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Questi neutroni ritardati possono essere raggruppati in sei (o cinque) gruppi, ciascuno

caratterizzato da una costante di decadimento (v. tabella). Al fine di descrivere questo

processo, a ciascuno di questi gruppi viene associato il concetto di precursore dei

neutroni ritardati. β dal tipo di elemento considerato.

Da notare la dipendenza di i Neutroni Ritardati

Gruppo Tempo Costante Energia Numero di neutroni ritardati per 100

dimezz. decadim. )

neutroni da fissione (100xβ i

(λ )

ι

-1 232 233 235 238 239

i (sec) (sec ) Mev Th U U U Pu

1 54 0.0128 0.25 0.085 0.020 0.03 0.015 0.01

2 22 0.0315 .56 0.35 .075 .18 .17 .06

3 5.6 0.125 .43 0.45 .105 .22 .28 .045

4 2.12 0.325 .62 1.20 .075 .23 .71 .085

5 0.45 1.55 .42 0.45 .025 .07 .42 .03

6 0.15 4.5 0.09 .02 .15

2.6 0.30 0.75 1.75 0.23

(100xβ)

Nel seguito verrà dapprima illustrata l'equazione della cinetica puntuale. Con essa

verrà introdotto il concetto di reattività e di vita media dei neutroni pronti.

Successivamente verranno considerate le equazioni della diffusione multigruppo.

Attraverso la definizione di flusso aggiunto verranno definite le espressioni

normalmente usate per il calcolo della reattività e della vita media effettiva dei

neutroni pronti. 2

L'equazione della cinetica puntuale

Consideriamo un sistema omogeneo nudo (o nudo equivalente, in relazione ad un

sistema riflesso) in condizioni critiche stazionarie. Supponiamo che al tempo t=0

venga inserita una perturbazione a gradino tale da alterare la condizione di criticità

esistente fino a quel momento. Tale perturbazione potrà consistere, ad esempio, in un

cambiamento improvviso della densità di un materiale di controllo. Assumiamo una

approssimazione in diffusione ad un gruppo di neutroni. L'andamento del flusso

ψ(r.t) (r,t) sarà governato dalle equazioni:

neutronico e della densità dei precursori c

i

M

ψ

1 ∑

2

= ∇ ψ − Σ ψ + ν Σ − β ψ + λ (14.1)

D (

1 ) c

a f i i

v t =

i 1

c i = − λ + ν Σ β ψ (14.2)

c

i i f i

t

λ β

dove e sono, rispettivamente, le costanti di decadimento dei precursori e la

i i

frazione dei ritardati della specie i-esima. La frazione complessiva dei ritardati è data

dalla somma

M

β = β . (14.3)

i

=

i 1

Si verifica facilmente che l'assumere un gruppo di neutroni corrisponde all'aver

assunto la separabilità della distribuzione neutronica spaziale da quella energetica.

Supponiamo che tale separabilità spazio/energetica permanga anche dopo l'inserzione

di una perturbazione, cioè durante il transitorio del flusso (il che è ammissibile se il

sistema dopo la perturbazione non è eccessivamente distante dalla criticità).

Assumiamo quindi la separabilità della variabile spaziale da quella temporale, cioè

=

ψ = ψ e .

c (

r , t ) c (

r ) H ( t )

(

r , t ) (

r ) T ( t )

o i i , o

3

La (14.1) e la (14.2) si possono quindi scrivere M

∂ H ( t )

T ( t )

1 1 2 i

ψ = ∇ ψ − Σ ψ + ν Σ − β ψ + λ (14.4)

D (

1 ) c

o o a o f o i i , o

v T ( t ) t T ( t )

=

i 1

H ( t ) T ( t )

1 i = − λ + ν Σ β ψ (14.5)

c c

i , o i i , o f i o

H ( t ) t H ( t )

i

Per t=0, e quindi in condizioni di criticità, queste equazioni diventano

M

2 ∑

∇ ψ − Σ ψ + ν Σ − β ψ + λ =

D (

1 ) c 0

o a o f o i i , o

=

i 1

− λ + ν Σ β ψ =

c 0

i i , o f i o

Ritroviamo così l’equazione di criticità

2

∇ ψ − Σ ψ + ν Σ ψ =

D 0

o a o f o ν Σ − Σ

f a

1 2 ≡

che, introducendo il termine di buckling geometrico B ( ), si può

D

scrivere come equazione d’onda

2 2

∇ ψ + ψ = .

B 0

o o 2

∇ ψ

Pertanto il termine al secondo membro della (14.4) potrà essere sostituito da

2

− ψ .

B

Poiché entrambe la (14.4) e la (14.5) sono equazioni differenziali lineari del primo

ordine rispetto alla variabile temporale, le soluzioni saranno date da una

sovrapposizione di funzioni del tipo

ω

'o t

ψ = ψ (14.6)

(

r , t ) (

r ) e ω

' t

= . (i=1,2,...,M) (14.7)

c ( r , t ) c (

r ) e

i io

1 Eguale al buckling materiale in condizioni critiche. 4

Sostituendo nelle (14.4) e (14.5) si ha M

1 ∑

'o 2 'o 'o 'o '

ωψ = − ψ − Σ ψ + ν Σ − β ψ + λ (14.8)

DB (

1 ) c

a f i io

v =

i 1

' ' 'o

ω = − λ + ν Σ β ψ (i=1,2,...,M) (14.9)

c c

io i io f i

Moltiplicando la (14.8) per

1 1 1 1

=

2 'o 2 2 'o

Σ + ψ Σ + ψ

DB (

1 L B )

a a

si ottiene M '

c

1 ∑ io

ω = − + − β + λ

(14.10)

1 K (

1 )

eff i

2 2 'o

Σ + ψ

(

1 L B )

a =

i 1

avendo posto 1

= (14.11)

2

Σ +

v ( DB )

a

e ν Σ Σ

/

f a

= . (14.12)

K eff 2 2

+

1 L B

e K sono, rispettivamente, la vita media dei neutroni pronti ed il

Le quantità eff

fattore di moltiplicazione.

Dalla (14.9) si può ottenere il rapporto

' ν Σ β

c io f i

= . (14.13)

'o

ψ ω + λ i 5

Sostituendo nella (14.10) si ottiene M λ β

∑ i i

ω = − + − β +

(14.14)

1 K (

1 ) K

eff eff ω + λ

= i

i 1

Ricordando la (14.3) otteniamo infine la nota equazione della cinetica puntuale

M ωβ

ω i

ρ = + (14.15)

k ω + λ

=

eff i 1 i

ρ

dove rappresenta la "reattività" corrispondente alla perturbazione considerata, data

dall'espressione

k 1

eff

ρ = (14.16)

k eff λ β

, e , dalla (14.15) si possono

Una volta nota la reattività, oltre alle quantità i i

ω

ottenere (M+1) soluzioni , essendo questa una equazione algebrica di grado

m

(M+1). La soluzione cercata sarà data dalla sovrapposizione di (M+1) soluzioni del

tipo delle (14.6) e (14.7). Potremo quindi scrivere

M

∑ ω t

ψ = ψ (14.17)

( , t ) ( ) A e

r r m

o m

=

m 0

M

∑ ω t

= (i=1,2,...M) (14.18)

c ( , t ) c ( ) B e

r r m

i io i , m

=

m 0

ψ

dove e rappresentano il flusso neutronico e la densità dei precursori

( ) c ( )

r r

o io e B sono coefficienti da

dei ritardati al tempo t=0, rispettivamente. I coefficienti A

m i,m

determinare in base alle condizioni iniziali.

In condizioni stazionarie, prima cioè della perturbazione al tempo t=0 si ha

ν Σ β

fo i

= ψ (14.19)

c io o

λ i

Σ rappresenta la sezione macroscopica di fissione prima della perturbazione.

dove fo 6 ω

Ricordando la (14.13), in rapporto alla m-esima radice , si avrà

m

B c ν Σ β

im io f i

= .

ψ ω + λ

A m o m i

I coefficienti B saranno quindi dati dalla espressione

im

Σ λ

f i

=

B A

im m

Σ ω + λ

fo m i

Le costanti da determinare rimangono quindi i coefficienti A . Essi si ottengono

m

mediante le condizioni a t=0, ossia:

M

∑ = (14.20)

A 1

m

=

m 0

M M Σ λ

∑ ∑ f i

= = (i=1,2,...,M) (14.21)

B A 1

im m

Σ ω + λ

fo m

= = i

m 0 m 0

Sebbene relativa ad un sistema moltiplicante molto semplice (nudo, omogeneo, con

neutroni monoenergetici), la soluzione della (14.15) dà indicazioni significative sul

comportamento di un reattore nucleare in condizioni non stazionarie.

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AUTORE

Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria energetica
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Ingegneria del nocciolo e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Gandini Augusto.

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