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2 elasticità lineare per corpi affini

1 Piccole deformazioni

Di solito i corpi si deformano molto poco. Ha dunque interesse valutare la risposta a “piccole defor-

mazioni”. Si consideri una traiettoria generata da deformazioni affini dipendenti da un parametro

di controllo β (p̄ ) = (p̄ ) + (p̄ − ) (1)

F

φ φ p̄

A O β A O

β β

e la decomposizione polare del gradiente della deformazione

= . (2)

F R U

β β β

Le espansioni in serie = + + o(β), (3)

R I Θ

β β

= + + o(β), (4)

U I E

β β

sono costituite dalla somma del valore in β = 0, di un termine lineare in β e di un termine o(β)

tale che o(β)

lim = ∀a ∈ V. (5)

a o

β

β→0

Sostituendo queste espressioni nella (2) si ottiene

= (I + )(I + ) + o(β) = + + + o(β), (6)

F Θ E I Θ E

β β β β β

Si noti che , detta è un tensore antisimmetrico poiché

rotazione infinitesima,

Θ β T

T T + + o(β) = (7)

= ⇒ (I + ) (I + ) + o(β) = ⇒ Θ O,

R R I Θ Θ I Θ β

β β β β

β

mentre , detta è un tensore simmetrico poiché lo è .

dilatazione infinitesima,

E U

β β

corrisponde il campo di spostamento

Alla deformazione (1) (p̄ ) = (p̄ ) + (F − − ), (8)

u u I)(p̄ p̄

β A β O β A O

che per la (6) diventa ) = ) + (Θ + )(p̄ − ) + o(β). (9)

u(p̄ u(p̄ E p̄

A O β β A O

2 Dilatazione infinitesima

Si osservi che per la (4) si ha

kU 1 1 ·

ak E a a

β β

1/2

= (U · = (kak + · + o(β) = 1 + + o(β). (10)

a U a) E a a)

β β β

kak kak kak ·

a a

Eliminando il pedice β e indicando la matrice di in un base ortonormale {e , , } con

E e e

1 2 3

ε ε ε

11 12 13 

ε ε ε , (11)

[E] = 21 22 23

ε ε ε

31 32 33

risulta

per la (10) kU k

e

1 = 1 + · + o(β) = 1 + ε + o(β). (12)

E e e

1 1 11

ke k

1

DISAT, Università dell’Aquila, 14 maggio 2011 (1397) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.

3

elasticità lineare per corpi affini

Pertanto, a meno di o(β), ε è l’allungamento nella direzione di , ε è l’allungamento nella

e

11 1 22

direzione di , ε è l’allungamento nella direzione di . In corrispondenza della coppia di vettori

e e

2 33 3

e si ha inoltre

e e

1 2

2

2

· = · = + + o(β) · = + 2E + o(β) ·

U e Ue U e e I E e e I e e

1 2 1 2 1 2 1 2

= · + 2E · + o(β) = 2ε + o(β). (13)

e e e e

1 2 1 2 21

si ha anche

Utilizzando la (12) kU kkU k = (1 + ε )(1 + ε ) + o(β) = 1 + ε + ε + o(β) (14)

e e

1 2 11 22 11 22

−1

(kU kkU k) = 1 − ε − ε + o(β). (15)

e e

1 2 11 22

Ne deriva che l’angolo tra i vettori e è tale che

U e U e

1 2

π ·

U e U e

1 2

cos − γ = = 2ε + o(β). (16)

21 21

2 kU kkU k

e e

1 2

π − γ ) = sin(γ ) ≃ γ , per lo γ corrispondente alla coppia di vettori

Poiché cos( scorrimento

21 21 21 21

2

, si ottiene

e e

1 2 γ ≃ 2ε . (17)

21 21

Per la stessa ragione si ha γ ≃ 2ε , γ ≃ 2ε . (18)

32 32 13 13

Si noti che se è un autovettore di e ε l’autovalore corrispondente, si ha

u E

i i = ε (19)

Eu u

i i i

e dalla (4) = (U − + o(β))u = ε ⇒ = (1 + ε )u + o(β). (20)

Eu I u Uu

i i i i i i i

Pertanto per β abbastanza piccolo gli autovettori di sono vicini agli autovettori di mentre le

U E

dilatazioni principali sono approssimate dalle espressioni

λ ≃ 1 + ε . (21)

i i

3 Rotazione infinitesima

L’espansione in serie della rotazione si può costruire nel seguente modo. Si consideri la rotazione

come composizione di tre rotazioni (v. 3)

Appendice (1)

(3) (2) (22)

= R R

R R

β β β

β (2) (3)

(1) , nulle per β = 0 e lineari in β.

con asse rispettivamente , , e ampiezze θ , θ , θ

e e e

1 2 3 β β β

(1)

Considerando ad esempio , la sua espansione in serie

R β (1) (1)

= + + o(β) (23)

R I Θ

β β

corrisponde all’espansione in serie della sua matrice

 

 

1 0 0 0 0 0

1 0 0

 

(1)

(1) (1)

 

− sin θ

0 cos θ 0 0 −θ

0 1 0

= + o(β). (24)

+

 

β β β

(1) (1) (1)

0 0 1

0 sin θ cos θ 0 θ 0

β β β

DISAT, Università dell’Aquila, 14 maggio 2011 (1397) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.

4 elasticità lineare per corpi affini

Componendo le espansioni in serie si ottiene

(3) (2) (1) (3) (2) (1)

= (I + )(I + )(I + ) + o(β) = + + + + o(β). (25)

R Θ Θ Θ I Θ Θ Θ

β β β β β β β

Dalla (3) risulta (3) (2) (1)

= + + (26)

Θ Θ Θ Θ

β β β β

(3) (2) (1)

essendo le matrici di , , , rispettivamente

Θ Θ Θ

β β β 

 

(3) (2) 0 0 0

0 −θ 0 0 0 θ

β β 

 

 (1)

(3) 0 0 −θ

0 0 0 . (27)

,

, 

 

θ 0 0 β

β (1)

(2) 0 θ 0

−θ 0 0

0 0 0 β

β

4 Variazione di volume

Per il volume del parallelepipedo di spigoli {U , , }, utilizzando la (4), si ha

e U e U e

β 1 β 2 β 3

vol (U , , )

e U e U e

β 1 β 2 β 3

= vol ((I + )e , (I + )e , (I + )e ) + o(β) (28)

E E E

β 1 β 2 β 3

= vol (e , , ) + vol (E , , ) + vol (e , , ) + vol (e , , ) + o(β).

e e e e e E e e e E e

1 2 3 β 1 2 3 1 β 2 3 1 2 β 3

Risulta dunque vol (U , , )

e U e U e

β 1 β 2 β 3 = 1 + tr + o(β). (29)

det = E

F β

β vol (e , , )

e e

1 2 3

Pertanto per β abbastanza piccolo è det ≃ 1 + tr . (30)

F E

β β

5 Variazione di area

Consideriamo la faccia F di un parallelepipedo. Il rapporto tra l’area di tale faccia e l’area della

faccia corrispondente F̄ nella configurazione di riferimento è dato da

A

F = k(cof (31)

F) n̄k

A

dove il versore normale esterno a F̄. Dall’espansione in serie della precedente espressione, per

n

β sufficientemente piccolo si ha · . (32)

k(cof ) ≃ 1 + tr − n̄ n̄

F n̄k E E

β β β

6 Linearizzazione della risposta del materiale

La tensione, data dalla funzione di risposta per un materiale elastico, è

b T

= ) . (33)

T R T(U R

β β β β

Si consideri l’espansione in serie

b b b

) = + ) = + ) + o(β), (34)

T(U T(I E T(I) C(E

β β β

DISAT, Università dell’Aquila, 14 maggio 2011 (1397) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.


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AUTORE

Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto relativo all'elasticità lineare per corpi affini approfondisce i seguenti argomenti:
- piccole deformazioni;
- dilatazione infinitesima;
- rotazione infinitesima;
- variazione di volume;
- variazione di area;
- linearizzazione della risposta del materiale;
- forza risultante e momento risultante linearizzati;
- elasticità lineare.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria chimica
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Scienza delle costruzioni e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Tatone Amabile.

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