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Determinazione sperimentale del profilo di drogaggio

quattro punte

-3

N (cm )

x j

x ME-A-29 CORRENTI DI DIFFUSIONE

dn

J q D l = cammino libero medio

n n dx

k T 

 

D v l

n th n

q

(relazione di Einstein)

dp

 

J q D

p p dx

k T 

 

D v l

p th p

q  

k T T

 

V V

T

q 11600 S.M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” Ed. Hoepli

ME-A-30 EQUAZIONI DELLA CORRENTE

dn dp

  

 

J q n E q D J q p E q D

n n n p p p

dx dx

 

J J J

T n p

ME-A-31 EQUAZIONE DI CONTINUITA’

R

J (x) J (x+dx)

n n

G

x x+dx

 

  

( ) ( )

J x A J x dx A

n    

n n

 

A dx G R A dx

   n n

 

t q q 

J

   si ottiene

n

( ) ( ) dx

J x dx J x

Ponendo: 

n n x

  

J

n 1  

 n G R eq. di continuità per gli elettroni

 n n

t q x

ME-A-32

Il funzionamento di qualsiasi dispositivo a semiconduttore è descritto

dal sistema di equazioni differenziali nelle funzioni incognite n, p, V:

 

 

J

n 1 dn

 

 

 

 J q n E q D

n G R n n n 

  dx

n n

t q x

 

   dp

J

p 1 

 

 

    J q p E q D

p G R p p p

 

dx

  p p

t q x

  

dE 2

d V

  

 

s s

 

 

2

 

dx dx s

s

a cui vanno aggiunte le opportune condizioni al contorno.

ME-A-33

GENERAZIONE E RICOMBINAZIONE DEI PORTATORI

R G

-3 -1 -3 -1

[cm s ] velocità di ricombinazione [cm s ] velocità di generazione

U R G

-3 -1

[cm s ] = - velocità netta di ricombinazione

U = 0

All’equilibrio si ha:

In presenza di portatori minoritari in eccesso (p. es. lacune), si ha U>0. In particolare:

a) in caso di ricombinazione diretta banda-banda

p p 

 vita media delle lacune

n no

U p

 p

ME-A-34

b) in caso di ricombinazione indiretta (assistita da trappole o centri di

ricombinazione)   2

p n n

 i

U Eq. di Shokley-Reed-Hall

 

 

 

E E E E

t i i t

 

 

  

 

kT kT

n n e p n e

po i no i

 

 

 

 

-1 -1

= (N v ) = (N v )

po no

t th p t th n

N concentrazione di trappole o centri di ricombinazione

t

  sezioni di cattura per le lacune e gli elettroni

p , n

livello energetico delle trappole o centri di ricombinazione

E

t  E

La trappola o centro è più efficace se E t i

ME-A-35 prima

dopo cattura cattura emissione

emissione

elettrone lacuna lacuna

elettrone

S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli

ME-A-36

c) ricombinazione Auger (o a tre portatori)

Questo tipo di ricombinazione coinvolge tre portatori (e-e-h / h-h-e)

In un semiconduttore n, la vita media delle lacune che si ricombinano per effetto

Auger segue l’espressione:

1   2

A n p B n così la velocità di ricombinazione diventa:

 p

  

2 2 (dipendenza dal cubo delle

U A n p B n p

 concentrazioni di portatori)

ME-A-37

d) Ionizzazione da impatto (moltiplicazione a valanga)

Un portatore accelerato da un elevato campo elettrico può generare, per

impatto contro un atomo di Si, una coppia e-h.

Ipotizzando che elettroni e lacune abbiano la stessa massa efficace m:

1 energia cinetica quantità di moto

2 mv

mv i

i prima dell’impatto prima dell’impatto

2 m , v

f

m , v

i Si Si m , v

f

m , v

1 3 f 

 

2 2 mv 3

mv

mv E mv i f

i g f

2 2

conservazione dell’energia conservazione della quantità di moto

ME-A-38

Risolvendo, si determina la minima energia cinetica che deve essere posseduta dal

portatore per produrre la ionizzazione da impatto:

1 3

 

2

E mv E

i g

min 2 2

E

In realtà nel silicio si trova: = 3.6 eV (elettroni) e 5.0 eV (lacune)

min

Si può definire una velocità di generazione G di coppie e-h dovuta alla

A

ionizzazione da impatto:  

1  

 

G J J

A n n p p

q

  -1

in cui e [cm ] sono detti coefficienti di ionizzazione.

n p

ME-A-39

ESEMPIO: INIEZIONE LATERALE A REGIME

blocco semiconduttore drogato n, neutro e in bassi

livelli di iniezione 

corrente totale J =0 dovunque

T

aria silicio +J +J +J =0

J diff,p drift,p diff,n drift,n

 

= q p E << J = q n E (p<<n)

ma J drift,p p drift,n n

Poiché J deve esistere (diffusione) e deve essere

h>E diff,p

g J 

, allora q p E << q D dp/dx

diff,n p p

cioè: J = q D dp/dx

p p

0 x 

iniezione a regime dp/dt = dn/dt = 0

(condizioni al

p(x=0) = p(0) p(x=) = p o

contorno per blocco semi-infinito)

 2 p p

p  

o 0

D

Dall’eq. di continuità per le lacune: 

p 2

x

 p

x

 

   L  lunghezza di

p

p

( x

) p p

(

0

) p e L D

con:

0 0 p p p diffusione

ME-A-40 x

 

 

D  

p p

( )

p

      L

p

0 p

J q D q D q p ( 0 ) p e

 

p p p 0

x x L p

In caso di regione di lunghezza finita L, il profilo delle lacune si calcola da:

x x

 

2  

p p

p  

  L L

o p p

p ' x Ae Be

0

D 

p 2

x p   

 p ' 0 noto

  

con le condizioni al contorno: 

 p ' L 0

ME-A-41

Da queste si ricava: L

L  L

L   p

e

  p

e 

  B p ' 0

A p ' 0 L L

L L 

 

 L L

L L p p

e e

p p

e e  

L x

 

 

L x L x sinh

  

L L L

 

     

p p

e e

  p

p x p p

' ' 0 ' 0  

L L

 L

 

L L sinh

p p

e e  

L

 

p

ME-A-42 EFFETTI DOVUTI AD ALTO CAMPO ELETTRICO

Se la velocità di trascinamento diventa confrontabile con la velocità termica

v 7

10 cm/s (per il Si), si è in condizioni di elevato campo elettrico.

th

Effetti sulla mobilità:

 

E

 

v  

E

s

 o

v n 1

 

 

 

 E

  

1  

E 

 o

v 9 -0.87

= 1.7·10 ·T cm/s (velocità

s

di saturazione degli elettr. nel Si)

1.55

= 1.01·T V/cm

E

o

 -2 0.66

= 2.57·10 ·T S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli

ME-A-43

In presenza di alti campi elettrici, nel GaAs si ha un singolare fenomeno di

mobilità differenziale negativa dovuto alla particolare conformazione delle bande

di energia (possibilità che gli elettroni occupino valli diverse in banda di

conduzione) S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli

 

  n n

   

    

   

q n n qn H H L L v E

H H L L  n

n n

H L

ME-A-44 16 -3

E’ dato un blocco di silicio con drogaggio N =10 cm , a temperatura

D

ambiente. A seguito di una esposizione ad una sorgete luminosa, la

concentrazione di lacune raggiunge, a regime, uniformemente il valore di

8 -3

10 cm .

Determinare il tempo occorrente, dallo spegnimento della sorgente

luminosa, affinché la concentrazione di lacune raggiunga il valore di 1/10

della concentrazione di partenza.

 10 -3

Si assuma =1 ms, n =10 cm , modello di G-R diretta

p i

ME-A-45

Condizioni di bassi livelli di iniezione.

Assenza di polarizzazione (assenza di campi elettrici imposti)

Concentrazioni dei portatori uniformi (assenza di campi elettrici di built-

in, assenza di correnti di diffusione)  p

p p

   

o

L’eq. di continuità per le lacune diventa: G R  

t p p

p ' p '

 

i2

in cui p è la concentrazione a regime (n /N ). Dunque: 

o D 

t p

2

n

t  

8

 i

' ( 0 ) 10

p

  N

p

p ' (

t ) A e B D

 

p ' ( ) 0

ME-A-46 t

 

 p

p ' (

t ) p ' ( 0

) e t

 

  p

p (

t ) p p ' ( 0 ) e

o

in cui, nel nostro caso, 

   8 3

p ' ( 0

) p (

t 0

) 10 cm

ME-A-47 DIODO A GIUNZIONE P-N

Giunzione all’equilibrio termodinamico (V =0)

a

S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli

 

J J J J J J

= 0 = - = 0 = -

n n,diff n,drift p p,diff p,drift

ME-A-48 Disposizione delle bande in presenza di una polarizzazione

S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli

ME-A-49

Giunzione p-n in assenza di polarizzazione e in

polarizzazione inversa

ME-A-50 V

b - giunzione brusca ( )

passaggio netto da p a n

n

p N >> N ( )

- giunzione asimmetrica

A D

 (densità di carica) Poiché la carica totale è nulla, deve essere:

qN

D N = W N

W n D p A

W x

-W n 

p per cui: W >> W e quindi W= W + W W

n p n p n

2

d V qN

  D

2

dx

-qN

A da cui:

E (campo elettrico) W  

dV qN

-W n     

p D

E x W

x dx

Ponendo V(0)0, si ottiene:

V   

(potenziale) qN

 

2

D

V x 2

Wx

2

V +V

bi b da cui: 2

  qN W

   D

V W V V

x 

n bi b 2

ME-A-51

L’espressione ricavata è valida sia in polarizzazione inversa che diretta. In generale quindi:

  

2

 

s

W V V con V > 0 in polarizzazione diretta.

b

bi b

qN D

W

n E W

    max n

V V Edx

bi b 2

W 

p   

2 N N

 

s A D

W V V

In caso di giunzione brusca ma non asimmetrica: bi b

q N N

A D

Caso della giunzione a variazione lineare del drogaggio

 (densità di carica)

N 1

D 

 3

 

12

= -a x  

-W/2 s

W V V 

 bi b 

x a

W/2

N = N

-N D A

A

ME-A-52 dQ

C

CAPACITA’ DELLA GIUNZIONE dV

j

W Una variazione del potenziale

V+dV

n

p applicato determina una

variazione dell’ampiezza della

 regione di svuotamento. Alla

dQ variazione della carica scoperta

-W nella regione di svuotamento è

p x

W associata una capacità, detta

n capacità di svuotamento o della

dQ giunzione.

Il campo elettrico aumenta di

E una stessa quantità in ogni punto

W

-W n della regione di carica spaziale.

p x

 dQ

 

dV dE dx

 

s s

ME-A-53 E dE

 

 dV

x dQ 1

 

dE dx

  dV 2

s s W W

1 2

W

     

dV dV dV W dE W dE WdE dQ

1 2 1 2 s

dQ dQ j-2

C

   s

C j W

dV W

dQ

 valori sperimentali

s V bi

Per una giunzione brusca, asimmetrica e con

drogaggio costante: V

   1 2 2

V

q N  

 

s s bi

C V

 

  

 

j 2

W 2 V V q N q N

C

bi s s

j

ME-A-54

METODO C-V PER LA MISURA DEL PROFILO DI DROGAGGIO

W V+dV

n

+

P  

   dQ

 

  

dQ=qN(W)dW dV dE W W

 

 

s

x

W  

    2

q N W dW q N W d W

W

  2

s s

E W Poiché:

x

dV  

   1

 

  

2 2

s

dQ C d W d

  

dE j s

 2

W C

 

s j

ME-A-55

METODO C-V PER LA MISURA DEL PROFILO DI DROGAGGIO

W V+dV

n

p    2 1

dQ=qN(W)dx N W   

q 1

 

s d  

x

W 2

C

 

j dV

E  s

W C

x j

dV

dQ

dE  s

ME-A-56 LEGGE DELLA GIUNZIONE

L’applicazione di una polarizzazione

regione P regione N diretta pari a V produce la riduzione

a

Ec della barriera di potenziale da qV a

bi

q(V -V ) q(V -V ) ---> il numero di elettroni (e

bi a bi a

lacune) che riescono a transitare verso la

regione P (o N) aumenta.

E

Fn qV Tale numero può essere valutato

E a

Fp ricorrendo alla statistica di Boltzman:

Ev 

 E E

 Fn

  kT

n ( 0 ) e dE

p  

- +

0 0 q V V

x=0 bi a

disposizione delle bande per polarizzazione diretta Integrando si ottiene: V

E V V V a

Fn bi a a

q q q

 

   V

kT kT kT kT

n ( 0 ) kTe e e n ( 0 ) A e A e T

ovvero

p p

ME-A-57 A = n

-

Poiché per V = 0 deve risultare n (0 ) = n , allora: e dunque:

po

a p po

V V

a a

  

V  V

n ( 0 ) n e T p ( 0 ) p e T

ed equivalentemente:

p po n no

Moltiplicando per la concentrazione dei maggioritari, e ricordando la legge d’azione di massa, si ottiene:

V V

a a

   

V V

2

p ( 0 ) n ( 0 ) N n e n e

T T

p p A po i

V V

a a

   

V V

2

n ( 0 ) p ( 0 ) N p e n e

T T

n n D no i - +

Tali relazioni possono essere scritte a qualunque ascissa x attraverso la giunzione (0 < x < 0 ),

per cui più in generale si ha: V

a

 V

2

n ( x ) p ( x ) n e T

i

ME-A-58

CARATTERISTICA I-V DEL DIODO P-N IN POLARIZZAZIONE DIRETTA

modello fondamentale

Ipotesi:

1) bassi livelli di iniezione: la concentrazione di portatori maggioritari non è

influenzata dalla presenza di portatori minoritari in eccesso:

       

' '

n N p p N p N n n N

n D no n D p A po p A

(nella regione n) (nella regione p)

2) E 0 al di fuori della r.c.s.: è un’ipotesi che massimizza la corrente nel diodo

(massima riduzione della barriera di potenziale). A valle del calcolo della corrente

totale, l’attendibilità di questa ipotesi è verificabile calcolando le cadute di potenziale

(ohmiche) attraverso le regioni neutre. Vale ovviamente solo per basse polarizzazioni.

3) assenza di generazione-ricombinazione nella r.c.s.

 

e indipendenti da p, n, x

4)

5) contatti ideali

ME-A-59 CARATTERISTICA I-V DEL DIODO P-N

modello fondamentale

L’eq. di continuità per le lacune nella regione n diventa: 

 Lx

x VV

    

2  

p p

d p 

      

L

no p p

p x p p p e p e e

( 0 ) 1

T 

no no no

2 2

dx L 

p ) 

p ( p

avendo imposto la condizione al contorno: no

+

Dall’ascissa x=0 le lacune diffondono verso x = + determinando una corrente di

)

+

diffusione. Poiché E(0 0, non esiste una corrente di deriva di lacune, o è certamente

trascurabile rispetto alla corrente di deriva degli elettroni. Quindi: 

 VV

D

dp 

   

p

J qD q

( 0 ) p e 1

T 

no

p p dx L 

 0

x p

ME-A-60 +

All’ascissa x=0 esiste una corrente di diffusione di elettroni, ma è in genere

trascurabile poiché la concentrazione di elettroni è poco variabile (circa pari a N ).

D

+

0 )

Esiste invece una corrente di deriva (anche se E( 0) poiché N è grande.

D

- la corrente di elettroni è costituita solo dalla

D’altra parte all’ascissa x=0

componente di diffusione: 

 V

D

dn 

   

V

n

J ( 0 ) qD q n e 1

T 

n n po

dx L 

x 0 n

Per l’ipotizzata assenza di ricombinazione nella r.c.s. si ha:

   

 

J ( 0 ) J ( 0 ) J ( 0 ) J ( 0 )

n n p p + -

La corrente totale nella giunzione può essere calcolata in x = 0 (o in x = 0 ) :

  V

D

D 

 

 

    

p V

n

J J J q n

( 0 ) ( 0 ) p e 1

T

  

T n p po no

L L

  

n p

ME-A-61 polarizzazione inversa

polarizzazione diretta

S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli

ME-A-62 CASO DEL DIODO CORTO (L >>d , L >>d )

n n p p

Le concentrazioni dei minoritari

decadono linearmente lungo x,

dunque nella regione N, per esempio,

la corrente di diffusione delle lacune

P N non cambia lungo lungo x (gradiente

costante). Ciò vuol dire che non vi è

ricombinazione di lacune (ad ogni

d

-d +x

-x n

p n

p ascissa, il numero di lacune che

n, p transita nell’unità di tempo è

costante). Dunque non vi è neanche

ricombinazione di elettroni, per cui

nella regione N n=costante e J =0.

diff,n

Esiste però una J (costante lungo

n,drift

x) che serve ad alimentare la J in P

J n,diff

p,diff

J (N)=J (P)

J

n,diff n,drift n,diff

   

VV

' D

p 0  

   

p

J ( 0 ) qD q p e 1

T

 

p diff p n

, 0

d d  

n n

ME-A-63 CORRENTE DI RICOMBINAZIONE NELLA R.C.S.

J p,diff

J p J

R

J n,diff J n

N

P r.c.s.

W

  

J J J J

T n , diff p , diff R

ME-A-64

In realtà bisogna considerare la frazione di portatori che si ricombinano nella r.c.s.:

 

   

    

J J (

0 ) J (

0 ) J (

0 ) J (

0 ) J

T p n p n R

Per portare in conto la ricombinazione nella r.c.s. si può utilizzare la:

  2

p n n

W

  i

U

J qUdx con    

 

E E E E

R t i i t

0  

  

   

kT kT

n n e p n e

po i no i

   

E = E

Ponendo (massima efficacia del centro di ricombinazione) si ha:

t i pn

U     in cui n , p >> n per polarizzazione diretta.

 

   i

n n p n

po i no i

ME-A-65   

 

Ponendo , si ha U = U per n = p

no po o max

Assumendo U = U in tutta la r.c.s. :

max

p

J q W N.B. valida per polarizzazione diretta

R 2 po V V

  

V 2

V

2

pn n e p n e

T T

Poiché e dunque:

i

i V

W

 2

V

J q n e T

R i

2 o

ME-A-66 Alle basse polarizzazioni prevale la

(2) mentre alle medie

J R

polarizzazioni prevale la J (1)

diff

>J perché n > n (quindi

J Si GaAs i,Si i,GaAs

a parità di drogaggio i minoritari

sono in concentrazione inferiore nel

GaAs)

S. M. Sze “Dispositivi a semiconduttore” - Ed.Hoepli

ME-A-67


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Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico relativo ai dispositivi elettronici a semiconduttore vengono trattati i seguenti argomenti. Semiconduttori. Concentrazione dei portatori. Drogaggio.
Leggi del trasporto di elettroni e lacune nei semiconduttori. Giunzione p-n in assenza di polarizzazione e in polarizzazione inversa.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria elettronica
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Dispositivi elettronici a semiconduttore e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Mediterranea - Unirc o del prof Della Corte Francesco Giuseppe.

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