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Vediamo ora alcune proprietà elementari degli spazi vettoriali.

1.7. Proposizione. Sia V un vettoriale; allora per ogni k ∈ e v ∈ V si ha:

R-spazio R

i) 0 v = 0 ;

R V

ii) k0 = 0 ;

V V

iii) kv = 0 =⇒ k = 0 oppure v = 0 ;

R

V V

iv) (−k)v = −(kv) = k(−v).

i) Si osservi che

Dimostrazione. 0 v = (0 + 0 )v = 0 v + 0 v

R R R R R

e dalla legge di semplificazione per la somma segue 0 v = 0 .

R V

ii) Analogamente si ha k0 = k(0 + 0 ) = k0 + k0

V V V V V

dunque, dalla legge di semplificazione, k0 = 0 .

V V

−1

iii) Sia k 6 = 0; allora esiste k ∈ Dunque

R. −1 −1

v = 1v = k kv = k 0 = 0

V V

ove l’ultima eguaglianza segue da ii).

iv) Dalla distributività del prodotto rispetto alla somma si ha

kv + (−k)v = (k + (−k))v = 0 v = 0

R V

per i); da cui la prima uguaglianza. Analogamente

kv + k(−v) = k(v − v) = k0 = 0

V V

da cui la seconda.

1.8. Osservazione. Le proprietà i), ii), iii) si possono riassumere con la seguente legge di

annullamento del prodotto kv = 0 ⇐⇒ k = 0 o v = 0 .

R

V V

24 Capitolo III - Spazi vettoriali

2. Sottospazi vettoriali

Tra i sottoinsiemi di un vettoriale V individueremo e studieremo quelli che ereditano

R-spazio

da V una struttura di spazio vettoriale.

2.1. Definizione. Sia V un vettoriale rispetto alle operazioni (interna) s di somma ed

R-spazio

(esterna) p di prodotto per uno scalare (vedi 1.1) e sia W ⊆ V un suo sottoinsieme. Diremo che

W è un di V se, rispetto a s e p come definite per V , l’insieme W ha

sottospazio vettoriale

una struttura di vettoriale.

R-spazio

Allo scopo di stabilire quando un sottoinsieme di uno spazio vettoriale sia un suo sottospazio,

vengono introdotti i seguenti “criteri”.

2.2. Proposizione. Sia W un sottoinsieme non vuoto di un vettoriale V . Sono equiv-

R-spazio

alenti i seguenti fatti:

i) W è un sottospazio vettoriale di V ;

ii) W è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare, cioè

′ ′

a) per ogni w, w ∈ W si ha w + w ∈ W ;

b) per ogni k ∈ per ogni w ∈ W si ha kw ∈ W ;

R,

′ ′ ′ ′

iii) per ogni k, k ∈ per ogni w, w ∈ W si ha kw + k w ∈ W .

R,

Dimostrazione. i) =⇒ ii) e ii) =⇒ iii) sono ovvie.

′ ′

iii) =⇒ ii) Per provare a), basta prendere k = k = 1; per provare b) basta prendere k = 0 .

R

ii) =⇒ i) Innanzitutto W è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto, per ipotesi. Le

proprietà associativa e commutativa e le proprietà distributive valgono in V e quindi in W . Basta

dunque mostrare che W ha zero e l’opposto di ogni suo elemento. Si osservi che se 0 ∈ W allora

V

0 è zero di W , infatti per ogni w ∈ W si ha 0 + w = w + 0 = w poiché w ∈ V . Per ii, b),

V V V

0 w ∈ W , per ogni w ∈ W . D’altra parte, per 1.7, 0 w = 0 ; dunque 0 ∈ W . Infine, se w ∈ W ,

R R V V

sempre per 1.7, −w = (−1)w ∈ W .

2.2.1. Esempio. Se V è un vettoriale, allora V ⊆ V è un suo sottospazio; inoltre {0 }

R-spazio V

verifica 2.2 iii), dunque è un sottospazio di V .

I sottospazi {0 } e V , non contribuendo a dare informazioni su V , si dicono sottospazi banali.

V

2.2.2. Esempio. Abbiamo già visto che ⊆ sono vettoriali rispetto alle stesse

R[x] R[x] R-spazi

r

operazioni; dunque è sottospazio di

R[x] R[x].

r

2.2.3. Esempio. Sia v ∈ V un vettore non nullo; si consideri il sottoinsieme

L(v) = {av | a ∈ R}.

′ ′

Siano w = av e w = a v due elementi di L(v). Poiché

′ ′ ′ ′

αw + α w = (αa + α a )v ∈ L(v)

per ogni α, α ∈ allora, per 2.2, iii), L(v) è un sottospazio vettoriale di V e si dice retta vettoriale

R,

generata da v. 25

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 28.10.2013

2

2.2.4. Esempi. Si considerino i seguenti sottoinsiemi di :

R

2

W = {(x, y) ∈ | x − 3y = 0};

R

1 2

W = {(x, y) ∈ | x + y = 1};

R

2 2

W = {(x, y) ∈ | x ∈

R N};

3 2 2

W = {(x, y) ∈ | x − y = 0}.

R

4

Dall’esempio precedente, si ha che W = L((3, 1)) e quindi si tratta di una retta vettoriale.

1

Gli altri sottoinsiemi non sono sottospazi, infatti: (0, 0) 6∈ W ; W e W non sono chiusi rispetto al

2 3 4

prodotto per uno scalare, in quanto, ad esempio, (1, 0) ∈ W , mentre si ha che 1/2(1, 0) = (1/2, 0) 6∈

3

W . Analogamente (1, 1) ∈ W , mentre 2(1, 1) = (2, 2) 6∈ W , come si verifica facilmente.

3 4 4

Dati due o più sottospazi vettoriali di un vettoriale V , vediamo ora come sia possibile,

R-spazio

mediante opportune “operazioni”, costruirne altri.

2.3. Proposizione. Siano W e W due sottospazi di un vettoriale V . Allora W ∩ W

R-spazio

1 2 1 2

è un sottospazio vettoriale di V .

Siano a, b ∈ e v, w ∈ W ∩ W . Da 2.2 segue che av + bw ∈ W in quanto W

Dimostrazione. R 1 2 1 1

è un sottospazio vettoriale; analogamente av + bw ∈ W ; dunque av + bw ∈ W ∩ W . Applicando

2 1 2

ancora 2.2 si ha la tesi.

2.4. Osservazione. L’unione di due sottospazi vettoriali non è, in generale, un sottospazio

2

vettoriale. Si considerino, ad esempio due rette vettoriali distinte, L(v) e L(v ), di . È evidente

R

2

che L(v) ∪ L(v ) non è un sottospazio di , in quanto non è chiuso rispetto alla somma, come si

R

può vedere dalla figura. L (v')

v+v'

v' L

v (v)

Figura 10

2.5. Proposizione. Siano W e W due sottospazi di un vettoriale V e si denoti con

R-spazio

1 2

W + W = {v ∈ V | v = w + w ; w ∈ W , w ∈ W }.

1 2 1 2 1 1 2 2

Allora W + W è il più piccolo sottospazio vettoriale di V contenente W ∪ W .

1 2 1 2 ′

′ ′ ′ ′

Dimostrazione. , ove

+ w

Siano a, a ∈ e v, v ∈ W + W ; sarà dunque v = w + w ; v = w

R 1 2 1 2 2

1

′ ′

w , w ∈ W , w , w ∈ W . Poiché

1 1 2 2

1 2 ′ ′

′ ′

′ ′

′ ′ ′ ′ )

) + (aw + a w

= (aw + a w

+ a w

av + a v = aw + aw + a w 2

1

1 2 2

1

2

1

26 Capitolo III - Spazi vettoriali ′ ′

′ ′ ∈ W .

∈ W e aw + a w

tenendo conto del fatto che W e W sono sottospazi, si ha aw + a w 2

1 2

1 2 1 2

1

Ne segue che W + W è un sottospazio vettoriale di V .

1 2

Inoltre W + W ⊇ (W ∪ W ), infatti se w ∈ W , allora w = w + 0 appartiene a W + W ;

1 2 1 2 1 1 1 1 1 2

V

analogamente si prova che W ⊂ W + W .

2 1 2

Sia ora Z un sottospazio di V contenente W ∪ W . Allora, per ogni w ∈ W e w ∈ W deve

1 2 1 1 2 2

essere w + w ∈ Z. Da cui: Z ⊇ W + W . Quindi W + W è il più piccolo di tali sottospazi.

1 2 1 2 1 2

2.6. Definizione. Siano W e W due sottospazi di un vettoriale V . Il sottospazio

R-spazio

1 2

vettoriale W + W è detto di W e W .

sottospazio somma

1 2 1 2

La proposizione precedente si generalizza facilmente e quindi si può dare la seguente

2.7. Definizione. Siano W , . . . , W sottospazi di un vettoriale V . Il sottospazio

R-spazio

1 n

vettoriale W + · · · + W = {v ∈ V | v = w + · · · + w ; w ∈ W , i = 1, . . . , n}

1 1

n n i i

è detto di W , . . . , W .

sottospazio somma 1 n

2.8. Definizione. Siano W e W due sottospazi di V . Allora la somma W + W si dice diretta

1 2 1 2

se W ∩ W = {0 }. In tal caso scriveremo W = W ⊕ W .

1 2 1 2

V

2.9. Proposizione. Siano W , W due sottospazi di un vettoriale V . La loro somma

R-spazio

1 2

W = W + W è diretta se e solo se ogni suo elemento v si scrive in modo unico nella forma

1 2

v = w + w con w ∈ W , i = 1, 2.

1 2 i i

Supponiamo dapprima che la somma W +W sia diretta, ovvero W ∩ W = {0 }.

Dimostrazione. 1 2 1 2 V

′ ′

′ ′ ′ ∈ W , allora w − w = w − w e

Se esistesse v ∈ W + W con v = w + w = w + w , con w , w 1 2

1 2 1 2 i

i 1 2

1 2 i ′

tale elemento appartiene sia a W che a W . Dunque, per ipotesi deve essere nullo, quindi w = w

1 2 1 1

′ = w e ciò prova la tesi.

e w 2

2

Viceversa, supponiamo che ogni vettore v ∈ W +W si scriva in modo unico nella forma v = w +w

1 2 1 2

con w ∈ W , i = 1, 2. Sia v ∈ W ∩ W ; allora v ∈ W e v ∈ W , quindi 0 = v − v ∈ W + W .

1 2 1 2 1 2

i i V

D’altro canto 0 = 0 + 0 e, poiché tale scrittura è unica per ipotesi, ne segue v = 0 .

V V V V

La proposizione precedente conduce in modo naturale a generalizzare la nozione di somma

diretta a un numero qualunque di sottospazi:

2.10. Definizione. Siano W , . . . , W sottospazi di un vettoriale V . Diremo che la

R-spazio

1 n

somma W = W + · · · + W è se ogni suo elemento v si scrive in modo unico nella forma

diretta

1 n

v = w + · · · + w con w ∈ W , i = 1, . . . , n. In tal caso scriveremo W = W ⊕ · · · ⊕ W .

1 1

n i i n 27

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 28.10.2013

3. Combinazioni lineari

3

Studiando V , abbiamo visto come ogni vettore geometrico v si possa rappresentare nella

O

forma v = ai+bj+ck: diremo che v è “combinazione lineare” di i, j, k. Inoltre tale scrittura è unica;

questa proprietà si esprime usualmente dicendo che i, j, k sono “linearmente indipendenti”. In

questo paragrafo cercheremo di estendere ad uno spazio vettoriale qualunque i precedenti concetti.

3.1. Definizione. Siano v , . . . , v vettori di un vettoriale V . Un vettore v ∈ V si dice

R-spazio

1 n

di v , . . . , v se esistono n scalari λ , . . . , λ ∈ tali che

combinazione lineare R

1 1

n n

v = λ v + · · · + λ v .

1 1 n n

L’insieme di tutte le combinazioni lineari dei vettori v , . . . , v si indica con L(v , . . . , v ).

1 1

n n

In generale, se I è un qualunque sottoinsieme di V (anche non finito), con L(I) si denota l’insieme

di tutte le possibili combinazioni lineari (finite) di vettori di I, cioè

L(I) = {λ v + · · · + λ v | λ ∈ v ∈ I, n ∈

R, N}.

1 1 n n i i

3.2. Proposizione. L(v , . . . , v ) è un sottospazio vettoriale di V , detto da

spazio generato

1 n

v , . . . , v .

1 n

Dimostrazione. Per il criterio della Prop. 2.2, è sufficiente mostrare che L(v , . . . , v ) è chiuso

1 n

rispetto alla somma di vettori e al prodotto per uno scalare. Siano v, w ∈ L(v , . . . , v ); dunque

1 n

v = λ v + · · · + λ v e w = µ v + · · · + µ v . Applicando la proprietà 2) nella definizione 1.1, si

1 1 1 1

n n n n

ha che v + w = (λ + µ )v + · · · + (λ + µ )v ∈ L(v , . . . , v ).

1 1 1 1

n n n n

Sia poi α ∈ allora, usando la proprietà 4) di 1.1, si ha αv = (αλ )v + · · · + (αλ )v , ovvero

R; 1 1 n n

αv ∈ L(v , . . . , v ).

1 n 2 3

3.2.1. Esempi. 1) È chiaro che V = L(i, j); V = L(i, j, k).

O O 3

2) Siano v = (1, 0, −1) e w = (2, 0, 0) due vettori di . Allora L(v, w) è contenuto propriamente

R

3

in ; infatti, ad esempio, (0, 1, 0) 6∈ L(v, w). Altrimenti, dovrebbero esistere α, β ∈ tali che

R R

(0, 1, 0) = α(1, 0, −1) + β(2, 0, 0) = (α + 2β, 0, −α).

Eguagliando le componenti, si ottiene la relazione 1 = 0, che è palesemente falsa.

È un problema interessante cercare sottoinsiemi I di V tali che L(I) = V . È chiaro che

V = L(V ). Dagli esempi noti, si può osservare comunque che esistono sottoinsiemi propri I ⊂ V

2 3

tali che V = L(I). Ad esempio V = L(i, j) e V = L(i, j, k), dunque entrambi sono generati da

O O

un numero finito di vettori. Tale situazione non è però generale. Si consideri il seguente

3.2.2. Esempio. Lo spazio vettoriale reale non è generato da un numero finito di vettori.

R[x]

Siano f (x), . . . , f (x) ∈ polinomi arbitrari. Allora ogni p(x) ∈ L(f , . . . , f ) è del tipo

R[x]

1 1

n n

p(x) = λ f (x) + · · · + λ f (x).

1 1 n n

Posto d = deg(f ) e d = max{d , . . . , d }, per 3.4, Cap. I, si ha

1

i i n

deg(p(x)) = deg(λ f (x) + · · · + λ f (x)) ≤ max{d , . . . , d } = d.

1 1 1

n n n

28 Capitolo III - Spazi vettoriali d+1

Ne segue che L(f , . . . , f ) è contenuto strettamente in in quanto, ad esempio, x ∈

R[x], R[x]

1 n

d+1

ma x 6∈ L(f , . . . , f ). Pertanto non può essere generato da un numero finito di polinomi.

R[x]

1 n 2 i

Si osservi d’altra parte che è generato dall’insieme infinito {1, x, x , . . . , x , . . .}.

R[x]

3.3. Definizione. Un vettoriale V si dice se esistono v , . . . , v ∈ V

finitamente generato

R-spazio 1 n

tali che V = L(v , . . . , v ); in tal caso {v , . . . , v } si dice di V .

sistema di generatori

1 1

n n

3.4. Proposizione. Sia I un sottoinsieme di V e sia v ∈ V . Allora

L({v} ∪ I) = L(I) ⇐⇒ v ∈ L(I).

Dimostrazione.

“ ⇒ ” Supponiamo che L({v} ∪ I) = L(I). Poiché v ∈ L({v} ∪ I) allora v ∈ L(I).

“ ⇐ ” Per semplicità proviamolo nel caso in cui I sia un insieme finito {v , . . . , v }.

1 n

Dobbiamo provare che L({v} ∪ I) ⊆ L(I) (l’altra inclusione è ovvia). Si consideri un generico

vettore w ∈ L({v} ∪ I), dunque w = αv + µ v + · · · + µ v .

1 1 n n

Per ipotesi, v ∈ L(I) e quindi v = λ v + · · · + λ v . Pertanto

1 1 n n

w = α(λ v + · · · + λ v ) + µ v + · · · + µ v .

1 1 1 1

n n n n

Per le proprietà delle due operazioni dello spazio vettoriale V , si ottiene immediatamente che

w ∈ L(v , . . . , v ) = L(I), come volevamo.

1 n

3.5. Osservazione. E’ immediata conseguenza della Proposizione precedente il seguente fatto:

se v , . . . , v ∈ V sono vettori qualunque, allora

1 n L(v , . . . , v , 0 ) = L(v , . . . , v ).

1 1

n V n

Se I è un sistema di generatori di V , ci si chiede se esiste dentro I un insieme “minimale” di

generatori di V , ovvero se esiste ‘un più piccolo’ J ⊂ I, J 6 = I, tale che L(J ) = L(I) = V . A tale

scopo si introduce la nozione di indipendenza lineare.

3.6. Definizione. Dato un insieme I = {v , . . . , v } di vettori di un vettoriale V , tali

R-spazio

1 n

vettori si dicono su se il vettore nullo si ottiene come loro combinazione

linearmente indipendenti R

lineare soltanto con coefficienti nulli; ovvero

λ v + · · · + λ v = 0 =⇒ λ = · · · = λ = 0 .

1 1 1 R

n n V n

In tal caso l’insieme I si dice Un insieme infinito I ⊆ V si dice se ogni suo sottoinsieme

libero. libero

finito è libero, nel senso definito sopra.

Viceversa, n vettori si dicono se non sono linearmente indipendenti, cioè se

linearmente dipendenti

esistono n scalari (λ , . . . , λ ) 6 = (0, . . . , 0) tali che λ v + · · · + λ v = 0 .

1 1 1

n n n V 3

3.6.1. Esempio. E’ chiaro che i, j, k sono linearmente indipendenti in V . Mentre i vettori

O

v = i + j, v = j − k e v = 2i − j + 3k sono linearmente dipendenti; infatti 2v − 3v − v = 0.

1 2 3 1 2 3 29

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 28.10.2013

3.7. Proposizione. Sia V un vettoriale e I = {v , . . . , v } un insieme di vettori di V .

R-spazio 1 n

Valgono le seguenti proprietà:

i) se 0 ∈ I allora I non è libero;

V

ii) I non è libero se e solo se almeno uno tra i v è combinazione lineare degli altri;

i

iii) se I non è libero e J ⊇ I, allora J non è libero;

iv) se I è libero e J ⊆ I, allora J è libero, cioè ogni sottoinsieme di un insieme libero è libero.

i) Supponiamo, per semplicità, che sia nullo il primo vettore di I, ovvero che

Dimostrazione.

v = 0 . E’ immediato trovare una combinazione lineare dei vettori di I, non tutta nulla, che sia

1 V

uguale al vettore nullo, infatti: 1 v + 0 v + · · · + 0 v = 0

1 2

R R R n V

per la Prop. 1.7 applicata ad ogni addendo della somma precedente.

ii) Supponiamo che I non sia libero; allora esistono n scalari reali, λ , . . . , λ , non tutti nulli, tali

1 n

che λ v + · · · + λ v = 0 . Per semplicità, supponiamo che sia λ 6 = 0; allora si ha

1 1 1

n n V −1

v = λ (−λ v − · · · − λ v ) ∈ L(v , . . . , v ).

1 2 2 2

n n n

1

Viceversa, se esiste un vettore v combinazione lineare degli altri, cioè

i

v = λ v + · · · + λ v + λ v + · · · + λ v

1 1

i i−1 i−1 i+1 i+1 n n

allora si ha λ v + · · · + λ v − v + λ v + · · · + λ v = 0

1 1 i−1 i−1 i i+1 i+1 n n V

e i coefficienti di tale combinazione lineare non sono tutti nulli, in quanto il coefficiente di v è −1.

i

Le dimostrazioni di iii) e iv) sono lasciate al lettore.

30 Capitolo III - Spazi vettoriali


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Teemo92

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DETTAGLI
Esame: Algebra
Corso di laurea: Matematica
SSD:
Università: Trieste - Units
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teemo92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Trieste - Units o del prof Brundu Michela.

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