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Dispensa di Matematica - Vettori geometrici e sistemi di riferimento

In questa dispensa di Matematica a cura della professoressa Michela Brundu si parla di vettori geometrici e sistemi di riferimento. In particolare sono affrontati i seguenti argomenti:
- Vettori applicati;
- Sistemi di riferimento;
- Ulteriori operazioni tra vettori.

Esame di Algebra dal corso del docente Prof. M. Brundu

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3

(V , +, è un gruppo abeliano.

1.2. Proposizione. 0)

O

È chiaro che è elemento neutro; per ogni vettore A − O, esiste il suo opposto

Dimostrazione. 0

′ ′

A − O , dove A è il punto simmetrico di A rispetto ad O.

O A

A' Figura 3

La proprietà commutativa segue direttamente dalla definizione di somma di vettori. Resta da

verificare la proprietà associativa di cui diamo una dimostrazione grafica.

v + v

1 2

v 1

O v 2

v v + v

3 2 3

Figura 4

Dalla fisica è ben noto che si possono considerare i multipli di vettori (ad esempio considerando

un oggetto che si muove a velocità doppia di un altro, ecc.).

3

Questo fatto si può interpretare nel gruppo V definendo una seconda operazione che coinvolge

O

3

gli elementi di V e i numeri reali, che, in questo contesto, per differenziarli dai vettori, vengono

O

anche chiamati (reali).

scalari R

Si dice λ ∈ A − O il vettore

prodotto di uno scalare per un vettore

1.3. Definizione. B − O = λ(A − O),

tale che :

i) B, A, O sono allineati;

ii) B − O e A − O hanno lo stesso verso (e si dicono concordi) se λ > 0,

B − O e A − O hanno verso opposto (e si dicono discordi) se λ < 0;

iii) k B − O k= |λ| k A − O k.

Esaminiamo le proprietà di tale operazione.

12 Capitolo II - Vettori geometrici e sistemi di riferimento

3

R

Comunque scelti λ, µ ∈ e A − O, B − O ∈ V , valgono i seguenti fatti:

1.4. Proposizione. O

1) λ(µ(A − O)) = (λµ)(A − O);

2) 1(A − O) = A − O;

3) (λ + µ)(A − O) = λ(A − O) + µ(A − O);

4) λ((A − O) + (B − O)) = λ(A − O) + λ(B − O).

1) Poniamo C − O = λ(µ(A − O)) e D − O = (λµ)(A − O). Dalla definizione, C e

Dimostrazione.

D appartengono entrambi alla retta per O e A, dunque C − O e D − O hanno la stessa direzione.

Inoltre dall’esame dei segni di λ e µ , si verifica facilmente che C − O e D − O sono concordi: ad

esempio, se λ > 0 e µ < 0, segue che C − O è concorde con µ(A − O), quindi è discorde con A − O;

d’altra parte λµ < 0, dunque D − O è anch’esso discorde con A − O.

Infine k C − O k= |λ| |µ| k A − O k= |λµ| k A − O k=k D − O k.

La proprietà 2) segue direttamente dalla definizione.

′ ′ ′ ′

4) Poniamo C − O = (A − O) + (B − O) e C − O = (A − O) + (B − O), ove A − O = λ(A − O)

′ ′

e B − O = λ(B − O). Vogliamo verificare che λ(C − O) = C − O.

B' C'

B C

O

A A'

Figura 5

′ ′ ′

Poiché OA è parallelo a OA per definizione, anche BC è parallelo a B C ; inoltre OB è parallelo a

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

OB , dunque gli angoli OBC e OB C sono uguali. Inoltre λ = OB /OB = OA /OA = B C /BC.

′ ′ ′

Quindi i triangoli OBC e OB C sono simili. Da cui i vettori OC e OC sono paralleli e concordi

′ ′

e |OC | = λ|OC|. Quindi OC = λ(OC).

3) Si dimostra in modo analogo alla 4).

3

Quanto precede mette in evidenza che V , rispetto alle operazioni di somma e di prodotto per

O

uno scalare, ha una struttura più ricca di quella di gruppo abeliano. Tale struttura prende il nome

“naturale” di nozione che verrà trattata in dettaglio nel Capitolo III.

spazio vettoriale,

2. Sistemi di riferimento

È ben noto il concetto di sistema di riferimento; riprendiamo brevemente i punti fondamentali,

utilizzando il linguaggio vettoriale.

Data una retta r, un Λ su r è il dato di un punto O ∈ r

sistema di riferimento

2.1. Definizione.

e di un vettore = A − O, con A ∈ r e A 6 = O. Il punto O si dice del sistema di riferimento,

origine

i

la lunghezza del segmento A − O è l’unità di Λ e il verso di si dice di Λ.

di misura orientamento

i

Attraverso Λ si stabilisce una corrispondenza biunivoca tra i punti di r e i numeri reali; più

precisamente, ad ogni punto P ∈ r si associa il numero reale x tale che P − O = xi. Viceversa,

R,

dato x ∈ rimane individuato il punto P di r che è estremo del vettore xi.

Il numero x si dice del punto P e si scrive P = (x). Il sistema di riferimento Λ si denoterà

ascissa

anche con (O; x) oppure con (O; i). 13

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 1.10.2013

Dato un piano α, un Π su α è il dato di un punto O ∈ α

sistema di riferimento

2.2. Definizione.

e di due vettori non nulli = A − O e = B − O, con A, B ∈ α, k A − O k=k B − O k e tali che

i j i

si sovrappone a ruotando di un angolo φ in senso antiorario, con 0 < φ < π.

j

Il punto O si dice del sistema di riferimento, la lunghezza del segmenti A − O e B − O è

origine

l’unità di Π. La retta orientata passante per O e avente stessa direzione e stesso verso di

di misura

si dice x o asse delle ascisse. Analogamente, si definisce l’asse y o asse delle ordinate come

asse

i

la retta orientata individuata da j.

Analogamente a quanto visto in precedenza, attraverso Π si stabilisce una corrispondenza

biunivoca tra i punti di α e le coppie di numeri reali; più precisamente, ad ogni punto P ∈ α si

associa la coppia ordinata (x, y) tale che P − O = xi + yj (regola del parallelogramma). Viceversa,

2

R

dato (x, y) ∈ , rimane individuato il punto P di α che è estremo del vettore xi + yj.

yj P(x,y)

j

O xi

i Figura 6

I numeri x e y si dicono di P e, più precisamente x si dice e y si dice

coordinate ascissa ordinata

del punto P ; scriveremo P = (x, y). I vettori si dicono dove la parola

versori fondamentali,

i, j

indica un vettore di modulo 1.

versore

Il sistema di riferimento Π si denoterà anche con (O; x, y) oppure con (O; i, j).

Un sistema di riferimento Π = (O; su un piano α si dice sistema di

2.3. Definizione. i, j)

se l’angolo tra e (percorso per sovrapporsi a ruotando in

riferimento cartesiano ortogonale i j i j

senso antiorario) è di π/2.

Per definire un sistema di riferimento cartesiano nello spazio, introduciamo la seguente nozione.

3

Una terna ordinata di vettori applicati non complanari ∈ V si dice

2.4. Definizione. u, v, w O

se, guardando il piano individuato da e (risp. e risp. e dalla parte di

destrorsa u v v w, w u)

(risp. risp. si sovrappone a (risp. si sovrappone a risp. si sovrappone a

w u, v), u v v w, w u)

ruotando in senso antiorario di un angolo minore di π.

Dato lo spazio S, un Σ su S è il dato di

sistema di riferimento cartesiano

2.5. Definizione.

un punto O ∈ S e di tre vettori non nulli = A − O, = B − O e = C − O con A, B, C ∈ S,

i j k

k A − O k=k B − O k=k C − O k e tali che formano una terna destrorsa.

i, j, k

Il punto O si dice del sistema di riferimento, la lunghezza del segmenti A − O, OB e OC è

origine

l’unità di Σ. La retta orientata passante per O e avente stessa direzione e stesso verso di

di misura i

si dice x o asse delle ascisse. Analogamente, si definiscono l’asse y o asse delle ordinate e l’asse

asse

z o asse delle quote. In particolare useremo la notazione P = (x, y, z), chiamando, rispettivamente,

tali coordinate: e del punto P .

ascissa, ordinata quota

Porremo, infine, Σ = (O; = (O; x, y, z). I vettori si dicono versori fondamentali.

i, j, k) i, j, k

Infine il sistema Σ si dice se sono a due a due ortogonali.

cartesiano ortogonale i, j, k

Come visto in precedenza, si stabilisce una corrispondenza biunivoca tra i punti di S e le terne

3

di numeri reali, attraverso V ; più precisamente:

O 3

3 R

←→ ,

S ←→ V O

14 Capitolo II - Vettori geometrici e sistemi di riferimento

e tali corrispondenze sono definite da P ↔ P − O ↔ (x, y, z)

dove P − O = xi + yj + zk, come nella figura sottostante.

zk P(x,y,z)

k

O yj

j

i

xi Figura 7

Con le notazioni precedenti, se P = (x, y, z), quindi P − O = xi + yj + zk, i

2.6. Definizione.

numeri reali x, y, z si dicono del vettore applicato P − O.

componenti

In generale, useremo anche la notazione per un vettore, = P −O, e avremo quindi

Notazione. v v

= xi + yj + zk. Spesso è conveniente indicare le componenti di con v , v , v , quindi

v v x y z

= v + v + v

v i j k.

x y z

In seguito, per semplificare la notazione, scriveremo

= (v , v , v ),

v x y z

sottointendendo che tali componenti sono riferite al sistema di riferimento (O; i, j, k).

Mentre un vettore è un oggetto geometrico invariante, le sue componenti

2.7. Osservazione. v

dipendono dal particolare sistema di riferimento fissato.

1) Il vettore nullo = O−O ha componenti (0, 0, 0) in tutti i sistemi di riferimento

2.7.1. Esempi. 0

di origine O ed è l’unico vettore che gode di tale proprietà.

2) I versori fondamentali hanno le seguenti componenti:

= (1, 0, 0) , = (0, 1, 0) , = (0, 0, 1)

i j k

nel sistema di riferimento (O; i, j, k).

3) I vettori dei (cioè i piani individuati da una coppia di assi) sono del tipo seguente:

piani coordinati ′ ′ ′ ′

R,

= (a, b, 0), con a, b ∈ se appartiene al piano xy, = (0, b , c ), se appartiene al piano yz,

v v v v

′′ ′′ ′′ ′′

= (a , 0, c ), se appartiene al piano xz.

v v In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale (O; x, y, z) si consideri un

2.8. Proposizione.

generico vettore = (v , v , v ). Allora

v x y z q 2 2 2

k k= v + v + v .

v x y z

Dimostrazione. Segue immediatamente usando il teorema di Pitagora.

Vediamo ora come la rappresentazione dei vettori attraverso le loro componenti ci permetta

di esprimere algebricamente le operazioni tra vettori. 15

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 1.10.2013


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Teemo92

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DETTAGLI
Esame: Algebra
Corso di laurea: Matematica
SSD:
Università: Trieste - Units
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teemo92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Trieste - Units o del prof Brundu Michela.

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