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TEOREMA DI GAUSS (24)

Dimostrazione (16)

Φ

Notiamo che il flusso del campo elettrostatico della carica

S1

q attraverso la superficie S è il flusso che volevamo calcolare

1

originariamente Φ è uguale al flusso, attraverso una

Mostriamo adesso che – S3

superficie sferica, del campo elettrostatico generato da q,

quando q si trova al centro della sfera stessa (flusso che

abbiamo già calcolato) Φ Φ

Tale flusso, in conseguenza dell’uguaglianza = – è

S1 S3

Φ del campo elettrostatico della carica q

uguale al il flusso S1

attraverso la superficie S di forma qualsiasi

1

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nnunzio”, Cosimo Del Gratta 2006

D’A

TEOREMA DI GAUSS (25)

Dimostrazione (17)

Φ 2

q/R

E = k

Calcoliamo quindi il flusso e

S3

θ

cos = – 1 perché E E

è ortogonale alla n

superficie della sfera q

ma adesso il vettore

normale ha verso

opposto S

3

Come prima E è

uniforme sulla

superficie della sfera

Φ × 2 2

= – area della sfera E = – 4πR k q/R = – 4πk q

S3 e e

Φ Φ

= – = 4πk q

S1 S3 e

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TEOREMA DI GAUSS (26)

Dimostrazione (18)

• SECONDO RISULTATO PARZIALE:

Abbiamo dimostrato che il flusso del campo

elettrostatico, generato da una carica

elettrica, attraverso una superficie chiusa è

uguale a 4πk q se la carica è interna alla

e

superficie

• OSSERVAZIONE: Questo risultato è una

conseguenza della dipendenza del campo

elettrostatico dall’inverso del quadrato della

distanza dalla carica e della proporzionalità

alla carica elettrica

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TEOREMA DI GAUSS (27)

Dimostrazione (19)

• CONCLUSIONE: Dalla proprietà di additività, il

flusso del campo risultante generato da un numero

qualsiasi di cariche elettriche attraverso una

superficie chiusa è uguale alla somma dei flussi dei

campi di ciascuna carica.

• Dai risultati parziali ottenuti, il contributo di ciascuna

q, se la

carica q al flusso risultante è uguale a 4πk e

carica è interna alla superficie, ed è uguale a zero,

se la carica è esterna alla superficie

• Il flusso risultante sarà quindi la somma di termini

4πk q, uno per ogni carica interna alla superficie,

e

ovvero: Σ

Φ = 4πk q

e e int

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TEOREMA DI GAUSS (28)

Osservazione

• Come abbiamo già osservato, il Teorema di Gauss riflette le

proprietà del campo elettrostatico e cioè:

1) la proporzionalità alla carica elettrica

2) la proporzionalità inversa al quadrato della distanza

• Poiché il campo gravitazionale ha le stesse proprietà

(sostituendo la carica elettrica con la massa) il Teorema di

Gauss deve essere valido anche per il campo gravitazionale

2

(Gm/r ). Infatti, il flusso del campo gravitazionale attraverso

una superficie chiusa è uguale a:

Σ

Φ = 4πG m

g int Σm

dove G è la costante di gravitazione universale e int

rappresenta la somma delle masse interne alla superficie

chiusa

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (1)

• A partire dalla formula del campo

elettrostatico di una carica puntiforme, e

grazie al principio di sovrapposizione,

possiamo calcolare il campo elettrostatico di

un insieme di cariche qualsiasi. In effetti è

sufficiente calcolare la somma vettoriale dei

campi generati dalle diverse cariche

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (2)

• Il Teorema di Gauss permette di calcolare il

campo elettrostatico risultante quando le

cariche elettriche sono distribuite nello spazio

secondo forme geometriche semplici

• Si applica il T. di Gauss ad una superficie

scelta in modo opportuno che permette di

sfruttare le proprietà di simmetria della

distribuzione di cariche elettriche

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (3)

• Nella pratica, poiché la carica elettrica

elementare è molto piccola, si ha a che fare

con un numero molto elevato di cariche. E’

allora utile fare astrazione della natura

corpuscolare della carica e considerarla, dal

punto di vista macroscopico, come un

continuo (è ciò che si fa comunemente con la

massa!)

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (4)

• Definiamo densità di carica elettrica il

ρ ∆q/∆v ∆q

rapporto = dove è la carica

elettrica totale contenuta nell’elemento di

∆v

volume ∆v = volume del cubo

∆q = carica totale

contenuta nel cubo

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (5)

• Se la carica è distribuita su di una superficie,

definiamo la densità superficiale di carica

σ ∆q/∆a ∆q

elettrica il rapporto = dove è la

carica totale contenuta nell’elemento di

∆a

superficie

∆q ∆a

= carica totale = area

contenuta dell’elemento

nell’elemento di superficie

di superficie

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (6)

• Campo elettrostatico generato da una sfera

uniformemente carica

R = raggio della sfera R

Q = carica totale 3

V = volume della sfera = (4/3)πR

ρ 3

= Q / V = 3Q/(4πR )

Calcoliamo il campo elettrostatico

all’esterno e all’interno della sfera

utilizzando il T. di Gauss e la

simmetria sferica della

distribuzione di carica

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (7)

n

Consideriamo una

superficie sferica S, di r

raggio r > R, e il cui

centro coincide con R

quello della

distribuzione di carica

La carica elettrica

totale all’interno della

superficie S è la carica

elettrica totale Q della

sfera

Σq S

= Q

int Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”,

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (8)

E

Il campo elettrostatico

generato da questa

distribuzione è radiale.

Infatti la rotazione

indicata dalla freccia R

lascia invariata la

distribuzione di carica

e quindi deve lasciare

invariato anche il

campo.

Ciò accade solo se il

campo è radiale S

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (9)

Inoltre tutti i punti della E

superficie S sono alla E

stessa distanza dal punto

più vicino della sfera di r r

carica.

Quindi tutti questi punti

sono equivalenti per R

quanto riguarda la

distribuzione di carica.

Possiamo dire che da

ogni punto della

superficie S si “vede”

la stessa distribuzione

di carica. S

Quindi il modulo del campo

è uniforme sulla superficie S

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (10)

Il campo elettrostatico è n

ortogonale alla superficie S E

ed è uniforme in modulo

sulla superficie stessa: r

Φ 2

= 4πr E

e

per il T. di Gauss:

Φ Σq R

= 4πk = 4πk Q

e e int e

quindi:

2

4πr E = 4πk Q

e

da cui: 2

Q/r

E = k

e

Notiamo che è lo stesso

campo che avrebbe

generato una carica S

puntiforme Q posta al

centro della sfera carica

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (11)

Consideriamo una n

superficie sferica S, di

raggio r < R, e il cui centro

coincide con quello della R

distribuzione di carica r

La carica elettrica totale

all’interno della superficie S

ρ(4/3)πr

Σq 3

=

è adesso int

ρ 3

Ma poiché = 3Q/(4πR ) S

Σq 3 3

= 3Q(4/3)πr /(4πR )

int

ovvero

Σq 3 3

= Qr /R

int Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”,

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (12)

Anche in questo caso il campo

elettrostatico è ortogonale alla n

superficie S ed è uniforme in

modulo sulla superficie stessa:

Φ 2

= 4πr E

e

per il T. di Gauss: R

Φ Σq r

3 3

= 4πk = 4πk Qr /R

e e int e

quindi:

2 3 3

4πr E = 4πk Qr /R

e

da cui: S

3

E = k Qr/R

e

Notiamo che all’interno della sfera

carica il modulo del campo

elettrostatico è proporzionale alla

distanza dal centro della sfera

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (13)

Grafico del modulo del campo elettrico

E di una sfera uniformemente carica in

funzione della distanza dal centro

2

k Q/R

e ∝

E r ∝ 2

E 1/r

R r

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (13)

Linee di campo all’esterno della distribuzione sferica

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (14)

• Campo elettrostatico generato da un guscio sferico

uniformemente carico

R = raggio della sfera R

Q = carica totale 2

A = area della sfera = 4πR

σ 2

= Q / A = Q/(4πR )

Calcoliamo il campo elettrostatico

all’esterno e all’interno del guscio

sferico utilizzando il T. di Gauss e

la simmetria sferica della

distribuzione di carica

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (15)

n

Consideriamo una

superficie sferica S, di r

raggio r > R, e il cui

centro coincide con R

quello della

distribuzione di carica

La carica elettrica

totale all’interno della

superficie S è la carica

elettrica totale Q del

guscio sferico

Σq S

= Q

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (16)

Il campo elettrostatico è n

ortogonale alla superficie S E

ed è uniforme in modulo

sulla superficie stessa: r

Φ 2

= 4πr E

e

per il T. di Gauss:

Φ Σq R

= 4πk = 4πk Q

e e int e

quindi:

2

4πr E = 4πk Q

e

da cui: 2

Q/r

E = k

e

Notiamo che è lo stesso

campo che avrebbe

generato una carica S

puntiforme Q posta al

centro del guscio sferico

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (17)

n

Consideriamo una

superficie sferica S, di

raggio r < R, e il cui centro R

coincide con quello della r

distribuzione di carica

La carica elettrica totale

all’interno della superficie S

Σq = 0

è adesso S

int

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (18)

Anche in questo caso il campo

elettrostatico è ortogonale alla

superficie S ed è uniforme in n

modulo sulla superficie stessa:

Φ 2

= 4πr E

e

per il T. di Gauss: R

Φ Σq

= 4πk = 0 r

e e int

quindi:

2

4πr E = 0

da cui:

E = 0 S

Notiamo che all’interno del guscio

sferico carico il campo

elettrostatico è nullo

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (19)

Grafico del modulo del campo elettrico

E di un guscio sferico uniformemente carico

in funzione della distanza dal centro

Il campo è discontinuo e non è definito sul

2

k Q/R

e guscio ∝ 2

E 1/r

E = 0 R r

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (13)

E = 0

Linee di campo all’esterno del guscio sferico

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (20)

• Piano infinito con densità superficiale di carica

σ

uniforme Per simmetria, il campo

è ortogonale al piano della

distribuzione. Infatti

E immaginiamo di far ruotare il

piano su se stesso attorno ad

un asse ortogonale al piano

stesso: tale operazione lascia

invariata la distribuzione di

carica e quindi deve lasciare

E invariato anche il campo. Ciò

accade solo se il vettore

campo è ortogonale al piano

σ ∆q/∆a

=

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (21)

Inoltre, sempre per la simmetria

della distribuzione di carica, il

modulo del campo elettrico, fissata

la densità di carica, può dipendere

solo dalla distanza dal piano: infatti

E tutti i punti di un piano parallelo a

quello che contiene le cariche sono

equivalenti se quest’ultimo è

infinito. Possiamo dire che da tutti i

punti di un piano parallelo a quello

che contiene le cariche si “vede” la

E stessa distribuzione.

Il verso del campo dipende dal

segno della densità di carica. In

figura è mostrato il caso di una

σ ∆q/∆a

= densità di carica positiva

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (22)

Consideriamo una superficie S

cilindrica con basi, di area A,

parallele al piano e poste

simmetricamente ai due lati del

piano stesso (le distanze delle

due basi dal piano che contiene le

cariche sono uguali). La carica

totale all’interno della superficie è

Σq σA

=

int

S A Σq σA

=

σ ∆q/∆a int

= S

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (23)

Sulle basi del cilindro E è

uniforme e ortogonale a S:

Φ = 2AE

bas

Sulla parte laterale del cilindro E

E Φ

è parallelo a S: = 0

lat

Φ Φ Φ

= + = 2AE

tot lat bas Σq

Φ = 4πk

Per il T. di Gauss, tot e int

σA

2AE = 4πk

e

σ

S E = 2πk n

e

E n

A E

Il campo del piano infinito è

uniforme in ogni semi-spazio ed è Σq σA

S

proporzionale alla densità di carica =

int

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (24)

Doppio piano infinito con densità superficiali di carica uniformi e

−σ

opposte +σ e (doppio strato di carica) Il campo risultante

di questa

distribuzione di

carica si può

calcolare dalla

formula del campo

di un singolo piano

infinito utilizzando

il principio di

sovrapposizione

+σ −σ

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (25)

+

E+ E’ sufficiente fare la somma

vettoriale del campo della

distribuzione di carica positiva

e …

+

E+

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (26)

… di quello della distribuzione di

carica negativa

E− E−

−σ

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (27)

I due piani suddividono lo spazio in tre regioni …

E− E−

+

E+ +

E+ E−

+

E+

+σ −σ

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D’A

DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (28)

… in ognuna delle quali il campo è la somma di due campi

uniformi +σ −σ

σ σ σ

E- = 2πk E- = 2πk E- = 2πk

e e e

σ

σ σ

E+ = 2πk

E+ = 2πk E+ = 2πk

e

e e

σ

E = 0 E = 0

E = 4πk

ris ris

ris e +σ

Il campo di un doppio strato di carica e –σ è nullo all’esterno

σ

e uniforme e uguale a 4πk all’interno

e

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DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (29)

+σ −σ

Linee di campo del campo elettrostatico uniforme all’interno del

doppio strato di carica

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POTENZIALE ELETTROSTATICO (1)

La forza elettrostatica è conservativa: mostriamo che il lavoro

della forza che una carica q esercita su una carica q lungo

1 2

un circuito chiuso è nullo q 2 F

r

q 1

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POTENZIALE ELETTROSTATICO (2)

Consideriamo prima un circuito chiuso semplice costituito da

due archi di circonferenza e da due segmenti rettilinei radiali

L = 0

A→B C

L = 0

C→D

L = – L

B→C D→A B q 2 F D

r A

L = L + L + L + L = 0

q circuito A→B B→C C→D D→A

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POTENZIALE ELETTROSTATICO (3)

Consideriamo ora un circuito complesso ma sempre costituito

da archi di circonferenza e da segmenti rettilinei radiali

Il lavoro totale

lungo gli archi

è nullo q

L = 0 2

arc F

r

q 1

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POTENZIALE ELETTROSTATICO (4)

Per ogni segmento

radiale “entrante”

ve ne è uno

“uscente” della

stessa lunghezza

L = 0 q

rad 2 F

r

q 1

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POTENZIALE ELETTROSTATICO (5)

Il lavoro totale è la

somma del lavoro

lungo gli archi e

lungo i segmenti

radiali q 2 F

r L = L + L = 0

q circuito arc rad

1

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POTENZIALE ELETTROSTATICO (6)

Consideriamo adesso un circuito di forma generica

Possiamo approssimare il circuito di

forma generica (blu) mediante un altro

circuito (rosso) composto solo di archi

e segmenti radiali, lungo il quale il

lavoro è nullo. q 2

Se dimostriamo F

che il lavoro

lungo questi r

due circuiti è

uguale,

dimostriamo q 1

che il lavoro

lungo il circuito

blu è nullo

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POTENZIALE ELETTROSTATICO (7)

B F

L = AB×Fcosθ

A→B C

L = 0

C→B θ

L = AC×F

A→C q

L = AB×Fcosθ 2

A→C F

A

L = L + L

A→B A→C C→B

L = L = 0

circ blu circ rosso r

q 1

Se la figura ABC è molto piccola, è

approssimabile ad un triangolo rettangolo,ed F

può essere considerata costante sulla figura

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POTENZIALE ELETTROSTATICO (8)

La figura precedente mostra che il lavoro lungo il circuito di

forma generica (blu) è uguale al lavoro lungo il circuito

composto di archi e segmenti radiali (rosso). Poiché

quest’ultimo è nullo, anche il lavoro lungo un circuito chiuso di

forma generica è nullo

Abbiamo quindi dimostrato che la forza elettrostatica esercitata

da una carica puntiforme è conservativa

Questo risultato si estende, in virtù del principio di

sovrapposizione, alla forza elettrostatica risultante esercitata da

un numero qualsiasi di cariche

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POTENZIALE ELETTROSTATICO (9)

Il lavoro L di F + F lungo il circuito è uguale alla somma

circ,ris 1 2

del lavoro L di F e del lavoro L di F Quindi poiché

circ,1 1 circ,2 2

L = 0 e L = 0, anche L = 0

circ,1 circ,2 circ,ris

q F F +F

2 1 1 2

q 3 F

2

r

q 1

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POTENZIALE ELETTROSTATICO (10)

Quindi, in conclusione, la forza elettrostatica, esercitata da una

qualunque distribuzione di carica elettrica è conservativa

Possiamo dunque dire che, in generale, la forza elettrostatica è

conservativa

Ne consegue che possiamo definire l’energia potenziale

(elettrostatica) di una carica elettrica rispetto ad un’altra carica

elettrica, o rispetto ad una qualsiasi distribuzione di carica

Prima di calcolare l’energia potenziale elettrostatica di una

carica, osserviamo una importante proprietà del campo

elettrostatico

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POTENZIALE ELETTROSTATICO (11)

Il lavoro della forza elettrostatica lungo un circuito chiuso si

Σ(F•∆r)

può scrivere: L =

circ

Ma F = qE,

quindi:

Σ(qE•∆r)

L = = q[Σ( E•∆r)]

circ ∆r

e, poiché L = 0 per qualsiasi

circ

campo elettrostatico, E

Σ(E•∆r) q

= 0 Σ(E•∆r)

La grandezza si chiama

circuitazione del campo

elettrostatico ed è uguale a zero

Σ(E•∆r)

Circuitazione di E = = 0

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POTENZIALE ELETTROSTATICO (12)

In conseguenza del fatto che la forza elettrostatica è

conservativa, il campo elettrostatico possiede la seguente

proprietà:

La circuitazione del campo elettrostatico, lungo un qualsiasi

circuito chiuso, è nulla

Questa proprietà, assieme al Teorema di Gauss, caratterizza il

campo elettrostatico

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POTENZIALE ELETTROSTATICO (13)

Secondo la definizione generale di energia potenziale, l’energia

potenziale elettrostatica di una carica elettrica, che si trova in

una certa posizione dello spazio (ad es. B) (rispetto ad una

generica distribuzione di cariche), è uguale al lavoro che si

deve compiere, contro la forza elettrostatica che agisce sulla

carica stessa, per portarla da un punto, nel quale l’energia

potenziale è nulla (ad es. A), fino alla posizione suddetta

A

F

–F

B

U(B) – U(A) = – L ; se U(A) = 0, U(B) = – L

A→B A→B

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D’A

POTENZIALE ELETTROSTATICO (14)

Come primo esempio, calcoliamo l’energia potenziale

elettrostatica di una carica elettrica in funzione della sua

posizione in un campo elettrico uniforme E

+ E

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D’A

POTENZIALE ELETTROSTATICO (15)

Una carica q positiva posta tra i due strati subisce una forza

F = q E

+ q

F

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D’A

POTENZIALE ELETTROSTATICO (16)

Supponiamo che la carica si muova in un piano parallelo agli

strati di carica: il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica è

nullo (perché la forza è ortogonale a tale piano), quindi

l’energia potenziale della carica non varia

+ q

F

Ciò significa che l’energia potenziale della carica è uniforme

in un piano parallelo agli strati

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D’A

POTENZIALE ELETTROSTATICO (17)

Poniamo adesso (arbitrariamente) a zero l’energia potenziale

della carica q quando questa si trova sullo strato di carica

negativa. Il lavoro che si deve compiere per portare la carica q

da questa posizione fino ad una distanza x è L = Fx = qEx

U(x) = qEx

+ –F q

F x

U = 0

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D’A

POTENZIALE ELETTROSTATICO (18)

Osserviamo che la formula dell’energia potenziale di una carica

in un campo elettrostatico uniforme è analoga alla formula

dell’energia potenziale gravitazionale vicino alla superficie

terrestre quando si considera uniforme la forza peso e quindi

anche il campo gravitazionale. Il campo gravitazionale, in

che in precedenza abbiamo

questo caso, non è altro che g

chiamato accelerazione di gravità

U(h) = mgh m

g h

U = 0

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D’A

POTENZIALE ELETTROSTATICO (19)

L’energia potenziale elettrostatica U delle cariche q e q poste

1 2

ad una distanza r l’una dall’altra è definita come il lavoro

compiuto, contro la forza elettrostatica, per portare la carica q

2

“dall’infinito” ad una distanza r dalla carica q . Con questa

1

definizione, lo zero dell’energia potenziale è “all’infinito”

U 0 per r

→ → –F F ∞

r

q q

1 2

U = k q q / r

e 1 2

Notiamo che U < 0, e U cresce al crescere di r, se le cariche

sono di segno opposto (forza attrattiva) mentre U > 0, e U

decresce al crescere di r, se le cariche sono dello stesso segno

(forza repulsiva)

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D’A

POTENZIALE ELETTROSTATICO (19)

Per giustificare la formula precedente, consideriamo un piccolo

∆r

percorso radiale e la variazione di energia potenziale ad esso

associata F

r

q q ∆r

1 2

∆U ∆r ∆r

F = – / = – [ U(r+∆r) – U(r) ] /

∆r ∆r

– [ U(r+∆r) – U(r) ] / = – [k q q /(r+∆r) – k q q /r ] /

e 1 2 e 1 2 ∆r

= – k q q [ 1/(r+∆r) –1/r ] /

e 1 2

= – k q q [ (r – (r+∆r))/ r(r+∆r)∆r ]

e 1 2 ∆r

= – k q q [ – / r(r+∆r)∆r ]

e 1 2

= – k q q [ – 1 / r(r+∆r)]

e 1 2 2

= k q q / r

e 1 2

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D’A

POTENZIALE ELETTROSTATICO (20)

L’energia potenziale della carica q rispetto alle cariche q e q è

1 2

la somma algebrica dell’energia potenziale che essa avrebbe

se ognuna delle cariche q e q fosse sola. Ciò consegue dal

1 2

fatto che il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica generata

da q e q insieme è la somma del lavoro delle forze che

1 2

ognuna di esse genererebbe se fosse sola. Questo

ragionamento si estende ad un numero qualsiasi di carche

F + F

r

q 1 2

F

1

1 2 ∞

q F

1

r 2 U = k qq / r + k qq / r

e 1 1 e 2 2

q 2

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D’A

POTENZIALE ELETTROSTATICO (21)

Consideriamo adesso una carica q posta nel punto A; abbiamo

visto che la sua energia potenziale rispetto ad una carica q è

1

data dall’espressione: U = k qq /r

e 1 A

r

q q

1

Osserviamo che la grandezza V = U/q = k q /r non dipende

e 1

dalla carica q ma solo dalla carica q e dalla posizione di q.

1

Analogamente a quanto fatto per il campo elettrostatico,

possiamo considerare questa grandezza una proprietà del

punto A in cui si trova la carica q. Alla grandezza V si dà il

nome di potenziale elettrostatico. Il potenziale elettrostatico

della carica q è:

1 V = k q / r

e 1

L’unità di misura del potenziale elettrostatico nel sistema MKSA è il volt (V).

1V = 1J / 1C

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D’A

POTENZIALE ELETTROSTATICO (22)

Per il potenziale elettrostatico vale il principio di

sovrapposizione che discende dalla proprietà analoga

dell’energia potenziale

r

q 1 U = k qq / r + k qq / r

1 e 1 1 e 2 2

q V = k q / r + k q / r

e 1 1 e 2 2

r 2

q 2 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”,

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D’A

POTENZIALE ELETTROSTATICO (23)

Notiamo che poiché il valore dell’energia potenziale di una

carica in un punto dello spazio dipende dalla scelta di un punto

di origine (o di zero) dell’energia potenziale, anche il potenziale

elettrostatico dipende dalla scelta di un’origine (la stessa

dell’energia potenziale)

Ad esempio, nella precedente espressione del potenziale

elettrostatico di una carica puntiforme q, V = k q/r, l’origine è

e

all’infinito e questa scelta discende da quella fatta

precedentemente per l’energia potenziale

Quindi, analogamente a quanto accade con l’energia

potenziale, il potenziale in un punto non è una grandezza

misurabile (e non ha quindi significato fisico), mentre la

differenza di potenziale tra due punti dello spazio lo è (e ha

significato fisico)

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D’A

POTENZIALE ELETTROSTATICO (24)

Potenziale elettrostatico associato ad un campo elettrostatico

uniforme: dall’espressione dell’energia potenziale U(x) = qEx di

una carica q in un campo uniforme E, otteniamo il potenziale

V(x) = U(x)/q = Ex

Il potenziale dipende solo da x ed è nullo sulla distribuzione di

carica negativa (come l’energia potenziale)

+ q

E

V(x) = Ex x

V = 0

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POTENZIALE ELETTROSTATICO (25)

Relazione tra potenziale e campo elettrostatico: ∆r

consideriamo una carica q che si muove di un piccolo tratto

in un campo elettrostatico E:

La corrispondente variazione di energia

∆U

potenziale = U(B) – U(A) della carica è:

∆U B

∆r

= – lavoro della forza elettrostatica

∆U ∆r

= – q E•∆r = – q E cosα α

A

calcoliamo la differenza di potenziale q

∆V E

= V(B) – V(A) tra i punti B e A:

∆V ∆U/q

= V(B) – V(A) = U(B)/q – U(A)/q =

quindi:

∆V = – E•∆r ∆V = – E•∆r

∆V ∆x ∆y ∆z

= – E – E – E

x y z

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D’A

POTENZIALE ELETTROSTATICO (26) B

∆r

OSSERVAZIONE:

(Direzione e verso del campo elettrostatico) α

A E

Dalla relazione tra potenziale e campo

∆V

elettrostatico: = – E•∆r ∆V,

Si ricava che il valore assoluto di α = 0

∆V= ∆r cos(E,∆r),

E è massimo quando ∆r

A

∆r è parallelo o antiparallelo ad E. Quindi, la E

direzione di E indica la direzione di massima B

variazione di V.

∆r ∆V

Inoltre, se è parallelo ad E, < 0, mentre B

∆V

∆r è antiparallelo ad E, > 0. Quindi il

se α π

=

vettore E indica il verso in cui il potenziale ∆r

decresce (il verso del campo elettrostatico è A E

dal potenziale più alto al potenziale più basso).

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POTENZIALE ELETTROSTATICO (27)

OSSERVAZIONE (Unità di misura del campo elettrostatico):

Dalla relazione tra potenziale e campo elettrostatico:

∆V = – E•∆r

segue che un’altra unità di misura del campo elettrostatico nel

sistema MKSA è il volt al metro (V/m)

1 V/m = 1 N/C

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POTENZIALE ELETTROSTATICO (28)

Superfici equipotenziali:

Una superficie equipotenziale è una superficie a potenziale

uniforme, ovvero una superficie, tutti i punti della quale hanno

lo stesso potenziale.

Nel loro punto di intersezione, una linea di campo ed una

superficie equipotenziale sono ortogonali: infatti consideriamo

∆r

un piccolo spostamento su di una superficie equipotenziale,

∆V

la corrispondente differenza di potenziale = – E•∆r = 0

∆r

è ortogonale a , e poiché questo è vero per qualsiasi

E ∆r

vettore che giace sulla superficie equipotenziale, E è

ortogonale alla superficie stessa. La linea di campo è tangente

ad E ed è quindi a sua volta ortogonale alla superficie

equipotenziale.

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POTENZIALE ELETTROSTATICO (29)

E

∆r Linea di campo

e superficie

equipotenziale

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POTENZIALE ELETTROSTATICO (30)

Superfici equipotenziali per una carica puntiforme

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CONDUTTORI (1)

• E’ detto conduttore un corpo all’interno del quale le

cariche elettriche sono libere di muoversi (non

possono però uscire dal corpo stesso)

un corpo all’interno del quale le

• E’ detto isolante

cariche elettriche non sono libere di muoversi

• Entrambe queste situazioni rappresentano dei casi

limite ideali. In realtà non vi è un perfetto conduttore

o un perfetto isolante. La proprietà di consentire il

movimento delle cariche è posseduta da una

sostanza in una certa misura. Questa proprietà si

chiama conducibilità. Torneremo su questo punto in

relazione alla corrente elettrica

• Esaminiamo adesso le proprietà del campo

in presenza di corpi conduttori

elettrostatico

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CONDUTTORI (2)

• Una prima conseguenza della proprietà dei conduttori

di consentire il movimento delle cariche elettriche, è

che, nell’ambito dell’elettrostatica, cioè in una

situazione in cui tutte le cariche sono a riposo, il

campo elettrostatico all’interno di un conduttore è

nullo

Infatti, se non fosse nullo,

esso metterebbe in

movimento le cariche

elettriche libere all’interno E = 0

del conduttore, contrad-

dicendo l’ipotesi che le

cariche siano a riposo

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CONDUTTORI (3)

• Inoltre, all’interno di un conduttore la densità di carica

è nulla σ

Infatti, consideriamo una S

superficie chiusa S di volume

∆v all’interno del conduttore, E = 0

poiché il campo elettrostatico ρ = 0

è nullo in ogni punto di S, per

il T. di Gauss la carica totale

∆q in S è nulla.

Poiché questo vale per qualunque superficie chiusa all’interno

ρ ∆q ∆v

del conduttore, = / = 0

Quindi la carica del conduttore è tutta distribuita sulla superficie

del conduttore stesso

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CONDUTTORI (4)

• In una cavità all’interno di un conduttore, se non vi

sono cariche elettriche, il campo elettrostatico è nullo

σ

Infatti, consideriamo una

superficie chiusa S tutta

interna al conduttore, poiché

il campo elettrostatico è nullo

in ogni punto di S, per il T. di

Gauss la carica totale sulla S

superficie interna del

conduttore è nulla

Ciò non esclude tuttavia che ci possano essere delle cariche

positive e delle cariche negative sulla superficie interna del

conduttore, e di conseguenza un campo elettrostatico non

nullo Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”,

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CONDUTTORI (5)

• Cavità in un conduttore (segue) σ

Supponiamo di avere la

configurazione di carica

illustrata in figura. Vi sarebbe +

un campo non nullo nella +

cavità con delle linee di –

+ –

+ –

campo dirette dalle cariche –

positive verso quelle negative C

In questo caso però la circuitazione del campo elettrostatico

lungo il percorso chiuso C indicato in figura sarebbe diverso da

sarebbe strettamente positivo nella porzione

zero. Infatti E•∆r

di circuito interna alla cavità, mentre sarebbe nullo nella

porzione di circuito interna al conduttore

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CONDUTTORI (6)

• Cavità in un conduttore (fine) σ

L’ipotesi di una distribuzione

di cariche sulla superficie

interna del conduttore E = 0

conduce quindi ad una

contraddizione della proprietà

del campo elettrostatico di

avere una circuitazione

sempre nulla

In conclusione quindi non vi possono essere cariche elettriche

sulla superficie interna del conduttore ed il campo elettrostatico

all’interno della cavità deve essere nullo

Questa proprietà è molto importante dal punto di vista pratico

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CONDUTTORI (7)

Induzione elettrostatica Se poniamo un

conduttore in un

campo elettrostatico,

le sue cariche libere

si ridistribuiscono

q rapidamente (in una

+ piccola frazione di

secondo) per effetto

della forza

elettrostatica …

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CONDUTTORI (8)

Induzione elettrostatica …e si dispongono

sulla superficie

+ + secondo una

– + distribuzione tale che

– + il campo all’interno

q – del conduttore sia

+ nullo. Si noti che il

+ – E = 0 campo all’interno del

+

– conduttore è la

– del campo di

somma

+

– tale distribuzione, e

+

– del campo generato

+

– + dalle cariche esterne

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CONDUTTORI (9)

Campo elettrostatico alla superficie di un conduttore (1)

Osserviamo che, poiché il campo elettrostatico è nullo al suo

interno, il conduttore è un volume equipotenziale: Infatti presi

due punti qualsiasi A e B del conduttore, dalla formula

∆V = – E•∆r

otteniamo V(B) – V(A) = – E•AB = 0, da cui V(B) = V(A)

B

Quindi il potenziale ha lo A

stesso valore in ogni punto E = 0

del conduttore V(B) = V(A)

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CONDUTTORI (10)

Campo elettrostatico alla superficie di un conduttore (2)

In particolare, la superficie del conduttore è una superficie

equipotenziale. Le linee del campo elettrostatico sono

ortogonali alla superficie del conduttore

Si noti che se il

campo elettrostatico + +

+

avesse una +

+

componente +

+

parallela alla

superficie del E = 0 –

conduttore, le –

cariche libere sulla –

superficie sarebbero –

– –

messe in movimento –

da questa

componente del

campo Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”,

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CONDUTTORI (11)

Campo elettrostatico alla superficie di un conduttore (3)

Il T. di Gauss ci permette di calcolare il modulo del campo

elettrostatico alla superficie del conduttore. Consideriamo

una superficie cilindrica S con basi di area A una all’interno e

l’altra all’esterno della superficie del conduttore, simile a

quella usata per il piano infinito uniformemente carico

Il flusso attraverso la superficie A E

σ

Φ

S è = AE (perché E = 0

e

all’interno del conduttore) e la S

carica totale all’interno della

σA, σ

superficie S è dove è la E = 0

densità superficiale di carica

(locale). Per il T. di Gauss

σA,

AE = 4πk quindi:

e

σ

E = 4πk

e

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CONDUTTORI (12)

Campo elettrostatico alla superficie di un conduttore (4)

σ

Come mai il campo in prossimità del conduttore è 4πk

e

σ

mentre in prossimità di un piano è 2πk ? Perché il campo

e

del conduttore è la somma del campo generato dalle cariche

σ)

contenute nella superficie S (che è uguale a 2πk e di

e

quello generato da tutte le altre cariche (che annulla il

campo totale all’interno del conduttore) σ

A σ

2πk

e

σ

σ 2πk

e σ

2πk

e

σ

2πk

e

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CONDUTTORI (13)

Campo elettrostatico alla superficie di un conduttore (5)

Abbiamo visto che il dischetto di area A si trova in un punto

in cui il campo, generato dalle altre cariche del conduttore, è

σ.

2πk Quindi la carica del dischetto subisce una forza

e σA × σ σ 2

F = q E = 2πk = 2πk A

e e σ

Notiamo che questa 2

F = 2πk A

e

forza è sempre diretta σ

A σ

E = 2πk

verso l’esterno del e

conduttore. σ 2 A è la

F / A = 2πk

e

forza per unità di

superficie e si chiama

pressione elettrostatica

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CONDUTTORI (14)

• Abbiamo studiato il campo elettrostatico all’interno di un

conduttore, in una sua cavità, e nelle sue immediate

vicinanze

• Il passo successivo è di studiare il campo elettrostatico in

tutto lo spazio esterno al conduttore

• Questo è un problema complesso, che non tratteremo,

perché dipende dalla distribuzione di carica sulla superficie

del conduttore e questa, a sua volta, dipende dalla forma del

conduttore, dalla presenza di altri conduttori, dalle cariche

presenti su questi conduttori, e da altre cariche presenti nello

spazio

• Ci limiteremo allo studio di un caso semplice: quello di una

sola sfera conduttrice

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CONDUTTORI (15)

Sfera conduttrice di raggio R e carica totale Q

• Per la simmetria sferica del conduttore, la densità

σ

superficiale di carica sulla superficie è uniforme e uguale a

2

Q/(4πR )

• Quindi il campo generato da questa distribuzione di carica è

quello del “guscio” sferico che abbiamo già studiato e che, a

sua volta, è uguale, all’esterno della distribuzione, al campo

di una carica Q posta al centro della sfera

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CONDUTTORI (16)

R

Q

Carica Q e superficie equipotenziale di raggio R

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CONDUTTORI (17) σ 2

= Q/(4πR )

R

E = 0

Sostituendo la carica con un guscio sferico il campo all’esterno non cambia

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CONDUTTORI (18) σ 2

= Q/(4πR )

R

E = 0

Campo elettrostatico di un conduttore sferico di raggio R con carica Q

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CONDUTTORI (19)

Grafico del modulo del campo elettrostatico di una

sfera conduttrice con carica Q in funzione della

E distanza dal centro. Il campo sulla superficie è

σ × 2 2

E = 4πk = 4πk Q/(4πR ) = k Q/R

e e e

In accordo col valore calcolato per il guscio sferico

2

k Q/R

e ∝ 2

E 1/r

E = 0 R r

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CONDUTTORI (20)

Sfera conduttrice di raggio R e carica totale Q (segue)

• Qual è il potenziale elettrostatico della sfera conduttrice?

Notiamo che il potenziale della carica puntiforme Q sulla

Q/R. Ora, poiché

superficie equipotenziale di raggio R è V = k

e

la superficie del conduttore coincide con questa superficie

equipotenziale, e poiché il campo elettrostatico all’esterno del

conduttore è identico in ogni punto a quello della carica

puntiforme, il potenziale della sfera (con origine all’infinito) è

uguale a k Q/R

e

• Infatti, se portiamo una carica unitaria dall’infinito alla

superficie della sfera conduttrice di raggio R e carica Q,

oppure se la portiamo dall’infinito alla superficie

equipotenziale di raggio R nel campo della carica puntiforme

Q, il lavoro compiuto è lo stesso perché il campo è lo stesso

in ogni punto dello spazio

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CONDUTTORI (21)

Sfera conduttrice di raggio R e carica totale Q (fine)

• Quindi il potenziale di una sfera conduttrice di raggio R e con

carica elettrica Q (con origine all’infinito) è V = k Q/R

e

• Un altro modo di calcolare il potenziale della sfera è di

calcolarlo al centro della sfera stessa. Tutte le cariche si

trovano ad una distanza R dal centro della sfera. Sia q una

Σq.

di queste cariche, quindi Q = Il potenziale di ognuna

delle cariche nel centro della sfera è k q/R, e il potenziale

e

totale è la somma del potenziale di tutte le cariche:

Σ(k q/R) = k (Σq)/R = k Q/R

V = e e e

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CONDUTTORI (22)

• Come sono distribuite le cariche sulla superficie di un

conduttore di forma irregolare? Possiamo dedurre dalla

formula del potenziale della sfera V = k Q/R una proprietà

e

interessante σ,

2

• Osserviamo che Q = 4πR

il potenziale si può scrivere: V = 4πk Rσ,

e

σ

da cui ricaviamo: = V/4πk R

e σ

A parità di potenziale V, la densità di carica superficiale è

inversamente proporzionale al raggio R della sfera

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CONDUTTORI (23)

Consideriamo due sfere conduttrici attaccate alle due estremità

di un filo conduttore. Le due sfere si trovano allo stesso

σ σ

potenziale V. Quindi, = V/4πk R e = V/4πk R

1 e 1 2 e 2

σ σ

Poiché R > R , > , e poiché il campo elettrostatico alla

1 2 2 1 σ, E > E

superficie di un conduttore è E = 4πk

e 2 1

σ 1

R R σ

E 1 2

1 2 E

2

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DETTAGLI
Esame: FISICA
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in farmacia
SSD:
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di FISICA e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Gabriele D'Annunzio - Unich o del prof Zappasodi Filippo.

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