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Dualità

Il problema duale

Vediamo come si determina facilmente la soluzione del problema duale

= (4,

sapendo che la soluzione ottima del problema primale è x 2).

Si determinano i vincoli cui la soluzione aderisce: nel nostro caso

secondo e quarto. = =

Per gli scarti complementari si ha y 0 e y 0.

1 3

6 6

= =

Essendo x 0 e x 0 allora, nuovamente per gli scarti

1 2

complementari, la soluzione ottima del problema duale deve

aderire al primo e secondo vincolo e quindi risolvere il sistema di

equazioni + =

y y 2

2 4

=

y 1

2

= =

La soluzione è y 1 e y 1.

2 4 = (0,

La soluzione ottima del problema duale è y 1, 0, 1).

Provate a calcolarla utilizzando l’algoritmo del simplesso. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 22 / 67

Dualità

Algoritmo duale

Esempio 3. Risolviamo il seguente problema

 −2x −

max x

1 2

 −x ≤

+ 2x 5

 1 2

 −x − ≤ −4

x

1 2

x 5

 1

 ≥

,

x x 0

 1 2

la cui tabella simpliciale è

−2 −1 0 0 0

−1 2 1 0 0 5

−1 −1 −4

0 1 0

1 0 0 0 1 5

1 −4, {x }

= (0, = , ,

Purtroppo x 0, 5, 5) relativa alla base B x x non è

5

1 3 4 dsm

ammissibile altrimenti sarebbe ottima!

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 23 / 67

Dualità

Algoritmo duale

Potremmo utilizzare il problema ausiliario per determinare una prima

soluzione di base ammissibile, tuttavia . . . calcolando il problema duale

 − +

min 5y 4y 5y

1 2 3

 −y − ≥ −2

+

y y

 1 2 3

− ≥ −1

2y y

1 2

 ≥

, ,

y y y 0

 1 2 3

si osserva che la sua tabella simpliciale è

−4 −4

5 5 0 0 5 5 0 0

−1 −1 −1 −2 −1

1 0 1 1 1 0 2

cioè

−1 −1 −1 −2

2 0 0 1 0 0 1 1

1 {y }.

= (0, = ,

Quindi y 0, 0, 2, 1) è duale ammissibile con B y

5

D,1 4 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 24 / 67

Dualità

Algoritmo duale

Cosa succede se risolviamo il problema duale?

Entra in base y ed esce y ottendo

5

2

−3 {y }

= ,

0 5 0 4 B y

D,2 2 4

−1 −1

3 0 1 1 2

−2 = (0,

1 0 0 1 1 y 1, 0, 1, 0)

Osservazione −4

= <

Abbiamo fatto entrare y perché b 0

2 2 2

1 < .

Abbiamo fatto uscire y perché

5 1 1

Domanda: potevamo fare i calcoli direttamente sulla tabella del

simplesso primale? dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 25 / 67

Dualità

Algoritmo duale

Risposta: SI!

Dalla tabella simpliciale −2 −1 0 0 0

−1 2 1 0 0 5

−1 −1 −4

0 1 0

1 0 0 0 1 5

<

si individua la riga avente b 0 e quindi la variabile uscente: nel

i

nostro caso la seconda riga relativa a x ;

4 c j risulta

su tale riga si individua il coefficiente negativo a per cui

ij a

ij

−1

=

minimo: nel nostro caso a in quanto

22 −2 −1

c c

1 2

= > = ;

−1 −1

a a dsm

21 22

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 26 / 67

Dualità

Algoritmo duale

entra in base x con la nuova tabella simpliciale

2

−1 −1

0 0 0 {x }

= , ,

B x x

5

2 2 3

−3 −3

0 1 2 0

−1

1 1 0 0 4 2 −3,

= (0,

x 4, 0, 5)

1 0 0 0 1 5

Domanda: qual è la relazione tra le nuove tabelle dei due problemi?

Riscriviamoli in forma canonica eliminando le variabili in base

 −x −

max x

1 4  −3y + +

max 5y 4y

 5

1 3

 −3x ≤ −3

+ 2x

 

1 4

  −3y ≥ −1

+ +

y y

  5

1 3

− ≤

(P) (D)

x x 4

1 4 − ≥ −1

2y y

5

1

x 5

 

1

  ≥

, ,

y y y 0

  5

 1 3

,

x x 0

 dsm

1 4

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 27 / 67

Dualità

Algoritmo duale

Continuano ad essere uno il duale dell’altro!

Proseguiamo risolvendo i due problemi in parallelo

−3 0 5 0 4 0 0 4 1 3

−1 −1 −1/3 −1/3

3 0 1 1 1 0 1/3 1/3

−2 −2/3

1 0 0 1 1 0 1 2/3 1/3 5/3

5

13

3

{y } , ,

= , = ( 0, 0, 0)

B y y

D,3 1 4 3

−1 −1 −1/3 −5/3

0 0 0 0 0 0

−3 −3 −1/3 −2/3

0 1 2 0 1 0 0 1

−1 −1/3

1 1 0 0 4 0 1 1/3 0 3

1 0 0 0 1 5 0 0 1/3 2/3 1 4

3

{x }

= , , = (1,

B x x x 3, 0, 0, 4) dsm

5

3 1 2

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 28 / 67

Dualità

Algoritmo duale

Abbiamo ottenuto le due soluzioni ottime alla fine della seguente

successione di soluzioni di base (in rosso le variabili di scarto).

S P D S

Scarti

P D

1 1

−4,

= (0, = (0,

NO x 0, 5, 5) SI y 0, 0, 2, 1) SI

2 2

−3,

= (0, = (0,

NO x 4, 0, 5) SI y 1, 0, 1, 0) SI

13 5

3 3

= (1, = ( , ,

SI x 3, 0, 0, 4) SI y 0, 0) SI

0,

3

Osservazione

Tutte le coppie di soluzione di base primale–duale sono in scarti

complementari e si dicono soluzioni di base complementari. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 29 / 67

Dualità

Algoritmo duale 6

y

3

aa

(

(

(((

((((

(

(

(

(

(((

(

((

C (

(

((

(

C

(

C

C

C y

C -

2

s s

C C

C C

s

C

C

C

C

D

La regione ammissibile di

s

y

1 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 30 / 67

Dualità

Algoritmo duale

Descriviamo i punti salienti dei passaggi effettuati.

(P)

Nel problema abbiamo individuato una soluzione di base

1 −4,

= (0,

(intersezione di due rette) x 0, 5, 5) ma non è

ammissibile. ≤

Peccato! Se lo fosse stata, sarebbe stata ottima (infatti c 0).

Ma allora, essendo c 0, abbiamo una soluzione di base

1

(D):

ammissibile del problema per questo motivo x si dice

soluzione di base “duale” ammissibile.

A questo punto potremmo applicare l’algoritmo del simplesso a

(D), determinare l’eventuale soluzione e ricavare la soluzione

(P)

ottima di utilizzando il Teorema degli scarti complementari:

(P)

continuando ad utilizzare la tabella simpliciale di diremo che

stiamo applicando l’algoritmo duale del simplesso. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 31 / 67

Dualità

Algoritmo duale

Vediamo come si traducono due applicazioni:

(D)

applicando direttamente l’algoritmo a si passa da soluzione di

◮ (D) (D)

base ammissibile per a soluzione di base ammissibile per

<

muovendoci lungo una direzione di discesa individuata da b 0

i

cercando di ottenere la condizione di ottimalità b 0;

(P)

mantenendo la tabella simpliciale di i passi dell’algoritmo

◮ ≤

corrispondono a mantenere c 0 (e quindi a passare da soluzione

di base duale ammissibile a soluzione di base duale ammissibile)

cercando di farla diventare primale ammissibile cioè facendo

diventare b 0. (D)

In ogni passo le soluzioni di base del problema e del

(P)

problema risultano in scarti complementari.

L’algoritmo avrà termine ovviamente quando la soluzione di base

duale ammissibile risulterà anche primale ammissibile. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 32 / 67

Dualità

Algoritmo duale s

c

6

A

Ammissibile primale

s A

s

c

A AAU

@ x

5

Ammissibile duale

s A

A

@

A

@

q

s

c

A

@

A

@

c

x

@

3

@

- x

@

4

x @

2

@

@

A A x

6

1

@

A

-

A

s

c c c

s c

s

s

A A @

A A @ @ c dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 33 / 67

Dualità

Algoritmo duale

Osservazione

Una soluzione di base duale ammissibile si visualizza facilmente nel

piano: è identificata dall’intersezione di due rette ed è punto di ottimo

per la funzione c x ristretta alla zona di piano individuata dalle due

disequazioni. (P)

A questo punto una soluzione di base del problema pu essere:

S

primale ammissibile se è un vertice del poliedro ,

P

duale ammissibile se la corrispettiva soluzione duale ottenuta

S

applicando gli scarti complementari è un vertice del poliedro ,

D

(P).

primale–duale ammissibile quando è soluzione ottima di

È ovvio che può essere nessuna delle tre ma una insignificante (sic!)

intersezione tra n iperpiani! dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 34 / 67

Dualità

Algoritmo duale

Esempio 4. Studiamo il seguente problema

 −x −

max 2x

1 2

 −x ≤

+ 2x 4

 1 2

 ≥

+

x x 2

1 2

− ≤

x x 0

 1 2

 ≥

,

x x 0

 1 2

La tabella simpliciale è −1 −2 0 0 0

−1 2 1 0 0 4

−1 −1 −2

0 1 0

−1

1 0 0 1 0

1 −2,

= (0,

con soluzione di base x 0, 4, 0) duale ammissibile degenere.

dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 35 / 67

Dualità

Algoritmo duale

Possiamo utilizzare l’algoritmo duale. Esce di base x ed entra x

4 1

−1 −2

<

poich −1 −1

−1 −1

0 0 0 {1,

=

B 3, 5}

2

−1

0 3 1 0 6

−1

1 1 0 0 2 2 −2)

= (2,

x 0, 6, 0,

−2 −2

0 0 1 1

Esce di base x ed entra x

5 2

−3/2 −1/2

0 0 0 {1,

=

B 2, 3}

3

0 0 1 1/2 3/2 3

−1/2

1 0 0 1/2 1 3 = (1, 3, 0, 0)

x 1,

−1/2 −1/2

0 1 0 1

La soluzione ottenuta è ottima. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 36 / 67

Dualità

Algoritmo duale

Approfondiamo lo studio del problema introducendo il duale

 −

max 4y 2y

1 2

 −y − ≥ −1

+

y y

 1 2 3

− − ≥ −2

2y y y

1 2 3

 ≥

, ,

y y y 0

 1 2 3

1. Qual è la soluzione ottima del problema duale?

3 =

Poiché x non aderisce al primo vincolo allora y 0. Inoltre,

1

6 6

= =

essendo x 0 e x 0, allora la soluzione deve aderire ai due

1 2

vincoli e quindi y e y sono le soluzioni del sistema

2 3 − =

y y 1

2 3

+ =

y y 2

2 3 1

3

3 , ,

= (0, 0, 0)

La soluzione ottima del problema duale è y 2 2 dsm

(controllate il gradiente ridotto della tabella simpliciale finale!).

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 37 / 67

Dualità

Algoritmo duale 1

2. Qual è la soluzione di base complementare associata a x ?

1

Ragionando come in precedenza, poiché x non aderisce al primo

= = =

e secondo vincolo allora y y 0. Tuttavia essendo sia x 0

1 2 1

=

sia x 0 non possiamo determinare a quale vincolo aderisce.

2 Essendo il problema duale formato da due vincoli

Ragioniamo!

con 3 variabili più 2 di scarto, ogni soluzione di base avrà almeno

tre zeri di cui noi ne conosciamo due. Quindi ci sono tre casi:

1

= = (0,

y 0 e quindi la soluzione di base è y 0, 0, 1, 2),

◮ 3 1 1 −1,

= = (0,

y 0 cioè y aderisce al primo vincolo da cui y 0, 0, 3),

◮ 4 1 1

= = (0,

y 0 cioè y aderisce al secondo vincolo da cui y 0, 2, 3, 0).

◮ 5

Tutte e tre le soluzioni di base sono in scarti complementari ma

solamente la prima e la terza sono duali ammissibili. Nel nostro

1

caso la soluzione y è . . . controllate il gradiente ridotto! dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 38 / 67

Dualità

Algoritmo duale

Concludiamo con una regolina “ermetica” che lasciamo decodificare

allo studente solutore.

Se, per il nostro esercizio, avessimo riscritto la condizione degli scarti

complementari nella seguente maniera

· · · · ·

= = = = =

y x 0, y x 0, y x 0, y x 0, y x 0

5 5

1 3 2 4 3 4 1 2

allora avremmo potuto intuire che la soluzione duale ammissibile in

1 1 = (0,

scarti complementari con x era y 0, 0, 1, 2).

Cosa vuol dire quella riscrittura?

Cosa dobbiamo conoscere della nostra soluzione di base duale

ammissibile per determinare quella complementare? 1

Determinate le tabelle simpliciali associate al punto x ma

espresse con le altre due basi: quali sarebbero state le soluzioni

dsm

rispettive soluzioni complementari nello spazio duale?

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 39 / 67

Dualità

Algoritmo duale

x s

6

- 1

Soluzione di base degenere

duale ammissibile

A AA x

U

3

A

A

A

s

@

A x

x 5

4 I

@

@

A

@

A

@

A

H

H

t

q

A

@

U

A

@

@

6

x

H

HH -

@ 2

H

s s s

dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 40 / 67

Dualità

Interpretazioni economiche della dualità = . . . ,

Un impianto produce n prodotti j 1, 2, n utilizzando m beni grezzi

= . . . , = (b , , . . . , ).

(raw materials) i 1, 2, m presenti in quantità b b b m

1 2

Siano m

= (q , , . . . , )

q q q il vettore dei costi di mercato dei beni,

R

m

1 2 n

= (p , , . . . , )

p p p il vettore dei prezzi di mercato dei

R

n

1 2

prodotti, ∈ M(m,

= (a )

A n) dove a indica la quantità del bene i

ij ij

necessaria per ottenere un’unità del prodotto j.

In un mercato in equilibrio si ha (per definizione)

m

X

= q a

p i ij

j i=1

cioè, scritto in forma vettoriale ⊺ ⊺

=

p q A. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 41 / 67

Dualità

Interpretazioni economiche della dualità

I mercati sono solitamente in equilibrio ma ogni tanto ci sono alcune

perturbazioni (dovute ad esempio all’innovazione) che spostano il

livello di equilibrio. In questi brevi periodi di assestamento il valore

degli a si riduce e si crea un profitto

ij ⊺ ⊺ ⊺

=

c p q A.

Il produttore guadagna fin quando il fornitore aggiorna il prezzo del

bene! Supponiamo che all’inizio di questo periodo, il produttore decida

di produrre una quantità x del prodotto j. Indicando con w il vettore dei

j

costi dei beni alla fine del periodo il guadagno finale del produttore

sarà 

 m

n

m

n X

X

X

X −

− .

+

π = q b

a x

w b

p x i i

ij j

i i

j j 

 i=1

j=1

i=1

j=1 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 42 / 67

Dualità

Interpretazioni economiche della dualità

dove ⊺

il primo addendo p x è l’incasso dalla vendita dei prodotti,

⊺ −

(b

il secondo addendo w Ax) è il valore del materiale residuo

col prezzo aggiornato a fine periodo,

il terzo addendo q b indica la spesa effettuata ad inizio periodo

per l’acquisto dei beni.

=

Poniamo y w q la variazione di prezzo dei beni; allora la funzione

π,

profitto scritta in forma vettoriale, diventa

⊺ ⊺ ⊺

− −

π = + (q + (b

p x y) Ax) q b

⊺ ⊺ ⊺ ⊺ ⊺ ⊺

− − −

= + +

p x q b q Ax y b y Ax q b

⊺ ⊺ ⊺

= +

c x y Ax y b dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 43 / 67

Dualità

Interpretazioni economiche della dualità π

Problema del produttore: massimizzare il profitto

π

Problema del fornitore: minimizzare la perdita

Iniziamo col problema del produttore e riscriviamo la funzione profitto

⊺ ⊺

− −

π = (Ax

c x y b). − >

Se la componente i–esima di Ax b fosse 0 allora il fornitore

alzerebbe tantissimo il prezzo del bene i (matematicamente

→ → −∞.

+∞) π

y e quindi Perciò il produttore sarà vincolato a

i ≤

Ax b

− <

Se la componente i–esima di Ax b fosse 0 allora il fornitore

non avrebbe convenienza ad alzare il prezzo del bene i e quindi

=

porrebbe y 0.

i dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 44 / 67

Dualità

Interpretazioni economiche della dualità ⊺

Quindi la funzione che il produttore cercherà di massimizzare sarà c x

ed il problema dell’allocazione delle risorse assume la seguente forma

 ⊺

max c x

 ≤

Ax b

x 0

Il ragionamento per il fornitore è speculare: questa volta riscriviamo

⊺ ⊺ ⊺

π = (c +

y A)x y b.

⊺ ⊺

− ≤ >

c y A 0 altrimenti se la componente j fosse 0 il produttore

produrrebbe una quantità enorme del prodotto j–esimo.

⊺ ⊺

− <

Se la componente j–esima di c y A fosse 0 allora al =

produttore non converrebbe produrre il bene j e porrebbe x 0.

j dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 45 / 67

Dualità

Interpretazioni economiche della dualità ⊺

Quindi la funzione che il fornitore cercherà di minimizzare sarà y b ed

il suo problema si presenterà nella seguente forma

 ⊺

min y b

 ⊺ ≥

A y c

y 0

Il problema del fornitore è esattamente il duale del problema del

produttore. Il Teorema di dualità forte afferma che se uno dei due

agenti ha soluzione allora anche l’altro ne avrà una e, soprattutto, i due

obiettivi assumono lo stesso valore. In altre parole viene nuovamente

ristabilito un equilibrio economico (sebbene ad un diverso livello di

prezzi). dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 46 / 67

Minimax

Il teorema di Von Neumann

La Teoria dei giochi tratta le situazioni in cui il risultato dipende dalle

scelte fatte da più persone (giocatori) che operano perseguendo

obiettivi che possono risultare comuni, differenti ed eventualmente

contrastanti. I giochi si classificano in

giochi non cooperativi in cui non ci sono accordi vincolanti tra i

vari giocatori,

giochi cooperativi in cui tali accordi sono possibili.

Per rappresentare un gioco tra n giocatori necessitiamo di

n insiemi S contenenti le possibili scelte o strategie dei singoli

i

giocatori × × × −→

: = . . .

n funzioni di payoff f S S S S che

R

n

i 1 2

rappresentano il guadagno dei singoli giocatori dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 47 / 67

Minimax

Il teorema di Von Neumann

Il concetto di soluzione per un gioco non cooperativo fu introdotto da

Nash nel 1950.

Definizione ∈

= (x , , . . . , )

Il vettore x x x S si dice equilibrio di Nash se nessun

n

1 2

giocatore ha interesse ad essere l’unico che cambia strategia, cioè se

per ogni i ≥ ∀x ∈

(x , . . . , , . . . , ) (x , . . . , , . . . , ),

f x x f x x S

n n

i 1 i i 1 i i i

Consideriamo il caso particolare di gioco non cooperativo tra due

giocatori X e Y a somma nulla, cioè quello che viene guadagnato da

un giocatore viene perso dall’altro. Quindi avremo due insiemi di

× −→

ϕ :

strategie S e S ed una sola funzione payoff S S che

R

X Y X Y dsm

rappresenta la funzione di payoff del giocatore X.

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 48 / 67

Minimax

Il teorema di Von Neumann

∈ ×

(x,

In questo caso y) S S risulta equilibrio di Nash se

X Y

≥ ∈

ϕ(x, ) ϕ(x, )

y y per ogni x S ,

X

≤ ∈

ϕ(x, ) ϕ(x, )

y y per ogni y S .

Y

Possiamo riscrivere le due disequazioni nella seguente forma

ϕ(x, ) = ϕ(x, ) = ϕ(x, )

max y y min y

y ∈S

x∈S Y

X

da cui si deduce ≤

ϕ(x, ) ϕ(x, ).

min max y max min y

y y

∈S ∈S

x∈S x∈S

Y Y

X X / /

(Non sottilizziamo sull’uso improprio dei concetti max sup e min inf!)

dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 49 / 67

Minimax

Il teorema di Von Neumann

Poichè vale sempre la disuguaglianza opposta

ϕ(x, ) ϕ(x, )

min max y max min y

y y

∈S ∈S

x∈S x∈S

Y Y

X X

(verificatela!) si deduce quanto segue

Teorema

(x, ) (x,

Se y è un punto di equilibrio di Nash allora y) è un punto di

ϕ

sella per cioè verifica

ϕ(x, ) = ϕ(x, = ϕ(x, ).

min max y y) max min y

y y

∈S ∈S

x∈S x∈S

Y Y

X X

Il viceversa è banalmente vero.

Vediamo come si può interpretare tale punto supponendo un

comportamento prudente dei giocatori. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 50 / 67

Minimax

Il teorema di Von Neumann ∈

X valuta, per ogni scelta y S , la massima vincita:

1 Y ϕ(x, );

max y

x∈S X

quindi il minimo che può vincere è

ϕ(x, ).

min max y

y ∈S x∈S

Y X ∈

Anche Y valuta, per ogni scelta x S , la massima vincita

2 X

ϕ(x, )

min y

y ∈S Y

e quindi la sua minima vincita è ϕ(x, ).

max min y

y ∈S

x∈S dsm

Y

X

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa La dualità 51 / 67


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Dualità: definizione ed esempi; il problema duale: teorema di dualità debole e forte, teorema degli scarti complementari; algoritmo duale; interpretazione economica della dualità. Teoria dei Giochi: minimax; il Teorema di Von Neumann; teorema di Sion; teorema di Brouwer.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Ricerca Operativa e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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