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¨

Una classe di soluzioni linearmente indipendenti è data da:

1, log ρ,

ψ (ρ) =

n −n

n ≥

ρ , ρ n 1 −n ≥

Dobbiamo scartare la funzione log ρ per n = 0 e la funzione ρ per n 1 in quanto sono

singolari in 0, mentre noi stiamo cercando delle soluzioni dell’equazione di Laplace che siano

regolari in tutto il cerchio interno. Per linearità , una soluzione ovunque regolare dell’equazione

(4.22) può avere la forma +∞

X n

ψ(ρ, θ) = ρ (A cos(nθ) + B sin(nθ)), (4.26)

n n

n=0

dove A , B sono coefficienti reali arbitrari e n varia in qualche sottoinsieme finito (ma arbi-

n n

trariamente grande) dell’insieme degli interi positivi o nulli. I coefficienti A e B , in linea di

n n

principio si determinano imponendo la condizione al bordo ψ(R, θ) = f :

 1 R

A = f (θ)dθ

0 0

 2π

1 R

A = f (θ) cos(mθ)dθ

m m 0

R π 2π

1

 R f (θ) sin(mθ)dθ

B =

 m m 0

R π

Per ottenere le identità sopra scritte abbiamo tenuto conto delle note identità (vedi la sezione

C in Appendice):

2π 2π

Z Z

sin(nθ)dθ = 0 , cos(mθ)dθ = 0 , se n = 0, 1, 2 . . . e m = 1, 2, . . .,

0 0

Z sin(nθ) cos(mθ)dθ = 0 , se n, m = 0, 1, . . .,

0 2π

2π Z

Z cos(nθ) cos(mθ)dθ = πδ , per n, m = 0, 1, 2, . . . ,

sin(nθ) sin(mθ)dθ = πδ , mn

mn 0

0

dopo aver moltiplicato i due membri di (4.26) rispettivamente per 1, cos(mθ), sin(mθ) ed inte-

grato il risultato.

È chiaro che affinché si possa sempre risolvere il problema ci aspettiamo che l’insieme di varia-

bilità di n sia tutto e non solo un sottoinsieme finito. Questo fatto però pone il problema

N

della convergenza della serie (4.26). Ulteriormente bisogna anche dimostrare che la serie (4.26)

converge ad una soluzione del problema: questo fatto non è ovvio, mentre è ovvio, per linea-

rità quando n varia su un insieme finito.

Formalmente dunque la soluzione del problema di Dirichlet interno è data dalla serie

+∞

X n

φ(ρ, θ) = α + (ρ/R) (α cos(nθ) + β sin(nθ)),

0 n n

n=1 95

dove i numeri reali α , β sono i coefficienti di Fourier della funzione reale f riferiti alle funzioni

n n

seno e coseno sul segmento [−π, π] ovvero, equivalentemente, [0, 2π]:

+∞

X

f (θ) = α + (α cos(nθ) + β sin(nθ)) ,

0 n n

n=1

con, quindi: 2π 2π 2π

1 1

1 Z Z Z

f (θ)dθ, α = f (θ) cos(nθ)dθ, β = f (θ) sin(nθ)dθ.

α = n n

0 2π π π

0 0 0

Che è lo stesso che dire che vale lo sviluppo di Fourier in termini di esponenziali:

Ê Ê e

X √

f = f ,

n 2π

n∈Z

e: 1 1 −

α = (f + f ) , β = i (f f ) , n = 0, 1, 2, . . . .

−n −n

n n n n

2π 2π

Dobbiamo ora dimostrare che la funzione cosıcostruita è effettivamente soluzione del problema

2 0

di Dirichlet, ovvero che è di classe C (Ω) C (Ω), che è armonica in Ω e che coincide con f su

∂Ω. Prima di tutto dimostriamo l’armonicità di φ in Ω. Dobbiamo in particolare mostrare che

è giustificato derivare sotto il segno di serie. Di fatto, nell’ipotesi che la funzione f sia limitata,

i suoi coefficienti di Fourier α , β sono limitati, sia ha cioè che

n n

|α | ≤ |β | ≤ ∀n ∈

M, M, N.

n n

Infatti, dalle definizioni date sopra:

2π 2π 2π

|f | |f | |f |

sup sup sup

Z Z Z

|α | ≤ |α | ≤ | |

1dθ, cos(nθ)|dθ, β = sin(nθ)|dθ,

0 n n

2π π π

0 0 0

|f |/π,

da cui seguono le stime dette prima con M = sup tenendo conto che le funzioni sin e cos

sono limitate da 1.

Concludiamo che vale la seguente diseguaglinza per i termini della serie di Fourier di φ:

n n

|(ρ/R) |ρ/R|

(α cos(nθ) + β sin(nθ))| < 2M

n n 2

|ρ/R|

Quindi nei punti interni al cerchio, cioè per < 1, la serie di φ è dominata dalla serie geo-

+∞ −1

n −

P

metrica di costanti positive 2M (ρ/R) che, come ben noto, converge a (1 (ρ/R)) . Per

n=0

il teorema della convergenza totale di Weiestrass, la serie che definisce φ converge assolutamente

ed uniformemente all’interno del cerchio.

2 Cioè i termini della serie di funzioni che definisce φ sono, in valore assoluto ed uniformemente nella variabile

di tali funzioni, maggiorati dai corrispondenti termini della serie di costanti.

96

” —

Possiamo ripetere lo stesso ragionamento anche per dimostrare la convergenza della serie delle

derivate. Derivando k volte ogni termine della serie rispetto alla variabile θ otteniamo:

+∞ n

ρ

X n k n k

α n cos (nθ + kπ/2) + β n sin (nθ + kπ/2) .

n

R

n=1 +∞ n k

P

Tale serie è dominata dalla serie di costanti positive 2M (ρ/R) n . Questa serie non è

n=1

+∞ k n

P

altro che la serie di potenze n x valutata per x = ρ/R < 1. Il raggio di convergenza

n=1 k 1/n

della serie di potenze detta è r dove al solito, se il limite esiste: 1/r = lim (n ) =

n→+∞

k(ln n)/n

lim e = 1. Pertanto la serie di costanti positive considerata converge. Concludiamo

n→+∞

che la serie delle derivate converge uniformemente ed è giustificato dunque derivare sotto il

segno di serie (infinite volte) rispetto a θ e le funzioni che si ottengono sono funzioni continue

(congiuntamente in entrambe le variabili), dato che sono limiti uniformi di funzioni continue.

Per quanto riguarda la derivazione rispetto alla variabile ρ vorremmo che valesse l’identità, per

k = 1, 2, . . .: k

∂ n!

−k

X n−k

φ(ρ, θ) = R (ρ/R) (α cos(nθ) + β sin(nθ)) . (4.27)

n n

k −

∂ρ (n k)!

n≥k

È facile verificare che la serie a secondo membro (ottenuta passando formalmente sotto il simbolo

k k

di somma l’operatore d /dθ nella serie che definisce φ) è assolutamente convergente, in quanto

−k n!

3 n−k

P

è dominata dalla serie di costanti positive da 2M R (ρ/R) . Dunque per noti

n≥k (n−k)!

teoremi riguardanti lo scambio del simbolo di serie con quello di derivata, possiamo derivare, ad

ogni ordine k sotto il segno di serie e l’identità (4.27) è vera e la funzione ottenuta è continua

(congiuntamente in entrambe le variabili) perchè limite uniforme di funzioni continue. Per

quanto riguarda le derivate seconde miste possiamo procedere nello stesso modo e risulta che

2 2

∂ φ(ρ, θ) ∂ φ(ρ, θ) 1 X 2 n−1

= = n (ρ/R) (α cos(nθ + π/2) + β sin(nθ + π/2)) .

n n

∂ρ∂θ ∂θ∂ρ R n≥1

La serie a secondo membro converge uniformemente in quanto è dominata dalla serie di costanti

2 n−1

P n (ρ/R) come si verifica subito verificando che il raggio

positive convergente 2(M/R) n≥1 2 n−1

P n x è r = 1. Abbiamo provato che φ è

di convergenza della serie di potenze 2(M/R) n≥1

2

almeno di classe C (Ω) e che, per costruzione, soddisfa l’equazione di Laplace in Ω.

Resta da verificare la continuità sul bordo di Ω della soluzione costruita in questo modo. Per

dimostrare questa proprietà dobbiamo imporre delle ipotesi aggiuntive su f . Sappiamo infatti

1

dalla teoria delle serie di Fourier (vedi la proposizione 6.2) che se f è continua e di classe C a

tratti su ∂Ω, allora i suoi coefficienti di Fourier α , β soddisfano la seguente diseguaglianza:

n n

X |α | ∞,

+ iβ <

n n

n

3 Si tratta, a meno di una costante moltiplicativa e di un numero finito di termini, della serie di Taylor in x = 0

−1

della derivata k-esima della funzione (1 (ρ/R)x) valutata per x = 1. La serie di Taylor della funzione detta

|(ρ/R)x|

ha cerchio di convergenza < 1 e x = 1 cade in tale cerchio essendo ρ/R < 1.

97

È

e quindi, in particolare, anche:

X X X X

2 2

|α | |β | ≤ |α | ∞

, α + β = + iβ < .

n n n n

n n

n n n n

La funzione φ è , per costruzione, il limite di una serie di funzioni continue

+∞

X n

φ(ρ, θ) = α + (ρ/R) (α cos(nθ) + β sin(nθ)) .

0 n n

n=1

≤ ≤

Ω, essendo 0 ρ/R 1 su di esso, abbiamo:

Inoltre su tutto n n

≤ | |β |) ≤ |α | |β |

(ρ/R) (α cos(nθ) + β sin(nθ)) (ρ/R) (|α + + .

n n n n n n

|α | |β |

Dato che la serie delle costanti positive + converge, abbiamo che la serie definente φ

n n

converge assolutamente ad una funzione continua su tutto Ω come volevamo. In particolare sul

bordo di Ω: +∞

X

φ(R, θ) = α + (α cos(nθ) + β sin(nθ)) = f (θ) ,

0 n n

n=1

dato che α , β sono i coefficienti di Fourier della funzione f e che tale serie converge ad f stessa

n n

puntualmente come garantito dalla proposizione 6.3 nelle ipotesi fatte su f .

Abbiamo provato il seguente teorema.

¨ 2

Teorema 4.2. Si consideri il problema di Dirichlet nel cerchio aperto Ω di raggio R e

R

centrato sull’origine: 2 0

∈ ∩

∆φ = 0 φ C (Ω) C (Ω) (4.28)

0 1

φ| = f f C (∂Ω)e C a tratti, assegnata.

∂Ω  ‹

Esiste (ed è unica) la soluzione e si esprime come la somma della serie, che converge assoluta-

mente e uniformemente in Ω, +∞ n

ρ

X (α cos(nθ) + β sin(nθ)) (4.29)

φ(ρ, θ) = α + n n

0 R

n=1

dove i coefficienti α e β sono dati da:

n n

2π 2π 2π

1 1 1

Z Z Z

α = f (θ)dθ, α = f (θ) cos(nθ)dθ, β = f (θ) sin(nθ)dθ .

0 n n

2π π π

0 0 0

Vediamo come scrivere la soluzione ottenuta con il teorema precedente facendo uso di un nucleo

di Poisson. Possiamo riorganizzare la forma della soluzione espressa come serie nel modo che

segue, tenendo conto dell’espressione esplicita dei coefficienti di Fourier della funzione f :

X n

φ(ρ, θ) = α + (ρ/R) (α cos(nθ) + β sin(nθ)) =

0 n n

n≥1 98

– ™

2π 2π 2π

1 1

1 Z Z Z

0 0 0 0 0 0

X n

f (θ)dθ + (ρ/R) f (θ ) cos(nθ ) cos(nθ)dθ + f (θ ) sin(nθ ) sin(nθ)dθ

= 2π π π

0 0 0

n≥1

2π 2π

1 1

Z Z 0 0 0 0

X n

= f (θ)dθ + (ρ/R) f (θ ) cos(nθ ) cos(nθ) + sin(nθ ) sin(nθ) dθ

2π π

0 0

n≥1

2π 2π

1 1

Z Z 0 0 0

X n −

= f (θ)dθ + (ρ/R) f (θ ) cos(n(θ θ))dθ

2π π

0 0

n≥1

Lavorando in Ω, cioè per 0 ρ < R, possiamo scambiare il simbolo di serie con quello di integrale,

dato che la serie converge uniformemente come è immediato dimostrare tenendo conto è dominata

„ Ž

n ≤ ≥ |f |/π.

P

dalle serie di costanti M (ρ/R) che converge per 0 ρ/R < 1, per M sup In

n≥1

questo modo otteniamo: 2π

1 1

Z 0 0

X n −

φ(ρ, θ) = f (θ) + (ρ/R) cos(n(θ θ )) dθ . (4.30)

π 2

0 Š

€

n≥1

Possiamo calcolare la somma della serie nell’integrale come segue:

1 1 1 0 0 −θ)

0

X X in(θ−θ ) in(θ

n n

− e + e

+ (ρ/R) cos(n(θ θ )) = + (ρ/R)

2 2 2

n≥1 n≥1

‚ Œ

+∞ +∞ !

1 0 0 −θ)

X X

n in(θ−θ ) n in(θ

−1

= + (ρ/R) e + (ρ/R) e

2 n=0 n=0

€ Š€ Š € Š € Š

1 1

1 −1 + +

= 0 0 −θ)

i(θ−θ ) i(θ

− −

2 1 (ρ/R)e 1 (ρ/R)e

0 0 0

0 −θ)

i(θ−θ ) i(θ−θ ) i(θ−θ ) i(θ

− − − − −

1 (ρ/R)e 1 (ρ/R)e + 1 (ρ/R)e + 1 (ρ/R)e

1

= 0 0 −θ)

i(θ−θ ) i(θ

− −

2 1 (ρ/R)e 1 (ρ/R)e

2 2 2

− −

1 (ρ/R) 1 R ρ

1 = .

= 0 0

2 2 2

− − − −

2 1 2(ρ/R) cos(θ θ ) + (ρ/R) 2 R 2ρR cos(θ θ ) + ρ

Definiamo allora il nucleo di Poisson: 2 2

1 R ρ

0

N (ρ, θ, R, θ ) = ,

Ω 0

2 2

− −

2πR R 2ρR cos(θ θ ) + ρ ∈

che può anche essere scritto come, se x è individuato dalle coordinate polari ρ, θ e y ∂Ω è

0

individuato dalle coordinate polari R, θ : 2 2

− ||x||

R

N (x, y) = .

Ω 2

2πR||x y|| y∈∂Ω

99

L’espressione è ovviamente la stessa che abbiamo ottenuto precedentemente con il metodo delle

cariche immagini. Tenendo conto del fatto che l’elemento di lunghezza del bordo ∂Ω è ds(y) =

0

Rdθ , la formula (4.30) che definisce la soluzione φ in funzione del dato al bordo f può allora

essere scritta come: Z ∈

φ(x) = N (x, y)f (y)ds(y) se x Ω .

∂Ω 100

Capitolo 5

Equazioni iperboliche: alcuni

risultati generali elementari per le

equazioni di D’Alembert e di

n

×

Klein-Gordon in .

R R

In questo capitolo ci occuperemo di alcuni fatti generali riguardanti due equazioni del secondo

ordine di tipo iperbolico: l’equazione di D’Alembert e quella di Klein-Gordon. La prima:

2

1 ∂ ϕ

− + ∆ ϕ = 0 (5.1)

x

2 2

c ∂t

n n

con ϕ = ϕ(t, x), (t, x) è ben nota dalla fisica classica e descrive nello spaziotempo ,

R×R R×R

in una certa approssimazione, tutti i fenomeni di propagazione ondosa/elastica in mezzi estesi

n

in (tipicamente n = 1, 2, 3). La costante c è la velocità di propagazione delle perturbazioni

R

descritte dal campo ϕ, che dipende dal tipo di mezzo e di perturbazione. La seconda:

2

1 ∂ ϕ 2

− −

+ ∆ ϕ µ ϕ = 0, (5.2)

x

2 2

c ∂t

2

mc n

dove µ = con ϕ = ϕ(t, x), x è un’equazione che nasce nella fisica moderna e descrive

R

~

n 4

(se = pensato come spaziotempo della relatività speciale e c è la velocità della luce)

R R

l’equazione di evoluzione relativistica per campo associato a particelle quantistiche di massa

m > 0 e prive di spin e carica. Nel caso m = 0, ovviamente la forma della seconda equazione

si riduce alla forma della prima. Le due equazioni sopra scritte possono essere leggermente

modificate introducendo un termine di sorgente dato da una funzione nota ρ = ρ(t, x):

2

∂ ϕ

1

− + ∆ ϕ = ρ (5.3)

x

2 2

c ∂t

e 2

1 ∂ ϕ 2

− −

+ ∆ ϕ µ ϕ = ρ. (5.4)

x

2 2

c ∂t 101

Nota importante. Nel seguito del capitolo ∆ indicherà sempre e solo il laplaciano rispetto

alle coordinate spaziali x. Sopra abbiamo indicato tale operatore con ∆ , ma d’ora in poi

x

∇ ∇

ometteremo l’indice x. Nello stesso modo, il simbolo di gradiente significherà sempre e

x

non includerà mai le derivate temporali.

5.1 L’equazione di D’Alembert come equazione della corda vi-

brante e della membrana vibrante.

L’equazione di D’Alembert descrive, in prima approssimazione, tutti i fenomeni di propagazione

odulatoria classici in mezzi estesi. A titolo di esempio, vogliamo mostrare come l’equazione di

D’Alembert descriva le onde trasversali di deformazione che si propagano lungo una corda tesa

e in una memebrana tesa.

5.1.1 L’equazione per la corda oscillante per piccole deformazioni.

Consideriamo una corda orizzontale a riposo, in generale descritta da y = y(x) in un sistema

di coordinate x, y solidale con un sistema di riferimento inerziale, con y verticale. La coordi-

nata x puó variare in tutto l’asse reale, sulla semiretta reale oppure in un intervallo chiuso ad

interno nun vuoto [a, b] e, negli ultimi due casi, sono imposte condizioni al bordo sul bordo

del dominio, tipicamente l’annullamento della deformazione verticale, come nel caso delle corde

degli strumenti musicali a corda. Sia λ > 0, costante (nel tempo e nel punto della corda) la

||T||

densità lineare di massa della corda lungo x e sia τ = il valore costante (nel tempo e nel

1

punto della corda) del modulo della tensione T della corda . Supponiamo che la corda, al tempo

|y(x)|

t = 0, venga deformata in una funzione y = y(x) con “molto piccolo” nel senso che pre-

ciseremo nel seguito, e che poi venga lasciata libera (sempre verificando le eventuali condizioni

al bordo). A causa dell’elasticità del mezzo, accade che la configurazione della corda varierà nel

tempo e sarà descritta da una funzione y = y(t, x). Vogliamo ricavare, dalle leggi della dinamica,

l’equazione a cui deve soddisfare questa funzione assumendo che il modulo della tensione τ e

la densità λ rimangano costanti e che le deformazioni trasversali siano piccole. Consideriamo

un punto x e quindi un pezzo di corda relativo all’intervallo [x h, x + h]. Su tale porzione

0 0 0

di corda agisce la tensione ai due estremi: T(x + h) e T(x h). Entrambi i vettori saranno

0 0

uscenti dalla porzione di corda e saranno in ogni punto tangenti alla corda. Si osservi che quindi

le componenti lungo l’asse x di tali vettori hanno segno opposto. In prima approssimazione

2

∂ y

l’accelerazione nella direzione e della porzione di corda è , mentre la massa della porzione

y 2

∂t

di corda è 2hλ. La seconda equazione della dinamica afferma allora che deve valere, in prima

approssimazione: 2

∂ y − ·

2hλ = (T(x + h) + T(x h)) e , (5.5)

0 0 y

2

∂t

1 Ricordiamo che la tensione T in un punto della corda viene definita, a meno del segno, come la forza che,

tagliando idealmente la corda nel punto considerato, un’estremo della corda tagliata esercita sull’altro.

102

Il secondo membro si può riscrivere come:

− · − −

(T(x + h) + T(x h)) e = τ (sin α(x + h) sin α(x h)) ,

0 0 y 0 0

− −T(x −

dove α(x + h) e α(x h) sono gli angoli che T(x + h) e h) individuano rispetto a e

0 0 0 0 x

|y|

e quindi, approssimando sin α con tan α tenendo conto che lavoriamo con piccoli e tenendo

∂y ∂y

| − |

conto che: tan α(x + h) = e tan α(x h) = , (5.5) può essere riscritta come:

−h

0 0

x +h x

∂x ∂x

0 0

∂y ∂y

2 | − |

λ ∂ y −h

x +h x

∂x ∂x

0 0

= .

2

τ ∂t 2h →

In realtà l’identità trovata è solo approssimata. Tuttavia, nel limite per h 0, ci si aspetta che

diventi rigorosamente valida. In tal caso, si trova l’equazione:

2 2

∂ y ∂ y

λ = .

2 2

τ ∂t ∂x

2

Questa è l’equazione di D’Alembert in per le perturbazioni ondose trasversali della corda:

R 2 2

1 ∂ y ∂ y

− + =0 ,

É

2 2 2

c ∂t ∂x

in cui la velocità di propagazione delle perturbazioni c (vedremo più avanti il significato di tale

nome) è data da: τ

c = . (5.6)

λ

Osservazioni 5.1. Nel caso in cui sulla corda agisca anche la forza di gravità , sulla porzione

−λ2hge

di corda usata per ottenere l’equazione di D’Alembert agisce anche la forza verticale .

y

In questo caso, ripetendo il ragionamento fatto sopra, l’equazione finale che si ottiene è quella

di D’Alembert con sorgente: 2 2

1 ∂ y ∂ y λ

− + = g.

2 2 2

c ∂t ∂x τ

−λg

Si noti che è la forza di gravità per unità di lunghezza agente sulla corda nella direzione

verticale. In generale, come si prova facilmente, se sulla corda agisce qualche densità lineare

di forza normale ad essa (componenti tangenti produrrebbero deformazioni longitudinali che

non consideriamo nel nostyro modello), individuata dalla funzione f = f (t, x) nella direzione

verticale, l’equazione che si ottiene alla fine è :

2 2

1 ∂ y ∂ y f (t, x)

− −

+ = . (5.7)

2 2 2

c ∂t ∂x τ

103

5.1.2 L’equazione per la membrana oscillante per piccole deformazioni.

Consideriamo una membrana orizzontale a riposo, descritta da z = z(x, y) in generale, rispetto

ad un sistema di coordinate x, y, z solidale con un sistema di riferimento inerziale, con z verticale.

2

Le coordinate x e y variano su tutto il piano oppure in un certo dominio dato un insieme

R

2

Ω dove Ω è un aperto (non necessariamente limitato) e ∂Ω è una curva sufficientemente

R 6 ∅,

regolare. Nel caso di ∂Ω = si impongono su di esso opportune condizioni al bordo, tipicamente

l’annullarsi della deformazione verticale z| = 0, come accade per le memebrane dei tamburi.

∂Ω

Sia µ > 0, costante (nel tempo e nel punto della memebrana) la densità superficiale di massa della

||T||

memebrana e sia τ = il valore costante (nel tempo e nel punto della memebrana) del modulo

2

della tensione T della memebrana assunta essere isotropa . Supponiamo che la memebrana, al

|z(x)|

tempo t = 0, venga deformata in una funzione z = z(x, y) con “molto piccolo” nel senso

che vedremo poi, e che poi venga lasciata libera (sempre soddisfacendo le eventuali condizioni al

bordo su ∂Ω). A causa dell’elasticità del mezzo, accade che la configurazione della memebrana

varierà nel tempo e sarà descritta da una funzione z = z(t, x, y). Vogliamo ricavare, dalle leggi

della dinamica, l’equazione a cui deve soddisfare questa funzione assumendo che il modulo

della tensione τ e la densità µ rimangano costanti e che le deformazioni trasversali siano piccole.

Consideriamo un punto p di membrana individuato da (x , y ) e quindi un pezzo di memebrana

0 0 0

rettangolare, di lati 2h e 2k, centrato in p , con proiezioni dei lati sul piano z = 0 che risultano

0

essere parallele agli assi x e y (il tutto approssimativamente con approssimazione tanto migliore

quanto h e k sono presi piccoli). Su tale porzione di memebrana agisce la tensione sui 4 lati.

Approssimativamente, su ciascun lato possiamo pensare la tensione costante, pari al valore che

−h, −k).

assume nel punto medio del lato: T(x y ), T(x +h, y ), T(x , y +k). T(x , y Questi

0 0 0 0 0 0 0 0

vettori saranno uscenti dalla porzione di memebrana perpendicolarmente ai lati e saranno in ogni

punto tangenti alla memebrana stessa. In prima approssimazione l’accelerazione nella direzione

2

∂ z

e della porzione di corda è , mentre la massa della porzione di corda è 4hkµ. La seconda

z 2

∂t

equazione della dinamica afferma allora che deve valere, in prima approssimazione:

2

∂ z − · − ·

= 2k(T(x + h, y ) + T(x h.y )) e + 2h(T(x , y + k) + T(x , y k)) e , (5.8)

4hkµ 0 0 0 0 z 0 0 0 0 z

2

∂t

Il primo addendo secondo membro si può riscrivere come:

− · − −

2k(T(x + h, y ) + T(x h, y )) e = 2kτ (sin α(x + h, y ) k sin α(x h, y )) ,

0 0 0 0 y 0 0 0 0

− −T(x −

dove α(x + h, y ) e α(x h, y ) sono gli angoli che T(x + h, y ) e h, y ) individuano

0 0 0 0 0 0 0 0

rispetto a e e quindi, approssimando sin α con tan α tenendo conto che lavoriamo con piccoli

x ∂z

∂z

|z| | − |

e tenendo conto che: tan α(x + h, y ) = e tan α(x h, y ) = , e

0 0 0 0 −h,y

(x +h,y ) (x )

∂x ∂x

0 0 0 0

2 Ricordiamo che la tensione T in un punto p della memebrana attraversato dalla curva γ viene definita, a meno

del segno, come densità lineare di forza che, tagliando idealmente la memebrana lungo γ è esercitata nel punto p

dall’altro lembo della membrana. L’ipotesi di mezzo isotropo, per quanto riguarda la tensione, corrisponde alla

richiesta che la tensione in p abbia modulo indipendente dalla scelta della curva γ che passa per p e sia sempre

perpedicolare ad essa. 104

procedendo nello stesso modo per le due tensioni valutate sui lati paralleli all’asse y, la (5.8)

può essere riscritta come:

∂z ∂z

∂z ∂z

| − | | − |

2

µ ∂ z −h,y −k)

(x +h,y ) (x ) (x ,y +k) (x ,y

∂x ∂y ∂y ∂x

0 0 0 0 0 0 0 0

= + .

2

τ ∂t 2h 2k →

In realtà l’identità trovata è solo approssimata. Tuttavia, nel limite per (h, k) (0, 0) ci si

aspetta che diventi rigorosamente valida. In tal caso, si trova l’equazione:

2 2 2

µ ∂ z ∂ z ∂ z

= + .

2 2 2

τ ∂t ∂x ∂y

3

Questa è l’equazione di D’Alembert in per le perturbazioni ondose trasversali della membrana:

R 2

∂ z

1 Ê

− + ∆ z = 0 ,

(x,y)

2 2

v ∂t

in cui la velocità di propagazione delle perturbazioni c è data da:

τ . (5.9)

v = µ

Osservazioni 5.2.

(1) Si noti che, a differenza del caso della corda, ora le dimensioni di τ sono pari ad una forza

diviso una lunghezza e quelle di µ sono pari ad una massa diviso una superficie, per cui v definita

sopra ha correttamente le dimensioni di una velocità.

(2) Nel caso in cui sulla memebrana agisca anche la forza di gravità , sulla porzione di corda

−λ4hkge

usata per ottenere l’equazione di D’Alembert agisce anche la forza verticale . In

z

questo caso, ripetendo il ragionamento fatto sopra, l’equazione finale che si ottiene è quella di

D’Alembert con sorgente: 2

1 ∂ z µ

− + ∆z = g .

2 2

v ∂t τ

−µg

Si osservi che è la forza di gravità per unità di superficie che agisce sulla memebrana

in direzione verticale. In generale, si vede facilmente che, se sulla memebrana agisce qualche

densità superficiale di forza normale alla superficie individuata dalla funzione f = f (t, x) nella

direzione verticale, l’equazione che si ottiene alla fine è :

2

1 ∂ z f (t, x)

− −

+ ∆z = . (5.10)

2 2

v ∂t τ

5.1.3 *L’equazione per la vibrazione di un tamburo ideale di topologia arbi-

traria.

In questa sezione useremo alcuni concetti elementari di geometria differenziale riemanniana ed

analisi globale, tuttavia l’argomento e le nozioni matematiche che saranno richieste sono larga-

mente al di fuori delle competenze usuali di uno studente del secondo anno di matematica. Di

105

conseguenza il contenuto di questa sezione è completamente indipendente dalla parte rimanente

delle dispense che si occupa degli argomenti standard.

Consideriamo un tamburo descritto da una varietà differenziabile M bidimensionale di classe

∞ 3

C , connessa, compatta, orientabile, embedded nello spazio tridimensionale . Indicheremo

R

3

con g la metrica riemanniana indotta su M dalla metrica standard di . Possiamo pensare ad

R

una superficie sferica, una superficie torica o una superficie bidimensionale di genere arbitrario.

Assumiamo che questa superficie sia costituita da un materiale elastico che, rispetto ad una

certa configurazione di riposo fissata, possa deformarsi leggermente nella direzione normale alla

superficie stessa.

Se p M rappresenta un punto in situazione non deformata e p∗ la posizione dello stesso punto

dopo la deformazione avvenuta al tempo t, u(t, p)n indica il vettore posizione di p∗, valutato a

p ⊂

partire da p, dove n è il versore normale uscente da M in p. In generale, se A M , allora A∗

p ∈

indica l’insieme dei punti q∗ individuati da u(q)n con q A.

q

Assumeremo al solito che il materiale sia omogeneo ed isotropo con una densità superficiale di

massa µ ed una tensione τ entrambe costanti. L’ipotesi di omogeneità ed isotropia è in realtà

estremamente poco fisica, perché appare fiscamente improbabile per configurazioni di riposo dif-

ferenti da quella di una superficie sferica ed in assenza di forze esterne.

Consideriamo ora una piccola regione C attorno a p M individuata, in coordinate polari geo-

3

detiche r, θ centrate in p, dal cerchio di raggio r > 0. Su ogni punto q∗ di ∂C∗ agisce una

0

densità lineare di forza τ m diretta perpendicolarmente a ∂C∗ e tangente a C∗ in q∗. Appros-

q

simativamente la componete totale nella direzione n di tutte le forze che agiscono sui punti

p

q∗ ∂C∗ se q ha coordinate (r , θ) è:

0 π

Z

' τ sin α(θ)r dθ ,

T 0

−π

dove α(θ) è l’angolo tra la densità di forza e la normale a ∂C nel punto q in cui è applicata

→ →

(abbiamo tenuto in particolare conto del fatto che n n quando r 0). Per piccole

q p 0

deformazioni: ∂u

' '

sin α tan α .

∂r

Quindi approssimativamente e tanto più correttamente quanto r è piccolo:

0

∂u

I I (M,g)

' ' ∇ ·

T τ d` τ u td` ,

∂r

∂C ∂C

(M,g)

dove è la derivata covariante rispetto alla connessione di Levi-Civita della metrica g

indotta da quella euclidea su M , t è il versore in T M normale a ∂C M e d` è la misura

q 3

naturale della lunghezza d’arco in M (che coincide con quella valutata in per costruzione).

R

Applicando il teorema della divergenza rispetto alla metrica g, concludiamo che

Z (M,g) (M,g)

' ∆ u dν ,

T τ C

3 Se x, y indica un sistema di coordinate locali riemanniane con origine p e definite in un intorno di p, allora

∈ ∈

x = r cos θ e y = r sin θ dove θ (−π, π) e r (0, R) per qualche R > 0 sufficientemente piccolo.

106

(M,g) (M,g)

dove ∆ è l’operatore di Laplace-Beltrami associato alla metrica g su M e ν la misura

di Borel su M associata a g.

 ‹

3

L’equazione del moto in per la porzione C di tessulto, nella direzione normale a p è, tanto

R

più precisamente quanto r è piccolo:

0 2

∂ u

Z Z

(M,g) (M,g) (M,g)

'

µ dν τ ∆ u dν .

2

∂t

C C

Di conseguenza: 2

µ ∂ u 1 Z (M,g) (M,g)

' ∆ u dν .

2 R (M,g)

τ ∂t dν C

C

Prendendo il limite per r 0 troviamo l’equazione di D’Alembert per piccole deformazioni

0

normali a M descritte dalla funzione u = u(t, p):

2

1 ∂ u (M,g)

− + ∆ u = 0 , (5.11)

2 2

v ∂t

dove v è ancora data dalla (5.9). La differenza, importante, rispetto al caso della membrana

piatta è che ora l’equazione di D’Alembert è scritta “sopra” una varietà differenziabile rieman-

niana e l’operatore di Laplace(-Beltrami) è quello riferito alla metrica di cui la varietà è dotata.

Nel caso sia presente una forzante esterna, l’equazione ottenuta prende, al solito una sorgente:

2

1 ∂ u(t, p) f (t, p)

(M,g)

− −

+ ∆ u(t, p) = , (5.12)

2 2

v ∂t τ

dove f è la componente normale a M di una densità superficiale di forza agente su M che ha

direzione normale in ogni punto (componenti tangenti provocherebbero deformazioni longitudi-

nali che non trattiamo nel modello considerato).

Osservazione importante. L’equazione (5.11) ammette soluzioni palesemente non fisiche,

6

come quella del tipo u(t, p) = U con U = 0 costante. Anche soluzioni che si ottengono

0 0

da questa aggiungendo (dato che l’equazione è lineare) soluzioni apparentemente più fisiche

sono similmente inaccettabili, perché ci si aspetta che il sistema deformato leggermente tenda

a tornare nella sua configurazione iniziale indeformata, dato che è questo il meccanismo fisico

che, nella pratica, assicura che le deformazioni rimangano piccole. In generale se φ : M R

(M,g)

è una funzione armonica su M , cioè soddisfa ∆ φ = 0 (e le funzioni costanti sono un caso

particolare di questo), allora: ∈ ∈

u(t, p) := φ(p) per ogni p M e ogni t R,

soddisfa (5.11), ma non ha evidentemente senso fisico per gli stessi motivi esposti sopra. Per

dare un significato fisicamente sensato alle soluzioni dell’equazione (5.11) una scelta possibile è

2 (M,g)

quella di restringersi a lavorare nell’ortogonale (rispetto al prodotto scalare di L (M, dν ))

(M,g)

al sottospazio delle funzioni armoniche, dove ν è la misura di Borel associata alla metrica

g di M . 107

5.2 Condizioni iniziali ed al contorno.

I problemi tipici che si incontrano lavorando con equazioni iperboliche come (5.3) e (5.4) sono

generalmente del seguente tipo.

2

∈ × × ∈

Si cerca ϕ C ((α, β) D) che soddisfi (5.3) oppure (5.4) in (α, β) D per qualche ρ

0 ×

C ((α, β) D) assegnata, dove:

3

(a) (α, β) 0

n

(b) D è un aperto, non vuoto, (non necessariamente connesso) con D compatto e ∂D

R

regolare orientabile. D compatto si dice problema interno. Si può anche considerare il

Il fatto di lavorare in D con n

× \

caso del problema esterno in cui si lavora in (α, β) (R D).

Riferendosi al solo problema interno, vengono quindi assegnate condizioni iniziali e condizioni

al bordo sulla funzione ϕ.

Le condizioni iniziali corrispondono alla coppia di richieste:

∂ϕ 2 1

∈ ∈

∀x ∈ D, con ϕ C (D) e ϕ C (D) assegnate. (5.13)

ϕ(0, x) = ϕ (x) , = ϕ (x) , 0 1

0 1

∂t (0,x) ×

Le condizioni al bordo, riferite all’insieme S := (α, β) ∂D con vettore normale uscente n,

possono essere di tre tipi distinti:

2

(i) ϕ = ψ con ψ C (S) funzione assegnata tale che ψ(0, x) = ϕ (x);

0

S 1

· ∇ϕ ∈ · ∇ϕ

(ii) n = ψ con ψ C (S) funzione assegnata tale che ψ(0, x) = n (x);

0

S S 1

· ∇ϕ ∈ 6 ∈

(iii) aϕ +bn = ψ con a, b costanti assegnate tali che ab = 0 e ψ C (S)

R

S S · ∇ϕ

funzione assegnata tale che ψ(0, x) = aϕ +bn .

0 0

S S

Osservazioni 5.3.

(1) Le condizioni dette si possono notevolmente indebolire per esempio assumendo più debolmente

2 1

∈ × ∩ ×

che ϕ C ((0, β) D) C ((0, β) D) (e che soddisfi in tale insieme (5.3) oppure (5.4) per

0 1 0 1 0

∈ ∈

∈ × ∈ e ϕ C (D), e ψ C (S) in (ii) e C (S) in (i)

qualche ρ C ((α, β) D)), con ϕ C (D)

0 1

e (iii). In questo caso bisogna assumere più precise ipotesi di regolarità sul dominio D al fine di

avere teoremi di esistenza ed unicità .

(2) Si possono considerare casi in cui D non è limitato e sono assegnate condizioni iniziali. In

questo caso le condizioni al contorno, che sono importanti per i teoremi di esistenza ed uni-

cità sono, in generale, rimpiazzate da condizioni sull’andamento all’infinito spaziale (cioè per

|x| → +∞ a t fissato) per il campo ϕ incognito. Nel caso in cui D = e (α, β) = per l’equa-

R R,

zione di D’Alembert non è necessario fissare alcun dato al contorno, come vedremo più avanti,

108

per avere un teorema di esistenza ed unicità .

(3) Esaminando il significato delle condizioni al contorno nel caso di una corda orizzontale,

di lunghezza fissata, vibrante trasversalmente si traggono le seguenti conclusioni. Nel caso di

condizioni al contorno di tipo (i) la funzione ψ (che in tal caso misura la deformazione trasver-

sale della corda) definita sul bordo S si riduce ad una coppia di funzioni u = u(t) e v = v(t),

definite sui due estremi della corda, che stabiliscono come oscilla la corda ai suoi estremi al

variare del tempo. Le condizioni al contorno di tipo (ii), per la corda vibrante corrispondono a

fissare l’andamento temporale della componente verticale della forza che agisce sulla corda agli

estremi. Infatti, se τ è il modulo costante della tensione della corda e si lavora in regime di

∂ψ

piccole deformazioni trasversali come abbiamo fatto nella sezione 5.1.1, allora τ valutata agli

∂x

estremi, non è altro che la componente trasversale (cioè verticale se la corda è tesa in orizzontale

∂ψ

lungo l’asse x) della tensione che agisce sulla corda. Più precisamente, τ valutata all’estremo

∂x

destro è la componente verticale della forza che agisce su tale estremo applicata dall’esterno,

∂ψ valutata all’estremo sinistro è, con il segno cambiato, la componente verticale della

mentre τ ∂x

forza che agisce su tale estremo applicata dall’esterno.

Le condizioni al contorno di tipo (iii) corrispondono a fissare una relazione (che dipende dal

tempo) tra ciascuna forza che agisce ad ogni estremo e la deformazione della corda nello stesso

estremo.

5.3 Bilancio energetico e teoremi di unicità.

5.3.1 Densità di energia ed equazione di continuità.

2 n

⊂ ×

Consideriamo una funzione ϕ di classe C (Ω) dove Ω è un aperto sul quale la funzione

R R

‚ Œ

soddisfa l’equazione di Klein-Gordon (5.4) e quindi in particolare l’equazione di D’Alembert

1

(5.3) nel caso µ = 0. Definiamo su Ω la funzione E C (Ω):

2 #

"

1 1 ∂ϕ(t, x) 2 2

∇ϕ(t, · ∇ϕ(t,

E(t, x) := + x) x) + µ ϕ(t, x) . (5.14)

2

2 c ∂t

Chiameremo la funzione E densità di energia di ϕ. Questa funzione è di fondamentale impor-

tanza in matematica oltre che in fisica in quanto consente di provare dei teoremi di unicità per

le soluzioni delle equazioni considerate.

Osservazioni 5.4.

(1) In realtà E descrive effettivamente la densità di energia associata a campo ϕ nel caso in cui

esso sia il campo quantistico di Klein-Gordon. Negli altri casi, la grandezza E non ha sempre

il significato di densità di energia anche se lo ha in certi casi importanti, per esempio quando ϕ

descrive le deformazioni longitudinali di una sbarra elastica e l’equazione considerata è quella di

D’Alembert piuttosto che quella di Klein-Gordon. In tal caso E è davvero la densità di energia

elastica del mezzo continuo.

(2) Si osservi che E(t, x) 0 ovunque è definita e questo fatto sarà di cruciale importanza tra

109

– ™

poco.

(3) Nel caso in cui si lavori con funzioni a valori complessi, la densità di energia viene ridefinita

come: ∂ϕ(t, x)

1 1 ∂ϕ(t, x) 2

∇ϕ(t, · ∇ϕ(t,

E(t, x) := + x) x) + µ ϕ(t, x)ϕ(t, x) . (5.15)

2

2 c ∂t ∂t 2 n

⊂ ×

Proposizione 5.1. Si consideri una funzione ϕ di classe C (Ω) dove Ω è un

 ‹ R R

aperto sul quale la funzione soddisfa l’equazione di Klein-Gordon (5.4) e quindi in particolare

l’equazione di D’Alembert (5.3) nel caso µ = 0. La densità di energia E di ϕ soddisfa:

∂ ∂ϕ ∂ϕ

∇ · ∇ϕ − ∀(t, ∈

E(t, x) = ρ(t, x) , x) Ω . (5.16)

 ‹

∂t ∂t ∂t

In particolare, nel caso in cui n = 1, la (5.16) si riduce a:

∂ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ

∂ − ∀(t, ∈

E(t, x) = ρ(t, x) , x) Ω . (5.17)

∂t ∂x ∂t ∂x ∂t

Dimostrazione. Per computo diretto, dalla definizione di E:

2

∂ ∂ϕ 1 ∂ ϕ ∂∇ϕ ∂ϕ

2

∇ϕ ·

E = + + µ ϕ .

2 2

∂t ∂t c ∂t ∂t ∂t

Dato che, dall’equazione di Klein-Gordon con sorgente:

2

∂ ϕ

1 2

− −

= ∆ϕ µ ϕ ρ ,

2 2

c ∂t

sostituendo nell’espressione trovata sopra per la derivata temporale di E, abbiamo:

∂ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ

2 2

− − ∇ϕ · ∇

E = (∆ϕ µ ϕ ρ) + + µ ϕ ,

∂t ∂t ∂t ∂t 2

dove abbiamo anche scambiato l’ordine di due derivate essendo la funzione ϕ di classe C . Il

risultato ottenuto si può riscrivere:  ‹

∂ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ

∇ϕ · ∇ −

E = ∆ϕ + ρ,

∂t ∂t ∂t ∂t

e cioè : ∂ ∂ϕ ∂ϕ

∇ · ∇ϕ −

E(t, x) = ρ(t, x) .

∂t ∂t ∂t

2

Il caso n = 1 si dimostra nello stesso modo. 110

Osservazioni 5.5.

(1) La proposizione precedente è valida anche per funzioni a valori complessi che soddisfano

‹ ‹

 

l’equazione di Klein-Gordon e si dimostra nello stesso modo, partendo dalla (5.15) invece che

dalla (5.14). In tal caso la (5.16) deve essere modificata in:

∂ 1

1 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ

− ∀(t, ∈

∇ · ∇ϕ ∇ϕ ρ(t, x) , x) Ω . (5.18)

E(t, x) = + ρ(t, x) +

∂t 2 ∂t ∂t 2 ∂t ∂t

 ‹

(2) In riferimento al teorema precedente (e quanto segue si estende facilmente al caso di funzioni

a valori complessi), in assenza della sorgente ρ, l’equazione

∂ ∂ϕ

∇ · ∇ϕ

E(t, x) =

∂t ∂t

può essere riscritta in termini di un’equazione di continuità:

∂ ∇ ·

E(t, x) + J = 0 ,

E

∂t

∂ϕ

− ∇ϕ.

dove J := Vediamo il significato fisico di tale equazione. Fissiamo un insieme [t , t ]×

1 2

E ∂t n

⊂ ⊂

V Ω, dove V è un aperto non vuoto a chiusura compatta il cui bordo è una superficie

R

regolare orientabile e t < t . Un tale insieme esiste nell’inotno di ogni punto di Ω, dato che

1 2 n

× ×

questo è aperto e che i cilindri aperti (t , t ) V sono una base della topologia di ,

 ‹ R R

1 2 n

prendendo, per esempio, gli insiemi V come palle aperte di . Consideriamo il caso in cui non

R

ci sia la sorgente ρ. Se integriamo l’equazione (5.16) sul volume V otteniamo:

∂ ∂ϕ

Z Z

n n

∇· ∇ϕ

E(t, x) d x = d x .

∂t ∂t

V V ∂

‹

 E e continua e

La derivata parziale nel tempo può essere portata fuori dall’integrale, dato che ∂t 4

×

quindi è limitata sul compatto [t , t ] V e V ha misura finita (pari a quella di V ) . In questo

1 2

modo, l’equazione trovata può essere riscritta:

d ∂ϕ

Z I

n ∇ϕ ·

E(t, x) d x = n dS(x) .

dt ∂t

V +∂V

Questa è , a tutti gli effetti, un’equazione di conservazione (o bilancio) della grandezza che si

ottiene integrando E su un volume. L’identità trovata dice che la variazione per unità di tempo

dell’energia totale presente nel volume V è pari al flusso di energia entrante che passa attraverso

∂ϕ ∇ϕ

− si intepreta come la densità di

la superficie che circonda V stesso. In questo senso J =

E ∂t

corrente di energia o altrimenti detta il campo di flusso di energia.

4 Infatti, dato che E è continua e quindi limitata su V per ogni fissato t, è sicuramente (assolutamente)

integrabile secondo Lebesgue su tale insieme per ogni valore del parametro t, inoltre E una funzione continua

∂t ≥

congiuntamente nelle due variabili ed è dunque limitata, uniformemente in t, da qualche costante M 0 sul

× 3 7→

compatto [t , t ] V . Dato che la funzione costante V x M (pensata come funzione della sola x) è non

1 2

negativa ed integrabile su V , avendo quest’ultimo misura finita, siamo nelle ipotesi di poter calcolare la derivata

R n

7→ ∈

di t E(t, x) d x, per ogni t (t , t ) passando la derivata in t sotto il segno di integrale (vedi la sezione

1 2

∂t

V

B.2 in Appendice). 111

5.3.2 Teoremi di unicità.

Possiamo ora eneunciare e provare un teorema di unicità per l’equazione di Klein-Gordon con

sorgente (5.4) che include, come caso particolare l’equazione di D’Alembert con sorgente (5.3).

n

3 ⊂

Teorema 5.1. Sia (α, β) 0 e D un aperto, non vuoto, con D compatto e ∂D regolare

R 2

∈ ×

orientabile. Si consideri il problema di determinare ϕ C ((α, β) D) che soddisfi l’equazione

differenziale di Klein-Gordon con sorgente:

2

1 ∂ ϕ 2

− −

+ ∆ϕ µ ϕ = ρ ,

2 2

c ∂t 0

≥ ∈ ×

(incluso il caso di D’Alembert µ = 0) dove la costante µ 0 e la funzione ρ C ((α, β) D)

sono assegnate. Supponendo ulteriormente che siano state imposte condizioni iniziali:

∂ϕ 2 1

∀x ∈ ∈ ∈

ϕ(0, x) = ϕ (x) , = ϕ (x) , D, con ϕ C (D) e ϕ C (D) assegnate,

0 1 0 1

∂t (0,x)

e condizioni al contorno di tipo (i) oppure (ii) oppure (iii), con la funzione ψ assgnata come in

5.2. Infine, se si assegnano condizioni al contorno di tipo (iii), le costanti a e b sono supposte

6

soddisfare ab > 0 (e non solo ab = 0). ♦

Se esiste una soluzione questa è unica.

Dimostrazione. Siano ϕ e ϕ due soluzioni dello stesso problema di sopra. La funzione

1 2

2

− ∈ × D) risolve allora l’equazione senza sorgente

φ := ϕ ϕ C ((α, β)

1 2 2

1 ∂ φ 2

− −

+ ∆φ µ φ = 0 ,

2 2

c ∂t

con condizioni iniziali: ∂φ ∀x ∈

φ(0, x) = 0 , =0 , D,

∂t (0,x) · ∇φ

e condizioni al contorno rispettivamente:(i) φ = 0, oppure (ii) n = 0, oppure (iii)

 ‹

S S

· ∇φ ×

aφ +bn = 0 con ab > 0, dove S := (α, β) ∂D.

S S

Ragionando esattamente come in (2) di osservazioni 5.5 arriviamo a concludere che:

d ∂φ

Z I

n ∇φ ·

E(t, x) d x = n dS(x) .

dt ∂t

D +∂D

Si osservi che il secondo membro è una funzione continua di t come si prova subito dal teore-

ma della convergenza dominata notando che ∂D ha misura finita e che la funzione integranda

 ‹

è congiuntamente continua in tutte le variabili (vedi la sezione B.2 in Appendice). Concludiamo

che, per ogni T (α, β): T ∂φ

Z Z I

n ∇φ ·

E(T, x) d x = dt n dS(x) . (5.19)

∂t

D 0 +∂D

112 ‹



(In particolare, nel caso n = 1: T ∂φ ∂φ ∂φ

∂φ

Z Z − dt . (5.20)

E(T, x) dx = ∂t ∂x ∂t ∂x

D 0 b a

dove a e b sono gli estremi dell’intervallo D = (a, b).) Sopra abbiamo tenuto conto del fatto che,

n

R

nelle nostre ipotesi E per il campo φ si annulla a t = 0 e quindi E(0, x) d x = 0. Nel caso di

D

condizioni al contorno di tipo (i) e (ii) il secondo membro di (5.19) è evidentemente nullo. Nel

caso di condizioni al contorno di tipo (iii) si ottiene lo stesso risultato con un pò più di fatica

come proveremo alla fine. Concludiamo che, nelle nostre ipotesi, per ogni tipo di condizione al

n

R

∈ ≥

contorno e per ogni T (α, β), vale E(T, x) d x = 0 e quindi la funzione E 0 deve essere

‚ Œ

D

quasi ovunque nulla. Essendo continua deve essere ovunque nulla. In definiva abbiamo ottenuto

∈ ×

che, per ogni (t, x) (α, β) D: 2

" #

1 1 ∂φ(t, x) 2 2

∇φ(t, · ∇φ(t,

+ x) x) + µ φ(t, x)

E(t, x) := =0 .

2

2 c ∂t

Dato che si tratta di una somma di addendi non negativi ogni addendo deve essere nullo se-

×

paratamente. Se µ > 0 concludiamo che φ = 0 ovunque e quindi ϕ = ϕ su (α, β) D. Lo

1 2

stesso risultato si ottiene se µ = 0 osservando che, in virtù di quanto ottenuto sopra, le derivate

temporali di φ devono annullarsi. Concludiamo (applicando il teorema di Lagrange) che per

∈ ∈

ogni fissato x D, φ(t, x) = φ(0, x) per ogni t (α, β). Ma φ(0, x) = 0 nelle nostre ipotesi. In

×

definitiva ϕ = ϕ vale su (α, β) D e quindi il teorema di unicità è provato.

1 2

Per concludere la dimostrazione proviamo che il secondo membro di (5.19) è nullo anche per

ab

∇φ · −

condizioni al bordo di tipo (iii). Dato che n = φ, il secondo membro può ancora essere

scritto, 2

T T T

a ∂φ d

∂φ a a

I I

Z Z Z I 2

− − −

dt dt dt

φ dS(x) = dS(x) = φ dS(x) .

b ∂t 2b ∂t 2b dt

0 +∂D 0 +∂D 0 +∂D

Dove abbiamo usato note conseguenze del teorema della convergenza dominata (vedi la sezione

2

B.2 in Appendice). In definitiva, dato che φ (0, x) = 0 su D:

T

a d a

Z Z I I

n 2 2

− −

E(T, x) d x = dt φ dS(x) = φ (T, x) dS(x) .

2b dt 2b

D 0 +∂D +∂D

Si osservi che se ab > 0 significa che a e b hanno lo stesso segno e pertanto:

a I 2

− ≤

φ (T, x) dS(x) 0 .

2b +∂D n

R

≥ ≥

D’altra parte, dato che E 0 abbiamo anche che E(T, x) d x 0. Di conseguenza

D

l’identità ottenuta: a I

Z 2

n −

E(T, x) d x = ϕ (T, x) dS(x) ,

2b +∂D

D 113

2

n

R

implica che: E(T, x) d x = 0.

D

Osservazioni 5.6.

(1) Il teorema di unicità provato è valido, e si dimostra nello stesso modo, per il caso di funzioni

a valori complessi, usando la forma (5.15) della densità di energia.

(2) Con una procedura di limite ed eseguendo in ordine diverso alcune delle integrazioni fatte

nella dimostrazione di sopra, il risultato presentato nel teorema si può estendere al caso in cui

2 1 1 0

∈ × ∩ × ∈ ∈

si richiede più debolmente ϕ C ((0, β) D) C ((0, β) D), con ϕ C (D) e ϕ C (D),

0 1

1 0

e ψ C (S) in (ii) e C (S) in (i) e (iii). In questa situazione però è necessario assumere che

il volume D sia più regolare e che sia ottenibile (in un preciso senso che non chiariremo qui)

⊂ · · · ⊂ ⊂ ⊂ · · · ⊂

come limite di una successione di domini D D D D in modo tale che

1 n n+1

V ol(∂D ) V ol(∂D).

n n

(3) Lavorando su tutto lo spazio , si può dimostrare, e noi lo faremo per l’equazione di D’A-

R

lembert sulla retta reale, che se al tempo t = 0 i dati iniziali sono a supporto compatto, allora la

n

soluzione ϕ = ϕ(t, x), dell’equazione di Klein-Gordon/D’Alembert senza sorgente su (α, β)×R ,

0 0 0 0

n

× ⊂

ha supporto compatto quando ristretta ad ogni insieme [α , β ] , con [α , β ] (α, β). Que-

R

sto risultato non è per nulla ovvio, per esempio non vale per equazioni paraboliche oppure per

l’equazione di Schrödinger. In base a tale risultato il seguente teorema di unicità non risulta

essere inutile. 2 n

3 ∈ ×

Teorema 5.2. Sia (α, β) 0 Si consideri il problema di determinare ϕ C ((α, β) )

R

che soddisfi l’equazione differenziale di Klein-Gordon:

2

1 ∂ ϕ 2

− −

+ ∆ϕ µ ϕ = 0 ,

2 2

c ∂t ≥

(incluso il caso di D’Alembert µ = 0) dove la costante µ 0 è assegnata. Supponendo ulterior-

mente che siano state imposte condizioni iniziali:

∂ϕ n 2 n 1 n

∀x ∈ ∈ ∈

ϕ(0, x) = ϕ (x) , = ϕ (x) , , con ϕ C (R ) e ϕ C (R ) assegnate.

R

0 1 0 1

0 0

∂t (0,x)

Se esiste una soluzione ϕ tale che ha supporto compatto quando ristretta ad ogni insieme

0 0 0 0

n

× ⊂ ♦

[α , β ] , con [α , β ] (α, β), tale soluzione è unica.

R − ∈

Dimostrazione. Siano ϕ e ϕ due soluzioni del problema. Consideriamo φ := ϕ ϕ

1 2 1 2

2 n

×

C ((α, β) ). Questa è ancora una soluzione del problema, con dati iniziali nulli ed ha

R 0 0 0 0

n

× ⊂

supporto compatto quando ristretta ad ogni insieme [α , β ] , con [α , β ] (α, β). Fissato

R

0 0 ⊂

[α , β ] (α, β), dato che il supporto di φ ristretta a tale insieme è compatto e quindi limitato,

n

consideriamo una palla chiusa di raggio finito e centrata nell’origine, B in modo tale

R

0 0 ×

che [α , β ] B includa il supporto di φ. Consideriamo poi una seconda palla aperta di raggio

n

finito e centrata nell’origine, D che includa la palla chiusa B. Per costruzione, per ogni

R

0 0 n

∈ 3 7→ ∪

T [α , β ], la funzione x φ(T, x) si annulla su D ∂D, ma anche nella corona sferica

R 114

\

aperta D B. Di conseguenza, si annulla con tutte le sue derivate (spaziali e temporali) fino

 ‹

a secondo ordine su ∂D. Lavorando come nella dimostrazione del teorema precedente abbiamo

0 0

che, per ogni T [α , β ]: T ∂φ

Z Z I

n ∇φ ·

E(T, x) d x = dt n dS(x) = 0 ,

∂t

D 0 +∂D

×

dato che su [0, T ] ∂D la funzione φ e le sue derivate sono nulle. Ragionando come nel caso

∈ ∈

del teorema precedente si ha φ(T, x) = 0 per ogni T (α, β) e x D, ma qundi anche fuori da

D dato che fuori da tale insieme φ si annulla per ipotesi. Di conseguenza: ϕ (t, x) = ϕ (t, x)

1 2

2

n

×

ovunque su (α, β) .

R

Osservazioni 5.7. È interessante notare che, nelle ipotesi del teorema, scegliendo cioè D

0 0

abbastanza grande in modo tale che ∂D non intersechi mai il supporto di ϕ(t, x) per t (α , β ),

E n n

R R

abbiamo che := E(t, x) d x = E(t, x) d x. In questo modo abbiamo una nozione di

n

D R

energia totale associata al campo ϕ e tale energia è conservata nel tempo essendo, come è provato

E

dE

nel teorema = 0. Il valore di dipende ovviamente dalla soluzione ϕ considerata.

dt 115

Capitolo 6

Equazione di D’Alembert e di

× ×

Klein-Gordon in e [a, b].

R R R

In questo capitolo studieremo il problema dell’equazione di D’Alembert sul dominio spaziale

dato da tutto in assenza di condizioni al contorno. Successivamente discuteremo alcuni sem-

R

plici risultati per l’equazione di D’Alembert e Klein-Gordon con un dominio spaziale dato da un

segmento con l’aggiunta di condizioni al contorno, facendo uso di elementari teoremi della teoria

della serie di Fourier. Nel caso dell’equazione di D’Alembert, estenderemo qualche risultato al

caso di oscillazioni di memebrane. Dopo avere mostrato come l’equazione di D’Alembert descri-

va anche le onde sonore nei gas in approssimazione adiabatica, useremo i risultati ottenuti per

l’equazione di D’Alembert per descrivere, in modo piuttosto idealizzato e generale, il funziona-

mento di alcuni strumenti musicali a corde e cassa armonica facendo anche un breve escursus

nella teoria matematica della musuca.

6.1 Equazione di D’Alembert sulla retta reale senza condizioni

al contorno. 2

Consideriamo l’equazione di D’Alembert in e quindi con x che varia su tutta la retta reale.

R

Benché si tratti di un caso molto particolare, è possibile in questo caso, scrivere esplicitamente la

soluzione dell’equazione di D’Alembert. Inoltre molte delle proprietà di queste soluzioni hanno

validità molto generale anche in dimensione maggiore ed in varietà ambiente (spazitempo) curve.

116

6.1.1 Assenza di sorgenti, formula di D’Alembert, domini di dipendenza.

Per prima cosa ci occupiamo del problema con soli dati iniziali ed in assenza di sorgenti (non ci

sono dati al bordo in questo caso): 2 2

 ∂ ϕ ∂ ϕ

1 2 2

 + = 0 , ϕ C (R ) ,

 2 2 2

c ∂t ∂x

 (6.1)

∀x ∈

ϕ(0, x) = φ (x) ,

R

0

∂ϕ

 ∀x ∈

 (0, x) = φ (x) ,

R

 1

 ∂t

2 1

∈ ∈

dove φ C (R) e φ C (R) sono funzioni assegnate. Dimostreremo un teorema di esistenza

0 1

ed unicità per il problema (6.1), dando esplicitamente l’espressione della soluzione in funzione

dei dati iniziali. Successivamente, in un’osservazione, mostreremo anche che il problema è ben

posto nel senso di Hadamard.

Per risolvere l’equazione differenziale di D’Alembert:

2 2

∂ ϕ ∂ ϕ

1

− + =0 , (6.2)

2 2 2

c ∂t ∂x

facciamo il cambiamento di coordinate v := (x−ct)/2 e w = (x+ct)/2 che si inverte in x = v +w

∞ ∞

2 2

e t = (w v)/c e pertanto definisce una funzione biettiva C da in con inversa C . Con

R R

questa scelta risulta: ∂ ∂ 1 ∂ ∂ ∂ 1 ∂

− ‚ Œ

= , = +

 ‹ ‹

∂v ∂x c ∂t ∂v ∂x c ∂t

2 2

e quindi si ha, per ogni funzione ϕ C (R ): 2 2

∂ ∂ ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ ∂

− −

ϕ(t(v, w), x(v, w)) = + ϕ(t, x) = + ϕ(t, x) .

2 2 2

∂v ∂w ∂x c ∂t ∂x c ∂t c ∂t ∂x

2 2 2 2

Concludiamo che: ϕ C (R ) risolve (6.2) se e solo se la funzione C (R ), definita come

ψ(v, w) := ϕ(t(v, w), x(v, w)), risolve 2

∂ ψ =0 . (6.3)

∂v∂w

Abbiamo allora il seguenti due lemmi.

2

Lemma 6.1. Sia Ω un aperto connesso per segmenti paralleli all’asse x (cioè , per ogni

R

coppia di punti in Ω il segmento parallelo all’asse x che li congiunge è tutto incluso in Ω). Se

∂φ

φ : Ω è ovunque derivabile nella variabile x e soddisfa = 0 ovunque su Ω, allora, su

R ∂x ♦

tutto Ω, φ(x, y) = F (y) per qualche funzione F della sola variabile y.

0 ∈

Dimostrazione. Si considerino due punti (x, y), (x , y) Ω, con y fissato arbitrariamente. Il

7→

teorema di Lagrange per la funzione s φ(s, y) può essere applicato sul segmento chiuso pa-

0

rallelo all’asse x che connette (x, y) e (x , y), dato che tale segmento è tutti incluso nel dominio

117

7→

della funzione φ e che la funzione s φ(s, y) è derivabile su tale segmento per ipotesi. Si ot-

∂φ

0 0 0

− − |

tiene allora φ(x, y) φ(x , y) = (x x ) = 0, cioè φ(x, y) = φ(x , y). Indichiamo allora

(ξ,y)

∂x

con F (y) il valore comune che φ assume sui punti in Ω appartenenti alla retta parallela all’as-

2

se x e tracciata alla generica quota y. Per costruzione, vale φ(x, y) = F (y) per ogni (x, y) Ω.

Osservazioni 6.1. Il risultato è meno banale di quello che si potrebbe credere a prima vista,

ed è per questo che lo abbiamo dimostrato esplicitamente. Infatti, se Ω non è connesso per

∂φ

segmenti paralleli all’asse x, la condizione = 0 ovunque su Ω non assicura che si possa

∂x

scrivere φ(x, y) = F (y) per qualche funzione F della sola variabile y! Si consideri infatti l’aperto

2 2

\ {(x, ∈ | ≥

Ω = y) x = 0 , y 0} e su di esso la funzione φ = φ(x, y) definita come segue.

R R

(i) φ(x, y) = 0 se y < 0, ≥

(ii) φ(x, y) = 0 se x > 0 e y 0, 1

(iii) φ(x, y) = h(y) se y 0 e x < 0, dove h è una qualsiasi (ma fissata) funzione C ([0, +∞))

∈ ∈

che vale 0 per y [0, 1/3] e 1 per y [2/3, +∞). ∂φ

1

La funzione φ costruita in questo modo è in C (Ω) e soddisfa = 0 ovunque su Ω, ma non

∂x

è possibile scrivere φ(x, y) = F (y) per qualche funzione F della sola variabile y: se ciò fosse

possibile avremmo 1 = φ(−1, 1) = F (1) = φ(1, 1) = 0.

2 2

Lemma 6.2. La funzione ϕ C (R ) risolve l’equazione (6.2) se e solo se è della forma

2

− ∈

ϕ(t, x) = f (x ct) + g(x + ct) , per ogni (t, x) , (6.4)

R

2

∈ ♦

dove f, g C (R).

Dimostrazione. Per quanto detto prima dell’enunciato del lemma 6.1, definita la funzione

2 2

in C (R ) data da ψ(v, w) := ϕ(t(v, w), x(v, w)), è sufficiente dimostrare che le soluzioni di

2

(6.3) sono tutte e sole della forma ψ(v, w) = k(v) + h(w) dove k, h C (R) e quindi definire

2 2

f (x−ct) := k((x−ct)/2) e g(x+ct) := h((x+ct)/2). Dimostriamo quanto detto. Se ψ C (R )

∂G(v,w)

∂ψ 2

soddisfa la (6.3), poniamo G(u, w) := . Valendo = 0, per (v, w) che è sicuramente

R

∂w ∂v ∂ψ

connesso per segmenti paralleli all’asse v, per il lemma 6.1 concludiamo che = F (w) per una

∂w

1 2 2

certa funzione F . Tale funzione deve essere C , e quindi integrabile, dato che ψ C (R ). Dato

2

che è anche connesso per segmenti paralleli all’asse w, possiamo allora scrivere, per v, w

R 0

fissati: w

w ∂ψ Z

Z 0 0 0 0

(v, w )dw = F (w )dw .

∂w w

w 0

0

Da cui: w

Z 0 0

ψ(v, w) = ψ(v, w ) + F (w )dw ,

0 w

0

che possiamo riscrivere: ψ(v, w) = k(v) + h(w) ,

w 0 0 2

R

dove k(v) := ψ(v, w ) e h(w) := F (w )dw . Le funzioni k e h risultano essere funzioni C (R)

0 w

0 2 2

∈ ∈

per costruzione. Viceversa, se ψ(v, w) = k(v) + h(w) per ogni (u, v) con k, h C (R),

R

118 2

2 2

allora ψ C (R ) e risolve (6.3), come si verifica immediatamente.

Dato che ora abbiamo la classe completa delle soluzioni dell’equazione (6.2), non ci resta che

verificare se esistano, in tale classe, delle soluzioni che soddisfino anche le condizioni inziali del

problema (6.1). Arriviamo in tal modo al seguente teorema di esistenza ed unicità di D’Alembert.

Teorema 6.1. Esiste ed è unica la soluzione ϕ del problema (6.1) per ogni scelta delle con-

2 1

∈ ∈

dizioni iniziali φ C (R) e φ C (R). Tale soluzione si esprime tramite la formula di

0 1

D’Alembert: x+ct

1 1 Z

ϕ(t, x) = φ (ξ) dξ . (6.5)

[φ (x ct) + φ (x + ct)] + 1

0 0

2 2c x−ct

Dimostrazione. Sappiamo dal lemma 6.2 che, se esiste, la soluzione deve avere forma ϕ(t, x) =

2

− ∈

f (x ct) + g(x + ct), dove f, g C (R). Vogliamo determinare f e g in funzione delle condizioni

0 0 0

iniziali. Per t = 0 deve allora risultare φ (x) = f (x) + g(x) e quindi φ (x) = f (x) + g (x).

0 0

0 0 0 0

1

−cf −

Dato che vale anche φ (x) = (x) + cg (x), ricaviamo subito: f (x) = (cφ (x) φ (x)) e

1 1

0

2c

0 0

1

g (x) = (cφ (x) + φ (x)). Possiamo integrare queste espressioni ottenendo, se a, b sono costati

1

0

2c

reali, x x

1

1 1 1

Z Z

− φ (ξ)dξ , g(x) = b + φ (ξ)dξ .

f (x) = a + φ (x) φ (x) +

1 1

0 0

2 2c 2 2c

0 0

Di conseguenza, se esiste una soluzione al problema è nella classe di funzioni, parametrizzata

dalle costanti A R: x−ct x+ct

1 1

1 1

Z Z

− −

ϕ(t, x) = A + φ (ξ)dξ + φ (ξ)dξ .

φ (x ct) φ (x + ct) +

1 1

0 0

2 2c 2 2c

0 0

2

Si osservi ogni funzione di tale classe è C per costruzione e soddisfa necessariamente (6.2) per

ogni scelta di A dato che è proprio della forma richiesta nel lemma 6.2. La prima condizione

R,

iniziale è soddisfatta solo se A = 0, valendo ϕ(0, x) = A + φ (x), e la seconda condizione iniziale

0

∂ϕ

è sempre soddisfatta, valendo: (0, x) = φ (x). In definitiva l’unica soluzione al problema (6.1)

1

∂t

è la funzione della classe di sopra con A = 0. Possiamo riscrivere la soluzione come:

0 x+ct

1 1

1 1

Z Z

ϕ(t, x) = φ (x ct) + φ (ξ)dξ + φ (x + ct) + φ (ξ)dξ ,

1 1

0 0

2 2c 2 2c

x−ct 0

e quindi: x+ct

1 1 Z

ϕ(t, x) = [φ (x ct) + φ (x + ct)] + φ (ξ) dξ .

0 0 1

2 2c x−ct

2

Osservazioni 6.2.

(1) La forma generale della soluzione dell’equazione di D’Alembert ha comunque una struttura

della forma: −

ϕ(t, x) = f (x ct) + g(x + ct) .

119

Il primo addendo a secondo membro rappresenta un profilo d’onda che procede da sinistra verso

destra traslando senza deformarsi, alla velocità c (infatti, in un intervallo di tempo ∆t, il profilo

trasla di un intervallo di spazio ∆x = c∆t). Questo tipo di onda è detta onda progressiva.

Il secondo addendo a secondo membro rappresenta un profilo d’onda che procede da destra

verso sinistra traslando senza deformarsi, alla velocità c. Questo tipo di onda è detta onda re-

gressiva. In questo senso la costante c che appare nell’equazione di D’Alembert rappresenta

la velocità di propagazione delle perturbazioni soluzioni dell’equazione. In dimensione spaziale

maggiore di 1, la situazione è analoga, ma si assiste anche ad una deformazione del profilo della

perturbazione; in ogni caso si riesce a provare che la costante c ha ancora lo stesso significato

fisico, dopo avere introdotto la nozione di velocità di fase, della quale qui non ci occuperemo.

(2) Consideriamo il problema (6.1) e la sua soluzione espressa dalla formula di D’alembert (6.5).

2

Se (a, b) è limitato, si definisce in il dominio di dipendenza futuro D (a, b) come

R R +

l’insieme chiuso dato dal triangolo di base [a, b] sull’asse t = 0 e vertice nel semipiano t > 0

individuato dall’intersezione delle due rette che partono da a e b rispettivamente ed hanno incli-

−1/c

nazione 1/c e rispettivamente. Tale vertice ha coordinate x = (a+b)/2 e t = (b−a)/(2c).

+ +

Si definisce analogamente il dominio di dipendenza passato D (a, b) come l’insieme chiuso

dato dal triangolo di base [a, b] sull’asse t = 0 e vertice nel semipiano t < 0 individuato dall’in-

−1/c

tersezione delle due rette che partono da a e b rispettivamente ed hanno inclinazione e 1/c

−(b −

rispettivamente. Tale vertice ha coordinate x = (a + b)/2 e t = a)/(2c). Il dominio di

− −

dipendenza D(a, b) è , per definizione l’unione di D (a, b) e D (a, b). Si osservi che le rette di

+

±1/c,

inclinazione che individuano il bordo di D(a, b), sono rette caratteristiche per l’equazione

di D’Alembert. ∈

Se si considera un punto (t , x ) D (a, b), la formula di D’alembert per in campo ϕ valutato in

0 0 +

(t , x ), mostra che il valore ϕ(t , x ) dipende solo dal valore di φ e φ in [a, b]. Più precisamente,

0 0 0 0 0 1 − ⊂

i valori rilevanti di φ e φ sono quelli che cadono nel sottointervallo [x ct , x + ct ] [a, b].

0 1 0 0 0 0

Tale sottointervallo si ottiene intersecando con l’asse t = 0 le due rette caratteristiche emanate,

verso il passato, da (t , x ). Un discorso analogo si può fare per i punto in D (a, b).

0 0

La formula di D’Alembert implica quindi che, all’interno di D(a, b), la funzione ϕ sia completa-

mente determinata dalle due condizioni iniziali ristrette ad [a, b], nel senso che, se alteriamo tali

condizioni iniziali fuori da [a, b], la soluzione ϕ non risulta essere alterata dentro D(a, b).

L’esistenza di domini di dipendenza con le proprietà dette è comune alla teoria di tutte le equa-

zioni differenziali a derivate parziali del secondo ordine di tipo iperbolico su varietà differenziabili

Lorentziane, cioè su spazitempo (generalmente curvi), quando la forma quadratica dell’equazio-

ne è data dalla stessa metrica dello spaziotempo. Si tratta di uno dei punti di partenza per

sviluppare la teoria della causalità in teoria dei campi in ambiente relativistico generale.

(3) La formula di D’Alembert implica che il problema iperbolico (6.1) sia ben posto nel senso

di Hadamard. Sappiamo già che la soluzione esiste ed è unica, dobbiamo quindi studiare la di-

pendenza continua dai dati iniziali. L’ambiente naturale in cui studiare questo problema è un

dominio di dipendenza. Consideriamo due set di condizioni iniziali φ , φ e φ , φ , indichiamo con

0 1 0 1

e e ⊂

ϕ e ϕ le corrispondenti soluzioni dell’equazione di D’Alembert, fissiamo un intervallo [a, b] e

R

e

l’associato dominio di dipendenza D(a, b). Dalla formula di D’Alembert segue immediatamente

120

á ∈

che, se (t, x) D(a, b) x+ct

1 1 1 Z

|ϕ(t, ≤ |φ |φ |φ

x)− ϕ

(t, x)| sup (ξ)− φ (ξ)|+ sup (ξ)− φ (ξ)|+ sup (ξ)− φ (ξ)| dξ .

0 0 0 0 1 1

e e e

2 2 2c x−ct

ξ∈[a,b] ξ∈[a,b] ξ∈[a,b]

L’ultimo integrale vale t e quindi è maggiorato da T pari all’altezza del triangolo D (a, b).

+

[a,b]

|| · ||

In definitva abbiamo trovato che, se indica la norma dell’estremo superiore calcolata

∞ A

restringendo il dominio delle funzioni all’insieme A,

||ϕ − ≤ ||φ − || ||φ − ||

ϕ|| φ + T φ . (6.6)

0 0 1 1

∞ ∞ ∞

e e

D(a,b) [a,b] [a,b] [a,b]

e

Se deriviamo entrambi i membri della formula di D’Alembert nella variabile t otteniamo che

1

c 0 0

−φ − −

(x ct) + φ (x + ct) +

∂ ϕ(t, x) = (φ (x + ct) + φ (x ct)) .

t 1 1

0 0

2 2

In conseguenza di quanto trovato abbiamo che:

∂ ϕ

∂ϕ 0 0

e

− ≤ − || ||φ − ||

c||φ φ + φ .

1 1

∞ ∞

e e

[a,b] [a,b]

0 0

∂t ∂t ∞ D(a,b)

In modo analogo abbiamo anche che:

∂ ϕ 1

∂ϕ 0 0

e

− ||φ − ||

≤ ||φ − || φ .

φ + 1 1 ∞

∞ e

e [a,b]

[a,b]

0 0

∂x ∂x c

∞ D(a,b)

Valgono, e si ottengono con la stessa procedura, delle disuguaglianze per le derivate seconde:

2 2

∂ ϕ ∂ ϕ 1 0 0

00 00

e

− ||φ − ||

≤ ||φ − || φ ,

φ + ∞

∞ e

e [a,b]

[a,b] 1 1

0 0

2 2

∂x ∂x c

∞ D(a,b)

2

2 ∂ ϕ

∂ ϕ 00 00 0 0

2

e

− ≤ ||φ − || − ||

c φ + c||φ φ ,

∞ ∞

e e

[a,b] [a,b]

0 0 1 1

2 2

∂t ∂t ∞ D(a,b)

2

2 ∂ ϕ

∂ ϕ 00 00 0 0

e

− ≤ − || ||φ − ||

c||φ φ + φ .

∞ ∞

e e

[a,b] [a,b]

0 0 1 1

∂t∂x ∂t∂x ∞ D(a,b)

Queste relazioni mostrano come, prendendo condizioni iniziali vicine fino ad un certo ordine

di differenziabilità , si ottengono soluzioni vicine fino all’ordine di differenziabilità considerato.

Questo è proprio il senso della dipendenza continua dai dati iniziali proposta da Hadamard.

Questa proprietà si generalizza a equazioni differenziali di tipo iperbolico in dimensione ed am-

bienti molto più generali. 2

(4) La formula di D’Alembert definisce una funzione ϕ su anche se le due funzioni φ e φ

R 0 1

2

non sono C in qualche punto isolato di attorno al quale φ sia comunque integrabile. Per-

R 1

ché esista ϕ definita dal secondo membro della formula di D’Alembert è , a rigore, sufficiente che

φ sia integrabile. Si vede facilmente che se x è uno dei punti isolati di singolarità di φ o φ ,

1 0 0 1

121 2

il secondo membro della formula di D’Alembert è una funzione ovunque C che soddisfa l’equa-

zione di D’alembert e le condizioni iniziale, eccetto che sulle rette caratteristiche che escono dal

punto (0, x ) (e sulle rette analoghe che escono dagli altri punti isolati di singolarità ). In questo

0

senso le singolarità delle condizioni iniziali si propagano lungo le curve caratteristiche. Questo

fatto è piuttosto generale e vale per equazioni differanziali di tipo iperbolico in dimensione ed

ambienti molto più generali.

L’osservazione (3) di sopra ha un’importante conseguenza precedentemente preannunciata.

⊂ ×

Dato [a, b] pensato come retta a t = 0 in definiamo lo sviluppo causale di [a, b],

R, R R,

⊂ ×

indicato con J(a, b) come l’insieme (chiuso) dei punti di che possono essere raggiunti

R, R R

da una retta di pendenza in valore assoluto 1/c emanata da [a, b] (quindi per esempio la retta

∈ ∈

x = x [a, b] costante, per t R.

0

J(a, b) risulta essere l’unione dei due coni infiniti, uno di vertice con coordinate x = (a + b)/2

+

(cioè il punto medio di (a, b)) e t = (b a)/(2c), emanato verso il passato, e l’altro di vertice

+ 2

−t \

di coordinate x = x e t = emanato verso il futuro. Si osservi ancora che J(a, b) è

R

− −

+ +

l’unione di tutti i domini di dipendenza D(c, d) con c > b oppure d < a.

Teorema 6.2. Se nel problema (6.1) le condizioni iniziali sono scelte a supporto compatto:

2 1

∈ ∈ ⊃ ∪

φ C (R) e φ C (R), e [a, b] suppφ suppφ , allora la soluzione ϕ del problema è nulla

0 1 0 1

0 0 3

fuori da J(a, b). Di conseguenza, per ogni fissato [α, β] con [α, β] 0:

×

(a) il supporto della soluzione ϕ ristretta a [α, β] è compatto;

R 2

∈ 3 7→

(b) per ogni fissato t [α, β], il supporto di x ϕ(t, x) è compatto in

R R.

Dimostrazione. Dalla (6.6), scegliendo ϕ come la funzione ovunque nulla (che quindi risolve

e

il problema con dati iniziali ovunque nulli), troviamo:

||ϕ|| ≤ ||φ || ||φ ||

+ T .

0 0 0 0 0 0 0 0

0 1

∞ ∞ ∞

D(a ,b ) [a ,b ] [a ,b ] [a ,b ]

Fissiamo ora un qualsiasi punto (t , x ) fuori da J(a, b) con t 0. Per definizione di J(a, b),

0 0 0

0 0 0 0

se a = x ct e b = x + ct , allora [a , b ] non interseca mai [a, b]. Dato che [a, b] contiene i

0 0 0 0 0 0

supporti di φ e φ , tali funzioni sono nulle in [a , b ]. Concludiamo che

0 1

≤ ||ϕ|| ≤ ||φ || ||φ ||

0 + T = 0 + 0 = 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 1

∞ ∞ ∞

D(a ,b ) [a ,b ] [a ,b ] [a ,b ]

0 0

e quindi, in particolare, dato che (t , x ) D(a , b ), ϕ(t , x ) = 0. Fissiamo infine il compatto

0 0

0 0

⊂ 3

[α, β] con [α, β] 0. Tenendo conto della forma di J(a, b) che è dato dall’unione di due

R

coni come precisato sopra, segue subito che il supporto di ϕ ristretta alla regione chiusa tra le

due rette t = α e t = β, è contenuto nell’unione dei due trapezi chiusi di base minore in comune

data da [a, b] e basi maggiori individuate dalla porzione delle rette t = α e t = β che cadono in

J(a, b). Tale insieme è evidentemente limitato, pertanto il supporto di ϕ ristretta alla regione

chiusa tra le due rette t = α e t = β, che è un insieme chiuso per definizione, è anch’esso com-

3 7→ ∈

patto. Il supporto di x ϕ(t, x), con t [α, β], è un chiuso sottoinsieme di un compatto

R 2

ed è pertanto anch’esso compatto. 122

Osservazioni 6.3. Come già osservato precedentemente, ma ora possiamo essere più chiari,

n

×

le due proprietà (a) e (b) sono valide anche in per le soluzioni dell’equazione di Klein-

R R

Gordon e d’Alembert quando i dati iniziali hanno supporto compatto (e tale fatto vale in maniera

molto generale per soluzioni di equazioni iperboliche su uno spaziotempo curvo con la proprietà

della “globale iperbolicità”). Nel caso generale però, la dimostrazione di (a) e (b) è molto più

complicata.

6.1.2 Equazione di D’Alembert su tutta la retta con sorgente.

Consideriamo ora il problema con sorgente, data dalla funzione f :

2 2

 1 ∂ ϕ ∂ ϕ 2 2

− ∈

 + = f (t, x) , ϕ C (R ) ,

 2 2 2

c ∂t ∂x

 (6.7)

∀x ∈

ϕ(0, x) = φ (x) ,

R

0

∂ϕ

 ∀x ∈

 (0, x) = φ (x) ,

R

 1

 ∂t

2 1 0 2

∈ ∈ ∈

dove φ C (R) e φ C (R), f C (R ) sono funzioni assegnate.

0 1

Abbiamo un primo risultato, abbastanza semplice, che riguarda l’unicità della soluzione. 2

Teorema 6.3. Se esiste una soluzione al problema (6.7) con fissati dati φ C (R) e

0

1 0 2

∈ ∈ ♦

φ C (R), f C (R ), allora è unica.

1 2

Dimostrazione. Se ϕ e ϕ risolvono il problema (6.7) con gli stessi dati φ C (R) e

1 2 0

1 0 2

∈ ∈ −

φ C (R), f C (R ) allora ϕ := ϕ ϕ risolve il problema (6.1) con condizioni iniziali nul-

1 1 2

le. In base al teorema 6.1 deve essere ϕ(t, x) = 0 ovunque, dato che la soluzione ovunque nulla

2

risolve il problema posto ed è l’unica a farlo. Pertanto ϕ (t, x) = ϕ (t, x) per ogni (t, x) .

R

1 2

2 1 2

Passiamo a dimostrare un teorema di esistenza nel caso in cui f C (R ). Possiamo decomporre

la funzione ϕ in due parti ϕ = φ + Φ, in cui φ soddisfa il problema omogeneo

2 2

 1 ∂ φ ∂ φ 2 2

− ∈

 + = 0 , φ C (R ) ,

 2 2 2

c ∂t ∂x

 (6.8)

∀x ∈

φ(0, x) = φ (x) ,

R

0

∂φ

 ∀x ∈

 (0, x) = φ (x) ,

R

 1

 ∂t

mentre Φ soddisfa il problema con sorgente, ma con dati iniziali nulli

2 2

 1 ∂ Φ ∂ Φ 2 2

 + = f (t, x) , Φ C (R ) ,

 2 2 2

c ∂t ∂x

 (6.9)

∀x ∈

Φ(0, x) = 0 ,

R

∂Φ

 ∀x ∈

 (0, x) = 0 .

R

 ∂t 123

Dovrebbe essere ovvio che ϕ = φ+Φ soddisfa (6.7) se le due funzioni hanno le proprietà richieste.

La funzione φ esiste sicuramente in base al teorema 6.1. Mostriamo ora che esiste anche una

funzione Φ che risolve (6.9). Consideriamo infatti:

t x+c(t−τ )

c Z Z

Φ(t, x) := dτ dξf (τ, ξ) . (6.10)

2 0 x−c(t−τ )

Si osservi che l’integrale può essere riscritto (anche se t 0) come l’integrale doppio di Riemann

(o Lebesgue) c Z

Φ(t, x) := sign(t) f (τ, ξ) dτ dξ ,

2 A(t,x)

−1

dove sign(t) := 1 se t > 0, sign(t) := se t < 0, sign(t) = 0 se t = 0 e il dominio d’integrazione

A(t, x) nel piano (τ, ξ) è un compatto essendo dato dal triangolo di base [x ct, x + ct] sull’asse

τ = 0 e vertice (t, x), e quindi la funzione continua f è dunque integrabile su tale dominio. Si

− ≥ − ≤

noti che quindi A(t, x) = D (x ct, x + ct) se t 0, oppure A(t, x) = D (x ct, x + ct) se t 0.

‚ Œ

Œ ‚

+

Vale, applicando i soliti teoremi di passaggio della derivata sotto il segno di integrale ove

necessario, x+c(t−τ )

x+c(t−τ )

t x+c(t−t) t

c c c Z

Z

Z Z Z

−∂ − dξf (τ, ξ) ,

dξf (τ, ξ) =

dτ dξf (t, ξ) + dτ ∂

t t

2 2 2 x−c(t−τ )

x−c(t−τ )

0 x−c(t−t) 0

e quindi 2 t

c Z

−∂ − − −

Φ(t, x) = 0 + dτ [f (τ, x + c(t τ )) + f (τ, x c(t τ ))] . (6.11)

t 2 0 1 2

Passando alla derivata seconda, ed usando esplicitamente il fatto che f C (R ),

t

2 Z

2

− − − −

dτ [f (τ, x + c(t τ )) + f (τ, x c(t τ ))]

∂ Φ(t, x) = ∂ t

t

2

c 0 t

Z − − − −

− − − dτ [∂ f (τ, x + c(t τ )) ∂ f (τ, x c(t τ ))] .

= [f (t, x + c(t t)) + f (t, x c(t t))] + c x x

0

Abbiamo ottenuto: t

1 c Z

2

− − − − −

dτ [∂ f (τ, x + c(t τ )) ∂ f (τ, x c(t τ ))] . (6.12)

∂ Φ(t, x) = f (t, x) + x x

t

2

c 2 0

Similmente: t x+c(t−τ ) t

c c

Z Z Z

−∂ − − − − −

∂ Φ(t, x) = dτ dξf (τ, ξ) = dτ [f (τ, x + c(t τ )) f (τ, x c(t τ ))] ,

x x 2 2

0 x−c(t−τ ) 0

e quindi: t

c Z

2 − − − − −

∂ Φ(t, x) = dτ [∂ f (τ, x + c(t τ )) ∂ f (τ, x c(t τ ))] . (6.13)

x x

x 2 0 124

Sommando membro a membro (6.12) e (6.13) otteniamo:

2 2

1 ∂ Φ ∂ Φ

− + = f.

2 2 2

c ∂t ∂x

Da (6.10) e (6.11) abbiamo immediatamente che Φ soddisfa anche le condizioni iniziali nulle del

2 2

problema (6.9) come volevamo. Si osservi che la funzione Φ risulta essere C (R ), le derivate

seconde in x e t sono state calcolate sopra e si prova facilmente che sono continue, le derivate

miste si calcolano analogamente e forniscono:

2 t

c Z

− − − −

∂ ∂ Φ(t, x) = ∂ ∂ Φ(t, x) = dτ [∂ f (τ, x + c(t τ )) + ∂ f (τ, x c(t τ ))] ,

x t t x x x

2 0

1 2

che è una funzione continua se f C (R ).

Abbiamo provato il seguente teorema. 2 1 1 2

∈ ∈ ∈

Teorema 6.4. Si consideri il problema (6.7) dove φ C (R) e φ C (R), f C (R )

0 1

sono funzioni assegnate. Esiste ed è unica la soluzione ϕ di tale problema e si esprime come:

x+c(t−τ )

x+ct t

1 c

1 Z

Z Z

ϕ(t, x) = dξf (τ, ξ) .

φ (ξ) dξ dτ

[φ (x ct) + φ (x + ct)] + 1

0 0

2 2c 2 x−c(t−τ )

x−ct 0

2

Osservazioni 6.4. La formula (6.10), come già osservato può essere scritta come

c Z

Φ(t, x) := sign(t) f (τ, ξ) dτ dξ ,

2 A(t,x)

− ≥ −

dove A(t, x) è un dominio compatto dato da D (x ct, x + ct) se t 0, oppure D (x ct, x + ct)

+

se t 0. Possiamo riscrivere la formula che determina Φ come

Z

Φ(t, x) := G(t, x|τ, ξ)f (τ, ξ) dτ dξ ,

2

R −

dove G(t, x|τ, ξ) non è altro che la funzione caratteristica, nel piano (τ, ξ), di D (x ct, x + ct) se

+

≥ − ≤ −(c/2)sign(t).

t 0, oppure D (x ct, x + ct) se t 0, moltiplicata per il fattore Tale funzione

(in realtà è più propriamente pensabile come una funzione generalizzata o distribuzione) si chia-

ma funzione di Green (con condizioni di annullamento sulla superficie t = 0) dell’operatore

2

di D’Alembert su :

R 1

2 2 2

:= ∂ + ∂ .

t x

2

c

Le funzioni di Green per le equazioni iperboliche possono essere definite (con vari dati iniziali)

anche in dimensione maggiore ed in ambienti più generali. Esse giocano un ruolo importante

negli sviluppi della teoria specie nelle teorie relativistiche (come dimostrato da Riesz, Hadamard

e Leray, Hörmander). 125

6.2 Dalla separazione delle variabili alla serie di Fourier.

Consideriamo ora il problema di dover risolvere l’equazione di D’Alembert senza sorgente per la

⊂ ∈ 3

funzione ϕ = ϕ(t, x) quando il dominio spaziale è un intervallo [−L/2, L/2] e t (α, β) 0,

R

nella situazione in cui, oltre a condizioni iniziali a t = 0, sono imposte condizioni al contorno di

periodicità : 2

2

∂ϕ ∂ ϕ

∂ϕ ∂ ϕ

−L/2) −L/2) ∀t ∈

−L/2)

ϕ(t, = ϕ(t, L/2), (t, = (t, L/2) (α, β)

(t, = (t, L/2), 2 2

∂x ∂x ∂x ∂x (6.14)

La terza condizione segue dalla prima e dall’equazione differenziale stessa. Dato che l’equazione

è : 2 2

1 ∂ ϕ ∂ ϕ

= ,

2 2 2

c ∂t ∂x

possiamo tentare di risolverla, con la procedura detta di separazione delle variabili, assumendo

una forma particolare delle soluzioni del tipo

ϕ(t, x) = f (t)g(x) .

Inserendo nell’equazione di sopra si arriva subito all’identità , che vale quando le funzioni f e g

non si annullano, 2 2

1 ∂ f (t) 1 ∂ g(x)

= .

2 2 2

c f (t) ∂t g(x) ∂x

Dato che i due membri dell’identità ottenuta sono funzione di due variabili diverse, i due membri

devono essere funzioni costanti separatamente. Otteniamo in tal modo le due equazioni, per

qualche costante E R: 2 2

d f (t) d g(x)

2

= c Ef (t) , = Eg(x) .

2 2

dt dx

La seconda equazione fornisce la classe di soluzioni √

√ −

Ex Ex

+ C (E)e . (6.15)

g (x) := C (E)e −

+

E

Tuttavia dobbiamo ancora imporre le condizioni di periodicità su ϕ(t, x) = f (t)g(x) che, nel

caso in esame implicano le richiesta che la funzione g soddisfi

E dg

dg

E E

g (−L/2) = g (L/2) e (−L/2) = (L/2) .

E E dx dx

Se E > 0 in (6.15), le due condizioni scritte sopra non sono mai soddisfatte (nel caso generico

6 ≤

di costanti C (E) = 0). Nel caso in cui E 0, gli esponenti diventano complessi:

± √

−Ex ∈

±i , x [−L/2, L/2] ,

126

e pertanto le funzioni g sono periodiche. Affinché risultino essere periodiche, con tutte le

E

derivate, sul segmento di lunghezza L (non importa quali siano i suoi estremi, ciò vale per

−EL/(2π)

[−L/2, L/2] come per [0, L] o altro), è necessario e sufficiente che sia un numero

2

−(2πn/L) ∈

naturale. Quindi deve essere E = con n arbitrario. In questo modo si trova

N

subito che, etichettando le funzioni g con l’indice n invece che E, esse possono solo essere

N

E

del tipo: 2πn 2πn

−i

i x x

g (x) := C , g (x) := C (n)e + C (n)e .

L L

0 0 n +

Per tenere conto dei due segni degli esponenti è conveniente usare un unico esponenziale e fare

variare n in invece che in Abbiamo allora che le funzioni g ammissibili, hanno tutte la

Z N. n

forma:  ‹

2πn

i x ∈ \ {0}

g (x) := C , g (x) := C e , n . (6.16)

L Z

0 0 n n

L’equazione per la funzione f , che ora indicheremo con f , è ora:

n

E 2 2

d f (t) 2πn

n 2

−c f (t) ,

= n

2

dt L

che ha come risultato la classe di soluzioni: 2πn

0 i ct ∈ \ {0}

f (t) := D t + D , f (t) := D e , n . (6.17)

L Z

0 0 n n

0 (±)

0 ∈

Ognuna delle funzioni, con A , A , A C:

n

0 0 2πn 2πn

±i

(±) i x ct ∈ \ {0}

ϕ (t) = A t + A , ϕ (t, x) := A e e , n , (6.18)

L L Z

±

0 0 0 n n ×

è una possibile soluzione del’equazione di D’alembert in [−L/2, L/2] con condizioni al con-

R

torno periodiche sul segmento [−L/2, L/2]. Anche se queste soluzioni sono complesse, possiamo

sempre ridurci al caso reale prendendo delle combinazioni lineari di esse con coefficienti oppor-

−iθ −iθ

iθ iθ

−i(e −

tuni, ricordando che e + e = 2 cos θ e e ) = 2 sin θ. Dato che stiamo lavorando

con un’equazione differenziale lineare omogenea, combinazioni lineari di soluzioni saranno anco-

ra soluzioni. Quest’ultima osservazione potrebbe essere utile anche per cercare di soddisfare le

condizioni iniziali, cioè la forma che ϕ e la sua derivata temporale devono assumere all’istante

t = 0. Tuttavia, è intuitivo pensare che se le condizioni iniziali sono assegnate in termini di

funzioni arbitrarie, non sarà possibile trovare una combinazione linare finita di soluzioni della

forma (6.18) che soddisfi anche tali condizioni iniziali. Si può pensare che ciò sia invece possibile

considerando anche combinazioni linari infinite. Questa idea è quella che ha condotto Fourier

ad inventare la teoria della serie omonima (lavorando però con un’equazione differente – ma

con analoghe caratteristiche per quanto riguarda l’applicazione della teoria della serie di Fourier

– l’equazione del calore). L’idea fondamentale è quella di sviluppare le funzioni periodiche f

definite su un intervallo [−L/2, L/2] (ma l’approccio si generalizza su varietà toroidali com-

R 2πn

i x

patte k-dimensionali) con una serie di funzioni i cui termini siano funzioni esponenziali e L

con opportuni coefficienti complessi e con n Z: 2πn

X i x

f (x) = C e .

L

n

n∈Z

127

Nel caso della nostra funzione ϕ soluzione periodica dell’equazione di D’Alembert, ci si aspetta

che essa abbia una forma, che assicura automaticamente la periodicità in x di ϕ:

2πn

X i x

C (t)e

ϕ(t, x) = .

L

n

n∈Z

La dipendenza temporale di ϕ (e quindi il fatto che ϕ soddisfi l’equazione di D’Alembert) si

scarica tutta nei coefficienti complessi C (t). Ci aspettiamo, da quanto visto sopra, che la forma

n

di tali coefficienti sia proprio una combinazione lineare finita di funzioni di t del tipo di quelle in

(6.17). Le infinite costanti arbitrare che appaiono in tutte queste combinazioni lineari dovranno

anche essere fissate in modo tale da soddisfare le condizioni iniziali. Dopo aver enunciato alcuni

risultati ben noti della teoria delle serie di Fourier, torneremo all’equazione di D’Alembert e di

Klein-Gordon per vedere come si conclude il discorso cominciato sopra sulle soluzioni periodiche

dell’equazione di Klein-Gordon e D’Alembert.

6.3 Alcuni risultati elementari sulla serie di Fourier.

Richiamiamo qui alcuni semplici risultati della teoria della serie di Fourier dal punto di vista della

teoria degli spazi di Hilbert (vedi per es. [Mo10]). Tutti questi argomenti saranno approfonditi

in corsi avanzati di analisi. →

Supponiamo che una funzione f : [−L/2, L/2] si possa sviluppare in serie di Fourier, per il

C

momento lavorando del tutto formalmente senza farci domande sul tipo di convergenza:

2πn

i x

e L

X √

f (x) = f . (6.19)

n L

n∈Z

√ L per pura convenienza. Vogliamo determinare la forma dei

Abbiamo introdotto il fattore 1/ 2πm

−i x

e L

coefficienti f Moltiplicando membro a membro per abbiamo:

C.

n L

2πm 2πn 2πm

−i −i

x i x x

e e e

L L L

X

√ √ √

f (x) = f . (6.20)

n

L L L

n∈Z

Tenendo infine conto delle relazioni di ortogonalità (vedi la sezione C in Appendice):

L/2

1 Z 2πm 2πn

−i x i x

e e dx = δ , (6.21)

L L nm

L −L/2

ed integrando i due membri di (6.20), ammettendo di poter scambiare il simbolo di integrale con

quello di somma in (6.20) (questo è sicuramente possibile se f è una combinazione lineare finita

di esponenziali oppure se la serie converge uniformemente), giungiamo alla conclusione che:

2πm 2πn 2πm

−i −i

x i x x

L/2 L/2

e e e

Z Z

L L L

X X

√ √ √

f (x) dx = f dx = f δ = f .

n n nm m

L L L

−L/2 −L/2

n∈Z n∈Z

128

Cambiando nome all’indice: 2πn

−i x

L/2 e

Z L

√ f (x)dx . (6.22)

f =

n L

−L/2

I numeri complessi f , con n individuati da (6.22) quando esistono, sono detti coefficienti

Z,

n

di Fourier della funzione f . Ora che abbiamo un candidato per i coefficienti di Fourier f ,

n

ci si può chiedere in quale senso la serie (6.19) converga. 2

6.3.1 La serie di Fourier nello spazio di Hilbert L ([−L/2, L/2], dx).

La teoria della serie di Fourier, a livello più astratto, viene sviluppata nell’insieme di funzioni

f : [−L/2, L/2] misurabili che siano a quadrato sommabile, cioè soddisfino:

C Z 2

|f (x)| dx < +∞ , (6.23)

[−L/2,L/2]

rispetto alla misura dx di Lebesgue. L’insieme di funzioni determinato in tal modo si indica

L 2

con ([−L/2, L/2], dx). È importante osservare che questo insieme di funzioni include tutte le

funzioni misurabili limitate, a causa del fatto che la misura di Lebsgue di [−L/2, L/2] è finita.

Infatti, se f : [−L/2, L/2] è misurabile ed è limitata in valore assoluto da M < +∞

C

(basterebbe che fosse essenzialmente limitata da M per ottenere quanto segue), allora f è a

quadrato sommabile essendo:

Z Z

2

|f ≤

(x)| dx M dx = M L < +∞ .

[−L/2,L/2] [−L/2,L/2]

Ricordiamo la seguente definizione generale. | × →

Definizione 6.1. Se X è uno spazio vettoriale sul campo un’applicazione ( ) : X X

C, C

è detta forma quadratica hermitiana se velgono le proprietà seguenti:

∈ ∈

(1) (u|av + bw) = a(u|v) + b(u|w) per ogni a, b e ogni u, v, w X;

C

∈ ∈

(2) (au|v) = a(u|v) per ogni a e ogni u X;

C

∈ ∈

(3) (u|v) = (v|u) per ogni u, v X (per cui (u|u) in particolare).

R

Tale forma quadratica hermitiana è detta prodotto scalare su X se valgono le due ulteriori

proprietà: ≥ ∈

(4) (u|u) 0 per ogni u X;

(5) (u|u) = 0 per u X implica che u = 0.

♦ È

Dalle proprietà (1)-(4) si prova la validità della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

2

|(u|v)| ≤ ∈

(u|u)(v|v) per ogni u, v X.

||x|| ∈

Da tale disuguaglianza si dimostra facilmente che := (x|x), con x X è una norma su

|

X se ( ) è un prodotto scalare su X. Nel caso in cui valgano tutte le proprietà del prodotto

|| ||

scalare eccetto la la stretta positività (5), allora risulta essere una seminorma.

129

L 2 ([−L/2, L/2], dx) risulta essere uno spazio vettoriale complesso dotato della forma quadratica

hermitiana: Z L 2

|g) ∈

(f := g(x)f (x) dx , se f, g ([−L/2, L/2], dx). (6.24)

[−L/2,L/2]

In riferimento alla definizione di sopra, questo non è un prodotto scalare hermitiano unicamente

|f

per il fatto che (f ) = 0 implica che f (x) = 0 quasi ovunque, ma non necessariamente ovunque.

Si rimedia al problema identificando funzioni che differiscono tra di loro solo quando valutate su

un (arbitrario) insieme di misura nulla in [−L/2, L/2], e lavorando con classi (di equivalenza)

di funzioni piuttosto che con funzioni. Lo spazio vettoriale con prodotto scalare hermitiano

L 2

che si ottiene da ([−L/2, L/2], dx) quozientando rispetto alla relazione di equivalenza che

identifica due funzioni se differiscono su un (qualsiasi) insieme di misura nulla, si indica con

2

L ([−L/2, L/2], dx). Tale spazio vettoriale complesso risulta anche essere completo (vedi la

Ê

sezione 1.1.3) [Ru82] nella topologia normata indotta dalla norma associata al prodotto scalare

suddetto (dove ora, più propriamente f indica una classe di equivalenza di funzioni):

Z 2

||f || |f

:= (x)| dx .

2 [−L/2,L/2] 2

La competezza rende, per definizione, lo spazio vettoriale complesso L ([−L/2, L/2], dx) dotato

del prodotto scalare (·|·) uno spazio di Hilbert complesso.

È

Definizione 6.2. Uno spazio vettoriale H sul campo dotato di un prodotto scalare hermi-

C

| × →

tiano ( ) : H H in modo tale che H risulti essere completo rispetto alla topologia della

C

||x|| ∈ ♦

norma := (x|x), con x H, è detto spazio di Hilbert (complesso).

L 2 2

Si osservi che la definizione di ([−L/2, L/2], dx) e L ([−L/2, L/2], dx) e le loro proprietà

generali sono indipendenti dalla teoria della serie di Fourier.

Come ultimo ingrediente che caratterizza gli spazi di Hilbert e riveste un ruolo importante

2

nell’intepretazione della serie di Fourier quando lo spazio di Hilbert sia L ([−L/2, L/2], dx),

{u } ⊂

introduciamo la nozione di base hilbertiana. Ricordiamo che un insieme di vettori X,

j j∈J

|

dove X è uno spazio con prodotto scalare ( ), è detto un insieme o sistema di vettori orto-

|u ∈

normali quando: (u ) = δ per j, k J.

j k jk |

Proposizione 6.1. Sia H uno spazio di Hilbert con prodotto scalare ( ) e J un insieme di

{u } ⊂

cardinalità qualsiasi. Se H è un insieme di vettori ortonormali, allora i seguenti fatti

j j∈J

{u }

sono equivalenti e, se valgono, viene detto base hilbertiana di H.

j j∈N

(a) Se v H allora: X

2 2

||v|| |(u |v)|

= ,

j

j∈J |v)

dove nella somma a secondo membro solo una quantità al più numerabile di numeri (u risulta

j

essere non nulla. 130

(b) Se v H allora: X |v)u

v = (u ,

j j

j∈J || ||

dove la convergenza della serie è nella topologia associata alla norma e solo una quantità al

più numerabile di v risulta essere non nulla.

n

0 ∈

(c) Se v, v H allora: 0 0

X |v)(u |v

(v|v ) = (u ) ,

j j

j∈J 0

|v) |v

dove la convergenza della serie è assoluta e solo una quantità al più numerabile di (u e (u )

j j

risulta essere non nulla. ∈

Risulta infine che, se solo una quantità al più numerabile di c è non nulla, la serie

C

j

X c u

j j

j∈J

∈ || ||,

converge a qualche v H, nel senso della topologia di H indotta dalla norma se e solo se

2

|c | |v).

P < +∞. In tal caso risulta anche c = (u

j j j

j∈N

Osservazioni importanti.

(1) Dato che le serie numeriche considerate sopra sono assolutamente convergenti, non importa

l’ordine con cui si esegue la somma della serie. Per esempio, in riferimento alla serie in (c),

consideriamo solo una quantità numerabile di addendi, etichettati sull’insieme numerabile di

0

⊂ |v) |v

indici J J, che include i termini non nulli tra tutti i numeri (u e (u ). È allora

0 j j

sufficiente numerare gli indici di J con un’arbitraria funzione biettiva h : J e sommare la

N

0 0

serie su m N +∞ 0

X |v)(u |v

(u ) ,

j(m) j(m)

m=0

che si ottiene in tal modo. Il valore comune delle somme di tali serie che si ottengono comunque

fissiamo la funzione biettiva h è, per definzione, il numero

X |v)(u |v)

(u .

j j

j∈J |v)u

P

(2) Tenuto anche conto di quanto appena scritto in (1), l’identità v = (u significa:

j j

j∈J

N

X

− |v)u = 0 ,

lim v (u

j(m) j(m)

→+∞

N m=0

dove la funzione j = j(m), con m è una qualunque funzione che etichetta i soli coefficienti

N,

|v)

non nulli (u (oppure una quantità numerabile di coefficienti che includono quelli non nulli se

j

questi ultimi sono in numero finito).

(3) L’identità in (a) non è altro che una versione astratta ed infinitodimensionale del teorema

131

di Pitagora. Mentre l’identità in (b) non è altro che la decomposizione di un vettore su una ba-

se ortonormale nel caso infinitodimensionale. Infine (c) esprime il prodotto scalare hermitiano

eseguito su una base ortonormale infinitodimensionale in termini delle infinite componenti dei

vettori.

(4) Esistono infinite basi hilbertiane per ogni spazio di Hilbert e, per un fissato spazio di Hilbert,

2

hanno tutte la stessa cardinalità. Gli spazi di Hilbert che, come L ([−L/2, L/2], dx), ammettono

una base hilbertiana numerabile sono detti essere separabili. Questa proprietà equivale alla

proprietà topologica per lo spazio di Hilbert di ammettere un sottoinsieme denso e numerabile.

In riferimento alla serie di Fourier, risulta [Ru82] che vale il seguente teorema fondamentale.

2πn

i x

e L ∈

Teorema 6.5. L’insieme delle funzioni definite su [−L/2, L/2] per n individua

√ N

L

2

una base Hilbertiana numerabile di L ([−L/2, L/2], dx).

Di conseguenza, in riferimento alla definizione (6.22) dei coefficienti di Fourier di una funzione

a valori complessi f : [−L/2, L/2] valgono i fatti seguenti.

C

L 2

(a) f ([−L/2, L/2], dx) se e solo se:

X 2

|f | < +∞ , (6.25)

n

n∈Z

ed in tal caso vale: Z X

2 2

|f |f |

(x)| dx = . (6.26)

n

[−L/2,L/2] n∈Z

L 2

(b) f ([−L/2, L/2], dx) se e solo se: 2

2πn

i x

e

Z L

X √

− →

lim f

f (x) dx 0 . (6.27)

n

→+∞ L

N [−L/2,L/2] |n|≤N

L 2

∈ {f } {g }

(c) Se f, g ([−L/2, L/2], dx) e , sono i rispettivi coefficienti di Fourier,

n n

n∈Z n∈Z

allora: Z

X f =

g g(x)f (x) dx (6.28)

n

n [−L/2,L/2]

n∈Z ♦

dove la serie a primo membro converge assolutamente.

Osservazioni 6.5.

(1) A meno di non interpretare la serie di Fourier come serie di distribuzioni, il senso più gene-

rale con il quale si intende la convergenza della serie (6.19) è quello in (6.27). Questo tipo di

2

convergenza, detta convergenza (della serie) in L ([−L/2, L/2], dx). Si tratta della nozione

|| · ||

di convergenza nella topologia normata indotta dalla norma sopra definita. Si osservi che,

2

come spiegato sopra, in questo caso la funzione f deve pensarsi come una classe di equivalenza di

funzioni che differiscono su insiemi di misura nulla (alternativamente si può anche interpretare

132 L 2

|| ||

la come una seminorma sullo spazio vettoriale complesso ([−L/2, L/2], dx) e, in questo

2

caso, la convergenza della serie di Fourier è quella relativa alla topologia indotta da tale semi-

norma. Topologia che, come per tutte le seminorme che non sono norme, non è di Hausdorff).

(2) Tenuto conto delle relazioni (6.21), la proprietà (a) afferma proprio che la classe di fun-

i2πnx/L

3 7→ ∈

zioni [−L/2, L/2] x e (x) := e / L, per n è una base hilbertiana, dello

Z,

n

2

spazio di Hilbert L ([−L/2, L/2], dx). In particolare, le relazioni (6.21) non dicono altro che

i vettori e formano un sistema ortonormale rispetto al prodotto scalare naturale (6.24) di

n

2

L ([−L/2, L/2], dx): |e

(e ) = δ .

m n mn

Come precisato nell’osservazione precedente, la (6.27) si può trascrivere come:

X

lim f e =0 , (6.29)

f n n

→+∞

N |n|≤N 2

che si trova scritta frequentemente come, semplicemente:

X

f = f e . (6.30)

n n

n∈Z 2

È importante notare che, in generale, la convergenza in L non implica la convergenza puntuale

della serie. Per questo motivo non abbiamo scritto l’argomento di f ed e in (6.30), le quali

n

funzioni, tra l’altro, sono individuate a meno di insiemi di misura nulla.

2 2

(3) L ([0, L], dx) (che non è altro che L ([−L/2, L/2], dx) con una banale traslazione dell’asse x

2

di L/2 e pertanto quanto stiamo per dire vale anche per L ([−L/2, L/2], dx) con ovvie modifi-

Ê  ‹

che) ammette altre due basi hilbertiane (quindi necessariamente numerabili) interessanti. Sono

rispettivamente date da:

( )

Ê 2 πnx

 ‹ ∈

s s (x) := sin , x [0, L] , n = 1, 2, . . . ,

n n L L

e )

( πnx

2 ∈

c c (x) := cos , x [0, L] , n = 0, 1, 2, . . . ,

n n L L |s |c

per le quali valgono dunque, rispettivamente, (s ) = δ e (c ) = δ (vedi la sezione

m n mn m n mn

22 2

||f || |f | |f

P

C in Appendice) insieme a = , avendo definito, rispettivamente, f := (s )

n n n

n∈Z 2

|f ∈

oppure f := (c ) per ogni vettore f L ([0, L], dx).

n n

6.3.2 Convergenza uniforme della serie di Fourier e derivazione sotto il sim-

bolo di serie.

Dato che vogliamo sviluppare in serie di Fourier le soluzione dell’equazione di D’Alembert e

Klein-Gordon, siamo più che altro interssati alla convergenza puntuale della serie di Fourier ed

133

alla possibilità di derivare sotto il segno di serie. Mostriamo come si possano ottenere serie di

Fourier con queste proprietà rafforzando le ipotesi di regolarità delle funzioni sviluppate in serie

di Fourier. Ricordiamo (vedi la definizione 1.3) che una funzione continua definita su [a, b] si

k · · ·

dice C a tratti su [a, b] se esiste un numero finito di punti a := t < c < < t =: b, in

1 2 m

k

∈ −

modo tale che f C ([t , t ]; per l = 0, . . . , m 1 (quindi, in particolare, esistono le

C)

l l+1

[t ,t ]

l l+1

derivate sinistre e destre fino all’ordine k anche sui bordi di [t , t ] per (2) in osservazioni 1.1).

l l+1

Si osservi che, se k > 0, la derivata k-esima di f (pensata come derivata destra o sinistra agli

estremi di ogni sottointervallo [t , t ]) può non essere continua su [a, b] ma i valori che essa

k k+1

assume formano un insieme limitato.

Il primo risultato è stabilito nella seguente proposizione. →

Proposizione 6.2. Sia N = 0, 1, . . . fissato e f : [−L/2, L/2] una funzione con i

C

seguenti requisiti:

N

(i) f C ([−L/2, L/2]; C),

N +1

(ii) f sia C a tratti su [−L/2, L/2],

(iii) f sia periodica su [−L/2, L/2] con tutte le sue derivate fino alla derivata N -esima inclusa,

cioè: k k

d f d f

f (−L/2) = f (L/2) , = se k = 1, . . . , N .

k k

dx dx

x=−L/2 x=L/2

(k)

Se f sono i coefficienti di Fourier di f dati da (6.22) e f indica l’analogo coefficiente di

‹

 n

n k

d f

Fourier della funzione , allora vale quanto segue.

k

dx

(a) Per k = 0, 1, . . . , N + 1, vale: k

2πi

(k) k ∀n ∈

f = n f . (6.31)

Z

n

n L

(b) La serie di Fourier di f e delle sue derivate fino all’ordine k = N + 1 può essere derivata

2

sotto il simbolo di serie (interpretando la convergenza delle serie nel senso di L ), dato che

risulta, per k = 0, 1, . . . , N + 1: 2πn

2πn !

i x x

i

k

d e

e L L

(k) √ √

= f .

f n

n k

dx

L L

(c) Per k = 0, 1, . . . , N vale: X k

|n| |f | < +∞ . (6.32)

n

n∈Z

Dimostrazione. (a) Fissiamo k = 1, . . . , N + 1. Dalla (6.22) integrando per parti (su ogni

sottointervallo chiuso nel quale esistono le derivate k-esime, se k = N + 1, e poi sommando i

contributi dei vari sottointervalli) abbiamo che:

2πn 2πn 2πn

!

−i −i −i

x x x

k k−1 k−1

L/2 L/2 L/2

e d d f e d f d e

d f Z Z

Z L L L

(k) √ √ √

f = dx = dx dx .

n k k−1 k−1

dx dx dx dx dx

L L L

−L/2 −L/2 −L/2

134

Il secondo integrale da sinistra risulta essere nullo dato che: 2πn

−i x

k−1

d f e L

3 7→

[−L/2, L/2] x k−1

dx L

è una funzione periodica su [−L/2, L/2] per ipotesi. Abbiamo trovato che:

2πn

−i x

k−1

L/2 e

d f d

Z L

(k) √

− dx .

f =

n k−1

dx dx  ‹

L

−L/2

Possiamo iterare k 1 volte la procedura, con lo stesso risultato, fino ad ottenere, alla fine

2πn 2πn

−i −i

x x

k k

L/2 L/2

d e 2πn e

Z Z

L L

(k) k k

√ √

−i

f = (−1) f (x) dx = (−1) f (x) dx .

n k

dx L

‹ ‹ ‹

 

 L L

−L/2 −L/2

Abbiamo quindi trovato che 2πn 2πn

−i −i

x x

k k

k L/2 L/2

e 2πni e 2πi

2πn Z Z

L L k

(k) √ √

f (x) dx = f (x) dx = n f ,

f = i n

n L L L

L L

−L/2 −L/2

‹



che è la (6.31).

(b) Il calcolo diretto mostra che 2πn 2πn

!

i x i x

k

k

d e 2πi e

L L

k

√ √

f = n f .

n n

k

dx L

L L

Da (a) abbiamo allora che, come enunciato nella tesi:

2πn 2πn

!

i x i x

k e

d e

L L

(k)

√ √

f = f .

n n

k

dx L L

Questo risultato implica banalmente che si possa derivare sotto il segno di serie, interpretando

k

d f

2

però la convergenza nel senso di L , dato che lo sviluppo di Fourier di si scrive:

k

dx

2πn 2πn 2πn !

i i i

x x x

k k k e

d e d f e d

L L L

X X X

(k)

√ √ √

f = = f = f .

n

n n

k k k

dx dx dx

L L L

n n n

k k

Si osservi che le funzioni d f /dx considerate sopra ammettono sviluppo di Fourier nel senso di

2

L ([−L/2, L/2], dx) dato che appartengono a tale spazio essendo funzioni (misurabili) limitate,

 ‹  ‹  ‹

per costruzione, definite su un insieme di misura finita.

6

(c) Da (6.31) abbiamo anche che, se n = 0 e se k = 1 . . . , N + 1,

(k)

f

k k

1 L L 1

n 2

k−1 k (k)

= 2 n f f +

2 n f = 2 ,

n

n n 2

|n| |n|

2π 2π n

135

‚ Œ

dove abbiamo banalmente usato la disuguaglianza (k)

2 f

1 1 n

2

(k) (k)

≤ − −

0 f = f + 2 .

n n 2

 ‹

|n| |n|

n

− \ {0}:

Concludiamo che, se k 1 = 0, 1, 2, . . . N e dove :=

Z Z !

k 1

1 L 2

X X X

(k)

k−1 ≤ f + < +∞ ,

n f

n n 2

2 2π n

 ‹ ∗ ∗

∗ n∈Z n∈Z

n∈Z −

ossia cambiando il nome di k 1 in k ed assumendo ora k = 0, 1, 2, . . . N :

!

k+1

1 1

L 2

X X X

k (k+1)

n f f + < +∞ .

n n 2

2 2π n

∗ ∗ ∗

n∈Z n∈Z n∈Z

A commento del < +∞, si osservi che la seconda serie a secondo membro converege come ben

noto, mentre la prima serie a secondo membro converge per (a) del teorema (6.5), dato che ogni

k+1

d f , per k = 0, . . . , N è limitata in valore assoluto da qualche numero M < +∞ per

funzione k+1

dx 2

ipotesi e quindi è in L ([−L/2, L/2], dx), avendo [−L/2, L/2] misura finita:

2

k+1

d f

Z Z 2 2

dx M dx = M L < +∞ .

k+1

dx

[−L/2,L/2] [−L/2,L/2]

2

Abbiamo poi il seguente utile risultato che discende dalla precedente proposizione.

Proposizione 6.3. Sia N = 0, 1, . . . fissato e f : [−L/2, L/2] una funzione con i

C

seguenti requisiti:

N

(i) f C ([−L/2, L/2]; C),

N +1

(ii) f sia C a tratti su [−L/2, L/2],

(iii) f sia periodica su [−L/2, L/2] con tutte le sue derivate fino alla derivata N -esima inclusa

nel senso di (iii) della proposizione 6.2.

Allora gli sviluppi di Fourier, per k = 0, 1, . . . , N : 2πn

i x

k

d f e L

X (k) √

(x) = f

n

k

dx L

n∈Z (k)

convergono puntualmente, assolutamente ed uniformemente su [−L/2, L/2] (dove f è l’n-

n

k (0)

d f

esimo coefficiente di Fourier di (con f := f )).

k

k

k

dx k

d f

In particolare, la serie di Fourier di coincide con la derivata della somma della serie di

k

dx

k−1

d f ♦

per k = 1, . . . , N .

k−1

dx 136

Dimostrazione. Nelle ipotesi fatte, prendendo k = 0 in (6.32), abbiamo che

X |f | < +∞ ,

n

n∈Z

pertanto la serie di funzioni per x [−L/2, L/2], 2πn

i x

e L

X √

f

n L

n∈Z

è termine a termine dominata dalla serie di costanti convergente

1 X

√ |f | < +∞ ,

n

L n∈Z

2πn

i x

|e |

dove abbiamo usato il fatto che = 1. Come conseguenza di un ben noto teorema di

L →

Weierstrass, esisterà una funzione g : [−L/2, L/2] con

C

2πn

i x

e L

X √

g(x) = f ,

n L

n∈Z

in cui la convergenza della serie è assoluta ed uniforme e quindi g è continua perché limite uni-

2πm

−i x

e L i due membri dell’identità

forme di funzioni continue. Si osservi che, moltiplicando per √ L

trovata abbiamo ancora una serie che converge uniformemente

2πn 2πm

2πm −i

−i i

x x x

e e

e L L L

X

√ √ √

= f ,

g(x) n

L L L

n∈Z

dato che possiamo usare la stessa stima e lo stesso teorema usato precedentemente (l’esponen-

ziale per il quale abbiamo moltiplicato ha modulo 1). Tenendo conto del fatto che le serie

uniformemente convergenti di funzioni continue definite su compatti possono essere integrate

sotto il segno di integrale, concludiamo che: 2π(n−m)

2πm

−i x i x

L/2 L/2

e e

Z Z

L L

X X

g := g(x) dx = f δ = f

dx = f

m n n nm m

L

L

−L/2 −L/2

n∈Z n∈Z

dove abbiamo fatto uso della (6.21). Ne segue che la funzione g f ha coefficienti di Fourier

tutti nulli e quindi, dalla (6.26), abbiamo immediatamente che:

Z X

2

|f −

(x) g(x)| dx = 0=0 .

[−L/2,L/2] n∈Z

137

2

|f − −

Concludiamo che (x) g(x)| = 0 quasi ovunque, cioè f (x) g(x) = 0 quasi ovunque. Data

la continuità di f e g, dovrà essere f (x) g(x) = 0 ovunque e cioè f (x) = g(x) su [−L/2, L/2].

Abbiamo ottenuto che, nel senso della convergenza puntuale, vale su [−L/2, L/2]:

2πn

i x

e L

X √ .

f (x) = (g(x) =) f

n L

n∈Z

Se N 1, possiamo fare lo stesso ragionamento anche per la serie:

2πn

i x

df e L

X (1) √ ,

= f

n

dx L

n∈Z

tenendo conto che, essendo per (6.31), 2πi

(1)

f = nf ,

n

n L

deve valere: 2π

X X

(1)

|f | |nf |

= < +∞ ,

n

n L

n∈Z n∈Z

dove abbiamo applicato (6.32) ristretta al caso k = 1. In questo modo, seguendo la stessa strada

df

seguita per la serie della funzione f , si prova che la serie di Fourier di converge assolutamente

dx

df . Si procede nello stesso modo, usando (6.31) e (6.32) per ogni ordine di

ed uniformemente a dx

derivazione k fino a k = N (e non oltre dato che non è assicurato che valga (6.32) per k = N +1).

2

In realtà si può provare che la serie di Fourier converge puntualmente sotto ipotesi molto più de-

boli di quelle che abbiamo usato sopra (anche se questo non garantisce la convergenza uniforme).

Si ha a tal proposito il seguente classico teorema di Dirichlet che citiamo senza dimostrazione.

Teorema 6.6. (Teorema di Dirichlet) Sia f : [−L/2, L/2] una funzione con i seguenti

C

requisiti:

(i) sia limitata, ∈

(ii) sia continua eccetto un numero finito di punti x (−L/2, L/2), k = 1, . . . , p in cui esistono

k

+

finiti il limite destro f (x ) ed il limite sinistro f (x ),

k k

(iii) ammetta in ogni punto derivata destra e sinistra, usando nei punti di discontinuità il limite

destro e sinistro per il calcolo del rapporto incrementale da destra e da sinistra.

Sotto queste ipotesi la serie di Fourier di f (6.19), con coefficienti di Fourier dati da (6.22),

soddisfa, ∈ \ {x }:

(a) per ogni x (L/2, L/2) , . . . , x

1 p 2πn

i x

e L

X √

f = f (x) , (6.33)

n L

n∈Z 138

(b) per ogni k = 1, . . . , p, 2πn − +

i x f (x ) + f (x )

e k

L

X k k

f = , (6.34)

n 2

L

n∈Z f (−L/2)+f (L/2) ♦

±L/2 .

(c) per x = la serie converge a 2

6.3.3 Serie di Fourier in seni e coseni

Osserviamo che la teoria della serie di Fourier può essere sviluppata usando le funzioni trigono-

 ‹  ‹

metriche invece che gli esponenziali complessi e cioò è particolarmente utile quando la funzione

da sviluppare è reale, dato che i coefficienti dello sviluppo, che indicheremo sotto con α e β ,

n n

risultano essere reali in tal caso. Si procede partendo della relazione:

2πn 2πn

2πn

i x

e = cos x + i sin x . (6.35)

L L L →

Ammettendo che la serie di Fourier della funzione f : [−L/2, L/2] C

2πn

i x

e L

X √

f (x) = f (6.36)

n L

n∈Z

  ‹  ‹‹ →

converga puntualmente e dove la serie è intepretata come il limite, per N +∞, delle ridotte

|n| ≤

troncate a N , tenendo conto della (6.35), possiamo riscrivere la stessa serie come:

+∞ 2πn 2πn

X

f (x) = α + α cos x + β sin x , (6.37)

0 n n

L L

n=0

dove, tenendo conto della definizione (6.22), semplicemente abbiamo definito, se n = 0, 1, 2, . . .:

f f + f f f

−n −n

0 n n

√ √ √

α := , α := , β := i ,. (6.38)

0 n n

L L L

Dalla stessa definizione (6.22) risulta immediatamente che f = f se f è una funzione reale.

−n n

In tal caso, dalle definizioni (6.38) segue subito che i coefficienti α e β sono reali.

n n

Ci si può chiedere se la (6.38) valga anche nel senso della nozione di convergenza nello spazio di

Ê Ê

2  ‹  ‹

Hilbert L ([−L/2, L/2], dx) quando la serie di Fourier a secondo membro di (6.37) non converge

puntualmente, ma f è comunque misurabile ed a quadrato sommabile. La risposta è positiva ed

è basata sul fatto che l’insieme delle funzioni reali:

2 2πn 2 2πn

1

√ , cos x , sin x , n = 1, 2, . . .

L L L L

L

 ‹  ‹  ‹  ‹

2

è una base hilbertiana dello spazio di Hilbert complesso L ([−L/2, L/2]). In particolare valgono

le relazioni di ortogonalità (vedi la sezione C in Appendice):

L/2 L/2

2πn 2πm 2πn 2πm Lδ

Z Z nm

cos x cos x dx = sin x sin x dx = , (6.39)

L L L L 2

−L/2 −L/2

139

 ‹  ‹

L/2 2πn 2πm

Z cos x sin x dx = 0 , n = 0, 1, 2 . . . (6.40)

L L € Š

−L/2 2

Tenuto conto di ciò, la norma L della funzione f si esprime, sulla base detta, come:

+∞

" #

L/2 L

Z X

2

22 2 2 2

|

||f || |f |α | |β |

2|α +

= (x)| dx = + .

0 n n

2

−L/2 n=1

Osservazioni 6.6. Abbiamo sempre lavorato sul segmento [−L/2, L/2]. Tuttavia, tenendo

conto dell’invarianza per traslazioni della misura di Lebesgue, segue facilmente che tutto quello

che abbiamo visto può essere ripetuto per il segmento [a, a + L] sostituendo sistematicamente

−L/2,

a, a + L a L/2 negli estremi di integrazione di tutti gli integrali considerati (per esempio

2

lo spazio di Hilbert rilevante sarà ora dato da L ([a, a + L], dx)) e definendo tutte le funzioni

trigonometriche (inclusi gli esponenziali immaginari) sul segmento [a, a + L].

×

6.4 Il problema su [−L/2, L/2] con condizioni al bordo perio-

R

diche.

Consideriamo ora il problema di determinare le soluzioni dell’equazione di Klein-Gordon o D’A-

×

lembert nell’insieme [−L/2, L/2] una volta imposte condizioni iniziali e condizioni di perio-

R

dicità ai bordi del compatto [−L/2, L/2]. L’esistenza di soluzioni sarà provata facendo uso della

teoria della serie di Fourier sviluppata precedentemente in particolare la proposizione 6.2 ed il

la proposizione 6.3.

6.4.1 Teorema di unicità.

Abbiamo un primo teorema di unicità. × ≥

Teorema 6.7. Si consideri il seguente problema su [−L/2, L/2] con µ 0 costante

R

fissata, 2 2

1 ∂ ϕ ∂ ϕ

 2 2

− − ∈ ×

+ µ ϕ = 0 , ϕ C (R [−L/2, L/2], ,

 C)

 2 2 2

c ∂t ∂x

 ∂ϕ ∂ϕ

 −L/2) −L/2) ∀t ∈

ϕ(t, = ϕ(t, L/2) , (t, = (t, L/2) ,

 R (6.41)

∂x ∂x

∀x ∈

ϕ(0, x) = φ (x) [−L/2, L/2] ,

 0

 ∂ϕ

 ∀x ∈

(0, x) = φ (x) [−L/2, L/2] ,

 1

∂t 140

2 1

∈ ∈

dove φ C ([−L/2, L/2], e φ C ([−L/2, L/2], sono funzioni assegnate che soddisfano

C) C)

0 1

1

le condizioni di periodicità : 2 2

∂φ ∂φ ∂ φ ∂ φ

0 0 0

0

φ (−L/2) = φ (L/2) , (−L/2) = (L/2) , (−L/2) = (L/2) (6.42)

0 0 2 2

∂x ∂x ∂x ∂x

e ∂φ

∂φ 1

1 (−L/2) = (L/2) . (6.43)

φ (−L/2) = φ (L/2) ,

1 1 ∂x ∂x

Se esiste una soluzione al problema posto, essa è unica. In particolare, se i dati iniziali φ e φ

0 1

sono funzioni a valori reali, la soluzione ϕ, se esiste, è a valori reali.

Dimostrazione. Se una soluzione ϕ del problema, ammesso che esista, è complessa, possiamo

sempre decomporla in parte reale ed immaginaria: ϕ(t, x) = Reϕ(t, x) + iImϕ(t, x). Data la

natura reale dell’equazione di Klein-Gordon, avremo anche che la parte reale Reϕ e quella imma-

ginaria Imϕ, che sono funzioni reali con la stessa regolarità di ϕ, soddisfano la stessa equazione

di Klein-Gordon separatamente. Inoltre soddisfano le condizioni al contorno di periodicità e si

raccordano, separatamente, alle parti reali ed immaginarie dei dati iniziali per costruzione. In

base a ciò è sufficiente provare il teorema di unicità nel caso di ϕ reale (cioè per la parte reale ed

immaginaria di ϕ separatamente, quando ϕ è complessa). Assumiamo dunque di lavorare con

funzioni reali soluzioni del problema considerato con dati iniziali reali. La dimostrazione della

 ‹

proprietà di unicità, è, escluso un punto, uguale a quella del teorema 5.1 ponendo (α, β) := R,

D := [−L/2, L/2]. L’unica differenza è che ora, se φ è la differenza di due soluzioni del problema

posto, l’identità: T ∂φ

I

Z ∇φ ·

dt n dS(x) = 0

‚ Œ

∂t

0 +∂D

nella dimostrazione del teorema 5.1 si scrive ora nella forma semplificata che deriva dalla (5.20):

T ∂φ ∂φ ∂φ

∂φ

Z −

dt =0 ,

∂t ∂x ∂t ∂x −L/2

0 L/2

e questa identità vale banalmente in virtù delle condizioni di periodicità imposte sulle soluzioni

del problema e quindi su φ.

Se la parte immaginaria dei dati iniziali è nulla, una soluzione del problema per la parte im-

maginaria di ϕ è la soluzione ovunque nulla. In base alla proprietà di unicità della soluzione,

concludiamo che questa è l’unica soluzione e che quindi la parte immaginaria della soluzione

2

(complessa a priori) ϕ è identicamente nulla.

1 La terza delle condizioni in (6.42) deve essere imposta a causa delle condizioni di periodicità per ϕ scritte sopra

e della forma dell’equazione differenziale stessa valutata a t = 0. Infatti derivando due volte nel tempo la richiesta

2 2

∂ ϕ ∂ ϕ

−L/2)

−L/2) (t, = (t, L/2); tenendo conto che deve anche valere l’equazione

ϕ(t, = ϕ(t, L/2) si ottiene 2 2

∂t ∂t

2 2 2 2

∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ

2

1 −L/2) −L/2)

differenziale = + µ ϕ ed anche ϕ(t, = ϕ(t, L/2), si trova che: (t, = (t, L/2) e

2 2 2 2 2

∂x c ∂t ∂x ∂x

2 2

∂ φ ∂ φ

0 0

cioè, per t = 0, (−L/2) = (L/2).

2 2

∂x ∂x 141

6.4.2 Esistenza delle soluzioni per dati iniziali sufficientemente regolari.

Passiamo ad un teorema di esistenza per il problema (6.41) con i vincoli (6.42) e (6.43). In

realtà dovremo rinforzare le condizioni di regolarità sui dati iniziali per poter usare i risultati

presentati prima relativi alla serie di Fourier. In riferimento al problema (6.41) con i vincoli

(6.42) e (6.43), supponiamo che una soluzione ϕ esista e che sia sviluppabile in serie di Fourier

per ogni tempo t In tal caso avremo uno sviluppo del tipo:

R. 2πn

i x

e L

X √

ϕ(t, x) = C (t) . (6.44)

n L

n∈Z

Vogliamo trovare la forma delle funzioni del tempo C e poi le vogliamo fissare in modo tale

n

da rispettare i dati iniziali. Si osservi che, ammesso che la serie converga puntualmente, le

±L/2

condizioni di periodicità in sono già automaticamente rispettate, data la periodicità di

– ™ «

¨ ‹

2πn

i x

7→

ogni funzione: x e . Assumendo che si possa derivare fino al secondo ordine sotto il

L

segno di somma, risulta subito che: 2πn

i x

2 2 2 2

∂ ϕ ∂ ϕ e d C 2πn

1 1

L n

X

2 2

− −

− −

+ µ ϕ = + µ C =0 .

n

– ™

2 2 2 2 2

‹

c ∂t ∂x c dt L

L

n∈Z

Consideriamo allora il set infinito di equazioni:

2 2

d C 2πn

n 2 2

−c ∀n ∈

= + µ C , . (6.45)

Z

n

2

dt L

Se i C le soddisfano, se il secondo membro di (6.44) converge puntualmente e se si possono

n

passare sotto il segno di integrale le derivate di ϕ fino al secondo ordine dando luogo a funzioni

2

continue (è richiesto che ϕ C (R×[−L/2, L/2], allora il secondo membro di (6.44) definisce

C)),

una soluzione dell’equazione di Klein-Gordon con le richieste condizioni di periodicità. Queste

i2πnx/L

ultime valgono in quanto le funzioni e sono evidentemente periodiche con tutte le loro

derivate di ogni ordine, pertanto, somme di tali funzioni saranno ancora periodiche. Nel caso

di somme infinite, cioè serie, la periodicità varrà se le serie convergono puntualmente. Nel caso

in esame, se la serie a secondo membro di (6.44) converge puntualmente e convergono le serie

fino alle delle derivate prime in x (e si può scambiare l’operatore di derivata con il simbolo di

serie), allora siamo sicuri che, fino alla derivate prime in x è soddisfatto il vincolo di periodocità

ai bordi di [−L/2, L/2] per la soluzione.

In generale il candidato per la soluzione ϕ data dalla serie a secondo membro di (6.44) sarà

a valori complessi. Tuttavia se le condizioni iniziali sono rappresentate da funzioni reali e se

la soluzione rispetta tali condizioni iniziali, il secondo membro di (6.44) definisce una funzione

‹



reale come garatito dal teorema di unicità sopra dimostrato.

Le soluzioni di (6.45) sono tutte e sole della forma s 2

2πn

(−)

−iE

(+) t iE t 2 ∀n ∈

n n

C (t) = C e + C e , E := c + µ , , (6.46)

Z

n n

−n

n L

142

(±) ∈

se µ > 0, dove C sono costanti arbitrarie. Se µ = 0, abbiamo le soluzioni di sopra quando

C

n

6

n = 0, con la differenza che ora: C (t) = At + C . (6.47)

0 0

dove A, C sono costanti arbitrarie. In definitiva, un candidato soluzione per µ > 0 è dato

C

0

dalla popolare formula: (−)

(+) !

C

C 2πn 2πn

n

n ( ) ( )

−i

i x−E t x−E t

X √ √

n n

ϕ(t, x) = e + e (6.48)

L L

L L

n∈Z −n,

dove, nel secondo esponenziale abbiamo scambiato n con dato che la somma opera su tutto

e E = E , ciò non altera il risultato, purché le due serie

Z −n

n (+) (−)

C C

2πn 2πn

n n

( (

) )

−i

i x−E t x−E t

X X

√ √

n n

e e

e (6.49)

L L

L L

n∈Z n∈Z

convergano separatamente, cosa che proveremo tra poco. Nel caso µ = 0, il candidato soluzione

si deve modificare in: (−)

(+) !

C

C 2πn 2πn

n

n ( (

) )

−i

i x−E t x−E t

X √ √

n n

e e

+ , (6.50)

ϕ(t, x) = At + L L

L L

n∈Z

dove come prima, le due serie che si ottengono separando i due addendi nel termine generico della

√ (+) (−)

LC = C +C . Si osservi che abbiamo trovato, nel caso

serie convergono separatamente, e 0 0 0

µ = 0, una forma di soluzione che è combinazione lineare di funzioni del tipo (6.18), come già

discusso nella sezione 6.2. Sempre ammettendo che le due serie (6.49) convergano e che si possano

(±)

derivare sotto il segno di somma nella variabile t, andiamo a valutare i coefficienti C in modo

n

∂ϕ

da soddisfare le condizioni iniziali. Da (6.48) e ricordando che ϕ(0, x) = φ (x), (0, x) = φ (x)

0 1

∂t

−n

abbiamo che deve essere, dove scambiamo nuovamente n con nel secondo esponenziale e

teniamo conto che se le due serie in (6.49) convergono separatamente allora la somma di esse

coincide con la somma della serie che ha come elementi la somma dei corrispondenti elementi

delle due serie (e la stessa cosa accade per le serie delle derivate in t),

(+) (−) (+) (−)

−C

C + C + C

2πn 2πn

n n

−n −n

X X

i x i x

√ √

φ (x) = e , φ (x) = iE e . (6.51)

L L

0 1 n

L L

n∈Z n∈Z

La seconda formula ha un ulteriore addendo A a secondo membro se µ = 0. Per ottenere la

seconda identità abbiamo derivato in t sotto il segno di somma le due serie in (6.49) assumendo

che ciò fosse possibile, e poi abbiamo posto t = 0 nel risultato. Si osservi che le due espres-

sioni trovate non sono altro che gli sviluppi di Fourier di φ e φ , i cui coefficienti di Fourier,

0 1

rispettivamente, φ e φ sono stati scritti in funzione dei C . Più precisamente

(0) n (1) n

(−) (−)

(+) (+) ∀n ∈

φ = C + C , φ = iE (−C + C ) , se µ > 0 ,

Z

n

−n −n

(0) n (1) n

n n

143

oppure (−) (−)

(+) (+)

∀n ∈ ∀n ∈

φ = C +C φ = iE (−C +C ) φ = A se µ = 0,

Z, Z\{0},

n

−n −n

(0) n (1) n (1) 0

n n

Queste relazioni si invertono in:

1 1

i i

(+) (−) ∀n ∈

C = φ , C = φ , (6.52)

φ + φ Z

−n

−n

(1) n (1)

(0) n (0)

n

n 2 2E 2 2E

n n

6

se µ > 0. Se µ = 0 le identità di sopra valgono solo per n = 0, e vale anche:

(+) (−)

C + C = φ , A = φ . (6.53)

(0) 0 (1) 0

0 0

(+) (−)

Se µ = 0, non è necessario conoscere C e C separatamente ai fini della costruzione della

0 0 (+) (−)

soluzione ϕ, dato che nel secondo membro di (6.48) compare solo la loro somma C + C .

0 0

Nota. Possiamo riassumere tutto come segue. Supponiamo che i dati iniziali φ e φ (assunti

0 1

soddisfare (6.42) e (6.43)) siano sviluppabili in serie di Fourier convergenti puntualmente alle

stesse φ e φ . Consideriamo ancora la funzione ϕ definita dal secondo membro di (6.48) (o

0 1 (±)

(6.50) se µ = 0) dove i coefficienti C soddisfano (6.52) (e (6.53) se µ = 0). Se le due serie

n

(6.49) in cui spezziamo la serie a secondo membro di (6.48) (o (6.50) se µ = 0) convergono pun-

2 ×

tualmente e definiscono funzioni C (R [−L/2, L/2]; le cui derivate fino al secondo ordine

C)

possono essere calcolate derivando sotto il simbolo di somma, allora ϕ definito in (6.48) (o (6.50)

se µ = 0) è una soluzione del problema (6.41). Tutte queste richieste sono soddisfatte pur di

assumere che i dati iniziali siano sufficientemente regolari come chiarito nel seguente teorema.

Teorema 6.8. Si consideri il problema con condizioni al contorno periodiche (6.41) per la

2

∈ × ≥

funzione ϕ C (R [−L/2, L/2]) con µ 0 costante fissata.

2 3

Se si assume che i dati iniziali soddisfino φ C ([−L/2, L/2], di classe C a tratti su

C)

0

1 2

[−L/2, L/2] e φ C ([−L/2, L/2], di classe C a tratti su [−L/2, L/2] e che valgano le

C)

1

condizioni di periodicità sui dati iniziali (6.42) e (6.43), allora esiste (ed è unica) una soluzione

ϕ al problema. ϕ è data dalla serie convergente puntualmente:

(+) (−) !

C C

2πn 2πn

n n

( ) ( )

−i

i x−E t x−E t

X √ √

n n

ϕ(t, x) = e e

+ ,

L L

L L

n∈Z

se µ > 0, oppure: € Š

(−)

(+) !

C

C 2πn 2πn

n

n ( ) ( )

−i

i x−E t x−E t

X √ √

n n

+ ,

ϕ(t, x) = At + e e

L L

L L

n∈Z q 2

2πn 2

se µ = 0. A secondo membro di entrambe le equazioni, E := c + µ e i coefficienti

n L

C sono definiti da:

n± 1 i 1 i

(+) (−) − ∀n ∈

C = φ + φ , C = φ φ Z

−n −n

(0) n (1) n (0) (1)

n n

2 2E 2 2E

n n

144

6 6

se µ = 0. Se µ = 0 le identità di sopra valgono solo per n = 0, e vale:

(+) (−)

+ C = φ , A := φ ,

C (0) 0 (1) 0

0 0 ♦

infine, φ e φ sono, rispettivamente i coefficienti di Fourier dei dati iniziali φ e φ .

0 1

(0) n (1) n

Dimostrazione. È sufficiente verificare che tutte le richieste formulate nella Nota scritta prima

dell’enunciato di questo teorema siano soddisfatte. Bisogna quindi verificare i due seguenti fatti:

(a) che φ e φ siano sviluppabili in serie di Fourier convergenti puntualmente alle stesse φ

0 1 0

e φ ;

1

(b) che le due serie (6.49) in cui spezziamo la serie a secondo membro di (6.48) (o (6.50) se

2 ×

µ = 0) convergano puntualmente e definiscano funzioni C (R [−L/2, L/2]; le cui derivate

C)

fino al secondo ordine possono essere calcolate derivando sotto il simbolo di somma.

Ci restringeremo a lavorare per µ > 0, dato che la dimostrazione per l’altro caso è banalmente

simile. 1

Prima di tutto notiamo che (a) è vero dato che i dati iniziali sono C ([−L/2, L/2]; e quindi

C)

vale la proposizione 6.3. Non resta ora che provare (b). Nelle ipotesi fatte sulla regolarità di φ 0

e φ , abbiamo dalla proposizione 6.2 che

1 € Š

X X

h k

|n| |φ | ∞ |n| |φ | ∞

< se h = 0, 1, 2, < se k = 0, 1 . (6.54)

(0) n (1) n

n∈Z n∈Z q 2

2πn 2 |n|

D’altra parte, usando la definizione (6.52), essendo E := c + µ , risulta che, per

n L

più grande di qualche fissato intero M > 0, E > 1 e quindi:

n 1

2πn

( )

±i x−E t

(±) |φ | ≤ |φ | |φ |

≤ |φ |

n

2 C e + .

+

L ±n ±n ±n

±n (1) (0) (1)

(0)

n E

n

Di conseguenza le serie di funzioni che appiono in (6.48) sono dominate dalle serie di costanti

|φ | |φ |.

P

positive convergenti, per (6.54), + In base al teorema di Weistrass le

±n ±n

(0) (1)

n∈Z

due serie (6.49) in cui spezziamo la serie a secondo membro di (6.48) e quindi la serie stessa a

secondo membro di (6.48), converge assolutamente ed uniformemente ad una funzione continua

×

ϕ su [−L/2, L/2]. Consideriamo ora la funzione definita in tal modo:

R (+) (−)

C C

2πn 2πn

n n

( ) ( )

−i

i x−E t x−E t

X X

√ √

n n

ϕ(t, x) = e e

+ .

L L

L L

n∈Z n∈Z

Studiamo separatamente ognuna delle due serie a secondo membro. Possiamo derivare sotto

il segno di serie rispetto alla variabile x (o t) se la serie delle derivate rispetto a x (o t) dei

termini generici della serie iniziale converge uniformemente. Si osservi le derivate in x e t dei

termini generici della serie definente ϕ sono funzioni continue. Se riusciamo a dominare la

serie delle derivate in x e quella in t con serie di costanti convergenti, ragionando esattamente

come prima usando il teorema di Weistrass, abbiamo non solo che ϕ è derivabile in x e t (e le

derivate si calcolano scambiando la serie con il simbolo di derivata corrispondente), ma anche

145

1

∈ ×

che ϕ C (R [−L/2, L/2]; Infatti, in tal caso, le derivate di ϕ in x e t risulterebbero essere

C).

limiti di serie di funzioni continue convergenti uniformemente.

Le due serie delle derivate in x forniscono, a parte costanti moltiplicative comuni inessenziali,

(+) (−)

nC nC

2πn 2πn

n n

( ) ( )

−i

i x−E t x−E t

X X

√ √

n n

e e .

L L

L L

n∈Z n∈Z 0

|n|

D’altra parte, usando la definizione (6.52), per più grande di qualche fissato intero M > 0

vale anche E c|n|, e quindi:

n |n| 1

2πn

( )

±i x−E t

(±) |φ | ≤ |nφ |

≤ |nφ | |φ |

n +

2 nC e + .

L ±n ±n

±n ±n

(1) (0)

(0) (1)

n E c

n (+)

Di conseguenza le due serie delle derivate in x (quella dei coefficienti C e quella dei coeffi-

n

(−)

cienti C ) sono dominate dalle due serie di costanti positive convergenti, per (6.54), date da

n 1 |φ |.

|nφ |

P In base al teorema di Weistrass la serie delle derivate in x converge

+ ±n

±n (1)

(0)

n∈Z c ×

assolutamente ed uniformemente ad una funzione continua ϕ su [−L/2, L/2]. Inoltre tale

R

funzione deve coincidere con ∂ ϕ(t, x) dato che siamo nelle ipotesi di poter scambiare la derivata

x

con il simbolo di somma nella serie che definisce ϕ.

Le serie delle derivate in t forniscono, a parte costanti moltiplicative comuni inessenziali,

(+) (−)

E C E C

2πn 2πn

n n

( ) ( )

n n −i

i x−E t x−E t

X X

√ √

n n .

e e

L L

L L

n∈Z n∈Z

|n|

D’altra parte, usando la definizione (6.52), per più grande di qualche fissato intero N > 0

√ 2 2

vale anche E c n + 3n = 2c|n|, e quindi:

n

2 2πn

( )

±i x−E t

(±)

√ ≤ |E | |φ | ≤ | |φ |

n

E C e φ + 2c|nφ + .

L

n n ±n ±n ±n ±n

(0) (1) (0) (1)

n

L (+)

Di conseguenza le due serie delle derivate in t (quella dei coefficienti C e quella dei coeffi-

n

(−)

cienti C ) sono dominate dalle due serie di costanti positive convergenti, per (6.54), date da

n | |φ |.

P 2c|nφ + In base al teorema di Weistrass la serie delle derivate in t converge

±n ±n

(0) (1)

n∈Z ×

assolutamente ed uniformemente ad una funzione continua ϕ su [−L/2, L/2]. Inoltre tale

R

funzione deve coincidere con ∂ ϕ(t, x) dato che siamo nelle ipotesi di poter scambiare la derivata

t

con il simbolo di somma nella serie che definisce ϕ. La procedura può essere ripetuta per le de-

rivate seconde, incluse quelle miste, si vede subito, in tal caso che le serie delle derivate seconde

(di tipo fissato) sono comunque dominate da serie di costanti del tipo

X 2 | |

A|n φ + B|nφ ,

±n ±n

(0) (1)

n∈Z

con A, B > 0 dipendenti dal tipo di derivate. Queste serie di costanti convergono per (6.54). Si

2

∈ ×

conclude, con lo stesso ragionamento di sopra, che ϕ C (R [−L/2, L/2]) e che la serie (6.48)

146

che definisce ϕ si può derivare termine a termine fino alle derivate seconde. Questo è quanto

volevamo e conclude la dimostrazione provando che

(+) (−)

C C

2πn 2πn

n n

) )

( (

−i

x−E t x−E t

i

X X

√ √

n n

ϕ(t, x) = +

e e

L L

L L

n∈Z n∈Z

(−)

(+) !

C

C 2πn 2πn

n

n ) )

( (

−i

i x−E t x−E t

X √ √

n n

e e

= +

L L

L L

n∈Z 2

è una soluzione del problema considerato.

Osservazioni 6.7. Il teorema di esistenza provato richiede ipotesi abbastanza forti sulla

regolarità delle condizioni inziali, sicuramente più forti di quelle usate nel precedente teorema

di unicità. Cioò è dovuto alla procedura ustilizzata per mostrare che la soluzione formale del-

l’equazione, ottenuta come una serie di Fourier (la cui convergenza è in generale solo nel senso

2

dello spazio di Hilbert L ), si possa derivare fino all’ordine voluto. È Possibile indebolire queste

ipotesi adottando una procedura che si basa su tecniche matematiche più avanzate (vedi per

esempio [Vl84]). In pratica si prova che la soluzione formale ottenuta come una serie di Fourier

è una cosiddetta “soluzione debole” del problema (cioè una distribuzione o funzione genera-

lizzata che risolve il problema di Cauchy considerato). Imponendo ipotesi di regolarità sui dati

iniziali, si dimostra infine che tale funzione generalizzata è davvero una funzione differenziabile

fino all’ordine voluto ed é pertanto una soluzione del problema di Cauchy in senso proprio.

6.4.3 Velocità di fase, frequenza, lunghezza d’onda.

Cosideriamo la forma generale della soluzione per il problema con condizioni al bordo periodiche

nella decomposizione della soluzione per il problema con condizioni periodiche in [−L/2, L/2]

per µ = 0, cioè per l’equazione di D’Alembert:

(+) (−) !

C C

2πn 2πn

n n

( (

) )

−i

i x−E t x−E t

X √ √

n n

ϕ(t, x) = e e

+ ,

L L

L L

n∈Z  ‹  ‹

Trascuriamo pure il termine At che non ci interessa qui e teniamo conto del fatto che ora

2π|n|

E = c . Si vede subito che ϕ è una sovrapposizione di onde del tipo:

n L  ‹  ‹

2πn

2πn

2πn

±i( x−E t) − ± −

n

e = cos (x ct) i sin (x ct) con n > 0,

L L L

2πn 2πn

2πn

±i( x−E t) ±

n

e = cos (x + ct) i sin (x + ct) con n < 0.

L L L ×

Queste soluzioni hanno la stessa forma delle soluzioni dell’equazione di D’Alembert in R R,

cioè di soluzioni del tipo f (x−ct) (onde progressive) oppure g(x+ct) (onde regressive). Tuttavia

ora, a parte la scelta di n, la loro forma funzionale è fissata: vedendole come funzioni reali,

147

€ Š ×

possono solo essere seni oppure coseni. Come nel caso della teoria in c rappresenta

R R,

la velocità di propagazione di tali profili, in questo caso si dice velocità di fase dell’onda ϕ .

n

2πn −

Consideriamo la soluzione ϕ := sin (x ct) , per le altre analoghe soluzioni si possono

n L ∈

fare discorsi analoghi. Se fissiamo un punto x [−L/2, L/2] ed osserviamo, in quel punto, come

oscilla ϕ , essa avrà un periodo di oscillazione T = L/(nc). La frequenza dell’onda ϕ è , per

n n n

definizione, l’inverso di tale periodo ν := nc/L. Se invece, a tempo fissato, fotografiamo l’onda

n

ϕ , essa sarà descritta da un sinusoide di periodo spaziale λ = L/n. Questo numero è detto

n n

lunghezza d’onda dell’onda ϕ . La lunghezza d’onda e la frequenza soddisfano la relazione,

n

rispetto alla velocità di fase: λ ν = c.

n n ×

6.5 Il problema su [−L/2, L/2] con condizioni al bordo di

R

annullamento (e di Dirichlet)

Consideriamo ora il problema di determinare le soluzioni dell’equazione di Klein-Gordon o D’A-

×

lembert nell’insieme [−L/2, L/2], una volta imposte condizioni iniziali e condizioni di an-

R

nullamento ai bordi del compatto [−L/2, L/2]. Questo caso è fisicamente più interessante del

precedente, dato che sistemi fisici comuni descritti dall’equazione di D’Alembert (es. le corde

della chitarra), obbediscono a tali condizioni al contorno. L’esistenza di soluzioni sarà provata

facendo uso della teoria della serie di Fourier sviluppata precedentemente. Alla fine discuteremo

brevemente anche il caso di condizioni di Dirichlet generiche, dato che si può ricondurre al caso

di condizioni di annullamento.

6.5.1 Teorema di unicità.

Abbiamo un primo teorema di unicità che si può enunciare in modo più generale anche am-

mettendo che l’equazione di Klein-Gordon abbia un termine di sorgente a secondo membro,

lasciando immutata la dimostrazione, come è facile rendesi conto.

× ≥

Teorema 6.9. Si consideri il seguente problema su [−L/2, L/2] con µ 0 costante

R

fissata, 2 2

 1 ∂ ϕ ∂ ϕ 2 2

− − ∈ ×

+ µ ϕ = 0 , ϕ C (R [−L/2, L/2], ,

 C)

 2 2 2

 c ∂t ∂x

 −L/2) ∀t ∈

ϕ(t, L/2) = ϕ(t, = 0 ,

 R (6.55)

∀x ∈

ϕ(0, x) = φ (x) [−L/2, L/2] ,

0

 ∂ϕ

 ∀x ∈

(0, x) = φ (x) [−L/2, L/2] ,

 1

 ∂t

2 1

∈ ∈

dove φ C ([−L/2, L/2], e φ C ([−L/2, L/2], sono funzioni assegnate che soddisfano

C) C)

0 1 2

le condizioni di annullamento al bordo : 2 2

∂ φ ∂ φ

0 0

φ (−L/2) = φ (L/2) = 0 , (−L/2) = (L/2) = 0 (6.56)

0 0 2 2

∂x ∂x

2 La seconda delle condizioni in (6.56) deve essere imposta a causa delle condizioni di annullamento al bordo

di ϕ scritte sopra e della forma dell’equazione differenziale stessa valutata a t = 0.

148

e φ (−L/2) = φ (L/2) = 0 . (6.57)

1 1

Se esiste una soluzione al problema posto, essa è unica. In particolare, se i dati iniziali φ e φ

0 1

sono funzioni a valori reali, la soluzione ϕ, se esiste, è a valori reali.

Dimostrazione. Se una soluzione ϕ del problema, ammesso che esista, è complessa, possiamo

sempre decomporla in parte reale ed immaginaria: ϕ(t, x) = Reϕ(t, x) + iImϕ(t, x). Data la

natura reale dell’equazione di Klein-Gordon, avremo anche che la parte reale Reϕ e quella imma-

ginaria Imϕ, che sono funzioni reali con la stessa regolarità di ϕ, soddisfano la stessa equazione

di Klein-Gordon separatamente. Inoltre soddisfano le condizioni al contorno di annullamento e

si raccordano, separatamente, alle parti reali ed immaginarie dei dati iniziali per costruzione. In

base a ciò è sufficiente provare il teorema di unicità nel caso di ϕ reale (cioè per la parte reale ed

immaginaria di ϕ separatamente, quando ϕ è complessa). Assumiamo dunque di lavorare con

funzioni reali soluzioni del problema considerato con dati iniziali reali. La dimostrazione della

 ‹

proprietà di unicità, è, escluso un punto, uguale a quella del teorema 5.1 ponendo (α, β) := R,

D := [−L/2, L/2]. L’unica differenza è che ora, se φ è la differenza di due soluzioni del problema

posto, l’identità T ∂φ

I

Z ∇φ ·

dt n dS(x) = 0

‚ Œ

∂t

0 +∂D

nella dimostrazione del teorema 5.1 si scrive ora nella forma semplificata che deriva dalla (5.20):

T ∂φ ∂φ ∂φ

∂φ

Z −

dt =0 ,

∂t ∂x ∂t ∂x −L/2

0 L/2

e questa identità vale banalmente in virtù delle condizioni di annullamento al bordo imposte

sulle soluzioni del problema e quindi su φ.

Se la parte immaginaria dei dati iniziali è nulla, una soluzione del problema per la parte im-

maginaria di ϕ è la soluzione ovunque nulla. In base alla proprietà di unicità della soluzione,

concludiamo che questa è l’unica soluzione e che quindi la parte immaginaria della soluzione

2

(complessa a priori) ϕ è identicamente nulla.

6.5.2 Esistenza delle soluzioni per dati iniziali sufficientemente regolari.

Passiamo ora ad un teorema di esistenza la cui dimostrazione sfrutta il teorema 6.8 di esistenza

nel caso di condizioni al contorno periodiche ed un trucco piuttosto ingegnoso. Cominciamo con

un lemma.

Lemma 6.3. Nelle stesse ipotesi del teorema 6.7 di unicità per il problema con condizioni al

bordo periodiche, se le condizioni iniziali φ e φ , oltre a soddisfare le ipotesi del teorema, sono

0 1

funzioni dispari, allora la soluzione ϕ, se esiste, è anch’essa una funzione dispari nella variabile

x, cioè: −ϕ(t, −x) ∀(t, ∈ ×

ϕ(t, x) = , x) [−L/2, L/2] . (6.58)

R

149

Dimostrazione. Sia ϕ la soluzione, ammesso che esista, del problema (6.41), con condizioni ini-

2 1

∈ ∈

ziali φ C ([−L/2, L/2], e φ C ([−L/2, L/2], date da funzioni dispari che soddisfano

C) C)

0 1 ×

i vincoli al contorno (6.42) e (6.43). Consideriamo la funzione, definita su [−L/2, L/2]:

R

−x)

Φ(t, x) := ϕ(t, x) + ϕ(t, .

La soluzione ϕ è una funzione dispari nella variabile x se e solo se Φ è identicamente nulla. Dimo-

striamo che Φ è la funzione nulla se valgono le ipotesi del lemma. Si osservi che, per costruzione

2

∈ ×

Φ C (R [−L/2, L/2], Inoltre, dato che nell’equazione di Klein-Gordon appaiono le deri-

C). 7→ −x)

vate seconde unicamente, la funzione (t, x) ϕ(t, soddisferà l’equazione di Klein Gordon

→ −x

(dato che è soddisfatta da ϕ), infine, come è facile verificare, dato che la riflessione x è

7→ −x)

eseguita rispetto al centro del segmento [−L/2, L/2], la funzione (t, x) ϕ(t, sarà periodi-

ca (con la sua derivata prima spaziale) ai bordi di tale segmento, dato che lo è ϕ. Sommando

−x),

membro a membro le due equazioni di Klein-Gordon per ϕ(t, x) e ϕ(t, otteniamo che

2 2

1 ∂ Φ ∂ Φ 2

− −

+ µ Φ = 0 .

2 2 2

c ∂t ∂x

Φ soddisferà anche le condizioni di periodicità ai bordi perché somma di funzioni periodiche.

Per costruzione la funzione Φ soddisfa infine:

∂Φ ∀x ∈

(0, x) = 0 , [−L/2, L/2] ,

Φ(0, x) = 0 ∂t

dato che le condizioni iniziali per ϕ sono per ipotesi delle funzioni dispari e quindi:

−x)

Φ(0, x) = ϕ(0, x) + ϕ(0, = φ (x) + φ (−x) = 0 ,

0 0

e anche −x)

(∂ Φ)(0, x) = (∂ ϕ)(0, x) + (∂ ϕ)(0, = φ (x) + φ (−x) = 0 .

t t t 1 1

2

∈ ×

In definitiva Φ C (R [−L/2, L/2]) soddisfa l’equazione di Klein-Gordon, con dati iniziali

nulli e condizioni periodiche al bordo. Usando il teorema 6.9 concludiamo che questa deve essere

l’unica soluzione del problema detto, ma allora deve coincidere con la soluzione banale data dalla

funzione ovunque nulla, notando che la soluzione nulla risolve lo stesso problema (con le stesse

2

condizioni iniziali ed al bordo).

Possiamo ora enunciare e provare il teorema di esistenza. L’idea della dimostrazione è trasfor-

mare il problema con condizioni al bordo di annullamento in un problema con condizioni al

bordo periodiche, ma definito su un dominio spaziale più grande. La soluzione determinata nel

dominio più grande, che sappiamo esistere per il teorema 6.8, ristretta al dominio iniziale, sarà

la soluzione del problema. 150

Teorema 6.10. Si consideri il problema con condizioni al contorno di annullamento (6.55)

2

∈ × ≥

per la funzione ϕ C (R [−L/2, L/2], con µ 0 costante fissata.

C) 2 3

Se si assume che i dati iniziali soddisfino φ C ([−L/2, L/2], di classe C a tratti su

C)

0

1 2

[−L/2, L/2] e φ C ([−L/2, L/2], di classe C a tratti su [−L/2, L/2] e che valgano le

C)

1

condizioni di annullamento al bordo sui dati iniziali (6.56) e (6.57), allora esiste (ed è unica)

una soluzione ϕ al problema.

Dimostrazione. Prima di tutto notiamo che tutti i risultati che abbiamo provato fino ad ora su

L/2], inclusi i teoremi di esistenza ed unicità in presenza di condizioni al bordo perio-

R×[−L/2,

diche, valgono se si sostituisce [−L/2, L/2] con un qualsiaso intervallo [a, b], dove a < b. Anche

le formule risolutive sono identiche con l’eccezione che il dominio d’integrazione [−L/2, L/2] (per

esempio nel calcolo dei coefficienti di Fourier) deve essere ovviamente rimpiazzato da [a, b], ed il

parametro L che appare, per esempio, negli esponenti deve essere sostituito con b a. Con una

traslazione di assi spaziali, portiamo il segmento [−L/2, L/2] nel segmento [0, L]. Dimostreremo

il teorema di esistenza in questo intervallo e poi torneremo sull’intervallo iniziale. La soluzione

−L/2.

per l’intervallo [−L/2, L/2] si otterrà banalmente con una traslazione di assi di

˜ −

Lavoriamo allora sul segmento [0, L] sul quale definiamo le funzioni: φ (x) := φ (x L/2) e

0 0

˜ − ∈

φ (x) := φ (x L/2) per ogni x [0, L]. Consideriamo poi il segmento di lunghezza doppia

1 1

[−L, L], estendiamo le funzioni φ̃ e φ̃ dal segmento [0, L] a tutto il segmento [−L, L] in modo

0 1

tale che risultino funzioni dispari. Indichiamo le funzioni estese in questo modo con Φ e Φ . Ora

0 1

passeremo dal problema con condizioni al bordo di annullamento su [0, L] ad un nuovo problema

sul segmento allargato [−L, L] con condizioni al bordo periodiche del quale conosciamo già un

teorema di esistenza. La soluzione che otterremo in quel caso, ristretta al dominio originale,

sarà la soluzione del nostro problema. 2

Date le proprietà delle funzioni φ e φ di annullarsi in x = 0 e di essere, rispettivamente: C e

0 1

3 1 2

C a tratti la prima, e C e C a tratti la seconda, con considerazioni elementari di analisi, si ha

2

facilmente quanto segue. Φ C ([−L, L], (si noti che, riguardo alle derivate seconde, per il

C)

0

punto x = 0 vale la (6.56) che assicura che la derivata seconda in x = 0 esista e sia continua)

3 1 2

ed è di classe C a tratti su [−L, L], Φ C ([−L, L], ed è di classe C a tratti su [−L, L].

C)

1

Infine sono soddisfatte le condizioni di periodicità al bordo di [−L, L]:

2 2

∂Φ ∂Φ ∂ Φ ∂ Φ

0 0 0 0

Φ (−L) = Φ (L) (= 0) , (−L) = (L) , (−L) = (L) (= 0)

0 0 2 2

∂x ∂x ∂x ∂x

e ∂Φ ∂Φ

1 1

Φ (−L) = Φ (L) (= 0) , (−L) = (L) .

1 1 ∂x ∂x

Si noti che le condizioni scritte sulle derivate prime sono conseguenza del fatto che le funzioni

Φ e Φ sono funzioni dispari e quindi le loro derivate prime (in x) sono funzioni pari, le

0 1

rimanenti condizioni sono anche conseguenza delle condizioni di annullamento al bordo delle

funzioni φ e φ . Possiamo allora invocare il teorema 6.8 che assicura l’esistenza di una funzione

0 1

2

∈ ×

Φ C (R [−L, L]; che soddisfi l’equazione di Klein-Gordon in tale insieme, che si raccordi

C) 151

con i dati iniziali Φ e Φ al tempo t = 0 e che soddisfi condizioni di periodicità

0 1 ∂Φ ∂Φ

−L) −L) ∀t ∈

Φ(t, = Φ(t, L) , (t, = (t, L) .

R

∂x ∂x

La soluzione Φ è una funzione dispari in x per il lemma 6.3, dato che i dati iniziali sono funzioni

−Φ(t, −0) −Φ(t, ∈

dispari. Quindi, in particolare Φ(t, 0) = = 0) = 0 per ogni t per il

R

fatto che Φ è dispari. Inoltre essendo Φ dispari ma anche periodica su [−L, L], deve vale

−Φ(t, −L) −L)

contemporaneamente Φ(t, L) = e Φ(t, L) = Φ(t, e quindi Φ(t, L) = 0 per ogni

t R.

Se allora definiamo φ(t, x) := Φ (t, x), questa funzione soddisfa per costruzione:

R×[0,L]

2 2

 ∂ φ ∂ φ

1 2 2

− ∈ ×

− + µ φ = 0 , φ C (R [0, L], ,

 C)

 2 2 2

 c ∂t ∂x

 ∀t ∈

φ(t, 0) = ϕ(t, L) = 0 ,

 R

∀x ∈

φ(0, x) = φ̃ (x) [0, L] ,

0

 ∂φ

 ∀x ∈

(0, x) = φ̃ (x) [0, L] .

 1

 ∂t ∈ ×

Di conseguenza, la funzione definita da ϕ(t, x) := φ(t, x + L/2) per ogni (t, x) [−L/2, L/2]

R

soddisfa 2 2

 1 ∂ ϕ ∂ ϕ 2 2

− − ∈ ×

+ µ ϕ = 0 , ϕ C (R [−L/2, L/2], ,

 C)

 2 2 2

 c ∂t ∂x

 −L/2) ∀t ∈

ϕ(t, L/2) = ϕ(t, = 0 ,

 R

∀x ∈

ϕ(0, x) = φ (x) [−L/2, L/2] ,

0

 ∂ϕ

 ∀x ∈

(0, x) = φ (x) [−L/2, L/2] ,

 1

 ∂t

ed è quindi una soluzione del problema con condizioni al contorno di annullamento (6.55) con

2

dati iniziali φ e φ .

0 1

Osservazioni 6.8.

(1) Studiamo la forma particolare dello sviluppo di Fourier della soluzione del problema consi-

derato, nel caso in cui il campo ϕ sia reale, dato che si presta a qualche osservazione interessante

dal punto di vista fisico, specialmente nel caso in cui µ = 0, cioè per l’equazione di D’Alem-

bert. Sotto opportune ipotesi di regolarità delle condizioni iniziali, la generica soluzione Φ del

×

problema periodico su [−L, L], come sappiamo dal teorema 6.8 è data dallo sviluppo di

R

Fourier: πn πn

−i

i x x

e e

L L

−iE

X t (−) iE t

(+) √ √

n n

Φ(t, x) = At + C e + C e ,

n n

2L 2L

n∈Z

dove il termine At può apparire solo se µ = 0. Tuttavia, nel caso in esame, dato che richiederemo

che Φ sia una funzione dispari di x, l’unica possibilità è A = 0 anche nel caso µ = 0, come si

prova facilmente mantenendo tale termine nello sviluppo di Φ (per µ = 0) e procedendo come

facciamo nel seguito (omettendo però direttamente tale termine). Pertanto partiamo con la

152

generica soluzione:

È πn

πn −i

i x x

e

e L L

−iE

X t (−) iE t

(+) √ √

n n

e + C e , (6.59)

Φ(t, x) = C n

n 2L 2L

n∈Z

2

πn 2

dove E = + µ . Dalla dimostrazione del teorema 6.10, sappiamo che la soluzione

n L

generica del problema con condizioni di annullamento al bordo su [0, L] si ottiene restringendo

la funzione Φ a [0, L] sotto l’ipotesi che Φ sia dispari. Ma allora deve valere:

πn πn

−i x i x

e e

L L

−iE

X (+) t (−) iE t

√ √

−C

−Φ(t, −x) −

n n

Φ(t, x) = = e C e . (6.60)

n n

 ‹  ‹

2L 2L

n∈Z

Sommando membro a membro con (6.59) e dividendo il risultato a metà si ottiene allora che:

1 πnx πnx

−iE

X (+) t (−) iE t

√ −

n n

Φ(t, x) = iC e sin iC e sin . (6.61)

n n

‹ ‹

 

L L

2L n∈Z

Ora, tenendo conto del fatto che Φ è reale, possiamo ancora scrivere che:

1 πnx πnx

(+) (−) −iE

X iE t t

√ −

n n , (6.62)

Φ(t, x) = Φ(t, x) = iC e sin iC e sin

n n

L L



 ‹ ‹

2L Š

Š €

€

n∈Z

che, sommata membro a membro con (6.61), fornisce: πnx

πnx

1 −iE

X (−) iE t

(+) t

√ −Im n

n sin

sin + Im C e .

Φ(t, x) = C e n

n L L

2L n∈Z  ‹  ‹

€ Š € Š

(±) (±) (±) ±iE t

Se infine definiamo C = α + iβ , e decomponiamo gli esponenziali complessi e =

n

n n n

cos(E t) + i sin(E t), con un semplice calcolo, l’identità trovata si riduce a:

n n

1 πnx πnx

X (−) (+) (−) (+)

√ − −

Φ(t, x) = α α sin(E t) sin + β β cos(E t) sin .

n n

n n n n

L L

2L n∈Z

Possiamo concludere che, per un’ opportuna scelta delle costanti reali A e B etichettate su

 ‹ N,

n n

la soluzione del problema con condizioni di annullamento al bordo di [0, L] ha la struttura, se

∈ ×

(t, x) [0, L]:

R 1 πnx

X

ϕ(t, x) = [A sin(E t) + B cos(E t)] sin . (6.63)

n n n n L

2L n∈N\{0}

Sopra abbiamo omesso i termini con n = 0 dato che non forniscono alcun contributo essendo

−πnx

πnx

= sin e

sin 0 = 0, inoltre abbiamo tenuto conto del fatto che E = E , sin

−n

n L L

questo consente di sommare sui naturali invece che sugli interi raccogliendo i coefficienti oppor-

tunamente. 153

Per inciso, come segue subito dalla (6.61) cambiando nome ai coefficienti e raccogliendoli te-

−πnx

πnx

nendo conto del fatto che E = E e che sin = sin , la (6.63) vale banalmente

−n

n L L

anche nel caso in cui si lavori con soluzioni complesse, pur di pensare i coefficienti A e B come

 ‹ n n

” —

numeri complessi. Infine, usando la formula di Eulero nell’espressione trovata (con A e B

n n

complessi), si ha anche che la soluzione generale complessa si può riscrivere come:

1 πnx

−iE

X (+) t (−) iE t

√ n n

ϕ(t, x) = D e + D e sin , (6.64)

n n L

2L n∈N\{0}

(±) ∈

dove, ancora, D (l’unica differenza sostanziale con la (6.61) è che ora la somma su n è

C

n

eseguita solo sui naturali non nulli invece che su Z).

Tornando a (6.63), nel caso esplicitamente reale, mostriamo ora come individuare i coefficienti A n

e B in funzione dei dati iniziali. Con la stessa procedura che abbiamo usato nella dimostrazione

n  ‹

del teorema 6.8 si riesce facilmente a dimostrare che la serie di sopra converge uniformemente, si

può derivare sotto il segno di somma nella vartiabile t ottenendo una serie che converge ancora

uniformemente: 1 πnx

∂ X

√ −

ϕ(t, x) = [A cos(E t) B sin(E t)] E sin .

n n n n n

 ‹  ‹

∂t L

2L n∈N\{0}

Specializzando le due serie per t = 0 si ha allora il legame con i dati iniziali:

1 πnx 1 πnx

X X

√ √

φ (x) = B sin , φ (x) = E A sin .

0 n 1 n n

L L

2L 2L

n∈N\{0} n∈N\{0}

πmx

Moltiplicando entrambe le espressioni per sin ed integrando su [0, L], passando il simbolo

Ê Ê

 

‹ ‹

L

di integrale sotto quello di serie, dato che ciò è concesso per via della uniforme convergenza della

serie, si trova infine:

L L

πnx πnx

8 8

Z Z ∀n ∈ \ {0}

B = sin sin

φ (x)dx , A = φ (x)dx , (6.65)

N

n 0 n 1

‹  ‹

 2

L L LE L

0 0

n

dove abbiamo tenuto conto dell’identità (vedi la sezione C in Appendice)

L πmx πnx L

Z ∀m, ∈ \ {0}

sin sin dx = δ , n .

N

nm

L L 2

0 πn

(2) Consideriamo esplicitamente il caso dell’equazione di D’Alembert, µ = 0, per cui E = c .

n L

La decomposizione (6.63) di ϕ(t, x) è interessante perché non è data in termini di onde regressive

 ‹  ‹

o progressive, come quelle che appaiono nella decomposizione della soluzione per il problema con

condizioni periodiche in [0, L]: 2πn 2πn

2πn

±i( x−iE t) − ± −

n

e = cos (x ct) i sin (x ct) con n > 0,

L L L

154

 ‹  ‹

2πn 2πn

2πn

±i( x−iE t) ±

n

e = cos (x + ct) i sin (x + ct) se n < 0.

L L L

 ‹  ‹  ‹  ‹

Invece appaiono soluzioni dette onde stazionarie o armoniche (che non si vedono “propagare”

nelle due direzioni come invece accade nel caso di condizioni periodiche):

cπn πnx cπn πnx ∀n ∈ \ {0}

A sin t sin + B cos t sin , . (6.66)

N

n n

L L L L

Queste onde hanno frequenze temporale: cn

ν = ,

n 2L

dette frequenze proprie o frequenze di risonanza della corda. A differenza delle onde

analoghe trovate per lo sviluppo delle soluzioni con condizioni periodiche, nelle onde stazionarie

vi sono punti nello spazio, detti nodi, in cui le onde si annullano per ogni valore del tempo. Le

(n) (n)

posizioni x dei nodi sono ottenute risolvendo sin(πnx /L) = 0 su [0, L] ed ottenendo quindi,

 ‹  ‹

k k

(n) k ∈ ≤

∈ \ {0}, L per tutti i k con k n.

per ogni fissato n x = N

N k n

Un altro modo di scrivere la (6.66) è: cπn πnx

C sin t + δ sin (6.67)

n n

L L

∈ ≥

dove abbiamo introdotto le fasi δ (−π, π] e le ampiezze C 0. Sviluppando la prima delle

n n

due funzioni seno, si ricavano le relazioni che legano i coefficienti reali C , δ ai coefficienti reali

n n

A , B :

n n C cos δ = A , C sin δ = B .

n n n n n n 2

∈ × ∈ \ {(0,

La corrispondenza tra le coppie (C , δ ) (0, +∞) (−π, π] e le coppie (A , B ) 0)}

R

n n n n

3

risulta essere biunivoca .

(3) Il teorema di esistenza provato richiede ipotesi abbastanza forti sulla regolarità delle con-

dizioni inziali, sicuramente più forti di quelle usate nel precedente teorema di unicità. È però

possibile indebolire queste ipotesi usando procedure matematiche più avanzate esattamente come

già osservato per il caso del problema con dati al bordo periodici.

6.5.3 Il caso di condizioni al bordo di Dirichlet

Passiamo a considerare brevemente il caso di condizioni di Dirichlet generiche invece che di an-

nullamento. Abbiamo un primo teorema di unicità che si può enunciare in modo più generale

anche ammettendo che l’equazione di Klein-Gordon abbia un termine di sorgente a secondo

membro, lasciando immutata la dimostrazione, come è facile rendesi conto.

3 Non è altro che la corrispondenza che associa coordinate polari piane e coordinate cartesiane piane.

155 × ≥

Teorema 6.11. Si consideri il seguente problema su [−L/2, L/2] con µ 0 costante

R

fissata, 2 2

 ∂ ψ ∂ ψ

1 2 2

− ∈ ×

− + µ ψ = 0 , ψ C (R [−L/2, L/2], ,

 C)

 2 2 2

 c ∂t ∂x

 −L/2) ∀t ∈

ψ(t, L/2) = f (t) , ψ(t, = g(t) ,

 R (6.68)

∀x ∈

ψ(0, x) = ψ (x) [−L/2, L/2] ,

0

 ∂ψ

 ∀x ∈

(0, x) = ψ (x) [−L/2, L/2] ,

 1

 ∂t

2 1 2

∈ ∈ ∈

dove ψ C ([−L/2, L/2], ψ C ([−L/2, L/2], f, g C (R) sono funzioni assegnate

C), C),

0 1

4

che soddisfano le condizioni :

ψ (−L/2) = f (0) , ψ (L/2) = g(0) ,

0 0

2 2

∂ ψ 1 ∂ ψ 1

0 0

00 00

2 2

(−L/2) = f (0) + µ f (0) , (L/2) = g (0) + µ g(0) (6.69)

2 2 2 2

∂x c ∂x c

e 0 0

ψ (−L/2) = f (0) , ψ (L/2) = g (0) . (6.70)

1 1

Se esiste una soluzione al problema posto, essa è unica. In particolare, se i dati iniziali ψ , ψ

0 1

e f, g sono funzioni a valori reali, la soluzione ψ, se esiste, è a valori reali.

Dimostrazione. È la stessa data per il teorema 6.9, dato che la differenza di due soluzioni del

problema considerato è una funzione che risolve il problema con condizioni al bordo di annulla-

2.

mento.

Per quanto riguarda l’esistenza delle soluzioni proviamo che, nel caso dell’equazione di D’Alem-

bert, la questione può essere riportata al problema con dati al bordo nulli, a parità di tutte le

altre condizioni. Vale infatti la seguente proposizione.

×

Proposizione 6.4. Si consideri il problema su [−L/2, L/2] con condizioni di Dirichlet

R

dato dalla (6.68) assumendo le condizioni (6.69) e (6.70) e µ = 0. ψ è una soluzione di tale

problema se e solo se la funzione: −

L 2x L + 2x

− −

ϕ(t, x) := ψ(t, x) f (t) g(t)

2L 2L

soddisfa il problema con condizioni di annullamento al bordo dato dalla (6.55) assumendo le

condizioni (6.56) e (6.57), µ = 0 e con condizioni iniziali:

− −

L 2x l + 2x L 2x L + 2x

0 0

− − − −

φ (x) = ψ (x) f (0) g(0) , φ (x) = ψ (x) f (0) g (0) .

0 0 1 1

2L L 2L L

4 La seconda riga delle condizioni in (6.69) deve essere imposta a causa delle condizioni al bordo di ψ scritte

sopra e della forma dell’equazione differenziale stessa valutata a t = 0.

156 2

Dimostrazione. La dimostrazione si esegue immediatamente per verifica diretta.

6

Osservazioni 6.9. Nella situazione generale in cui µ = 0, si può enunciare un analogo teorema

riconducendo il problema con condizioni al bordo generiche ad un problema con condizioni al

bordo di annullamento ma con una sorgente a secondo membro dell’equazione di Klein-Gordon.

Lasciamo l’ovvia formulazione al lettore. 157

Capitolo 7

Introduzione ai metodi dell’analisi

spettrale e qualche applicazione

all’acustica musicale.

In questo capitolo introdurremo alcune idee base delle procedure di soluzione dell’equazione di

D’Alembert basate sulla teoria spettrale dell’operatore di Laplace. Alla fine useremo alcuni

dei risultati trovati in questo e nel precedente capitolo per introdurre, molto generalmente,

qualche elemento di acustica fisica. In particolare discuteremo, in modo un po’ idealizzato, il

funzionamento di alcuni strumenti musicali.

7.1 Generalizzazione della procedura di soluzione con la serie di

Fourier su domini più generali.

Consideriamo il caso in cui si voglia studiare l’equazione di D’Alembert per una funzione u =

2 0

× ×

u(t, x) di classe C (R D), in generale con sorgente S = S(t, x) assegnata di classe C (R D):

2

1 ∂ u

− + ∆ u = S(t, x) , (7.1)

x

2 2

v ∂t

n

dove D è un insieme aperto connesso a chiusura compatta con bordo dato da una superficie

R

C a tratti, orientabile, richiedendo che le soluzioni soddisfino condizioni di Dirichlet (cioè di

annullamento su ∂D): ∈

u (t, x) = 0 per ogni t (7.2)

R.

∂D

Tale richiesta implica che debba valere la condizione di compatibilità S (t, x) = 0. Supporre-

∂D

1 0

∈ e u C (D) compatibili con le condizioni

mo infine che valgano condizioni inziali u C (D)

0 1

di annullamento al bordo: ∂u ∈

u(0, x) = u (x) , (0, x) = u (x) per ogni x D . (7.3)

0 1

∂t 158

Anche se ci limiteremo alla situazione sopra esposta, si potrebbero fare considerazioni analoghe

per altri tipi di condizioni al bordo; quanto diremo si può inoltre estendere facilmente al caso

dell’equazione di Klein-Gordon.

Nel casistica che considereremo ricade in particolare la teoria della corda vibrante ad estremi fissi

discussa nel capitolo precedente; in tal caso D = [0, L] e u rappresenta la (piccola) deformazione

trasversale della corda. La teoria che considereremo include anche il caso di una memebrana

2

(di estensione limitata) vibrante a bordo fissato (vedi la sezione 5.1). In tal caso D è la

R

proiezione sul piano orizzontale della membrana e u misura la (piccola) deformazione verticale

(trasversale) della memebrana. Il bordo della membrana è tenuto fermo, cioè u si annulla su

∂D.

Nel seguito ci occuperemo di descrivere una procedura che porta a costruire esplicitamente una

soluzione della (7.1) per assegnati dati iniziali (7.3) e quando siano soddisfatte le condizioni al

bordo (7.2). Tuttavia non potremo entrare in tutti i dettagli matematici necessari, dato che ciò

richiederebbe tecniche avanzate di analisi funzionale ed in particolare di teoria spettrale [Mo10].

In ogni caso le idee che esporremo saranno sufficienti per descrivere il fenomeno fisico della

risonanza che ha importanti conseguenze in fisica.

7.1.1 Autofunzioni del laplaciano con condizioni di Dirichlet e serie di Fourier

generalizzata. n

Assumendo che l’insieme D sia scelto come precisato sopra, definiamo il dominio per

¦ ©

R

l’operatore di Laplace in modo da tenere automaticamente conto delle condizioni di annullamento

al bordo (estendendo la teoria al caso di funzioni avalori complessi):

D 2

∈ |

:= f C (D; f = 0 (7.4)

C) ∂D

Questo insieme è evidentemente uno spazio vettoriale complesso.

D 0

Consideriamo l’operatore di Laplace ∆ : C (D; Su questo dominio l’operatore ∆ è

C).

n

2 d x), cioè vale:

hermitiano rispetto al prodotto scalare di L (D; D,

|∆g) ∈

(f = (∆g|f ) se f, g (7.5)

dato che ciò equivale a scrivere:

Z Z D,

n n ∈

f ∆g d x = ∆f g d x se f, g (7.6)

€ Š

D D D

che, a sua volta, segue immediatamente dalla definizione di e dalla seconda identità di Green:

Z Z I

n n

− ∇g − ·

f ∆g d x ∆f g d x = f g∇f ndS = 0 essendo f = g = 0 su ∂D .

D D +∂D D

Un’autofunzione φ di ∆ con il dominio detto è una funzione in (a valori complessi quindi)

λ

non identicamente nulla tale che valga l’identità:

∆φ = λφ , (7.7)

λ λ

159

per qualche λ detto autovalore di φ .

C, λ ∈ 6

Si osservi che se φ è autofunzione associata a λ, ogni altra funzione cφ , con c e c = 0

C

λ λ

è ancora autofunzione dello stesso autovalore. Tuttavia tutte queste autofunzioni sono linear-

mente dipendenti per costruzione quando viste come vettori nello spazio vettoriale complesso

D. Comunque, in generale, può capitare di avere più autofunzioni linearmente indipendenti

D

associate allo stesso autovalore. Il sottospazio vettoriale di generato dalle autofunzioni di un

fissato autovalore si dice autospazio di quell’autovalore. D

Proposizione 7.1. Coseguentemente alle ipotesi fatte su D ed alla definizione di valgono

i seguenti fatti:

(a) gli autovalori di ∆ sono reali,

(b) gli autovalori di ∆ sono strettamente negativi, ♦

(c) le autofunzioni corrispondenti ad autovalori differenti sono ortogonali.

€ Š

Dimostrazione. Per quanto riguarda la prova di (a) e (b) abbiamo che:

Z Z Z

n n n

|φ |∆φ ∇ · ∇φ − ∇φ · ∇φ

λ(φ ) = (φ ) = φ ∆φ d x = φ d x d x

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

D D D

Z n

− ∇φ · ∇φ

= d x ,

λ λ

D

dove, nell’ultimo passaggio, abbiamo trascurato un integrale dato che è nullo come banale

conseguenza del teorema della divergenza e del fatto che φ si annulla su ∂D. Abbiamo ottenuto:

λ

Z Z

2 n 2 n

|φ | − ||∇φ ||

λ d x = d x .

λ λ

D D

Si osservi che l’integrale a primo membro è strettamente positivo, dato che, per ipotesi φ non

λ

è ovunque nulla (che equivale a dire che non è quasi ovunque nulla dato che è continua). Ne

−λ ≥ ∇φ

segue che 0. Se fosse λ = 0, la stessa identità trovata sopra proverebbe che = 0

λ

1

quasi ovunque e quindi ovunque, dato che φ C (D; Di conseguenza avremmo che φ

C).

λ λ

sarebbe costante sull’aperto connesso D. Il fatto che φ si annulli sul bordo insieme all’ipotesi

λ

”€ Š —

di continuità su tutto D implicherebbero che φ = 0 ovunque, cosa impossibile.

λ

Per provare (c) basta osservare che, dalla definizione di autofunzione:

Z Z

0 n n

− φ φ d x = ∆φ φ φ ∆φ d x = 0

(λ λ ) 0 0 0

λ λ λ

λ λ λ

D D 0

6

a causa, come prima, della seconda identità di Green. Se λ = λ , l’identità trovata implica che

deve valere necessariamente: Z n

(φ ) := φ φ d x = 0 .

0 0

λ λ

λ λ

D

2 160

L’insieme degli autovettori di ∆ costituisce il cosiddetto spettro puntuale di ∆, che si indica

con σ (∆). Si osservi che gli elementi di tale insieme dipendono strettamente dal dominio che

p

abbiamo scelto per ∆. 2

d

Osservazioni 7.1. Nel caso di D = [0, L] e ∆ = quanto trovato sopra si riduce a fat-

2

dx 2

πn

− con

ti che abbiamo già verificato. In quel caso gli autovalori sono della forma λ =

n L

n = 1, 2, . . ., e le corrispondenti autofunzioni (individuate a meno di un fattore moltiplicativo)

πnx

sono φ (x) := sin .

n L 2

d

Nel caso di D = [0, L] e ∆ = , le autofunzioni del laplaciano, divise per la loro norma, in

2

dx L 2

modo da definire vettori di norma unitaria, e quozientando lo spazio ([0, L], dx) rispetto alla

relazione di equivalenza che identifica funzioni che differiscono su insiemi di misura nulla, risul-

2

tano individuare una base hilbertiana di L ([0, L], dx). Ci si può chiedere se questo sia un fatto

generale. La risposta è positiva: l’insieme degli autovettori φ del laplaciano ∆ con le ipotesi

λ

D, 2 n

fatte su D e se pensati come elementi dello spazio di Hilbert L (D; d x), costituisce una base

Hilbertiana di tale spazio. La prova di questo notevole fatto è un caso particolare del teorema

di decomposizione spettrale per operatori non limitati densamente definiti [Mo10]. Si prova più

precisamente la seguente proposizione, estendibili a contesti molto più generali.

D

Proposizione 7.2. Se ∆ è definito sul dominio (quindi con condizioni di annullamento)

n

⊂ ∈

con D che rispetta le ipotesi suddette, gli autovalori λ σ (∆) ed i corrispondenti auto-

R p

vettori φ di ∆ soddisfano i fatti seguenti.

λ −∞:

(a) Si possono ordinare in una successione infinita strettamente decrescente che diverge a

· · · → −∞

0 > λ > λ > > λ .

1 2 n

(b) Per ogni autovalore λ σ (∆) esistono solo un numero finito, d , di autovettori φ , α =

p λ λ,α

1, . . . d , reciprocamente ortogonali (e tale numero corrisponde alla dimensione dell’autospazio

λ

di λ). Se si definisce: X d

N (Λ) := λ n

|λ |≤Λ

n

allora vale la stima di Weyl: n

N (Λ) V ol(B ) V ol(D)

→ →

se Λ +∞ ,

n

n/2 (2π)

Λ

n n n

R

dove V ol(M ) := d x e B è la palla unitaria in .

R

M {φ }

(c) L’insieme degli autovettori, scelti con norma unitaria individua una

λ,α λ∈σ (∆),α=1,...,d

p λ

2 n ♦

base hilbertiana di L (D; d x). 2 n

Il fatto che l’insieme di autofunzioni φ costituisca una base hilbertiana di L (D; d x) implica

λ 2 n

che, nel senso della convergenza di tale spazio di Hilbert, se f L (D; d x), abbia senso lo

161

sviluppo di Fourier generalizzato:

d λ Z

X

X n

|f

f φ dove f := (f ) =

f = φ (x)f (x) d x . (7.8)

λ,α λ,α λ,α λ,α λ,α

D

α=1

λ∈σ (∆)

p

I coefficienti f sono i coefficienti di Fourier (generalizzati) di f rispetto alla base hilber-

λ,α

tiana dei vettori φ .

λ,α

Osservazioni 7.2. n

(1) Sotto opportune ipotesi di regolarità sull’aperto connesso D nel quale si cercano le

R

autofunzioni di ∆ con condizioni di annullamento al bordo, si riesce a dimostrare che la di-

mensione dell’autospazio del primo autovalore di ∆ è sempre 1 e che ogni autofunzione di tale

autospazio non si annulla mai se non su ∂D. Per quanto riguarda le autofunzioni dei rimanenti

1

autospazi, esse si annullano su sottoinsiemi di D che non contengono punti interni e sono fun-

zioni C (D; come segue dai teoremi di regolarità ellittica come il teorema A.2.

C)

(2) Come nel caso di D = [0, L], se sono soddisfatte ipotesi sui coefficienti f che assicurano la

λ,α

convergenza puntale della serie in (7.8), la funzione f a primo membro in (7.8) deve soddisfare

le condizioni di annullamento al bordo f = 0 dato che tali condizioni sono soddisfatte da

∂D

tutte le funzioni φ che appaiono nella serie.

λ,α D 2 n

{φ } ⊂

(3)* Il fatto che sia una base hilbertiana di L (D, d x) implica

λ,α λ∈σ (∆),α=1,...,d

p λ

D 2 n

immediatamebnte che sia denso in L (D, d x) nella topologia metrica di quest’ultimo. Par-

D,

tendo da questo fatto è possibile provare che ∆ definito su pensato come sottospazio denso

2 n

di L (D, d x), goda della proprietà di essere essenzialmente autoaggiunto [Mo10], che rinforza

la proprietà di hermiticità già menzionata.

7.1.2 *Autofunzioni dell’operatore di Laplace-Beltrami su una varietà rie-

manniana.

Consideriamo ora il caso trattato nella sezione 5.1.3 in cui si lavorava con una funzione u =

3

u(t, p) che descriveva le piccole deformazioni di una superficie chiusa M rappresentate un

R

tamburo di topologia arbitraria. In tal caso l’operatore laplaciano viene sostituito dall’operatore

3

di Laplace-Beltrami associato alla metrica g indotta da quella standard in su M .

R

Più in generale considereremo il caso di una varietà C connessa e compatta, M , di dimensione

∞ (M,g)

n e dotatata di una metrica riemanniana g di classe C . Indicheremo con ∆ l’operatore

di Laplace-Beltrami costruito con la connessione di Levi-Civita associata a g. In coordinate

1 n 1 n

locali x , . . . , x , in cui la metrica è individuata dalla matrice di coefficienti g (x , . . . , x ) e con

ij

1 Possiamo lavorare separatamente con la parte reale ed immaginaria delle autofunzioni dato che gli autovalori

2

−λφ ≤ ∈ ⊂

λ e i coefficienti di ∆ sono reali. Se dunque ∆φ = 0 (con λ 0) e φ C (D) si annulla su un aperto D D

0

λ √

−λ x

allora deve essere nulla sull’aperto connesso D dato che, per la proposizione 3.3, la funzione Φ(x, x) := e φ(x)

×

deve essere nulla, in quanto è armonica in n + 1 variabili sull’aperto connesso Ω := D e si annulla sull’aperto

R

× ⊂

A := D Ω.

R 0 162  ‹

ij 1 n

inversa la matrice di coefficienti g (x , . . . , x ) come ben noto vale:

n ∂

1 ∂

X

(M,g) ij p

∆ u = g det g u , (7.9)

j j

∂x ∂x

det g

i,j=1

dove il determinante è quello della matrice di coefficienti g . Definiamo il dominio per l’operatore

ij

di Laplace-Beltrami come: D 2

:= C (M ; (7.10)

C)

M

Si noti che non ci sono condizioni al controno da imporre dato che la varietà M non ha bordo.

Questo insieme è evidentemente uno spazio vettoriale complesso.

€

(M,g) 2 (M,g)

Su questo dominio l’operatore ∆ è hermitiano rispetto al prodotto scalare di L (D ; dν )

M

(M,g)

dove ν é la misura di Borel associata a g su M , cioè vale:

D

(M,g) (M,g) ∈

f ∆ g = ∆ g f se f, g , (7.11)

M

D

che segue immediatamente dalla definizione di e dalla seconda identità di Green rispetto

M ∅.

alla derivata covariante di Levi-Civita, tenuto conto del fatto che ∂M = Un’autofunzione

D

(M,g)

φ di ∆ con il dominio detto è al solito una funzione in (a valori complessi quindi) non

M

λ

identicamente nulla tale che valga l’identità:

(M,g)

∆ φ = λφ , (7.12)

λ λ

per qualche λ detto al solito autovalore di φ .

C, λ

D

Il sottospazio vettoriale di generato dalle autofunzioni di un fissato autovalore si dice al

M

solito autospazio di quell’autovalore. D

Proposizione 7.3. Coseguentemente alle ipotesi fatte su M ed alla definizione di valgono

M

i seguenti fatti: (M,g)

(a) gli autovalori di ∆ sono reali,

(M,g)

(b) gli autovalori di ∆ sono strettamente negativi eccetto uno che è nullo,

(c) le autofunzioni corrispondenti ad autovalori differenti sono ortogonali.

Dimostrazione. La dimostrazione è la stessa che per la proposizione 7.1, usando la derivata

covariante invece che quella ordinaria, osservando che in ogni caso esiste sempre un autovalore

2

nullo che ha una qualsiasi funzione costante non nulla su M come autofunzione.

(M,g) (M,g)

L’insieme degli autovettori di ∆ costituisce al solito lo spettro puntuale di ∆ ,

(M,g)

σ (∆ ).

p (M,g)

Come nel caso più elementare discusso precedentemente, l’insieme degli autovettori φ di ∆

λ

D 2 (M,g)

con le ipotesi fatte su M e , se pensati come elementi dello spazio di Hilbert L (M ; dν ),

M

costituisce una base Hilbertiana di tale spazio. Si prova più precisamente la seguente proposi-

zione. 163 D

(M,g)

Proposizione 7.4. Se ∆ è definito sul dominio con M che rispetta le ipotesi

M

(M,g) (M,g)

suddette, gli autovalori λ σ (∆ ) ed i corrispondenti autovettori φ di ∆ soddisfano i

p λ

fatti seguenti. −∞:

(a) Si possono ordinare in una successione infinita strettamente decrescente che diverge a

· · · → −∞

0 = λ > λ > > λ .

1 2 n

(M,g)

(b) Per ogni autovalore λ σ (∆ ) esistono solo un numero finito, d , di autovetto-

p λ

ri φ , α = 1, . . . d , reciprocamente ortogonali (e tale numero corrisponde alla dimensione

λ,α λ

dell’autospazio di λ). Se si definisce: X

N (Λ) := d

λ n

|λ |≤Λ

n

allora vale la stima di Weyl: n

N (Λ) V ol(B ) V ol (M )

g →

→ se Λ +∞ ,

n

n/2 (2π)

Λ

(g) n n

R dν mentre B è la palla unitaria in .

dove V ol (M ) := R

g M {φ }

(c) L’insieme degli autovettori, scelti con norma unitaria individua una

λ,α λ∈σ (∆),α=1,...,d

p λ

2 (M,g) ♦

base hilbertiana di L (M ; dν ). 2 n

Dunque, nel senso della convergenza di tale spazio di Hilbert, se f L (D; d x) vale:

d

λ Z

X

X (M,g)

|f

f φ dove f := (f ) =

f = φ (p)f (p) dν (p) . (7.13)

λ,α λ,α λ,α λ,α λ,α

M

α=1

λ∈σ (∆)

p

I coefficienti f sono i coefficienti di Fourier (generalizzati) di f rispetto alla base hilber-

λ,α

tiana dei vettori φ .

λ,α

Osservazioni 7.3. 6

(1) Le autofunzioni φ con λ = 0 si annullano al più su sottoinsiemi di M che non contengono

λ,α

punti interni come nel caso elementare discusso nella sezione precedente (e la prova è la stessa

se si lavora in coordinate locali). D 2 (M,g)

{φ } ⊂

(2) Il fatto che sia una base hilbertiana di L (M, dν ) implica

M

λ,α λ∈σ (∆),α=1,...,d

p λ

D 2 (M,g)

immediatamebnte che sia denso in L (M, dν ) nella topologia metrica di quest’ultimo.

M D

(M,g)

Partendo da questo fatto è possibile provare che ∆ definito su , pensato come sottospazio

M

2 (M,g)

denso di L (M, dν ) , goda della proprietà di essere essenzialmente autoaggiunto [Mo10].

(3) Dalla prima parte di (b) segue che le funzioni armoniche complesse su M , cioè le funzioni

2 (M,g)

φ C (M ; che soddisfano ∆ φ = 0 ovunque su M formano uno spazio vettoriale di

C) (M,g)

dimensione finita: questo spazio vettoriale coincide con l’autospazio di ∆ con autovaleore

nullo. (M,g)

(4) Si dimostra facilmente, usando il teorema A.2, che ogni autovalore di ∆ è in realtà una

funzione C (M ; nelle nostre ipotesi su M e g.

C) 164

7.1.3 Soluzione dell’equazione di D’Alembert con condizioni di Dirichlet tra-

mite l’analisi spettrale: un caso semplificato.

Basandoci su quanto ottenuto nella sezione precedente, vogliamo cercare di scrivere la soluzione

della (7.1) per assegnati dati iniziali (7.3) e quando siano soddisfatte le condizioni al bordo (7.2)

partendo da uno sviluppo della forma (7.8). Il punto cruciale è che lo sviluppo detto assicura

automaticamente – purchè la serie converga puntualmente– che la soluzione soddisfi le condizioni

al bordo di annullamento. 0

Lavoreremo con la seguente ipotesi semplificatrice: la funzione sorgente S C (D; in (7.1)

C)

0

1 ∈

∈ e φ C (D; in (7.3) sono assunte ammettere sviluppi

e le condizioni inziali φ C (D; C) C)

1

0

(7.8) che contengono solo un numero finito di addendi, indipendente da t nel caso della funzione

sorgente S.

Teorema 7.1. Nelle ipotesi fatte inizialmente su D, si consideri l’equazione (7.1) per gli

assegnati dati iniziali (7.3) e quando siano soddisfatte le condizioni al bordo (7.2). Se la funzione

0 1 0

∈ ∈ ∈

sorgente S C (D; e le condizioni inziali φ C (D; e φ C (D; ammettono

C) C) C)

0 1

sviluppi di Fourier (7.8) che contengono solo un numero finito di addendi (indipendente da t

2 ×

per la funzione S), allora la soluzione esiste in C (R D; ed è unica.

C)

Tale soluzione si esprime come: X

u(t, x) = u (t)φ (x) , (7.14)

λ,α λα

λ,α D

dove le φ formano una base hilbertiana di autofunzioni di ∆ su e le funzioni u = u (t)

λ,α λ,α λ,α

sono le soluzioni dei corrispondenti problemi di Cauchy alle derivate ordinarie:

2 du

d u (0) (1)

λ,α

λ,α 2 2

− −v

v λu = S (t) , u (0) = u , (0) = u . (7.15)

λ,α λ,α λ,α λ,α λ,α

2

dt dt

(0) (1)

in cui i coefficienti u , u sono i coefficienti di Fourier, rispetto alla base hilbertiana suddetta,

λ,α λ,α

delle condizioni iniziali u e u rispettivamente e, analogamente:

0 1 Z n

S (t) = φ (x)S(t, x)d x . (7.16)

λ,α λ,α

D

Dimostrazione. Assumendo che il problema ammetta una soluzione, partiamo dallo sviluppo

0

della soluzione u. Si osservi che dato che u C (D; e che D ha misura finita di Lebesgue,

C)

2 n

allora u L (D, d x) e pertanto ha senso uno sviluppo del tipo (7.8), quindi nel senso della

topologia hilbertiana, per ogni t R: X

u(t, x) = u (t)φ (x) . (7.17)

λ,α λ,α

λ,α 165

Le condizioni inziali impongono che, per ogni x D valgano:

∂u

u(0, x) = u (x) insieme a (0, x) = u (x) .

0 0

∂t

Ne consegue, moltiplicando la prima identità per φ ed integrando, che:

λ,α

(0)

u (0) = u ,

λ,α λ,α

(0)

dove i numeri u sono quelli che appaiono nello sviluppo di Fourier (finito per ipotesi) della

λ,α

condizione iniziale u :

0 (0)

X u φ (x) . (7.18)

u (x) =

0 λ,α

λ,α

λ,α

Se assumiamo di poter passare la derivata temporale sotto il segno di serie nello sviluppo di u

2

(7.17) (che a priori sappiamo essere solo nel senso di L per ogni fissato t), la seconda condizione

iniziale ci dice che: du (1)

λ,α (0) = u ,

λ,α

dt

(1)

dove i numeri u sono quelli che appaiono nello sviluppo di Fourier (finito per ipotesi) della

λ,α

condizione iniziale u :

1 (1)

X

u (x) = u φ (x) . (7.19)

1 λ,α

λ,α

λ,α

Consideriamo ora lo sviluppo di Fourier (per ipotesi finito) della sorgente

X

S(t, x) = S (t)φ (x) . (7.20)

λ,α λ,α

λ,α

Le funzioni S = S (t) sono funzioni continue. Ciò segue facilmente dal teorema della

λ,α λ,α

convergenza dominata, dato che tali funzioni sono ottenute come:

Z n

S (t) = φ (x)S(t, x)d x ,

λ,α λ,α

D

0

∈ ×

in cui S C (R D; D ha misura finita e le funzioni φ sono continue.

C), ‚ Œ λ,α

Se assumiamo di poter passare tutte le derivate fino al secondo ordine sotto il segno di somma

in (7.17), l’equazione (7.1) diventa: 2

d u

1 λ.α

‚ Œ

X X

− + λu φ = S φ

λ,α λ,α λ,α

λ.α

2 2

v dt

λ,α λ,α

e cioè 2

d u

1 λ,α

X − −

+ λu S φ = 0 .

λ.α λ,α λ,α

2 2

v dt

λ,α 166

Consideriamo allora il set infinito di equazioni differenziali:

2

d u du (1)

(0)

λ,α λ,α

2 2

− −v

v λu = S (t) , u (0) = u , (0) = u .

λ,α λ,α λ,α λ,α λ,α

2

dt dt

Osserviamo che ognuna di queste equazioni ammette una ed una sola soluzione definita su tutto

l’asse reale, dato che si tratta di un’equazione lineare del secondo ordine, in forma normale, non

omogenea a coefficienti costanti, con termine noto continuo. Inoltre solo un numero finito di

esse ha soluzione differente dalla funzione identicamente nulla, dato che solo un numero finito

di funzioni S e dati iniziali sono non nulli.

λ,α

Se indichiamo con U = U (t) le soluzioni delle equazioni suddette, la funzione:

λ,α λ,α X U (t)φ (x) ,

U (t, x) := λ,α λα

λ,α

è ben definita, dato che la somma è finita, soddisfa l’equazione differenziale, le condizioni iniziali

e le condizioni al bordo (in particolare perché le ipotesi fatte di poter passare le derivate sotto il

segno di sono sono sempre soddisfatte essendo la somma finita). Essa è pertanto una soluzione

della (7.1) con gli assegnati dati iniziali (7.3) che rispetta le condizioni al bordo (7.2). In base

2

al teorema 5.1, questa è anche l’unica soluzione del problema posto.

Osservazioni 7.4.

(1) Il risultato trovato per la forma della soluzione funziona nelle ipotesi di sviluppi di Fourier

contenente un numero finito di termini, per la sorgente e per le condizioni iniziali. Tuttavia, con

opportune ipotesi, la procedura può essere estesa al caso generale, anche quando questi sviluppi

non sono finiti [Vl84]. Tuttavia questa generalizzazione utlizza strumenti matematici (teoria

delle distribuzioni) che escono dalla portata di questo corso elementare.

(2) In realtà abbiamo già trovato lo sviluppo (7.14) studiando il problema di Dirichlet sul seg-

mento. Infatti, lo sviluppo (6.64) della soluzione dell’equazione di D’Alembert sul segmento con

condizioni di Dirichlet non è altro che lo sviluppo (7.14) specializzato a tale situazione quando la

sorgente S è identicamente nulla. Come già osservato le autofunzioni φ sono, in quel caso, date

λ

dai sinusoidi sin(nπx/L) moltiplicati per il coefficiente di normalizzazione 1/ 2L. In (6.64),

però, lo sviluppo di Fourier generalizzato sussiste anche quando il numero di termini nello svi-

luppo è infinito come abbiamo visto nel capitolo precedente.

La soluzione generale dell’equazione:

2

d u

λ,α 2 2

− −v

v λu = S (t)

λ,α λ,α

2

dt

è come ben noto data dalla somma della soluzione generale dell’equazione omogenea più una

soluzione particolare dell’equazione di sopra. La soluzione generale dell’omogenea che, dal punto

di vista fisico, corrisponde all’assenza di sorgente, o più debolmente all’assenza della funzione

S , ha la forma:

λ,α (+) (−) −i2πν

i2πν t t

u (t) = u e + u e , (7.21)

λ λ

λ,α λ,α λ,α

167

Figura 7.1: Modi di oscillazione di una faccia della chitarra individuati dalle linee nodali. Le

frequenze in Hz sono le frequenze di risonanza dei modi normali con le linee nodali disegnate.

(±) ∈

dove u sono coefficienti arbitrari e i numeri strettamente positivi:

C

λ,α √ −λ

v , (7.22)

ν :=

λ 2π

sono detti frequenze di risonanza o frequenze proprie del sistema descritto dall’equazione di

D’Alemebrt. Ad ognuna di tali funzioni corrisponde una soluzione dell’equazione di D’Alembert

×

in D, senza sorgente e con condizioni di Dirichlet:

R √ √

(+) (−)

−λt −ic −λt

ic

u (t, x) = u e + u e φ (x) , (7.23)

λ,α λ,α

λ,α λ,α

Queste soluzioni sono dette modi normali di oscillazione o onde stazionarie del sistema.

Ogni autofunzione φ si annulla su superfici di dimensione n 1 dette superfici nodali.

λ,α

Nel caso di una membrana oscillante, tali superfici sono dunque delle curve, le curve nodali.

Nel caso di una corda vibrante si tratta di singoli punti: i nodi che abbiamo già visto. Su questi

sottoinsiemi di D le onde stazionarie sono sempre nulle. È possibile visualizzare sperimental-

mente queste linee nodali nel caso di membrane vibranti. Riferendosi alle linee nodali si riescono

ad identificare e distinguere, nella pratica sperimentale, i modi normali di un sistema.

7.1.4 Membrana rettangolare e membrana circolare.

Prendiamo ora in considerazione due situazioni bidimensionali nelle quali possiamo esemplificare

la teoria precedentemente sviluppata: l’equazione di D’Alembert per le deformazioni trasversali

di una mambrana, piana a riposo, rettangolare o circolare, imponendo l’annullarsi della defor-

mazione sul bordo di essa. Dal punto di vista fisico queste due memebrane possono pensarsi

come le membrane di tamburi. Diamo esplicitamente la forma delle autofunzioni, degli autova-

lori dell’operatore di Laplace e delle frequenze di risonanza.

Membrana rettangolare.

Nel caso della membrana rettangolare, di lati L e L , autofunzioni dell’operatore di Laplace

1 2

168  ‹  ‹

sono date dalle funzioni con norma unitaria:

1 nπx mπy

φ (x, y) = sin sin

n,m ™

– 

‹ ‹ L L

4L L 1 2

1 2

l’autovalore corrispondente è: 2 2

− + , n, m = 1, 2, 3, . . .

λ =

n,m L L

1 2

La verifica di tali fatti è immediata tenendo conto del fatto che:

2

2 ∂

∂ + .

∆= 2 2

∂x ∂y

Si può provare che questa classe di autofunzioni determina una base hilbertiana dello spazio

2 ×

di Hilbert L ([0, L ] [0, L ], dxdy). Dalla teoria spettrale [Mo10], il fatto che le autofunzioni

1 2

trovate formino una base hilbertiana implica automaticamente che non ci possono essere altri

autovalori del laplaciano (con le condizioni al bordo dette) oltre a quelli menzionati sopra.

 ‹  ‹

Le frequenze di risonanza per piccole deformazioni di una memebrana rettangolare di lati L e

1

L sono dunque date da:

2 s 2 2

v nπ mπ

ν = + , n, m = 1, 2, 3, . . . (7.24)

n,m 2π L L

1 2

Membrana circolare.

Passiamo a considerare il caso di una mambrana circolare di raggio r > 0. In questo caso

0

conviene lavorare in coordinate polari piane θ, r. In queste coordinate l’operatore di Laplace si

scrive: 2

1 ∂ ∂ 1 ∂

∆= + r . (7.25)

2 2

r ∂θ ∂r r ∂r

Vista la simmetria del sistema, conviene cercare autofunzioni della forma: φ(θ, r) = Θ(θ)R(r),

dove la funzione di θ deve “chiudersi” dopo un giro completo, cioè deve avere periodo 2π o un

multiplo intero di tale numero. L’equazione agli autovalori,

∆φ = λφ ,

si scrive, tenendo conto della (7.25):

2

1 ∂ Θ(θ) ∂ 1 ∂R(r)

+ rΘ(θ) = λΘ(θ)R(r) ,

R(r) 2 2

r ∂θ ∂r r ∂r

6

da cui, nei punti in cui Θ(θ)R(r) = 0:

2 3

1 ∂ Θ(θ) r ∂ 1 ∂R(r)

2 −

= λr .

2

Θ(θ) ∂θ R(r) ∂r r ∂r

169

Dato che il primo membro è solo funzione di θ mentre il secondo è solo funzione di r, concludiamo

che deve essere, per qualche costante µ:

2 3

1 d Θ(θ) d 1 dR(r)

r

2 −

= µ, λr = µ.

2

Θ(θ) dθ R(r) dr r dr

La prima equazione ammette soluzione: √

√ 0 −

µθ µθ

+ C e .

Θ(θ) = Ce

Dato che tale funzione deve essere periodica con periodo 2π o un multiplo di esso, concludiamo

che deve essere: 2

−n

µ = , n = 0, 1, 2, . . .

e quindi: inθ ∈

φ(θ, r) = e R(r) , n ,

Z

dove la funzione R soddisfa: d 1 dR(r)

2 3 2

− −n

λr R(r) r = R(r)

dr r dr

cioè: 2

d R(r) dR(r)

2 2 2

r + r + (−λr n )R(r) = 0 .

2

dr dr √ −λr, concludiamo che la

Ricordando che λ < 0 per la proposizione 7.1 e definendo ρ :=

√ −λ)

funzione R(ρ/ soddisfa l’equazione di Bessel:

√ √ √

2 −λ) −λ)

d R(ρ/ dR(ρ/

2 2 2 −λ)

ρ = 0 . (7.26)

+ ρ + (ρ n )R(ρ/

2

dρ dρ

Le soluzioni di questa equazione sono ben note e sono tutte della forma:

√ −λ)

R(ρ/ = AJ (ρ) + BY (ρ)

n n

dove J e Y , per n = 0, 1, 2, . . . sono le funzioni di Bessel di ordine n di prima e seconda

n n ” —

specie: π

1 Z −

J (x) := cos(nτ x sin τ )dτ ,

n π 0

π +∞

1 1

Z Z −nt −x

nt n sinh t

− −

Y (x) := sin(nτ x sin τ )dτ e + (−1) e e dτ .

n π π

0 0

Le funzioni Y sono singolari per x = 0 dove divergono (per il secondo integrale nella definizione

n

di Y ), mentre noi cerchiamo funzioni ovunque regolari perchè le autofunzioni devono apparte-

n D. ∞

nere a Le funzioni J sono invece C (R). Pertanto, tornando nella variabile r, rimaniamo

n

con: √ −λ) .

R(r) = AJ (r

n

170

Figura 7.2: Le prime 3 funzioni di Bessel di primo tipo.

Dobbiamo infine imporre che siano soddisfatte le condizioni di annullamento al bordo per le

autofunzioni Θ(θ)R(r ) = 0. Dunque, per n = 0, 1, 2, . . . fissato, deve valere:

0 √ −λ)

J (r / = 0 (7.27)

n 0

La funzione J = J (x) ha infiniti zeri non nulli in (0, +∞) (dato che oscilla attorno all’asse x

n n

come un sinusoide smorzato). Indichiamo tali soluzion con x , dove m = 1, 2, . . . ed abbiamo

 ‹ nm

scelto laloro numerazione in modo tale che x > x . Per ogni n deve dunque essere

n m+1 n m

√ −λ

r = x ossia:

0 nm nm 2

r

0

λ := , n = 0, 1, . . . m = 1, 2, . . . (7.28)

n,m x nm Œ

‚

Questa identità determina possibili autovalori per il laplaciano con condizioni di annullamento

al bordo del disco di raggio r . In definitiva un set di autofunzioni, con corrispondenti autovalori

0

(7.28), è dato da: r i2πnθ

e , n = 0, 1, . . . m = 1, 2, . . . (7.29)

φ (θ, r) = C J

n,m nm n p −λ n,m 2

il coefficiente C viene calcolato imponendo che la norma L dell’autofunzione sia unitaria. Si

nm

riesce a dimostrare che effettivamente le autofunzioni trovate formano una base hilbertiana di

2

L (D, dxdy) dove D è il disco di raggio r . Dalla teoria spettrale questo fatto implica automa-

0

ticamente che non ci possono essere altri autovalori del laplaciano (con le condizioni al bordo

dette) oltre a quelli determinati dalla (7.28) (e associati a questa base hilbertiana).

Le frequenze di risonanza di una membrana circolare di raggio r sono dunque date da:

0

v r

0

ν = , n = 0, 1, 2, . . . m = 1, 2, . . . (7.30)

n,m 2π x nm

dove x è l’m-esimo zero non nullo di J in (0, +∞).

nm n

Osservazioni 7.5. Le frequenze di risonanza di una corda ad estremi fissati hanno forma

cn/(2L), per cui sono tutte un multiplo intero della frequenza più bassa c/(2L). Per le mem-

brane oscillanti è invece falso che esista una frequanza di valore minimo di cui tutte le altre

171

Figura 7.3: Il modo corrispondente alla frequenza di risonanza ν della memebrana circolare

1,3

vibrante.

siano multipli interi di essa. Questo fatto, è ciò che distingue il suono degli strumenti musicali

a percussione, come i tamburi, da quelli a corde come il pianoforte, l’arpa, la chitarra, gli stru-

menti della famiglia del violono. Gli strumenti a fiato hanno comunque un suono con le stesse

caratteristiche di quelli a corde in cui tutte le frequenze di risonanza sono in multiplo intero

della più bassa. I musicisti dicono per illustrare questo fatto che il suono prodotto da alcuni

2

strumenti a percussione , come il tamburo, non è armonico al contrario di quello prodotto dagli

strumenti a corde ed a fiato che lo è.

7.1.5 Fenomeni di smorzamento e risonanza in risuonatori forzati.

Consideriamo il solito sistema oscillante descritto dalla funzione u che soddisfa l’equazione di

D’Alembert nel dominio D con condizioni di annullamento al bordo. Nelle situazioni reali le

oscillazioni del sistema sono smorzate da fenomeni fisici dissipativi, dovuti ad attriti interni ed

esterni. Il modo più semplice di tenerne conto è quello di modificare l’equazione di D’Alembert

∂u

aggiungendo a primo membro un termine dissipativo γ con γ > 0 che simula un processo di

∂t

attrito (viscoso) dovuto all’esterno, dove γ > 0 è una costante tanto più grande quanto i processi

di attrito esterno sono rilevanti. Per tenere conto dei processi di attrito interno al sistema (forze

dissipative interne alla corda o alla membrana), nel caso più semplice, bisogna aggiungere un

∂∆u

−Γ

ulteriore termine, sempre a primo membro, della forma dove, Γ > 0 è una costante tanto

∂t

più grande quanto i processi di attrito interno sono rilevanti.

2

1 ∂ u ∂u ∂∆u

− −

+ ∆ u + γ Γ = S(t, x) . (7.31)

x

2 2

v ∂t ∂t ∂t

Si osservi che l’equazione è ora del terzo ordine, tuttavia si riesce a dimostrare la seguente pro-

posizione. n

⊂ ∈

Proposizione 7.5. Se, nelle ipotesi iniziali su D , esiste una soluzione di (7.31) u

R ∂u

3 × ≥ (0, x) = u (x)

C (R D; allora è unica, per t 0, per fissati dati iniziali u(0, x) = u (x) e

C) 0 1

∂t

2 Tuttavia, alcuni strumenti a percussione come lo xilofono producono suoni armonici.

172

2 1 0 × ♦

e fissata S, rispettivamente di classe C (D; C (D; e C (R D;

C), C) C).

Dimostrazione. Consideriamo due soluzioni e sia ϕ la differenza di esse. Definendo la densità

di energia E di tale funzione come in (5.15) (o (5.14) nel caso reale) con µ = 0 e c = v, una

dimostrazione strettamente analoga a quella che porta alla (5.19) produce ora, tenendo conto

della nuova forma dell’equazione (7.31), in cui per ϕ, si deve omettere il termine di sorgente, si

ha: 2 2

T T

∂ϕ ∂ϕ

Z Z Z Z Z

n n n

−γ − ∇

E(x, T )d x = d xdt Γ d xdt ,

∂t ∂t

D 0 D 0 D

dove T > 0. Sopra abbiamo usato il teorema della divergenza e quindi trascurato alcuni integrali

valutati su ∂D che si annullano in conseguenza del fatto che ϕ e la sua derivata temporale sono

nulle su ∂D. Concludiamo che: Z n ≤

E(x, T )d x 0 .

D

D’altra parte, dato che vale E 0 l’integrale di sopra dovrà essere nullo per ogni T > 0. Come

nella dimostrazione del teorema 5.1, questo implica che ϕ = 0 ovunque e dunque le due soluzioni

2

coincidono.

Tenuto conto della proposizione precedente, in modo essenzialmente identico a quanto fatto nella

dimostrazione del teorema 7.1 riducendosi ad un numero finito di gradi di libertà, si può provare

il teorema seguente. ∈

Teorema 7.2. Nelle ipotesi fatte inizialmente su D, si consideri l’equazione (7.31) per u

3 ×

C (R D; con v, γ, Γ > 0 costanti note, per gli assegnati dati iniziali (7.3) insieme alla

C),

funzione S e quando siano soddisfatte le condizioni al bordo (7.2). Se la funzione sorgente

0 1 0

∈ ∈ ∈

S C (D; e le condizioni inziali φ C (D; e φ C (D; ammettono sviluppi di

C) C) C)

0 1

Fourier (7.8) che contengono solo un numero finito di addendi (indipendente da t per la funzione

2 × ≥

S), allora la soluzione esiste in C (R D; ed è unica per t 0.

C)

Tale soluzione si esprime come: X

u(t, x) = u (t)φ (x) , (7.32)

λ,α λα

λ,α D

dove le φ formano una base hilbertiana di autofunzioni di ∆ su e le funzioni u = u (t)

λ,α λ,α λ,α

sono le soluzioni dei corrispondenti problemi di Cauchy alle derivate ordinarie:

2

d u du du

(0) (1)

λ,α λ,α λ,α

2 2

− −v

v λu + γ = S (t) , u (0) = u , (0) = u . (7.33)

λ,α λ,α

λ,α λ λ,α λ,α

2

dt dt dt

dove γ := γ + λΓ , (7.34)

λ

(0) (1)

e in cui i coefficienti u , u sono i coefficienti di Fourier, rispetto alla base hilbertiana

λ,α λ,α

suddetta, delle condizioni iniziali u e u rispettivamente e, analogamente:

0 1 Z n

S (t) = φ (x)S(t, x)d x . (7.35)

λ,α λ,α

D 173

In riferimento al teorema 7.2 studiamo il caso in cui la sorgente che forza il sistema oscillante

abbia periodo temporale T = 2π/f per qualche f > 0 e che tale periodo sia indipendente da

x. Per esempio la sorgente può corrispondere alla componente verticale di una densità forza

che agisce su una corda orizzontale in oscillazione trasversale, oppure la componente verticale di

una densità forza che agisce su una mambrana orizzontale in oscillazione trasversale. Possiamo

decomporre S usando la serie di Fourier, a x fisso:

X i2πkf t

S(t, x) = S (x)e . (7.36)

k

k∈Z 2

Come sappiamo la convergenza della serie di sopra è, in generale, solo nel senso di L ([0, 2π/f ], dt).

Tuttavia, se la funzione S è abbastanza regolare, come provato nel capitolo precedente, la conver-

genza è puntuale. Noi assumeremo ancora più fortemente che si possano trascurare quasi tutti i

termini dello sviluppo eccetto una quantità finita, per cui la serie di sopra si deve pensare come

una somma su un numero finito di termini: solo un numero finito di funzioni S saranno assunte

k

essere non identicamente nulle. In realtà quanto diremo si può ottenere anche lasciando cadere

l’ipotesi di un numero finito di termini, purchè la serie converga uniformemente ed abbastanza

rapidamente. In molti casi fisicamente realizzabili, le ampiezze S si annullano cosı̀ velocemente

k

al crescere di k che possiamo approssimare la serie con una somma finita. È questo il caso della

sollecitazione S, la forza agente sulla cassa armonica di uno strumento a corde, provocate dall’o-

scillazione delle corde dello strumento. In questo caso S è reale e pertanto nello sviluppo (7.36)

dovrà accadere che S = S in modo tale che si annullino le parti immaginarie dei vari termini.

−k

k

La serie (7.36), in questo caso si potrebbe scrivere in termini di seni e coseni con coefficienti rea-

li, tuttavia noi continueremo ad usare il formalismo complesso perché è più pratico da adoperare.

Nelle ipotesi del teorema 7.2, vogliamo ora studiare la soluzione l’equazione (7.31) con funzione

sorgente, temporalmente periodica, che ammette lo sviluppo di sopra. Tale soluzione si esprime

come: X

u(t, x) = u (t)φ (x) ,

λ,α λα

λ,α D

dove le φ sono la solita base hilbertiana di autofunzioni di ∆ su e le u sono le soluzioni

λ,α λ,α

delle corrispondenti equazioni differenziali:

2

d u du

λ,α λ,α 2 2

−v

+ γ + (2πν ) u = S (t) , (7.37)

Ê λ λ,α λ,α

λ

2

dt dt

dove abbiamo tenuto conto della definizione delle frequenze di risonanza (7.22). Se definiamo

2

γ λ

2 − , (7.38)

Ω := (2πν )

λ λ 4

174 (±) ∈

la soluzione generale dell’omogenea associata alla (7.37) è, per ogni scelta dei numeri U C:

λ,α

(+) (−)

−γ −iΩ

t/2 iΩ t t

e U e + U e . (7.39)

λ λ λ

λ,α λ,α

Una soluzione particolare della (7.37) si può trovare supponendo euristicamente che abbia la

forma, dove i termini della somma non nulli sono assunti essere in numero finito:

(1) X i2πkf t

u (t) = U e ,

k

λ,α k

tenendo conto che, da (7.36), X i2πkf t

S (t) = S e . (7.40)

λ,α λ,α,k

k

in cui la somma è in realtà eseguita solo su un numero finito di termini non nulli e:

Z n

S := φ (x)S (x)d x . (7.41)

€ Š

λ,α,k λ,α k

D

Inserendo questi sviluppi nella (7.37), tale equazione si può riscrivere, tenendo conto della (7.36):

X 2 2 i2πkf t

(−(2πkf ) + iγ2πν + (2πν ) )U + S e = 0 , (7.42)

λ λ k λ,α,k

k

da cui: S

λ,α,k

U := .

k 2 2

− −

(2πkf ) (2πν ) iγ2πν

λ λ

Quindi possiamo concludere che la soluzione generale della (7.37) ha la forma:

i2πkf t

S e

(+) (−) λ,α,k

−γ −iΩ X

t/2 iΩ t t

u (t) = e U (7.43)

e + U e +

λ λ λ

λ,α λ,α λ,α 2 2

− −

(2πkf ) (2πν ) iγ 2πν

λ λ λ

k

(±) ∈

dove U sono individuati dalle condizioni iniziali e Ω è definito dalla (7.38). Dalla forma

C j

λ,α |Ω |

di Ω segue subito che γ /2 > (tenendo conto del fatto che ogni ν è strettamente positiva

λ λ λ λ

come provato precedentemente) e pertanto il primo addendo a secondo membro della (7.43) si

annulla per t +∞. Questo significa che, in presenza di dissipazione comunque piccola, dopo

un certo tempo di la soluzione si stabilizza nella forma asintotica:

i2πkf t

S e

(∞) λ,α,k

X

u (t) = , (7.44)

λ,α 2 2

− −

(2πkf ) (2πν ) iγ 2πν

λ λ λ

k

indipendentemente dalle condizioni iniziali.

L’espressione finale per la funzione u sarà di conseguenza, a grandi tempi (una stima è data dal

tempo τ := 1/γ ):

λ λ X i2πkf t

(∞)

u (t, x) = U (x)e ,

k

k∈Z

175

dove, ovviamente: S φ (x)

λ,α,k λ,α

X

U (x) := . (7.45)

k 2 2

− −

(2πkf ) (2πν ) iγ2πν

λ λ

λ∈σ (∆),α=1,...d

p λ

Nel caso in cui u e S siano reali vale U = U , possiamo allora raccogliere i termini relativi a

−k

k

(∞)

−k

k e nell’espressione trovata per u (t, x) ottenendo alla fine, facendo uso della formula di

Eulero: +∞

X

(∞)

u (t, x) = B (x) sin(2πkf + (x)) , (7.46)

k k

k=0

∈ \ {0}:

dove: B (x) = U (x), (x) = π/2 e, se k N

0 0 0 S φ (x)

λ,α,k λ,α

X

|

B (x) := 2|U = 2 , (7.47)

k k 2 2

− −

(2πkf ) (2πν ) iγ 2πν

λ λ λ

λ∈σ (∆),α=1,...d

p λ

e (x) è completamente determinato dalle richieste:

k B (x) cos (x) = 2ReU (x) , B (x) cos (x) = 2ImU (x) . (7.48)

k k k k k k

Al solito, nelle nostre ipotesi generali, solo un numero finito di termini in tutt le nelle somme,

apparentememte infinite di sopra, è non nullo.

L’espressione trovata per la soluzione a grandi tempi (in realtà tempi molto brevi in sistemi fisici

concreti), mostra che nella soluzione finale si ritrova lo stesso spettro di frequenze della sorgente

che forza il sistema e che in tal modo lo “pilota”. Nell’andamento temporale a grandi tempi

la memoria delle frequenze di risonanza ν del sistema oscillante è completamente cancellata.

λ

Tuttavia ne rimane traccia nelle ampiezze dei singoli modi di oscillazione. Consideriamo infatti

la (7.45). Se, variando f , una delle frequenze dello spettro della forzante kf tende a coincidere, in

valore assoluto, con una delle frequenze di risonanza ν , il corrispondente termine nello sviluppo

È λ

(7.45) di U , per il valore di k detto, tende a raggiungere il suo valore massimo in valore assoluto:

k |S |S

φ (x)| φ (x)|

λ,α,k λ,α λ,α,k λ,α

→ →

se kf ν .

λ

γ2πν

2 2 2

2 2 2

[(2πkf ) (2πν ) ] + γ 4π ν λ

λ λ λ

Se il parametro di smorzamento γ è piccolo, il secondo membro tende a crescere e, al limite,

λ

diverge in assenza di smorzamento.

Concludiamo che (comunque abbiamo fissato le condizioni iniziali del sistema oscillante che am-

mette frequenze di risonanza ν ), quanto più la frequenza f con cui oscilla la forzante esterna

λ

S si avvicina ad una delle ν , tanto più l’ampiezza delle oscillazioni di deformazione del sistema

λ

tende a diventare grande, ed in modo divergente quanto più il parametro di smorzamento γ λ

è piccolo. La stessa cosa accade se un multiplo intero della frequenza f si avvicina in valore

assoluto ad una delle frequenze di risonanza.

Questo fenomeno è detto risonanza ed è responsabile di vari disastri accaduti a diverse costru-

zioni, in particolare ponti sospesi: la tipica situazione è quella di un plotone di militari che

176

attraversa un ponte marciando ad una delle frequenze di risonanza della struttura.

Tutti i risultati ottenuti si generalizzano immediatamente per risuonatori forzati costruiti da

poligoni le cui facce sono un certo numero di membrane D , D , . . . , D . Le saldature sono fatte

1 2 N

attraverso porzioni dei bordi delle facce su cui valgono le condizioni di annullamento. Oggetti di

questo tipo sono modelli semplificati della cassa armonica di strumenti musicali. In questo caso,

(1) (2) (N )

le forzanti saranno in genere differenti per ogni faccia e le indicheremo con S , S , . . . , S .

Tuttavia, dato che queste forzanti sono generate da un comune meccanismo (per esempio le

corde dello strumento), ci si aspetta che ammettano tutte uno sviluppo:

(j)

X

(j) i2πkf t

S (t, x) = S (x)e . (7.49)

k

k∈Z (j)

dove le frequenze kf dono le stesse per ogni j = 1, . . . , N . L’argomento x della forzante S

apparterrà alla faccia D . Per ogni faccia D avremo una funzione di deformazione ortogonale

j j

(∞)

u , a grandi tempi, della forma:

j X

(∞) i2πkf t

u (t, x) = U (x)e , (7.50)

k

k∈Z

che si può scrivere equivalentemente: +∞

(∞) (j) (j)

X

u (t, x) = B (x) sin(2πkf + (x)) . (7.51)

j k k

k=0

7.1.6 *Il caso del risuonatore o tamburo ideale forzato di topologia arbitraria.

Consideriamo il caso di un tamburo ideale di topologia arbitraria descritto dalla varietà differen-

3

ziabile bidimensionale orientabile, connessa, compatta, M . La metrica su M indotta da

R

3

quella standard di sarà indicata da g e l’operatore di Laplace-Beltrami definito sul dominio

R

D (M,g)

descritto nella sezione 7.1.2, sarà indicato con ∆ . Terremo conto di quanto discusso

M

nelle sezione 5.1.3 e 7.1.2. Ricordiamo che si tratta di un modello molto poco fisico come già di-

scusso. Ce ne occupiamo comunque dato che presenta qualche aspetto matematico interessante.

Se u = u(t, p) è la deformazione del tamburo in p M al tempo t nella direzione normale a M

in p stesso, l’equazione del moto è ora, tenendo conto anche degli effetti di attrito:

2

1 ∂ u ∂u ∂∆u

(M,g)

− −

+ ∆ u + γ Γ = S(t, p) . (7.52)

2 2

v ∂t ∂t ∂t

con γ, Γ > 0 costanti note. Abbiamo iserito una forzante S che, come nel caso della membrana

piatta, costringerà il tamburo a vibrare a frequenze imposte dall’esterno. Diremo tutto questo

sistema un risuonatore. Si riesce a dimostrare la seguente proposizione similmente al caso più

elementare già discusso. 177 ∈

Proposizione 7.6. Se, nelle ipotesi iniziali su M e g, esiste una soluzione di (7.52) u

∂u

3 × ≥

C (R M ; allora è unica per t 0 e per fissati dati iniziali u(0, p) = u (p) e (0, p) = u (p)

C) 0 1

∂t

2 1 0 × ♦

e fissata S, rispettivamente di classe C (M ; C (M ; e C (R M ;

C), C) C).

Dimostrazione. Consideriamo due soluzioni e sia ϕ la differenza di esse. Definendo la densità

di energia E di tale funzione come in (5.15) (o (5.14) nel caso reale) con µ = 0 e c = v e

(M,g) n

usando la derivata covariante al posto del solito gradiente di , una dimostrazione

R

 ‹

strettamente analoga a quella che porta alla (5.19) produce ora, tenendo conto della nuova

forma dell’equazione (7.52), in cui per ϕ, si deve omettere il termine di sorgente, si ha:

2

T T

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ

Z Z Z Z Z

(M,g) (M,g) (M,g) (M,g) (M,g)

−γ − ∇ ∇

E(p, T )dν = dν dt Γ g , dν dt ,

∂t ∂t ∂t

M 0 M 0 M

dove T > 0. Sopra abbiamo usato il teorema della divergenza rispetto alla derivata covariante

(M,g)

di Levi-Civita tenendo conto dell’assenza di ∂M . Concludiamo che:

Z (M,g) ≤

E(p, T )dν 0 .

M

D’altra parte, dato che vale E 0 l’integrale di sopra dovrà essere nullo per ogni T > 0. Come

nella dimostrazione del teorema 5.1, questo implica che ϕ = 0 ovunque e dunque le due soluzioni

2

coincidono.

Tenuto conto della proposizione precedente, in modo essenzialmente identico a quanto fatto nel-

la dimostrazione del teorema (7.1) riducendosi ad un numero finito di gradi di libertà, si può

provare il teorema seguente.

Teorema 7.3. Nelle ipotesi fatte inizialmente su M , si consideri l’equazione (7.52) per

3

∈ ×

u C (R M ; con v, γ, Γ > 0 costanti note, per gli assegnati dati iniziali u , u insieme

C), 0 1

0 1

∈ ∈

alla funzione S. Se la funzione sorgente S C (M ; e le condizioni inziali φ C (M ; e

C) C)

0

0

φ C (M ; ammettono sviluppi di Fourier (7.13) che contengono solo un numero finito di

C)

1 2 ×

addendi (indipendente da t per la funzione S), allora la soluzione esiste in C (R M ; ed è

C)

unica.

Tale soluzione si esprime come: X

u(t, p) = u (t)φ (p) , (7.53)

λ,α λα

λ,α D

(M,g)

dove le φ formano una base hilbertiana di autofunzioni di ∆ su e le funzioni u =

M

λ,α λ,α

u (t) sono le soluzioni dei corrispondenti problemi di Cauchy alle derivate ordinarie:

λ,α 2

d u du du

(0) (1)

λ,α λ,α λ,α

2

2

− −v

v λu + γ = S (t) , u (0) = u , (0) = u . (7.54)

λ,α λ λ,α λ,α λ,α λ,α

2

dt dt dt

dove γ := γ + λΓ , (7.55)

λ 178

(0) (1)

e in cui i coefficienti u , u sono i coefficienti di Fourier, rispetto alla base hilbertiana

λ,α λ,α

suddetta, delle condizioni iniziali u e u rispettivamente e, analogamente:

0 1

Z (M,g)

φ (x)S(t, x)dν . (7.56)

S (t) = λ,α

λ,α M

Possiamo ora ripetere le stesse considerazioni esposte dopo il teorema 7.2, assumendo di decom-

porre S usando la serie di Fourier, a p fisso: X i2πkf t

S(t, p) = S (p)e , (7.57)

k

k∈Z

dove solo un numero finito di addendi sia non nullo a secondo membro. Per evitare alcune

patologie nelle soluzioni, imporremo anche il vincolo che, se φ è una funzione armonica su M ,

S (p) = 0 , per ogni p M . (7.58)

0

La richiesta è equivalente a richiedere che in ogni punto p del tamburo, la forza esterna oscilli

attorno al valore nullo. Se definiamo, come fatto nel caso della membrana piana,

Z (M,g)

S := φ (p)S (p) dν (p)

λ,α,k λ,α k

M

la richiesta fatta sopra implica che: (M,g)

S = 0 , per ogni λ σ (∆ ) e α = 1, 2, . . . , d . (7.59)

p

λ,α,0 λ

Come già detto per il caso più elementare discusso precedentemente, quanto diremo si può

ottenere anche lasciando cadere l’ipotesi di un numero finito di termini, purchè la serie converga

uniformemente ed abbastanza rapidamente. Nelle ipotesi del teorema 7.3 e con l’aggiunta della

condizione (7.59) (che serve in particolare ad evitare che il denominatore in (7.60) si annulli

per λ = 0) il moto del tamburo forzato si esprime ancora come somma di due parti. Una delle

due parti è una soluzione dell’equazione omogenea e, eccetto per un termine costante, si spegne

rapidamente per t +∞ quanto più γ e Γ sono grandi. La seconda parte è una soluzione

particolare dell’equazione differenziale completa che sopravviave a grandi tempi e non ha più

memoria delle condizioni iniziali eccetto che per la costante detta prima, che può dipendere dalle

condizioni iniziali. La soluzione a grandi tempi ha la forma:

X

(∞) i2πkf t

u (t, p) = u + U (x)e ,

0 k

k∈Z\{0} 6

dove, similmente al caso più elementare della memebrana piatta oscillante, per k = 0:

S φ (p)

λ,α,k λ,α

X

U (p) := , (7.60)

k 2 2

− −

(2πkf ) (2πν ) iγ2πν

λ λ

(M,g)

λ∈σ (∆ ),α=1,...d

p λ

179

dove, al solito, abbiamo definito le frequenze di risonanza del tamburo M , tramite la (7.22) con

(M,g)

λ σ (∆ ). Evidentemente la costante u deve essere nulla in tutte le soluzioni fisicamente

p 0

sensate, perché ci si aspetta che la soluzione oscilli attorno alla configurazione di riposo che

corrisponde a u = 0 ovunque.

Nel caso in cui u e S siano reali vale U = U , possiamo ancora esprimere questa soluzione

−k

k

come: +∞

X

(∞)

u (t, x) = B (p) sin(2πkf + (p)) , (7.61)

k k

k=1

dove: S φ (p)

λ,α,k λ,α

X

|

B (x) := 2|U = 2 , (7.62)

k k 2 2

− −

(2πkf ) (2πν ) iγ 2πν

λ λ λ

λ∈σ (∆),α=1,...d

p λ

e (p) è completamente determinato dalle richieste:

k B (p) cos (p) = 2ReU (p) , B (p) cos (p) = 2ImU (p) . (7.63)

k k k k k k

Al solito, nelle nostre ipotesi generali, solo un numero finito di termini in tutte le nelle somme,

apparentememte infinite di sopra, è non nullo. L’espressione trovata per la soluzione u = u(t, p)

a grandi tempi (in realtà tempi molto brevi in sistemi fisici concreti), mostra nuovamente che

nella soluzione finale si ritrova lo stesso spettro di frequenze della sorgente che forza il sistema e

che in tal modo lo “pilota”. Nell’andamento temporale a grandi tempi la memoria delle frequenze

di risonanza ν del sistema oscillante è completamente cancellata. Tuttavia ne rimane traccia

λ

nelle ampiezze dei singoli modi di oscillazione esattamente come già discusso per il caso della

membrana piana.

7.2 Onde di pressione.

Vogliamo mostrare in questa sezione come l’equazione di D’Alembert descriva le onde di pressione

e di densità nei gas isotropi in regime di deformazione adiabatica. Successivamente daremo alcuni

risultati generali per tale equazione applicata a sorgenti di onde sonore.

7.2.1 L’equazione di D’Alembert per le onde di pressione.

Le leggi fondamentali che descrivono la dinamica dei gas (dell’aria in particlare) in un sistema

di riferimento dotato di coordinate spaziali cartesiane ortonormali indicate con x e rispetto al

tempo t, sono le seguenti. La prima è l’equazione di continuità (o conservazione) della

massa: se µ = µ(t, x) > 0 è la densità di massa del gas o fluido, in funzione della posizione

3

x nel riferimento e del tempo t:

R ∂µ ∇ ·

+ (µv) = 0 , (7.64)

x

∂t

dove v = v(t, x) è il campo di velocità del fluido nel riferimento considerato: la velocità che

1

ha una particella di gas che passa per x al tempo t. Assumendo le due funzioni di classe C ,

180

questa equazione, integrata su un volume V (fermo nel riferimento usato) a chiusura compatta

con frontiera regolare orientabile, corrisponde all’equazione integrale:

d Z I

3 − ·

µ(t, x)d x = µ(t, y)v(t, y) n(y) dS(y) ,

dt V +∂V

dove abbiamo usato il teorema della divergenza. L’identità ottenuta dice, in termini matematici,

che la variazione di massa in V , per unità di tempo, è pari alla massa che transita attraverso la

frontiera di V per unità di tempo. L’equazione integrale scritta, assunta valida per ogni scelta

 ‹

di V con le caratteristiche dette, è equivalente alla richiesta (7.64).

La seconda equazione è la seconda legge della dinamica per il fluido pensato come isotropo:

∂v · ∇ − ∇

µ + v v = µg p , (7.65)

x x

∂t

dove p = p(t, x) 0 è la pressione all’interno del fluido nel punto x al tempo t e g è la densità di

massa di forza gravitazionale (cioè l’accelerazione gravitazionale!). Il significato fisico di questa

equazione è più evidente se si scrive la corrispondente equazione integrale. Se V è una porzione

t

di fluido valutata al tempo t e tenendo conto di come essa evolva al variare del tempo – le

particelle di fluido che esso contiene sono sempre le stesse che in V , ma la forma di V e la sua

Œ

‚ 0 t

posizione nel riferimento sarà diversa da V – e se si assume che V sia regolare nel senso detto

0 t

sopra per ogni t, allora l’equazione (7.65) equivale a:

d Z Z I

3 3 −

µvd x = µgd x p(t, y)n(t, y) dS(t, y) . (7.66)

dt V V +∂V

t t t

Tale equazione dice che la variazione per unità di tempo dell’impulso totale del volume V di

t

fluido uguaglia la somma delle forze che agiscono su tale porzione di continuo. Si osservi che V t

dipende dal tempo, per cui l’azione della derivata d/dt non si può banalmente trasferire sotto

il segno di integrale, ma dovrà apparire anche un termine dipendente da V . Il calcolo non è

t

banale e si rimanda ad un corso di meccanica dei continui. Qui diciamo solo che, tenuto conto

dell’equazione di continuità della massa, l’azione della detta derivata su V è il responsabile

t

· ∇

dell’addendo µv v a primo membro della (7.65). Le forze che agiscono sulla porzione di

x

fluido V sono dunque di due tipi.

t

(1) Il primo addendo a secondo membro in (7.66) rappresenta la forza di gravità totale che

agisce su tutte le particelle di fluido.

(2) Il secondo addendo rappresenta invece le forze di pressione che il resto di fluido, la par-

te fuori da V , esercita su V attraverso la sua superficie ∂V . Tale forza si ottiene integrando

t t t −p(t,

la densità di forza superficiale – detta anche sforzo – di espressione y)n(t, y), dove

n(t, y) è il versore normale uscente da ∂V , nel punto y al tempo t e p(t, y) è la pressione nel

t

fluido in quel punto a quel tempo.

Osservazioni 7.6. Il fatto che il fluido sia isotropo significa che la forza che l’esterno di V t

esercita sulla superficie ∂V è sempre perpendicolare ad essa, comunque la superficie sia disposta,

t 181 3

la nozione di pressione ha senso proprio in questa situazione .

Rimane da precisare una terza legge, detta equazione costitutiva, che connette µ e p solita-

mente espressa da una relazione p = f (µ) ottenuta per via termodinamica.

Se le deformazioni di volumi di fluido avvengono molto rapidamente, e questo accade nelle

‚ Œ

onde di suono, è ragionevole assumere che la relazione costitutiva suddetta sia quella di una

trasformazione adiabatica (cioè in assenza di scambi di calore):

γ

µ(t, x)

p(t, x) = f (p) = p , (7.67)

0 µ 0

p è la pressione corrispondente alla densità µ di riferimento, γ è una costante che dipende dal

0 0

gas (γ è il rapporto tra i calori specifici a pressione e volume costante come dovrebbe essere noto

dai corsi di termodinamica, vale circa 1.4 per l’aria.)

Non cercheremo nemmeno di affrontare il complicato problema di risolvere il set delle tre equa-

zioni (7.64), (7.65) e (7.67), ma faremo diverse approssimazioni, che si rivelano funzionanti alla

prova dei fatti, descrivendo le perturbazioni di pressione relativamente violente come quelle dei

suoni. Trascureremo la presenza di gravità, in modo tale che, nella situazione di equilibrio si

possano considerare la densità di massa e la pressione come costanti µ , p (in caso contrario

0 0

si ha una dipendenza dalla quota secondo la legge idrostatica come ben noto). Assumeremo

poi che la densità di massa vari di poco rispetto alla situazione di gas in equilibrio. Possiamo

scrivere in tal caso: µ(t, x) = (1 + s(t, x))µ ,

0

da cui: µ(t, x) −

s(t, x) := 1 , (7.68)

µ 0 |s(t,

dove il numero puro s(t, x), che si dice condensazione, soddisfa x)| << 1. Nel caso generale

avremo che: df 2

− −

p(t, x) = p + (µ(t, x) µ ) + O((µ(t, x) µ ) ) .

 ‹  ‹

0 0 0

dµ µ

0

Dato che: γ−1

df µ 1 µ

0

− − −

(µ(t, x) µ ) = p γ (µ µ ) = p γ 1 = p γs ,

0 0 0 0 0

dµ µ µ µ

0 0 0

µ

0

possiamo approssimare la relazione tra p e µ con:

p(t, x) = p + p γs(t, x) (7.69)

0 0

3 Nel caso generale, la forza per unità di superficie che l’esterno di V esercita sul suo bordo ∂V non è diretta

t t

perpendicolarmente ad esso ma, ha una direzione che è una funzione di n, y, t. Tale funzione è lineare in n e si

descrive attraverso il cosiddetto tensore degli sforzi di Cauchy.

182

e quindi, essendo p una costante:

0 ∇ p(t, x) = p γ∇ s(t, x) . (7.70)

x 0 x

Assumeremo di seguito che la velocità v, il suo gradiente, s ed il suo gradiente siano trascurabili

quando appaiono al secondo ordine rispetto a termini del primo’ordine. In tal modo, per esempio

2 2 ∇s

s , sv o (∇ v) si possono trascurare rispetto a, indifferentemente, s o v o o altri termini

x

del primo ordine. In questo modo si ha una procedura di linearizzazione che produce alla fine

equazioni necessariamente lineari.

Se nella (7.65) trascuriamo anche il termine che tiene conto della gravità come già detto,

troviamo: ∂v −∇

µ = p . (7.71)

x

∂t

Otteniamo infine attraverso (7.70) ed approssimando 1/µ con 1/µ (l’errore che si commette è

0

proporzionale a s∇ s):

x ∂v p γ

0

− ∇

= s(t, x) . (7.72)

x

∂t µ 0

Con la stessa cura, l’equazione (7.64) diventa:

∂s ∇ ·

+ µ ((1 + s(t, x))v) = 0

µ 0 x

0 ∂t

e quindi: ∂s ∇ ·

+ v = 0 , (7.73)

x

∂t

Se ora calcoliamo la derivata seconda temporale di s, teniamo conto di (7.73) e (7.72), am-

2

mettendo che s sia di classe C , in modo da poter scambiare le derivate temporali e spaziali,

otteniamo che: 2

∂ s p γ

0 Ê

− ∆ s(t, x) = 0 ,

x

2

∂t µ 0

cioè l’equazione di D’Alembert:

2

1 ∂ s p γ

0

− + ∆ s(t, x) = 0 con v := . (7.74)

x

2 2

v ∂t µ 0

v è la velocità del suono nel fluido considerato. Abbiamo ottenuto che la condensazione s nel-

l’ambito di validità delle approssimazioni fatte, che si rivela sensato studiando la propagazione

del suono, soddisfa l’equazione di D’Alembert. Dato che vale la (7.68) e tenendo conto del fatto

che le derivate della costante 1 sono sempre nulle, l’equazione (7.74) risulta essere valida sosti-

tuendo che sia µ che p sono costanti, possiamo estrarre tali costanti dalle derivate concludendo

Ê

0 0

che, nelle approssimazioni fisiche assunte valide, devono valere anche le equazioni di d’Alembert

− −

per le differenze di densità di massa Dµ = µ µ e di pressione Dp = p p e quindi per µ e p

0 0

stesse: 2

∂ µ p γ

1 0

− + ∆ µ(t, x) = 0 con v := (7.75)

x

2 2

v ∂t µ 0

183 Ê

e 2

1 ∂ p p γ

0

− + ∆ p(t, x) = 0 con v := , (7.76)

x

2 2

v ∂t µ 0

Si osservi che il rapporto p /µ è proporzionale alla temperatura assoluta T del gas secondo un

0 0 0

fattore di proporzionalità universale (assumendo che il gas soddisfi l’equazione dei gas perfetti)

e pertanto la velocità del suono dipende dalla temperatura del mezzo. Nel modello semplice nel

quale lavoriamo, a parità di temperatura due gas hanno differenti velocità di propagazione a

seconda delle differenti, rispettive, costanti γ.

7.2.2 Esistenza del potenziale delle velocità.

Nelle ipotesi fatte nella sezione precedente, la validità dell’equazione (7.72) ha un’importante

conseguenza. Assumendo che valga tale equazione, e con l’ipotesi aggiuntiva che:

al tempo t = 0 (per altro arbitrariamente fissato) il campo di velocità v = v(t, x) soddisfi:

v(0, x) = 0 ovunque in x,

definiamo la grandezza: t

p γ Z

0

φ(t, x) := s(τ, x)dτ . (7.77)

µ 0

0

Per costruzione vale allora: ∇

v(t, x) = φ(t, x) . (7.78)

x

In altre parole, il campo di velocità ammette un potenziale, dato dal campo φ.

Nel caso in cui invece non valga la condizione di annullamento di v al tempo nullo, data la

definizione (7.77), la (7.78) cessa di valere e deve essere sostituita, ovviamente, da:

v(t, x) = φ(t, x) + v(0, x) . (7.79)

x

La funzione φ determina in ogni caso anche p e µ. Infatti, dalla definizione di φ e tenendo conto

di (7.69) e (7.68), troviamo subito che: ∂φ ∂φ

p = p + p γ , µ = µ + µ ,, (7.80)

0 0 0 0

∂t ∂t

che valgono, in virtù delle equazioni dette e della soloa definizione (7.77) anche se per t = 0 il

campo di velocotà non sia annulla. Integriamo in τ da τ = 0 a τ = t i due membri dell’equazione

per s 2

1 ∂ s

− + ∆ s(τ, x) = 0 .

x

2 2

v ∂τ 2

Si ottiene in tal modo con ovvi passaggi (notando in particolare che ∂ s è continua per ipotesi):

t

1 ∂s 1 ∂s

− (t, x) + (0, x) + ∆ φ(t, x) = 0 .

x

2 2

v ∂t v ∂t

184

−∇ ·

Tenendo conto che ∂ s(0, x) = v(0, x) = 0 per la (7.73) e per la nostra ipotesi sul valore di

t

v al tempo t = 0, abbiamo infine che l’equazione trovata si riduce a:

1 ∂s

− + ∆ φ(t, x) = 0 .

x

2

v ∂t

Dalla definizione di φ, (7.77), quest’equazione significa che:

2

∂ φ

1

− + ∆ φ(t, x) = 0 . (7.81)

x

2 2

v ∂t

Dunque anche il potenziale delle velocità, nelle nostre ipotesi, soddisfa l’equazione di D’Alembert.

Nel caso in cui, a t = 0 esista un campo di velocità non nullo, l’equazione di sopra deve essere

ovviamente sostituita dall’equazione di D’Alembert con sorgente (che in questo caso non dipende

dal tempo): 2

1 ∂ φ 1

− ∇ ·

+ ∆ φ(t, x) = v(0, x) . (7.82)

x

2 2 2

v ∂t v

7.2.3 Suono prodotto da risuonatori forzati.

Consideriamo un risuonatore costituito da un poligono chiuso e compatto Ω il cui bordo ∂Ω

sia costituito da N facce piane D , D , . . . , D (che descrivono le solite memebrane oscillanti)

1 2 N ∞

attaccate tra di loro attraverso porzioni del loro bordo (dato da curve C a tratti). Su queste

curve, che descrivono gli spigoli del poligono, sono imposte le solite condizioni di annullamento

della deformazione delle facce. Abbiamo introdotto questi sistemi, che possono costituire un

modello elementare della cassa di risonanza di uno strumento, alla fine della sezione 7.1.5 alla

quale rimandiamo per le notazioni che useremo nel resto di questa sezione.

Sul risuonatore agiscono forzanti esterne date dalle solite sorgenti dell’equazione di D’Alembert:

S per la faccia D . Ognuna di queste sorgenti impone alla corrispondente faccia D di vibrare

j j j

con le frequenze kf , come discusso nella sezione 7.1.5. Ricordiamo che le frequenze kf sono

assunte essere le stesse per ogni faccia, dato che si presuppone che esista un meccanismo comune

forzante, per esempio le corde di uno strumento a corda e, in tal caso, le kf sono le frequenze

di risonanza di una corda. La deformazione trasversale della faccia D per grandi tempi, come

j

discusso nella sezione 7.1.5, è quella data dalla funzione oscillante (7.50). Equivalentemente dalla

(7.51). Ricordiamo che nella sezione 7.1.5 abbiamo, al solito, assunto che solo una quantità finita

di addendi nelle serie (7.50) e (7.51) sia non nulla. In altre parole, in (7.50) solo una quantità

(j)

finita di U è non nulla. Nel seguito continueremo ad assumere tale ipotesi anche se se ne

k

potrebbe fare a meno. È ragionevole aspettarsi che, nelle stesse ipotesi che hanno portato

a scrivere l’equazione di D’Alembert per le onde di pressione (7.76), le onde sonore prodotte

oscillino temporalmente con le stesse frequenze kf . Pertanto, ci aspettiamo che l’onda sonora

sia una sovrapposizione di funzioni a frequenza temporale fissata, della forma ( dove teniamo

conto del fatto che il termine corrispondente a k = 0 deve coincidere con la pressione a riposo

p per evidenti motivi fisici):

0 X i2πkf t

p(t, x) = p + P (x)e , (7.83)

0 k

k∈Z\{0}

185

dove le funzioni P sono da determinarsi. Equivalentemente, osservando che p è reale per cui

k

deve essere P (x) = P (x), possiamo riscrivere la formula precedente come:

−k

k +∞ 0 0

X

p(t, x) = p + C (x) sin(2πkf t + δ (x)) . (7.84)

0 k

k=1

 ‹

Per comodità noi continueremo ad usare la (7.83). Inserendo questa forma di soluzione nella

(7.76), vediamo che p soddisfa tale equazione se valgono le singole equazioni:

€ Š 2

2πkf ∈

∆ P (x) + P (x) = 0 , k . (7.85)

Z

x k

k v

2

2πkf

L’equazione (7.85), con sostituito con una costante generica, si chiama equazione di

v

Helmoholtz. Con opportune condizioni di annullamento all’infinito di P e del suo gradiente

k

(in particolare le cosiddette condizioni di Sommerfeld di cui non ci occuperemo) e condizioni

al contorno, la soluzione della (7.85) è unicamente determinata. Noi ci occuperemo delle sole

3

condizioni al contorno, da imporre su ∂Ω, considerando il problema di determinare P in R

k

all’esterno di Ω.

La condizione al controno da imporre su P deriva dal requisito fisico che la velocità con cui

k

oscilla il bordo del tamburo in ogni punto q M ortogonalmente al bordo, e cioè ∂ u(t, q), sia la

t

·

stessa dell’aria fuori dal tamburo in quello stesso punto: n v(t, q), dove n indica la normale

q q

4

uscente da M in q. In formule :

∂u · ∈

(t, q) = n v(t, q) per ogni q M .

p

∂t

Se deriviamo un’altra volta nel tempo otteniamo:

2

∂ u ∂v

·

(t, q) = n (t, q) .

q

2

∂t ∂t

In base alla (7.71) questo significa che: 2

∂ u

· ∇p(t, −µ (t, q) . (7.86)

n q) = 2

∂t

Se ora, pensando esplicitamente di lavorare sulla faccia j-esiama, e sostituiamo a secondo mem-

bro la (7.50) ed a primo membro la (7.84), vediamo che le condizioni suddette sono verificate se (e

∈ \ {0}

solo se), per k valgono le condizioni di Neumann per il problema esterno dell’equazione

Z

di Helmoholtz: (j)

2

· ∇P ∈

n (q) = µ(2πkf ) U (q) per ogni q D , per ogni j = 1, . . . , N . (7.87)

j

D

k k

j

4 A secondo membro l’argomento q dovrebbere essere più correttamente q + u(t, q)n . Tuttavia omettiamo

q

u(t, q)n proprio perché lavoriamo nel regime di piccole deformazioni.

q 186

(j)

Dove le funzioni U sono note. Come già osservato sopra, per ogni k il problema di determinare

k

P che risoleve l’equazione (7.85) con condizioni al bordo suddette (tenendo conto che ∂Ω è

k ∞

una superficie C a tratti per costruzione) e andamento all’infinito fissato ammette un’unica

soluzione. In questo modo vediamo che il suono prodotto dal tamburo contiene, facendo l’analisi

di Fourier temporale in ogni fissato punto x dello spazio, le stesse frequenze kf con cui oscilla il

risuonatore forzato dalla sollecitazione esterna.

7.2.4 Risuonatore ad aria di Helmoholtz.

Discutiamo infine un risuonatore che corrisponde ad un modello molto semplificato di molti

strumenti musicali a fiato dovuto ad Helmoholtz. In questo risuonatore, ciò che colpisce l’aria

esterna producendo l’onda sonora è l’aria stessa contenuta nel risuonatore.

Consideriamo una bottiglia piena d’aria con un corpo molto grande di volume V ed un collo

stretto e corto di area trasversale A e altezza h, dove hA << V . Assumiamo che la bottiglia non

abbia tappo. Se in qualche modo premiamo l’aria dentro il collo verso il corpo della bottiglia,

l’aria nel corpo si comprime ed esercita una pressione maggiore sul volume d’aria del collo (che

si comprime molto meno, dato che la capacià di compressione è proporzionale al volume come

calcoleremo tra poco). La forza esercitata sul tappo di aria è proporzionale alla profondità di

penetrazione ed è nella direzione opposta ad essa. Si ha in questo modo lo stesso tipo di forza

dovuta ad una molla ideale che produrrebbe un moto armonico semplice ad una frequenza pro-

pria del sistema che calcoleremo tra poco (la frequenza di risonanza di Helmholtz) se sul cilindro

di aria non agissero altre forze. Tuttavia si può anche produrre un’oscillazione forzata (alla fre-

6

quenza ν = ν ) esercitando una forza esterna periodica: se una volta che il cilindretto di aria è

H

tornato nella configurazione iniziale viene nuovamente spinto in basso, si può instaurare un moto

oscillatorio di esso alla frequenza della forzante (almeno in presenza di fenomeni di attrito che

comunque sono sempre presenti). Ovviamente in tutti i casi, si perderà una parte di aria, ma si

può tenere conto di queste perdite, con un modello più preciso. Se la frequenza dell’oscillazione

è nell’intervallo di percezione del suono, il tappo di aria colpendo con la faccia superiore l’aria

esterna alla bottiglia produrrà un suono udibile alla stessa frequenza di oscillazione. Questo è

quello che accade quando si soffia radente al collo della bottiglia producendo un suono basso

alla frequenza ν . In questo caso la forza che spinge in basso il tappo di aria nel collo è quella

H

dovuta all’aria del soffio.

Facciamo una stima della frequenza di risonanza di questo sistema. Partiamo dalla relazione

 ‹

(7.67) che esprime la pressione in un volume d’aria di densità e pressione riposo µ e p rispet-

0 0

tivamente, quando è soggetto ad una deformazione molto rapida, supposta adiabatica. Da essa

abbiamo: γ−1

p γ µ

0

dp = dµ .

µ µ

0 0

 ‹  ‹

Se lavoriamo a massa di aria M fissata per cui, le variazioni di densità (e pressione) sono dovute

a variazioni di volume: µ = M/V , possiamo riscrivere la relazione trovata come:

γ−1 γ−1

V M V dV

0 0

2 2

−v −v

dp = dV = µ ,

2

V V V V

187

 ‹

dove abbiamo introdotto la velocità del suono v data dalla seconda equazione in (7.74). In prima

approssimazione, quindi, per variazioni finite di volume e pressione:

γ−1

€ Š V ∆V

0

2

−v

∆p = µ

V V

Dato che V = V + ∆V e µ = M/(V + ∆V ), se sviluppiamo con Taylor attorno a V = V il

0 0 0

γ−1

V µ e ci fermiamo all’ordine più basso possibile, otteniamo la nostra espressione

fattore 0

V

finale: ∆V

2

−v

∆p = µ (7.88)

0 V

La (7.88) esprime la variazione della pressione ∆p nella massa di aria M , quando il suo volume

varia di ∆V . La pressione p è supposta essere uniforme nel volume, ed in particolare alla frontiera

di esso. Se immaginiamo la massa di aria M come quella contenuta sotto il tappo di aria nel

collo della bottiglia, e immaginiamo che la massa nel collo della bottiglia (pari a Alµ ) penetri

0

di un’altezza z dentro il volume, comprimendo quindi di un volume ∆V = Azµ la massa M ,

0 ∆V

2

la forza che quest’ultima eserciterà sulla massa nel collo della bottoglia è: A∆p = Av µ in

0 V

direzione opposta a quella di penstrazione. In definitiva l’equazione del moto della massa nel

collo della bottiglia (ammettendo che tale massa non esca dal collo e che non ci siano altre forze

nella direazione considerata) è, nella direzione parallela al collo:

Ê

2

d z Azµ 0

2

−Av

Alµ = µ .

0 0

2

dt V

Semplificando: 2 A

d z v

2

−(2πν

= ) z , ν := . (7.89)

H H

2

dt 2π V l

Abbiamo trovato l’equazione di un oscillatore armonico con frequenza di risonanza ν data

H

dalla formula di sopra, che è detta frequenza di risonanza di Helmholtz. Si osservi che le

caratteristiche del gas sono solo contenute nella velocità del suono nel gas v, il resto dipende

dalla geometria.

Se aggiungiamo una forza ulteriore esterna che agisce sul tappo di aria e che oscilla con una

frequenza ν, si ha un oscillatore forzato. Tenendo infine conto di termini dissipativi analogamente

a quanto visto nella sezione 7.33 si arriva ad un’equazione della forma solita:

2

d z dz

2

+ (2πν ) z + γ = S(t) , (7.90)

H

2

dt dt

del tutto analoga alla prima equazione in (7.33) (con Γ = 0) su cui si possono fare analoghe

considerazioni riguardo ai fenomeni di risonanza quando ν si avvicina a ν .

H

7.3 Un po’ di fisica matematica del suono e della musica.

Ci occuparemo ora, in modo molto sommario e idealizzato, della descrizione del funzionamento

degli strumenti musicali, in particolare quelli a corde, tenendo conto della presenza della cassa

188

di risonanza o cassa armonica e dell’aria. Fare uso dei risultati ottenuti nelle sezioni precedenti

di questo capitolo e del precedente.

7.3.1 Strumenti musicali a corda.

Le corde degli strumenti musicali “a corda” (chitarra, di un pianoforte, violino...) vibrano tra-

sversalmente soddisfacendo l’equazione di D’Alembert con condizioni di annullamento al bordo.

Può esserci anche un ulteriore termine di forzamento dell’oscillazione che corrisponde ad una

sorgente nell’equazione di D’Alembert dato dalla componente perpendicolare alla corda di una

densità lineare di forza che agisce sulla corda stessa. Dal punto di vista pratico questo termine

forzante può in particolare essere l’archetto degli strumenti musicali della famiglia del violino.

Si osservi che la forma funzionale di questo tipo di forzante è molto difficile da descrivere ma-

tematicamente (ne esiste un modello matematico ancora oggi valido dovuto a Helmholtz) ed è

tale che il moto della corda che si ottiene a regime (cioè superata la fase transiente che decade

esponenzialmente) sia una sovrapposizione di moti armonici con le frequenze proprie della corda

libera.

Bisogna anche tener presente il fatto che l’equazione di D’Alembert (anche con sorgente) è

evidentemente una fortissima idealizzazione, dato che le corde reali sono soggette anche forze in-

terne d’attrito che smorzano le oscillazioni e le fanno decadere nel tempo in tempi relativamente

brevi, come è evidente dall’osservazione sperimentale. L’archetto degli strumenti della famiglia

del violino serve proprio a sostenere nel tempo le oscillazioni fornendo l’energia dissipata dalle

forze d’attrito. Inoltre, il moto di una corda reale, che ha un diametro finito, è anche soggetto

ad oscillazioni di torsione ed ad oscillazioni longitudinali (di compressione) di cui non terremo

conto, ma che devono essere considerate in uno strumento musicale reale. La corda comunque

non è completamente libera di oscillare anche perchè è immersa nell’aria. Il moto della corda

viene trasmesso all’aria che è colpita violentemente dalla corda. L’accoppiamento con l’aria è un

ulteriore processo che spegne l’oscillazione della corda sottraendone energia. L’accoppiamento

diretto della corda con l’aria è comunque molto debole e per produrre un suono udibile a distanza

è necessario adoperare una cassa armonica o cassa di risonanza che trasforma le onde della corda

in onde meccaniche della cassa (ancora una volta sottraendo energia alla corda e smorzandone le

oscillazioni). A loro volta, queste onde meccaniche delle pareti della cassa armonca spingono in

modo efficace l’aria (perché la superficie di contatto con l’aria è molto maggiore di quella della

corda), creando le tipiche onde sonore emesse dagli strumenti a corda. Dunque le oscillazioni

della corda si tramettono direttamente alla cassa per via meccanica. La cassa si può pensare

come costituita da membrane oscillanti che, nel nostro modello semplificato per descrivere i

fenomini di smorzamento dovuti all’attrito ed all’interazione con l’esterno, seguono l’equazione

(7.31), in cui u rappresenta la deformazione trasversale (perpendicolare rispetto alle memebrane

a riposo) delle membrane stesse. In generale non tutte le pareti della cassa armonica oscillano

sensibilmente: nella famiglia di strumenti musicali del violino oscillano quella superiore detta

tavola armonica e quella inferiore. Il termine forzante della sorgente S in (7.31) è ora dovuto

alla corda oscillante (la trasmissione della forza avviene in modo complesso tramite strutture

di accoppiamento tra cassa e corda. Negli strumenti a corda come il violino, questa struttura

189

include il ponticello su cui passano le corde, che appoggia vicino all’anima (il cilindro di metallo

saldato perpendicolarmente alla faccia inferiore del violino che tramette il moto della tavola

armonica alla faccia posteriore dello strumento) ed è attaccato alla catena (un robusto listello di

legno fissato nella direzione delle corde alla tavola armonica, al di sotto delle corde). La forma

della funzione S sarà complicata, ma si potrà sempre decomporre come in (7.36), dove ora le

frequenze kf = ck/(2L) saranno proprio le frequenze di risonanza della corda di lunghezza L.

La cassa armonica deve avere un tempo di smorzamento delle oscillazioni molto più rapido di

quello delle corde, in modo tale che, come visto nella sezione 7.1.5, la corda possa pilotare la

cassa tramite il termine di sorgente S nell’equazione (7.31). Sono le oscillazioni della cassa che,

alla fine, producono in modo efficace, facendo oscillare l’aria, un’onda acustica. In definitiva le

parti della cassa armonica sono pilotate ad oscillare alle frequenze che impongono le corde. Per

questo il sistema di trasmissione dell’oscillazione deve essere tale che, malgrado l’oscillazione

della cassa, la lunghezza delle corde rimanga fissa (altrimenti le frequenze di risonanza delle

corde non sono fissate) e venga tramessa una grande forza alle pareti della cassa.

Fuori dalla corda e fuori dalle pareti della cassa armonica l’aria è libera, ma viene attraversata

da una perturbazione di pressione dovuta all’urto con le pareti della cassa armonica. L’equa-

zione per queste onde di pressione è dunque la (7.76) con condizioni al bordo dove è presente

la struttura della cassa di risonanza. Se ci mettiamo in un punto fissato dello spazio x fuori

dallo strumento musicale e misuriamo, al variare del tempo, il valore della pressione dell’aria

p = p(t, x), scopriamo che si tratta di un fenomeno periodico (per tutto il tempo in cui la regione

è attraversata dalla perturbazione di pressione) esattamente come accade osservando un punto

della corda al variare del tempo.

Possiamo precisare quantitativamente quanto abbiamo appena detto, tenendo conto dei risultati

delle sezioni precedenti.  ‹  ‹

Supponiamo che la corda oscilli con un’onda trasversale (nel seguito y(t, x) denota la deforma-

zione longitudinale della corda) che contiene più frequenze:

+∞ cπn πnx

X

y(t, x) = C sin t + δ sin . (7.91)

n n

L L

n=1

L’Hertz – indicato con Hz – è l’unità di misura delle oscillazioni nel tempo ed è pari ad un’oscil-

lazione al secondo. Le frequenze fondamentali c/(2L) variano dai 40Hz ai 3000Hz considerando

tutti gli strumenti a corda della famiglia del violino (dal contrabbasso al violino). Al solito pos-

siamo pensare che la serie scritta sopra sia in realtà una somma finita, dato che le ampiezze C n

diventano molto piccole, negli strumenti musicali a corde per n > 14 15. L’oscillazione della

corda viene trasferita meccanicamante alla cassa tramite apposite strutture. Le pareti oscillanti

della cassa (tipicamente due) saranno forzate ad oscillare come membrane oscillanti.

Osservazioni 7.7. In realtà, assumere che le facce oscillanti di un violino o di una chitarra

siano membrane, che dunque oscillano solo trasversalmente, è una rozza approssimazione perché

trascura completamente il fatto che le pareti della cassa armonica non sono membrane tenute in

190

Figura 7.4: Frequenze di risonanza di un violoncello rappresentate dai picchi in figura: in ascissa

si vede la frequenza della corda oscillante in Hz, in ordinata, in dB, appare la potenza del suono

prodotto alla fine da tutta la struttura nel punto di rilevamento del suono. Il picco intorno ai

95Hz, è la risonanza di Helmholtz dovuta all’aria ed ai fori ad “effe”, le rimanenti sono dovute

ai modi normali delle pareti della cassa armonica. I due picchi indicati corrispondono a due wolf

tones: il F a diesis suonato sulla corda del Re e il F a suonato sulla corda del La.

tensione da un telaio rigido (come accade nel temburo), ma sono strutture con tensioni interne

già in condizioni di riposo, come accade in una lamina di materiale plastico o metallico. La pre-

senza di tensioni interne nella situazione di riposo produce una differente equazione differenziale

lineare che descrive le onde di deformazione di simili strutture piane. Tale equazione coinvolge

2 2 2

∂ ∂ ∂

2

l’operatore di Laplace al quadrato ∆ = + 2 + invece che il semplice laplaciano, ma

2 2

∂x∂y

∂x ∂y

la teoria non è molto dissimile dalla versione semplificata che stiamo trattando.

Rimanendo nella descrizione approssimata della cassa armonica in termini di membrane oscil-

lati, consideriamo una di queste membrane oscillanti adattando delle coordinate x, y ad essa e

misurando la deformazione lungo z con la funzione u(t, x, y). Per un punto che ha coordinate

(x, y) in quiete su una parete della cassa armonica, a “grandi tempi” t (che in realtà significa

 ‹

istantaneamente se la cassa è costruita bene in modo da smorzare rapidamente la fase transiente)

ha la struttura prevista dalla (7.51):

+∞ cπn

X

u(t, x, y) = B (x, y) sin t + (x, y) , (7.92)

n n

L

n=0

come abbiamo visto nella sezione 7.1.5. Le membrane oscillanti colpiranno l’aria (e tutto que-

sto processo avviene fuori dalla cassa armonica) producendo un’onda sonora di pressione. La

 ‹ 3

pressione p, rispetto alla pressione dell’aria a riposo, nel punto x attraversato dell’onda

R

acustica creata dalle oscillazioni della cassa, ha un andamento temporale del tipo:

+∞ cπn

0 0

X t + δ (x) . (7.93)

p(t, x) = p + C (x) sin

0 n n

L

n=1 191

Osservazioni 7.8.

(1) Si osservi che le frequenze: cn

ν = ,

n 2L

che appaiono negli sviluppi dell’oscillazione della cassa e dell’aria sono esattamente le stesse di

quelle delle corde. Le corde dunque pilotano il sistema. Si osservi che le dette frequenze sono

privilegiate per le corde perché corrispondono alle frequenze proprie delle corde. Viceversa non

rappresentano, in generale, nulla di particolare per la cassa e per l’aria.

(2) Nello sviluppo (7.91) l’onda sinusoidale con n = 1 viene detta fondamentale, mentre le

rimanenti, associate ai numeri n = 2, 3, 4 sono dette armoniche. Le frequenze temporali della

perturbazione di pressione, cn

ν = ,

n 2L

che appaiono nello sviluppo (7.93) sono quindi esattamente le stesse che appaiono nello sviluppo

della perturbazione trasversale della corda (7.91).

(3) Il passaggio dalla funzione y che esprime l’oscillazione della corda, alla funzione ∆p tiene

conto di tutti i fenomeni di risonanza della cassa che modificano le ampiezze delle varie frequenze

(nell’analisi temporale) con cui si decompone la vibrazione y, pur mantenendo nell’oscillazione

di pressione finale le stesse frequenze iniziali. Queste informazioni sulle risonanze sono inglobate

0

nelle funzioni coefficienti C (x) e prima di essi nelle funzioni B (x, y) come descritto preceden-

n

n

temente. Le risonanze sono in massima parte dovute alla struttura della cassa che produce i

suoni principalmente all’esterno di essa (come un pistone che mette in moto l’aria esterna alla

cassa), ma non solo. C’è una risonanza in più non dovuta alla cassa armonica, ma dovuta all’a-

ria stessa che oscilla come un risuonatore di Helmholtz dentro la cassa uscendo dai fori appositi

(le fessure a “effe” per violino viola e violoncello) di cui bisogna tenere conto nel calcolo dei

0 5

coefficienti C (x). La figura illustra le ampiezze, dovute alle varie risonanze della cassa, che si

n

ottengono facendo vibrare le corde del violoncello alle frequenze indicate in ascissa, assumendo

che l’ampiezza dell’oscillazione delle corde sia la stessa al variare della frequenza. Come si vede

la cassa risponde in modo molto differente a seconda della frequenza imposta dalle corde. Un

meccanismo del tipo di quello della risonanza di Helmholtz è responsabile dell’amplificazione

delle frequenze più basse, quelle ottenute facendo vibrare la corda del Do. La nota Sol suonata

su tale corda ha una frequenza vicina al picco intorno a 95 Hz della risonanza di Helmholtz. Le

altre frequenze sono amplificate da risonanze della cassa. In particolare della tavola armonica:

la faccia superiore della cassa.

Per quanto riguarda la risonanza di Helmholtz, quello che accade è che, in riferimento alla se-

zione 7.2.4, invece di oscillare l’aria nel collo della bottiglia (qui rappresentato da ciascun buco

delle fessure ad “effe”), oscilla forzatamente il volume della bottiglia, facendo oscillare l’aria nel

collo della bottiglia e producendo suono con volume rilevante intorno alla frequenza di risonanza

di Helmoholtz. Esiste una formula empirica (dovuta a Itokawa e Kumagai) che predice il valore

5 Renzo Vitale: “Caratteristiche generali del timbro e sue peculiarità nel suono del violoncello”, Report per i

corsi di: Acustica e Psicoacustica Elaborazione Numerica del Segnale A.A. 2004-2005.

192

Figura 7.5: Oscillazione della cassa di risonanza di un violoncello visti sulla tavola armonica.

La risonanza di Helmoholz è A . La risonanza C si incontra a 226Hz, la C appare a 194Hz

0 3 4

entrambe sono dovute ad oscillazioni della cassa. T è data da un’oscillazione per la maggior

1

parte dovuta solo alla tavola armonica.

della frequenza di risonanza di Helmholtz ν per un violoncello in funzione dei suoi parametri:

H 1/4

0.27vA

ν = ,

H V

dove A è l’area delle fessure ad “effe”, V il volume della cassa armonica e v la velocità del suono

nell’aria (circa 340m/s).

(4) Le frequenze di risonanza ν della cassa di risonanza sono differenti dalle frequenze ν = kf

λ k

delle corde. Quando risultano essere troppo vicine (e questo succede abbastanza spesso nel

violoncello) si instaurano i pericolosi fenomeni di risonanza descritti nella sezione precedente tra

corde e cassa e il suono non è ben controllabile dal musicista: si hanno i cosiddetti wolf tones o

note del lupo.

(5) La particolare forma della cassa degli strumenti a corde (suonati con l’arco) è dovuta al fatto

che tale forma assicura che le frequenze di risonanza della cassa (delle due facce) cadano “nei

punti giusti” rispetto alle frequenze di risonanza delle corde per ottenere il timbro particolare

di tali strumenti. I liutai che costruiscono gli strumenti sanno per esperienza come costruire la

cassa.

7.3.2 Il suono prodotto dagli strumenti musicali a corde.

La musica utilizza un tipo di onde di pressione che cadono sotto il nome di “suoni”. Si tratta di

una caratterizzazione psicofisica più che puramente fisica. Se la frequenza delle onde di pressione

0

(più in generale se le frequenze nello sviluppo di ∆p in (7.93) con coefficienti C (x) abbastanza

n

grandi) è abbastanza elevata ma non eccessivamente, tra 12Hz e 12000Hz, il nostro orecchio

le percepisce come un suoni. 1Hz corrisponde, in un fenomeno periodico, ad 1 oscillazione

al secondo. Il suono di un diapason che emette la nota pura La di riferimento (vedi sotto),

193 6

corrisponde ad un’onda di pressione costituita da un unico sinusoide :

0

p(t, x) = p + C (x) sin(2πνt + δ(x)) ,

0

con una frequenza di ν = 440Hz. In un suono più complesso, prodotto da una corda vibrante, le

frequenze temporali ν che appaiono in (7.91) e (7.93) sono tutte multipli interi della frequenza

n

della fondamentale e tale frequenza fondamentale si ricava come la differenza delle frequenze di

due armoniche successive: −

ν = ν ν .

1 n+1 n

Come già osservato precedentemente, e calcolato nel caso delle memebrane vibranti circolari e

rettangolari, quando si considerano strumenti musicali differenti da una corda o da uno stru-

mento a fiato – per esempio la membrana di un tamburo – la deformazione si può comunque

decomporre in una somma infinita di oscillazioni elementari dotate di frequenze (temporale)

proprie ν . La differenza con quanto accade nelle perturbazioni ondose di una corda ad estremi

λ

fissi e negli strumenti a fiato è che, nel caso della perturbazione di pressione p = p(t, x) pro-

dotta da membrane vibranti liberamente oscillanti, le varie frequenze ν non risultano essere

λ

più multipli interi di una frequenza fondamentale. Si osservi che ciò implica, in generale, che la

7→

funzione t p(t, x) a x fissato, non sia più una funzione periodica, almeno quando i rapporti

tra le frequenze ν non sono numeri razionali. Queste particolarità si ritrovano nelle onde di

λ

suono prodotte da tali strumenti che si dice non essere armonico. Questa è la ragione fisica per

cui il suono degli strumenti a percussione ci appare intrinsecamente differente da quello degli

strumenti ad arco: il cervello non riesce a determinare una frequenza fondamentale.

Torniamo ora agli strumenti musicali che emettono suoni armonici, cioè per i quali vale la de-

composizione in armoniche descritta dalla (7.91) ovvero dalla (7.93) in cui tutte le frequenze

che appaiono nella decomposizione sono multipli interi di una frequenza fondamentale. Conside-

rando uno strumento a corde, le singole componenti sinusoidali delle due decomposizioni dette,

É

come detto, oscillano temporalmente con frequenza ν = cn/(2L). Tenendo conto della (5.6)

n

che esprime la velocità di propagazione della perturbazione sulla corda in funzione della densità

di massa λ e della tensione τ abbiamo che: n τ

ν = (7.94)

n 2L λ

La lunghezza d’onda spaziale, lungo la corda, è ancora data da:

2L . (7.95)

λ =

n n

Si osservi che non abbiamo introdotto una nozione corrispondente alla lunghezza d’onda spaziale

per le onde di pressione, anche se si potrebbe fare. Pertanto la lunghezza d’onda spaziale sarà

solo riferita alle onde sulla corda. La lunghezza d’onda delle onde di deformazione della corda

è legata alla frequenza temporale delle stesse onde della corda che è la stessa che appare per

6 In realtà questa è un’approssimazione dato che, nella pratica sperimentale, il suono inizia ad un certo istante

finito e termina ad un altro istante finito. 194

le corrispondenti onde sonore di pressione. Modificando la lunghezza d’onda delle onde di

deformazione della corda, si modifica la frequenza temporale delle onde di pressione del suono.

Questa è la tecnica che si usa sonando la chirarra oppure il violino: la corda viene fatta oscillare

con una lunghezza d’onda scelta dal musicista. La scelta è conseguenza del fatto che, l’esecutore

preme la corda in determinati punti con le dita, producendo “artificialmente” dei punti nodali

per la corda in tali punti. In questo modo lo sviluppo dell’onda di deformazione della corda in

armoniche può avere solo quelle lunghezze d’onda compatibili con il punto nodale imposto. Tra

poco ritorneremo su questa tecnica discutendo come il nostro cervello individua la frequenza

fondamentale in un suono.

7.3.3 Le note musicali pure e note con timbro.

Le singole oscillazioni sinusoidali ad n fissato di una corda che produce suono, trasformate in

onde di pressione (purché le frequenze stano nel range prima indicato) vengono avvertite dal

nostro orecchio come toni puri di suono cioè note pure. Come accennato sopra un diapason

emette una nota pura chiamata La di riferimento la cui frequanza d̀i 440Hz.

Si osservi che per ottenere uno stesso tono puro alla frequenza, diciamo, ν , possiamo usare

1

corde di lunghezza diversa, variandone la densità di massa e la tensione. Si vede dalla (7.94),

che, a parità degli altri valori, più è alta la tensione maggiore sarà la frequenza della nota.

In realtà l’orecchio umano eccetto che quello di persone particolarmente dotate è incapace di

distiguere le singole frequenze separatamente (chi è abile a farlo si dice che possiede l’“orecchio

assoluto”). Il nostro orecchio (cioè il nostro cervello) è in realtà capace di distiguere solo i rap-

porti tra varie frequenze suonate contemporaneamente o a breve distanza temporale: riesce a

dare il nome ad una nota ascoltata se è noto il nome di una nota precedentementeo contempora-

neamente ascoltata. Per esempio il rapporto di un’ottava è quello di due frequenze una di valore

doppio dell’altra: un musicista riconosce subito quando l’intervallo di due note, cioè il rapporto

tra le frequenze, è un’ottava.

Bisogna precisare che è difficilissimo, con strumenti meccanici (non elettronici) produrre toni

puri. Infatti, il suono che si ottiene pizzicando una corda (clavicembalo, chitarra, contrabbasso)

oppure percuotendola (pianoforte), oppure strofinandola con un archetto (violino, viola, violon-

cello), corrisponde ad una soluzione dell’equazione di D’Alembert con condizioni di annullamento

al bordo, la cui forma e decomposizione in armoniche sinusoidali dipende dalle condizioni iniziali,

cioè dalla procedura con la quale è stata fatta oscillare la corda. Il suono prodotto è sempre

composto da molte armoniche secondo una certa distribuzione con coefficienti C e fasi δ – co-

n n

me nella (7.91) e nella corrispondente onda di pressione (7.93) – che dipendono dalla procedura

0 2

usata per mettere la corda in oscillazione. Il numero C (x) è legato all’intensità (o energia

n

trasportata) del suono nel punto x, più precisamente all’intensità dell’armonica n-esima. Le fasi

0

δ (x) non sono invece molto importanti ai fini del riconoscimento del suono, sembra che il nostro

n 0

orecchio e il nostro cervello distinguano i suoni guardando alle ampiezze C (x) piuttosto che alle

n

0

fasi δ (x). Quando si cerca di suonare una precisa nota mettendo in oscillazione una certa corda

n

in un certo modo, in realtà si produce un certa soluzione delle equazioni di D’Alembert tale che,

decomponendola in armoniche, è composta da varie armoniche con frequenze multiple di una

195

frequenza fondamentale ν . Il nostro cervello individua tale frequenza fondamentale (facendo

1

la differenza delle frequenze delle armoniche successive) e questa definisce la nota associata al

7

suono. Solitamente, ma non sempre , la fondamentale possiede l’ampiezza C più grande di

1

tutte le altre. Si osservi che non detto che la fondamentale corrisponda a n = 1: dipende da

come mettiamo in oscillazione la corda. Facciamo un esempio. Se blocchiamo una corda di

lunghezza L (per es. premendo con un dito) nel punto L/2, cioè a metà della sua lunghezza, e la

mettiamo in oscillazione in qualche modo mantenendo fissi gli estremi, le frequenze che compon-

gono la forma d’onda saranno vincolate ad avere un nodo a metà della corda: sarà ammissibile

la frequenza ν = c2/(2L), ma anche ogni frequenza ν per cui vale k/n = 1/2 per qualche

2 n

k = 1, 2, . . . n, in modo da avere un nodo in L/2. In pratica tutte le frequenze ν = c2k/(2L)

2k

per ogni k = 1, 2, . . . saranno presenti anche se con ampiezze che dipendono da come abbiamo

messo in oscillazione la corda. Quando analizziamo il suono risultante, cioè l’onda sonora emessa

dalla corda, senza guardare la corda che lo ha prodotto, possiamo ricostruire la fondamentale di

questa sequenza di armoniche come la differenza tra due frequenze di due armoniche successive

che rileviamo nell’onda sonora. In questo caso abbiamo:

ν ν = ν

2n 2

2(n+1)

e non ν ! Il suono prodotto da questa corda vibrante, in cui imponiamo un nodo alla sua metà,

1

avrà frequenza doppia (un ottava sopra) di quello prodotto dalla stessa corda senza porre il dito

a bloccarne la metà. Se suonassimo la stessa nota di sopra, invece di mettere il dito a L/2,

tenendo la corda libera (sempre fissata agli estremi), ma dimezzando la lunghezza della corda

o quadruplicandone la tensione, otterremo la stessa frequenza (ora data dalla fondamentale),

ma la distribuzione di ampiezze sulle armoniche successive alla fondamentale potrebbe essere

diversa e quindi il suono potrebbe risultare differente (anche se la nota è percepita come la

stessa). La differenza è nel timbro, nozione che andiamo a discutere. Partiamo con l’osservazione

sperimentale che, in realtà, le armonche udibili nel suono prodotto da uno strumento musicale

sono al più circa una decina, le rimanenti hanno solitamente ampiezza troppo bassa per essere

udite. Per esempio, approssimativamente parlando, l’ampiezza C delle armoniche decresce come

n

2

1/n negli strumenti ad arco e come 1/n nel pianoforte (tuttavia, come già detto, le ampiezze

0

associate dell’onda di pressione C (x) non decrescono necessariamente nello stesso modo, perché

n

bisogna tenere conto della presenza della cassa armonica che amplifica, fa risuonare e smorza

diversamente le varie frequenze). Le rimanenti armoniche della decomposizione di un suono

oltre alla fondamentale, sempre presenti e con intensità che dipendono dal tipo di strumento,

producono il caratteristico timbro dello strumento, per il quale una stessa nota, suonata da

un violino oppure da un pianoforte (oppure, come detto sopra, prodotte da uno stesso violino,

ma con due procedure differenti) viene avvertita dal nostro orecchio come differente. Il timbro

dipende da due fattori: la procedura con cui la corda è messa in eccitazione e come è costituita

7 In certi casi l’ampiezza massima si ha sulla prima armonica dopo la fondamentale, come in certi strumenti a

fiato. Da studi sperimentali risulta anche che, cancellano completamente la componente fondamentale di un suono,

a

ma lasciando le altre armoniche anche solo dalla 4 in poi, abbastanza inaspettatamente il nostro cervello riesce

comunque a ricostruire la fondamentale assegnando al suono la nota corrispondente alla frequenza (fondamentale)

in realtà assente. 196

la cassa armonica (includendo la struttura meccanica che trasmette la vibrazione dalle corde

alla cassa, per esempio il cosiddetto ponticello per violino, viola e violoncello).

7.3.4 Scale e temperamenti

Nel Medioevo i teorici della musica teorizzarono ed usarono un tipo di scala musicale attribuita

a Pitagora: la scala Pitagorica. A tale matematico si attribuisce tradizionalmente l’osserva-

zione che gli “intervalli musicali”, cioè i rapporti tra frequenze dei suoni usati come base per

comporre la musica corrispondono a rapporti numerici tra numeri interi relativamente piccoli. I

reciproci di tali rapporti, dato che λ ν = c, corrispondono a rapporti tra le lunghezze d’onda

n n

cioè tra le lunghezze delle corde che producono tali suoni, quando queste oscillano presentato

lo stesso numero di nodi (cioè lo stesso valore n). La scala pitagorica infinita è costituita dalla

successione di infinite sequenze fondamentali di sette note che chiameremo convenzionalmente

Do, Re, M i, F a, Sol, La, Si, ordinata nel senso della frequenza (o “altezza”) crescente, i rapporti

detti “quinte” e “quarte” corrispondono esattamente alle frazioni 2/3 e 3/4, rispettivamente,

mentre l’“intervallo di tono” corrisponde a 8/9 e l’“intervallo di semitono” a 243/256. Due no-

te successive tra sette note Do, Re, M i, F a, Sol, La, Si hanno rapporti di frequenze di un tono

(8/9) eccetto M i/F a che corrisponde ad un semitono (243/256). Il Do iniziale (indicato con

0

Do ) della sequenza successiva alla scala di sette note di cui sopra, ha esattamente frequenza

doppia de Do inziale: il rapporto delle frequenze tra i due Do è detto essere “un ottava”. Accade

lo stesso per il Do della sequenza precedente, che ha frequenza dimezzata... e cosı̀ via all’infinito

nelle due direzioni. All’interno di una fissata sequenza fondamentale di 7 note, nello schema

archimedeo, i rapporti tra le frequenze delle note sono quasi tutti di quarta o di quinta (es.

Re/Sol = Do/F a = 3/4 mentre Re/La = Do/Sol = 2/3) che, nella teoria pitagorica sono pen-

sati come particolarmente “consonanti” (cioè belli da sentire). Più avanti, sempre nel Medioevo,

venne introdotta la scala pitagorica cromatica in cui vengono aggiunte altre 5 note alle 7 fon-

8

damentali (i “diesis” e i “bemolle”) dividendo, rozzamente parlando, i toni in due semitoni in

modo tale che tra le 12 note ottenute in questo modo, tra una nota e la successiva ci fosse sempre

un rapporto di frequenze di 2/3 oppure 3/4. Nasce il problema che, con questa procedura, non

accade più che la tredicesima nota abbia frequenza pari a due volte quella della prima, cio non

si riesce ad ottenere l’intervallo di ottava. Un miglioramento viene fatto da Zarlino nel 1558 che

introduce nuovi rapporti ammissibili di frequenze oltre alle quarte e le quinte: i rapporti 4/5 e

5/6, “terza maggiore” e “ terza minore”. Nella scala di Zarlino o scala naturale compaiono due

diversi intervalli di tono, cioè tra le note successive che non siano M i F a (che ora è 15/16

invece di 243/256): il “tono maggiore” 8/9 e il “tono minore” 9/10. Il discepolo di Zarlino,

Vincenzo Galilei (padre di Galileo) propose l’adozione di un semitono corrispondente a 17/18

reintroducendo ulteriori 5 note. Anche queste proposte hanno inconvenienti oltre che pregi.

Nella teoria musicale basata sul “temperamento equabile” (dal XX secolo praticamente adottata

−1/12

da tutti) il rapporto tra due note consecutive delle 12 di un ottava è 2 : è questo il rapporto

di frequenze tra le note di due tasti consecutivi in un pianoforte, includendo nell’ordine sia i

8 Le precedenti 7 le possiamo pensare come i tasti bianchi in un ottava del pianoforte, queste ulteriori 5

corrispondono ai tasti neri anche se la questione è più complessa in realtà.

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230

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1.46 MB

AUTORE

Jacko

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Dispense di Fisica matematica del prof. Moretti su equazioni differenziali a derivate parziali del secondo ordine, equazioni ellittiche, funzioni armoniche, equazione di Poisson, equazioni di Laplace, teorema della media, teorema di Liouville, equazioni iperboliche, equazione di D'Alembert, equazione di Klein Gordon, analisi spettrale e applicazione all'acustica musicale, equazioni paraboliche, equazione del calore.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in matematica
SSD:
Università: Trento - Unitn
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Jacko di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Trento - Unitn o del prof Moretti Valter.

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