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Con le precedenti operazioni è un anello commutativo, detto anello dei

Z[X]

3.3. Proposizione.

polinomi a coefficienti interi.

Siano 0 il polinomio nullo (cioè il polinomio costante uguale a 0 ) e 1 il

Dimostrazione. Z

Z[X] Z[X]

polinomio identico (cioè il polinomio costante uguale a 1 ).

Z

Ci limitiamo a provare che (Z[X], +, 0 ) è un gruppo commutativo.

Z[X]

- Associatività della somma. Comunque scelti tre polinomi in Z[X]: p

m

n X

X

X i

i

i c X

b X , r(X) =

a X , q(X) =

p(X) = i

i

i i=0

i=0

i=0

proviamo che

p(X) + q(X) + r(X) = p(X) + q(X) + r(X) .

Per semplicità supponiamo n = m = p (il caso generale è analogo). Dalla definizione di somma

segue: n n n

X X X

i i i

I := p(X) + q(X) + r(X) = (a + b )X + c X = [(a + b ) + c ]X .

i i i i i i

i=0 i=0 i=0

D’altra parte n

n

n

X

X

X i

i

i [a + (b + c )]X .

(b + c )X =

a X +

II := p(X) + q(X) + r(X) = i i i

i i

i i=0

i=0

i=0

I coefficienti dei polinomi I e II sono, per ogni i = 0, . . . , n dati da

[(a + b ) + c ] e [a + (b + c )]

i i i i i i

che risultano uguali in quanto la somma, in è associativa. Pertanto I = II, come volevamo.

Z,

- Il polinomio nullo 0 è elemento neutro rispetto alla somma: ovvio.

Z[X] n i

P ∈

- Ogni polinomio p(X) = a X ammette opposto.

Z[X]

i

i=0

ni=0 i

P −a

Infatti, sia p (X) = (−a )X , dove è l’opposto in dell’intero a . Pertanto

Z

i i i

n n n

X X X

i i i

′ −

p(X) + p (X) = a X + (−a )X = (a a )X

i i i i

i=0 i=0 i=0 −

dove l’ultima uguaglianza segue dalla definizione di somma tra polinomi. Ma a a = 0 per

i i Z

′ ′

ogni i, dunque p(X) + p (X) = 0 . Pertanto p (X) è l’opposto di p(X).

Z[X] ∈

- Commutatività della somma. Si considerino due polinomi qualunque p(X), q(X) come

Z[X]

sopra (e ancora supponiamo n = m). Proviamo che

p(X) + q(X) = q(X) + p(X).

Per la definizione di somma: n n

X X

i i

I := p(X) + q(X) = (a + b )X e II := q(X) + p(X) = (b + a )X

i i i i

i=0 i=0

6 Capitolo I - Strutture algebriche elementari

I coefficienti dei polinomi I e II sono, per ogni i = 0, . . . , n dati da

a + b e b + a

i i i i

che risultano uguali in quanto la somma, in è commutativa. Pertanto I = II, come

Z,

volevamo.

Omettiamo le dimostrazioni delle proprietà b), c), d) della definizione di anello.

Ricordiamo le seguenti semplici proprietà dei polinomi:

Siano f (X), g(X) allora:

Z[X];

3.4. Proposizione. ≤

i) deg(f (X) + g(X)) max{deg(f (X)), deg(g(X))};

·

ii) deg(f (X) g(X)) = deg(f (X)) + deg(g(X)).

·,

Come per l’insieme dei numeri interi, anche (Q, +, 0, 1) è un anello commutativo. Però Q

rispetto a ha una struttura più ricca: ogni elemento non nullo è invertibile rispetto al prodotto.

Z 6 6 ∈ · −1

Infatti se a/b = 0, cioè a = 0, esiste b/a e (a/b) (b/a) = 1; quindi b/a = (a/b) .

Q

Se K è un anello commutativo tale che ogni elemento non nullo ammette

3.5. Definizione.

inverso moltiplicativo, allora K si dice campo. ·,

Equivalentemente K è un campo se e solo se (K, +, 0 ) e (K , 1 ) sono gruppi abeliani e il

K K

prodotto è distributivo rispetto alla somma.

Da quanto visto prima, si deduce che è un campo, mentre non lo è.

Q Z

3.5.1. Esempio.

Per questo corso, l’esempio fondamentale di campo è quello dell’insieme dei numeri reali con le

R

usuali operazioni di somma e prodotto.

In modo del tutto analogo a quanto visto per si possono definire gli insiemi dei polinomi

Z[X],

a coefficienti razionali o reali. Per entrambi vale l’analogo della 3.3 e precisamente:

Con le usuali operazioni, gli insiemi e sono due anelli commutativi,

Q[X] R[X]

3.6. Proposizione.

detti, rispettivamente, e

anello dei polinomi a coefficienti razionali anello dei polinomi a coefficienti

reali.

Per e vale la stessa nozione di grado definita per e le analoghe proprietà di 3.4.

Q[X] R[X] Z[X] 7

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 23.9.2013

4. Numeri complessi 2

Intuitivamente “aggiungiamo” a una radice del polinomio a coefficienti reali X + 1; de-

R

notiamo tale numero con i. Se consideriamo il più piccolo campo che contenga ed i, esso

R

deve sicuramente contenere tutte le possibili somme e prodotti di tali elementi. Diamo dunque la

seguente Un è un’espressione formale del tipo

numero complesso

4.1. Definizione. ∈

z = a + ib , dove a, b R.

Il numero reale a si dice e il numero reale b si dice di z; in simboli:

parte reale parte immaginaria

a = Re(z), b = Im(z).

Si dice di z il numero complesso z = a ib.

coniugato

L’insieme di tutti i numeri complessi si denota con cioè

C,

{a | ∈

= + ib a, b

C R}.

Lasciamo al lettore la verifica del seguente risultato:

Si definiscano in le seguenti operazioni:

C

4.2. Proposizione. (a + ib) + (c + id) := (a + c) + i(b + d)

· −

(a + ib) (c + id) := (ac bd) + i(bc + ad).

·,

Rispetto a tali operazioni, (C, +, 0 , 1 ) è un campo, dove 0 = 0 + i0 e 1 = 1 + i0 .

C C C R R C R R

Calcoliamo le seguenti operazioni in C:

4.2.1. Esempio. − · − −

(2 + 3i) + (1 2i) = 3 + i; (2 + 3i) (1 2i) = 8 i. ∈

Inoltre, nella dimostrazione di 4.2 si prova che ogni elemento non nullo z = a + ib ammette

C

inverso. Si cerca infatti un numero x + iy tale che (a + ib)(x + iy) = 1. Vediamo i conti in un

C

−1

esempio numerico: calcoliamo (2 + 3i) . Imponiamo −

2x 3y = 1

− − .

1 = (2 + 3i)(x + iy) = 2x + 2iy + 3ix 3y = (2x 3y) + i(3x + 2y) =⇒ 3x + 2y = 0

−3/13 −

−1

Si ottiene x = 2/13 e y = e quindi (2 + 3i) = (2/13) i(3/13). In generale, vale

a b 1

−1 − −

(a + ib) = i = (a ib).

2 2 2 2 2 2

a + b a + b a + b

Per ogni numero complesso z = a + ib valgono le seguenti proprietà:

4.3. Proposizione.

z = z;

i)

8 Capitolo I - Strutture algebriche elementari

ii) z = z se e solo se z R;

2 2

= a + b ;

iii) zz z = 2Re(z).

iv) z +

2 ∈

E’ evidente che il polinomio X + 1 si può scomporre in un prodotto

C[X]

4.4. Osservazione. −i

di polinomi, in quanto i e sono sue radici; dunque

2 −

X + 1 = (X + i)(X i).

Questo non sorprende, in quanto si è ampliato ad un campo che contiene anche una radice di

R

tale polinomio. Ma il fatto sorprendente è che questo nuovo campo dei numeri complessi contiene

tutte le radici di ogni polinomio a coefficienti reali. Ricordiamo questo importante risultato:

Sia f (X) un polinomio a coefficienti reali. Allora f

4.5. Teorema fondamentale dell’algebra.

ammette almeno una radice complessa. Più precisamente, se n = deg(f ), allora esistono n radici

di f in quindi, poste z , . . . , z tali radici, il polinomio f si fattorizza completamente in

C; C:

1 n − − · · · −

f (X) = a(X z )(X z ) (X z ).

1 2 n

Un risultato ancora più generale dice che:

Sia f (X) un polinomio a coefficienti complessi di grado n. Allora esistono

C[X]

4.6. Teorema.

n radici di f in cioè il polinomio f si fattorizza completamente in

C; C.

La proprietà suddetta si riassume dicendo che è un campo algebricamente chiuso.

C

5. Omomorfismi di strutture algebriche

In questo paragrafo caratterizzeremo particolari applicazioni tra strutture algebriche.

Poiché si useranno coppie di strutture dello stesso tipo, converrà, per semplificare le notazioni,

·

utilizzare lo stesso simbolo + per indicare ogni operazione di somma e analogamente il simbolo

sarà riferito ad ogni operazione di prodotto. Dal contesto risulterà chiaro in quale struttura tali

operazioni verranno eseguite. Inoltre gli elementi neutri (della somma e del prodotto) verranno

indicati con un indice relativo alla struttura alla quale appartengono.

Infine, per semplicità, per i gruppi verrà usata la sola notazione additiva.

Un’applicazione tra due strutture algebriche dello stesso tipo si dice omomor-

5.1. Definizione.

se preserva le operazioni definite nelle strutture medesime. Più precisamente:

fismo → ′

′ ) sono due gruppi, un’applicazione f : G G è un

i) se (G, +, 0 ) e (G , +, 0 omomorfismo

G G ′

se

di gruppi f (x + y) = f (x) + f (y)

per ogni x, y G. 9

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 23.9.2013


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Teemo92

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DETTAGLI
Esame: Algebra
Corso di laurea: Matematica
SSD:
Università: Trieste - Units
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teemo92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Trieste - Units o del prof Brundu Michela.

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