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u 8

8 T A

= ⇔ = K

u A T

π

2

ρ π n D

D >> ⇒ η ≅

C 1 2 C

In queste condizioni, il coefficiente e la potenza assorbita

T i T

vale: C

T V T

= ≅

A

P T V

A

η 2

i

C

Sostituendo l’espressione di si perviene alla relazione:

T T T = 2

ρ

P A 0

2

Il valore vale per un propulsore ideale, nei casi reali esso è molto più piccolo e il

valore effettivo assunto è un parametro nei riguardi della capacità di spinta dell’elica in

prossimità del funzionamento al punto fisso.

Il rendimento dell’elica isolata vale: K

J

η = T

0 π

2 K Q η

Nella figura si confrontano i valori assunti da relativi all’elica B-Wageningen

0

η C

B4.70, P/D=0.7 e quelli di in funzione di .

T

i

In generale, le differenze tra i due rendimenti si mantengono costanti su un ampio

intervallo di variabilità del carico; i valori dipendono dalle perdite di energia dovute alla

rotazione dell’elica e alla viscosità del fluido, dal numero e dalla forma delle pale, dalla

distribuzione del carico su di esse, tutti fattori non considerati nella teoria esaminata.

9

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre, 2006 η η = ÷

0

.

70 0

.

75

Ad avanzi non nulli, valori di sono indicativi di un’elica ben

0 i η η ≅ ÷

0

.

55 060

progettata; in prossimità del punto fisso si può assumere in genere .

0 i

1 Elica Wageningen B4.85 - P/D = 0,75

0.8

0.6 η i

η 0

0.4

0.2 C T

0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

1

Nella successiva figura sono riportati i valori del rendimento di diversi tipi di

C

propulsori in funzione del coefficiente di carico di spinta (ivi indicato con )

Th

suddiviso anche in campi di valori caratteristici per tipologia di nave.

1 Breslin J. P., Andrsen P., “Hydrodynamics of Ship Propellers”, Cambridge University Press, 1994

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S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre, 2006

Per analizzare le condizioni di funzionamento di un’elica, può essere utile disegnare i

triangoli di velocità.

Per analizzare le condizioni di funzionamento di un’elica, può essere utile disegnare i

triangoli di velocità.

Si consideri la sezione cilindrica di pala al raggio r; sia P il suo passo geometrico e c la

π

2 r

lunghezza della corda. Si disegni il triangolo rettangolo avente cateti pari a P e a ;

l’ipotenusa è l’arco completo di elica cilindrica di raggio r e passo P, sviluppato nel

piano. Ad essa appartiene, per un tratto di lunghezza c, la corda della sezione,

usualmente riportata sul triangolo.

Se i due cateti sono moltiplicati per il numero di giri n dell’elica, il triangolo geometrico

π

nP 2 r n

è la velocità assiale, è la

diventa un particolare triangolo di velocità, dove

velocità periferica e l’ipotenusa è la velocità complessiva del fluido che investe la pala.

nP

Nel moto relativo è la velocità assiale della corrente uniforme; considerando anche

la rotazione dell’elica resta definita la velocità complessiva tra il fluido e la sezione di

( ) ( )

2 2

= + π

V n P 2 r n

pala , detta velocità relativa apparente.

RA

φ

L’angolo , definito dalla relazione: P

ϕ =

tan π

2 r

è l’angolo del passo geometrico.

n P

La quantità è anche l’avanzo unitario con il quale una vite di passo P si sposta nella

V n P ; in tal caso, resta definita per l’elica

sua madrevite. In generale, la velocità A

n P V

una velocità di regresso pari a ; il rapporto.

A −

n P V

A

=

s R n P

è detto regresso reale. 11

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre, 2006

Nel triangolo di velocità si ha che:

V

β β = =

A

− : tan D 2 R

L’angolo è l’angolo di avanzo, in quanto, detto il

π

2 r n =

x r R

diametro dell’elica e posto , si può scrivere:

V J

β = =

A

tan π π

2 r n x

α

− V , positivo

, compreso tra le direzioni della corda e della velocità

L’angolo RA

a α

nel senso orario rispetto alla linea della corda; è l’angolo di incidenza

a

apparente; V

Se si considerano i risultati della teoria impulsiva, alla velocità di avanzo va

A

u 2

aggiunta ad ogni raggio l’incremento e nel triangolo di velocità corretto restano

A

definiti: +

V u 2

A A

β β =

− : tan

L’angolo del passo idrodinamico ,;

i i π

2 r n

( ) ( )

2 2

= + + π

− V V u 2 2 r n ;

La velocità relativa effettiva RE A A

α

− V ,

L’angolo , compreso tra le direzioni della corda e della velocità detto

RA

i

angolo di incidenza indotta;

α

− V , positivo

L’angolo , compreso tra le direzioni della corda e della velocità RE

e α

nel senso orario rispetto alla linea della corda; è detto angolo di incidenza

a

effettiva. 12

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre, 2006

I valori assunti dalle grandezze su menzionate, possono dare utili informazioni sulle

prestazioni della sezione di pala in termini di spinta e coppia.

Nell'estensione della teoria impulsiva si considerano anche le componenti tangenziali

ω

delle velocità indotte. Il fluido ruota con l’elica alla velocità , che si suppone

T

constante nella scia a valle , nulla altrove. Pertanto le velocità tangenziali sono nulle a

− +

= ω

u r

A A

monte dei disco e su , pari ad nella scia e su . Al disco si assume il

T T

0 0

u / 2

valore , media aritmetica dei valori presenti sulle due facce. Nell'ipotesi di

T

trascurabilità della contrazione della scia e piccoli incrementi di velocità sussiste anche

2

la relazione :

2 Per maggiori dettagli consultare: Pistolesi E., “Aerodinamica”, Unione Tipografico – Editrice Torinese, Torino 1935; Breslin J.

P., Andrsen P., “Hydrodynamics of Ship Propellers”, Cambridge University Press, 1994

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S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre, 2006 u T

Ω −

r

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

u u u 2

A T A

+ = Ω − ⇔ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

u V u r

A A T u

2 2 u

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A

+

T V

A 2 u / 2

Da essa consegue che r l'incremento complessivo di velocità al disco , di

N

u / 2 u / 2

e , deve essere riportato nel triangolo di velocità normalmente

componenti A T V

alla velocità relativa effettiva (vedi figura).

RE ⎛ ⎞

u

= π ρ + A

⎜ ⎟

dm 2 r V dr

La spinta e la coppia elementare, considerando la massa ,

A 2

⎝ ⎠

valgono rispettivamente

⎧ ⎞

⎛ u

= = π ρ + A ⎟

dT u dm 2 r V u dr

⎪ A A A

2 ⎠

⎪ ⎛ ⎞

u

⎪ = = = π ρ +

2 A

⎜ ⎟

dQ r d F r u dm 2 r V u dr

T A T

⎪ 2

⎝ ⎠

Nel tempo unitario i lavori elementari utile e motore valgono rispettivamente:

⎛ ⎞

u

= = π ρ + A

⎜ ⎟

d L V dT 2 r V u V dr

U A A A A

2

⎝ ⎠ ⎞

⎛ u

= Ω = = π ρ + Ω

2 A

⎜ ⎟

d L dQ r u dm 2 r V u dr

M T A T

2

⎝ ⎠

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S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre, 2006

Ne consegue il rendimento ideale dato da: u

Ω − T

r

d L V 2

η = = ⋅ = η η

U A

i Ai Pi

u Ω

d L r

+ A

V

M A 2 η è il rendimento ideale assiale,

Esso si compone di due termini dei quali il primo Ai η

già ricavato nella teoria impulsiva semplice; il secondo , dovuto agli incrementi

Pi

tangenziali, è il rendimento ideale periferico che, essendo minore dell'unità e fattore di

η , determina una diminuzione complessiva del rendimento.

Ai

L’energia persa nel tempo unitario vale: ⎡ ⎤

u u

= − = π ρ Ω −

A T

d L d L d L 2 r u r V dr

⎢ ⎥

P M U T A

2 2

⎣ ⎦

Integrando la precedente relazione su tutto il disco si ottiene l'energia complessiva persa

L nel tempo unitario. Per date condizioni di funzionamento e spinta richieste, è

P

possibile trovare la distribuzione radiale degli incrementi di velocità che rendono

L . In particolare si ottiene il verificarsi di detta condizione quando risulta:

minima P ⎧ u

u = β = β

2

N

A cos v cos

⎪ N

2 2

u

∀ = = β ⇒

N

r v cos t . : v cos ⎨

N N

2 ⎪ u

u

⎪ = β = β β

N

T sen v cos sen

N

⎩ 2 2

15

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre, 2006 16

S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre, 2006 u / 2

In tal modo l'incremento totale di velocità al disco risulta essere la componente,

N

V v

(vedi figura), di una velocità assiale

ortogonale alla velocità relativa apparente RA N

costante per tutte le sezioni. β β

Scrivendo l'espressione del rendimento ideale in funzione degli angoli e e

i

supponendo che nel caso di piccoli incrementi di velocità sia lecito confondere le

direzioni AP e AP’ nel triangolo di velocità, si ottiene:

β V V

tan r

η = ≅ ⋅ =

A A

i β Ω + +

tan r V v V v

i A N A N

Ne consegue che il rendimento è costante su tutto il raggio e coincide con quello

dell'intera elica. 17

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Napoli, Ottobre, 2006

3. TEORIA DELL'ELEMENTO DI PALA

La spinta sviluppata e la coppia assorbita da una data elica si ritengono date dalla

somma delle azioni che si esercitano su singole porzioni elementari di pala, considerate

dr

elementi alari tra loro indipendenti. Uno di essi avrà corda c, apertura infinitesima ,

=

d A c dr C C

sicché la superficie portante , e rispettivi coefficienti e di portanza e

L D

resistenza. Dall'esame della figura, considerando i contributi di tutte le Z pale, si ottiene:

⎧ 1

( ) ( )

= β − ε β = ρ β − ε β

2

dT Z dL cos sen Z c V C cos sen dr

⎪ i i RE L i i

2

⎪ 1 ( )

( )

⎪ = = β + ε β = ρ β + ε β

2

dQ r dF Z Z r dL sen cos Z r c V C sen cos

i i RE L i i

⎩ 2

C 1

dD 1

ε = = = ρ = ρ

2 2

D ; dL c V C dr ; dD c V C dr ;

dove : RE L RE D

dL C 2 2

L 18

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Napoli, Ottobre, 2006


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AUTORE

Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria navale
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Architettura Navale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Miranda Salvatore.

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