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Edilizia - Archi, volte e cupole

Materiale didattico per il corso di Cantiere per il recupero del Prof. Fabrizio Leccisi, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: archi, volte e cupole; comportamento strutturale; origini storiche dell'arco e struttura spingente semplice; De La Hire e la teoria del cuneo; il dimensionamento... Vedi di più

Esame di Cantiere per il recupero docente Prof. F. Leccisi

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ESTRATTO DOCUMENTO

De Belidor

La teoria del cuneo

Egli considera la leva angolare ECD:

„ Braccio della forza F: dF = (y tgφ – x )cosφ

„ A A

Condizione di uguaglianza dei momenti rispetto a C:

„ φ −

y ( y tg x )

Q

= → = A A

Fd Px P

F G 2 x

Q/2

F G

A

φ φ

y

A E P

φ x

D

C x

G

d

F x

A 40/126

y tgφ

A

Couplet

Il collasso flessionale

Nel “Seconde partie de l'examen de la

„ poussee des voutes” del 1730, ammette

l'importanza fondamentale dell'azione

dell'attrito tra i conci che impedisce

l'attivazione di scorrimenti relativi

Affronta il problema dello spessore minimo di

„ un arco a tutto sesto caricato con il solo peso

proprio 41/126

Couplet

Il collasso flessionale

La soluzione è ottenuta da Couplet

„ ipotizzando un meccanismo di collasso a

cinque cerniere, collocate all'estradosso in

chiave e all'imposta e all'intradosso in

posizione rialzata a 45° rispetto all'orizzontale

42/126

Coulomb

Il principio dei Massimi e Minimi

Essai sur une application de maximis et

Charles Coulomb nel “

„ minimis a quelques problemes de statique, relatifs a

l'Architecture” del 1773, affronta il problema dell'equilibrio delle

volte in presenza di coesione ed attrito tra i conci

Per la prima volta l'obiettivo è la determinazione delle

„ sollecitazioni che insorgono in una volta di assegnate dimensioni

e figura

Il problema fondamentale che Coulomb si pone è questo:

„ In una volta per la quale siano assegnate la curva interna AB e la

„ curva esterna ab, sono dati anche i giunti Mm perpendicolari agli

elementi della curva interna; si richiedono i limiti della forza

orizzontale S che sostiene questa volta, supponendo che essa sia

sollecitata dal proprio peso, e sia trattenuta dalla coesione e

dall'attrito 43/126

Coulomb

Il principio dei Massimi e Minimi

Coulomb considera una porzione di arco compresa tra

„ la sezione in chiave e un generico giunto assunto

come critico.

Individua quattro modalità di collasso:

„ lo scorrimento relativo tra le facce nelle due direzioni

„ l'apertura del giunto per rotazione all'intradosso e

„ all'estradosso

a S

m Q A

M φ

b B 44/126

Coulomb

Il principio dei Massimi e Minimi

Impone l'equilibrio limite di scorrimento nelle due

„ direzioni, ottenendo un valore minimo ed uno

massimo della risultante S agente sulla sezione in

chiave.

Analogo procedimento è utilizzato imponendo

„ l'equilibrio limite alla rotazione nelle due direzioni.

a S

m Q A

M φ

b B 45/126

Coulomb

Il principio dei Massimi e Minimi

La massima reazione di attrito è assunta proporzionale all'azione

„ normale sul giunto attraverso un opportuno coefficiente

I valori massimi e minimi di S vengono ricercati al variare della

„ posizione del giunto critico sull'arco

ϕ

Il risultato finale fornisce un limite inferiore ed uno superiore di S

„ entro i quali l'equilibrio della volta è garantito

a S

m Q A

M φ

b B 46/126

Coulomb

Il principio dei Massimi e Minimi

Coulomb scopre e accetta l'indeterminatezza del

„ problema dimostrando che in un certo intervallo

ammissibile tutte le soluzioni sono ugualmente

accettabili.

a S

m Q A

M φ

b B 47/126

Il calcolo a rottura di

Mascheroni

Mascheroni idealizza i meccanismi di rottura

„ dell'arco individuati da De la Hire e da

Coulomb a sistemi di aste rigide e ne

determina le condizioni limite di equilibrio

Egli propone lo studio di due dei possibili

„ meccanismi di rottura dell’arco:

Rottura per scivolamento del cuneo centrale con

„ punto di rotazione posto all’intradosso dell’arco

(De La Hire)

Rottura multipla con formazione di cerniere

„ all’intradosso ed alle reni 48/126

Il calcolo a rottura di

Mascheroni

Nella condizione di rottura si può vedere l’arco

„ come sistema articolato di corpi rigidi vincolati

a cerniera internamente e con l’esterno

2 2'

A A'

1 1' 49/126

Il calcolo a rottura di

Mascheroni

Il sistema è labile:

„ Numero dei gdl: 4 corpi x 3 g.d.l = 12

„ Numero dei vincoli: 2 gdl vincolati x 5 cerniere =

„ 10

Possono esistere condizioni di carico che

„ rispettano l’equilibrio 50/126

Il calcolo a rottura di

Mascheroni

Si analizza metà arco

„ Per la simmetria del sistema la reazione

„ offerta dalla cerniera in B non può che essere

orizzontale l B H

φ

' G

2 f

Q/2

A

H φ y

A

G

1

P

C x

G 51/126

x

A

Il calcolo a rottura di

Mascheroni

Il peso Q/2 del tratto di arco AB, passante per

„ il baricentro G dovrà essere equilibrato da

2

una forza orizzontale passante per B e da una

forza passante per A l B H

φ

' G

2 f

Q/2

A

H φ y

A

G

1

P

C x

G 52/126

x

A

Il calcolo a rottura di

Mascheroni

Costruito il triangolo dell’equilibrio si trova

„ l’azione che il corpo AB esercita sul corpo AC

attraverso la cerniera in A.

l B H

φ

' G

2 f

Q/2

A

H φ y

A

G

1

P

C x

G 53/126

x

A

Il calcolo a rottura di

Mascheroni

L’azione che il corpo esercita sul corpo

AB AC

„ ha:

componente verticale =

V Q/2

„ componente orizzontale = (Q/2)tgφ’,

H tgφ’=l/f

„ l B H

φ

' G

2 f

Q/2

A

H V

φ y

A

G

1

P

C x

G 54/126

x

A

Il calcolo a rottura di

Mascheroni

L’equazione di equilibrio dei momenti intorno

„ al punto fornisce la relazione:

C φ −

( y tg ' x )

Q Q

− − = → = A A

0

Hy x Px P

A A G

2 2 x

l G

B H

φ

' G

2 f

Q/2

A

H φ y

A

G

1

P

C x

G 55/126

x

A

Il calcolo a rottura di

Mascheroni

L’equazione è analoga a quella di De La Hire e

„ φ’

De Belidor, la differenza è nell’angolo che in

essa compare l B H

φ

' G

2 f

Q/2

A

H φ y

A

G

1

P

C x

G 56/126

x

A

Il calcolo a rottura di

Mascheroni

φ> φ’

Se il peso P necessario per evitare lo

„ scorrimento del cuneo centrale è maggiore di

quello necessario per evitare la formazione

delle cerniere per cui questo meccanismo

risulta più pericoloso per l’arco

Mascheroni considera tutte le sezioni come

„ possibilmente critiche, non solo quella a 45°.

57/126

Il ruolo dell’attrito φ> φ’

Nella maggioranza dei casi risulta per cui la

„ rottura avverrebbe per scorrimento piuttosto che per

formazione di cerniere

In realtà le superfici tra un concio e l’altro non sono

„ prive di attrito come ipotizzato

La reazione che le superficie del giunto offre al cuneo

„ centrale non è ortogonale al giunto stesso ma

ψ

inclinata di un angolo nel verso opposto a quello del

moto. 58/126

Il ruolo dell’attrito

L’equazione di equilibrio diventa:

„ φ −

( y tg '' x )

Q

= → = A A

Fd Px P

F G 2 x

G

φ’’= φ − ψ

con y y φ =φ−ψ

''

Q/2

F F Q/2

φ

A A

φ φ

''

φ φ

y y

A A

P P

φ φ

''

D D

x x

C C

x x

G G

d

F d

x x

F

A A 59/126

y tgφ y tgφ

''

A A

Il ruolo dell’attrito

L’ipotesi di mancanza di attrito fa

„ ritenere più pericoloso un meccanismo

che di fatto non si realizza

Si nota l’importanza dei parametri fisici

„ che entrano nel modello per la corretta

interpretazione della realtà 60/126

Gli studi sulla catenaria

Contemporaneamente alla nascita di queste

„ idee si sviluppano gli studi sulla catenaria

Hooke aveva per primo intuito la relazione

„ esistente tra una fune in equilibrio sotto

carichi assegnati ed un arco soggetto agli

stessi carichi avente forma identica ma

rovesciata. 61/126

La teoria elastica

Il XIX secolo è segnato dai tentativi di

„ interpretazione dell'arco in muratura

nell'ambito della teoria della trave elastica ad

asse curvilineo

Furono affrontati i problemi irrisolvibili

„ nell'apparato concettuale del corpo rigido:

l'effettiva capacità di sopportare certi stati di

„ sollecitazione

l'effettivo andamento della curva delle pressioni

„ all'interno dell'arco 62/126

La teoria elastica

Nel XVIII secolo era possibile trattare

„ rigorosamente solo strutture ipostatiche

o isostatiche

Erano note solo le condizioni di

„ equilibrio 63/126

La teoria elastica

Un arco considerato come elemento

„ monolitico è una struttura iperstatica

Per essere risolto è necessario tenere conto

„ della deformabilità del materiale di cui è

composto

Spetta a Hooke la sperimentazione sulla

„ deformabilità dei materiali e la definizione del

legame che porta il suo nome 64/126

La teoria elastica

Navier

Gli studi di Navier si basano sulle ipotesi di:

„ Legame elastico forze deformazioni

„ Determinate condizioni al contorno

„

Se l’arco è considerato rigido non è possibile

„ determinare la linea delle pressioni

Se si considera deformabile divengono

„ disponibili ulteriori equazioni che consentono

di risolvere il problema iperstatico 65/126

La teoria elastica

Navier

Navier propose di effettuare le verifiche di

„ stabilità condotte da Coulomb imponendo che

le sezioni rimanessero interamente reagenti

con tensioni massime di compressione inferiori

alle tensioni massime di rottura del materiale

rilevate sperimentalmente 66/126

La teoria elastica

Navier

Navier ipotizzò che, per avere solo sforzi di compressione, la

„ linea delle pressioni doveva passare, in corrispondenza dei

‘giunti di rottura’, al massimo per il terzo medio della sezione

resistente

In questo modo si ha la condizione limite di diagramma

„ triangolare delle tensioni di compressione all’interno della

sezione, con un valore nullo in corrispondenza del punto in cui

ha inizio lo scorrimento in caso di rottura. 67/126

La teoria elastica

Mèry

Partendo dagli studi di Navier Mèry mostrò che il

„ problema della determinazione del regime statico di

un arco poteva essere risolto utilizzando un poligono

di equilibrio a passaggio obbligato per due punti: il

terzo medio inferiore nella sezione di imposta e il

terzo medio superiore nella sezione in chiave, con

retta d’azione orizzontale (per arco simmetrico e

simmetricamente caricato e vincolato)

In questo modo noti i carichi esterni, era possibile

„ ottenere l’andamento della curva delle pressioni. 68/126

La teoria elastica

Mèry

La verifica dell’arco consiste nell’accertare che nelle sue sezioni

„ non siano presenti forze di trazione

Per un arco con sezione trasversale rettangolare, bisogna

„ verificare che la curva delle pressioni sia contenuta all’interno

della fascia delimitata dal terzo medio di tutte le sezioni

trasversali (nocciolo centrale d’inerzia).

P

P 1

P 2 H

3

P

4

P H

5 P

P curva delle pressioni 1

6 P

2

P S

3

P

4

P

5

P

S 6 69/126

La forma dell’arco

Gli studi condotti sull’arco nel corso del XIX secolo

„ riguardavano prevalentemente la forma da conferire

all’arco per garantire la centratura dello sforzo

normale in corrispondenza delle facce a contatto tra

un concio e l’altro.

Il profilo più adatto per un arco è quello la cui linea

„ d’asse si dispone secondo la funicolare dei carichi ad

esso applicati. 70/126

Distribuzione dei carichi che genera compressione uniforme per le diverse direttrici

La forma dell’arco

Se un arco è funicolare per un insieme di

„ carichi, non può esserlo per tutti gli altri

sistemi di carichi cui può essere assoggettato

In ogni arco si ha in genere una combinazione

„ di compressione e di flessione

Nell’arco in muratura la forma è, in genere,

„ funicolare del peso proprio e l’arco è soggetto

a flessione per i carichi accidentali. 71/126

La teoria elastica

Castigliano

Castigliano (1879) applica il suo teorema di minimo dell'energia

„ elastica per determinare l'andamento della linea delle pressioni

di un arco mediante un procedimento iterativo che consente di

tenere conto della non resistenza a trazione della muratura.

Calcolata una prima curva di tentativo nell'ipotesi di sezione

„ elastica:

verifica se è contenuta nel terzo medio dell'arco;

„ se ciò avviene, le sezioni sono compresse e la teoria elastica è

„ applicabile;

se invece la curva non è completamente interna al terzo medio,

„ riduce la dimensione delle sezioni eliminando la porzione soggetta a

trazione e procede quindi alla determinazione di una nuova curva

basandosi sulla geometria modificata della sezione.

il procedimento iterativo è arrestato quando tutte le sezioni così

„ modificate sono interamente compresse. 72/126

La teoria plastica

La soluzione elastica del problema della definizione

„ del regime statico di un arco è sensibile alle variazioni

delle condizioni al contorno

L’analisi plastica non si basa sulla conoscenza dello

„ stato effettivo in cui la struttura si trova ma

sull’esame delle condizioni in cui essa può collassare e

sulla verifica che la struttura abbia un sufficiente

margine di sicurezza rispetto al collasso

Lo stato di equilibrio analizzato nella teoria plastica

„ non è lo stato reale in cui si trova ma uno stato

possibile

Se il progettista riesce a trovare un modo in cui la

„ struttura si comporta soddisfacentemente allora essa

sicuramente ci riuscirà. 73/126

La volta a botte

La volta a botte si può considerare generata dalla

„ traslazione di un arco lungo una direttrice ad esso

ortogonale

Se la volta poggia con continuità lungo i bordi

„ longitudinali il comportamento di ciascuna sezione è

del tipo ad arco

I muri laterali devono essere sufficientemente larghi

„ per contenere le spinte 74/126

La volta a botte

Se la volta non poggia con continuità si

„ determina un comportamento a trave 75/126

Le spinte nella volta

Le volte a botte possono essere studiante utilizzando

„ la teoria delle membrane

Una membrana è una superficie curva il cui spessore

„ è piccolo se comparato alle altre dimensioni della

struttura in grado di trasmettere solo sforzi interni

giacenti sul piano tangente

Ciascun elemento della volta è sollecitato da tensioni

„ normali (trazione e compressione) e taglio 76/126

Lesioni dovute a spostamento

dei piedritti

Tale meccanismo di rottura si manifesta con la

„ depressione del settore centrale dovuta

all’allontanamento dei piedritti causato della

loro rotazione verso l’esterno

Si sviluppa il meccanismo di rottura a 3

„ cerniere: una cerniera lineare si forma in

prossimità della chiave e 2 alle reni 77/126

Le volte a crociera

La volta a crociera deriva dall’intersezione di 2

„ volte a botte tra loro ortogonali

Gli archi che si formano all’intersezione delle 2

„ volte possono essere integrati nella volta

(spigoli) o risaltare all’intradosso (costole

diagonali) 78/126

Le volte a crociera

Se sui piani verticali passanti per il perimetro

„ della pianta sono presenti nervature queste si

chiamano:

Costole trasversali: se comuni a due volte

„ adiacenti

Se si trovano su una muratura terminale:

„ Archi di testa: se comprese nella muratura

„ Costole di testa: se in risalto rispetto alla muratura

„ 79/126

Le volte a crociera

Le volte a crociera possono essere realizzate:

„ Per intersezione di volte a botte semicilindriche

„ uguali (pianta quadrata)

Per intersezione di volte a botte semicilindriche

„ con diversa campata e altezza (pianta

rettangolare)

L’intersezione delle 2 botti nei costoloni creava

„ un problema nel taglio delle pietre:

Una semplificazione si ebbe costruendo i costoloni

„ come archi indipendenti sui quali poggiavano i

pannelli delle volte 80/126

Le volte a crociera

L’esecuzione delle strutture ad arco

„ o voltate avveniva per fasi:

realizzazione di imposte aggettanti

„ solidali coi piedritti

realizzazione dell’elemento di chiusura

„ realizzazione delle pareti d’ambito a

„ buona presa avvenuta e in presenza di

un idoneo carico stabilizzante

Con le tecniche relative a pietra da

„ taglio o a mattoni potevano essere

realizzate volte senza cassaforma:

occorrevano soltanto delle centinature

„ disposte secondo le costolature. 81/126

Le volte a crociera

Con lo schema architettonico romano

„ con archi di testa a tutto sesto si

presentava un problema:

gli spigoli diagonali, intersezioni di due

„ cilindri circolari risultavano delle ellissi

frazionando un ellisse in conci si sarebbero

„ avuti conci diversi tra loro. 82/126

Le volte a crociera

Il problema venne risolto dai

„ costruttori gotici:

Partendo dagli archi corrispondenti

„ agli spigoli diagonali

(semicirconferenze con diametro

uguale alla diagonale del quadrato di

base)

gli archi di testa sono di forma

„ ellittica approssimati con archi a

sesto acuto

a parità di dimensioni di base la

„ volta si slancia

a parità di pesi le spinte sui piedritti

„ si riducono di circa il 30%. 83/126

Le spinte nella volta

L’intersezione delle volte in corrispondenza

„ delle costole determina una concentrazione di

forze dovuta all’improvviso cambio di

direzione delle tensioni

Le costole svolgono la funzione di

„ irrigidimento della volta:

Nelle volte con forti cambi di curvatura hanno

„ anche funzione di rinforzo 84/126

Le spinte nella volta

Le tensioni radiali hanno variano secondo

N

„ θ (w

= -wacosθ = peso per unità di

la funzione N

θ

superficie) 85/126

Le spinte nella volta

L’equilibrio alla rotazione di una porzione di

„ volta richiede che le spinte bilancianti dei

contrafforti agiscano ad una distanza z dal

piano di imposta della volta 86/126

Le spinte nella volta

E’ essenziale realizzare dei rinfianchi alla volta

„ che forniscano un percorso alle spinte quando

queste fuoriescono dalle costole diagonali 87/126

Le spinte nella volta

La linea delle spinte si discosta dalla

„ linea d’asse dei costoloni 88/126

Le spinte nella volta

Le volte a costoloni devono essere sostenute

„ da contrafforti

I capimastri delle cattedrali gotiche

„ realizzarono contrafforti esterni costituiti da

archi rampanti 89/126

Le spinte nella volta

Gli archi rampanti contrastano le spinte della

„ volta senza indurre trazione nella muratura

Per ridurre le dimensioni dei pilastri e ridurre

„ le spinte spesso si usarono 2 archi rampanti

posti l’uno sull’altro 90/126

Le spinte nella volta

Pesanti guglie venivano aggiunte sui

„ pilastri esterni per aumentare con il

carico la compressione e ridurre la

flessione 91/126

Le tavole di Ungewitter

Ungewitter realizzò delle tabelle per il calcolo

„ delle spinte nella volta in funzione di alcuni

parametri:

Rapporto freccia/campata

„ Spessore della volta

„ 92/126

Le patologie della volta

quadripartita

Pol Abraham identificò (1934)

„ le possibili lesioni in una volta

quadripartita:

Lesioni nelle volte principali in

„ chiave (formazione di cerniere)

Lesioni parallele alle costole

„ murarie con una completa

separazione del pannello della

fissures de

volta (dette

Sabouret

)

Lesioni che separano i pannelli

„ della volta dai muri 93/126

Lesioni dovute a spostamento

dei contrafforti

Tale meccanismo di rottura si manifesta con la

„ depressione del settore centrale dovuta

all’allontanamento dei piedritti causato della

loro rotazione verso l’esterno

La linea delle spinte passa attraverso i

„ rinfianchi e si scarica sui contrafforti 94/126

Lesioni dovute a spostamento

dei contrafforti

Il sistema fessurativo

„ trasforma la volta in 3

blocchi:

Fessure si formano in

„ prossimità e in adiacenza al

muro perimetrale

Una cerniera lineare si forma

„ vicino alla chiave

Le lesioni si generano perché

„ la muratura non è sufficiente

a contenere le spinte 95/126


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126

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3.08 MB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Cantiere per il recupero del Prof. Fabrizio Leccisi, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: archi, volte e cupole; comportamento strutturale; origini storiche dell'arco e struttura spingente semplice; De La Hire e la teoria del cuneo; il dimensionamento del piedritto; Couplet e il collasso flessionale; il principio dei Massimi e Minimi di Coulomb; calcolo a rottura di Mascheroni; teoria elastica e studi di Navier; volte a botte; Lesioni dovute a spostamento dei piedritti; volte a crociera, tavole di Ungewitter; tensioni nella cupola; Cupole emisferiche incomplete.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria edile
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Cantiere per il recupero e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Leccisi Fabrizio.

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