tipicamente indicata con S.

Allo scopo di preparare gli sviluppi successivi, assumendo l’ipotesi di gas

perfetto per l’aria, è possibile sostituire la dipendenza dalla pressione con quella

dalla densità e dalla temperatura assoluta, essendo

p = ρ R ϑ , (5)

∞ ∞ a ∞ 2 2

dove R rappresenta la costante di gas perfetto dell’aria, pari a 287.05 m /K s .

a

Inoltre, sempre sotto l’ipotesi di gas perfetto per l’aria, è possibile far comparire

la velocità del suono al posto della temperatura assoluta, essendo

p

γ R ϑ , (6)

a = a a ∞

dove γ rappresenta il rapporto tra i calori specifici dell’aria a pressione costante

a

e a volume costante, pari a 1.4.

Risulta quindi che, indicando per brevità tanto F quanto M con A,

P

A = A(u , ρ , a , µ , S, forma). (7)

∞ ∞ ∞ ∞

Con questa forma funzionale generale, possiamo affrontare l’analisi dimensionale

per i risultanti delle azioni aerodinamiche.

2.2 Analisi dimensionale

Ottenuta la forma funzionale 7, il passo successivo consiste nel chiedersi quale

sia l’effettiva dipendenza dei risultanti delle azioni aerodinamiche dalle gran-

dezze evidenziate sopra. Un modo per rispondere a tale domanda è fornito dal

procedimento detto analisi dimensionale, che affrontiamo di seguito.

2 Si tratta della superficie in pianta dell’ala, inclusa la porzione che ‘attraversa’ la fusoliera.

Risulta pertanto sempre inferiore a metà della superficie bagnata del velivolo.

2 LEGGI COSTITUTIVE GENERALI 6

2.2.1 Teorema di Buckingham

Il procedimento di analisi dimensionale può essere visto come un’applicazione di

un potente strumento teorico noto come Teorema ‘Π’ o Teorema di Buckingham

(E. Buckingham, 1914), che trova il suo utilizzo nelle più diverse branche della

fisica.

Tale teorema asserisce che:

ogni equazione fisica, dipendente da n variabili fisiche {q } che siano

i

esprimibili in termini di k quantità fisiche fondamentali indipenden-

ti, é rappresentabile come funzione di (n − k) variabili adimensiona-

li {π } costruite moltiplicando fra loro combinazioni delle variabili

j

originali.

In altre parole, ogni equazione fisica del tipo

f (q , q , . . . , q ) = 0, (8)

1 2 n

può essere espressa nella forma

g(π , π , . . . , π ) = 0, (9)

1 2 n−k

essendo le variabili adimensionali {π } definite da equazioni del tipo

j

e e e

j1 j2

π = q q . . . q , j = 1, . . . , n − k, (10)

jn

j n

1 2

dove gli n (n − k) esponenti {e } sono delle costanti.

ji

In linea di principio, l’equazione 9 può essere esplicitata rispetto ad una delle

variabili adimensionali, ad esempio la prima, nella forma

π = ϕ(π , . . . , π ). (11)

1 2 n−k

Questo comporta quindi un legame tra le variabili fisiche che concorrono a for-

mare la variabile adimensionale π e le restanti variabili adimensionali {π } con

1 j

j = 2, . . . , n.

Un modo per determinare un insieme di variabili adimensionali tra tutti

quelli possibili consiste nel definirli come segue:

e

e e

j1 j2 jk

π = q q . . . q q , j = 1, . . . , n − k, (12)

j k+j

1 2 k

ossia mettendo in relazione biunivoca ciascun {π } con ciascun {q }. Questo

j k+j

corrisponde all’aver scelto quali quantità fisiche fondamentali le prime k variabili

fisiche {q } con j = 1, . . . , k, il che consente quindi di esprimere attraverso queste

j

quantità le (n − k) variabili rimanenti {q } con j = k + 1, . . . , n. Notiamo che

j

le equazioni 12 comportano che gli esponenti devono soddisfare il requisito di

consistenza dimensionale, ossia che

e e e [q ] = [π ] ≡ [1], j = 1, . . . , n − k, (13)

[q ] [q ] . . . [q ]

j1 j2 jk k+j j

1 2 k

avendo indicato con [•] la dimensione della grandezza •. Pertanto, da ognuna

delle equazioni 13 è possibile, sostituendo ad ogni termine [q ] il suo valore

i

2 LEGGI COSTITUTIVE GENERALI 7

dimensionale, ottenere k equazioni per i k esponenti che vi compaiono, ottenendo

cosı̀ la definizione completa di ogni variabile adimensionale.

Il Teorema di Buckingham fornisce quindi un modo per calcolare le varia-

bili adimensionali (spesso detti numeri caratteristici) che governano un certo

fenomeno, nonostante la forma dell’equazione fisica non sia nota a priori. Ciò

fornisce agli sperimentatori una notevole conoscenza preliminare di un dato

fenomeno di cui si vuole determinare l’equazione che lo governa.

Due sistemi fisici che siano caratterizzati dagli stessi numeri adimensionali

sono detti simili o in similitudine. Essi risultano dunque equivalenti dal punto

di vista dell’equazione che li governa. Questa circostanza ha un rilievo enorme

in tutte le branche della fisica, tanto dal punto di vista teorico, quanto da quello

sperimentale.

2.2.2 Vento relativo

Prima di sviluppare l’analisi dimensionale per i risultanti delle azioni aerodi-

namiche, premettiamo che la velocità del flusso d’aria indisturbato rispetto al

velivolo è pari all’opposto della velocità di volo del velivolo,

u ≡ −V, (14)

pertanto scriviamo A = A(V, ρ, a, µ, S, forma), (15)

intendendo d’ora in poi che (ρ, a, µ) rappresentino i valori di densità, velocità

del suono e viscosità corrispondenti alla quota di volo, omettendo il pedice .

Inoltre, a partire da principi fondamentali quali l’invarianza delle leggi costi-

tutive rispetto al sistema di riferimento, si può dimostrare quello che l’esperienza

permette di comprendere con una certa semplicità:

con riferimento alla velocità di volo, i risultanti delle azioni aero-

dinamiche dipendono esclusivamente dal vento relativo, ossia dalle

componenti della velocità di volo rispetto agli assi di un riferimento

solidale.

Ciò comporta, ad esempio, che le forze generate su un corpo fermo immerso

in una corrente (come accade in una galleria del vento) siano le stesse che si

generano sullo stesso corpo in moto in una corrente in quiete, a parità di moto

relativo.

Pertanto, la dipendenza dalla velocità di volo V può essere esplicitata nella

dipendenza dalle sue coordinate cartesiane (u, v, w) oppure sferiche (V, α, β)

rispetto al sistema di riferimento solidale. Propendiamo qui per la seconda

possibilità, ottenendo A = A(V, α, β, ρ, a, µ, S, forma). (16)

In questo modo, nel seguito sarà agevole distinguere l’effetto dell’intensità della

velocità (rappresentata dal suo modulo V ) da quello della sua orientazione re-

lativa al velivolo (rappresentata dagli angoli aerodinamici, ossia incidenza α e

deriva β).

2 LEGGI COSTITUTIVE GENERALI 8

2.2.3 Caratterizzazione delle dipendenze

Il procedimento dell’analisi dimensionale per i risultanti delle azioni aerodina-

miche consiste nell’applicare il teorema di Buckingham alle singole componen-

ti scalari, oppure al modulo A := kAk, della grandezza espressa attraverso

l’equazione 16. Consideriamo dunque la grandezza

A = A(V, α, β, ρ, a, µ, S, forma), (17)

e notiamo che (α, β) sono grandezze adimensionali, mentre con ‘forma’ si può

intendere un numero, qui imprecisato, di variabili adimensionali che caratte-

rizzano le proporzioni del velivolo attraverso rapporti tra grandezze omogenee

(lunghezze, superfici, volumi). Pertanto, l’insieme delle variabili (α, β, forma) è

costituito da numeri adimensionali indipendenti tra loro determinati a priori,

che possiamo escludere dal procedimento seguente. Infatti, consideriamo

• le variabili fisiche {q } date da {A, V, ρ, a, µ, S} e quindi n = 6;

i

• le quantità fisiche fondamentali date da {massa M, lunghezza L, tempo T }

e quindi k = 3 (infatti le dimensioni delle variabili fisiche citate sopra sono

tutte ottenibili con combinazioni opportune di queste tre quantità);

• i numeri adimensionali {π } in numero quindi di n − k = 3.

j

È quindi possibile assumere che vi sia una relazione

g(π , π , π , α, β, forma) = 0, (18)

1 2 3

ovvero che si abbia π = ϕ(π , π , α, β, forma). (19)

1 2 3

Per determinare le tre variabili adimensionali (π , π , π ), scegliamo le tre va-

1 2 3

riabili fisiche (ρ, V, S) quali indipendenti e quindi scriviamo quindi le variabili

adimensionali come segue e e e

π = ρ V S A,

1ρ 1V 1S

1 e e e

π = ρ V S a, (20)

2ρ 2V 2S

2 e e e

π = ρ V S µ,

3ρ 3V 3S

3

facendo corrispondere le tre variabili adimensionali alle variabili fisiche (A, a, µ).

Deve quindi essere e e e

[ρ] [V ] [S] [A] = [1],

1ρ 1V 1S

e e e

[ρ] [V ] [S] [a] = [1], (21)

2ρ 2V 2S

e e e

[ρ] [V ] [S] [µ] = [1].

3ρ 3V 3S

Dato che le dimensioni di densità, velocità di volo, superficie, velocità del suo-

−3 −1 2 −1

no, viscosità sono date rispettivamente da (M L ), (L T ), (L ), (L T ),

−1 −1 m −2

(M L T ), mentre per A abbiamo (M L T ) con m = 1, 2 a seconda che

2 LEGGI COSTITUTIVE GENERALI 9

si consideri il risultante o il momento risultante delle azioni aerodinamiche,

otteniamo −3 e −1 e 2 e m −2

(M L ) (L T ) (L ) (M L T ) = 1,

1ρ 1V 1S

−3 e −1 e 2 e −1 (22)

(M L ) (L T ) (L ) (L T ) = 1,

2ρ 2V 2S

−3 e −1 e 2 e −1 −1

(M L ) (L T ) (L ) (M L T ) = 1.

3ρ 3V 3S

Perchè vi sia consistenza dal punto di vista dimensionale, la somma degli espo-

nenti risultanti per ciascuna quantità (M, L, T ) deve annullarsi; abbiamo quindi

e + 1 = 0,

−3 e + e + 2 e + m = 0, (23)

1ρ 1V 1S

−e − 2 = 0,

1V

per π ,

1 e = 0,

−3 e + e + 2 e + 1 = 0, (24)

2ρ 2V 2S

−e − 1 = 0,

2V

per π , ed infine

2 e + 1 = 0,

−3 e + e + 2 e − 1 = 0, (25)

3ρ 3V 3S

−e − 1 = 0,

3V

per π . Risolvendo, si trovano i valori

3 e = −1, e = −2, e = −(m + 1)/2,

1ρ 1V 1S

e = 0, e = −1, e = 0, (26)

2ρ 2V 2S

e = −1, e = −1, e = −1/2,

3ρ 3V 3S

e quindi le variabili adimensionali risultano date da

A a µ

π = , π = , π = . (27)

1 2 3

m+1 V ρV S

2

ρV S 2

Naturalmente, è possibile sostituire le variabili adimensionali appena determi-

nate con loro inversi e/o multipli. In effetti, nel caso presente hanno particolare

rilievo il numero di Mach di volo, V , (28)

M := a

pari quindi all’inverso di π , ed il numero di Reynolds di volo,

2 ρV L

Re := , (29)

µ

2 LEGGI COSTITUTIVE GENERALI 10

pari all’inverso di π a meno della moltiplicazione per la costante L/ S, dove

3

L è una lunghezza di riferimento opportuna. Inoltre, definiamo coefficiente

adimensionale corrispondente ad A la grandezza

A

C := , (30)

A 2 m−1

q V S l

d

avendo fatto comparire la pressione dinamica di volo q , definita come

d

1 2

ρ V , (31)

q :=

d 2 3

ed avendo introdotto un’opportuna lunghezza di riferimento l. Si vede quindi

√ m−1

che C é pari a π moltiplicato per la costante 2 ( S/l) . A questo punto,

A 1

possiamo invertire l’equazione 30 scrivendo

2 m−1

A = q V S l C , (32)

d A

e, data l’equazione 19, la dipendenza di π da (π , π , α, β, forma) equivale alla

1 2 3

dipendenza di C da (M, Re, α, β, forma), per cui

A 2 m−1

A = q V S l C (α, β, M, Re, forma). (33)

d A

Quest’ultima espressione consente la definizione delle equazioni costitutive ge-

nerali per le azioni aerodinamiche, attraverso i loro coefficienti adimensionali,

un risultato assolutamente fondamentale per l’intero sviluppo dell’aeronautica.

2.2.4 Coefficienti adimensionali di forza e momento

Tornando ora esplicitamente al risultante F ed al momento risultante M delle

P

azioni aerodinamiche, al posto della grandezza generica A, abbiamo

F

C := ,

F 2

q V S

d (34)

M

P

C := ,

M 2

P q V S l

d

attraverso cui possiamo scrivere le equazioni

F = q SC (α, β, M, Re, forma),

d F (35)

M = q S l C (α, β, M, Re, forma).

P d M P

Come si vede, secondo l’analisi appena svolta, i risultanti delle azioni aero-

dinamiche risultano proporzionali al prodotto della pressione dinamica per la

3 Le lunghezze di riferimento L e l usate nelle definizioni di Re e C sono tipicamente

A

dettate da convenzioni e consuetudini, e possono quindi essere diverse fra loro. Come si vedrà

in seguito, nel caso che A rappresenti un momento di beccheggio, la lunghezza l è assunta

pari alla corda media aerodinamica, mentre se si tratta di un momento di rollio o d’imbardata

all’apertura alare.


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Meccanica del volo del Prof. Marco Borri, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: forze aerodinamiche; leggi costitutive generali; Teorema di Buckingham; vento relativo; effetti del numero di Mach e regimi di volo; effetti del numero di Raynolds; aerodinamica del profilo alare; aerodinamica dell'ala; aerodinamica del veivolo.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
Docente: Borri Marco
A.A.: 2008-2009

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccanica del volo e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Borri Marco.

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