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in partic.: f(x)dx + g(y)dy = 0

dy

es.: y' = y = y

dx

dy = dx

y

log(y) = x + c

x

y = c e

dy

2

y' = xy = xdx

2

y

1 1 2

− = +

x c

y 2 −

2

y = 2 +

x c

−2/c −2

y(0) = 1: 1 = c =

y(0) = 0: y(x) = 0

dy

dy ⇒

= f(x)g(y) = f(x)dx

g ( y )

dx ≠

se g(y) 0! (data y(x ) = a , se g(a ) = 0 y(x) = a è soluzione)

0 0 0 0

y' = f(x)y + g(x) F'(x) = f(x)

exp(−F(x))(y' f(x)y) = exp(−F(x))g(x)

(y exp(−F(x)))' = exp(−F(x))g(x)

∫e −

F(x)

y exp(−F(x)) = g(x)dx + c

F(x) F(x)

y = e (∫e g(x)dx + c)

−x

3

es.: y' + y = x F(x) = − x x 3

y = e (∫e x dx + c)

∫e −

x 3 x 3 x 2

x dx = e x 3∫e x dx

∫e −

x 2 x 2 x

x dx = e x 2∫e xdx

∫e − ∫e −

x x x x x

xdx = e x dx = e x e

−3e − −

− −

x x 3 x 2 x x 3 2 x

y = e (e x x +6e x−6e +c) = x 3x + 6x 6 + ce

⇔ − 1

y(1) = 2 1−3+6−6+ce = 2 c = 4e

⇔ ∃

f(x, y)dx + g(x, y)dy = 0 è esatta F(x, y) dF = F dx + F dy = fdx + gdy

x y

F = 0 F(x, y) = c

----------------------

∀x ⇒ ⇔ ⇔

F(x, y(x)) = c F + F y' = 0 F dx + F dy = 0 fdx + gdy = 0

x y x y

---------------

⇔ ⇔ ⇔

fdx + gdy = 0 f + gy' = 0 F + F y' = (F(x, y(x)))' = 0 F(x, y) = c

x y

---------------- ⇔

f(x, y)dx + g(x, y)dy = 0 è esatta f = g

y x

(F = F !)

xy yx

x y

∫ ∫

F = +

f ( t , y ) dt g ( a , t ) dt

a b

x y

F = ∫ ∫

+

f ( t , b ) dt g ( x , t ) dt

a b

2

es.: 2xydx + (x +1)dy = 0 f = 2x g = 2x

y x

x y x

∫ ∫ 2

F = = y = yx + y

+ y

2 tydt dt 2 +

t t 0

0 0 0

2

yx + y = c

2

y = c/(x +1)

f(x, y', y") = 0

y' = z: f(x, z, z') = 0

x

z = z(x, c ) y = + c

∫ z ( t , c ) dt

1 2

1

a

− − 2

es.: xy" + y' 4x 9x = 0

− − 2

y' = z: xz' + z 4x 9x = 0

− − 2

xdz + (z 4x 9x )dx = 0 x y

(fdx + gdy = 0; f = g ; F = )

∫ ∫

+

f ( t , y ) dt g ( a , t ) dt

y x a b

f = 1= g

x z

z x z x − −

2

∫ ∫ ∫ ∫ 2 3

F = = = xz 2x 3x

+ + − −

f ( t , x ) dt g ( 0

, t ) dt xdt ( 4 t 9 t ) dt

0 0 0 0

− −

2 3

xz 2x 3x = c 1

c

1 2

z = + 2x + 3x = y'

x

c

∫( 1 2 2 3

y = + 2x + 3x )dx = c log(x) + x + x + c

1 2

x f(y, y', y") = 0

y' = z(y) ∂ ∂

∂ ∂ ∂

2 z y

y y ' z ( y )

y" = = = = z'y' = zz'

= = ∂ ∂

∂ ∂ y x

∂ 2 x x

x f(y, z, z') = 0

dy

z = z(y, c ) =

1 dx

dy

∫ = x + c

2

z ( y , c )

1

2

es.: yy" + (y') = 0 y' = z y" = zz'

2

yzz' + z = 0

(tolto z = 0, ossia y = k): yz' + z = 0

dz dy

− =−

ydz = zdy z y

log(z) = log(y) + k

log(yz) = k

yz = c 1

ydy = c dx

1

1 2

y = c x + c

1 2

2 ± +

y = h x h

1 2

 ( n ) ( nm ) =

1

f ( x , y ,..., y ,..., y 0

1 1 1 m

 m equazioni nelle m incognite y (x),....., y (x)

.....................

 1 m

 ( n ) ( nm ) =

1

f ( x , y ,..., y ,..., y 0

 m 1 1 m −

 −

( n ) ( n 1

) ( nm 1

)

=

1 1

y g (..., y ,..., y )

1 1 1 m

In forma normale: ......................

 − −

( n 1

)

( nm ) ( nm 1

)

= 1

y g (..., y ,..., y )

 m m 1 m

Se n = r, il sistema equivale ad uno di r equazioni di ordine 1 in r incognite,

j

eventualmente normale (e allora, un problema di Cauchy ammette 1! soluzione)

=

 y ' z

f(x,y,y',y") = 0 (r = 2)  =

f ( x , y , z , z ' ) 0

----------------------- =

 y ' t

= =

 f ( x , y , y ', y ", z , z ', z

") 0 z ' w

(r = 4)

 

= =

f ( x , y , t , t ' , z , w , w ' ) 0

g ( x , y , y ', y ", z , z ', z

") 0

 

 =

g ( x , y , t , t ' , z , w , w ' ) 0

e.d.o. lineare: −

(n) (n 1)

p (x)y + p (x)y + ... + p (x)y' + p (x)y = q(x)

0 1 n−1 n

(n) (n 1)

caso normale: y = a (x)y + ... + a (x)y' +a (x)y + r(x)

1 n−1 n

α α α

(n 1)

probl. di Cauchy: y(x ) = ; y'(x ) = ; ...; y (x ) =

0 0 0 1 0 n−1

ammette 1! sol. y(x) definita in R

(n) (n 1)

equaz. omogenea associata: p (x)y + p (x)y + ... + p (x)y' + p (x)y = 0

0 1 n−1 n

L'integrale generale della lineare è dato dalla somma di un suo integrale qualunque

con l'integrale generale dell'omogenea associata

Ogni c.l. (a coeff. costanti) di integrali d'un'omogenea, è ancora un integrale:

c y (x) + c y (x) + ... + c y (x)

1 1 2 2 k k

Wronskiano di y (x), y (x), ... ,y (x):

1 2 n

y ( x ) y ( x ) ... y ( x )

1 2 n

y ' y ' ... y '

1 2 n

W(x) = ... ... ... ...

− − −

( n 1

) ( n 1

) ( n 1

)

y y ... y

1 2 n

è identicamente zero, o non si annulla mai: e allora abbiamo un sistema fondamentale

d'integrali. Ogni integrale si ottiene per loro c.l. (a coeff. costanti):


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AUTORE

Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Lucido della lezione di Matematica Generale del prof. Cacciafesta su: equazioni differenziali ordinarie di ordine n (dove cioè l'incognita è y(x), espresse in forma normale), integrale generale, (anche noto come integrale singolare o particolare), problema di Cauchy, determinante Wronksiano (sistema fondamentale di integrali).


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in economia e management
SSD:
A.A.: 2006-2007

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Tor Vergata - Uniroma2 o del prof Cacciafesta Fabrizio.

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