Dispensa di Matematica - Geometria lineare affine euclidea

Capitolo XI

GEOMETRIA LINEARE AFFINE EUCLIDEA

1. Spazi affini euclidei n

Se, in luogo dello spazio affine costruito a partire dallo spazio vettoriale , si considera quello

R

n

associato allo spazio euclideo reale E si ottiene un spazio affine nel quale si possono introdurre

nuove nozioni quali l’ortogonalità, le distanze e gli angoli.

n n

Lo spazio affine (R) associato allo spazio euclideo E si dice spazio affine

A

1.1. Definizione. n

euclideo e si denota con .

E

Poiché in uno spazio vettoriale euclideo si può parlare di basi ortonormali, rispetto alle quali

molti calcoli sono particolarmente semplici, introduciamo dei sistemi di riferimento che si ricon-

n

B

ducono al concetto di base ortonormale. Si noti, inoltre, che se è una base ortonormale di E ,

B,E

B, E

allora la matrice che ha per colonne i vettori di cioè M , dove è la base canonica, è ortogonale

B,E ±1.

per definizione (Cap. IX); in particolare det(M ) =

Usando basi ortonormali si ha la definizione di sistema di riferimento cartesiano ortogonale:

n

B) B

Un sistema di riferimento (O, di si dice cartesiano ortogonale se è una

E

1.2. Definizione. n B,E

base ortonormale di E e det(M ) = 1.

D’ora in poi considereremo solo riferimenti cartesiani ortogonali.

−2) −1).

Sia r la retta di equazione (x, y) = (1, + λ(1, Per determinare una

1.2.1. Esempio.

equazione cartesiana di r possiamo operare nel modo consueto (eliminando il parametro) oppure

−2) ∈

osservando che un vettore ortogonale ad r è, ad esempio, u = (1, 1); dunque, posti A = (1, r

−1),

e v = (1, si ha: ∈ ⇐⇒ − ∈ L(v) ⇐⇒

P = (x, y) r P A

⇐⇒ − · ⇐⇒ − ·

(P A) u = 0 (x 1, y + 2) (1, 1) = 0,

da cui r : x + y + 1 = 0.

2

In generale, se r è la retta di di equazione vettoriale P = A + λv ed u è un vettore ortogonale

E

⊥ L(u)

= (ricordando che S denota la giacitura di r) si ha

ad r, cioè S r

r ∈ ⇐⇒ − ·

P r (P A) u = 0.

Quest’ultima equazione si dice equazione normale della retta r.

n

Generalizzando ad un qualsiasi iperpiano di si ha la seguente:

E

n n

⊂ ∈

Siano H un iperpiano e A un suo punto. Se u è un vettore non

E R

1.3. Proposizione. ⊥

L(u)

nullo ortogonale alla giacitura S di H, cioè = S , allora

H H

∈ ⇐⇒ − ·

P H (P A) u = 0.

153

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014

L’equazione

1.4. Definizione. − ·

H : (P A) u = 0

si dice equazione normale dell’iperpiano H. In particolare, se n = 2 si ha l’equazione normale della

retta nel piano; se n = 3, si ha l’equazione normale del piano nello spazio.

Si noti che l’equazione normale di un iperpiano H non è univocamente

1.5. Osservazione.

determinata, in quanto il punto A può variare in H ed il vettore u è individuato a meno di uno

scalare. · · ·

Si noti che, se H ha equazione cartesiana a x + + a x = b, allora

1.6. Osservazione. n n

1 1

⊥ L((a

S = , . . . , a )); infatti

n

1

H n

{(x ∈ | · · ·

S = , . . . , x ) a x + + a x = 0} =

R

H n n n

1 1 1

n

{(x ∈ | ·

= , . . . , x ) (a , . . . , a ) (x , . . . , x ) = 0}

R

n n n

1 1 1

⊥ L((a

dunque S = , . . . , a )) e quindi un’equazione normale di H è

n

1

H − ·

(P A) (a , . . . , a ) = 0

n

1

dove A è un qualunque punto di H. 3

Vogliamo determinare le equazioni normale e cartesiana del piano π di ,

E

1.6.1. Esempio. −1)

passante per il punto A = (1, 0, e la cui giacitura è ortogonale al vettore u = (1, 2, 3). Per

quanto visto, si ha − ·

π : (x 1, y, z + 1) (1, 2, 3) = 0,

da cui π : x + 2y + 3z + 2 = 0.

Vogliamo determinare l’equazione normale di una retta del piano a partire dalla

1.6.2. Esempio. −

sua equazione cartesiana. Sia ad esempio r : 2x 3y + 3 = 0; poiché, da 1.6, un vettore normale

−3)

ad r è u = (2, e (0, 1) è un suo punto, un’equazione normale di r è

− · −3)

(x, y 1) (2, = 0.

Come abbiamo visto, l’equazione normale di un iperpiano è strettamente legata alla sua

equazione cartesiana. Non è quindi sorprendente il fatto che per dare in forma normale una

generica VLA che non sia un iperpiano si abbia bisogno di più relazioni. Illustriamo questo fatto

con un esempio. 3

⊂

Vogliamo determinare l’equazione cartesiana della retta r passante per il

E

1.6.3. Esempio.

−3) L((1, −1)).

punto A = (1, 2, e ortogonale al sottospazio vettoriale 1, 0), (0, 1, Bisogna quindi

imporre due condizioni di ortogonalità che determinano l’equazione normale delle retta:

− − ·

(x 1, y 2, z + 3) (1, 1, 0) = 0 .

− − · −1)

(x 1, y 2, z + 3) (0, 1, = 0

Di consequenza, l’equazione cartesiana di r è:

−

x + y 3=0 .

− −

y z 5=0

154 Capitolo XI - Geometria lineare affine euclidea

2. Ortogonalità fra varietà lineari affini

2.1. Definizione. n n

′ ′

⊂ ∈

a) Diremo che due rette r, r sono ortogonali se, poste v, v E le rispettive direzioni

E

′ ′

∈ ∈

(ovvero v S e v S ), i vettori v e v sono tra loro ortogonali.

r r ′ ′ ′

3 3

⊂ ∈

b) Diremo che due piani π, π sono ortogonali se, poste u, u E le rispettive direzioni

E ′ ′

⊥ ⊥ L(u

L(u) = )), i vettori u e u sono tra loro ortogonali.

= e S

ortogonali (cioè S π π ′ 3

c) Diremo che una retta r e un piano π di sono ortogonali se, posta v una direzione di r e u

E 3

una direzione ortogonale a π, i vettori v e u di E sono linearmente dipendenti.

Si considerino le seguenti rette del piano euclideo:

2.1.1. Esempio. ′

−

r : 2x 2y + 1 = 0; r : x + y + 3 = 0

′′ ′′′

−3) − ·

r : (x, y) = (1, + λ(1, 1); r : (x + 1, y 4) (1, 2) = 0.

Dire quali coppie di rette tra le precedenti sono ortogonali.

′ ′′ ′′′ ′ ′′ ′′′

Detti v, v , v , v i vettori direzione delle rette r, r , r , r , rispettivamente, si ha

′ ′′ ′′′

v = (2, 2), v = (−1, 1), v = (1, 1), v = (−2, 1)

′ ′ ′′

⊥ ⊥

e chiaramente le sole coppie di rette ortogonali sono r r , r r .

3

Si considerino le due rette di :

E

2.1.2. Esempio.  ′

x = 3 + λ



′ ′

−

−1) y = 2 2λ

r : (x, y, z) = (1, 2, 1) + λ(3, 0, , r : .

′

z = 3λ



′ ′

−1) −2,

Posti v = (3, 0, e v = (1, 3) due vettori paralleli ad r ed r , rispettivamente, si osserva che

′

v e v sono ortogonali in quanto ′

· −1) · −2,

v v = (3, 0, (1, 3) = 0. ⊥

′ ⊥ L(v) ⊂

∈ ) e,

(e quindi S = S

Quindi r ed r sono ortogonali. Osserviamo, infine, che v S r r

r ′

′

′ ⊥ ′ ⊥

∈ L(v ⊂

analogamente, v S (e quindi S = ) S ).

r ′

r r

3 − −

Nello spazio si consideri il piano π : x y + 2z 3 = 0; vogliamo determinare

E

2.1.3. Esempio.

la retta r ortogonale a π e passante per il punto A = (1, 2, 1).

⊥ L((1, −1,

= 2)), si ha

Poiché S π −1,

r : (x, y, z) = (1, 2, 1) + λ(1, 2).

3

Nello spazio si consideri la retta di equazione

E

2.1.4. Esempio. − −

x 2y + z 1 = 0 .

r : x + y =0

Determinare: −1, −1);

1) l’equazione cartesiana del piano π ortogonale ad r e passante per il punto A = (−1,

2) l’intersezione di r e π. 155

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014

1) Ricaviamo un’equazione parametrica di r ponendo, ad esempio, y = λ:

 −λ

x =



r : y = λ

z = 1 + 3λ



quindi r ha per direzione il vettore (−1, 1, 3), pertanto l’equazione normale di π è

· − − −

π : (x + 1, y + 1, z + 1) (−1, 1, 3) = 0 da cui π : x y 3z 3 = 0.

2) La retta r e il piano π si intersecano in un solo punto P ottenuto come soluzione del sistema:

 −

x 2y + z = 1



∩

P = r π : x + y =0 .

− −

x y 3z = 3



−6/11, −7/11).

Si verifica che P = (6/11, ′

Si considerino le rette ortogonali r ed r dell’esempio 2.1.2; vogliamo determinare

2.1.5. Esempio. ′ ′

⊃

il piano π tale che π r e π è ortogonale a r . Per 1.6, il generico piano ortogonale a r ha

un’equazione del tipo −

π : x 2y + 3z + d = 0

d ⊃

dove d è un parametro reale. Chiaramente π r se e solo se le coordinate dei punti di r soddisfano

d

la precedente equazione per ogni valore di λ, cioè se

− · − ⇒

(1 + 3λ) 2 2 + 3(1 λ) + d = 0 d = 0.

−

Pertanto π ha equazione x 2y + 3z = 0. ′ 3

Si considerino i piani π e π di di equazioni:

E

2.1.6. Esempio. ′

− − −

π : 2x + y z 3 = 0 , π : x + y + 3z 1 = 0.

′ ′

−1)

I vettori u = (2, 1, e u = (1, 1, 3), ortogonali a π e a π , rispettivamente, sono ortogonali tra

loro; infatti: ′

· −1) ·

u u = (2, 1, (1, 1, 3) = 0.

′

Dunque i piani π e π sono ortogonali.

⊥ L((2, −1)),

Osservando che S = 1, si noti che

π {(a, |

−1) ∈ = b, c, ) a + b + 3c = 0}

(2, 1, S π ′

⊥ ⊥ ⊂

⊂ S . Tale fatto vale in generale:

e dunque S S . In modo analogo si verifica che S π

π ′

π π ′

′ ⊥

3 ⊂

⊂ (oppure se e solo

S

Due piani π, π sono ortogonali se e solo se S

E

2.2. Osservazione. π ′

π

⊥ ⊂ S ).

se S π

π ′

156 Capitolo XI - Geometria lineare affine euclidea

3

⊂

Si considerino le rette r, s di equazioni

E

2.3. Esercizio di ricapitolazione. −

x y + z +2=0

−1),

r : (x, y, z) = (1, 2, 1) + λ(3, 0, s : −

x z +1=0

ed il punto A = (1, 0, 1). Vogliamo determinare:

F

a) la famiglia delle rette ortogonali ad r e passanti per A;

F −

b) la retta l di parallela al piano π : x y + z + 2 = 0;

′ F

c) la retta l di ortogonale ad s; −

d) le rette ortogonali ad r contenute nel piano y 2 = 0.

3

∈ ⊥ · −1)

a) Sia v = (a, b, c) ; v S se e solo se (a, b, c) (3, 0, = 0 se e solo se c = 3a. Pertanto la

R r

famiglia richiesta è costituita dalle rette r di equazione:

α

r : (x, y, z) = (1, 0, 1) + µ(1, α, 3)

α

6

ottenuta per a = 0, e dalla retta

r : (x, y, z) = (1, 0, 1) + µ(0, 1, 0)

F {r } ∪ {r}.

ottenuta per a = c = 0. In sintesi: = α α∈R

b) Poiché il vettore (0, 1, 0) non è parallelo a π, la retta l non può essere r e va quindi ricercata tra

le rette r . Basta imporre dunque che il vettore (1, α, 3) appartenga alla giacitura di π, cioè che

α −1, · −1, −

sia ortogonale al vettore (1, 1). Da cui (1, α, 3) (1, 1) = 4 α = 0 e quindi α = 4. Pertanto

l : (x, y, z) = (1, 0, 1) + µ(1, 4, 3).

c) Un vettore direzione di s si ottiene passando ad equazione parametrica, cioè risolvendo il sistema

corrispondente alla sua equazione cartesiana:

s : (x, y, z) = (−1 + η, 1 + 2η, η) = (−1, 1, 0) + η(1, 2, 1).

Richiedere che r sia ortogonale ad s equivale a imporre che i vettori (1, α, 3) e (1, 2, 1) siano

α · −2;

ortogonali, cioè (1, α, 3) (1, 2, 1) = 4 + 2α = 0, dunque α = pertanto

′ −2,

l : (x, y, z) = (1, 0, 1) + µ(1, 3).

· 6

r non è ortogonale ad s, in quanto (0, 1, 0) (1, 2, 1) = 2 = 0.

D’altra parte

d) Sia π il generico piano ortogonale ad r:

h −

π : 3x z + h = 0.

h −

Le rette richieste devono appartenere ai piani π e anche al piano y 2 = 0, dunque sono

h

−

3x z + h = 0 ∈

, dove h

t : R.

h −

y 2=0 157

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014

3. Distanze tra varietà lineari

È ben noto che la distanza di due punti A e B nel piano è definita come la lunghezza del

−

segmento avente per estremi A e B, cioè il modulo del vettore B A. Diamo dunque in generale

la seguente: n

Siano A e B due punti di ; si dice distanza di A da B, e si indica con

E

3.1. Definizione. kB − − · −

d(A, B), il numero reale Ak = (B A) (B A). 4

−1) −1,

Siano A = (1, 2, 0, e B = (0, 2, 2) due punti di ; allora

E

3.1.1. Esempio. √

k(−1, −3,

d(A, B) = 2, 3)k = 23.

Dalle proprietà del prodotto scalare segue immediatamente:

Valgono le seguenti proprietà:

3.2. Proposizione. n

≥ ∈

i) d(A, B) 0 per ogni A, B ;

E

ii) d(A, B) = 0 se e solo se A = B; n

∈

iii) d(A, B) = d(B, A) per ogni A, B ;

E n

≥ ∈

iv) d(A, B) + d(B, C) d(A, C) per ogni A, B, C .

E

Vediamo ora come estendere la nozione di distanza tra due punti a quella di distanza tra un

−1)

punto e una varietà lineare. Si consideri ad esempio la retta r di equazione (x, y) = (1, 1) +λ(1,

2 −

e il punto A = (0, 0) del piano ; denotando con P il generico punto di r: P = (1 + λ, 1 λ) si

E λ λ

ha p 2

2 + 2λ .

d(A, P ) =

λ √

Si verifica che tale funzione di λ assume tutti i valori compresi tra 2 e +∞. E’ naturale quindi

√

2.

chiamare distanza tra r ed A il minimo di tali valori, cioè n

Siano L una varietà lineare e A un punto di ; si definisce distanza di A da

E

3.3. Definizione.

L e si denota con d(A, L) il numero reale non negativo | ∈

d(A, L) = min{d(A, B) B L}. ∈

Si vede immediatamente che d(A, L) = 0 se e solo se A L; proveremo

3.4. Osservazione. ∈

inoltre che esiste A L tale che d(A, A ) = d(A, L) e quindi la definizione precedente è ben

0 0

posta. n

Siano L una varietà lineare e A un punto di ; allora

E

3.5. Proposizione. ⊥

∩

d(A, L) = d(A, A ) dove A = L (A + S )

0 0 L

⊥ ⊥

è detto proiezione ortogonale di A su L e A + S denota la varietà lineare affine di giacitura S e

L L

passante per il punto A.

158 Capitolo XI - Geometria lineare affine euclidea

⊥

Dimostrazione. L’intersezione L∩(A+S ) consiste di un solo punto, che indichiamo con A . Dalla

0

L ∈

definizione dobbiamo provare che il minimo delle distanze d(A, B) con B L si ottiene proprio

−

per B = A . Sia dunque B un qualunque punto di L; il vettore A B si decompone in

0 − − −

A B = (A A ) + (A B)

0 0 ⊥

− ∈ − ∈

dove A B S in quanto A e B appartengono a L, mentre A A S , in quanto A e A

L

0 0 0 0

L

⊥ − · −

appartengono alla varietà lineare A + S . Quindi (A A ) (A B) = 0 e pertanto

0 0

L

2 2 2

kA − k(A − −

(d(A, B)) = Bk = A ) + (A B)k =

0 0

2 2

kA − k kA −

= A + Bk .

0 0

Quindi 2 2 2

≥ kA − k

(d(A, B)) A = (d(A, A ))

0 0

∈

per ogni B L, da cui la tesi.

Calcoliamo alcune distanze usando 3.5. 2

−1)

Trovere la distanza tra la retta r : 2x + y + 4 = 0 e il punto A = (1, di .

E

3.5.1. Esempio. ⊥

Iniziamo col calcolare la retta s = A + S , ortogonale a r e passante per A:

A r −1)

s : (x, y) = (1, + λ(2, 1).

A

Dunque ∩

A = r s : 2(1 + 2λ) + (−1 + λ) + 4 = 0

A

0

−1 −2).

da cui risulta λ = e quindi A = (−1, Pertanto

0 √

k(2, 5.

d(A, r) = d(A, A ) = 1)k =

0

3 −1,

In si considerino la retta r : (x, y, z) = (1, 2, 1) + λ(1, 2) e il punto

E

3.5.2. Esempio. ⊥

−1, .

A = (1, 0); per calcolare la distanza di r da A, determiniamo dapprima il piano π := A + S

A r

−1,

Un vettore ortogonale a tale piano è, ad esempio (1, 2); applicando 1.6 si vede che π ha

A

un’equazione del tipo: −

x y + 2z + d = 0. −2,

Per determinare d basta imporre il passaggio per il punto A: 1 + 1 + d = 0; pertanto d = da

cui − −

π : x y + 2z 2 = 0.

A

Infine, per determinare A , basta intersecare r con π :

A

0 − − −

(1 + λ) (2 λ) + 2(1 + 2λ) 2 = 0,

da cui λ = 1/6. Pertanto A = (7/6, 11/6, 4/3) e

0 √

k(1/6,

d(A, r) = d(A, A ) = 17/6, 4/3)k = 354/6.

0

Si può determinare una formula che permette di calcolare in modo più rapido la distanza di

un punto da un iperpiano. 159

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014 n

· · · ∈

Siano H : a x + + a x + b = 0 un iperpiano e Q = (x , . . . , x ) . Allora

E

3.7. Teorema. n n n

1 1 1

· · ·

|a x + + a x + b|

n n

1

1

d(Q, H) = .

p 21 · · · 2

a + + a

n

Ponendo X := (x , . . . , x ) e A := (a , . . . , a ) e considerandoli come vettori,

Dimostrazione. n n

1 1

l’equazione di H può essere scritta come: ·

H : A X + b = 0,

n ⊥

∈

dove il prodotto è ovviamente il prodotto scalare di E . Come visto, A S . Inoltre, la proiezione

H

∩

ortogonale di Q su H è Q = H r, dove r è la retta passante per Q e ortogonale ad H, cioè:

0 r : P = Q + λA.

∩

Pertanto H r si ottiene sostituendo P al posto di X nell’equazione di H: ·

A Q + b

· ⇒ · · ⇒ −

A (Q + λA) + b = 0 A Q + λA A + b = 0 λ = .

·

A A 2

· kAk

Sostituendo tale valore di λ nell’equazione di r e tenendo presente che A A = , si ottiene

dunque il punto ·

A Q + b

− A.

Q = Q

0 kAk 2

Pertanto 2 2

2 |A ·

|A ·

· Q + b|

Q + b|

A Q + b 2

2 2 2 kAk

kQ − k A =

=

d(Q, H) = d(Q, Q ) = Q =

0 0 kAk kAk kAk

2 4 2

e quindi |A · |a · · ·

Q + b| x + + a x + b|

n n

1 1 .

d(Q, H) = =

kAk p 21 · · · 2

a + + a

n

Col metodo precedente, calcoliamo la distanza d(A, r) dove r : 2x + y + 4 = 0

3.7.1. Esempio.

−1)

e A = (1, sono come nell’esempio 3.5.1: √

|2 − 1 + 4|

√

d(A, r) = = 5.

4+1 3 −1)

Calcoliamo la distanza tra il punto A e il piano π di , dove A = (1, 2, e

E

3.7.2. Esempio.

−

π : x + 2y 2z + 3 = 0: |1 + 4 + 2 + 3| 10

√

d(A, π) = .

= 3

1+4+4

Vediamo ora la definizione e alcuni esempi di distanza tra V.L.A. La definizione 3.3 si generalizza

in modo naturale alla seguente

160 Capitolo XI - Geometria lineare affine euclidea