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Equazioni della cinetica - Cinetica non lineare

Materiale didattico per il corso di Ingegneria del nocciolo del Prof. Augusto Gandini, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: equazione della cinetica; vita media effettiva dei neutroni pronti; avvelenamento da prodotti da fissione, avvelenamento da Xeno; cinetica non lineare.

Esame di Ingegneria del nocciolo docente Prof. A. Gandini

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ESTRATTO DOCUMENTO

[ ]

~ ~

+ − β χ

* * * φ *o

A (

1 ) F F b =

o o o

NN NM , (14.61)

0

Λ

χ − Λ

* *o

c

MN

Λ

dove qui rappresenta una matrice diagonale arbitraria di M elementi. Per comodità,

qui essa è assunta eguale a quella sopra definita con lo stesso simbolo.

Assumiamo ora che la distribuzione spazio-energetica del flusso neutronico, e quella

spaziale della distribuzione dei precursori, siano separabili da quella temporale.

Cerchiamo quindi soluzioni del tipo:

ω

φ = ϕ t

(

r , t ) ( r ) e

ω

= t

c (

r , t ) e (

r ) e

La (14.55) diventa così

[ ]

~

− ϕ

+ − β χ χ Λ

ϕ

1 A (

1 ) F

V

ω = NN NM , (14.62)

~ − Λ e

b F

e MN φ *o

T *o

T T T

ϕ

Moltiplicando a sinistra questa equazione per c e la (14.61) per ,

e

sottraendo la seconda dalla prima ed integrando, si ottiene

[ ]

~

− ϕ

δ + − β χ δ

ϕ

1

∫ ∫ A (

1 ) F 0

V

ω φ = φ

*o

T *o

T *o

T *o

T NN

d

r c d

r c . (14.63)

~

δ e

b F 0

e

sist sist MN

Introducendo la matrice unitaria U (di M righe e di M colonne), la seconda

MM

equazione della (14.62) potrà scriversi

~

ω + Λ = ϕ

( U ) e b F

MM MN

da cui ~

= ω + Λ ϕ

1

e ( U ) b F (14.64)

MM MN

La (14.63) potrà così scriversi, ricordando la (14.60),

3

− ϕ

1

∫ V

φ φ

ω χ

*o

T *

T

d

r ~

− ϕ

ω + Λ 1

o NM ( U ) b F

sist MM MN

[ ] (14.63)

~ ϕ

δ + − β χ δ

∫ A (

1 ) F 0

φ φ

= χ

*o

T *

T NN

d

r ~

~ − ϕ

ω + Λ 1

δ

o ( U ) b F

NM b F 0

sist MM MN

MN

e ricordando la (14.58),

[ ]

∫ ~

− −

ω φ ϕ + φ χ ω + Λ ϕ

*o

T 1 *

T 1

d V ( U ) b

r F

MM MN

o NM

sist (14.64)

[ ]

∫ ~

= φ δ + χ δ ϕ

*o

T

d

r A F

NN

sist

Poiché M β

χ ω + Λ = χ

1 i

( U ) b MN NN

NM MM λ + ω

= i

i 1

la (14.64) potrà essere scritta come [ ]

∫ ~

φ ϕ φ δ + χ δ ϕ

*o

T

*o

T 1

V d

r A F d

r

M β

∑ NN

ω + ω = sist

sist i (14.65)

λ + ω ∫

∫ ~ ~

φ χ ϕ φ χ ϕ

*o

T

*o

T =

F d

r F d

r

i

i 1 NN

NN sist

sist

Riconosciamo subito nel termine al secondo membro di questa equazione

δK ρ),

l'espressione perturbativa esatta della reattività /K (che qui indicheremo con

eff eff

~

= χ δB=δA+δF,

F , e

cioè, ponendo F

NN

∫ φ δ ϕ

*o

T B d

r

ρ = sist (14.66)

∫ φ ϕ

*o

T F d r

sist

Il rapporto al primo termine del primo membro rappresenta invece l'equivalente della

vita media dei neutroni pronti che abbiamo trovato nella formulazione dell'equazione

della cinetica zero-dimensionale ad un gruppo. In questo caso più generale essa, per

il modo con cui è ricavata, viene denominata vita media "effettiva" dei neutroni

l

pronti, ed è indicata con , cioè:

eff 4

∫ −

φ ϕ

*

T 1 r

V d

o

= sist

l (14.67)

eff ∫ φ ϕ

*

T F d r

o

sist

L'equazione (14.65) si potrà pertanto scrivere:

M ωβ

ω + = ρ

i

l (14.68)

eff λ + ω

= i

i 1

Abbiamo cosi ritrovato l'equazione della cinetica zero-dimensionale attraverso una

ρ.

l

opportuna definizione di e di L'espressione relativa al caso zero-dimensionale a

un gruppo si ottiene facilmente. In questo caso, infatti, la (14.67) diventa

− 1

ν Σ Σ

 

1 /

v 1

= =  

f a

l eff ν Σ Σ + +

 

2 2 2 2

v (

1 L B ) 1 L B

f a

l

= K eff

che, sostituita nella (14.68), consente di riottenere la (14.15).

ρ l

Per calcolare ed dalle espressioni (14.66) e (14.67), occorrerebbe disporre del

eff

ϕ ϕ φ

flusso perturbato . E' pratica comune sostituire con la distribuzione iniziale ,

o

ρ l

trascurando così termini del secondo ordine. Le espressioni di e normalmente

eff

usate sono quindi:

∫ φ δ φ

*

T r

B d

o o

ρ = sist (14.69)

∫ φ φ

*

T F d r

o o

sist

∫ −

φ φ

*o

T 1

V d

r

o

= sist

l . (14.70)

eff ∫ φ φ

*o

T F d r

o

sist l

Osservando l'espressione della data dalla (14.70) e ricordando che il flusso

eff

aggiunto (o importanza) è definito dalla potenza asintotica determinata in un sistema

critico da un neutrone inserito ad una energia ed in un punto determinati, è possibile

5

associare a questa espressione un significato fisico. Il numeratore del rapporto

(14.70), essendo eguale alla densità neutronica moltiplicata per l'importanza,

integrata su tutto il sistema, risulta di fatto eguale alla potenza asintotica complessiva

(che, essendo il sistema in equilibrio, corrisponde alla potenza attuale). Il

denominatore, invece, risulta eguale al tasso di produzione di importanza. A partire

da un dato istante, ci sarà un intervallo di tempo al termine del quale l'importanza

prodotta (attraverso i neutroni di fissione) corrisponderà alla potenza complessiva

attuale. Interpretando il sistema moltiplicante come una serie di cicli di fissione,

questo intervallo di tempo può essere associato alla vita media di un tale ciclo. E'

l

questa vita media, corrispondente a , che appare più adatta ad essere associata

eff

all'evoluzione della potenza di un reattore durante un transitorio, piuttosto che quella

dei neutroni data dalla espressione

∫ − φ

T 1

u V d

r

o

= sist

l , (14.71)

∫ φ

T F d

u r

o

sist φ *o con il vettore

dedotta direttamente dalla (14.70) sostituendo il flusso aggiunto

unitario u, cioè associando a ciascun neutrone del sistema importanza eguale. La

l

l

differenza tra ed risulta quindi aumentare con lo scostarsi dell'importanza dalla

eff

distribuzione costante sia nel senso energetico che in quello spaziale. Per citare un

esempio illustrativo, immaginiamo un sistema con una trappola di flusso, o zona non

moltiplicante con densità di neutroni relativamente elevata, la quale sia debolmente

accoppiata con il nocciolo, per cui l'importanza dei neutroni presenti in essa risulti

scarsa. Pur dando questi un notevole contributo al numeratore della (14.71) e quindi

l l

all'incremento di , essi daranno un contributo trascurabile al valore di . Ciò è

eff

consistente con il fatto che in caso di transitorio di potenza il loro ruolo risulta di

scarso rilievo. Come già detto in precedenza, la vita media dei neutroni pronti è uno

dei parametri caratteristici che differenziano i reattori veloci da quelli termici.

-3

Mentre per questi ultimi essa assume valori dell'ordine di 10 sec, per i primi essa

÷10

-6 -7

assume valori dell'ordine di 10 sec. 6

15. Avvelenamento dai prodotti di fissione

Con la continua operazione del reattore si accumulano i nuclidi formati con la

fissione ed i loro vari prodotti di decadimento. Alcuni di essi possono presentare

elevate sezioni d'urto di assorbimento e possono agire quindi come veleni neutronici.

Se tali veleni vengono prodotti in quantità apprezzabile, come succede per i reattori

di potenza, sia come frammenti prodotti direttamente dalla fissione, sia come risultato

di decadimento radioattivo, essi influiscono nel bilancio neutronico del reattore.

Poiché dei veleni di decadimento continuano a formarsi anche dopo che il livello di

potenza sia stato ridotto, la concentrazione di un veleno può aumentare fino a

raggiungere un massimo dopo lo spegnimento.

Per poter far ripartire il reattore in qualsiasi tempo dopo lo spegnimento, può essere

necessario aggiungere una riserva di reattività per controbilanciare l'avvelenamento a

breve termine dei prodotti di fissione.

Per quanto riguarda gli effetti di avvelenamento a lungo termine, associato

all'accumulo dei prodotti di fissione durante la vita del nocciolo, occorrerà

analogamente provvedere ad un adeguato margine di reattività ad inizio vita mediante

l'introduzione di elementi di controllo, o veleni bruciabili. Ciò, per compensare sia la

perdita di reattività dovuta all'avvelenamento dei prodotti di fissione accumulati, sia la

perdita di reattività prodotta dall'impoverimento di materiale fissile durante il burn-

up.

In rapporto agli effetti a breve termine dei prodotti di fissione, due nuclidi, lo xeno-

135 ed il samario-149, sono particolarmente importanti, a causa delle loro elevate

sezioni d'urto di assorbimento per i neutroni termici.

Uno dei prodotti che si forma direttamente nel 5.6% delle fissioni termiche

dell'uranio-235, è il tellurio-135. Questo è soggetto ad una serie di decadimenti beta,

secondo lo schema 4

2 x

10 y

2 min 9 . 7 h 13 .

2 h

→ → → →

135 135 135 135

Te I Xe Ce Ba (

stabile

)

Di questi nuclei, lo xeno-135 ha una elevata sezione di assorbimento per i neutroni

6

termici, di circa 3.5x10 barn.

Il samario-149 è un prodotto stabile, essendo l'elemento finale della catena

1

. 7 h 47 h

→ →

149 149

Nd Pm Sm (

stabile

)

7

Il neodimio-149 si forma direttamente nell'1.4% delle fissioni termiche dell'uranio-

235. La sezione d'urto di assorbimento del samario per neutroni termici è di circa

4 barns. Sebbene di valore elevato, questa sezione d'urto non lo è quanto quella

5.3x10

dello xeno-135. Per questa ragione, e perché se ne forma in quantità minore rispetto

allo xeno, il samario-149 è un veleno neutronico meno importante.

Avvelenamento da xeno 135

Come abbiamo visto sopra, l'isotopo Xe è formato dal decadimento del prodotto di

135 (per una frazione molto piccola, lo 0.3%, esso è anche un prodotto diretto

fissione I 135 135

è di 13.2 ore, quella dello I di 9.7 ore.

della fissione). La vita media dello Xe

Pertanto, quando un reattore va a potenza, l'avvelenamento per assorbimento dello

135 135

Xe non si evidenzia fintantoché non si sia formato dello I e questo a sua volta sia

stato soggetto ad eventi di decadimento. L'avvelenamento da xeno gradualmente

aumenta fintanto che non si raggiunge una condizione di equilibrio tra produzione di

atomi di xeno per decadimento dello iodio, e scomparsa di xeno sia per decadimento,

sia per assorbimento neutronico. Allo stato di equilibrio, o stazionario, possiamo

scrivere

γ φ

Σ = φ σ + λ

c c

f x x x x

φ Σ γ

dove è il flusso termico, la sezione d'urto macroscopica di fissione, la

f γ λ

γ (γ 135

135

frazionaria di I , quella di Xe ),

+γ essendo la produzione

somma Ι

x x x

I σ

la sua costante di decadimento, c la sua concentrazione, e la sua sezione

x x

d'urto microscopica di assorbimento.

Pertanto, il rapporto tra il tasso di assorbimento dello xeno e quello di fissione

φ,

dell'uranio, in un punto del reattore in cui il flusso termico sia in condizioni

stazionarie sarà

σ φ γ σ φ

c =

x x x

λ + σ φ

Σ φ

f x x

Quindi, il valore massimo del rapporto tra il numero di neutroni assorbiti nello xeno

γ,

e quello dei neutroni catturati per fissione nel combustibile è dato dal valore di

13 2

cioè di 0.059. Per un reattore con un flusso termico di 10 n/cm sec, tale rapporto

risulta eguale a 0.03. 135 135

In condizioni di transitorio, la produzione e la scomparsa di Xe (e di I ) si ottiene

risolvendo le equazioni:

dc γ Σ − λ

= φ

I (15.1)

c

I f I I

dt 8


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14

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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria energetica
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Ingegneria del nocciolo e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Gandini Augusto.

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