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30 2.III. PROBABILITÀ CONDIZIONALE

Ecco un buon esempio di uso della (2.28) (tratto da [GM99])

Esempio 2.29 Si vuole provare sperimentalmente la efficacia di un nuovo esame medico, che

M;

serve a capire se un individuo soffre di una malattia questo esame produce solo due risul-

m

tati, “malato” (o “positivo”) che indichiamo con e “sano” (o “negativo”) che indichiamo

s: T , T

con definiamo quindi gli eventi (disgiunti) . Dalla sperimentazione clinica, effettua-

m s

S M,

ta su soggetti comprovatamente sani e su soggetti comprovatamente malati si possono

ricavare le probabilità P P

|S), |M)

(T (T

i i

∈ {s,

T i m})

che il test dia un risultato (con se applicato su un individuo sano o malato; il

i

nostro interesse è però nelle probabilità

P P P

(S|T ), e (M|T ) = 1 (S|T )

i i i

che un individuo sia sano o malato, a seconda del risultato del test. Ci viene in aiuto la formula

di Bayes (2.28): infatti P P

|S)

(T (S)

P i

(S|T ) = P P P P

i |S) |M)

(T (S) + (T (M)

i i

P P

|M)

(T (M)

P i

(M|T ) = P P P P

i |M) |S)

(T (M) + (T (S)

i i

P (M) di persone malate nel mondo (o

che possiamo applicare, quando sia nota la percentuale

nella regione di interesse).

Nota 2.30 (sulla decisione) Supponiamo di voler stimare una quantità ignota, e di dover

prendere una decisione riguardo a questa quantità, usando solo probabilità condizionali, cioè

informazioni sui rapporti causa–effetto; come visto prima, la formula di Bayes ci dovrebbe

venire in aiuto; vedremo ora però due casi in cui questo non è vero.

P P

def def

|S) |M)

e = (T e = (T

Ci riferiamo all’ esempio precedente; siano e le probabilità di

p m n s

errore dei test (dato il soggetto), sugli individui sani e malati, cioè le probabilità di “falsi posi-

P (M)

p = la percentuale di individui malati; allora le probabilità

tivi” e “falsi negativi”; sia m

che un test, visto il risultato, abbia dato il risultato giusto, sono

− −

(1 e )(1 p )

P p m

(S|T ) =

s − −

(1 e )(1 p ) + e p

p m n m

(1 e )p

P n m

(M|T ) =

m − −

(1 e )p + e (1 p )

n m p m

e , e 1/2;

Possiamo ragionevolmente supporre che siano piccoli, e sicuramente minori di nei

p n p

grafici 2.30 a fronte, vediamo l’ effetto che la percentuale ha sulla bontà dei test, per i valori

m

(e , e ) che siano

p n

0.01, 0.01 (il test è molto valido),

0.01, 0.2 (il test sbaglia poco nel giudicare un individuo sano, ma sbaglia spesso a giudicare i

malati),

Estratto da “Probabilità e Informazione”, di A. Mennucci e S. K. Mitter,

2a versione, anno 2008, edizioni Scuola Normale Superiore (tutti i diritti riservati)


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AUTORE

Jacko

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di Matematica
SSD:
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Jacko di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Elementi di Probabilità e Statistica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Normale di Pisa - Sns o del prof Mennucci Andrea.

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