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Questo appunto tratta le forme quadratiche, come sviluppati nel corso di lezioni di Algebra delle Matrici tenute dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico i temi trattati sono: condizioni di necessità matrici quadratiche, matrici definite positive e negative, fattorizzazione... Vedi di più

Esame di Algebra delle matrici docente Prof. F. Carlucci

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Modulo IV – Algebra delle matrici

det( ’ ) 0 (1.8.2)

X X

oppure l’altra n>k, r( ) = k (1.8.3)

X

sono equivalenti alla terza seguente

’ definita positiva (1.8.4)

X X

Infatti, se valgono la (1.8.2) oppure la (1.8.3) la matrice è di rango massimo k<n e

X

’ è definita positiva per il teorema 1.7. Se, viceversa, vale la (1.8.4), per il

X X

teorema 1.6 il determinante di ’ è diverso da zero e vale la (1.8.2) oppure la

X X

(1.8.3). Osservazione 1.7 - L'ipotesi che nella forma quadratica la matrice

v′Av

sia simmetrica non è restrittiva: infatti, se non lo fosse, ci si potrebbe

A

ricondurre al caso simmetrico considerando che

= + =

v′Av v′Av/2 v′ A′v/2 v′(A+A′)v/2

e che è una matrice simmetrica.

A+A′

Teorema 1.9 - Se è una matrice quadrata di ordine definita positiva e se è una

A n B

matrice di ordine , , con , allora la matrice è definita positiva.

m×n m≤n r(B)=m BAB′

Teorema 1.10 - Se è una matrice simmetrica e definita positiva, esiste una matrice

A

non singolare tale che

P = (1.8.5)

A PP′

La (1.8.2) esprime la fattorizzazione di nel prodotto di per la sua trasposta.

A P

Per calcolarla si ricordi che alla matrice , essendo simmetrica, può essere

A

diagonalizzata applicando la (1.7.8), per cui possiamo scrivere

Λ

X'AX = Λ

dove è la matrice ortogonale contenente gli autovettori normalizzati di e la

X n A

matrice diagonale dei suoi autovalori. Per l’ortogonalità di abbiamo, applicando

X

la (1.3.9) Λ

A = X X' Λ

Ma per il teorema 1.8 tutti gli elementi diagonali di sono positivi, e quindi questa

matrice può essere a sua volta fattorizzata come

   

λ λ λ

     

1 1 1 1 1

  = = Λ Λ

O O O

    2 2

     

 

λ λ λ

     

n n n 1-25


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratta le forme quadratiche, come sviluppati nel corso di lezioni di Algebra delle Matrici tenute dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico i temi trattati sono: condizioni di necessità matrici quadratiche, matrici definite positive e negative, fattorizzazione di A nel prodotto di P per la sua trasposta, Matrici idempotenti.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra delle matrici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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