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296 Circuiti in evoluzione dinamica

In questo capitolo si vogliono studiare i fenomeni transitori ‘nel dominio del

tempo’, la cui rigorosa definizione andrà costruendosi man mano che le conoscenze

cresceranno. Non è facile dare una definizione rigorosa, e forse non è neppure

utile, ma viene detto ‘transitorio’ ogni fenomeno di passaggio da un regime ad un

altro: in questo testo, la maggior parte dei problemi riguarda transizioni da e verso

un regime stazionario o sinusoidale.

Come accennato, i transitori nei circuiti elettrici sono spesso dovuti alla

‘commutazione’, cioè alla azione di apertura o chiusura di interruttori, ed il loro

studio permette di mettere in evidenza le eventuali sovratensioni e sovracorrenti

che si instaurano nei diversi bipoli della rete e che possono superare anche di decine

di volte le corrispondenti ampiezze permanenti. Il buon progetto di un circuito

elettrico, dunque, non può prescindere da una chiara comprensione delle dinamiche

transitorie, il cui studio consente, tra l’altro, di capire quali modifiche subiscano i

segnali prodotti da amplificatori, filtri oppure altri dispositivi elettrici ed

elettronici, rispetto a quelli di ingresso.

L’obiettivo formativo è insegnare come si risolvano i transitori delle reti lineari,

del primo e del secondo ordine, con forzamento costante o sinusoidale nel tempo.

Un cenno verrà fatto, alla fine del capitolo, ai transitori in presenza di elementi non

lineari, laddove l’efficacia del simulatore Spice appare del tutto evidente.

I tipi principali di funzionamento in condizioni variabili nel tempo sono quattro e

possono essere così indicati:

• regime periodico sinusoidale, anche detto corrente alternata, in gergo;

• regimi periodici non sinusoidali;

• funzionamento transitorio;

• funzionamento in condizioni dinamiche generali.

Ciascuno di questi termini richiede, naturalmente, opportune ed approfondite

definizioni e spiegazioni, che saranno date di volta in volta nei capitoli seguenti. Per

il momento, basti pensare che il regime sinusoidale è fondamentale dal punto di

vista pratico, poiché esso corrisponde alle condizioni di funzionamento normale

della maggior parte dei dispositivi elettrici, sia a livello domestico che industriale.

Inoltre, anche dal punto di vista concettuale, il regime sinusoidale è essenziale,

poiché costituisce la base per analizzare anche i regimi periodici non sinusoidali.

Vanno sotto il nome di transitorie quelle condizioni di funzionamento, solitamente

di durata limitata, in cui un circuito si trova quando passa da una condizione di

regime all’altra, dello stesso tipo o di tipo diverso. Infine, tipiche del

funzionamento dei dispositivi elettronici sono le condizioni in cui ciascuna

grandezza varia nel tempo in maniera non prevedibile ‘a priori’, ma dipendente

297 Circuiti in evoluzione dinamica

dalle informazioni che si vogliono comunicare: si pensi alla radio, alla TV, ai

telefoni, agli elaboratori elettronici, e così via.

Nel prossimo capitolo verrà affrontato lo studio del regime sinusoidale, mentre i

paragrafi che seguono saranno dedicati ai transitori ed al funzionamento in

condizioni dinamiche generali. Come già accennato in precedenza, il regime

sinusoidale, data la sua notevole importanza pratica, verrà studiato in dettaglio,

perché è essenziale imparare a ‘sbrigarsela bene’ con i circuiti in corrente alternata.

Sarà importante, quindi, padroneggiare tutti quei ‘trucchi’ algebrici che consentono

di risolvere ‘a mano’ questo tipo di circuiti. Spice servirà, comunque: non fosse

altro che per controllare la correttezza dei risultati ottenuti ‘a mano’.

Teoria dei circuiti in regime dinamico qualsiasi

• Protagonisti: - bipoli, doppi bipoli ed altri componenti;

- grandezze fondamentali [corrente (A), tensione (V)];

- grandezze derivate [potenza (W) ed energia elettrica (J o Wh)].

• Leggi generali: LKC e LKT, valide in ogni istante.

• Caratteristiche statiche o dinamiche: descrivono il comportamento elettrico di

ciascun componente.

Prima di entrare nel vivo, però, si vuole sottolineare ancora una volta che risolvere

un circuito in condizioni di funzionamento comunque variabili nel tempo significa

pur sempre dover risolvere un sistema di 2r equazioni in altrettante incognite:

queste incognite, però, a differenza del regime stazionario, non sono più semplici

numeri, bensì funzioni del tempo. Se è vero, quindi, che il passaggio dal regime

stazionario al funzionamento variabile nel tempo non richiede concettualmente

grandi cambiamenti nella formulazione del problema della risoluzione dei circuiti,

occorre dire pure con la massima chiarezza che i calcoli da fare per risolvere un

circuito si complicano non poco, poiché si tratterà di affrontare la soluzione di

equazioni di tipo nuovo: le cosiddette equazioni differenziali. Nella realtà, queste

equazioni sono state studiate a fondo, a partire del secolo XVII dai soliti Newton e

Leibnitz, e sono state sviluppate poi nei secoli successivi da schiere di illustri

matematici che hanno spiegato come fare a risolverle, fornendo spesso abili

‘trucchi’ per risparmiare fatica.

In questo testo, però, tutto ciò interessa relativamente poco, poiché lo scopo

principale non è quello di imparare tecniche e trucchi matematici, ma di risolvere

298 Circuiti in evoluzione dinamica

circuiti. Si cercherà, pertanto, di risparmiare fatica il più possibile, ricorrendo di

tanto in tanto a Spice, che funziona egregiamente anche in condizioni variabili nel

tempo. Prima, però, di utilizzarlo, vale la pena perseguire alcune tappe intermedie:

• dare, con un semplice esempio, un’idea delle difficoltà connesse con la soluzione

di un’equazione differenziale, non fosse altro che per capire almeno le difficoltà che

Spice consentirà di scansare;

• distinguere i diversi possibili tipi di funzionamento in condizioni variabili nel

tempo, con lo scopo di capire bene quali siano i casi in cui davvero non potremo

fare altro che ricorrere a Spice, da quelli in cui, invece, come vedremo subito,

potremo disporre di un semplice ‘trucco matematico’, inventato, o meglio,

riscoperto alla fine del secolo XIX, che consentirà di ottenere la soluzione dei

circuiti in regime sinusoidale.

Per questi motivi è possibile esaminare in maniera quantitativa, soltanto semplici

circuiti che richiedono la soluzione di equazioni differenziali abbastanza agevoli.

Poi, verranno classificati i diversi tipi possibili di funzionamento in condizioni

variabili nel tempo, distinguendo quelli per i quali il ‘trucco matematico’ dei fasori

funziona e consente di risolvere i circuiti ‘a mano’, da quelli in cui, invece, non si

ha altra scelta se non ... usare correttamente Spice.

7.1 Evoluzione libera

Si consideri il circuito mostrato in Figura 7.2, in cui un condensatore carico viene

collegato, per mezzo di un interruttore, ad un resistore, in un certo istante di tempo

che, per comodità, viene assunto quale istante iniziale t = 0.

a b

+ t = 0

v (t) C R

C − i(t)

Figura 7.2: scarica di un condensatore.

299 Circuiti in evoluzione dinamica

L’indicazione apposta sull’interruttore indica proprio che esso mette in

collegamento elettrico il condensatore con il resistore all’istante t = 0, istante

iniziale di osservazione del fenomeno.

Ciò che si può intuitivamente immaginare è che il valore della tensione iniziale ai

capi del condensatore v (0) = V tradisce la presenza di un’energia elettrica

C 0

immagazzinata che, in qualche modo, con la chiusura dell’interruttore, determinerà

la circolazione di una corrente. Questa corrente i(t) interessa anche il resistore e,

pertanto, parte dell’energia inizialmente accumulata nel condensatore viene, poco

per volta, trasformata in calore nel resistore. L’energia, assorbita dal circuito (ed

ovviamente usata per alcuni scopi come, ad esempio, il riscaldamento), determina

una variazione temporale delle grandezze che descrivono il circuito, cioè la tensione

ai capi del condensatore e la corrente che circola nei due bipoli, variazione che si

vuole studiare e, se possibile, determinare in maniera analitica.

Per raggiungere questo scopo, quando l’interruttore è definitivamente commutato

dalla posizione ‘a’ alla posizione ‘b’, cioè in un qualunque istante t > 0, si scriva la

LKT all’unica maglia del circuito

v - R i = 0 .

C 1

+

v (t) C R

C − i(t) 0

Figura 7.3: rappresentazione del circuito a commutazione avvenuta.

Per non appesantire la notazione adoperata, quando non si potranno generare

confusioni, l’indicazione della dipendenza dal tempo verrà omessa: in tal modo, è

preferibile scrivere v in luogo della più completa v (t).

C C

Ora, essendo la relazione che collega la tensione e la corrente ai capi del

condensatore, per il quale è stata fatta la convenzione del generatore, pari a

dv C

i = - C ,

dt

sostituendo nella precedente LKT, è possibile ottenere l’equazione differenziale che

regola la tensione

300 Circuiti in evoluzione dinamica

dv C

v + RC = 0 .

C dt

Questa equazione differenziale definisce le ‘dinamiche’ della tensione, cioè stabilisce

come questa grandezza debba variare nel tempo e, prima di risolverla, conviene

leggere l’appendice alla fine di questo capitolo.

Tornando all’equazione differenziale, per risolverla, essendo un’equazione

omogenea, è necessario considerare l’equazione caratteristica

λ → λ

1 1

+ = 0 = - .

RC RC

La soluzione di questa equazione algebrica consente di scrivere l’integrale generale

dell’equazione differenziale nella forma

t

v (t) = K exp - ,

C RC

dove K è una costante di integrazione, la cui determinazione si effettua per mezzo

della condizione iniziale

v (0) = V ,

C 0

cioè conoscendo l’energia che inizialmente si trovava immagazzinata nel

condensatore, che è pari a

1 1 2

2

U (0) = C v (0) = C V .

C 0

C

2 2

Imponendo questa condizione iniziale, risulta immediatamente

t

v (t) = V exp - .

C 0 RC

Si è allora giunti alla soluzione del problema: la tensione ai capi del condensatore

tende esponenzialmente ad annullarsi al crescere del tempo, nel senso che, se la

tensione iniziale è positiva, essa decresce da questo valore fino a zero, mentre, se la

tensione iniziale è negativa, cresce fino a zero, come mostra la Figura 7.4.

301 Circuiti in evoluzione dinamica

Inoltre, ciò che veramente conta non è tanto il tempo ‘t’, ma la variabile

adimensionale t/(RC). La grandezza RC ha le dimensioni di un tempo e viene,

pertanto, detta costante di tempo del circuito. Se si pone

τ = RC , τ,

è ragionevole affermare che, dopo un tempo pari a 10 la funzione esponenziale è

praticamente nulla e l’evoluzione del circuito si può ritenere conclusa.

v (t)

C

5

4

3

2

1 V = 4

0 t

0 RC

-1 V = - 2

0

-2

-3 -2 0 2 4 6 8 10

Figura 7.4: andamento temporale della tensione ai capi del condensatore.

In altri termini, se si aspetta un intervallo di tempo pari ad una diecina di costanti di

tempo, si può affermare che il condensatore si è completamente scaricato,

rilasciando alla restante parte del circuito cui è collegato, nel nostro esempio un

resistore, interamente l’energia che inizialmente possedeva. È ben noto che, a

rigore, bisognerebbe attendere un intervallo di tempo infinito; tuttavia, nella pratica

circuitale, la costante di tempo è un parametro caratteristico legato al tempo

impiegato dal circuito ad estinguere le condizioni transitorie.

Una volta che sia nota la tensione, si può dire che la corrente vale

dv V V

t t

C 0 0

i = - C = C exp - = exp - ,

τ τ τ

dt R

da cui discende che l’energia complessivamente assorbita dal resistore è pari a

302 Circuiti in evoluzione dinamica

∞ ∞

2 2 τ

V V

∞) 2t 1

2 2

0 0

U (0, = R i (t) dt = R exp - dt = = C V ,

τ

R 0

2 R 2 2

R

0 0

coincidente proprio con l’energia inizialmente immagazzinata nel condensatore.

Prima di chiudere questo paragrafo, viene codificata con Spice la rete appena

studiata, nel caso particolare (Figura 7.3)

R = 5 , C = 2 mF , V = 2 .

0

Esempio 1

*Scarica del condensatore

C0 1 0 2m IC=2

R0 1 0 5

.TRAN 1m 100 UIC

.PROBE

.END

L’istruzione Spice per individuare il condensatore di capacità 2 mF, connesso tra i

nodi 1 e 0, inizialmente carico alla tensione di 2 volt, è

C0 2 0 2m IC=2 ,

in cui C0 è il nome scelto. La prima lettera del nome deve essere sempre una C.

Similmente, per un induttore di induttanza 2 mH, connesso tra i nodi 1 e 0 ed

inizialmente carico alla corrente di 1 ampere, la sintassi è

L0 1 0 2m IC=1 ,

in cui il nome scelto è L0. Si noti che per individuare un induttore la prima lettera

è sempre una L.

Il comando ‘.TRAN’ nella sua versione più completa è

.TRAN TSTEP TSTOP TSTART TMAX UIC

in cui TSTEP è il passo con cui vengono visualizzati i dati calcolati, TSTOP

l’istante di arresto in cui va terminato il calcolo, TSTART è l’istante iniziale che, se

303 Circuiti in evoluzione dinamica

non esplicitamente indicato, viene assunto pari a zero, TMAX è il più grande passo

di elaborazione dei risultati che, se non indicato, è assunto pari a TSTEP, UIC

impone al simulatore di usare le condizioni iniziali riportate nel file (Utilize Initial

Conditions). Nel caso in esame è stato scelto

TSEP = 1 ms , TSTOP = 100 ms ,

pari, rispettivamente, ad un decimo e dieci volte il valore della costante di tempo.

La penultima riga contiene il comando ‘.PROBE’ che richiede a Spice di creare, in

uscita, un nuovo file, individuato con l’estensione ‘.DAT’, che contiene tutti i dati

delle elaborazioni effettuate. Questo nuovo file può essere letto dal post-processore

grafico PROBE, in grado di produrre grafici di alta qualità sulla base dei dati

forniti. Solo un po’ di pratica aiuterà a rendersi conto di quanto sia più ... semplice

usare questo processore grafico, piuttosto che descrivere come si adoperi.

In definitiva, come si è potuto constatare, l’analisi di una rete che lavori in

condizioni dinamiche non è molto più complicata di quella di una rete che operi in

regime stazionario, ovviamente dal punto di vista di Spice; basta ricordare il

comando ‘.TRAN’ ed imparare ad usare il post-processore PROBE.

Per controllare di aver ben compreso le cose dette, è possibile studiare la scarica di

un induttore, considerando il circuito mostrato in Figura 7.5.

1 t = 0

L R

i(t) 0

Figura 7.5: scarica di un induttore.

Si troverà che la corrente, per t 0, vale

t

i(t) = I exp - ,

τ

0

in cui la costante di tempo è

304 Circuiti in evoluzione dinamica

τ L

= .

R

Una possibile codifica Spice viene, qui di seguito, riportata, nel caso particolare

R = 2 , L = 2 mH , I = 1 .

0

Esempio 2

*Scarica dell’induttore

L0 1 0 2m IC=1

R0 1 0 2

.TRAN 0.1m 10m UIC

.PROBE

.END i(t)

1

0.8

0.6

0.4

0.2 t (ms)

0 0 2 4 6 8 10 12

Figura 7.6: andamento temporale della corrente durante la scarica.

7.2 Evoluzione forzata

Nel paragrafo precedente è stato mostrato che un condensatore ed un induttore,

quando sono carichi e vengono collegati ad un resistore, non si scaricano

immediatamente, ma seguono una legge di scarica di tipo esponenziale, rilasciando

gradualmente nel tempo l’energia inizialmente immagazzinata in essi In questo

305 Circuiti in evoluzione dinamica

paragrafo, invece, si vuole studiare come si possa ottenere la carica di un bipolo a

memoria, come ad esempio un induttore, inizialmente scarico.

• Il problema delle condizioni iniziali

Prima di continuare lo studio dei transitori nei circuiti elettrici, è necessario

sviluppare alcune considerazioni sulle condizioni iniziali: in particolare, è utile

considerare le eventuali discontinuità nella tensione o nella corrente dei bipoli a

memoria, al fine di imporre le giuste condizioni iniziali.

Per iniziare, si prenda in esame il caso di un induttore. Mentre per la tensione v(t)

ai suoi capi, quale che sia la convenzione fatta, non si può escludere qualche

discontinuità, per la corrente i(t) non è possibile accettare discontinuità. È evidente

che quanto appena detto esclude il caso di un induttore collegato direttamente ad un

generatore di tensione, dato che, in questa assai particolare situazione circuitale, ai

capi dell’induttore è possibile forzare qualsiasi tensione. Considerando, infatti,

l’energia immagazzinata nell’induttore

1 2

U (t) = L i (t) ,

L 2

segue che ad una discontinuità nella corrente corrisponderebbe una discontinuità

nell’energia, vale a dire una potenza illimitata. F (t)

2

F (t)

1 t

0

Figura 7.7: due funzioni, una più ripida, l’altra meno ripida attorno all’origine.

306 Circuiti in evoluzione dinamica

È utile a tal fine ricordare che la potenza elettrica è niente altro che la derivata

dell’energia e, pertanto, se la funzione da derivare è discontinua, la derivata diventa

illimitata. Questo ultimo punto merita qualche ulteriore commento.

Dato che un disegno vale più di mille parole, si tenterà di mostrare graficamente

ciò che si sta dicendo. La Figura 7.7 mostra due funzioni del tempo, una più

pendente (tratteggiata) dell’altra (a tratto continuo) attorno all’origine. Di queste

due funzioni se ne è determinato la derivata, che è mostrata nella Figura 7.8.

derivata di F (t)

2

derivata di F (t)

1 t

0

Figura 7.8: la funzione più ripida mostra una derivata più grande.

Ebbene, come è evidente osservando questa figura, la funzione più ripida presenta

una derivata più alta in prossimità dell’origine.

Portando al limite questo ragionamento, si può dire che se la funzione presenta un

salto in un certo istante, allora la sua derivata diventerà tanto più grande, quanto

più la variazione della funzione è brusca. Ciò era esattamente quanto detto a

proposito della potenza e dell’energia: l’energia non può essere discontinua, dato

che ciò comporterebbe una potenza illimitata nell’istante di salto.

Detto ciò, è chiaro che, non potendo essere discontinua l’energia in un induttore, la

corrente non può presentare brusche variazioni e deve variare con continuità.

Se si esamina il caso di un condensatore, con ragionamenti del tutto analoghi a

quelli fatti per il caso dell’induttore, partendo dall’energia immagazzinata

1 2

U (t) = C v (t) ,

C 2 −

307 Circuiti in evoluzione dinamica

pur di sostituire la tensione alla corrente, si ottiene l’impossibilità di ammettere

discontinuità nella tensione ai capi del condensatore.

Riassumendo quanto detto ed immaginando che la manovra dell’interruttore

avvenga all’istante generico t = t , si può parlare del valore che la generica

0

variabile assume in un istante immediatamente precedente ed immediatamente

susseguente la manovra dell’interruttore. Ebbene, se si considera la corrente in un

induttore o la tensione su un condensatore, dette variabili di stato, questi due

valori, prima e dopo la commutazione, devono coincidere, non potendo presentare

salti bruschi oppure altre discontinuità. In base a queste considerazioni sulle

discontinuità è possibile ricavare le condizioni iniziali necessarie a risolvere le

equazioni differenziali che descrivono la dinamica di una rete, come si mostrerà

nella rimanente parte di questo capitolo. In generale, si considera il regime

precedente la commutazione dell’interruttore che dà inizio al transitorio e si

calcolano i valori delle correnti negli induttori e delle tensioni sui condensatori.

Dopo aver manovrato l’interruttore le correnti negli induttori e le tensioni sui

condensatori rimangono inalterate e costituiscono quindi le condizioni di raccordo a

cavallo della commutazione.

Nel seguito verranno esaminati alcuni esempi di transitori nelle reti elettriche, per

rendere più concrete le considerazioni fatte.

• Soluzione analitica

Si ritorni al semplice esempio accennato in precedenza, schematizzato, nella sua

condizione iniziale di funzionamento, in Figura 7.9.

R

t = 0 − −

+ + +

v (t) v (t)

I R

+ v (t)

E L L

− −

i(t) = 0

Figura 7.9: circuito con interruttore aperto.

Esso è costituito, come si vede, da un generatore indipendente di tensione di f.e.m.

E costante nel tempo, collegato in serie, attraverso l’interruttore ideale, ad un

resistore di resistenza R e, quindi, ad un induttore ideale di induttanza L. Nelle

condizioni iniziali, cui la Figura 7.9 si riferisce, l’interruttore è aperto, e

l’induttore è supposto scarico, privo cioè di energia immagazzinata: ciò implica che

308 Circuiti in evoluzione dinamica

nell’induttore, in queste condizioni, non circola alcuna corrente. La soluzione del

circuito in queste condizioni è molto semplice e può essere ottenuta applicando,

come sempre, le LK. Dopo aver compiuto le operazioni di rito (e avere quindi

introdotto le diverse grandezze del circuito), si applichi subito la LKC, la quale dice

semplicemente che esiste un’unica corrente che percorre tutti gli elementi del

circuito, poiché essi sono in serie fra loro; aggiungendo, poi, che l’interruttore

ideale è in posizione ‘aperto’, ed equivale quindi a un circuito aperto, il valore di

questa corrente non può che essere zero. Si conclude, pertanto, che, nelle condizioni

indicate, l’intero circuito non è percorso da corrente.

Per quel che riguarda, poi, le tensioni, la LKT, applicata all’unica maglia esistente,

è rappresentata dalla seguente equazione, nella quale non è difficile inserire la

caratteristica del generatore,

E = v + v + v .

I R L

La caratteristica del resistore e dell’induttore richiedono che, essendo costantemente

nulla la corrente per t < 0, anche le rispettive tensioni lo siano. Dunque, fino a

quando l’interruttore è aperto, la LKT si riduce in realtà alle seguenti semplici

condizioni:

v = 0 , v = 0 , v = E .

L I

R

Ciò significa che tutta la tensione del generatore di tensione si ritrova applicata ai

morsetti aperti dell’interruttore ideale e che questa situazione può continuare per

tempo indeterminato, fino a quando l’interruttore non verrà chiuso.

Si assuma allora che ad un certo istante, che per comodità verrà indicato con t = 0,

si faccia scattare il cronometro e venga bruscamente chiuso l’interruttore.

R

v (t) = 0

I − −

+ + +

v (t)

R

+ v (t)

E L L

− −

i(t)

Figura 7.10: l’interruttore è chiuso.

309 Circuiti in evoluzione dinamica

Per comprendere cosa succede, è utile cominciare a rappresentare il circuito nella

sua ‘nuova’ condizione, mostrata in Figura 7.10. Questa volta, come si vede,

l’interruttore è in posizione ‘chiuso’ ed equivale dunque a un cortocircuito; ne

deriva che la tensione applicata ai suoi morsetti non può che essere nulla. Inoltre,

essendo l’interruttore chiuso, una corrente diversa da zero può ora circolare

nell’intero circuito. Rispetto alla situazione precedente, è cambiato, per la verità,

quasi tutto ed è necessario determinare la condizione di funzionamento del circuito

dall’istante t = 0 in poi, vale a dire per t 0.

Scrivendo tutte le equazioni che governano il funzionamento del circuito, vale a

dire le LK e le caratteristiche dei bipoli, la LKC stabilisce semplicemente, come già

più volte sottolineato, che la stessa corrente i, da determinare istante per istante,

circola in tutti i bipoli, poiché questi sono in serie fra loro. La LKT, applicata

all’unica maglia esistente, è rappresentata ora, cioè per t 0, dalla seguente

equazione (si noti l’assenza del termine v , che è ora nullo)

I

E = v + v .

R L

Non resta, a questo punto, che aggiungere le caratteristiche del resistore e

dell’induttore di

v = R i , v = L ,

R L dt

e sostituirle nella relazione precedente, in modo da ricondursi ad un’unica

equazione differenziale nella sola corrente

di

E = R i + L .

dt

Si è giunti così al punto centrale dell’intera questione: risolvere questa equazione

differenziale, con la condizione iniziale

i(0) = 0 .

Questa condizione iniziale è stata ricavata secondo le seguenti considerazioni: prima

della commutazione dell’interruttore la corrente era nulla; dopo la commutazione la

corrente seguirà le dinamiche imposta dall’equazione differenziale; nell’istante della

commutazione, tuttavia, la corrente deve mantenersi continua e, pertanto,

- +

i(0 ) = i(0 ) = 0 .

310 Circuiti in evoluzione dinamica

Il limite destro e sinistro sono uguali nell’istante della commutazione

dell’interruttore ed allora la corrente dell’induttore è continua.

La soluzione dell’equazione omogenea, come suggerisce l’appendice di questo

capitolo, è R

i (t) = K exp - t ,

0 L

mentre, essendo il forzamento costante, vale la pena cercare l’integrale particolare

come una funzione costante

i (t) = costante .

p

Sostituendo nell’equazione differenziale, risulta immediatamente che

E

i (t) = .

p R

In definitiva, l’integrale generale è pari a

R E

i(t) = i (t) + i (t) = K exp - t + ,

0 p L R

mentre la costante di integrazione si determina imponendo la condizione iniziale

E E

i(0) = 0 = K + K = - .

R R

La soluzione del nostro problema, in definitiva, vale

E R

i(t) = 1 - exp - t ,

R L

il cui andamento temporale, detto transitorio di carica dell’induttore, è mostrato in

Figura 7.11. Le ascisse di questa figura riportano il tempo normalizzato alla

costante di tempo del circuito; le ordinate rappresentano la corrente rapportata al

valore dell’integrale particolare.

Per sapere quali saranno i valori di tensioni e correnti in una rete elettrica quando

il transitorio sia terminato, supponendo di utilizzare generatori stazionari, vale la

pena ricordare che induttori e condensatori si possono sostituire con dei

cortocircuiti e dei circuiti aperti, rispettivamente. La corrente che percorre il

circuito in esame è, dunque, di nuovo costante e vale −

311 Circuiti in evoluzione dinamica

E

i(t) = , dopo un tempo sufficientemente lungo.

R

È ovvio che ‘a regime’ un induttore può essere percorso da una corrente, ma non

presenta una tensione ai suoi capi; dualmente, un condensatore può essere sottoposto

a tensione, ma non è percorso da corrente.

R i(t)

E

1

0.8 τ L

=

0.6 R

0.4

0.2 t

τ

0 0 2 4 6 8 10

Figura 7.11: andamento temporale della corrente.

Per comprendere sino in fondo quanto si sta tentando di dire, si riconsideri la

Figura 7.11. Essa mostra che la corrente raggiunge il valore asintotico in un tempo

pari a circa 6 costanti di tempo: allora, se il valore della costante di tempo è

piccolo, il circuito raggiunge la nuova situazione stazionaria in poco tempo,

altrimenti, cioè per costanti di tempo elevate, ci vuole più tempo a raggiungere il

valore finale.

• Soluzione numerica

Si tenti, ora, di capire come sia possibile risolvere un’equazione differenziale in

maniera non rigorosa, ma almeno approssimata, che è poi proprio quello che fa

Spice (almeno concettualmente). Il trucco è semplice ed è fatto di tanti ‘passi’

successivi e venne estensivamente adoperato da Eulero per la soluzione numerica

delle equazioni differenziali che regolano il moto dei pianeti e, per questo motivo,

porta il suo nome, essendo conosciuto come metodo di Eulero (diretto).

312 Circuiti in evoluzione dinamica

Per rendere le cose più concrete, si scelga E = 100, R = 10, L = 2; sostituendo

questi valori numerici, l’equazione differenziale diventa

di(t)

100 = 10 i(t) + 2 ,

dt

la quale deve essere verificata in ogni istante successivo alla commutazione

dell’interruttore, cioè per t > 0.

Il primo passo da fare è ricavare il termine contenente la derivata della funzione

incognita i(t) dall’equazione, riscrivendo l’equazione differenziale nella forma

di(t) = 50 - 10 i(t) .

dt

Il secondo passo è ricavare il valore della derivata prima della corrente all’istante

+

t = 0 , sapendo che, per ipotesi, la corrente è nulla, all’istante iniziale

+

di(0 ) = 50 - 10 i(0) = 50 .

dt

Il terzo passo richiede di ricordare che la derivata di una qualsiasi funzione può

essere calcolata, almeno in modo approssimato, utilizzando il rapporto incrementale

di(t ) i(t ) - i(t )

1 2 1 ,

dt t - t

2 1

purché i due istanti di tempo t e t siano abbastanza vicini l’uno all’altro: quanto

1 2

più lo sono, tanto più preciso è il valore che si ottiene per la derivata. Notate che

non si è usato il simbolo di uguaglianza ma quello (≅) di approssimativamente

uguale. Questa espressione può allora essere riscritta in modo da poter calcolare il

valore di i(t ), quando si sia già calcolato il valore della derivata all’istante t :

2 1

di(t )

≅ 1

i(t ) i(t ) + (t - t ) = i(t ) + 50 - 10 i(t ) (t - t ) .

2 1 2 1 1 1 2 1

dt

Questa espressione è la vera formula ‘magica’ che fornisce la soluzione

approssimata dell’equazione differenziale, a patto di ripetere i passi illustrati.

Si inizi ad applicare il metodo al nostro esempio, partendo con

t = 0 e t = 0.001 ,

1 2 −

313 Circuiti in evoluzione dinamica

continuando, poi, con

t = 0.001 e t = 0.002 ,

1 2

e così via. Si ottiene, allora, utilizzando una semplice calcolatrice per fare i conti,

che, per t = 0 e t = 0.001, risulta

1 2

i(0.001) i(0) + 50 - 10 i(0) (0.001 - 0) = 0.05 .

Ripetendo per t = 0.001 e t = 0.002, è possibile determinare i(0.002)

1 2

i(0.002) i(0.001) + 50 - 10 i(0.001) (0.002 - 0.001) = 0.09975 .

A questo punto, il metodo per andare avanti ‘passo dopo passo’ nella soluzione

dell’equazione dovrebbe essere chiaro. È possibile controllare che, per questo

esempio, si ottengono i valori riassunti nella tabella che segue.

t i(t)

0 0

0.001 0.05000000000000

0.002 0.09975000000000

0.003 0.14925125000000

0.004 0.19850499375000

0.005 0.24751246878125

0.006 0.29627490643734

Riportare in una tabella tutti i dati calcolati sarebbe troppo lungo; conviene

organizzare i dati in un grafico. Allora, se si ripete il calcolo per molti altri punti,

si giunge alla soluzione riportata in Figura 7.12.

La soluzione che si ottiene non è quella matematica, rigorosa, ma è comunque

sufficiente per molti scopi pratici. D’altra parte, la cosa importante è che, con

questo metodo, se si vuole migliorare l’approssimazione con cui si desidera la

soluzione, basta avvicinare gli istanti in cui campioniamo la soluzione.

Vale la pena ricordare che l’equazione differenziale che si sta esaminando, una volta

stabilito che i(0) = 0, ammette la soluzione analitica

-5t

i(t) = 10 1 - e , per t 0 .

314 Circuiti in evoluzione dinamica

i(t)

12

10

8

6

4

2 t

0 0 1 2 3 4 5

Figura 7.12: andamento temporale della corrente.

Si noti come questa soluzione sia uguale a zero all’istante t = 0 ed al tempo stesso si

controlli con cura che il grafico riportato in Figura 7.12 sia corrispondente proprio

alla soluzione mostrata.

• Codifica Spice R

1 2

+ +

v (t)

R

+ t > 0

v (t)

E L L

− −

i(t)

0 Figura 7.13: carica del circuito RL.

Come al solito, si comincia a numerare i tre nodi della rete, ridisegnata in Figura

7.13 per t > 0, dopo che l’interruttore ha chiuso la maglia e, pertanto, il generatore

eroga la tensione continua E. Il listato che segue può essere utilizzato per simulare

la rete. −

315 Circuiti in evoluzione dinamica

Esempio 3

*Carica del circuito RL

VE 1 0 100

R0 1 2 10

L0 2 0 2 IC=0

.TRAN 0.02 2 UIC

.PROBE

.END

La terza, la quarta e la quinta riga introducono, rispettivamente il generatore di

tensione, il resistore e l’induttore. La quinta, in particolare,

L0 2 0 2 IC=0 ,

che descrive l’induttore, posto tra i nodi 2 e 0, di valore 2 henry, è completata con

l’indicazione ‘IC=0’; essa sottolinea il fatto che l’induttore, quando l’interruttore

commuta, non è attraversato da corrente e, quindi, la condizione iniziale di

funzionamento (Initial Condition, in inglese) è nulla. Se l’induttore, all’istante

iniziale, fosse stato interessato da una corrente di 2 mA, si sarebbe dovuto porre

‘IC=2m’.

La sesta riga avverte il simulatore che è nostra intenzione eseguire un’analisi

dinamica della rete, chiedendo di risolvere il transitorio con un passo di 0.02

secondi e fino a 2 secondi. Questo passo è stato scelto basandoci sul valore della

costante di tempo pari a

τ L 2

= = = 0.2 .

R 10

Un semplice criterio che consenta all’elaboratore di non svolgere troppi calcoli e, al

tempo stesso, di fornire risultati attendibili, è di scegliere il passo utile per la

soluzione pari a un decimo della costante di tempo. È evidente che quanto più

piccolo viene scelto questo passo, tanto più accurata è la soluzione; tuttavia un passo

eccessivamente piccolo potrebbe rappresentare una scelta troppo onerosa da portare

avanti in un tempo breve: un buon compromesso è quello che è stato indicato

precedentemente.

Prima di concludere questo paragrafo, vale la pena risolvere il circuito di Figura

7.14, in cui l’interruttore si chiude all’istante t = 0.

316 Circuiti in evoluzione dinamica

R t = 0 i (t)

L

+

E L R

− i(t)

Figura 7.14: altro circuito del primo ordine.

Supponendo la rete a riposo prima della commutazione dell’interruttore, si troverà

come andamento per la corrente nell’induttore

∀ ≥

E -t/τ

i (t) = 1 - e , t 0 ,

L R τ

con la costante di tempo pari a = 2L/R.

Infine, risulta evidente che quanto detto per la carica di un induttore possa adattarsi

altrettanto bene alla carica di un condensatore, nel qual caso la variabile di stato è

rappresentata dalla tensione ai capi del condensatore.

7.3 Risposta al gradino del circuito RLC

Continuando nello studio dei transitori, è interessante considerare esempi più

complicati. In particolare, vale la pena esaminare il circuito RLC forzato con un

generatore di tensione a gradino, rappresentato in Figura 7.15, un esempio

interessante per molte applicazioni.

v (t)

R −

1 2

+ + e(t) = E u(t)

+ R

e(t) E

L v (t)

L

− C − 0 t

− +

0 3

i(t)

v (t)

C

Figura 7.15: circuito RLC forzato con un gradino di tensione.

317 Circuiti in evoluzione dinamica

La funzione di Heaviside, detta anche gradino unitario, è definita come

1 , per t > 0 ,

u(t) = 0 , per t < 0 ,

non essendo assegnato il suo valore in zero. Ora, adoperando questa funzione, non è

difficile scrivere che il generatore di tensione impone una tensione pari a

E , per t > 0 ,

e(t) = E u(t) = 0 , per t < 0 .

Dato che la rete è a riposo per t < 0, si assume che sia la corrente dell’induttore i(t),

sia la tensione sul condensatore v (t) siano nulle; le due condizioni iniziali sono,

C

quindi,

i(0) = 0 , v (0) = 0 .

C

Si passa, poi, a scrivere l’equazione differenziale che regola la tensione ai capi del

condensatore; ragionamenti analoghi, tuttavia, potrebbero farsi per la corrente

nell’induttore. Applicando la LKT alla maglia, per t > 0, risulta

- E + v (t) + v (t) + v (t) = 0 .

R L C

È interessante notare che, invece della funzione e(t), si è sostituito già il valore che

questa tensione assume dopo la commutazione, vale a dire E. Inoltre, essendo la

corrente legata alla tensione sul condensatore dalla relazione

dv (t)

C

i(t) = C ,

dt

utilizzando le caratteristiche dei diversi bipoli, è possibile scrivere

2

dv (t) di(t) d v (t)

C C

v (t) = R i(t) = RC , v (t) = L = LC .

R L 2

dt dt dt

Sostituendo nella LKT, risulta

2

d v (t) dv (t)

C C

LC + RC + v (t) = E ,

C

2 dt

dt

318 Circuiti in evoluzione dinamica

che si può anche scrivere nella forma equivalente

2 v (t)

d R d E

C

v (t) + v (t) + = .

C C

2 L dt LC LC

dt

Questa equazione differenziale, che descrive la dinamica della tensione ai capi del

condensatore per t > 0, è di secondo ordine, come era prevedibile, vista la presenza

nel circuito di due elementi a memoria, il condensatore e l’induttore. Prima di

risolverla, tuttavia, bisogna determinare le condizioni iniziali che rendono possibile

il calcolo delle costanti di integrazione. È già noto che le due variabili di stato sono

nulle per t = 0; a ciò si aggiunga che, poiché, come si è già avuto modo di dire,

dv (t)

C

i(t) = C ,

dt

deve anche essere + +

dv (0 ) dv (0 )

+ C C

i(0 ) = 0 = C = 0 .

dt dt

Pertanto, il problema di Cauchy da risolvere è

2

d v (t) dv (t) v (t)

R E

C C C

+ + = ,

2 L dt LC LC

dt +

dv (0 )

C

v (0) = 0 , = 0 .

C dt

L’integrale particolare, essendo il forzamento costante, può essere senza dubbio

cercato tra le funzioni costanti, per cui

v (t) = E .

Cp

D’altra parte, a transitorio estinto, è evidente che tutta la tensione fornita dal

generatore si ritrovi ai capi del condensatore, che, a regime, si comporta proprio

come un circuito aperto.

Per la determinazione, invece, dell’integrale generale dell’equazione omogenea, è

necessario risolvere l’equazione di secondo grado

λ λ

R 1

2 + + = 0 ,

L LC −

319 Circuiti in evoluzione dinamica

che può avere due soluzioni reali oppure complesse a seconda che

2 2

R 4 R 4

- 0 , oppure - < 0 .

L LC L LC

Si distinguano questi due casi, cominciando dal primo, e, per rendere le cose più

concrete, verranno utilizzati i seguenti valori numerici per i diversi parametri:

R = 4 , L = 1 mH , C = 1/3 mF , E = 2 .

In questo caso, l’equazione caratteristica

λ ⋅ λ ⋅

2 3 6

+ 4 10 + 3 10 = 0

ammette le due radici reali e distinte

λ λ

= - 1000 e = - 3000 .

1 2

Pertanto, l’integrale generale vale

-1000t -3000t

v (t) = 2 + K e + K e ,

C 1 2

laddove le due costanti di integrazione, per soddisfare le condizioni iniziali, devono

verificare il sistema

K + K = - 2 ,

1 2

K + 3 K = 0 .

1 2

Da ciò discende che la tensione ai capi del condensatore vale

-1000t -3000t

v (t) = 2 - 3 e + e .

C

È possibile controllare il risultato analitico ottenuto, simulando con Spice il

circuito.

Esempio 4

*Circuito RLC (caso non oscillante)

R0 1 2 4

L0 2 3 1m IC=0

320 Circuiti in evoluzione dinamica

C0 3 0 333u IC=0

VE 1 0 2

.TRAN 5u 6m UIC

.PROBE

.END

Il risultato della simulazione è riportato in Figura 7.16. Vale la pena notare subito

due cose: la scala dei tempi è in millisecondi e la tensione si avvicina, al crescere del

tempo, in maniera monotona al valore di regime di 2 volt. Inoltre, si osservi il

flesso a tangente orizzontale presente nell’origine dei tempi; esso discende dalle

condizioni iniziali imposte. Come viene indicato nella stessa figura, questo è un

comportamento tipico ogni qual volta si verifica la disuguaglianza

L

R > 2 .

C

Si provi a ritrovare quanto detto nel caso R = 2 L/C, che non presenta alcuna

difficoltà aggiuntiva rispetto a quanto finora detto: ciò che interessa sottolineare è

che, per alcuni valori dei parametri della rete, l’andamento della tensione può

essere non oscillante.

2

1.5 v (t)

C L

1 R > 2 C

0.5 i(t) t (ms)

0 0 1 2 3 4 5 6

Figura 7.16: andamento temporale della tensione sul condensatore.

Si consideri, poi, il secondo caso R < 2 L/C, scegliendo i valori

321 Circuiti in evoluzione dinamica

R = 4 , L = 1 mH , C = 1/20 mF , E = 2 ,

in cui si è, rispetto al caso precedente, semplicemente ridotto il valore della

capacità, lasciando inalterati gli altri parametri. L’equazione caratteristica ammette

le due soluzioni complesse e coniugate

λ λ

= - 2000 + 4000 j e = - 2000 - 4000 j .

1 2

Pertanto, l’integrale generale, una volta imposte le condizioni iniziali, sarà pari a

1

-2000t

v (t) = 2 - 2 e cos(4000t) + sen(4000t) .

C 2

L’andamento della tensione può diventare oscillante, come mostrato in Figura 7.17,

essendo descritto da una funzione che, mentre oscilla attorno al valore di 2 volt, si

smorza ‘su esso’ sempre più al crescere del tempo. Si noti pure come,

nell’intervallo (0 ÷ 3) ms, la tensione sul condensatore superi il valore di 2 volt,

valore che assumerà quando il transitorio sarà concluso: proprio queste oscillazioni,

superando i valori attesi di regime, creano quelle sovratensioni (un discorso

analogo vale, comunque, per le correnti) che durante il transitorio, provocato dalla

chiusura o dalla apertura di un interruttore, possono danneggiare alcuni componenti

del circuito, mostrando l’importanza dello studio delle reti in regime dinamico.

2.5

2 v (t)

C

1.5

1 L

0.5 R < 2 .

C

i(t) t (ms)

0

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figura 7.17: andamento temporale oscillante della tensione sul condensatore.

322 Circuiti in evoluzione dinamica

Esempio 5

*Circuito RLC (caso oscillante)

R0 1 2 4

L0 2 3 1m IC=0

C0 3 0 0.05m IC=0

VE 1 0 2

.TRAN 5u 3m UIC

.PROBE

.END

È importante ricordare che, a differenza del caso precedente, se si è per

R < 2 L/C, le grandezze del circuito tendono ai valori di regime in maniera

oscillante.

Infine, per continuare a riflettere su queste cose, si tenti di a risolvere il circuito

RLC parallelo, in cui, questa volta, il circuito si suppone forzato a un generatore di

corrente ed i tre bipoli passivi, resistore, induttore e condensatore, sono posti in

parallelo. Ebbene, discutendo con cura i vari casi, è possibile giungere a delle

conclusioni molto simili alle precedenti.

7.4 Altri esempi

Dopo aver studiato l’esempio ‘canonico’ del circuito RLC, allo scopo di meglio

mettere a fuoco le tecniche, per i circuiti del primo e del secondo ordine, si

riportano altri esempi, discutendo i quali verranno introdotti anche altri tipi di

generatori simulabili con Spice.

• Circuito del primo ordine

Si inizi con la rete mostrata in Figura 7.18, supposta a riposo per t < 0, e si voglia

determinare la tensione v (t) ai capi dell’induttore, orientata secondo la

L

convenzione standard. Si assuma R = 1, L = 1 mH, T = 4 ms, I = 2.

j(t)

j(t) i (t) R

R I

R L 0 T t

i (t)

L −

323 Circuiti in evoluzione dinamica

Figura 7.18: circuito forzato con un gradino non istantaneo.

Partendo dalla rappresentazione della corrente del generatore, i dati che è possibile

desumere dalla forma d’onda assegnata consentono di rappresentarla nella forma

analitica 0 , per t < 0 ,

I

j(t) = t , per 0 t < T ,

T ≥

I , per t T .

Inoltre, dato che la rete è a riposo per t < 0, si può assumere che la variabile che

descrive lo stato della rete, cioè la corrente che passa attraverso l’induttore, parta

da una condizione iniziale nulla, vale a dire

i (0) = 0 .

L

Pur avendo ben presente il fatto che si richiede la tensione ai capi dell’induttore, si

è deciso di determinare prima la corrente; poi, per mezzo della relazione costitutiva

del bipolo, si potrà ottenere la tensione. Pertanto, per t > 0, prima o dopo l’istante

T, la rete può essere descritta dal seguente modello matematico:

j = i + i ,

L R

di L

L + R i = R i .

L R

dt

Eliminando dal precedente sistema la corrente i (t), non è difficile arrivare

R

all’unica equazione differenziale nella corrente i (t)

L

j

di i

L L

+ = ,

τ

dt 2τ

τ µs

laddove = L/(2R) = 500 rappresenta la costante di tempo del circuito. La

soluzione dell’omogenea, che non dipende dal forzamento, vale

-t/τ

i (t) = K e

L

324 Circuiti in evoluzione dinamica

e va aggiunto ad essa un integrale particolare che dipende dall’intervallo temporale

che si sta considerando, cioè se si è prima o dopo l’istante T. In tal modo il

problema di Cauchy relativo al primo intervallo può scriversi come

di i I t

L L

+ = (0 < t < T) ,

τ τ

dt 2T

i (0) = 0 .

L

Volendo trovare un integrale particolare di questo problema, essendo il forzamento

un polinomio di primo grado in t, è opportuno cercare tra le funzioni

i (t) = A t + B .

Lp

Sostituendo nell’equazione differenziale, bisogna imporre che

A t + B I t

A + = .

τ τ

2T

Ora, invocando il principio di identità dei polinomi, risulta

τ Iτ

B B = - A = - ,

A + = 0 ,

τ 2T

→ I

I A = .

A = , 2T

2T

Riassumendo, nel primo tratto deve essere

I t Iτ Iτ t

i (t) = - = - 1 ,

τ

Lp 2 T 2T 2T

ovvero l’integrale generale

Iτ t

-t/τ

i (t) =K e + - 1 .

τ

L 2T

Imponendo la condizione iniziale di nullo della corrente, si ha che

Iτ t

-t/τ

i (t) = e + - 1 ,

τ

L 2T

cui corrisponde la tensione −

325 Circuiti in evoluzione dinamica

LI 1

-t/τ -t/τ

v (t) = 1 - e = 1 - e .

L 2T 4 ≥

Nell’intervallo successivo t T, il problema di Cauchy diventa:

di i I

L L

+ = (t > T) ,

τ

dt 2τ

Iτ T

-T/τ

i (T) = e + - 1 .

τ

L 2T

Il nuovo integrale particolare, essendo cambiato il forzamento della rete, è questa

volta più semplice dato che si può cercare tra le funzioni costanti

i (t) = D .

Lp

La costante D si trova imponendo che l’integrale particolare sia soluzione della

nostra equazione differenziale e, pertanto, deve valere

I

D = .

2

L’integrale generale assumerà pertanto la forma funzionale

I

-t/τ

i (t) = K e + ,

L 2

in cui la nuova costante di integrazione K va trovata imponendo la continuità della

corrente nell’istante T, ovvero

I I

-T/τ T/τ

i (T) = K e + K = i (T) - e .

L L

2 2

Riassumendo, il nuovo tratto di soluzione è

I I

-(t-T)/τ

i (t) = i (T) - e + , per t T ,

L L 2 2

che comporta una tensione pari a -T/τ

L I LI 1 - e

-(t-T)/τ -T/τ -(t-T)/τ -(t-T)/τ

v (t) = - i (T) e = 1 - e e = e , per t > T .

τ

L L

2 2T 4

In definitiva, posto

326 Circuiti in evoluzione dinamica

LI 1

v = = ,

0 2T 4

la tensione ai capi dell’induttore risulta pari a

0 , per t < 0 ,

v (t) ≤

L = -t/τ

1 - e , per 0 t < T ,

v 0 ≥

-T/τ -(t-T)/τ

1 - e e , per t T ,

e la Figura 7.19 la mostra in ogni suo tratto.

A ben guardare sembra proprio un’onda quadra; il circuito assegnato è in grado di

trasformare la forma d’onda della corrente in ingresso in una che tende a diventare

sempre più ‘discontinua’ negli istante 0 e T. In tal modo, la tensione ai capi

dell’induttore approssima un’onda quadra. È evidente che per realizzare ciò deve

τ

accadere che la costante di tempo del circuito sia sufficientemente minore

dell’intervallo T. v (t)

L

v 0

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2 t/τ

0 0 5 10 15 20 25 30 35 40

Figura 7.19: andamento temporale della tensione ai capi dell’induttore.

• Circuito del secondo ordine

Si passi, ora, alla rete mostrata in Figura 7.20, supposta a riposo per t < 0. Si vuole

determinare l’andamento della tensione ai capi del condensatore. Si assuma

j(t) = J u(t), J = 2 mA, R = 2, L = 1 mH, C = 1 mF. −

327 Circuiti in evoluzione dinamica

R

i (t)

L

j(t) + v (t)

L C C

Figura 7.20: circuito del secondo ordine.

La prima cosa da fare è cominciare a costruire il modello matematico della rete

assegnata applicando le LK

dv C

i + C = j [equazione al nodo] ,

L dt

di dv

L C

L = RC + v [equazione alla maglia] .

C

dt dt

Ricavando dalla prima equazione la corrente dell’induttore e sostituendo nella

seconda, si ottiene l’equazione differenziale del secondo ordine

2 dj

d v dv v

R 1

C C C

+ + = = 0 .

2 L dt LC C dt

dt

Per stabilire il carattere della soluzione omogenea, è sufficiente studiare l’equazione

caratteristica

R 1

λ λ

2 + + = 0 ,

L LC

la quale, essendo

2

∆ R 4 6 6

= - = 4 10 - 4 10 = 0 ,

L LC

avrà due radici reali e coincidenti pari a

328 Circuiti in evoluzione dinamica

R 1

λ = - = - ,

1,2 τ

2L

τ

laddove con = 1 ms si è indicato la costante di tempo del circuito. Pertanto la più

generale soluzione dell’equazione omogenea è del tipo

-t/τ

v (t) = K + K t e .

C0 1 2

La nostra rete, alimentata dal generatore

j(t) = J u(t) ,

è a riposo per t < 0; allora deve essere

- + - +

v (0 ) = v (0 ) = 0 , i (0 ) = i (0 ) = 0 ,

C C L L

per la continuità delle variabili di stato. Dal sistema di equazioni (LK), si ottiene

+ + +

dv (0 ) j(0 ) - i (0 ) J

C L

= = = 2 .

dt C C

Riassumendo, il problema di Cauchy che bisogna risolvere per determinare la

risposta al gradino è

2

d v dv v

R

C C C

+ + = 0 (t > 0) ,

2 L dt LC

dt +

dv (0 ) J

C

v (0) = 0 , = .

C dt C

Disponendo già della soluzione dell’equazione omogenea (che coincide con la

soluzione generale per), bisogna determinare soltanto le due costanti di

integrazione. Imponendo le due condizioni iniziali, si può scrivere il semplice

sistema J

K = 0 , K = ,

1 2 C

che implica la soluzione

J -t/τ -t/τ

v (t) = t e u(t) = 2 t e u(t) .

C C −

329 Circuiti in evoluzione dinamica

• Forzamento periodico

Si consideri il circuito disegnato in Figura 7.21.

R −

1 2

+ e(t)

+

+ E

e(t) v (t)

C C

− − t

0 T 2T 3T

0 i(t)

Figura 7.21: circuito RC con forzamento a onda quadra.

Si tratta di un circuito RC forzato con una tensione a forma di ‘onda quadra’, un

tipo di generatore molto diffuso nella pratica tecnica e che, spesso, si avrà modo di

incontrare nel prosieguo degli studi. Per t < 0, la tensione è nulla; per t > 0, la

tensione è rappresentata da una funzione che si ripete periodicamente assumendo il

valore ‘E’ nell’intervallo 0 < t < T, il valore ‘0’ nell’intervallo T < t < 2T, poi di

nuovo ‘E’ nell’intervallo 2T < t < 3T, e così via fino all’infinito.

Il listato che di qui a poco sarà commentato mostra come il circuito si possa

simulare per mezzo di Spice, nel caso in cui il periodo di ripetizione dell’onda

quadra è cinque volte più grande della costante di tempo del circuito, cioè

µF.

T = 10 ms > RC = 2 ms, avendo scelto R = 2 kΩ e C = 1

330 Circuiti in evoluzione dinamica

v (t)

C

3

2.5

2

1.5

1

0.5 t

0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Figura 7.22: carica e scarica periodica in un circuito RC.

Esempio 6

*Circuito RC con forzamento a onda quadra

R0 1 2 2k

C0 2 0 1u

VE 1 0 PULSE(0 2.5 0 1n 1n 10m 20m)

.TRAN 0.1m 100m

.PROBE

.END

La tensione sul condensatore, come mostrato in Figura 7.22, nel primo periodo si

carica, tendendo al valore E = 2.5 che praticamente raggiunge; nel secondo periodo

si scarica ritornando a zero. Questa operazione di carica e scarica si ripete ogni

volta che la tensione del generatore commuta alla tensione ‘E’ e da questa a ‘0’.

L’istruzione nuova è quella che introduce il generatore di tensione

VE 1 0 PULSE(0 2.5 0 1n 1n 10m 20m) ,

in cui, tenendo sottocchio la Figura 7.23, il primo valore dopo la parola chiave

‘PULSE’ è 0 e rappresenta il valore iniziale ‘V1’, 2.5 quello di picco ‘V2’, il terzo

valore impone che ‘TD = 0’; il terzo e quarto campo scelgono, rispettivamente, i

valori di ‘TR = 1n’, il tempo di salita, e di ‘TF = 1n’, il tempo di discesa. Infine,

331 Circuiti in evoluzione dinamica

‘PW = 10m’ rappresenta il tempo in cui la tensione si mantiene costante al valore

V2, e ‘T = 40m’ è il periodo totale.

e(t) PW

V2 TR TF

V1 t

0 TD T

Figura 7.23: impulso periodico.

Si noti che, utilizzando ‘1n’ per il tempo di salita ed ‘1n’ per quello di discesa,

praticamente si ottiene un’onda quadra ‘perfetta’, per i tempi in gioco nell’esempio

in esame.

Esempio 7

*Circuito RC con generatore a onda quadra

R0 1 2 2k

C0 2 0 1u

VE 1 0 PULSE(0 2.5 0 1n 1n 0.4m 0.8m)

.TRAN 0.01m 10m

.PROBE

.END

Nel caso riportato in Figura 7.24, per il quale T = 0.4 ms < RC = 2 ms, in ciascun

periodo la tensione sul condensatore non ‘ha il tempo’ per caricarsi o scaricarsi e,

pertanto, abbozza solo un debole salita verso ‘E’ oppure una incerta discesa verso

‘0’. Il risultato è che l’andamento temporale risulta completamente diverso da

quello mostrato in precedenza e, dopo un certo tempo, la tensione sembra

‘oscillare’, in maniera più o meno lineare, tra due valori intermedi compresi tra ‘0’

ed ‘E’.


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria delle telecomunicazioni
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher maielloanna79 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Teoria dei circuiti e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Assante Dario.

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