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2.5. SOTTOSUCCESSIONI 33

“ {a } è convergente se e solo se {a } è limitata”

n n

(vedi Teorema 2.6).

¨ Come nel caso delle funzioni, anche per le successioni regolari è

Operazioni con i limiti

possibile (sotto adeguate ipotesi) trasportare l’effetto di alcune operazioni elementari dai termini

n-simi ai limiti. Un veloce riassunto può essere il seguente:

≥ 0 e b > 0 tali che, per n → +∞, valgano a → a ∈ [0, +∞] e b → b ∈ [0, +∞];

siano a n n n n

allora 1 1 ;

± b → a ± b ; ii) a b → ab ; iii) →

i) a n n n n b b

n

b b

iv) a → a ; v) ln b → ln b .

n n

n

Queste regole vanno ovviamente interpretate secondo le usuali estensioni delle operazioni al sim-

+ +∞

bolo +∞, cioè: +∞+∞ = +∞; c(+∞) = +∞ se c > 0; (1/+∞) = 0; (1/0 ) = +∞; c = +∞

+∞ + +

= 0 se 0 < c < 1; ln(0 ) = −∞; ln(+∞) = +∞.

se c > 1; c

Inoltre, sono esclusi da questa tabella i casi che portano alle già note ”forme di indecisione”:

∞ 0 0

+∞ − ∞; 0 · ∞; ∞/∞; 0/0; 1 ; ∞ ; 0 .

Infine, le solite regole dei numeri reali si applicano nel caso di termini negativi.

2.5 Sottosuccessioni

Sia {a } una successione. Una sua (anche detta “successione estratta”), è

sottosuccessione

n } scartando alcuni termini, e conservandone infiniti. Tutto questo

quel che si ottiene da {a

n }, e a considerare

equivale a scegliere una successione strettamente crescente di indici interi {n

k

= a , dove k ∈

la successione di termini b N.

n

k k

Ad esempio, potremmo decidere di conservare solo i termini di posto pari (n = 2k) ed ottenere

k

la successione {b } = {a } .

k 2k

Una volta scelta la successione {n } degli indici, indichiamo la sottosuccessione ottenuta con

k

} o, per brevità, con {a }.

{a

n n

k≥1

k k }

È relativamente facile convincersi che una successione strettamente crescente di indici interi {n

k

≥ k per ogni k ∈ in seguito useremo più volte questo fatto.

soddisfa n N;

k } ammette limite, ogni sua sottosuccessione ammette lo stesso limite.

Se {a

Lemma 2.9 n

Abbiamo visto in precedenza (Teorema 2.6) che ogni successione convergente è limitata, ma che

in generale, se manca la monotonìa, non vale il viceversa. Il Teorema 2.6 ammette però una sorta

di inverso, più debole, e questo coinvolge proprio la nozione di sottosuccessione.

Da ogni successione limitata si può estrarre una sot-

Teorema 2.10 (Bolzano-Weierstrass)

tosuccessione convergente.

Chiaramente la sottosuccessione convergente non è unica, basta considerare una

Osservazione

qualsiasi sottosuccessione della sottosuccessione convergente per avere ancora lo stesso limite.

} limitata ammetta sottosuccessioni con limiti diversi,

Inoltre, può anche accadere che una {a

n

n } e delle sottosuccessioni di indici solo pari o solo dispari.

come nel caso di {(−1)

34 CAPITOLO 2. SUCCESSIONI

Dalla Definizione 2.3 sappiamo che esistono α, β ∈ per i quali α ≤ a ≤ β per ogni

R

Dim. n

α + β il punto medio del segmento [α, β]; uno almeno dei due sottointervalli [α, γ] e

n. Sia γ = 2

[γ, β] contiene termini a corrispondenti ad infiniti valori di n. Ribattezziamo questo intervallo

n

, β ] e notiamo che, di qualunque dei due sottointervalli si tratti, si ha

come [α

1 1 1 (β − α) .

< β ≤ β e β − α =

α ≤ α

1 1

1 1 2

Se γ è il punto medio di [α , β ], in almeno uno tra [α , γ ] e [γ , β ] cadono termini a corrispon-

1 1 n

1 1 1 1 1

, β ] questo sottointervallo di [α , β ], ed abbiamo

denti ad infiniti valori di n. Chiamiamo [α

2 1

2 1

1

≤ α < β ≤ β ≤ β e β − α = (β − α) .

α ≤ α

1 2 2

2 1 2 2

2

Proseguiamo in questo modo ed otteniamo due successioni {α } e {β } per le quali si ha

k k β − α

α ≤ α ≤ α ≤ .. ≤ α < β ≤ .. ≤ β ≤ β ≤ β e β − α = .

1 2 k k

k 2 1 k k

2

} e {β } sono monotòne e limitate, quindi convergenti ad α e β rispettivamente. In-

Così, {α

k k ∗

} converge ad α per difetto, e {β } converge a β per eccesso.

oltre, {α

k k ∗

Per come sono stati costruiti, abbiamo [α , β ] ⊂ [α , β ] per ogni k, e quindi α ≤ β . Inoltre

k k+1

k k+1

1

∗ ∗

0 ≤ β − α ≤ β − α = (β − α) → 0 se k → +∞.

k

k k

2

∗ ∗

= α = ` ∈ [α, β], cioè {α } e {β } convergono allo stesso limite `.

Così, β k k

} convergente ad `. Poichè [α , β ] contiene termini a

Ora costruiamo una sottosuccessione {a n 1 n

1

k

corrispondenti ad infiniti valori di n, sia n uno di questi indici. Poi, scegliamo n in modo che

1 2

> n e a ∈ [α , β ] (è possibile, in quanto in [α , β ] cadono termini a corrispondenti ad

n

2 1 n 2 2 n

2 2

2

infiniti valori di n). Iterando questo procedimento, otteniamo una sottosuccessione {a } per la

n

k

quale si ha ∈ [α , β ] ∀k.

a

n k k

k

≤ a ≤ β ∀k, e a → ` per il teorema del confronto.

Quindi α n n

k k

k k

2.6 La condizione di Cauchy

Sia {a } una successione convergente al limite `; dalla definizione, sappiamo che la differenza tra

n

ed ` può essere resa ”molto piccola”, pur di scegliere l’indice n sufficientemente grande. Così,

a

n ε . Se

n tale che, per ogni indice n ≥ n si ha |a − `| <

fissato ε > 0 è possibile trovare un indice n 2

scegliamo due indici n, m ≥ n abbiamo allora

− a | ≤ |a − `| + |a − `| < ε.

|a n m n m

} soddisfa quella che viene chiamata

Riassumendo, la {a condizione di Cauchy:

n n = n(ε) : ∀n, m ≥ n =⇒ |a − a | < ε.

∀ε > 0 ∃ n m

} è una

Per brevità, si usa anche dire che {a successione di Cauchy.

n

Questa condizione è di difficile lettura, e non contiene traccia del valore del limite della successione.

È però importante, perchè vale

2.7. LA CLASSE LIMITE 35

Una successione {a } converge se e solo se soddisfa la condizione di Cauchy.

Teorema 2.11 n

Grazie alla osservazione precedente, dobbiamo solo dimostrare che la condizione di Cauchy

Dim.

implica la convergenza. Per farlo, dividiamo la dimostrazione in 3 passi.

Iniziamo con l’osservare che ogni successione di Cauchy è limitata.

Passo1

Infatti, dopo aver fissato ε > 0 ed aver determinato il corrispondente n, i termini a sono defini-

n

− ε, a + ε), e quindi fuori da questo intervallo può cadere

tivamente contenuti nell’intervallo (a

n n

al più un numero finito di termini della successione.

Se {a } è di Cauchy, ne segue che è limitata, e il Teorema di Bolzano-Weierstrass garan-

Passo 2 n } convergente ad limite `. Perciò, sempre con lo stesso

tisce che è possibile estrarne una {a n

k

k così da avere

ε > 0, riusciamo a determinare − `| < ε per ogni k ≥ k ,

|a

n

k

e possiamo anche permetterci di richiedere che k ≥ n.

Ora vediamo che {a } converge ad `.

Passo 3 n ≥ k ≥ n e quindi, per ogni n ≥ n abbiamo

Infatti, abbiamo osservato che n k − `| ≤ |a − a | + |a − `| < 2ε

|a

n n n n

k k

→ ` se n → +∞.

che, data l’arbitrarietà di ε, dimostra che a

n

2.7 La classe limite n

Abbiamo visto che non tutte le successioni ammettono limite; nel caso della {(−1) } questo è

evidente, perchè i due valori +1 e −1 avrebbero entrambi il diritto di essere considerati un limite,

e questo non è chiaramente possibile, a causa del Teorema sull’unicità del limite.

n } suggerisce però la

Il comportamento della {(−1) valore limite

è un della successione {a } se

Il numero, o il simbolo, λ ∈ R

Definizione 2.12 n

} tale che

esiste una sottosuccessione {a

n

k a = λ .

lim n

k

k→+∞

classe limite } è il sottoinsieme Λ ⊂ costituito da tutti e soli i valori

La della successione {a R

n

} .

limite di {a

n n } certamente due valori limite sono +1 e −1. Ogni altro

Per la successione {(−1)

Esempio 8

non può esserlo, perchè la successione è limitata, e inoltre nessun termine a può cadere

λ ∈ R n

in un intervallo (λ − ε, λ + ε) se λ ∈ ed ε > 0 è scelto sufficientemente piccolo. Così Λ =

R N

{−1, +1} . ¾

½ 1 1

1 , 1, 2, , 1, 3, , 1, 4, ... è costruita affiancando ”blocchetti” di tre

La successione

Esempio 9 2 3 4 1

termini, e l’n-esimo blocchetto contiene i valori , 1, n. In questo caso λ = 0, λ = 1 e λ = +∞

n

sono certamente valori limite, e ci si convince abbastanza facilmente che non ve ne sono altri,

N

per cui Λ = {0, 1, +∞} .

L’insieme dei numeri razionali è numerabile, ed è quindi possibile elencare tutti i

Q

Esempio 10 } . La densità di in permette di concludere

suoi elementi per mezzo di qualche successione {r Q R

n N

è un valore limite di {r } , e quindi Λ =

che ogni λ ∈ R R.

n


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Teemo92

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
Università: Milano - Unimi
A.A.: 2004-2005

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teemo92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Milano - Unimi o del prof Salvatori Maura.

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