Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

3.2.1. Esempio. Vediamo un ulteriore esempio della costruzione vista nella dimostrazione di 3.2.

Consideriamo la matrice ridotta per righe i cui elementi speciali sono segnati in grassetto:

−1

1 1 1

 

−1

0 0 2 .

A =  

2 0 0 0

 

0 0 0 1

Con opportune permutazioni di colonne, si ottengono le matrici

−1 −1

1 1 1 1 1 1

   

↔C ↔C

C C

−1 −1

1 2 2 3

0 0 2 0 2 0 00

−−−−−→ −−−−−→

A = A .

   

0 2 0 0 0 0 2 0

   

0 0 0 1 0 0 0 1

00 00

Poiché A è TSC, il suo rango si calcola immediatamente. Pertanto rk(A) = rk(A ) = 4.

Nota. Come abbiamo osservato alla fine del paragrafo precedente, anche in questo, scambiando

le parole “riga” e “colonna”, si hanno nozioni analoghe a quelle viste finora. In particolare:

m,n

-) Una matrice A si dice ridotta per colonne se in ogni colonna non nulla esiste almeno un

R

elemento non nullo alla destra del quale ci sono solo zeri. Tale elemento (non necessariamente

unico) si dice elemento speciale (o anche pivot) della colonna a cui appartiene.

-) Se A è una matrice ridotta per colonne, allora rk(A) è uguale al numero di colonne non nulle

di A. In particolare, le sue colonne non nulle sono linearmente indipendenti.

E’ particolarmente utile il seguente risultato, la cui dimostrazione è immediata:

t

3.3. Proposizione. Una matrice A è ridotta per righe se e solo se A è ridotta per colonne.

Tale fatto ci permetterà, nel seguito, di trattare soltanto le matrici ridotte per righe e il

corrispondente procedimento di riduzione per righe, essendo chiari gli analoghi per le colonne.

4. Riduzione di matrici

Avendo ora a disposizione una “buona” classe di matrici (quelle ridotte) delle quali sappiamo

calcolare il rango, cerchiamo un procedimento che ci permetta di associare ad una matrice qualsiasi

una matrice ridotta che abbia lo stesso rango.

Vediamo inatnto alcune procedure che mostreremo preservare lo spazio delle righe di una

matrice e che vengono dette trasformazioni elementari sulle righe (o anche mosse di Gauss):

∈ 6

(D) sostituzione di una riga R con R + aR , ove a e j = i;

R

i i j

(s) scambio di R con R ;

i j ∗

(λ) sostituzione di una riga R con λR , ove λ .

R

i i

Nella trasformazione (s) la lettera s sta per scambio; nella trasformazione (λ) la lettera λ sta

per prodotto per uno scalare λ; infine D sta per “determinante” e il motivo di tale scelta sarà

chiaro in seguito. 55

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 24.10.2014

0 0 0

m,n

4.1. Definizione. Date due matrici A, A , A si dice trasformata per righe di A se A

R

è ottenuta da A mediante un numero finito di successive trasformazioni elementari sulle righe di

tipo (D), (s), (λ). 0 0

m,n

4.2. Proposizione. Siano A, A , con A trasformata per righe di A. Allora lo spazio R(A)

R

0 0 0

delle righe di A e lo spazio R(A ) delle righe di A coincidono; in particolare rk(A) = rk(A ).

0 −→

Sia A ottenuta da A con una trasformazione (D), ad esempio R R + aR .

Dimostrazione. i i j

0 ⊆

È evidente che R(A ) R(A), poiché

0 L(R

R(A ) = , . . . , R , R + aR , R , . . . , R )

1 i−1 i j i+1 m

e L(R

R(A) = , . . . , R , R , R , . . . , R ).

1 i−1 i i+1 m

0 0

Proveremo ora che R(A) R(A ). Poiché le righe di A sono uguali a quelle di A eccetto la i-esima,

0

basterà provare che la i-esima riga R di A è combinazione lineare delle righe di A . Infatti si ha

i

R = (R + aR ) aR , da cui la tesi.

i i j j

I casi (s) e (λ) sono evidenti. Ne segue che operando successivamente un numero finito di trasfor-

mazioni (D), (s), (λ), lo spazio delle righe non varia.

4.2.1. Esempio. Sia 

 1 0 1

−1 .

A = 2 1 

 −1 1 0

Operiamo sulle righe di A con trasformazioni di tipo (D): 

 

 

 1 0 1

1 0 1

1 0 1 0 0 0

→R

→R −2R →R −R

R +R

R R

3 3 1

2 2 1 3 3 2

−−−−−−−→ −3

−−−−−−−→ −3

−−−−−−−→ −3 = B.

0 1

0 1

A 0 1 

 

 

 −1 0 0 4

0 1 1

1 0

La matrice B è ridotta per righe, quindi rk(A) = rk(B) = 3.

L’esempio precedente indica come affrontare il caso generale con una procedura che va anche

sotto il nome di algoritmo di Gauss.

4.3. Proposizione. Sia A una matrice; esiste una opportuna successione di trasformazioni ele-

mentari (di tipo (D)) sulle righe, tale che la matrice B ottenuta in tal modo è ridotta per righe.

m,n

Dimostrazione. Sia A = (a ) . Vogliamo individuare una possibile serie di trasformazioni

R

ij

elementari che ci permettano di passare da A ad una matrice B ridotta per righe.

Sia R la prima riga non nulla di A e sia a il primo elemento non nullo di R . Per ottenere una

i ij i

0

matrice A che abbia tutti zeri sotto l’elemento a si opera con trasformazioni di tipo (D):

ij

−1

−→ −

R R a a R , per ogni k > i.

k k kj ij i

0 0 0

Si consideri ora la matrice A = (a ) cosı̀ ottenuta. Si osservi che le prime i righe di A sono uguali

ij 0 0

alle corrisponenti righe di A; inoltre l’elemento a = a ha tutti zeri al di sotto. Sia ora R la

ij

ij h

0 0 0

prima riga non nulla di A , con h > i. Sia a il primo elemento non nullo di R . Procedendo

hp h

come prima, si operano le trasformazioni di tipo (D):

−1

0 0 0 0 0

−→ −

R R a a R , per ogni k > h.

k k kp hp h

00

Si ottiene dunque una matrice A . Iterando il procedimento (un numero finito di volte) si perviene

ad una matrice B, che è ridotta per righe per costruzione.

56 Capitolo V - Matrici

4.4. Definizione. Si dice riduzione per righe di una matrice A, una successione di trasformazioni

0

elementari sulle righe tale che la matrice A ottenuta alla fine del procedimento è ridotta per righe.

4.5. Osservazione. In 4.3 si sono utilizzate solo trasformazioni elementari di tipo (D). Tuttavia

in alcuni casi, per semplificare i calcoli, può essere utile impiegare anche trasformazioni di tipo (s)

e (λ). In ogni caso, il rango resta invariato per 4.2. In sintesi: la riduzione per righe di una matrice

non ne altera il rango.

4.5.1. Esempio. Riduciamo per righe la matrice

0 1 0 0

 

−1

0 1 2

A = .

 

0 0 0 9

 

1 3 1 5

Tale matrice si può ridurre operando come in 4.3 con sole trasformazioni di tipo (D). In questo

caso è però conveniente scambiare la prima con la quarta riga. Infatti si ha:

1 3 1 5 

↔R

R −1

1 4 0 1 2

−−−−−−−→

A = B.

 

0 0 0 9 

 0 1 0 0

Come si può osservare, B è già ridotta per righe; segue che rk(A) = rk(B) = 4.

4.5.2. Esempio. Si consideri la matrice 

 −1

2 1 1

−1 .

A = 3 1 1 

 0 1 1 9 → −

Per ridurre A si può operare iniziando con la trasformazione di tipo (D): R R 3/2R

2 2 1

ottenendo 

 −1

2 1 1

0 −1/2 −5/2 .

A = 0 5/2 

 0 1 1 9

E’ evidente che, continuando la riduzione come al solito, i calcoli si complicano sempre più, poiché

i coefficienti della matrice non sono interi. A tale fatto si può ovviare, ad esempio, come segue:

   

−1 −1

2 1 1 2 1 1

0 0 0

→2R →R

R R +R

2 2 3 2 3

−−−−−−−→ −1 −5 −−−−−−−→ −1 −5

0 5 0 5

A    

0 1 1 9 0 0 6 4

una TSC da cui rk(A) = 3.

4.6. Osservazione. La più semplice applicazione della riduzione di matrici è la determinazione

n

L(v

della dimensione e di una base di un sottospazio vettoriale V = , . . . , v ) di . A tale scopo

R

1 r

associamo in modo naturale al sistema di generatori v , . . . , v di V una matrice, le cui righe (o

1 r

colonne) sono i vettori suddetti: v

 

1

.

.. · · ·

A = oppure B = ( v v ) .

1 r

 

v r 57

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 24.10.2014

Utilizziamo, ad esempio, la prima di queste due rappresentazioni, dunque R(A) = V .

Riduciamo A per righe, ottenendo una matrice w

 

1

..

0

A = .

.

 

w

r 0

Chiaramente si ha: dim(V ) = dim(R(A)) = rk(A) = rk(A ), cioè dim(V ) è uguale al numero di

0 0

righe non nulle di A . Inoltre le righe non nulle di A costituiscono una base di V , in quanto

0

V = R(A) = R(A ). 4

{v } −1,

4.6.1. Esempio. Sia I = , v , v , v , v un insieme di vettori di , dove v = (1, 2, 1),

R

1 2 3 4 5 1

−4, −2), −1), −3, −3),

v = (−2, 2, v = (1, 1, 1, v = (−1, 3, v = (1, 2, 1, 2). Allora,

2 3 4 5

4

B L(I) ⊂ B ⊂

a) determinare una base di V = , con I;

R

4

B C

b) completare ad una base di .

R

a) Sia A la matrice le cui righe sono costituite dai vettori di I, cioè

−1

v 1 2 1

 

 

1 −2 −4 −2

v 2

2

 

 −1

A = .

v 1 1 1

=

 

3

 

 −1 −3 −3

3

v

 

4 1 2 1 2

v 5

Riducendo A per righe si ha: −1

−1 1 2 1

1 2 1 

→R

R +2R

2 2 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

→R −R →R −R

R R

3 3 1 

 4 4 3 0

−1 −2

−1 −2 −−−−−−−→

−−−−−−−→ = A

0 2

0 2

A 

 

 −1 −2 0 0 0 0

0 2 

 0 0 0

→R →2R −3R

R +R R

4 4 1 5 5 3

−1 0 0 1 8

0 3 1

→R −R

R

5 5 1

da cui segue rk(A) = 3 e quindi dim(V ) = 3. Inoltre una base per V è ad esempio data dalle 3

0 0 B

righe non nulle di A , poiché R(A) = R(A ). Invece la base richiesta è data dai vettori di A

0 B

corrispondenti alle 3 righe non nulle di A , cioè = (v , v , v ). Si consideri infatti

1 3 5

   

−1

v 1 2 1

1 0

−→ · · · −→ −1 −2

B = v 0 2 = B

3

   

v 0 0 1 8

5

0

dove B è ottenuta con le stesse trasformazioni operate nella riduzione precedente.

4

B

b) Completiamo ad una base di utilizzando vettori (in questo caso ne basta uno) della base

R 00

canonica. È sufficiente aggiungere alla matrice B una riga costituita dalle componenti di un

vettore della base canonica in modo che la matrice ottenuta sia ancora ridotta; ad esempio con e :

4

−1

v 1 2 1

   

1 −1 −2

v 0 2

3 −→ .

   

v 0 0 1 8

   

5

e 0 0 0 1

4

C

Quindi = (v , v , v , e ).

1 3 5 4

58 Capitolo V - Matrici

4

{v } ⊂

4.6.2. Esempio. Sia I = , v , v , v dato da v = (0, 1, 2, 1), v = (0, 1, 1, 1), v =

R

1 2 3 4 1 2 3

4

L(I) ⊂

(0, 2, 3, 2), v = (1, 2, 2, 1). Posto V = :

R

4 B B ⊂

a) determinare una base di V , con I;

4

B C

b) completare ad una base di .

R

a) Sia A la matrice le cui righe sono costituite dai vettori di I, cioè

v 0 1 2 1

   

1

v 0 1 1 1

2

A = = .

   

v 0 2 3 2

   

3

v 1 2 2 1

4

Conviene operare lo scambio R R e poi ridurre come di consueto:

1 4 1 2 2 1

1 2 2 1 1 2 2 1  

   

→R −2R

R −−−−−−→

3 3 2 0 1 1 1

0 1 1 1 0 1 1 1

−−−−−−→  

    0 0 1 0

0 2 3 2 0 0 1 0  

    →R −R

R

→R −R

R 4 4 3

4 4 2 0 0 0 0

0 1 2 1 0 0 1 0

B

Tenendo conto dello scambio operato, si ha: = (v , v , v ).

4 2 3

b) Come in 4.6.1, si ha v 1 2 2 1 

 

4 0 1 1 1

v 2 −→ ,

 

 0 0 1 0

v 

 

3 0 0 0 1

e 4

C

da cui risulta = (v , v , v , e ).

4 2 3 4 B ⊂

4.6.3. Esempio. Con i dati di 4.6.2, vogliamo determinare una base I con il metodo degli

scarti successivi. Anche tale esercizio può essere risolto con un uso opportuno della riduzione di

matrici; come al solito sia v 0 1 2 1

 

 

1

v 0 1 1 1

2

A = .

=

 

 

v 0 2 3 2

 

 

3 1 2 2 1

v 4 ↔

Si osservi che in 4.6.2 si è operato lo scambio R R per semplificare i calcoli; tale operazione

1 4

non è in questo caso consentita, poichè condurrebbe ad una base che non contiene v che, invece

1

fa parte della base ottenuta con il metodo degli scarti successivi. Riduciamo quindi A per righe:

0 1 2 1 0 1 2 1

   

→R −R

R 2 2 1

−−−−−−−→ −1 −−−−−−−→ −1

0 0 0 0 0 0

A .

   

−1

0 0 0 0 0 0 0

   

0 0 0

→R −2R →R −R

R R

3 3 1 3 3 2

1 1 0 0 1 1 0 0

→R −R

R 4 4 1

La base ottenuta è dunque (v , v , v ). Infatti si verifica facilmente che v è combinazione lineare

1 2 4 3

0 0

0 0 − −

− = R 2R e che R = R R ; da cui

di v e v . Per vederlo si osservi che R R = 0, che R 2 1

1 2 3 1

2 3 2

3

− −

risulta R R R = 0 e quindi v = v + v .

3 2 1 3 1 2 n

Il metodo introdotto per ottenere una base di un sottospazio di (e un suo eventuale com-

R

n

pletamento ad una base di ) si può estendere ad uno spazio vettoriale qualunque, passando

R

attraverso le componenti dei vettori in esame, rispetto ad una base fissata. 59

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 24.10.2014

2,3

L(I) ⊂ {M }

4.6.4. Esempio. Sia V = con I = , M , M , M dove

R 1 2 3 4

1 1 1 1 2 1

M = , M = ,

1 2

0 1 0 0 1 1

2 3 2 0 1 1

M = , M = .

3 4 −1

0 2 1 0 1

B B ⊂

a) Determinare una base di V , con I;

2,3

B C

b) completare ad una base di .

R

a) Per poter impiegare la riduzione di matrici anche in questo caso, è necessario “rappresentare” le

matrici M , M , M , M come vettori riga: tali righe saranno date dalle componenti delle matrici

1 2 3 4 2,3

E |

M rispetto ad una base fissata. Sia = (E i = 1, 2; j = 1, 2, 3) la base di introdotta in 1.3.

R

i ij

Si ha M = E + E + E + E = (1, 1, 1, 0, 1, 0) .

E

1 11 12 13 22

Operando analogamente con le altre matrici M si ha la matrice delle componenti:

i

M 1 1 1 0 1 0

   

1

M 1 2 1 0 1 1

2

A = = .

   

M 2 3 2 0 2 1

   

3 −1

M 0 1 1 0 1

4

Riducendo per righe si ha 1 1 1 0 1 0

1 1 1 0 1 0 

 0 1 0 0 0 1

0 1 0 0 0 1 −→

−→ ,

A 

 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 1 

 −1 0 2 1 0 1 0

0 1 1 0 1 B

ovvero una matrice ridotta per righe. Quindi = (M , M , M ).

1 2 4

2,3

B C E

b) Completiamo ad una base di con 3 elementi di (ciò è possibile per il teorema di

R

completamento a una base):

M 1 1 1 0 1 0

   

1

M 0 1 0 0 0 1

2

   

M 0 2 1 0 1 0

stessa riduzione fatta sopra

   

4 −−−−−−−−−−−−−−−−→ .

   

E 0 0 1 0 0 0

   

13

   

E 0 0 0 1 0 0

   

21

E 0 0 0 0 1 0

22 {M }

La matrice ottenuta è ridotta per righe e questo garantisce che , M , M , E , E , E sono

1 2 4 13 21 22

2,3

linearmente indipendenti. Essendo 6 vettori indipendenti nello spazio che ha dimensione 6,

R

C B.

essi ne costituiscono una base che completa

60 Capitolo V - Matrici

5. Determinante di una matrice

Il concetto di determinante è fondamentale nell’algebra lineare: mentre il rango associa ad una

matrice un intero che tiene conto della mutua dipendenza delle righe e delle colonne, il determinante

è un numero reale – legato ad una matrice quadrata – il cui significato è meno immediato.

Definiremo il determinante in modo algoritmico e ricorsivo, rimandando ad altri testi la

definizione astratta che utilizza il linguaggio dell’algebra multilineare.

×

Si dice determinante di una matrice 2 2 l’applicazione

2,2 −→

det : R R

7→

A det(A)

definita in tal modo: se

a a

11 12

A = a a

21 22

allora a a

11 12

|A| −

det(A) = = := a a a a .

11 22 12 21

a a

21 22

Possiamo anche vedere il determinante come funzione dei vettori colonna di A = (C C ), cioè

1 2

2 2

× −→

det : R R R .

7→ −

(C , C ) a a a a

1 2 11 22 12 21

5.1. Osservazione - Definizione. Si verifica direttamente che “det” è bilineare sulle colonne

cioè soddisfa le proprietà

( 0 0 0 0

det(λC + λ C , C ) = λ det(C , C ) + λ det(C , C )

1 2 1 2 2

1 1

(Bil) 0 0 0 0

det(C , λC + λ C ) = λ det(C , C ) + λ det(C , C )

1 2 1 2 1

2 2

0 0 0

2

∈ ∈

per ogni C , C , C , C e per ogni λ, λ (la verifica è lasciata al lettore).

R R

1 2

1 2

Diremo inoltre che “det” è alternante (o anti-simmetrica) in quanto si verifica che

(Alt) det(C , C ) = det(C , C ).

2 1 1 2

Da (Alt) segue immediatamente che il determinante si annulla se le due colonne sono uguali.

Ma, più in generale, il determinante si annulla se le due colonne sono una multipla dell’altra.

Infatti, se C = λC per qualche λ allora

R,

2 1 det(C , C ) = det(C , λC ) = λ det(C , C ) = 0

1 2 1 1 1 1

dove la seconda uguaglianza discende da (Bil). 2

5.1.1. Esempio. Sia (e , e ) la base canonica di , allora

R

1 2 1 1 1 0

det(e , e ) = = 0, det(e , e ) = =1

1 1 1 2

0 0 0 1

0 1 0 0

−1,

det(e , e ) = = det(e , e ) = = 0.

2 1 2 2

1 0 1 1 61

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 24.10.2014

5.2. Osservazione. Come conseguenza della bilinearità e dell’alternanza, il determinante non

cambia se si somma ad una colonna un multiplo dell’altra:

det(C + λC , C ) = det(C , C ) + det(λC , C ) = det(C , C ).

1 2 2 1 2 2 2 1 2

× ×

Come di consueto, generalizziamo quanto ora descritto alle matrici 3 3 e poi a quelle n n.

×

5.3. Definizione. Se A è una matrice 3 3:

 

a a a

11 12 13

A = a a a ,

21 22 23

 

a a a

31 32 33

diremo determinante di A e denoteremo con det(A) il numero reale

a a a

11 12 13

|A| a a a

det(A) = = 21 22 23

a a a

31 32 33

a a a a a a

22 23 21 23 21 22

= a a + a =

11 12 13

a a a a a a

32 33 31 33 31 32

− − −

= a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a .

11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31

3,3 −→

Come prima “det” può essere anche visto non solo come un’applicazione ma anche

R R,

come funzione dei vettori colonna di A = (C , C , C )

1 2 3

3 3 3

× × −→

det : R R R R .

7→

(C , C , C ) det(A)

1 2 3

5.4. Osservazione. Si vede facilmente che valgono le analoghe delle proprietà (Bil) per le matrici

2×2, ma in questo caso si avranno 3 proprietà che esprimono la linearità su ognuno dei 3 argomenti

della funzione.

Vale anche la proprietà alternante, ovvero se si scambiano tra loro due vettori colonna il determi-

nante cambia segno. Ad esempio, −

det(C , C , C ) = det(C , C , C ).

2 1 3 1 2 3

e relazioni analoghe per scambio di due colonne qualsiasi.

Di conseguenza il determinante si annulla se una delle colonne è multiplo di un altra e, come visto

×

per le matrici 2 2, il determinante non cambia se si somma ad una colonna un multiplo delle

altre. Ad esempio: det(C + λC + µC , C , C ) = det(C , C , C ).

1 2 3 2 3 1 2 3

3

5.4.1. Esempio. Se (e , e , e ) è la base canonica di , allora det(e , e , e ) = 0, det(e , e , e ) = 0,

R

1 2 3 i i i i i j

det(e , e , e ) = det(I ) = 1, e cosı̀ via.

1 2 3 3 ×

Come visto nella Definizione 5.3 di determinante di una matrice 3 3, per tale nozione si

×

utilizzano i determinanti di sottomatrici 2 2 della matrice A, e precisamente det(A) è la somma,

a segni alterni, dei prodotti tra gli elementi della prima riga con determinanti di opportune sot-

×

tomatrici. Per generalizzare tale nozione ad una matrice n n, dobbiamo introdurre dei concetti

preliminari.

62 Capitolo V - Matrici

n,n

5.5. Definizione. Data la matrice A = (a ) ,

R

ij

a a ... a

 

11 12 1n

a a ... a

21 22 2n

 

A = ,

... .. ..

 

. .

 

a a ... a

n1 n2 nn

per ogni coppia (i, j) si dice minore complementare di a , e si indica con A , la sottomatrice di A

ij ij

costituita dall’intersezione di tutte le righe eccetto la i-ma e di tutte le colonne eccetto la j-ma.

n,n

5.6. Definizione. Data la matrice A = (a ) , si dice complemento algebrico di a

R

ij ij

i+j |A |.

l’elemento di definito da α = (−1)

R ij ij

3,3

5.6.1. Esempio. Sia A = (a ) la seguente matrice

R

ij  

−1

1 0

−2 −1

A = 3 .

 

2 5 0

Calcoliamo, ad esempio, A , A , α , α . Dalle definizioni 5.5 e 5.6 si ha:

11 12 11 12

−2 −1 −1

3

A = , A =

11 12

5 0 2 0

e quindi 1+1 1+2

|A | |A | −2.

α = (−1) = 5, α = (−1) =

11 11 12 12

n,n

5.7. Definizione. Sia A = (a ) . si dice determinante di A il numero reale

R

ij · · ·

det(A) = a α + a α + + a α (R )

11 11 12 12 1n 1n 1

e tale espressione si dice sviluppo del determinante secondo la prima riga.

×

Si osservi che la definizione 5.3 di determinante di una matrice 3 3 è proprio lo sviluppo del

determinante secondo la prima riga.

Si può provare che il valore di det(A) non dipende dalla riga (né dalla colonna) rispetto alla

quale si sviluppa con il seguente noto teorema, di cui omettiamo la dimostrazione:

5.8. Teorema. (Laplace) Per ogni i = 2, . . . , n si ha: · · ·

det(A) = a α + a α + + a α (R )

i1 i1 i2 i2 in in i

e tale espressione si dice sviluppo del determinante secondo la riga i-ma.

Analogamente, per ogni j = 1, . . . , n · · ·

det(A) = a α + a α + + a α , (C )

1j 1j 2j 2j nj nj j

e tale espressione si dice sviluppo del determinante secondo la colonna j-ma.

63

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 24.10.2014

n,n

5.8.1. Esempio. Sia I la matrice identica. E’ immediato verificare che

R

n det(I ) = 1.

n

5.8.2. Esempio. Calcoliamo il determinante della seguente matrice:

 

−1

1 0 −1

A = 1 1 .

 

2 1 0

Sviluppando, ad esempio, secondo la prima riga si ha:

−1

1 0 −1 1 1

1 −

−1 = 2.

=

1 1 2 1

1 0

2 1 0

5.8.3. Esempio. Dalla definizione di determinante e dal Teorema di Laplace segue immediata-

mente che, se una matrice ha una riga o una colonna nulla, il suo determinante è nullo.

Dal teorema 5.8 segue immediatamente il seguente:

n,n t

Corollario 5.9. Sia A . Allora det( A) = det(A).

R

Possiamo ancora pensare al determinante di una matrice come ad una funzione delle sue

· · ·

colonne, ovvero se A = ( C C ), allora det(A) = det(C , . . . , C ); cioè

1 n 1 n

n n

× · · · × −→

det : R R R .

7→

(C , . . . , C ) det(A)

1 n × ×

Usando la definizione 5.7 si può provare che tale applicazione, come nei casi 2 2 e 3 3, è

multilineare e alternante, cioè valgono le seguenti proprietà, delle quali omettiamo la dimostrazione:

n,n

··· ∈

5.10. Proposizione. Sia A = ( C C ) ; si hanno i seguenti fatti:

R

1 n

0 0 n

∈ ∈

i) se λ, λ e C , allora

R R

1 0 0 0 0

det (λC + λ C , C , . . . , C ) = λ det(C , C , . . . , C ) + λ det(C , C , . . . , C )

1 2 n 1 2 n 2 n

1 1

e analoga proprietà per qualunque altra colonna di A;

0

ii) se A = (C , . . . , C ), posta σ = (σ(1), . . . , σ(n)) la permutazione delle colonne che

σ(1) σ(n)

0

trasforma A in A , allora 0 σ

det(A ) = (−1) det(A).

σ σ

dove (−1) è la parità della permutazione σ, ovvero (−1) = 1 se σ si decompone in un

σ −1

numero pari di scambi e (−1) = se σ si decompone in un numero dispari di scambi.

64 Capitolo V - Matrici


PAGINE

24

PESO

263.75 KB

AUTORE

Teemo92

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questa dispensa di Matematica a cura della professoressa Michela Brundu si parla di matrici. In particolare vengono affrontati i seguenti argomenti:
- Concetti fondamentali (di matrice);
- Rango di una matrice;
- Matrici ridotte;
- Riduzione di matrici;
- Determinante di una matrice;
- Calcolo del determinante mediante riduzione;
- Determinante e matrici invertibili;
- Traccia di una matrice.


DETTAGLI
Esame: Algebra
Corso di laurea: Matematica
SSD:
Università: Trieste - Units
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teemo92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Trieste - Units o del prof Brundu Michela.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Algebra

Dispensa di Matematica - Endomorfismi autoaggiunti
Dispensa
Dispensa di Matematica - Geometria lineare affine
Dispensa
Dispensa di Matematica - Sistemi lineari
Dispensa
Dispensa di Matematica - Strutture algebriche elementari
Dispensa