Dispensa di Matematica - Spazi vettoriali euclidei

·) · · · ∈

1.9. Proposizione. Siano (V, un vettoriale con prodotto scalare e v, w , , w V ;

R-spazio 1 s

· · ·

se v è ortogonale a w per ogni i, allora v è ortogonale ad ogni combinazione lineare di w , , w .

i 1 s

·

Per ipotesi v w = 0 per ogni i; dunque per la bilinearità del prodotto scalare, per

Dimostrazione. i

ogni scelta di scalari λ , . . . , λ , si ha

1 s

· · ·

v (λ w + . . . + λ w ) = λ (v w ) + . . . + λ (v w ) = 0.

1 1 s s 1 1 s s

·) · · ·

1.10. Proposizione. Siano (V, un vettoriale con prodotto scalare e v , , v vettori

R-spazio 1 s

· 6 · · ·

non nulli di V tali che v v = 0 per ogni i = j. Allora v , , v sono linearmente indipendenti.

i j 1 s

Dimostrazione. Si consideri una combinazione lineare nulla dei vettori dati:

λ v + . . . + λ v = 0 .

1 1 s s V 2

∈ {v · · · }; · · · k k

Sia v , , v allora 0 = v (λ v + . . . + λ v ) = λ (v v ) + . . . + λ (v v ) = λ v ;

i 1 s i 1 1 s s 1 i 1 s i s i i

6

poiché v = 0 , allora λ = 0. Ripetendo il procedimento per ogni vettore v , si ottiene che deve

i V i i

· · ·

essere λ = = λ = 0.

1 s ·) ⊆

1.11. Definizione. Sia (V, un vettoriale con prodotto scalare e sia W V un

R-spazio

sottospazio vettoriale. Si dice ortogonale di W l’insieme:

⊥ {v ∈ | · ∀w ∈ }.

W = V v w = 0, W

·) ⊆

1.12. Proposizione. Sia (V, un vettoriale con prodotto scalare e sia W V un suo

R-spazio

sottospazio vettoriale. Allora:

⊥

i) W è un sottospazio vettoriale di V .

⊥ ⊥

∩ {0 },

ii) W W = quindi la somma di W e W è diretta.

V ⊥

∈ · · ∈

i) Siano v , v W , cioè v w = 0 e v w = 0 per ogni w W ; dunque,

Dimostrazione. 1 2 1 2

∈

comunque scelti λ , λ si ha

R,

1 2 · · ·

(λ v + λ v ) w = λ (v w) + λ (v w) = 0

1 1 2 2 1 1 2 2

⊥

∈ ∈

per ogni w W ; pertanto λ v + λ v W .

1 1 2 2

⊥

∈ ∩ ·

ii) Sia w W W , allora w w = 0; dunque w = 0 .

V

L(w ⊂

1.13. Osservazione. Sia W = , . . . , w ) V . Allora

1 s

⊥ {v ∈ | · ∀i

W = V v w = 0, = 1, . . . , s}.

i

⊆ ⊇

Infatti, l’inclusione “ ” è ovvia, mentre “ ” segue da 1.9.

3

L((1, ⊂

1.13.1. Esempio. Sia W = 0, 1)) E . Per 1.13

⊥ 3 3

{(x, ∈ | · {(x, ∈ |

W = y, z) E (x, y, z) (1, 0, 1) = 0} = y, z) E x + z = 0}

⊥ L((1, −1),

cioè W = 0, (0, 1, 0)).

40 Capitolo IV - Spazi vettoriali euclidei

4

⊂

1.13.2. Esempio. Sia W E definito da

L((1, −1,

W = 1, 0), (2, 1, 0, 1)).

Ancora per 1.13

· −1,

(x, y, z, t) (1, 1, 0) = 0

⊥ 4

∈

W = (x, y, z, t) E ·

(x, y, z, t) (2, 1, 0, 1) = 0

dunque basta calcolare le soluzioni del sistema lineare

−

x y + z = 0

2x + y + t = 0

che sono, ad esempio, −

z = y x ,

−2x −

t = y

con x, y che non sono fissate dalle equazioni e prendono quindi valori arbitrari. Assegnando a essi

i valori più semplici possibili (x, y) = (1, 0) e (x, y) = (0, 1), una possibile espressione per lo spazio

⊥ L((1, −1, −2), −1)).

ortogonale è data da W = 0, (0, 1, 1,

2. Basi ortonormali

In uno spazio vettoriale con prodotto scalare, avendo introdotto le nozioni di ortogonalità e di

norma, si può richiedere ai vettori di una base di verificare le analoghe proprietà geometriche degli

3

V

elementi della terna naturale (la base) di , ovvero essere di norma 1 e mutuamente ortogonali.

O

{v } ∈

2.1. Definizione. Sia I = , . . . , v con v V ; I si dice ortonormale se i vettori v sono a

1 r i i

due a due ortogonali ed hanno norma 1, cioè se 1, se i = j ;

·

v v = δ =

i j ij 6

0, se i = j .

2.2. Osservazione. Da 1.10 si ha che ogni insieme ortonormale è libero.

B ·)

2.3. Definizione. Una base di (V, si dice ortonormale se è un insieme ortonormale.

n

3

V e la base canonica di sono basi ortonormali.

E’ chiaro che la base (i, j, k) di R

O

B ·) ∈

2.4. Osservazione. Sia = (e , . . . , e ) una base ortonormale di (V, e sia v V ; le componenti

1 n

B

di v rispetto ad assumono una forma particolare:

· · · · ·

v = (v e )e + + (v e )e .

1 1 n n

Infatti, se · · ·

v = a e + + a e

1 1 n n B:

basta considerare i prodotti scalari di v con i vettori della base

· ·

v e = a , ... , v e = a .

1 1 n n

Pertanto le componenti di un vettore rispetto ad una base ortonormale si ottengono moltiplicando

scalarmente il vettore per gli elementi della base scelta. 41

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 15.10.2014

B ·) ∈

2.5. Definizione. Sia = (e , . . . , e ) una base ortonormale di (V, e sia v V . I vettori

1 n

· ·

(v e )e , . . . , (v e )e in cui si decompone v si dicono proiezioni ortogonali di v lungo e , . . . , e ,

1 1 n n 1 n

rispettivamente.

In un spazio vettoriale con prodotto scalare una base ortonormale gioca un ruolo centrale.

n

Infatti con essa il prodotto scalare assume la stessa forma del prodotto scalare canonico in E .

B ·) ∈

2.6. Proposizione. Sia = (e , . . . , e ) una base ortonormale di (V, e siano v, w V . Posti

1 n

v = (a , . . . , a ) e w = (b , . . . , b ) , allora

B B

1 n 1 n · · · ·

v w = a b + + a b .

1 1 n n ·

Dimostrazione. Dalla bilinearità del prodotto scalare e dal fatto che e e = δ .

i j ij

Il seguente metodo non solo permette il calcolo di una base ortonormale negli esempi, ma

prova anche, in generale, l’esistenza di una tale base. Esso prende il nome di procedimento di

ortonormalizzazione di Gram–Schmidt. B ·).

2.7. Metodo di Gram–Schmidt. Sia = (v , . . . , v ) una base di (V, Posti

1 n n−1

P

− ·

− · v (v e )e

v v (v e )e n n i i

1 2 2 1 1 i=1

· · ·

e = , e = , , e =

1 2 n n−1

k k k − · k

v v (v e )e P

k − · k

v (v e )e

1 2 2 1 1 n n i i

i=1

vogliamo dimostrare che e , . . . , e costituiscono una base ortonormale di V .

1 n

Chiaramente e , . . . , e hanno norma 1.

1 n

Verificheremo che e , . . . , e sono a due a due ortogonali per induzione; cioè supporremo che

1 n

e , . . . , e siano a due a due ortogonali e proveremo allora che anche e , . . . , e lo sono. Per

1 h 1 h+1

l’ipotesi induttiva, basta provare che e è ortogonale a e , . . . , e . Sia dunque k un intero tale

h+1 1 h

≤ ≤

che 1 k h, allora h h

P P

− · −

· · ·

v v e

(v e )e ((v e )(e e ))

h+1 h+1 k

h+1 i i h+1 i i k

i=1 i=1

· ·

e e = e = =

h+1 k k

h h

P P

k − · k k − · k

v (v e )e v (v e )e

h+1 h+1 i i h+1 h+1 i i

i=1 i=1

· − ·

v e v e

h+1 k h+1 k

= =0

h

P

k − · k

v (v e )e

h+1 h+1 i i

i=1 ·

dove l’ultima uguaglianza segue dal fatto che e e = 0 per l’ipotesi induttiva. Inoltre per 2.2 sono

i k

linearmente indipendenti e pertanto costituiscono una base ortonormale di V .

4

L(v ⊂

2.7.1. Esempio. Sia V = , v ) E , dove v = (1, 1, 0, 0), v = (0, 2, 1, 1); vogliamo

1 2 1 2

determinare una base ortonormale di V con il metodo di Gram–Schmidt.

1 1

v 1 √ √

, , 0, 0 ;

e = =

1 k k

v 2 2

1 f

− ·

si ponga f = v (v e )e e quindi e = . Si ha dunque

2

2 2 2 1 1 2 kf k

2

1 1 1 1

√ √ √ √

− ·

f = (0, 2, 1, 1) (0, 2, 1, 1) , , 0, 0 , , 0, 0 =

2 2 2 2 2

−

= (0, 2, 1, 1) (1, 1, 0, 0) = (−1, 1, 1, 1).

Quindi

1 1 1 1

−

e = , , , .

2 2 2 2 2

42 Capitolo IV - Spazi vettoriali euclidei