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φ

Il flusso ' corrispondente alle nuove condizioni di criticità sarà in generale diverso

φ

da , a parte un fattore di normalizzazione che in questa sede non interessa. Si può

δB

anche supporre che, in ogni caso, tale diversità sia da imputarsi alla perturbazione

δB

dato che la perturbazione ha il solo effetto di amplificare, o ridurre. l'intensità

ν

della sorgente (di fissione) e non quella di modificare la forma stessa della

φ

distribuzione neutronica. L'equazione che regge il flusso ' risulterà, con notazione

vettoriale: φ

(B+δB+δB )φ

' = 0 .

ν φ φ

*T T

Moltiplicando a sinistra questa equazione per e la (14.45) per ' , integrando

entrambe su tutto il volume e sottraendo la seconda dalla prima si ricava:

∫ ∫ ∫

φ φ φ φ φ φ

− + δ + δ =

*

T T * * *

T (14.48)

B ' d ' B d ( B B ) ' d 0

r r r

ν

sist sist sist

avendo indicato con l'apice T il vettore trasposto. Vediamo come i primi due termini

al primo membro si elidano a vicenda. Se gli elementi dell'operatore fossero delle

costanti, la dimostrazione sarebbe immediata e ricondotta alle proprietà elementari

delle matrici. Ci limiteremo quindi a dimostrare l'eguaglianza

∫ ∫

φ ∇ φ = φ ∇ φ

* 2 2 *

d

r d r (14.49)

j j

j j

sist sist

Ricordando l'identità:

div ab = grad a · b + a div b

dove a e b rappresentano rispettivamente uno scalare ed un vettore. Ricordando che

φ =

∇ *

2 =divgrad, e ponendo a= e b gradφ si potrà scrivere,

j j

∫ ∫ ∫

φ ∇ φ = φ φ − φ φ

*j 2 *j *j

d

r div ( grad ) d r grad · grad d

r (14.50)

j j j

sist sist sist

Il primo integrale al secondo membro svanisce. Infatti, in base al noto teorema di

Gauss, si ha:

∫ ∫

φ φ = φ φ σ

*j *j

div ( grad ) d

r grad · n

d

j j

sist sup 6

dove n rappresenta il versore normale alla superficie esterna corrispondente all'areola

dσ. Poiche il flusso aggiunto, oltre che quello reale, in base alla teoria della

diffusione, è zero al contorno, tale integrale risulta nullo. Si ha quindi:

∫ ∫

φ ∇ φ = − φ φ

*j 2 *j (14.51)

d

r grad · grad d

r

j j

sist sist

Se scambiamo il flusso reale con quello aggiunto nella (14.50), potremo ricavare una

relazione analoga alla (14.51). Si otterrà così:

∫ ∫

φ ∇ φ = − φ φ

2 *j *j (14.52)

d

r grad · grad d

r

j j

sist sist

L'eguaglianza dei secondi membri delle (14.51) e (14.52) dimostra la validità

dell'eguaglianza (14.49).

Dall'equazione (14.49), ricordando la (14.46) e la (14.47), si potrà in definitiva

scrivere: ∫ φ δ φ

*

T B ' d

r

δ

K =

eff sist

K φ φ

*

T F

' ' d

r

eff sist

che rappresenta l'espressione perturbativa cercata. Per arrivare ad essa non è stata

1

introdotta alcuna approssimazione sui flussi . Poiché in casi pratici la perturbazione

δB è piccola, vengono trascurati effetti del secondo ordine per cui la (14.53) si riduce

all'espressione più comunemente usata:

∫ φ δ φ

*

T r

B d

δ

K =

eff sist (14.53)

K φ φ

*

T F d

r

eff sist

Avendo calcolato quindi una volta per tutte i flussi reale ed aggiunto per un

determinato sistema, mediante la (14.53) si è in grado di calcolare qualsiasi effetto di

δB.

reattività corrispondente alla perturbazione

Tra gli effetti di reattività di importanza particolare, ricordiamo il coefficiente di

vuoto del refrigerante e il coefficiente Döppler, che verranno discussi nel seguito.

1 A parte l'aver assunto l'approssimazione della diffusione multigruppo. Tuttavia si potrebbe

ricavare una formulazione analoga alla (14.43) in teoria del trasporto, con l'avvertenza di sostituire

.

l'operatore B con quello di Boltzmann 7

Analisi degli effetti di reattività

Per descrivere gli effetti di reattività corrispondenti ai vari materiali che interessano i

δB

reattori, consideriamo la (14.53). Assumiamo che la perturbazione corrisponda

alla introduzione (o sottrazione) di una certa quantità di un materiale (m) in una zona

più o meno vasta del reattore. A tale perturbazione corrisponderanno determinate

δΣ

variazioni delle sezioni d'urto macroscopiche.

Consideriamo le parti componenti della espressione (14.53). Esse saranno relative, in

generale, ai processi di fuga (leakage), di assorbimento (parassitico), di fissione e di

rallentamento (elastico ed inelastico). Tali processi saranno rappresentati,

rispettivamente, dai termini (in approssimazione della diffusione):

N

∑∫

1

∆ = − δ φ φ *j

m D grad grad d r (14.54a)

l j j

T sist

=

j 1

N

∑∫

1

∆ = − δ

Σ φ φ

ma *j d

r (14.54b)

a , j j

T sist

=

j 1  

N N

∑∫ ∑

 

1

∆ = δ

Σ φ ν χ φ − φ

mf *i *j (14.54c)

d r

 

f , j j j i

T  

sist

= =

j 1 i 1

 

N

N

∑∫ ∑

 

1

∆ = δ

Σ φ φ − φ

mr *i *j (14.54d)

( ) d

r

 

s , j i j

T  

sist

= =

i 1

j 1

dove ∫

= φ φ

*

T F d

r

sist ∆

e dove nel ricavare il termine si è fatto uso della relazione (14.52).

l

A seconda che prevalga l'uno o l'altro di questi termini, si avranno effetti diversi e di

diverso segno. Esaminiamo in maggior dettaglio i singoli termini.

Il termine , relativo alle fughe, risulta generalmente positivo, in concordanza con il

l

fatto che un'aggiunta di materiale in una data zona (cui corrisponderà una variazione

δD negativa) diminuisce generalmente la probabilità che i neutroni escano dal

8

sistema. Ciò si può anche dedurre dall'andamento spaziale prevalentemente

concordante, per quanto riguarda il segno del gradiente, dei flussi reali ed aggiunto.

∆ ∆

ma mf

Per quanto riguarda il termine di assorbimento (parassitico) e quello di

fissione, essi risultano ovviamente di segno negativo e positivo, rispettivamente.

mr

Per quanto riguarda infine il termine di rimozione , notiamo come il segno di

φ − φ

*i *j

questo contributo sia legato al segno della differenza ( ) nella zona perturbata.

Nella figura 4 viene indicato qualitativamente un andamento tipico della funzione

importanza di un reattore veloce di grandi dimensioni. Per confronto, viene anche

η

riportato l'andamento qualitativo della quantità data dal rapporto:

ν Σ

η = f

Σ + Σ

f a Fig. 4 η,

Come si vede, la funzione aggiunta appare intimamente legata al valore i cui valori

crescenti alle alte energie sono dovuti al rapporto, via via crescente tra le sezioni

d'urto di fissione e quella di assorbimento (pesate su tutti i materiali fissili e fertili

η

presenti nel reattore). Lo scarto crescente con l'energia tra l'andamento di e

quello della funzione aggiunta è dovuto all'aumento delle fughe neutroniche con il

9

crescere dell'energia, aumento che produce una corrispondente diminuzione relativa

dell'importanza.

Notiamo come il flusso aggiunto presenti un minimo attorno ai 10÷20 KeV in

η.

corrispondenza del minimo del fattore E chiaro quindi come un determinato

materiale posto, supponiamo, al centro del sistema, possa provocare effetti positivi o

negativi a seconda che le bande di energia interessate si trovino a destra o a sinistra

del minimo. Per i reattori veloci, per esempio, il valore massimo del f1usso è in

genere, un po' al di sotto dei 100 KeV, il che significa che, in questo caso, l'effetto di

rallentamento dovuto alla introduzione di materiali scatteranti sarà negativo. Questo

effetto caratterizza i reattori veloci rispetto a quelli termici e risulta di estrema

importanza nei confronti della sicurezza in relazione alla possibilità di rimozione (a

seguito, per esempio, di ebollizione incidentale) del refrigerante in una zona centrale

del nocciolo. In tale eventualità, infatti, l'effetto risultante sulla reattività dovuto

all'indurimento dello spettro neutronico, dato il diminuito potere rallentante del

mr

mezzo, corrisponde al termine ora descritto, ma con il segno cambiato,

trattandosi di rimozione di materiale, e quindi generalmente positivo. Tale effetto

viene più o meno compensato da quello (in questo caso generalmente negativo)

attribuibile all'aumento delle fughe dal nocciolo, corrispondente al termine .

l

Poiché quest'ultimo effetto dipende dalla posizione in cui avviene lo svuotamento, o,

più precisamente, dalla distanza di questo dal centro, l'effetto complessivo sulla

reattività diviene meno positivo, o più negativo, via via che sono interessate zone più

periferiche.

Da quanto si è detto risulta chiaramente che, a parte la localizzazione dello

svuotamento, l'effetto complessivo dipenderà fortemente dalle dimensioni del

reattore. Quanto più questo è grande, tanto più positivo, o meno negativo, tende a

diventare l'effetto di reattività per svuotamento (o, comunque. diminuzione) del

refrigerante. Da qui la necessità di provvedere con dei meccanismi di sicurezza

intrinseci del sistema che intervengano prontamente in caso di incidente. Tra questi

riveste un'importanza fondamentale l'effetto Döppler. Come ben noto, questo effetto è

dovuto all'allargamento delle righe di risonanza di cattura a seguito dell'aumento di

temperatura, come conseguenza della perdita di refrigerante.

Per ottenere un effetto Döppler significativo (e di segno negativo) è necessaria la

presenza nel nocciolo di una congrua quantità di materiale fertile. In certi casi si e

anche pensato ad un ammorbidimento dello spettro neutronico, per esempio mediante

1'introduzione di berillio. Ciò al fine di aumentare la coda epitermica del flusso (al di

sotto di 1 KeV), in cui avvengono le reazioni che interessano maggiormente l'effetto

Döppler. Per reattori veloci di grandi dimensioni tale ammorbidimento dello spettro è

in qualche misura automatico, a causa della diminuzione complessiva delle fughe dal

sistema. L'effetto delle fughe sulla reattività risulta inoltre direttamente influenzato, a

parità di volume del nocciolo, dalla forma del sistema in esame. In particolare, tale

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AUTORE

Atreyu

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+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria energetica
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Ingegneria del nocciolo e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Gandini Augusto.

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