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8. Equazione del trasporto

Definizioni

Consideriamo un mezzo moltiplicante in cui i neutroni diffondono a partire da

sorgenti esterne e da sorgenti di fissione, e caratterizzato da sezioni d'urto di cattura,

di fissione e di scattering funzioni del punto e dell'energia.

Nel mezzo avverranno: (=vnΣ +vnΣ )

- collisioni di cattura: vnΣ c a f

- collisioni di fissione: vnΣ f

- collisioni di scattering (elastico ed inelastico): vnΣ s

- collisioni totali: vnΣ (= vnΣ +vnΣ )

t c s

Gli eventi di scattering rallentano i neutroni secondo un meccanismo rappresentato da

Ω → Ω),

Σ(E'→ E, ' indicante il

un kernel, che qui indichaimo con la notazione

trasferimento generico dall'energia E' ad E e dalla direzione relativa al versore

Ω Ω

unitario ' ad un'altra relativa al versore .

ν

Da ciascun evento di fissione nascono neutroni secondo uno spettro energetico

χ(Ε). ∆E,

Vale a dire che, di ogni neutrone di fissione, in un dato intervallo di energia

χ(Ε)∆E.

ne nasce una frazione

Equazione del trasporto Ω

Consideriamo la densità neutronica n(r, ,E|t) funzione del posto, angolo, energia,

tempo. Nel seguito deriveremo l'equazione cui essa obbedisce.

Consideriamo al tempo t e nel punto r un "pacchetto" di neutroni di densità

Ω,E|t)

Ω ∆A, Ω

n(r, in un elemento di volume avente un'area trasversale alla direzione ,

δs. Ω Ω

e spessore Tali neutroni viaggiano nella direzione d attorno ad , con energia

compresa tra E ed E+dE.

∆t, ∆s Ω

Dopo un tempo tale pacchetto avrà fatto un percorso (=v∆t) nella direzione

∆s>>δs

(v. Fig.1). Si suppone che

λ Σ Σ ∆t

Ricordando che =1/ , essendo la sezione d'urto totale, dopo il tempo un

t t t

numero di neutroni ∆t)

Ω ∆Aδs(1-vΣ

n(r, ,E|t)∆E t + Ω

r v∆

t .

di questo pacchetto raggiungerà la posizione

1

Fig. 1

Nell'intervallo tra t e t+∆t si aggiungeranno ai neutroni del pacchetto quelli

provenienti da eventi di scattering e di fissione. Tali contributi risulteranno:

∫ ∫ _ _

∆Aδs∆t δ

Ω δ Ω Σ → Ω → Ω Ω

r '

eventi di scattering = E d ' ( E ' E

, ' ) vn ( , E ' , | t )

dE

'

s

π

4 o

χ ∞

∫ ∫ _ _

( E )

∆Aδs∆t δ

Ω δ Ω ν Σ Ω

r '

eventi di fissione = E d ' (

E ' ) vn ( , E ' , | t ) dE

'

π f

4 π

4 o

_ _ + Ω

r

essendo t ed valori compresi negli intervalli (t, t+∆t) ed [r , r v∆

t ],

rispettivamente.

Supponiamo che in generale nel punto considerato vi sia anche la nascita di neutroni

Ω ∆t

da una sorgente esterna.di intensità s (r,E, ). Nel tempo entreranno quindi nel

n

pacchetto ∆Aδs∆tδ Ω δEs

neutroni di sorgente = .

n

Potremo quindi scrivere l'equazione di bilancio:

Numero di neutroni del pacchetto al tempo t+∆t

= numero pacchetto al tempo t - neutroni usciti dal pacchetto per collisione

+ neutroni entrati nel pacchetto per scattering e fissione + neutroni di sorgente ,

vale a dire:

+ ∆ Ω

, Ω

, Ε | + ∆ ) δ

Ω δ ∆Aδs= Ω ∆t) δ Ω δE ∆Aδs

n( r v t t t E n(r, ,E|t) (1-vΣ +

t

∫ ∫ _

∆Aδs∆t δ

Ω δ Ω Σ → Ω → Ω Ω

r '

E d ' ( E ' E , ' ) vn ( , E ' , | t ) dE

' +

s

π

4 o

δ ∞ _

∫ ∫ _

E

∆Aδs∆t δ

Ω χ Ω ν Σ Ω ∆Aδs∆tδ Ω δE

r '

( E ) d ' ( E ' ) vn ( , E ' , | t ) dE

' + s ( t )

n

π f

4 π

4 o

∆Aδs∆t δΩ

δ ∆t,

Dividendo per E sommando e sottraendo a sinistra il termine

+ ∆ Ω , Ω , | ) − ( , Ω

, | )

r

n(

r v t E t n E t , semplificando e riarrangiando, si ottiene:

t

+ ∆ Ω , Ω

, | + ∆ ) − ( + ∆ Ω , Ω

, | ) + ∆ Ω

, Ω

, | ) − ( , Ω

, | )

r r

n(

r v t E t t n v t E t n( r v t E t n E t

+ v

∆ ∆

t v t

2


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria energetica
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Ingegneria del nocciolo e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Gandini Augusto.

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