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Elementi di matematica, statistica descrittiva e probabilità Appunti scolastici Premium

Materiale didattico per il corso di Valutazione e finanziamento dei progetti del Prof. Alessandro Cataldo all'interno del quale sono discussi alcuni elementi di matematica e statistica probabilità. In particolare: definizione e rappresentazione di una funzione; media e indici di dispersione;... Vedi di più

Esame di Valutazione e finanziamento dei progetti docente Prof. A. Cataldo

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Elementi di statistica

Media aritmetica

E’ la misura di tendenza centrale più comunemente usata e

si calcola sommando tutte le osservazioni di un gruppo di

dati e poi si divide il totale per il numero di unità interessate

6 +8 + 9+12 + 9+7+10+11 6*2+8*3+9*5+12*2+9*4+7*3+10*2+11*2

= 9 = 8,9

Media =

Media = 23

8

© 2011 Valutazione e finanziamento dei progetti Pagina 11

Elementi di statistica

Varianza

La varianza è una misura di dispersione comunemete utilizzata per misurare come i dati

osservati si distribuiscono rispetto al valore medio

La varianza è la media aritmetica dei quadrati degli scostamenti dei dati rilevati dalla media

aritmetica. dove

X X- M (X-M)^2

10 -1,7 2,8

14 2,3 5,4

9 -2,7 7,1 (2,8+5,4+7,1+0,4+11,1+0,4)

Varianza =

11 -0,7 0,4 = 4,6

15 3,3 11,1 6

11 -0,7 0,4 Con la varianza otteniamo unità elevate al quadrato (età elevate al quadraato,

Media = 11,7 euro elevati al quadrato …), per superare questo limite si usa più

frequentemente un’altra misura …..

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Elementi di statistica

Scarto quadratico medio

Lo scarto quadratico medio è un indice di dispersione dei valori osservati rispetto al loro

valore medio ed è espresso nella stessa unità di misura dei valori osservati.

Si determina attraverso la radice quadrata della varianza

dove

A partire dallo scarto quadratico medio si definisce anche il coefficiente di variazione o

definito come il rapporto tra e la media aritmetica dei valori; è utile perché permette

σx

di confrontare fenomeni misurati con unità di misura differenti, in quanto si tratta di un

numero puro

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Variabili casuali e probabilità

Variabile casuale

Una variabile casuale (o variabile aleatoria ) può essere pensata come il risultato

numerico di un esperimento quando questo non è prevedibile con certezza

Variabile discreta

l'insieme dei valori X assunti dalla variabile aleatoria è un insieme discreto, cioè X={x1,x2,...}

Variabile casuale continua

Una variabile casuale continua può assumere tutti i valori compresi in un dato

intervallo reale. Essa presenta una maggiore complessità rispetto alle v.c. discrete in

quanto non è possibile elencare tutti i valori che la variabile casuale assume, essendo

questi un’infinità.

Una variabile casuale NON è una cosa di cui non sappiamo assolutamente nulla

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Variabili casuali e probabilità

Di un avariabile casuale possiamo stimare la probabilità.

La probabilità viene utilizzata per quantificare numericamente la possibilità che un

dato evento si realizzi

Probabilità di un un evento E (definizione classica)

La probabilità P (E) di un evento E è il rapporto fra il numero m dei casi favorevoli (al

verificarsi di E) e il numero n dei casi possibili, giudicati egualmente possibili.

P(E) = m/n

se P = 0 l’evento si dice impossibile

La probabilità è un compreso fra 0 e 1:

0<= P(E) <= 1 se P = 1 l’evento si dice certo

la definizione si può applicare quando l’insieme dei casi è un insieme finito e quando si può

ipotizzare che gli eventi abbiano tutti la stessa probabilità di verificarsi

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Variabili casuali e probabilità

Concezione frequentista di probabilità:

Dalle critiche alla definizione classica di probabilità, si sviluppò la concezione frequentista,

che si può applicare quando si possono eseguire tante prove quante si vogliono

sull’evento, oppure sono disponibili tavole con i risultati di rilevazioni statistiche relative a

un certo fenomeno

Si definisce frequenza relativa di un evento in n prove effettuate nelle stesse condizioni,

il rapporto fra il numero k delle prove nelle quali l’evento si è verificato e il

numero n delle prove effettuate: dove 0 <= f <= 1

La frequenza varia al variare del gruppo delle prove eseguite, ma, fatto interessante, è stato

costatato che se il numero di prove è sufficientemente alto, il rapporto k/n tende a stabilizzarsi

La probabilità di un evento è la frequenza relativa in un numero di prove ritenuto

“sufficientemente” elevato.

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Variabili casuali e probabilità

Valore atteso di una variabile casuale dscreta

La media di una variabile casuale è il suo VALORE ATTESO

n Con X = variabile aleatoria di interesse

∑ xi P(xi) Xi = i esimo risultato della variabile X

i = 1 P (Xi) = Probabilità che si verifichi l ì iesimo risultato di X

Dalla formula si desume che il valore atteso di una variabile aleatoria è la media

ponderata dei possibili risultati (dove la ponderazione dipende dalla probabilità

associata al singolo risultato.

Varianza e scarto quadratico medio di una variabile aleatoria

n ( )

µ n

− ( )

µ

2

∑ 2

( xi ) * p xi ( xi ) * p xi

= =

i 1 i 1

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Variabili casuali continue e funzione di densità di probabilità

Per determinar el aprobabilità che una variabile casuale assuma valori compresi in un certo

intervallo, dobbiamo ricorrere alla funzione di densità

≤ ≤

Per una variabile casuale continua X la probabilità P(a X b) è uguale all’area sottesa

dalla funzione di densità f(x) nell’intervallo [a,b].

a b

Il calcolo dell’area evidenziata, matematicamente si traduce ne calcolo di un integrale:

b

∫ f ( x ) dx

P(a<x<b) = a

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La distribuzione Normale (Gaussiana)

La distribuzione di probabilità più importante e più utilizzata è la

distribuzione di probabilità continua NORMALE O GAUSSIANA

Viene anche chiamata curva degli errori accidentali, in quanto la distribuzione degli errori

commessi nel misurare ripetutamente una stessa grandezza è molto ben approssimata da

questa curva

1. Il grafico della funzione di densit à di probabilit

à è a forma di

campana, nota come Campana di Gauss δ

2. La distribuzione è definita da due parametri che sono media e

deviazione standard

3. La distribuzione è simmetrica e centrata sulla media µ

4. Attraverso la funzione di densità f(f) possiamo determinare a

probabilità che la variabile assuma valori compresi in un certo

intervallo

Ogni distribuzione normale è univocamente definita dalla media e dalla varianza.

µ 2

 

1 X ( )

−  

La funzione di − ∞ < < +∞

1 X

σ

=  

2

f ( X ) e

densità è : σ π

2

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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Valutazione e finanziamento dei progetti del Prof. Alessandro Cataldo all'interno del quale sono discussi alcuni elementi di matematica e statistica probabilità. In particolare: definizione e rappresentazione di una funzione; media e indici di dispersione; variabili casuali; distribuzione normale e Curva di Gauss; la tavola della distribuzione normale media standardizzata.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in analisi economica delle istituzioni internazionali
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Valutazione e finanziamento dei progetti e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Cataldo Alessandro.

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