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Vale l’analogo dell’osservazione 2.5 fatta per le rette:

L’equazione vettoriale di un piano non è unica; precisamente, se

2.9. Osservazione. ′ ′ ′ ′

π : P = Q + λu + µv e π : P = Q + λu + µv

n

sono due piani in , allora

A  ′ ′

L(u, L(u

S = S (cioè v) = , v ))

π π ′

′ ⇐⇒

π = π ′

− ∈

Q Q S

 π n ≥

Dati due punti distinti A e B in (con n 2), esiste una ed una sola

A

2.10. Proposizione.

retta passante per A e per B ed una sua equazione vettoriale è data da:

r : P = A + λ(B A).

AB

Dimostrazione. −

Esistenza. L’equazione precedente rappresenta una retta, in quanto B A è un vettore non nullo

poiché A e B sono distinti per ipotesi. Inoltre la retta r passa per A (che si ottiene per λ = 0)

AB

e per B (che si ottiene per λ = 1).

Unicità. Se r è un’altra retta per A, la sua equazione sarà del tipo P = A + µv. Inoltre r passa

per B se e solo se B = A + µ v, per un opportuno µ , quindi se e solo se B A = µ v. Dunque

0 0 0

L(v) L(B −

S = = A) = S , da cui la tesi.

r r AB 2 −2)

La retta di passante per i punti A = (1, 2) e B = (1, ha equazione:

A

2.10.1. Esempio. −4).

(x, y) = (1, 2) + λ(0,

3 −2)

Determiniamo la retta di passante per i punti A = (1, 1, 1) e B = (1, 2,

A

2.10.2. Esempio.

e proviamo che il punto P = (1, 0, 4) vi appartiene.

Sempre per 2.10 la retta richiesta è: −3).

(x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(0, 1,

Per concludere, basta determinare un λ che verifichi il sistema

 1 = 1

 0=1+ λ .

4 = 1 3λ

−1

Ovviamente λ = è soluzione.

Vale l’analogo di 2.10 per 3 punti nello spazio affine. Più precisamente:

136 Capitolo X - Geometria lineare affine n ≥

Dati 3 punti distinti e non allineati A, B, C in (con n 3), esiste uno

A

2.11. Proposizione.

ed un solo piano che li contiene ed una sua equazione vettoriale è data da

− −

π : P = A + λ(B A) + µ(C A).

ABC

Dimostrazione. − −

Esistenza. L’equazione precedente rappresenta un piano, in quanto B A e C A sono vettori

linearmente indipendenti poiché A, B, C non sono allineati per ipotesi. Inoltre il piano π passa

ABC

per A (che si ottiene per λ = 0 e µ = 0), per B (che si ottiene per λ = 1 e µ = 0) e per C (che si

ottiene per λ = 0 e µ = 1).

Unicità. Sia π un altro piano per A, B, C. Allora avrà equazione del tipo

π : P = A + λu + µv.

L(B − − L(u,

Per 2.9 è sufficiente mostrare che A, C A) = v); anzi basta una sola inclusione

n ′

essendo entrambi sottospazi di dimensione 2 di . Ma A, B π , dunque (sempre per 2.9)

R L(u,

L(u, − ∈

− ∈ = v). Pertanto si ha l’inclusione

= v) e, analogamente, C A S

B A S π

π ′

L(B − − ⊆ L(u,

A, C A) v), come volevamo.

3

Determiniamo il piano π per i tre punti A = (1, 2, 0), B = (1, 1, 1),

A

2.11.1. Esempio.

−1).

C = (0, 1,

Bisogna dapprima verificare che i tre punti non sono allineati, ad esempio osservando che i vettori

− −1, − −1, −1)

B A = (0, 1) e C A = (−1, non sono paralleli. Dunque per 2.11 il piano richiesto è:

−1, −1, −1).

π : (x, y, z) = (1, 2, 0) + λ(0, 1) + µ(−1,

3. Varietà lineari affini, dimensione, parallelismo

Un’immediata generalizzazione delle nozioni di retta e di piano porta alla nozione di “varietà

n

lineare affine” L in : le rispettive giaciture per una retta o un piano sono sottospazi di dimensione

A

n n

1 o 2 di . In generale, si può considerare un sottospazio V di dimensione qualunque in .

R R

n

Una varietà lineare affine di dimensione k di è un insieme

A

3.1. Definizione. n

{P ∈ | − ∈ }

L = (P Q) V

A

n n

∈ ⊂

dove Q è un particolare punto dello spazio affine e V è un sottospazio vettoriale di

A R L(v

dimensione k. Tale sottospazio V si dirà giacitura di L e si indicherà con S . Se V = , . . . , v )

L k

1

allora una equazione vettoriale di L è data da: · · ·

L : P = Q + λ v + + λ v .

k k

1 1

Una retta è una varietà lineare affine di dimensione 1, mentre un piano è

3.2. Osservazione.

una varietà lineare affine di dimensione 2.

n −

Si dice iperpiano di una varietà lineare affine di dimensione n 1.

A

3.3. Definizione. 2 3

In particolare, una retta in ed un piano in sono esempi di iperpiani.

A A 137

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014

Non tratteremo ulteriormente varietà lineare affini generali (se non utilizzando questo termine

per riassumere nozioni e proprietà che valgono sia per rette che per piani), limitandoci a dare solo

un esempio: Vogliamo determinare le equazioni vettoriale e parametrica della varietà lineare

3.3.1. Esempio. 4 4

L(v

affine (un iperpiano) in associata al sottospazio S = , v , v ) di secondo il vettore

A R

1 2 3

4

∈ −1), −1,

w , dove v = (1, 0, 1, 0), v = (2, 1, 0, v = (0, 0, 1) e w = (2, 1, 1, 2). Tale varietà

R 1 2 3

lineare L ha le seguenti equazioni, vettoriale e parametrica rispettivamente:

−1) −1,

L : (x , x , x , x ) = (2, 1, 1, 2) + λ (1, 0, 1, 0) + λ (2, 1, 0, + λ (0, 0, 1)

1 2 3 4 1 2 3

x = 2 + λ + 2λ

 1 1 2

 x = 1 + λ

 2 2 .

L : −

x = 1 + λ λ

3 1 3

 −

x = 2 λ + λ

4 2 3

n

′ ⊆

Siano L, L due varietà lineare affini della stessa dimensione. Diremo che

A

3.4. Definizione.

L ed L sono parallele se hanno la stessa giacitura, cioè se S = S .

L L

2

Sia L una retta passante per l’origine; le rette L parallele a L sono

A

3.4.1. Esempio. O O

2

tutte e sole le rette del piano del tipo T (L ), con w variabile in . Si osservi infine che, per

R

w O

3.15, L = L se e solo w S .

O L −2).

Sia, ad esempio, L : (x, y) = λ(3, Allora tutte e sole le rette parallele ad L sono del tipo:

O O

−2),

L : (x, y) = (α, β) + λ(3,

2

∈ 6∈

con (α, β) . Inoltre una tale retta L è distinta da L se e solo se (α, β) S , cioè se (α, β)

R O L

−2).

non è un multiplo di (3,

Tale nozione non è utilizzabile per due varietà lineari di dimensione diversa; diamo dunque

una definizione apposita in un caso particolare: n

Una retta r ed un piano π nello spazio affine si dicono paralleli se la

A

3.5. Definizione. ⊂

giacitura della prima è inclusa nella giacitura del secondo, cioè se S S .

r π

Vogliamo vedere a quali, tra le rette r , r , r , è parallelo o meno il piano π,

3.5.1. Esempio. 1 2 3

dove: −1)

π : (x, y, z) = (0, 2, + λ (1, 0, 1) + λ (0, 1, 1)

1 2

−1,

r : (x, y, z) = λ(1, 0)

1

r : (x, y, z) = (0, 3, 0) + λ(1, 1, 2)

2 −1,

r : (x, y, z) = (1, 1) + λ(1, 1, 1).

3

Indichiamo con w e w due vettori che sono una base per la giacitura S del piano π e con v ,

π i

1 2 di ogni retta r ; ad esempio: w = (1, 0, 1),

per i = 1, 2, 3, un vettore che genera la giacitura S i

r 1

i

−1,

w = (0, 1, 1), v = (1, 0), v = (1, 1, 2), v = (1, 1, 1).

2 1 2 3

Per verificare se S è contenuta o meno in S , basta calcolare il rango della matrice le cui righe

r π

i

sono, rispettivamente, date dalle componenti di w , w , v .

i

1 2

138 Capitolo X - Geometria lineare affine

Nel primo caso la matrice   

 

w 1 0 1

1 0 1

1 −→

w 0 1 1

= 0 1 1

2

  

 

 −1

v 0 1 1

1 0

1

∈ L(w ⊂ 6⊂

ha rango 2, dunque v , w ), quindi S S , cioè r è parallela a π. Inoltre r π, in

π

r 1 1

1 1 2 1

∈ 6∈

quanto (0, 0, 0) r ma (0, 0, 0) π. Infatti, dovrebbero esistere λ e λ tali che

1 1 2

 0 = λ

1

−1) ⇒

(0, 0, 0) = (0, 2, + λ (1, 0, 1) + λ (0, 1, 1) 0 = 2 + λ

1 2 2

−1

0 = + λ + λ

 1 2

e tale sistema non ha ovviamente soluzioni.

Nel secondo caso, la matrice   

 

w 1 0 1

1 0 1

1 −→

w 0 1 1

= 0 1 1

2

  

 

v 0 1 1

1 1 2

2

∈ L(w ⊂

ha ancora rango 2, dunque v , w ), quindi r è parallela a π. Tuttavia r π in quanto il

2 1 2 2 2

seguente sistema (ottenuto uguagliando le coordinate dei punti generici di r e di π)

2

 λ = λ

λ = λ 1

1 

 ⇒

λ + 3 = 2 + λ λ = λ + 1

2 2

−1 −1

2λ = + λ + λ 2λ = + λ + λ + 1

 1 2

ha soluzioni (λ , λ ) per ogni λ R.

1 2

Nel terzo caso, la matrice   

 

w 1 0 1

1 0 1

1 −→

w 0 1 1

= 0 1 1

2

  

 

v 0 1 0

1 1 1

3

ha rango 3, dunque r non è parallela a π.

3 n

′ ′

Siano L, L due varietà lineare affini distinte. Diciamo che L ed L sono

A

3.6. Definizione.

incidenti se la loro intersezione è non vuota; si dicono, invece, sghembe se non sono né incidenti né

parallele. In particolare due rette oppure una retta ed un piano sono incidenti se hanno

3.7. Osservazione. n ≥

un punto in comune; due piani in (con n 3) sono incidenti se hanno una retta in comune.

A 3

Si considerino, nello spazio , la retta r ed il π dell’esempio 3.5.1. Come

A

3.7.1. Esempio. 3

abbiamo visto non sono paralleli, dunque la loro intersezione è fatta dai punti le cui coordinate

sono le soluzioni del sistema ottenuto uguagliando le coordinate del generico punto di r e del

3

generico punto di π: 

 λ = 5

1+ λ = λ 1

1 

 ⇒

−1 λ = 1

+ λ = 2 + λ 2

2

−1 λ = 4

1+ λ = + λ + λ 

 1 2

che corrisponde al punto (5, 3, 5) = r π.

3 139

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014

Determiniamo la posizione reciproca delle rette r ed r dell’esempio 3.5.1:

3.7.2. Esempio. 1 2

6∈ L(v

chiaramente non sono parallele, in quanto v ); inoltre non sono neanche incidenti in quanto

1 2 −1,

il sistema (ottenuto uguagliando il generico punto λ(1, 0) di r col generico punto (0, 3, 0) +

1

µ(1, 1, 2) di r ):

2  λ = µ

 −λ = 3 + µ

0 = 2µ

non ha soluzioni. Pertanto r ed r sono sghembe.

1 2

Concludiamo con il seguente esercizio. 3

Si considerino i due piani dello spazio A

3.7.3. Esempio. −1)

π : (x, y, z) = (0, 2, + λ (1, 0, 1) + λ (0, 1, 1)

1 2 .

′ −1, −1)

π : (x, y, z) = (1, 1) + λ (0, 0, 1) + λ (2, 1,

1 2

3

Determinare tutte le rette di parallele ad entrambi i piani.

A

Sia r una delle rette richieste; dunque la sua giacitura deve essere contenuta sia in quella di π

che in quella di π . Cioè ⊆ ∩ .

S S S

r π π ′

L((1, L((0, −1)), ∩

Poiché S = 0, 1), (0, 1, 1)) e S = 0, 1), (2, 1, si calcola S S ponendo

π π π π

′ ′

′ ′ −1)

α(1, 0, 1) + β(0, 1, 1) = α (0, 0, 1) + β (2, 1,

′ ′

−α −β

e cercando le soluzioni (α, β, , ) del sistema lineare omogeneo Σ : AX = 0, dove A è la

matrice che ha per colonne i 4 vettori e X la colonna delle incognite, cioè:

α

 

 

1 0 0 2 β

, X :=

A := 0 1 0 1 .

 

  ′

−α

 

−1

1 1 1 ′

−β

Si trova facilmente lo spazio delle soluzioni di tale sistema lineare omogeneo

′ ′

{(α, −α −β −4, −1) | ∈

S = β, , ) = t(2, 1, t R}.

Σ

Dunque S S è la retta vettoriale generata da

π π ′ −1)

2(1, 0, 1) + (0, 1, 1) = 4(0, 0, 1) + (2, 1, = (2, 1, 3).

Pertanto le rette r richieste sono del tipo

r : (x, y, z) = (a, b, c) + λ(2, 1, 3).

140 Capitolo X - Geometria lineare affine

4. Varietà Lineari affini in forma cartesiana

Abbiamo visto come una V.L.A. si possa definire mediante un’equazione vettoriale o un’equazione

parametrica. Utilizzando la teoria dei sistemi lineari, vedremo adesso come si possa associare ad

una V.L.A. un’equazione senza parametri. n

Una varietà lineare affine L è data come spazio delle soluzioni di un

A

4.1. Proposizione.

sistema lineare di m equazioni in n, ovvero m,n

L : AX = B, A . (∗)

R

Inoltre, l’associato sistema lineare omogeneo determina la giacitura S di L, ovvero

L

S : AX = 0.

L

Chiameremo un sistema del tipo (∗) l’equazione cartesiana di L. Risolvendo il sistema, ovvero

determinando la generica soluzione in funzione di r = n−ρ(A) parametri si ottiene la sua espressione

parametrica. Viceversa, eliminando sistematicamente i parametri si ottiene l’espressione cartesiana.

In sintesi, la varietà lineare L può essere rappresentata in forma cartesiana o in forma paramentrica

e il legame tra i due tipi di equazioni è spazio delle soluzioni S

sistema lineare Σ : AX = B Σ

⇐⇒ (equazione parametrica)

(equazione cartesiana)

Si noti che una V.L.A. non determina in modo univoco un’equazione cartesiana: un qualunque

sistema lineare equivalente a (∗) (ovvero avente lo stesso spazio di soluzioni) descrive la stessa

V.L.A.. Un’analoga affermazione vale per la corrispondente giacitura.

Proviamo l’equivalenza delle due nozioni con una serie di esempi.

2

Si consideri la retta r di equazione parametrica

A

4.1.1. Esempio. x =1+ λ .

r : −

y =2 λ

Eliminiamo il parametro λ, cioè, ad esempio, ricaviamo λ dalla seconda equazione, ottenendo

λ = 2 y, e sostituiamo tale espressione nella prima equazione:

− ⇒ −

x = 1 + (2 y) x + y 3 = 0.

Posto s il luogo dei punti che soddisfano tale equazione, proviamo che s coincide con r.

⊆ − ∈

Chiaramente r s in quanto il generico punto (1 + λ, 2 λ) r verifica l’equazione di s:

− − ≡

(1 + λ) + (2 λ) 3 0.

⊆ ∈

Viceversa, proviamo che s r; infatti se P = (α, β) s, allora

− ⇒ − −(β −

α + β 3=0 (α 1) = 2).

− −(β − −

Posto t = (α 1) = 2), si ha α = 1 + t, β = 2 t. Pertanto P è il punto di r ottenuto per

λ = t. Abbiamo dunque provato che l’equazione x + y 3 = 0 rappresenta la retta r. 141

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014

In generale abbiamo la seguente:

Le rette del piano sono tutti e i soli i luoghi di punti le cui coordinate verificano

4.2. Proposizione.

una equazione del tipo ax + by + c = 0, (1)

2

∈ 6

dove a, b, c e (a, b) = (0, 0). Se una retta r di ha equazione (1) la sua giacitura è data da

R A L((−b,

S : ax + by = 0 , cioè S = a)).

r r

2

Abbiamo visto che, data una retta di in equazione parametrica, si ottiene

Dimostrazione. A

un’equazione di tipo (1) eliminando il paramentro. Dunque basta mostrare che la (1) rappresenta

∈ 6

una retta del piano secondo la definizione 2.4. Siano dunque a, b, c dove (a, b) = (0, 0), e

R,

2

{(x, ∈ |

s := y) ax + by + c = 0}.

A

6

Primo caso: a = 0. Proviamo che gli insiemi s e r coincidono, dove r è la retta

c

r : (x, y) = , 0 + λ(−b, a).

a c

⊆ − λb, λa del generico punto

Si osserva immediatamente che r s, sostituendo le coordinate a

di r nell’equazione di s. ⊆

Per provare l’altra inclusione s r, si consideri un qualunque punto P = (x , y ) di s; dunque vale

0 0

b

c −

6 − y , quindi

ax + by + c = 0. Poiché a = 0, si ricava che x = 0

0 0 0 a a

c c

y

0

− −

− − ∈

P = =

b, y λ b, λ a r

0

a a a

y .

dove l’ultima uguaglianza si ottiene ponendo λ = 0

a ′ ′

Secondo caso: a = 0. Analogo: si prova che gli insiemi s e r coincidono, dove r è la retta

c

′ −

r : (x, y) = 0, + λ(1, 0).

b

2

L’equazione ax + by + c = 0 viene quindi detta equazione cartesiana di una retta in .

A

Si noti che una retta non individua univocamente un’equazione cartesiana.

4.3. Osservazione.

Infatti, se ax + by + c = 0 è un’equazione di r, allora ogni equazione

6

ρax + ρby + ρc = 0 , ρ = 0

rappresenta ancora la medesima retta r, poiché

⇔ ⇔

ρax + ρby + ρc = 0 ρ(ax + by + c) = 0 ax + by + c = 0

6

dove l’ultima uguaglianza segue da ρ = 0.

− − L((1,

La retta r : 2x y + 3 = 0 ha giacitura S : 2x y = 0, cioè S = 2)).

4.3.1. Esempio. r r

142 Capitolo X - Geometria lineare affine

3

Si consideri ora il piano π di equazione parametrica

A  x = 1 + 2λ + µ

 − −

y = 2 λ µ .

π : z = µ

Eliminiamo il parametro µ, ricavandolo dalla terza equazione e sostituendolo nelle prime due:

 x = 1 + 2λ + z

 − −

y =2 λ z .

µ = z

Successivamente si elimina il parametro λ ricavandolo, ad esempio, dalla seconda equazione e

sostituendolo nella prima:

 x = 1 + 2λ + z

 − − ⇒ − − ⇒ −

λ =2 y z x = 1 + 2(2 y z) + z x + 2y + z 5 = 0.

µ = z

Quest’ultima equazione rappresenta ancora il piano π: infatti ogni punto di π soddisfa tale

equazione, come si verifica immediatamente, sostituendo in essa le coordinate di un punto P =

− − ∈ −

(1 + 2λ + µ, 2 λ µ, µ) π. D’altra parte x + 2y + z 5 = 0 è un sistema lineare di un’equazione

2

in tre incognite, avente soluzioni, che sono dunque date dai punti di π.

Il procedimento visto sopra vale in generale, per ogni piano dello spazio affine. In modo

analogo a quanto visto per le rette del piano si prova la seguente:

I piani dello spazio affine sono tutti e soli i luoghi di punti le cui coordinate

4.4. Proposizione.

verificano un’equazione del tipo ax + by + cz + d = 0, (2)

∈ 6

dove a, b, c, d e (a, b, c) = (0, 0, 0). Tale espressione è detta equazione cartesiana di piano in

R

3 3

. Inoltre se il piano π di ha equazione (2), allora la sua giacitura è descritto dal sistema

A A

omogeneo corrispondente: S : ax + by + cz = 0.

π

Nello stesso modo di 4.3 per una rette nel piano, l’equazione cartesiana di

4.5. Osservazione.

un piano nello spazio non è univocamente determinata: moltiplicando per un qualunque numero

reale non nullo si ottiene un’equazione cartesiana che descrive lo stesso piano.

3

Il prossimo caso interessante è quello di una retta nello spazio: sia r di equazione parametrica

A

 x = 1 + 2λ

 −

r : y =2 λ .

z = λ

Eliminando, nel modo usuale, il parametro λ si ottiene:

 

x = 1 + 2λ x = 1 + 2z − −

x 2z 1 = 0

 

− ⇒ − ⇒

y =2 λ .

y =2 z −

y + z 2=0

λ = z λ = z

  143

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014

Lo spazio delle soluzioni dell’ultimo sistema lineare coincide con r; infatti ogni punto di r soddisfa

1

tale sistema (come si verifica per sostituzione). D’altra parte, il sistema in questione ha soluzioni

(essendo di rango 2 in 3 incognite); quindi le sue soluzioni rappresentano tutti e soli i punti di r.

In generale, in modo analogo a quanto fatto in 4.2 e 4.4, si ha la seguente

Le rette dello spazio affine sono tutti e soli i luoghi di punti le cui coordinate

4.6. Proposizione.

verificano un’equazione del tipo a x + b y + c z + d = 0

1 1 1 1 (3)

r : a x + b y + c z + d = 0

2 2 2 2

a b c

1 1 1

dove ρ = 2. Tale equazione di dice equazione cartesiana della retta r.

a b c

2 2 2 3

La giacitura S della retta r in (3) è il sottospazio di di equazione:

R

4.7. Osservazione. r a x + b y + c z = 0

1 1 1

S :

r a x + b y + c z = 0

2 2 2

che è chiaramente il sistema omogeneo associato a (3). Vale anche il viceversa, cioè tutti e sole le

3

rette in di giacitura S hanno un’equazione di tipo (3).

A r

Ancora una volta la precedente equazione non è univocamente determinata.

4.8. Osservazione.

Infatti ogni sistema lineare equivalente a (3), cioè avente lo stesso spazio delle soluzioni, fornisce

una ulteriore equazione cartesiana di r.

Vediamo ulteriori esempi di eliminazione di parametri: uno in dimensione più alta (iperpiano

4 3 4

di ), un piano di , una retta di .

A A A 4

Si consideri l’iperpiano H di equazione parametrica

A

4.8.1. Esempio. x =1+ λ + µ + ν

 −

y = λ µ

H : .

z = µ + ν

 t = ν

Eliminiamo i parametri: dapprima ν (dalla quarta equazione) e successivamente µ (dalla terza):

x =1+ λ + µ + t x = 1 + λ + (z t) + t

 

 

− − −

y = λ µ y = λ (z t)

 

⇒ −

z = µ + t µ = z t

 

 

ν = t ν = t

infine, eliminiamo λ (dalla seconda), ottenendo: − −

x = 1 + (y + z t) + (z t) + t

 −

λ = y + z t

 .

µ = z t

 ν = t

Pertanto la prima equazione del precedente sistema fornisce l’equazione cartesiana di H:

− − −

H : x y 2z + t 1 = 0.

144 Capitolo X - Geometria lineare affine

Si consideri il piano L dello spazio affine reale

4.8.2. Esempio. L : P = Q + λv + µv ,

1 2

−1,

dove Q = (2, 3, 0), v = (1, 0, 1), v = (1, 0). Esplicitando le componenti di P = (x, y, z) si ha:

1 2 

 

 

 

  1

1 x = 2 + λ + µ

2

x 

−1 −

=⇒

+ µ

+ λ 0 y =3 µ

= 3

y  

 

 

  0

1 z = λ

0

z 

ed eliminando i parametri si ottiene  λ = z

 −

µ =3 y −

x =2+ z +3 y

 − −

da cui l’equazione cartesiana di L: x + y z 5 = 0. 4 −1,

Si consideri la retta r : P = Q + λv dello spazio , dove Q = (1, 2, 1) e

A

4.8.3. Esempio.

v = (1, 2, 2, 1). Dunque −

x =1+ λ λ = x 1

 

1 1  −

x + x 3 = 0

1 2

 

− − −

x =2 λ x = 2 (x 1)

  

2 2 1

⇒ ⇒

r : 2x + x = 0 .

1 3

x = 2 + 2λ x = 2 + 2(x 1)

3 3 1 x + x = 0

   1 4

  −

x =1+ λ x = 1 + (x 1)

4 4 1

3

Si consideri il piano π di equazione:

A

4.8.4. Esempio. − −

π : 2x y + z 1 = 0.

−2x ∈

Scegliendo come incognite libere x e y, si ha z = + y + 1, cioè (x, y, z) π se e solo se

−2a −2)

(x, y, z) = (a, b, + b + 1) = (0, 0, 1) + a(1, 0, + b(0, 1, 1)

che è pertanto l’equazione vettoriale di π. 3

Si consideri la retta r di equazione cartesiana:

A

4.8.5. Esempio. − −

x y + z 1= 0

r : .

2x + y + 2 = 0

Per determinare una sua equazione vettoriale si risolve il precedente sistema, ottenendo:

−2x −

y = 2

−3x −

z = 3

e dunque −2a − −3a − −2, −3) −2, −3).

(x, y, z) = (a, 2, 3) = (0, + a(1, 145

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014


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Teemo92

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DETTAGLI
Esame: Algebra
Corso di laurea: Matematica
SSD:
Università: Trieste - Units
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teemo92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Trieste - Units o del prof Brundu Michela.

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