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− 15

R. B C A

ARBONI OSTRUZIONI EROSPAZIALI

Una relazione analoga vige per gli spostamenti:

{ } [ ]{ }

=

(3.6) U R U

E’ evidente che, mentre nel riferimento locale l’unica componente non

nulla dello spostamento è la lungo l’asse dell’asta, nel riferimento

u x

globale sono genericamente presenti ambedue le componenti , .

u w

X Z

Pertanto per utilizzare le (3.5,6) le relazioni nel sistema locale (2.22,23)

devono essere scritte prevedendo, anche se nulle, le componenti in direzione

y, cioè nella forma: ⎫

− ⎤

⎡ u F

1 0 1 0 i x , i ⎪

⎢ [ ]

⎪ { } { }

w F

0 0 0 0

EA ⎥

⎢ ⇒ =

=

i z , i ⎬

(3.7) K U F

⎢ − u F

1 0 1 0

L ⎪

⎪ j x , j

⎢ ⎪

⎣ w F

0 0 0 0 ⎭

j z , j

che, utilizzando le (3.5,6), nel sistema globale si scrive:

[ ] [ ]

[ ]{ [ ]{ [ ] [ ]{

} } } { }

= ⇒ =

T

K R U R F R K R U F

(3.8)

in definitiva: [ ]

[ ]{ [ ] [ ] [ ]

} { }

= = T

(3.9) K U F dove K R K R

Così, nel caso specifico, la matrice di rigidezza dell’asta ij di fig.b) nel

sistema globale XZ, ponendo c=cosθ, s=senθ, risulta:

⎡ ⎤

− −

2 2

c cs c cs

⎢ ⎥

− −

2 2

cs s cs s

EA ⎢ ⎥

[ ] =

(3.12) K ⎢ ⎥

− −

2 2

L c cs c cs

⎢ ⎥

− −

2 2

⎣ ⎦

cs s cs s

Solo ora, che conosciamo la [K] nel sistema globale, possiamo procedere

all’assemblaggio delle varie aste che costituiscono il sistema strutturale di

fig. a), utilizzando le relazioni (2.8).

16 R. B E F

ARBONI LEMENTI INITI

−Nel caso di trave inflessa, possiamo fare considerazioni analoghe

B)

notando che mentre tra le componenti delle forze e degli spostamenti tra

sistema globale e locale vigono le (3.3), per quanto riguarda rotazioni e

momenti queste rimangono invariate a seguito della trasformazione.

Quindi: ⎧ ⎫

⎧ ⎫ ⎧ ⎫

⎧ ⎫ ⎡

⎡ −

− 0 0

F c s F u c s u

⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ X

x

X

x ⎥

⎢ =

= ⎨ ⎬

⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎨ ⎬ 0 ; 0

F s c F w s c w

(3.13) ⎥

⎢ Z

z

Z

z ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎥

⎢ θ θ

⎣ ⎩ ⎭

⎩ ⎭

0 0 1 0 0 1

M M ⎩ ⎭

⎩ ⎭ Y

y

Y

y

Ricordando la (2.29) ed espandendo la matrice di rigidezza in modo da

prevedere anche la componente u: ⎧ ⎫

⎧ ⎫

⎡ u F

0 0 0 0 0 0 i ,

x i

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎢ − − − w F

L L

0 12 6 0 12 6 ⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎢ i ,

z i

⎪⎪ ⎪⎪

θ

⎪ ⎪

⎢ − 2 2 ⎪ ⎪ M

L L L L

0 6 4 0 6 2

EI i ,

y i

= ⎨ ⎬

⎨ ⎬

(3.14) 3 u F

0 0 0 0 0 0

L ⎥

⎢ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

j ,

x j

⎢ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

− w F

0 12 6 0 12 6

L L j

⎢ ,

z j

⎪ ⎪ ⎪

θ

− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

2 2 ⎦

⎣ M

0 6 2 0 6 4

L L L L ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

j ,

y j

quindi la matrice di trasformazione che consente di passare dal sistema

globale a quello locale: { }

{ } [ ]{ [ ]{

} }

= ∆ = ∆

F R F ; R

(3.15)

risulta: − ⎤

⎡ 0 0 0 0

c s ⎥

⎢ 0 0 0 0

s c ⎥

⎢ ⎥

⎢ 0 0 1 0 0 0

[ ] = ⎥

(3.16) R −

0 0 0 0

c s ⎥

⎢ ⎥

⎢ 0 0 0 0

s c ⎥

⎢ ⎦

⎣ 0 0 0 0 0 1

Per cui la matrice di rigidezza nel sistema globale si ottiene utilizzando una

relazione analoga alla (3.9). − 17

R. B C A

ARBONI OSTRUZIONI EROSPAZIALI

4. L’elemento finito

Nella realtà, aste, travi, piastre, gusci, ... non sono sollecitati solo con

carichi applicati ai loro estremi ed il loro comportamento non può essere

rappresentato in modo esatto solo da due o quattro parametri come visto

precedentemente.

Così nel caso di trave inflessa con carichi distribuiti lungo l’asse la (2.25)

non rappresenta la soluzione esatta del problema dell’intera trave.

Se però immaginiamo di dividere idealmente la trave di lunghezza L in

ed immaginiamo di concentrare il carico solo ai

elementi di trave lunghi l n

nodi, la (2.25) rappresenta una soluzione valida nell’ambito di ogni

. Per ciascuno di essi il comportamento elastico è descritto dalla

elemento l n

matrice di rigidezza (2.29). Il modello ad E.F. dell’intera trave sarà dato

(e)

] dei vari elementi.

assemblando le [K Nel caso di figura, considerando 7

q x

x nodi, in ognuno dei quali sono possibili

L due G.L., il modello matematico del

continuo trave è dato da un sistema

z discreto a 14 G.L., salvo i vincoli.

In tale modo di procedere notiamo:

−che abbiamo assunto che la

a)

struttura è una trave a comportamento

flessionale;

−che, nell’ambito della teoria della

b)

M ,θ M ,θ

i i j j trave, le variabili cinematiche sono lo

x

i j spostamento fuori del piano w(x) e la

l θ(x);

rotazione

,w F ,w

F

i i j j −che lo spostamento w(x), in ogni

c)

z elemento piccolo ma continuo, viene

approssimato con un numero finito di parametri utilizzando la (2.24). Ne

θ(x) −∂w/∂x

consegue, nell’ipotesi di Kirchoff, la rotazione = ;

−che i parametri con cui esprimere lo spostamento w(x) sono gli

d)

spostamenti e le rotazioni ai nodi dell’elemento;

−che il carico distribuito q(x) è ad un sistema di forze e momenti

e)

concentrati ed applicati solo ai nodi.

I passi c),d),e) fanno sì che un elemento continuo sia modellizzato in

.

termini discreti. Il modello discreto dell’elemento è detto elemento finito

18 R. B E F

ARBONI LEMENTI INITI

Con questa serie di ipotesi si realizza un modello approssimato del

comportamento della struttura. L’importante è fissare i criteri con cui si

effettua la “discretizzazione” e capire il tipo e l’ordine di approssimazione

introdotto. Questo consente di poter raffinare il modello fino a tendere alla

soluzione esatta del problema.

Vediamo i vari passi da fare in generale per arrivare al modello “discreto”.

−Innanzi tutto la struttura reale, continua, viene idealmente tagliata da

1)

superfici e linee in modo da pensarla costituita da elementi. I punti estremi o

di spigolo dell’elemento sono i “nodi”.

−Si identifica il comportamento di ogni elemento (o classe di elementi)

2)

della struttura con il comportamento di un elemento tipico nell’ambito di

Si avranno così elementi tipo asta, trave, ...

una certa teoria dell’elasticità.

In funzione del tipo di elemento si individuano le variabili cinematiche, che

indicheremo genericamente come vettore “spostamento” {S(x,y,z)}, le

{ε(x,y,z)} {σ(x,y,z)} 1 .

variabili di “deformazione” e di “sforzo”

−Si discretizza il comportamento dell’elemento rappresentando le

3) {S}

variabili cinematiche attraverso un numero discreto di parametri,

definiti solo ed unicamente ai nodi. Tali parametri {∆} sono indicati come

delle componenti il vettore {∆}, indica il

“spostamenti nodali”. Il numero g

numero di variabili con cui è discretizzato l’elemento e diremo che

“gradi di libertà (G.L.)”. Quindi:

l’elemento finito (E.F.) possiede g {∆}

(4.1) {S(x,y,z)} = [N(x,y,z)]

Ovviamente la (4.1) può risultare esatta solo nel caso di analisi statica e per

elementi che siano connessi ad altri in un numero discreto di punti. Nel caso

generale di elemento unito con continuità a quelli circostanti e di analisi

dinamica la (4.1) rappresenta solo una espressione approssimata degli

spostamenti. La matrice [N] è l’insieme delle funzioni che consente di

esprimere, punto per punto, lo spostamento all’interno dell’elemento in

{∆}.

funzione di Possiamo quindi pensare ed indicare le componenti di

[N(x,y,z)] come funzioni di interpolazione degli spostamenti nodali.

−Esprimere le deformazioni in termini degli spostamenti nodali.

4)

Ricordando le relazioni cinematiche, che legano le deformazioni agli

spostamenti ed utilizzando le (4.1):

[ ]

{ } { }

ε = ∆

(4.2) B

( x , y , z )

1 Si noti: 1)-{S},{ε},{σ} sono funzioni di x,y,z, cioè l’elemento è ancora un continuo;

2)-i nomi di tali vettori sono posti tra “ ” ad indicare che non sempre le

dimensioni fisiche corrispondono al nome.

− 19

R. B C A

ARBONI OSTRUZIONI EROSPAZIALI

−Attraverso i legami costitutivi del materiale possiamo esprimere gli

5)

sforzi in termini di {∆}: [ ]

[ ]{ [ ]

{ } } { }

σ = ε = ∆

(4.3) C C B

( x , y , z )

−Si {∆}.

esprimono le forze elastiche in termini degli spostamenti nodali

6)

A tale scopo si possono impiegare varie tecniche: minimizzazione

dell’energia elastica, principio dei lavori virtuali, equazioni di Lagrange...

Per la sua completa generalità e possibilità di utilizzo indipendentemente

dalla natura delle forze in esame utilizziamo il principio dei lavori virtuali,

per cui il lavoro virtuale delle forze elastiche risulta:

∫ { } { }

δ = δε σ

T

(4.4) L dV

V

che, ricordando le (4.2,3), si scrive:

⎡ ⎤

∫ [ ] [ ][ ] [ ]{

{ } { } { } }

⎢ ⎥

δ = δ∆ ∆ = δ∆ ∆

T T T

(4.5) L B C B dV K

⎢ ⎥

⎣ ⎦

V

avendo indicato con [K] la matrice di rigidezza:

[ ] [ ] [ ][ ]

= T

(4.6) K B C B dV

V

Pertanto le forze elastiche sono espresse come:

[ ] [ ]{ }

= ∆

F K

(4.7) E

Si noti come per ottenere la (4.6) si siano utilizzate sia le relazioni

cinematiche che quelle costitutive. Inoltre, integrando su tutto il volume,

nella [K] compaiono anche le dimensioni geometriche oltre ai moduli

elastici del materiale con cui è realizzato l’elemento.

−Si concentrano ai nodi le eventuali forze distribuite.

7)

Le forze (generalizzate), sia esterne che quelle dovute alle reazioni

vincolari, che risultano concentrate in alcuni punti, non meritano una

particolare analisi. Infatti possiamo sempre assumere i punti dove le forze

sono applicate come nodi della struttura; in caso di forze distribuite, queste

vanno opportunamente riportate come carichi concentrati applicati ai nodi.

Invece nel caso di forze (generalizzate) distribuite, si deve provvedere a

sostituirle con un sistema di forze (generalizzate) staticamente equivalente

20 R. B E F

ARBONI LEMENTI INITI

applicato ai nodi. Chiaramente maggiore è il numero di nodi scelti, più

accurata è l’analisi ma maggiore il lavoro da eseguire. Una tale

discretizzazione può prescindere dalla (4.1) ma in una ottica più rigorosa

nell’ambito della teoria degli E.F. è opportuno che anche la

“discretizzazione” dei carichi segua la stessa logica seguita per valutare la

(4.6). In quest’ultimo caso si parla di matrice dei carichi “consistente”.

Un modo semplice ma efficace per trovare il sistema di forze nodali

consistente è quello di imporre che il lavoro virtuale delle forze ai nodi sia

uguale al lavoro virtuale delle forze realmente applicate.

},

{f forze per unità di

Nel caso generale di forze per unità di volume V

}, {f },

{f e forze concentrate ai nodi si scrive:

superficie S N

{ } { } { }

∫ ∫ { }

{ } { } { } { }

T

δ δ δ∆ δ∆

T T T

(4.8) S f dV + S f dA + f = F

V S N

V A

−Si scrive l’equazione di equilibrio dell’elemento. A tal fine è

8)

sufficiente uguagliare il lavoro virtuale delle forze interne espresso dalla

(4.5) a quello delle forze esterne espresso dalla (4.8):

[ ]{

{ } } { } { }

δ∆ ∆ = δ∆

T T

K F

(4.9) {δ∆}≠0

che, dovendo valere per qualsiasi porta alla classica relazione:

[ ]{ } { }

∆ =

(4.10) K F − 21

R. B C A

ARBONI OSTRUZIONI EROSPAZIALI

5. Requisiti dell’Elemento Finito

Nei vari passi precedentemente esposti abbiamo sicuramente soddisfatto,

avendole impiegate, alcune delle relazioni fondamentali alla base della

teoria dell’elasticità, quali:

− Le relazioni cinematiche (4.2).

− I legami costitutivi (4.3).

− Le condizioni (4.9) che garantiscono l’equilibrio.

Inoltre abbiamo tenuto conto della geometria dell’elemento integrando su

tutto il volume dello stesso.

Il tutto partendo con l’assumere il campo degli “spostamenti” nella forma

(4.1), dove niente si è detto circa la scelta delle funzioni interpolanti [N].

Sempre nell’ambito della teoria dell’elasticità, gli spostamenti devono

risultare continui e derivabili. Pertanto la [N(x,y,z)] deve essere scelta in

modo da garantire spostamenti {S(x,y,z)} continui in ogni punto

dell’elemento, contorno compreso.

Altri requisiti imposti alle funzioni interpolanti derivano dal garantire che

nel processo di discretizzazione non vengano perse alcune caratteristiche

proprie del continuo. Solo in tale caso si è garantiti che aumentando il

numero di G.L. la struttura tende nuovamente al continuo e la soluzione

tende alla soluzione esatta.

Per avere convergenza monotona, l’elemento finito deve risultare completo

. Proprietà che possono essere garantite solo attraverso una

e compatibile

idonea scelta delle funzioni interpolanti [N].

−Un elemento gode della proprietà di completezza se soddisfa ai due

A

seguenti requisiti:

Capacità di compiere “spostamenti” rigidi.

A1.

La necessità di una tale proprietà è P 5 6 7

1 3 4

2

evidente dalla figura che riporta una trave

prima e dopo la deformazione conseguente 1 2 3 4 5

all’applicazione del carico P. 6 7

Tutti gli elementi, indipendentemente dal

fatto che subiscano deformazioni a seguito della sollecitazione, devono

poter seguire il moto derivante da chi li precede e/o segue. A tali moti rigidi

negli elementi 1,2,3,4 si vanno a sommare quelli conseguenti allo stato di

sollecitazione. Gli elementi 5,6,7, pur non sollecitati, traslano e ruotano

rigidamente. −

22 R. B E F

ARBONI LEMENTI INITI

Il numero dei modi rigidi possibili per un elemento può essere analizzato

attraverso l’analisi degli autovalori della relativa matrice di rigidezza:

[ ]{ } { }

= λ

K X X

(5.1)

da cui, indicando con [W], la matrice degli autovettori e [Λ] la

corrispondente matrice diagonale degli autovalori:

[ ] [ ][ ] [ ]

= Λ

T

W K W

(5.2)

pertanto possiamo interpretare l’autovalore come la rigidezza generalizzata

λ

λ , , ..., indica

relativa al corrispondente autovettore. In altri termini 1 2 λ=0,

quanto è rigido l’elemento nel modo corrispondente. Qualora si abbia

la rigidezza corrispondente è nulla e quindi la struttura si muove

rigidamente. La trasformazione (5.2) consente pertanto di individuare i

modi rigidi rispetto a quelli di deformazione elastica.

. Capacità di garantire uno stato di deformazione costante al tendere a

A2

zero delle dimensioni dell’E.F. Infatti lo stato di deformazione di un

elemento che tende a zero tende a diventare costante e poichè un elemento

finito può essere piccolo quanto si desidera, nella sua rappresentazione

discreta deve essere implicita tale capacità.

−Un elemento gode della proprietà di compatibilità se gli “spostamenti”

B

sono continui non solo al suo interno ma anche al suo contorno, ovvero

lungo i bordi di elementi contigui.

Fisicamente la condizione di compatibilità garantisce che non vi siano

lacerazioni e/o compenetrazioni tra elementi contigui una volta assemblati.

La compatibilità è automaticamente soddisfatta tra elementi aste e travi,

dal momento che sono uniti solo ai nodi dove si impone l’uguaglianza degli

“spostamenti” tra elementi che convergono sullo stesso nodo.

Nel caso di elementi nello stato di sollecitazione o deformazione piana,

elementi di lastra piana, elementi tridimensionali in cui le componenti di

{S} sono u,v,w, la continuità è assicurata assumendo [N] lineare in x,y,z.

Più difficile è garantire la compatibilità per elementi non

monodimensionali soggetti a flessione, dove in [N] compaiono termini nelle

potenze di x,y,z.

Un modo di procedere per ottenere delle [N] che garantiscono i requisiti

indicati in A,B è di scegliere le [S(x,y,z)] come combinazione lineare di

funzioni [Φ(x,y,z)] continue e derivabili.

− 23

R. B C A

ARBONI OSTRUZIONI EROSPAZIALI

Φ(x,y,z)

Una classe di funzioni molto utilizzate sono i polinomi, che sono

funzioni continue e facilmente differenziabili.

Indichiamo con {A} il vettore dei coefficienti della combinazione lineare:

(5.3) {S(x,y,z)} = [Φ(x,y,z)]{A}

Tali coefficienti incogniti sono scelti in numero pari ai gradi di libertà g

dell’elemento, per cui il vettore {A} ha le stesse dimensioni del vettore {∆}.

I coefficienti {A} possono essere espressi in termini degli spostamenti

={∆}, quindi:

nodali ricordando che ai nodi deve risultare {S}

n

,y ,z )]{A}={∆}

(5.4) [Φ(x

n n n

da cui: −1

(5.5) {A} = [Φ(x ,y ,z )] {∆}

n n n

pertanto i coefficienti del polinomio non rappresentano uno spostamento

fisico ma una combinazione lineare dei reali spostamenti nodali e per questo

sono indicati come .

coordinate generalizzate

Elementi finiti la cui formulazione è basata assumendo per gli spostamenti

espressioni che sono funzioni di coefficienti incogniti considerati come

coordinate generalizzate sono detti modelli finiti in coordinate

generalizzate.

Sostituendo la (5.5) nella (5.3): −1

,y ,z )] {∆}=[(N(x,y,z)]{∆}

(5.6) {S} = [Φ(x,y,z)] [Φ(x

n n n

ovvero la (4.1). Ovviamente, oltre ai polinomi possono essere usate altre

funzioni, impiegando la stessa tecnica.

6. Elemento finito di asta

Per l’asta si ha:

− lo spostamento:

{S(x)} ⇒

(6.1) u(x)

− la deformazione: ⇒ ε

{ε(x)} (x)

(6.2) x

− lo sforzo: ⇒ σ

{σ(x)} (x)

(6.3) x −

24 R. B E F

ARBONI LEMENTI INITI

L’elemento finito è quello di figura a x

y

due G.L., per cui lo spostamento (6.1) L ∆

z ∆

può essere approssimato con un 2

1

1 2

polinomio in due soli parametri:

{S(x)} ⇒ + a x

(6.4) u(x) =a 1 2

ovvero, in forma matriciale: ⎧ ⎫

{ } a

= 1

⎨ ⎬

( ) 1

(6.5) u x x ⎩ ⎭

a 2

Imponendo le (5.4): ∆ ∆

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫

0

1 0 a a L

1

= ⇒ =

1 1 1 1

⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∆ ∆

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

1 1

1 L a a L

2 2 2 2

che sostituita nella (6.5): ∆

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎛ ⎞

{ } L 0 x x

1 ∆ ∆

= = − +

1

⎨ ⎬

⎢ ⎥

u ( x ) x 1

1

(6.6) ⎝ ⎠

− 1 2

⎣ ⎦ ⎩ ⎭

1 1

L L L

2

Poichè: ∆

⎧ ⎫

∂ { }

u 1

{ }

ε ⇒ ε = = − 1

⎨ ⎬

(6.7) 1 1 ∆

x ⎩ ⎭

x L 2

per cui, confrontata con la (4.2):

{ }

1

{ } = −

(6.8) B 1 1

L

Dalla Tabella 2 si ha che [C]=E, quindi applicando la (4.6):

− −

L ⎧ ⎫ ⎡ ⎤

{ } 1 1

1

∫ EA

EA

[ ] = − =

⎨ ⎬ ⎢ ⎥

dx

1 1

K

(6.9) −

2 ⎣ ⎦

⎩ ⎭ 1 1

1 L

L 0

Il lettore può constatare che l’E.F. di asta è:

− , dal momento che è consentito il moto rigido di traslazione

completo nella (6.4)) ed indipendentemente dalla dimensioni

(presenza del termine a

1

la deformazione è costante;

− , perchè unito ad altri solo ai nodi dove è definito lo

compatibile

spostamento. − 25

R. B C A

ARBONI OSTRUZIONI EROSPAZIALI

7. Elemento finito di trave inflessa

Per la trave inflessa si ha:

− le variabili cinematiche del moto sono spostamento e rotazione, quindi il

vettore “spostamento” risulta: ⎫

⎧ w

{ } = ⎬

S

( x , z )

(7.1) θ ⎭

− la deformazione conseguente è la curvatura:

{ε(x)} ⇒ ∂ 2 2

(7.2) w/∂x

− lo sforzo è il momento:

⇒ Μ

{σ(x)} (x)

(7.3) x

L’elemento finito è quello di figura a quattro G.L. Considerando valide

l’ipotesi di Kirchoff per cui la rotazione è θ θ

M M x

1 , 1

la derivata dello spostamento, lo 2 , 2

spostamento w può essere approssimato 1 2

L w F

w F 2, 2

1, 1

con un polinomio con quattro coordinate

generalizzate: θ=

2 3 2

+ a x + a x + a x ; a + 2a x + 3a x

(7.4) w(x) =a 1 2 3 4 2 3 4

ovvero, in forma matriciale: ⎧ ⎫

a 1

⎪ ⎪

⎡ ⎤

⎧ ⎫ ⎪ ⎪

2 3

w ( x ) a

x x x

1

= 2

⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥

(7.5) θ 2

⎩ ⎭ ⎣ ⎦

( x ) a

x x

0 1 2 3 ⎪ ⎪

3

⎪ ⎪

⎩ ⎭

a 4

Imponendo le (5.4): ⎤

⎡ ⎫

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ 3

1 0 0 0 a w a w

0 0 0

L

1 1 1 1

⎢ ⎥ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

θ θ

⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ 3

0 1 0 0 a a 0 0 0

L

1 ⎥

⎢ ⎥ = ⇒ =

2 1 2 1

⎨ ⎬

⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎥

⎢ ⎥ − − −

2 3 3 2 2

L L L

1 a w a w

L 3 2 3

L L L L ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

3 2 3 2

⎢ ⎥ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

θ θ

2

⎣ ⎦ ⎩ ⎭

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎩ ⎭

L L

0 1 2 3 a a ⎦

⎣ 2 2

L L

4 2 4 2

26 R. B E F

ARBONI LEMENTI INITI

che sostituita nella (7.5): ⎡ ⎤ ⎧ ⎫

3 w

0 0 0

L 1

⎢ ⎥ ⎪ ⎪

θ

⎡ ⎤

⎧ ⎪ ⎪

2 3 3

w 1 0 0 0

x x x L

1 ⎢ ⎥

= 1

⎬ ⎨ ⎬

⎨ ⎢ ⎥

(7.6) ⎢ ⎥

θ − − −

3 2 2 2

⎩ w

⎣ ⎦

L 0 1 2 3 3 2 3

x x L L L L ⎪ ⎪

2

⎢ ⎥ ⎪

⎪ θ

− ⎩ ⎭

⎣ ⎦

2 2

L L 2

Poichè: ⎡ ⎤ ⎫

3 w

L 0 0 0 1

⎢ ⎥ ⎪

⎪ θ

∂ ⎪

3

2 { } 0 L 0 0

w 1 ⎢ ⎥

{ }

ε ⇒ ε = = 1 ⎬

(7.7) 0 0 2 6 x ⎢ ⎥

∂ − − −

x 2 3 2 2 w

x L 3

L 2 L 3

L L ⎪

⎪ 2

⎢ ⎥ ⎪

⎪ θ

− ⎭

⎣ ⎦

2 L 2 L 2

per cui, confrontata con la (4.2):

{ }

1

{ } = − + − + − − +

2 2

(7.8) B 6 L 12 x ; 4 L 6 Lx ; 6 L 12 x ; 2 L 6 Lx

3

L

Dalla Tabella 2 si ha che per la trave inflessa [C]=EI, quindi applicando la

(4.6) si ottiene la (2.29).

Il lettore può constatare che l’E.F. di trave è:

− , dal momento che è consentito il moto rigido di traslazione

completo ) e di rotazione (presenza del termine a ) ed per

(presenza del termine a

1 2

L→0 la deformazione (7.7) risulta costante;

− , perchè unito ad altri solo ai nodi dove è definito lo

compatibile

spostamento e la rotazione.


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Costruzioni aerospaziali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Barboni Renato.

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