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S. MIRANDA, Appunti di Architettura Navale, Dipartimento di Ingegneria Navale

Napoli, Ottobre, 2006

2. L’ELICA CILINDRICA ϑ

Nel riferimento cartesiano Oxyz, dette x, r, le coordinate cilindriche del generico

Λ

P

punto dello spazio e una costante reale positiva, la curva di equazioni

parametriche: ϑ

⎧ =

x P

⎪ π

2

⎪ = ϑ

⎨ y r cos

⎪ = ϑ

⎪ z r sen

⎩ P

è detta elica cilindrica di raggio r e passo . + =

Λ 2 2 2

y z r

La curva appartiene al cilindro C(x, r) di equazione . La stessa

Λ nel piano OXY.

equazione rappresenta la proiezione di

ϑ = π ϑ = π +

∈Λ

2 n 2 ( n 1

)

P ( n P , r , 0

)

Per , il punto ha coordinate ; per , il punto

n

( )

∈Λ −

P nP , r , 0 P P

ha coordinate . Ne segue che il vettore è parallelo all’asse

+

n+1 n 1 n

P . Alla medesima conclusione si perviene purché le anomalie relative a

X e ha modulo Λ

due generici punti di differiscano di 2π . Ne segue, in generale, che i punti di due

Λ

successive intersezioni della curva con una generica generatrice del cilindro C(x, r)

,

P

distano della quantità costante detta passo dell'elica cilindrica.

Λ Λ

X(ϑ)

Si associ alla curva la funzione vettoriale , detta parametrizzazione di , tale

che: ϑ ∈ ℜ → ϑ

X ( ) P

ϑ = ϑ + ϑ + ϑ = ϑ + ϑ + ϑ

X i j k i j k

( ) x ( ) y ( ) z ( ) r cos r sen

π

2

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Napoli, Ottobre, 2006 Λ

t

Il versore della tangente a è il vettore:

• ϑ π ⎛ ⎞

X ( ) 2 P

= = − ϑ + ϑ

⎜ ⎟

t i j k

r sen r cos

π

( )

• ⎝ ⎠

2

+ π 2

2

P 2 r

ϑ

X ( )

t

Si osservi che ha componente costante sull'asse x; ne segue che le direzioni orientate

α

t

di X e di formano un angolo costante tale che:

P

α =

cos ( )

+ π 2

2

P 2 r

Λ ϑ

l

La lunghezza dell'arco s di corrispondente alla variazione 2π di vale:

S ϑ + π

2

∫ • ( )

= ϑ ϑ = + π 2

2

X

l ( ) d P 2 r

S ϑ

La stessa formula definisce un triangolo rettangolo la cui ipotenusa ha lunghezza pari a

l P

e cateti uguali al passo e alla circonferenza di raggio r. Esso è dunque definito

S

dallo sviluppo in piano di una sezione di altezza P del cilindro C(x, r). Gli angoli del

α ϕ,

triangolo sono e il suo complementare compresi tra la l'ipotenusa e i cateti di

ϕ

lunghezza P e 2π r rispettivamente. L'angolo è detto angolo del passo geometrico di

Λ. Λ

La curvatura k(ϑ) di è la quantità: • •

ϑ × ϑ

X X

( ) ( ) ϕ

2

cos

=

ϑ =

k ( ) • r

ϑ

X ( )

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Ne segue che il raggio di curvatura di è ovunque costante è pari a

ϑ = ϕ

2

1 k ( ) r cos .

Λ

La proiezione di nel piano OXZ è la sinusoide di ampiezza r e lunghezza P di

equazione: X

= π

z r sen 2 P

Λ nel piano OXY è la cosinusoide di ampiezza r e

Analogamente la proiezione di

lunghezza P di equazione: X

= π

y r sen 2 P

Da un punto di vista cinematico, l'elica cilindrica è anche la traiettoria descritta da un

punto animato di moto elicoidale uniforme, vale a dire del moto composto di un moto

= ω

ω i

circolare uniforme nel piano OYZ di velocità angolare , raggio r e centro O e di

=

V i

V

un moto rettilineo uniforme lungo l’asse X di velocità .

( )

ϑ = ω

t t

Posto , le equazioni cartesiane del moto sono:

=

⎧ x V t

⎪ = ω

⎨ y r cos t

⎪ = ω

⎩ z r sen t

Esse, confrontate con quelle dell’elica cilindrica, mostrano che la traiettoria descritta dal

punto è l’elica cilindrica di raggio r e passo pari a:

V

= = π

P V T 2 ω

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Napoli, Ottobre, 2006 P

α x

O

θ r

y z Elica cilindrica di raggio r e passo P C

α P

ϕ π

2 r

A B

( )

= π +

2 2

AC 2 r P

Sviluppo dell’elica cilindrica di raggio r e passo P

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r x

O ϕ

r ϕ π

tan = P/(2 r)

π

P/2

z

P r o ie z io n e d e ll’ e lic a c ilin d r ic a d i r a g g io r e p a s s o P n e l p ia n o x z

y P r x

O ϕ

P r o ie z io n e d e ll’ e lic a c ilin d r ic a d i r a g g io r e p a s s o P n e l p ia n o x y

z r y

O P r o ie z io n e

d e ll’ e lic a c ilin d r ic a d i r a g g io r e p a s s o P n e l p ia n o yz

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Napoli, Ottobre, 2006

3. LA GEOMETRIA DEI PROFILI ALARI

Le sezioni di pala sono particolari profili alari o profili portanti, opportunamente

disposti sulle superfici laterali dei cilindri che le hanno generate.

Si consideri una generica sezione di pala e si sviluppi nel piano il cilindro che la

contiene. La sezione è, come detto, un profilo portante, vale a dire una figura allungata,

ad asse generalmente curvilineo, detto linea media (mean line), con forma generalmente

tondeggiante nella parte investita dal fluido, affilata nella parte posteriore di uscita,

teoricamente di spessore nullo.

Gli estremi della linea media individuano il bordo (o lembo) di attacco o di entrata

L.E.: T.E.:

(leading edge ) nella parte tonda della sezione, il bordo (o lembo) di uscita

(trailing edge), in quella affilata.

L.E. T.E.

I punti e dividono il contorno del profilo in due parti: ventre o faccia (face),

formata dai punti situati dalla parte concava della linea media, e dorso (back), formato

dai punti disposti dalla parte convessa.

Con riferimento alle normali condizioni fluidodinamiche di funzionamento di un

profilo, il dorso è anche la parte di esso sottoposta ad una pressione media inferiore a

quella presente sulla faccia.

Si distinguono tre tipi di profili alari: concavo-convesso, piano-convesso, biconvesso.

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In un profilo si definiscono:

• bitangente: la retta passante per il bordo di uscita e tangente al ventre del profilo;

essa coincide con il ventre se il profilo è piano-convesso, non esiste se il profilo e

biconvesso;

• linea della corda (chord line): usualmente è la retta passante per gli estremi della

linea media; è anche detta retta naso-coda (nose-tail line);

• corda [c] (chord) : è la lunghezza del segmento intercettato sulla linea della corda

dalla linea media. Spesso è anche definita come il segmento intercettato sulla

bitangente dalle proiezioni ortogonali dei punti estremi del profilo;

spessore (thickness) [t] : è lo spessore del profilo misurato lungo la normale alla linea

media.

Fissato un sistema di riferimento in cui l'origine coincide con il bordo d'entrata, l'asse

delle ascisse con la linea della corda e l'asse delle ordinate è verticale, conoscendo la

linea media e la distribuzione degli spessori si possono individuare le coordinate dei

punti del profilo mediante le seguenti formule:

= − ψ ψ

= +

x x y sen( ) x x y sen( )

U c t L c t

= + ψ = − ψ

y y y cos( ) y y y cos( )

U c t L c t

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Napoli, Ottobre, 2006 ψ

avendo denotato con l'angolo tra la tangente alla linea media e una parallela alla linea

della corda.

A volte invece gli spessori sono calcolati lungo la normale alla linea della corda. In tal

caso il calcolo delle coordinate dei punti del profilo è immediato.

(Fig. 7 - Coordinate dei punti sul profilo alare)

• freccia (camber) [f] : la distanza dei punti della linea media dalla corda; per tale

motivo la linea media viene anche detta linea delle frecce (camber line)

• grossezza del profilo (thickness ratio) [t/c] : rapporto tra lo spessore massimo, di

solito indicato con t, e la corda;

• inarcamento del profilo (camber ratio) [f/c] : rapporto tra la freccia massima, di

solito indicata con f, della linea media e la corda.

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4. LA GEOMETRIA DELLE SEZIONI DI PALA

Di seguito si elencano alcuni punti o caratteristiche delle sezioni di pala.

Sezione di radice (root section):

Parte della pala adiacente al mozzo. La curva di raccordo tra superficie della pala e

mozzo viene detta "fillet".

(reference point):

Punto di riferimento

Punto medio della linea della corda. Viene anche definito, specialmente quando gli

spessori sono riferiti alla linea della corda, come punto della linea della corda in

corrispondenza del quale si ottiene il massimo spessore.

Passo (pitch) [P]: π φ

Il passo P di una sezione di pala al raggio r è uguale a P = 2 r tgφ dove è l'angolo

(detto "angolo di passo (pitch angle)") tra un piano normale all'asse di rotazione

dell'elica ed una retta caratteristica del profilo individuato dalla sezione. Tale retta può

essere:

- la linea della corda;

- la tangente in un punto al ventre;

- la retta lungo la cui direzione, il flusso incidente produce un lift risultante nullo;

- la retta lungo la cui direzione il flusso incidente incontra la pala;

corrispondentemente si parlerà di:

- passo geometrico (geometric pitch) o, semplicemente, passo;

- passo della faccia (face pitch);

- passo di zero lift (effective o 'no-lift' pitch);

- passo idrodinamico (hydrodynamic pitch);

Si noti che il passo della faccia non è univocamente determinato in quanto dipende dal

punto in cui viene calcolato mentre il passo idrodinamico non è una caratteristica

geometrica dell'elica. 12

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Napoli, Ottobre, 2006 (Fig. 9 - I diversi tipi di passo)

Rapporto passo/diametro (pitch ratio):

Rapporto tra il passo ed il diametro dell'elica: P/D. Il rapporto del passo è, di solito,

funzione del raggio r ma viene usualmente calcolato considerando il passo alla sezione

0.7 o 0.75 del raggio dell'elica. (pitch helix):

Tratto di elica di passo al raggio r

Tratto di elica cilindrica formata dalla linea della corda del profilo individuato dalla

sezione di pala al raggio r sul cilindro che ha generato la stessa sezione.

• punto di riferimento del profilo o della sezione il punto medio della corda o il punto

di essa in corrispondenza del quale lo spessore del profilo è massimo

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5. LA GEOMETRIA DELLA PALA

Si consideri adesso nuovamente la pala dell'elica. Si definisce:

Orlo (o contorno)

La curva che unisce i bordi d'entrata e quelli d'uscita delle sezioni della pala.

Linea di riferimento dell'elica (propeller reference line):

Retta normale all'asse di rotazione che passa per il punto di riferimento della sezione di

radice. Anche detta "direttrice". In una terminologia oramai antiquata, le 'direttrici'

indicavano invece le spire.

Spindle axis:

Asse lungo cui ruota la pala di un'elica a passo controllabile per ottenere una variazione

del passo. Per eliche che non sono a passo controllabile coincide con la linea di

riferimento dell'elica.

(generator line):

Generatrice

Luogo dei punti intersezione del piano definito dall'asse X e dalla direttrice (ossia del

piano XZ) con il prolungamento delle eliche di passo ottenute al variare del raggio r. A

volte la generatrice viene anche detta "stacking line" ma tale termine è stato usato anche

per indicare la direttrice. Quindi quando si incontra la parola "stacking line" è bene

porre attenzione al suo significato specialmente nei casi in cui direttrice e generatrice

non coincidono. (hub diameter):

Diametro del mozzo

Diametro del mozzo nel punto in cui questo interseca la generatrice.

Rapporto diametro/mozzo (hub ratio):

Rapporto tra il diametro del mozzo e quello dell'elica.

Linea di riferimento della pala (blade reference line):

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AUTORE

Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Architettura Navale del Prof. Salvatore Miranda, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: geometria dell'elica navale; l'elica colindrica; geometria dei profili alari; geometria delle sezioni di pala; geometria della pala; calcolo delle coordinate dei punti dell'elica; caratteristiche geometriche dell'elica; cenni sul disegno dell'elica.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria navale
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Architettura Navale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Miranda Salvatore.

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