Dispensa di Matematica - Geometria lineare affine euclidea
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Capitolo XI
GEOMETRIA LINEARE AFFINE EUCLIDEA
1. Spazi affini euclidei n
Se, in luogo dello spazio affine costruito a partire dallo spazio vettoriale , si considera quello
R
n
associato allo spazio euclideo reale E si ottiene un spazio affine nel quale si possono introdurre
nuove nozioni quali l’ortogonalità, le distanze e gli angoli.
n n
Lo spazio affine (R) associato allo spazio euclideo E si dice spazio affine
A
1.1. Definizione. n
euclideo e si denota con .
E
Poiché in uno spazio vettoriale euclideo si può parlare di basi ortonormali, rispetto alle quali
molti calcoli sono particolarmente semplici, introduciamo dei sistemi di riferimento che si ricon-
n
B
ducono al concetto di base ortonormale. Si noti, inoltre, che se è una base ortonormale di E ,
B,E
B, E
allora la matrice che ha per colonne i vettori di cioè M , dove è la base canonica, è ortogonale
B,E ±1.
per definizione (Cap. IX); in particolare det(M ) =
Usando basi ortonormali si ha la definizione di sistema di riferimento cartesiano ortogonale:
n
B) B
Un sistema di riferimento (O, di si dice cartesiano ortogonale se è una
E
1.2. Definizione. n B,E
base ortonormale di E e det(M ) = 1.
D’ora in poi considereremo solo riferimenti cartesiani ortogonali.
−2) −1).
Sia r la retta di equazione (x, y) = (1, + λ(1, Per determinare una
1.2.1. Esempio.
equazione cartesiana di r possiamo operare nel modo consueto (eliminando il parametro) oppure
−2) ∈
osservando che un vettore ortogonale ad r è, ad esempio, u = (1, 1); dunque, posti A = (1, r
−1),
e v = (1, si ha: ∈ ⇐⇒ − ∈ L(v) ⇐⇒
P = (x, y) r P A
⇐⇒ − · ⇐⇒ − ·
(P A) u = 0 (x 1, y + 2) (1, 1) = 0,
da cui r : x + y + 1 = 0.
2
In generale, se r è la retta di di equazione vettoriale P = A + λv ed u è un vettore ortogonale
E
⊥ L(u)
= (ricordando che S denota la giacitura di r) si ha
ad r, cioè S r
r ∈ ⇐⇒ − ·
P r (P A) u = 0.
Quest’ultima equazione si dice equazione normale della retta r.
n
Generalizzando ad un qualsiasi iperpiano di si ha la seguente:
E
n n
⊂ ∈
Siano H un iperpiano e A un suo punto. Se u è un vettore non
E R
1.3. Proposizione. ⊥
L(u)
nullo ortogonale alla giacitura S di H, cioè = S , allora
H H
∈ ⇐⇒ − ·
P H (P A) u = 0.
153
Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014
L’equazione
1.4. Definizione. − ·
H : (P A) u = 0
si dice equazione normale dell’iperpiano H. In particolare, se n = 2 si ha l’equazione normale della
retta nel piano; se n = 3, si ha l’equazione normale del piano nello spazio.
Si noti che l’equazione normale di un iperpiano H non è univocamente
1.5. Osservazione.
determinata, in quanto il punto A può variare in H ed il vettore u è individuato a meno di uno
scalare. · · ·
Si noti che, se H ha equazione cartesiana a x + + a x = b, allora
1.6. Osservazione. n n
1 1
⊥ L((a
S = , . . . , a )); infatti
n
1
H n
{(x ∈ | · · ·
S = , . . . , x ) a x + + a x = 0} =
R
H n n n
1 1 1
n
{(x ∈ | ·
= , . . . , x ) (a , . . . , a ) (x , . . . , x ) = 0}
R
n n n
1 1 1
⊥ L((a
dunque S = , . . . , a )) e quindi un’equazione normale di H è
n
1
H − ·
(P A) (a , . . . , a ) = 0
n
1
dove A è un qualunque punto di H. 3
Vogliamo determinare le equazioni normale e cartesiana del piano π di ,
E
1.6.1. Esempio. −1)
passante per il punto A = (1, 0, e la cui giacitura è ortogonale al vettore u = (1, 2, 3). Per
quanto visto, si ha − ·
π : (x 1, y, z + 1) (1, 2, 3) = 0,
da cui π : x + 2y + 3z + 2 = 0.
Vogliamo determinare l’equazione normale di una retta del piano a partire dalla
1.6.2. Esempio. −
sua equazione cartesiana. Sia ad esempio r : 2x 3y + 3 = 0; poiché, da 1.6, un vettore normale
−3)
ad r è u = (2, e (0, 1) è un suo punto, un’equazione normale di r è
− · −3)
(x, y 1) (2, = 0.
Come abbiamo visto, l’equazione normale di un iperpiano è strettamente legata alla sua
equazione cartesiana. Non è quindi sorprendente il fatto che per dare in forma normale una
generica VLA che non sia un iperpiano si abbia bisogno di più relazioni. Illustriamo questo fatto
con un esempio. 3
⊂
Vogliamo determinare l’equazione cartesiana della retta r passante per il
E
1.6.3. Esempio.
−3) L((1, −1)).
punto A = (1, 2, e ortogonale al sottospazio vettoriale 1, 0), (0, 1, Bisogna quindi
imporre due condizioni di ortogonalità che determinano l’equazione normale delle retta:
− − ·
(x 1, y 2, z + 3) (1, 1, 0) = 0 .
− − · −1)
(x 1, y 2, z + 3) (0, 1, = 0
Di consequenza, l’equazione cartesiana di r è:
−
x + y 3=0 .
− −
y z 5=0
154 Capitolo XI - Geometria lineare affine euclidea
2. Ortogonalità fra varietà lineari affini
2.1. Definizione. n n
′ ′
⊂ ∈
a) Diremo che due rette r, r sono ortogonali se, poste v, v E le rispettive direzioni
E
′ ′
∈ ∈
(ovvero v S e v S ), i vettori v e v sono tra loro ortogonali.
r r ′ ′ ′
3 3
⊂ ∈
b) Diremo che due piani π, π sono ortogonali se, poste u, u E le rispettive direzioni
E ′ ′
⊥ ⊥ L(u
L(u) = )), i vettori u e u sono tra loro ortogonali.
= e S
ortogonali (cioè S π π ′ 3
c) Diremo che una retta r e un piano π di sono ortogonali se, posta v una direzione di r e u
E 3
una direzione ortogonale a π, i vettori v e u di E sono linearmente dipendenti.
Si considerino le seguenti rette del piano euclideo:
2.1.1. Esempio. ′
−
r : 2x 2y + 1 = 0; r : x + y + 3 = 0
′′ ′′′
−3) − ·
r : (x, y) = (1, + λ(1, 1); r : (x + 1, y 4) (1, 2) = 0.
Dire quali coppie di rette tra le precedenti sono ortogonali.
′ ′′ ′′′ ′ ′′ ′′′
Detti v, v , v , v i vettori direzione delle rette r, r , r , r , rispettivamente, si ha
′ ′′ ′′′
v = (2, 2), v = (−1, 1), v = (1, 1), v = (−2, 1)
′ ′ ′′
⊥ ⊥
e chiaramente le sole coppie di rette ortogonali sono r r , r r .
3
Si considerino le due rette di :
E
2.1.2. Esempio. ′
x = 3 + λ
′ ′
−
−1) y = 2 2λ
r : (x, y, z) = (1, 2, 1) + λ(3, 0, , r : .
′
z = 3λ
′ ′
−1) −2,
Posti v = (3, 0, e v = (1, 3) due vettori paralleli ad r ed r , rispettivamente, si osserva che
′
v e v sono ortogonali in quanto ′
· −1) · −2,
v v = (3, 0, (1, 3) = 0. ⊥
′ ⊥ L(v) ⊂
∈ ) e,
(e quindi S = S
Quindi r ed r sono ortogonali. Osserviamo, infine, che v S r r
r ′
′
′ ⊥ ′ ⊥
∈ L(v ⊂
analogamente, v S (e quindi S = ) S ).
r ′
r r
3 − −
Nello spazio si consideri il piano π : x y + 2z 3 = 0; vogliamo determinare
E
2.1.3. Esempio.
la retta r ortogonale a π e passante per il punto A = (1, 2, 1).
⊥ L((1, −1,
= 2)), si ha
Poiché S π −1,
r : (x, y, z) = (1, 2, 1) + λ(1, 2).
3
Nello spazio si consideri la retta di equazione
E
2.1.4. Esempio. − −
x 2y + z 1 = 0 .
r : x + y =0
Determinare: −1, −1);
1) l’equazione cartesiana del piano π ortogonale ad r e passante per il punto A = (−1,
2) l’intersezione di r e π. 155
Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014
1) Ricaviamo un’equazione parametrica di r ponendo, ad esempio, y = λ:
−λ
x =
r : y = λ
z = 1 + 3λ
quindi r ha per direzione il vettore (−1, 1, 3), pertanto l’equazione normale di π è
· − − −
π : (x + 1, y + 1, z + 1) (−1, 1, 3) = 0 da cui π : x y 3z 3 = 0.
2) La retta r e il piano π si intersecano in un solo punto P ottenuto come soluzione del sistema:
−
x 2y + z = 1
∩
P = r π : x + y =0 .
− −
x y 3z = 3
−6/11, −7/11).
Si verifica che P = (6/11, ′
Si considerino le rette ortogonali r ed r dell’esempio 2.1.2; vogliamo determinare
2.1.5. Esempio. ′ ′
⊃
il piano π tale che π r e π è ortogonale a r . Per 1.6, il generico piano ortogonale a r ha
un’equazione del tipo −
π : x 2y + 3z + d = 0
d ⊃
dove d è un parametro reale. Chiaramente π r se e solo se le coordinate dei punti di r soddisfano
d
la precedente equazione per ogni valore di λ, cioè se
− · − ⇒
(1 + 3λ) 2 2 + 3(1 λ) + d = 0 d = 0.
−
Pertanto π ha equazione x 2y + 3z = 0. ′ 3
Si considerino i piani π e π di di equazioni:
E
2.1.6. Esempio. ′
− − −
π : 2x + y z 3 = 0 , π : x + y + 3z 1 = 0.
′ ′
−1)
I vettori u = (2, 1, e u = (1, 1, 3), ortogonali a π e a π , rispettivamente, sono ortogonali tra
loro; infatti: ′
· −1) ·
u u = (2, 1, (1, 1, 3) = 0.
′
Dunque i piani π e π sono ortogonali.
⊥ L((2, −1)),
Osservando che S = 1, si noti che
π {(a, |
−1) ∈ = b, c, ) a + b + 3c = 0}
(2, 1, S π ′
⊥ ⊥ ⊂
⊂ S . Tale fatto vale in generale:
e dunque S S . In modo analogo si verifica che S π
π ′
π π ′
′ ⊥
3 ⊂
⊂ (oppure se e solo
S
Due piani π, π sono ortogonali se e solo se S
E
2.2. Osservazione. π ′
π
⊥ ⊂ S ).
se S π
π ′
156 Capitolo XI - Geometria lineare affine euclidea
3
⊂
Si considerino le rette r, s di equazioni
E
2.3. Esercizio di ricapitolazione. −
x y + z +2=0
−1),
r : (x, y, z) = (1, 2, 1) + λ(3, 0, s : −
x z +1=0
ed il punto A = (1, 0, 1). Vogliamo determinare:
F
a) la famiglia delle rette ortogonali ad r e passanti per A;
F −
b) la retta l di parallela al piano π : x y + z + 2 = 0;
′ F
c) la retta l di ortogonale ad s; −
d) le rette ortogonali ad r contenute nel piano y 2 = 0.
3
∈ ⊥ · −1)
a) Sia v = (a, b, c) ; v S se e solo se (a, b, c) (3, 0, = 0 se e solo se c = 3a. Pertanto la
R r
famiglia richiesta è costituita dalle rette r di equazione:
α
r : (x, y, z) = (1, 0, 1) + µ(1, α, 3)
α
6
ottenuta per a = 0, e dalla retta
r : (x, y, z) = (1, 0, 1) + µ(0, 1, 0)
F {r } ∪ {r}.
ottenuta per a = c = 0. In sintesi: = α α∈R
b) Poiché il vettore (0, 1, 0) non è parallelo a π, la retta l non può essere r e va quindi ricercata tra
le rette r . Basta imporre dunque che il vettore (1, α, 3) appartenga alla giacitura di π, cioè che
α −1, · −1, −
sia ortogonale al vettore (1, 1). Da cui (1, α, 3) (1, 1) = 4 α = 0 e quindi α = 4. Pertanto
l : (x, y, z) = (1, 0, 1) + µ(1, 4, 3).
c) Un vettore direzione di s si ottiene passando ad equazione parametrica, cioè risolvendo il sistema
corrispondente alla sua equazione cartesiana:
s : (x, y, z) = (−1 + η, 1 + 2η, η) = (−1, 1, 0) + η(1, 2, 1).
Richiedere che r sia ortogonale ad s equivale a imporre che i vettori (1, α, 3) e (1, 2, 1) siano
α · −2;
ortogonali, cioè (1, α, 3) (1, 2, 1) = 4 + 2α = 0, dunque α = pertanto
′ −2,
l : (x, y, z) = (1, 0, 1) + µ(1, 3).
· 6
r non è ortogonale ad s, in quanto (0, 1, 0) (1, 2, 1) = 2 = 0.
D’altra parte
d) Sia π il generico piano ortogonale ad r:
h −
π : 3x z + h = 0.
h −
Le rette richieste devono appartenere ai piani π e anche al piano y 2 = 0, dunque sono
h
−
3x z + h = 0 ∈
, dove h
t : R.
h −
y 2=0 157
Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014
3. Distanze tra varietà lineari
È ben noto che la distanza di due punti A e B nel piano è definita come la lunghezza del
−
segmento avente per estremi A e B, cioè il modulo del vettore B A. Diamo dunque in generale
la seguente: n
Siano A e B due punti di ; si dice distanza di A da B, e si indica con
E
3.1. Definizione. kB − − · −
d(A, B), il numero reale Ak = (B A) (B A). 4
−1) −1,
Siano A = (1, 2, 0, e B = (0, 2, 2) due punti di ; allora
E
3.1.1. Esempio. √
k(−1, −3,
d(A, B) = 2, 3)k = 23.
Dalle proprietà del prodotto scalare segue immediatamente:
Valgono le seguenti proprietà:
3.2. Proposizione. n
≥ ∈
i) d(A, B) 0 per ogni A, B ;
E
ii) d(A, B) = 0 se e solo se A = B; n
∈
iii) d(A, B) = d(B, A) per ogni A, B ;
E n
≥ ∈
iv) d(A, B) + d(B, C) d(A, C) per ogni A, B, C .
E
Vediamo ora come estendere la nozione di distanza tra due punti a quella di distanza tra un
−1)
punto e una varietà lineare. Si consideri ad esempio la retta r di equazione (x, y) = (1, 1) +λ(1,
2 −
e il punto A = (0, 0) del piano ; denotando con P il generico punto di r: P = (1 + λ, 1 λ) si
E λ λ
ha p 2
2 + 2λ .
d(A, P ) =
λ √
Si verifica che tale funzione di λ assume tutti i valori compresi tra 2 e +∞. E’ naturale quindi
√
2.
chiamare distanza tra r ed A il minimo di tali valori, cioè n
Siano L una varietà lineare e A un punto di ; si definisce distanza di A da
E
3.3. Definizione.
L e si denota con d(A, L) il numero reale non negativo | ∈
d(A, L) = min{d(A, B) B L}. ∈
Si vede immediatamente che d(A, L) = 0 se e solo se A L; proveremo
3.4. Osservazione. ∈
inoltre che esiste A L tale che d(A, A ) = d(A, L) e quindi la definizione precedente è ben
0 0
posta. n
Siano L una varietà lineare e A un punto di ; allora
E
3.5. Proposizione. ⊥
∩
d(A, L) = d(A, A ) dove A = L (A + S )
0 0 L
⊥ ⊥
è detto proiezione ortogonale di A su L e A + S denota la varietà lineare affine di giacitura S e
L L
passante per il punto A.
158 Capitolo XI - Geometria lineare affine euclidea
⊥
Dimostrazione. L’intersezione L∩(A+S ) consiste di un solo punto, che indichiamo con A . Dalla
0
L ∈
definizione dobbiamo provare che il minimo delle distanze d(A, B) con B L si ottiene proprio
−
per B = A . Sia dunque B un qualunque punto di L; il vettore A B si decompone in
0 − − −
A B = (A A ) + (A B)
0 0 ⊥
− ∈ − ∈
dove A B S in quanto A e B appartengono a L, mentre A A S , in quanto A e A
L
0 0 0 0
L
⊥ − · −
appartengono alla varietà lineare A + S . Quindi (A A ) (A B) = 0 e pertanto
0 0
L
2 2 2
kA − k(A − −
(d(A, B)) = Bk = A ) + (A B)k =
0 0
2 2
kA − k kA −
= A + Bk .
0 0
Quindi 2 2 2
≥ kA − k
(d(A, B)) A = (d(A, A ))
0 0
∈
per ogni B L, da cui la tesi.
Calcoliamo alcune distanze usando 3.5. 2
−1)
Trovere la distanza tra la retta r : 2x + y + 4 = 0 e il punto A = (1, di .
E
3.5.1. Esempio. ⊥
Iniziamo col calcolare la retta s = A + S , ortogonale a r e passante per A:
A r −1)
s : (x, y) = (1, + λ(2, 1).
A
Dunque ∩
A = r s : 2(1 + 2λ) + (−1 + λ) + 4 = 0
A
0
−1 −2).
da cui risulta λ = e quindi A = (−1, Pertanto
0 √
k(2, 5.
d(A, r) = d(A, A ) = 1)k =
0
3 −1,
In si considerino la retta r : (x, y, z) = (1, 2, 1) + λ(1, 2) e il punto
E
3.5.2. Esempio. ⊥
−1, .
A = (1, 0); per calcolare la distanza di r da A, determiniamo dapprima il piano π := A + S
A r
−1,
Un vettore ortogonale a tale piano è, ad esempio (1, 2); applicando 1.6 si vede che π ha
A
un’equazione del tipo: −
x y + 2z + d = 0. −2,
Per determinare d basta imporre il passaggio per il punto A: 1 + 1 + d = 0; pertanto d = da
cui − −
π : x y + 2z 2 = 0.
A
Infine, per determinare A , basta intersecare r con π :
A
0 − − −
(1 + λ) (2 λ) + 2(1 + 2λ) 2 = 0,
da cui λ = 1/6. Pertanto A = (7/6, 11/6, 4/3) e
0 √
k(1/6,
d(A, r) = d(A, A ) = 17/6, 4/3)k = 354/6.
0
Si può determinare una formula che permette di calcolare in modo più rapido la distanza di
un punto da un iperpiano. 159
Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014 n
· · · ∈
Siano H : a x + + a x + b = 0 un iperpiano e Q = (x , . . . , x ) . Allora
E
3.7. Teorema. n n n
1 1 1
· · ·
|a x + + a x + b|
n n
1
1
d(Q, H) = .
p 21 · · · 2
a + + a
n
Ponendo X := (x , . . . , x ) e A := (a , . . . , a ) e considerandoli come vettori,
Dimostrazione. n n
1 1
l’equazione di H può essere scritta come: ·
H : A X + b = 0,
n ⊥
∈
dove il prodotto è ovviamente il prodotto scalare di E . Come visto, A S . Inoltre, la proiezione
H
∩
ortogonale di Q su H è Q = H r, dove r è la retta passante per Q e ortogonale ad H, cioè:
0 r : P = Q + λA.
∩
Pertanto H r si ottiene sostituendo P al posto di X nell’equazione di H: ·
A Q + b
· ⇒ · · ⇒ −
A (Q + λA) + b = 0 A Q + λA A + b = 0 λ = .
·
A A 2
· kAk
Sostituendo tale valore di λ nell’equazione di r e tenendo presente che A A = , si ottiene
dunque il punto ·
A Q + b
− A.
Q = Q
0 kAk 2
Pertanto 2 2
2 |A ·
|A ·
· Q + b|
Q + b|
A Q + b 2
2 2 2 kAk
kQ − k A =
=
d(Q, H) = d(Q, Q ) = Q =
0 0 kAk kAk kAk
2 4 2
e quindi |A · |a · · ·
Q + b| x + + a x + b|
n n
1 1 .
d(Q, H) = =
kAk p 21 · · · 2
a + + a
n
Col metodo precedente, calcoliamo la distanza d(A, r) dove r : 2x + y + 4 = 0
3.7.1. Esempio.
−1)
e A = (1, sono come nell’esempio 3.5.1: √
|2 − 1 + 4|
√
d(A, r) = = 5.
4+1 3 −1)
Calcoliamo la distanza tra il punto A e il piano π di , dove A = (1, 2, e
E
3.7.2. Esempio.
−
π : x + 2y 2z + 3 = 0: |1 + 4 + 2 + 3| 10
√
d(A, π) = .
= 3
1+4+4
Vediamo ora la definizione e alcuni esempi di distanza tra V.L.A. La definizione 3.3 si generalizza
in modo naturale alla seguente
160 Capitolo XI - Geometria lineare affine euclidea
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teemo92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Trieste - Units o del prof Brundu Michela.
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