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Pressione degli elettroni degeneri

5 / 3

 

ρ

5 / 3

 

Z 1

 

≈ ⋅ 2  

P 0 . 05 h  

 

A m m

 

p e

Le caratteristiche principali della pressione degli elettroni degeneri:

Non dipende dalla temperatura

• Una stella degenere può sostenersi senza riscaldarsi ulteriormente

Può raffreddarsi fino a raggiungere l'equilibrio termodinamico

con l'esterno, senza collassare

Dipende dall'inverso della massa della particella (1/m )

e

degeneri (non dai nuclei)

• Il maggior contributo viene dagli elettroni

Infatti la densità degli stati quantici aumenta con la massa della particella:

3 / 2 Collasso:

π

 

2

4 m kT

≈   ∝ Gli elettroni sono le prime

3 / 2

e

n ( m )

 

Q e

2

h

  particelle che introducono

pressione degenere

ρ

5/3

Dipende dalla densità come

ρ e T basse pressione termica piccola

• Per alte ( ) si possono avere

stelle completamente degeneri (nane bianche)

Pressione degli elettroni degeneri

Esempio. Gli elettroni nel Sole sono degeneri?

Densità di stati quantici: densità alla quale Come si paragona alla densità degli elettroni

la degenerazione diventa importante liberi nella stella? ρ

ρ

3 / 2

π Z

 

2 ≈

4 m kT 0.5

≈ n

 

e

n   e m

A m

Q 2

h

  p

p

Nucleo solare: He

Se n > n il gas sarà degenere

e Q Al centro

Valori medi ρ −

ρ ≈

≈ 3

3 150 g cm

1

. 4 g cm = ×

= × 7

6 T 1 . 5 10 K

T 4

. 5 10 K −

≈ × 25 3

≈ × n 4 . 6 10 cm

23 3

n 4 .

2 10 cm e

e −

≈ × 26 3

≈ × n 1

. 4 10 cm

25 3

n 2

. 3 10 cm Q

Q ≈ ≈

n 55 n n 3

n

Q e Q e

Gas non degenere Gas non degenere

(ma effetto non trascurabile)

Stella in contrazione

Temperatura e densità determinano il tipo di pressione

o degenere) che domina nella stella

(idrostatica

Qual è il contributo dei due tipi di pressione in una stella in contrazione?

Equazione dell’equilibrio idrostatico (stella non degenere):

dP GM ( r ) ρ

=− ( r )

2

dr r 2

GM GM

ρ

≈ < > ≈

Pressione al centro: P

4

R R

Equazione di stato per un gas perfetto:

ρ

∝ ⋅

P T

Quindi si ha: 2 3 1 / 3 2 / 3

P GM R M M

M

∝ ≈ = ρ

= ∝ 2 / 3 1 / 3

T G

G M

ρ

gas perfetto 4

R M R

R

2 1 ρ

= + +

log log log

T M C

gas perfetto 1

3 3

Stella in contrazione

Gas perfetto Gas degenere

2 1 ρ

= + + Densità degli stati quantici:

log T log M log C

gas perfetto 1

3 3 3 / 2

π

 

2 m kT

4

≈  

e

n

Stato del gas in funzione della densità  

Q 2

h

 

e della temperatura ρ

∝ 2/3

T

gas degenere 2 ρ

= +

log T log C

gas degenere 2

3

Una stella di una certa

massa M in contrazione

(ρ crescente)

evolverà seguendo una

retta (di pendenza 1/3)

nella direzione di

log(T) e log(ρ)

crescenti.

Pressione degli elettroni degeneri

Partendo da una condizione di non degenerazione la retta che segna

l'evoluzione del collasso è destinata ad incontrare il limite di degenerazione

In assenza di nuove reazioni nucleari ogni stella è

destinata a diventare degenere 2 1 ρ

= + +

log T log M log C

gas perfetto 1

3 3

log T 2 ρ

= +

D log log

T C

gas degenere 2

3

• La T a cui la stella diventa

D

degenere (intersezione delle

2/3

due rette) dipende da M

• Una volta raggiunta la soglia di

degenerazione, il collasso si

blocca (ρ = cost)

2 / 3

log M • L'evoluzione successiva passa

(gradualmente) a un lento

C2. raffreddamento fino

=

Cost all’equilibrio

Pressione degli elettroni degeneri

Le “stelle” di massa inferiore a un certo limite diventano degeneri prima di

accendere le reazioni nucleari e si raffreddano indefinitamente

• Questo processo determina la massa minima di una stella

• Si calcola che:

M 0 .

1

M

min Sun

• Al di sotto di questo limite:

“Brown dwarfs”

≈ 7

T 10 K

D Candidati per materia oscura

Grandi pianeti gassosi

(Giove) possono rientrare in

questa categoria

2 / 3

log M C2.

=

Cost Pressione degli elettroni degeneri

Caso non relativistico

p

h ≈

∆ ≈ ⋅ <<

x

1 / 3 v

p n ( v c )

π x

x e x

m

2 e

2/3

  2 2

1 3 h h

= ≈

5/3 5/3

P n 0.05 n

 

π Non relativistico

e e

 

5 8 m m

e e

Caso relativistico

∆p

• Se la densità degli elettroni è molto alta, può diventare relativistico.

x

La velocità degli elettroni degeneri si avvicina a quella della luce (non può

più crescere!)

• Nel caso relativistico si ottiene:

1/3

 

1 3

= ≈

4/3 4/3

0.123

P hcn hcn

 

π e e

 

4 8 Ultra-relativistico

• La dipendenza dalla densità elettronica è secondo una potenza

inferiore al caso non-relativistico.

Massa di Chandrasekhar

1/3

 

1 3

= ρ

4/3 4 / 3

P hcn

 

π

deg,rel e

 

4 8

Relazione tra pressione, massa e raggio nel caso di equilibrio idrostatico:

2

GM

pressione interna necessaria = ≈

P P

a sostenere la stella eq idro 4

R

Esprimo questa relazione in funzione della densità:

1 / 3

M

M ρ

ρ ρ

=

∝ ∝

2 / 3 4 / 3 2 / 3

M

P M

eq R

R

La relazione tra pressione di equilibrio idrostatico e densità è la stessa

che nel caso della pressione degli elettroni degeneri relativistici.

P ρ

eq 0 0 2/3

( )(

T )( M )

P

deg,rel

Il rapporto tra la pressione necessaria per sostenere una stella e quella

disponibile da parte degli elettroni degeneri relativistici:

- non dipende dalla temperatura

- non dipende dalla densità

cresce con la massa

Massa di Chandrasekhar

P ∝

eq 2/3

M

P

deg,rel finché la pressione degenere è maggiore di

quella di equilibrio, la stella si mantiene

Per masse grandi si può arrivare al punto in cui la

pressione che possono fornire gli elettroni degeneri è

minore di quella necessaria per sostenere la stella

<

P P

deg,rel eq

Anche la pressione degli elettroni degeneri non è più sufficiente a mantenere

la stella in equilibrio

La stella collassa gravitazionalmente

La massa a cui questo accade è detta massa di Chandrasekhar

M 1.44 M

Ch ⊙


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Astronomia del Prof. Marco Bersanelli, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: la pressione degli elettroni degeneri; condizione della stella in contrazione; massa di Chandrasekhar; pressione di radiazione e fase di sequenza principale dell'evoluzione delle stelle.


DETTAGLI
Esame: Astronomia
Corso di laurea: Corso di laurea in fisica
SSD:
Università: Milano - Unimi
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Astronomia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Milano - Unimi o del prof Bersanelli Marco.

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