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52 CAPITOLO 4. AMMORTAMENTI E VALUTAZIONE DEI PRESTITI

• All’anno 0, le quote sono entrambe nulle, la rata é nulla, il debito residuo

D coincide con l’ammontare C = 3.000 euro, il debito estinto E é

0 0

uguale a 0;

• all’anno 1, calcoliamo prima la quota interessi con la formula (4.1.1),

usando il tasso i = 4/100: 4

· ·

I = i D = 3.000 = 120 euro.

1 0 100

Di conseguenza, dovendo essere R = 1.000 euro, ricaviamo la quota

1

capitale per differenza: C = R I = 880 euro. Quindi il debito

1 1 1

residuo si ottiene anch’esso per differenza tra l’ammontare da rimborsare

e la prima quota capitale: D = C C = 2.120 euro. Il debito estinto

1 1

corrisponde invece alla prima quota capitale versata: E = 880 euro;

1

• all’anno 2, riutilizzando la formula (4.1.1), otteniamo

4 · 2.120 = 84, 8 euro =⇒ C = 915, 2 euro.

I = 2

2 100

Il debito residuo si calcola scalando dal debito residuo al periodo prece-

dente la nuova quota capitale, per cui

− −

D = D C = 2.120 915, 2 = 1.204, 8 euro.

2 1 2

Il debito estinto, al solito, per differenza con l’ammontare totale: E =

2

3.000 1204, 8 = 1795, 2. euro;

• veniamo all’ultimo anno: con la solita formula, la quota interessi risulta

I = 48, 192 euro, mentre la quota capitale coincide con il debito residuo

3

al periodo precedente, ossia C = D = 1.204, 8 euro. Per cui l’ultima

3 2

rata ammonterà a R = C + I = 1.252, 992 euro. Infine, ovviamente,

3 3 3

D = 0 euro, E = 3.000 euro. Da notare anche il fatto che l’ultima

3 3

quota capitale si può anche ricavare dalla condizione di chiusura:

− − − −

C = C C C = 3.000 880 915, 2 = 1.204, 8 euro.

3 1 2

Riassumendo, la tabella di ammortamento ha la forma seguente:

k R C I D E

k k k k k

0 0 0 0 3.000 0

1 1.000 880 120 2.120 880

2 1.000 915,20 84,80 1204,80 1.795,20

3 1.252,99 1.204,80 48,19 0 3.000

4.1. GENERALITÀ SULL’AMMORTAMENTO 53

Per quanto riguarda il calcolo della nuda proprietà e dell’usufrutto, poichè

esso va riferito alla fine del primo anno, bisognerà considerare soltanto le

ultime due rate con le rispettive quote, al nuovo tasso j = 5/100. Avremo:

1−2 1−3

N P (A, 1, 5/100) = C (1 + j) + C (1 + j) =

2 3

−1 −2

· ·

= 915, 2 (1, 05) + 1.204, 8 (1, 05) = 1.964, 408163 euro,

1−2 1−3

U (A, 1, 5/100) = I (1 + j) + I (1 + j) =

2 3

−1 −2

· ·

= 84, 8 (1, 05) + 48, 19 (1, 05) = 124, 471655 euro.

Esercizio 63. Consideriamo un prestito di ammontare C da ammor-

tizzare in 4 rate annuali. Se le quote capitale dell’ammortamento

sono costanti e tutte uguali a 600 euro, e il tasso di remunerazione

è del 2%, compilare la tabella di ammortamento e calcolare nuda

proprietà e usufrutto dopo 3 anni e mezzo al tasso di valutazione

del 3, 2%.

Prima di tutto, applichiamo la condizione di chiusura per calcolare l’am-

montare complessivo C. Siccome le quote capitali sono costanti e uguali a 600

euro, si ha: ·

C = 600 4 = 2.400 euro.

Quindi, D = C = 2.400. Successivamente, ricaviamo le quote interesse

0

sostituendo il tasso del 2% nella formula (4.1.1):

2 · −

I = 2.400 = 48 euro, D = 2.400 600 = 1.800 euro. E = 600 euro.

1 1 1

100

2 · −

I = 1.800 = 36 euro, D = 1.800 600 = 1.200 euro. E = 1.200 euro.

2 2 2

100

2 · −

I = 1.200 = 24 euro, D = 1.200 600 = 600 euro. E = 1.800 euro.

3 3 3

100 2 · −

I = 600 = 12 euro, D = 600 600 = 0 euro. E = 2.400 euro.

4 4 4

100

Perciò la tabella di ammortamento completa risulta:

k R C I D E

k k k k k

0 0 0 0 2.400 0

1 648 600 48 1.800 600

2 636 600 36 1.200 1.200

3 624 600 24 600 1.800

4 612 600 12 0 2.400

54 CAPITOLO 4. AMMORTAMENTI E VALUTAZIONE DEI PRESTITI

Per calcolare nuda proprietà e usufrutto a 3,5 anni, dobbiamo tenere conto

del fatto che a quell’epoca c’è ancora da riscuotere un’unica ultima rata di

rimborso, quindi avremo semplicemente: −1/2

7/2−4

N P (A, 7/2, 32/1.000) = C (1+0, 032) = 600(1, 032) = 590, 624423 euro.

4 −1/2

7/2−4

U (A, 7/2, 32/1.000) = I (1 + 0, 032) = 12(1, 032) = 11, 812488 euro.

4

Consideriamo ad esempio il caso di un prestito rimborsabile a scadenza,

in cui tutte le quote interessi sono costanti, e uguali a Ci, e le quote capitale

sono tutte nulle fino all’ultima, che é C; il valore attuale della somma di tutte

le annualità sarà: n

X

2 n n k n

Civ + Civ + . . . + Civ + Cv = Ci v + Cv =

k=1

−n

1 (1 + i)

−1 −n −n −n

= Ci(1 + i) + C(1 + i) = C(1 (1 + i) + (1 + i) ) = C.

−1

1 (1 + i)

4.2 Ammortamento francese

Quest’ammortamento é quello in assoluto più utilizzato nella pratica corrente,

e la sua particolarità sta nel fatto che le rate di rimborso sono costanti e

posticipate. Il valore della rata costante R si può facilmente ricavare dal fatto

che il debitore in questo caso si trova vincolato al pagamento di una rendita

annua costante posticipata, di durata uguale a quella del prestito:

C

C = Ra =⇒ R = .

n|i a

n|i

Praticamente, decomponendo il valore della rendita nei suoi termini, la

n n

quota capitale sarà Rv e quella interessi R(1 v ) al primo anno, rispetti-

n−1 n−1

vamente Rv e R(1 v ) al secondo anno, fino all’n-esimo anno, in cui

saranno Rv e R(1 v). −

Invece, il debito residuo al termine dell’h-esimo anno (per h = 1, . . . , n 1)

risulterà: a

n−h|i

·

D = R a = C ,

h n−h|i a

n|i

perchè il debitore dovrà ancora corrispondere un ammontare pari al valore

attuale di una rendita di altre n h rate posticipate di uguale ammontare, R.

Al solito, determiniamo per differenza il debito estinto:

− −

E = C D = Ra Ra = a ,

h h n−h|

n|i n−h|i h|i

4.2. AMMORTAMENTO FRANCESE 55

corrispondente quindi al valore attuale di una rendita posticipata di durata h

anni differita di n h anni.

La tabella seguente fornisce uno schema dell’ammortamento francese:

Anno Rata Q. capitale Q. interesse D. residuo D. estinto

0 0 0 0 Ra 0

n|i

n n n

1 R Rv R(1 v ) Ra Rv

n−1|i

n−1 n−1 n n−1

2 R Rv R(1 v ) Ra R(v + v )

n−2|i

... ... ... ... ... ...

n R Rv R(1 v) 0 Ra

n|i

Esercizio 64. Supponiamo di voler rimborsare un prestito di am-

montare 10.000 euro in 5 anni, al tasso di remunerazione del 10%

annuo, secondo un piano di tipo francese. Compilare la tabella di

ammortamento.

Al solito, procediamo passo per passo, incominciando a calcolare la rata di

ammortamento costante R: ·

C 10.000 10.000 0, 1

R = =⇒ R = = = 2.637, 974807 euro.

−5

a a 1 (1, 1)

n|i 5|0,1

Successivamente, calcoliamo le varie quote e i vari debiti applicando semplice-

mente le formule (approssimiamo alla terza cifra decimale):

1. Al primo anno, avremo:

−5

·

C = 2.637, 974 (1, 1) = 1.637, 974 euro,

1 −

I = 2.637, 974 1.637, 974 = 1.000 euro,

1 −4

· −

2.637, 974 [1 (1, 1) ]

D = = 8.362, 022 euro,

1 0, 1

E = C = 1.637, 974 euro.

1 1

2. Al secondo anno: −4

·

C = 2.637 (1, 1) = 1.801, 771 euro,

2

I = 836, 203 euro,

2 −3

· −

2.637, 974 [1 (1, 1) ]

D = = 6.560, 25 euro,

2 0, 1

E = 1.637, 974 + 1.801, 771 = 4.439, 745 euro.

2

Proseguendo con le stesse formule fino al quinto anno, la tabella richiesta

risulterà:

56 CAPITOLO 4. AMMORTAMENTI E VALUTAZIONE DEI PRESTITI

Anno R C I D E

k k k k k

0 0 0 0 10.000 0

1 2.637,974 1.637,974 1.000 8.362,022 1.637,974

2 2.637,974 1.801,771 836,203 6.560,25 3.439,745

3 2.637,974 1.981,948 656,026 4.578,301 5.421,693

4 2.637,974 2.180,143 457,831 2.398,158 7.601,836

5 2.637,974 2.398,158 239,816 0 10.000

Da notare il fatto che può capitare che, per via degli arrotondamenti, qualche

valore finale può risultare appena impreciso, ad esempio qui il debito estinto

E sarebbe venuto di 9.999,994 euro, ma é un errore nell’ordine dei millesimi,

5

banalmente arrotondabile.

Esercizio 65. Ricavare tutti i dati, e la relativa tabella di ammorta-

mento, di un piano di rimborso di tipo francese di 4 anni, al tasso

di remunerazione del 4, 5%, con rata costante di 1.500 euro. Calco-

lare inoltre nuda proprietà e usufrutto all’inizio dell’ultimo anno ad

un tasso di valutazione del 6, 1%.

In questo tipo di esercizio, abbiamo il dato della rata ma non quello del-

l’ammontare totale del debito da ammortizzare. Quindi, preliminarmente cal-

coliamo l’ammontare C: −n

1 (1 + i) 0, 161438

·

C = R = 1.500 = 5.381, 288546 euro.

i 0, 045

Questo é dunque anche il debito residuo all’anno 0. Ora, applichiamo le

formule che conosciamo:

1. Al primo anno, avremo:

−4

·

C = 1.500 (1, 045) = 1.257, 842015 euro,

1 −

I = 1.500 1.257, 842015 = 242, 157984 euro,

1 −3

1 (1, 045)

·

D = 1.500 = 4.123, 446531 euro,

1 0, 045

E = C = 1.257, 842015 euro.

1 1

2. Al secondo anno: −3

·

C = 1.500 (1, 045) = 1.314, 444906 euro,

2 −

I = 1.500 1.314, 444906 = 185, 555094 euro,

2 −2

1 (1, 045)

·

D = 1.500 = 2.809, 001625 euro,

2 0, 045

E = E + C = 1.257, 842015 + 1.314, 444906 = 2.572, 286921 euro.

2 1 2

4.3. AMMORTAMENTO TEDESCO 57

Completando il calcolo sui due anni successivi, la tabella di ammortamento

risulta come segue (approssimiamo sempre alla terza cifra decimale):

Anno R C I D E

k k k k k

0 0 0 0 5.381,288 0

1 1.500 1.257,842 242,157 4.123,446 1.257,842

2 1.500 1.314,444 185,555 2.809,001 2.572,286

3 1.500 1.373,594 126,406 1.435,406 3.945,88

4 1.500 1.435,406 64,594 0 5.381,286

Concludiamo calcolando nuda proprietà e usufrutto: −1

3−4

N P (A, 3, 0, 061) = C (1+0, 061) = 1.435, 406(1, 061) = 1.352, 880301 euro.

4 −1

3−4

U (A, 3, 0.061) = I (1 + 0, 061) = 64, 594(1, 061) = 60, 880301 euro.

4

4.3 Ammortamento tedesco

Il piano di ammortamento di tipo tedesco si differenzia da quello francese per

un fatto cruciale: le rate, anche se costanti, vengono corrisposte anticipata-

mente. Di conseguenza, la rata R è legata al capitale C da rimborsare dalla

relazione: vC

· · ·

C = R ä .

=⇒ v C = R a =⇒ R =

n|i n|i a n|i

Puntualizziamo fin da subito di intendere per ammortamento tedesco quello

caratterizzato da rate costanti anticipate (in alcuni testi ci si riferisce invece

ad un ammortamento con quote capitale costanti, come quello italiano). Per il

resto, va adottata la convenzione che qui la quota interesse va riportata sulla

stessa riga in cui compare il debito residuo da cui é ottenuta, quindi rispetto

all’ammortamento francese la colonna delle quote interesse risulta spostata

verso l’alto di un periodo. Una formula di ricorrenza ulteriore che si può

utilizzare per il debito residuo è: −

D = (D R)(1 + i).

k k−1

Di conseguenza, potremo scrivere una tabella di ammortamento tedesco esem-

plificativa nel modo seguente:

58 CAPITOLO 4. AMMORTAMENTI E VALUTAZIONE DEI PRESTITI

Anno Rata Q. capitale Q. interesse D. residuo D. estinto

n n

− −

0 R(1 v ) 0 R(1 v ) Rä 0

n|i

n−1 n−1 n−1

1 R Rv R(1 v ) Rä Rv

n−1|i

n−2 n−2 n−1 n−2

2 R Rv R(1 v ) Rä R(v + v )

n−2|i

... ... ... ... ... ...

n R R 0 0 Rä n|i

Esercizio 66. Compilare la tabella di ammortamento per un piano

di rimborso di tipo tedesco di 5 anni, al tasso di remunerazione

del 2, 5%, dell’ammontare di 6.000 euro. Inoltre, calcolare l’indice di

onerosità di questo ammortamento.

Prima di tutto, ricaviamo la rata costante di questo rimborso:

−1 ·

vC (1, 025) 6.000

vC

R = =

= = 1.259, 981624 euro.

−n −5

− −

a 1 (1 + i) 1 (1, 025)

n|i i 0, 025

Ora stiliamo il piano, considerando anche l’anno precedente al primo anno:

1. All’anno 0, dobbiamo calcolare la quota interesse. Si può fare in 2 modi:

o la calcoliamo come da tabella, cioè: −5

n

− · −

R(1 v ) = 1.259, 981624 (1 (1, 025 )) = 146, 341463 euro,

oppure, tenendo conto del fatto che questo interesse anticipato corri-

· · ·

sponde al prodotto C d = C i v, possiamo anche calcolarlo come

−1

· ·

6.000 0, 025 (1, 025) = 146, 341463 euro.

2. Al primo anno, si calcolano le quote capitale e interesse come nell’am-

mortamento francese, ma scalando una riga:

−4

C = E = 1.259, 981624(1, 025) = 1.141, 481164 euro.

1 1 −

I = 1.259, 981624 1.141, 481164 = 118, 50046 euro.

1 −4

1 (1, 025)

−1

· ·

D = 1.259, 981624 (1, 025) = 4.858, 518831 euro.

1 0, 025

3. Si continua il calcolo negli anni successivi, ricordando che al quinto anno

la quota interessi é nulla e la quota capitale coincide con l’ultima rata.

Dunque, la tabella di ammortamento risulta come segue:

4.4. AMMORTAMENTO ITALIANO 59

Anno R C I D E

k k k k k

0 146,341 0 146,341 6.000 0

1 1.259,981 1.141,481 118,5 4.858,518 1.141,481

2 1.259,981 1.170,017 89,963 3.688,5 2.311,498

3 1.259,981 1.199,268 60,712 2.489,231 3.510,766

4 1.259,981 1.229,249 30,731 1.259,981 4.740,015

5 1.259,981 1.259,981 0 0 5.999,996

Infine, ricaviamo l’indice di onerosità γ applicando la relativa formula, cioè

sommando le 5 quote interessi e dividendo per il capitale prestato:

146, 341 + 118, 5 + 89, 963 + 60, 712 + 30, 731

γ = = 0, 074374.

6.000

4.4 Ammortamento italiano

In questa forma di ammortamento, a differenza dei precedenti, le quote capi-

C , mentre ogni quota interesse

tale sono tutte uguali fra loro, e valgono tutte n

é calcolata moltiplicando per il tasso di remunerazione il debito residuo al

periodo precedente. Le rate sono corrisposte posticipatamente, come nell’am-

mortamento francese, e di conseguenza, possiamo schematizzare una tabella

come segue:

Anno Rata Q. capitale Q. interesse D. residuo D. estinto

0 0 0 0 C 0

1 (C/n)(1 + ni) C/n Ci C(1 1/n) C/n

... ... ... ... ... ...

− −

n 1 (C/n)(1 + 2i) C/n 2(C/n)i C/n C C/n

n (C/n)(1 + i) C/n (C/n)i 0 C

Esercizio 67. Ricavare tutti i dati, e la relativa tabella di ammorta-

mento, di un piano di rimborso di tipo italiano di 3 anni, al tasso di

remunerazione dell’1, 7%, con quota capitale di 700 euro. Calcolare

inoltre nuda proprietà e usufrutto all’inizio dell’ultimo anno ad un

tasso di valutazione del 2, 2%.

Inizialmente, calcoliamo l’ammontare totale del debito da ammortizzare.

Essendo la quota capitale costante, ricaviamo semplicemente:

C = 700 euro =⇒ C = 2.100 euro.

3

Successivamente, calcoliamo le singole voci ad ogni passaggio:

60 CAPITOLO 4. AMMORTAMENTI E VALUTAZIONE DEI PRESTITI

1. Al primo anno, avremo:

·

I = Ci = 2.100 (0, 017) = 35, 7 euro,

1 C

− −

D = C = 2.100 700 = 1.400 euro,

1 n

E = C = 700 euro.

1 1

2. Al secondo anno:

·

I = i D = 23, 8 euro,

2 1 2C

D = C = 700 euro,

2 n

2C = 1.400 euro.

E =

2 n ·

3. All’ultimo anno, avremo: C = 700 euro, I = iD = (0, 017) 700 =

3 3 2

11, 9 euro.

Ed ecco la relativa tabella di ammortamento:

Anno R C I D E

k k k k k

0 0 0 0 2.100 0

1 735,7 700 35,7 1.400 700

2 723,8 700 23,8 700 1.400

3 711,9 700 11,9 0 2.100

Concludiamo calcolando nuda proprietà e usufrutto:

2−3

N P (A, 2, 0, 022) = C (1 + 0, 022) = 684, 931506 euro.

3 2−3

U (A, 2, 0.022) = I (1 + 0, 022) = 11, 643835 euro.

3

Esercizio 68. Compilare il piano di rimborso di un prestito di 3.000

euro in 5 anni al tasso periodale annuo del 15%, in regime di am-

mortamento italiano. Successivamente, determinarne l’indice di

onerosità.

Essendo l’ammontare C di 3.000 euro, ogni quota capitale risulta di 600

euro. Ripetendo le formule suddette ad ogni passaggio, la tabella di ammorta-

mento é la seguente:

Anno R C I D E

k k k k k

0 0 0 0 3.000 0

1 1.050 600 450 2.400 600

2 960 600 360 1.800 1.200

3 870 600 270 1.200 1.800

4 780 600 180 600 2.400

5 690 600 90 0 3.000

4.5. ALTRI CASI DI AMMORTAMENTO 61

L’indice di onerosità risulta:

450 + 360 + 270 + 180 + 90

γ = = 0, 45.

3.000

Notare che l’indice di onerosità di un ammortamento italiano è sempre uguale

al rapporto i(n + 1)/2.

4.5 Altri casi di ammortamento

4.5.1 Preammortamento

Nell’ambito di una qualsiasi operazione di ammortamento, può essere previsto

un periodo di cosiddetto preammortamento, consistente in un differimento

di s anni della data di inizio del rimborso del debito. In questi s anni, viene

rimborsata soltanto la quota interessi calcolata sull’ammontare complessivo

·

del debito, ossia le prime s quote interessi saranno I = i C, per k = 1, . . . , s.

k

Dall’(s + 1)-esimo anno in poi, si incomincerà il vero e proprio ammortamento

pagando pure le quote capitale, calcolate secondo le modalità prestabilite.

Ovviamente, negli anni di preammortamento, il debito residuo resta sempre

uguale e coincidente con C e il debito estinto é nullo.

Esercizio 69. Compilare un piano di rimborso di 10.000 euro al tasso

di remunerazione del 5% che preveda 2 anni di preammortamento e

3 di ammortamento italiano.

Le quote interesse per i primi 2 anni di preammortamento saranno date

·

da I = I = 0, 05 10.000 = 500 euro. Per il resto, si segue esattamente

1 2

il normale schema dell’ammortamento italiano a quote capitale costanti, di

conseguenza avremo la tabella seguente (con 3 cifre di approssimazione):

Anno R C I D E

k k k k k

0 0 0 0 10.000 0

1 0 500 500 10.000 0

2 0 500 500 10.000 0

3 3.833,333 3.333,333 500 6.666,666 3.333,333

4 3.666,666 3.333,333 333,333 3.333,333 6.666,666

5 3.499,999 3.333,333 166,666 0 9.999,999

4.5.2 Ammortamento con periodicità frazionata

I casi di rimborso di un prestito in cui la periodicità delle rate di rimborso é di-

versa dall’anno non presentano novità sensibili rispetto alla casistica standard.

In genere, le frazioni di anno considerate sono dei sottomultipli, e l’unica cosa

62 CAPITOLO 4. AMMORTAMENTI E VALUTAZIONE DEI PRESTITI

a cui bisogna prestare attenzione é l’utilizzo dell’opportuno tasso equivalente a

quello annuo. Di seguito, un esempio esplicativo con ammortamento francese.

Esercizio 70. Compilare la tabella di ammortamento per un piano di

rimborso di 4.550 euro al tasso annuo dell’ 8% in 4 rate semestrali

costanti. ∗

Prima di tutto, calcoliamo il tasso semestrale i equivalente al tasso annuo

i = 0, 08 con la formula di conversione: √

2 p

− −

(1 + i ) = 1 + i =⇒ i = i = 1 + i 1 = 1, 08 1 = 0, 039.

1/2 1/2

Quindi, la rata costante R sarà uguale a :

∗ ·

Ci 4.550 0, 039

R = = = 1.250, 526935 euro.

∗ −n −4

− −

1 (1 + i ) 1 (1, 039)

Ora, seguendo il normale procedimento dell’ammortamento francese, com-

piliamo la tabella, ricordando di scrivere la periodicità corretta nella prima

colonna:

Anno R C I D E

k k k k k

0 0 0 0 4.550 0

6 mesi 1.250,526 1.073,076 177,45 3.476,924 1.073,076

1 anno 1.250,526 1.114,926 135,6 2.361,998 2.188,002

1 anno e 6 mesi 1.250,526 1.158,408 92,118 1.203,59 3.346,41

2 anni 1.250,526 1.203,586 46,94 0 4.550

4.5.3 Ammortamento con cambiamento nelle condizioni di rim-

borso

Un caso piuttosto frequente nella realtà é quello in cui il rimborso non avvenga

mediante un unico tasso annuo di interesse, ma, da una certa data in poi,

ne venga utilizzato un altro. Ad esempio, nella compravendita di case, può

verificarsi il caso di rinegoziazione del mutuo, dipendente da variazioni di tassi

di mercato, o da qualche altro cambiamento nelle condizioni economiche del

debitore, o per qualche altro motivo.

Di seguito, vediamo un esempio in cui alcune rate sono rimborsate ad un

certo tasso e le successive ad un altro, senza snaturare il tipo di ammortamento.

Esercizio 71. Ricavare i dati del rimborso di un prestito di 2.000

euro con piano di ammortamento italiano in 4 rate annuali, le

prime 2 da rimborsare al tasso di remunerazione del 4% e le suc-

cessive due al tasso del 6, 5%.

4.5. ALTRI CASI DI AMMORTAMENTO 63

Ricaviamo inizialmente la quota capitale costante dell’ammortamento, che

non dipende dal tasso scelto, e quindi si manterrà costante per tutta la durata

dell’ammortamento: C 2.000

C = = = 500 euro.

i n 4

Chiamando i due tassi i = 4/100 e i = 65/1.000, le relative quote interessi

1 2

dunque saranno rispettivamente:

• · ·

Al primo anno, I = C i = 2.000 0, 04 = 80 euro.

1 1

• · ·

Al secondo anno, I = D i = 1.500 0, 04 = 60 euro.

2 1 1

• · ·

Al terzo anno, I = D i = 1.000 0, 065 = 65 euro.

3 2 2

• · ·

Al quarto anno, I = D i = 500 0, 065 = 32, 5 euro.

4 3 2

Da notare che, per effetto del cambiamento di tasso dopo il secondo anno, gli

andamenti delle quote interessi e delle rate non sono strettamente decrescenti,

come in tutti i casi visti precedentemente. La tabella risulta:

Anno R C I D E

k k k k k

0 0 0 0 2.000 0

1 580 500 80 1.500 500

2 560 500 60 1.000 1.000

3 565 500 65 500 1.500

4 532,5 500 32,5 0 2.000

4.5.4 Cenni sull’ammortamento americano

Quest’ultimo caso é anche detto ammortamento a due tassi, e si costruisce

essenzialmente su due ipotesi:

1) dalla prima alla (n 1)-esima scadenza il debitore rimborsa soltanto la

quota interessi Ci secondo un tasso di remunerazione i, mentre alla scadenza

del prestito restituisce oltre agli interessi l’intera somma prestata: C(1 + i);

2) contemporaneamente, il debitore versa anche, ad un altro soggetto, una

rata ad ogni periodo, accumulando del denaro che, capitalizzato ad un tasso

di accumulazione j, in generale diverso da i, genera la somma C da restituire

alla scadenza del prestito.

Quindi, ogni rata totale versata dal debitore ammonta a:

1

R = i + C.

s n|j

Al debitore conviene usare questo metodo se il tasso di accumulazione j é

maggiore di quello di remunerazione i.

64 CAPITOLO 4. AMMORTAMENTI E VALUTAZIONE DEI PRESTITI

4.6 Valutazione dei prestiti

Torniamo brevemente a discutere della formula di valutazione del prestito ad

un qualsiasi istante τ , scomposta nella somma di nuda proprietà e usufrutto:

A(A, τ, j) = N P (A, τ, j) + U (A, τ, j).

Consideriamo il caso più elementare: quello di un prestito rimborsabile a

scadenza di un ammontare C, con pagamento annuo posticipato degli interessi,

cioè con la quota interesse costante Ci. Se n é il numero delle rate, i il tasso di

remunerazione e j il tasso di valutazione, la formula del valore attuale assume

la forma: n

X −k −n

A(A, 0, j) = Ci(1 + j) + C(1 + j) . (4.6.1)

k=1 −n

Se chiamiamo K(A, 0, j) = C(1 + j) , sostituendo in (4.6.1) avremo la

seguente relazione: i −

A(A, 0, j) = K(A, 0, j) + (C K(A, 0, j)), (4.6.2)

j

la nota formula di Makeham, laddove il primo addendo é la nuda proprietà,

il secondo addendo rappresenta l’usufrutto.

Se poi h é un intero positivo non maggiore di n, quindi una scadenza

qualsiasi del piano di rimborso, la (4.6.2) può essere generalizzata:

i −

A(A, h, j) = K(A, h, j) + (C K(A, h, j)),

j

h−n

laddove K(A, h, j) = C(1 + j) .

Questa formula ingloba insieme i tassi di remunerazione e di valutazione,

il valore attuale, l’ammontare complessivo del prestito e la nuda proprietà,

quindi ognuno di questi valori può essere ricavato avendo tutti gli altri.

Esercizio 72. Dato un prestito rimborsabile a scadenza di ammon-

tare C = 1.000 euro, che ad un istante h ha nuda proprietà uguale a

600 euro e valore 800 euro, remunerato al tasso del 5%, calcolare il

tasso di valutazione con la formula di Makeham.

Ci basta applicare direttamente la formula, con j tasso incognito e avremo:

5 − ⇐⇒ ⇐⇒

800 = 600 + (1.000 600) 200j = 20 j = 10%.

100j

Capitolo 5

Criteri di scelta in condizioni

di certezza

L’idea alla base della scelta tra diversi investimenti, o operazioni finanzia-

rie in senso lato, fa riferimento al caso di chi, disponendo di un determinato

capitale, voglia decidere qual é il suo impiego migliore. Come nel resto di que-

sta trattazione, restiamo nel caso deterministico, ossia consideriamo soltanto

situazioni finanziarie in cui non ci sia alcun fenomeno casuale o stocastico che

possa avvenire (choc sui tassi, crisi di Borsa, default di Stati, ecc.).

A questo scopo, ossia di valutare le operazioni finanziarie da eventualmente

svolgere, ci servono dei criteri basati su dei valori numerici di riferimento.

In particolare, definiremo il risultato economico attualizzato, il saldo

finanziario e soprattutto il tasso interno di rendimento (comunemente

noto come tasso annuo effettivo globale o TAEG).

5.1 Il Criterio del REA

Definizione 73. Data una qualsiasi operazione finanziaria x/t, assumendo

che l’istante iniziale per semplicità sia t = 0 e scelto un tasso di valutazione

1

j, il risultato economico attualizzato (REA) dell’operazione corrisponde

esattamente al suo valore attuale: m

X −t

REA(j, x/t) = A(0, x) = x (1 + j) . (5.1.1)

k

k

k=1

Il REA di un progetto (da notare che a volte viene anche definito VAN, o

valore attuale netto) dunque quantifica il valore attuale del guadagno che un

determinato progetto permette di realizzare. Durante l’operazione finanziaria,

si creano via via delle disponibilità, ossia dei capitali intermedi. Se poi si

65

66 CAPITOLO 5. CRITERI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA

verifica il caso in cui le condizioni del mercato permettono l’impiego di queste

disponibilità a quel tasso, si può anche ragionare in termini di montante, che

ha anch’esso una denominazione specifica:

Definizione 74. Data una qualsiasi operazione finanziaria x/t, assumendo

che l’istante iniziale per semplicità sia t = 0 e scelto un tasso di valutazione

1

j, il saldo finanziario (SF) dell’operazione corrisponde esattamente al suo

montante calcolato rispetto a quel tasso:

m

X −t t

t m

m

SF(j, x/t) = M (t , x) = = REA(j, x/t)(1 + j) . (5.1.2)

x (1 + j) k

m k

k=1

Un criterio di scelta tra 2 o più possibili investimenti/finanziamenti, sem-

pre soggetti comunque all’arbitrarietà del tasso di valutazione, suggerisce di

scegliere quello il cui REA, a parità di tasso, sia maggiore. Date due operazioni

finanziarie, se esiste un tasso di valutazione tale che i due REA relativi sono

uguali, questo tasso é detto tasso di svolta, nel senso che un tasso superiore

o inferiore a questo comporta un’inversione delle preferenze.

Esercizio 75. Consideriamo le due seguenti operazioni di investi-

mento: I {−1.000,

= x/t = 400, 400, 500}/{0, 1, 2, 3},

1 {−1.500,

I = 500, 500, 800}/{0, 1, 2, 3},

= y/t

2

e supponiamo di valutarle al tasso annuo del 5%. Quale delle due é

preferibile in base al criterio del REA?

Calcoliamo i due REA con la formula (5.1.1):

−1 −2 −3

−1.000

REA(I , 5%) = + 400(1, 05) + 400(1, 05) + 500(1, 05) =

1

−1.000

= + 380, 952380 + 362, 811791 + 431, 918799 = 175, 68297 euro.

−1 −2 −3

−1.500

REA(I , 5%) = + 500(1, 05) + 500(1, 05) + 800(1, 05) =

2

−1.500

= + 476, 190476 + 453, 514739 + 691, 070078 = 120, 775995 euro.

I I

Quindi, essendo il REA di maggiore di quello di , il primo investimento

1 2

é da preferire al secondo.

Esercizio 76. Date le due seguenti operazioni finanziarie:

O {−200,

= x/t = 600, 100}/{0, 1, 2},

1 O {−100,

= y/t = 500}/{0, 1},

2

5.1. IL CRITERIO DEL REA 67

determinare il tasso di svolta in base a cui si inverte la preferenza.

Calcolare successivamente il REA di entrambe le operazioni valutato

al tasso di svolta e successivamente stabilire quale delle 2 operazioni

é preferibile considerando rispettivamente i tassi di valutazione del

40% e del 70%.

Usando come incognita il tasso j, calcoliamo i REA delle 2 operazioni ed

uguagliamoli: ⇐⇒

REA(O , j) = REA(O , j)

1 2

−1 −2 −1

−200 −100

+ 600(1 + j) + 100(1 + j) = + 500(1 + j) ,

−1

e considerando la sostituzione v := (1 + j) , le soluzioni della relativa equa-

zione di secondo grado sono: √

−1 ± 5

v = ,

1,2 2

di cui scartiamo chiaramente la radice negativa. Riportiamo invece quella

∗ ∗

positiva v in termini del tasso j , quindi:

√ √

− −

1 5 1 3 5

∗ ∗ √ '

⇐⇒ 61, 8%.

v = = j =

1 + j 2 −

5 1

Il tasso di svolta (usurario, per la verità) trovato é del 61, 8%. Calcoliamo il

REA della seconda operazione (che é più semplice):

−1

−100

REA(O , 61, 8%) = + 500(1, 618) = 209, 023485 euro.

2

Poichè il tasso trovato é un tasso soglia tra la preferibilità delle due operazioni,

O O

calcoliamo prima il REA di e di col tasso del 40%:

1 2

−1 −2

−200

REA(O , 40%) = + 600(1, 4) + 100(1, 4) = 279, 591836 euro.

1 −1

−100

REA(O , 40%) = + 500(1, 4) = 257, 142857 euro.

2 O O

Quindi col tasso del 40% l’operazione é da preferire a perchè presenta

1 2

un REA maggiore, e inoltre, essendo minore quel tasso del tasso di soglia in

cui i REA sono uguali, possiamo concludere che al tasso del 70%, che supera il

tasso j la situazione si inverte rispetto al caso del 40%, e quindi si preferisce

O O

rispetto a .

2 1

Il criterio del REA presenta alcune debolezze innegabili, che la stessa esi-

stenza del tasso di svolta mette in evidenza: la forte dipendenza dal tasso di

valutazione scelto. Infatti, in condizioni di mercato soggette ad incertezza, in

cui é parecchio difficile avere un’informazione completa, riesce improbabile pre-

vedere di potere impiegare i capitali a un tasso sicuro. In particolare, quando

questa valutazione va effettuata su un orizzonte temporale lungo. Nel se-

guito introdurremo un altro criterio generalmente considerato più significativo,

anche se non sempre applicabile.

68 CAPITOLO 5. CRITERI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA

5.2 Il TIR

Cominciamo dalla definizione formale di TIR (in Inglese, IRR, internal rate

of return).

Definizione 77. Data un’operazione finanziaria x/t, il suo tasso interno

di rendimento (TIR) é un qualsiasi tasso i tale che il suo valore attuale

(o il suo REA) sia uguale a 0: m

X

∗ ∗ −t

t

REA(i , x/t) = x (1 + i ) = 0. (5.2.1)

1 k

k

k=1

Va notato il fatto che un’operazione potenzialmente può non ammettere

alcun TIR, oppure anche ammetterne più di uno. Questo non deve stupire,

visto il fatto che il TIR va ricavato come soluzione di un’equazione poli-

nomiale, e quindi la cui determinazione esatta é in generale quasi impossi-

bile, ma approssimabile mediante qualche metodo di quelli visti in precedenza

(approssimazioni successive, tangenti di Newton...).

Esempio 78. Schematizziamo brevemente il TIR nel caso di due ben noti

Titoli di Stato, in versione semplificata, vale a dire senza spese di commissione

e senza ritenute fiscali. Cominciamo dal BoT, che come abbiamo visto, si può

modellizzare come un’operazione finanziaria di investimento su 2 date, del tipo

B {x }/{t } {−C }/{0,

= , x , t = , C 1/4}.

1 0 1 0 1 0 1

(In questo caso abbiamo descritto un BoT a 3 mesi, con C prezzo di emissione

0

e C valore nominale). Detto i il tasso annuale, il valore attuale dell’investi-

1 B

mento é

1 −1/4

B −C

A(0, ) = + C (1 + i) ,

1 0 1

che si annulla in: 4

C 1

∗ −

i = 1,

C 0 ∗

che é dunque il TIR dell’operazione. Il tasso trimestrale equivalente i si

1/4

può calcolare con l’usuale uguaglianza tra tassi:

C 1

1/4

∗ ∗ −

i 1.

= (1 + i ) 1 =

1/4 C 0

Consideriamo ora invece un BTP a 3 anni, quotato alla pari, cioè col

prezzo di acquisto C uguale al valore nominale, e di cedola annua I:

B {−C,

= I, I, C + I}/{0, 1, 2, 3}.

2

5.2. IL TIR 69

Il valore attuale in questo caso é dato dall’espressione:

−1 −2 −3

B −C

A(0, ) = + I(1 + i) + I(1 + i) + (C + I)(1 + i) =

2 −3

− I

1 (1 + i) −3 −3

− − − −

C(1 (1 + i) ) = (1 (1 + i) ) C ,

= I i i

che si annulla solo per il valore I

i = ,

C

quindi il TIR di un BTP alla pari corrisponde al rapporto tra cedola fissa

annuale e valore nominale.

Va fatto notare che nel linguaggio comune il rendimento, anche quello di

cui si parla in relazione allo spread tra titoli di Stato, corrisponde al tasso di

rendimento, cioè al TIR.

Esercizio 79. Dati i due ZCB (zero coupon bond) seguenti a 6 mesi,

calcolarne i rispettivi tassi di rendimento e lo spread tra i due titoli:

ZCB {−97.532,

= 100}/{0, 1/2}.

1

ZCB {−96.111,

= 100}/{0, 1/2}.

2

Calcoliamo separatamente i 2 TIR: 2

100

−1/2

ZCB −97, ⇐⇒ −1

A(0, ) = 532+100(1+i) = 0 i = = 5, 12%.

1 1 97, 532 2

100

−1/2 −1

ZCB −96, ⇐⇒ = 8, 25%.

A(0, ) = 111+100(1+i) = 0 i =

2 2 96, 111

ZCB ZCB −

Di conseguenza lo spread tra e é di 8, 25 5, 12 = 3, 13%, ossia

2 1

313 punti base.

Esercizio 80. Consideriamo la seguente operazione di finanziamento:

F {100, −10, −10, −110}/{0,

= x/t = 1, 2, 3}.

Calcolare, se esiste, il TIR di questa operazione. ∗

Usiamo la formula del REA mantenendo come incognita i :

∗ ∗ −1 ∗ −2 ∗ −3

F)

REA(i , = 100 + (−10)(1 + i ) + (−10)(1 + i ) + (−110)(1 + i ) = 0,

∗ −1

e usando la consueta sostituzione v = (1 + i ) otteniamo l’equazione di terzo

grado: 3 2 −

11v + v + v 10 = 0.

70 CAPITOLO 5. CRITERI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA

Le equazioni di terzo grado sono risolubili con la complicata formula di Cardano-

Ferrari-Tartaglia, chi é interessato può consultare Wikipedia:

http : //it.wikipedia.org/wiki/Equazione i erzo rado,

t g

d

ma quando possibile, é decisamente più comodo usare le note regole di fattoriz-

zazione. In questo caso particolare, possiamo fare un piccolo trucco algebrico,

e ottenere un raccoglimento a fattore parziale:

3 2 3 3 2 3 2

− − −

11v + v + v 10 = 10v + v + v + v 10 = 10(v 1) + v(v + v + 1) =

2 2 2

− −

= 10(v 1)(v + v + 1) + v(v + v + 1) = [10(v 1) + v](v + v + 1) =

2

= (11v 10)(v + v + 1) = 0,

che ammette solo una soluzione reale, da cui otteniamo il TIR:

10 11 1

∗ ∗

⇐⇒ ⇐⇒

v = 1 + i = i = = 10%.

11 10 10

In altri casi, ad esempio quando lo scadenzario dell’operazione é più lungo,

e di conseguenza il polinomio risulta di grado più alto, il calcolo del TIR é

chiaramente molto più ostico, e bisogna utilizzare un metodo di approssima-

zione.

Esercizio 81. Calcolare, se esiste, il TIR della seguente operazione

finanziaria, approssimandolo alla terza cifra decimale:

O {−10,

= x/t = 20, 30, 40, 50}/{0, 1, 2, 3, 4}. ∗ −1

Scriviamo direttamente l’equazione nella variabile v = (1 + i ) , che

rappresenta il fattore di sconto:

2 3 4 4 3 2

−10 ⇐⇒ −

+ 20v + 30v + 40v + 50v = 0 5v + 4v + 3v + 2v 1 = 0.

Quindi il problema si riduce alla determinazione di uno zero della funzione

4 3 2 −

F (v) = 5v + 4v + 3v + 2v 1. Applichiamo il metodo delle approssimazioni

1 , perchè:

successive sull’intervallo 0, 2

1

−1,

F (0) = F = 1, 5625,

2

quindi la funzione F (v) cambia segno in un punto all’interno di quell’inter-

−0,

vallo. Dimezziamo l’intervallo e troviamo che F (0, 25) = 23046875, quindi

5.2. IL TIR 71

1 1 , ed iterando il procedimento, con i numeri

lo zero sarà nell’intervallo ,

4 2

decimali, avremo:

F (0, 375) = 0, 48168945, F (0, 3125) = 0, 08772277;

−0,

F (0, 28125) = 07992077, F (0, 296875) = 0, 001653;

−0, −0,

F (0, 2890625) = 03968173, F (0, 29296875) = 01915308;

−0,

F (0, 294921875) = 00878494, F (0, 2958984375) = 0, 0094617.

A questo punto, sappiamo che sicuramente la soluzione é tra 0,294921875 e

0,2958984375, quindi abbiamo già 2 cifre sicure dopo la virgola. Dimezziamo

ulteriormente l’intervallo compreso e avremo anche l’ultima:

−0,

F (0, 29541015625) = 00618192, ∗ ∗

quindi, fermandoci alla terza cifra decimale, il valore v in cui F (v ) = 0

corrisponde a circa 0,295, vale a dire un tasso annuo

1

∗ −

i = 1 = 2, 389%,

v O.

che é quindi il TIR dell’investimento

5.2.1 Esistenza del TIR

Ma quando possiamo essere certi dell’esistenza (se non dell’unicità, che qui tra-

lasciamo) del TIR di un’operazione finanziaria? Fondamentalmente, quando

l’equazione polinomiale del REA nell’incognita v ammette una soluzione com-

presa tra 0 e 1, escludendo gli estremi dell’intervallo. Il risultato più noto e im-

portante, dovuto a Carl J. Norstrøm nel 1972 (vedi [N]), che non dimostriamo,

valido nei casi delle operazioni di investimento, é il seguente:

Teorema 82. Data l’operazione finanziaria

O {x }/{t },

= x/t = , . . . , x , . . . , t

1 m 1 m

se valgono le seguenti ipotesi:

1. x < 0,

1

2. x > 0 per k = 2, . . . , m,

k

3. x + x + . . . + x > 0,

1 2 m

O

allora possiede TIR positivo.

72 CAPITOLO 5. CRITERI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA

I

Esercizio 83. Un’operazione finanziaria consiste in un esborso

R

iniziale di 150 euro, e di 3 rimborsi successivi annuali di entità

rispettive R, 2R, 7R−50 euro. Quanto deve valere almeno R affinchè

questo investimento abbia TIR positivo? Successivamente, calcolare

il TIR dell’operazione nel caso in cui R = 50 approssimandolo alla

seconda cifra decimale.

Per applicare il teorema di Norstrøm, che ci assicura l’esistenza del TIR,

O

prima dobbiamo effettivamente verificare che sia un investimento, e quindi,

oltre alla condizione ovvia R > 0, dobbiamo imporre che anche l’ultima rata

di rimborso risulti positiva, quindi 50

− ⇐⇒

7R 50 > 0 R > .

7

Inoltre, dobbiamo verificare l’ipotesi di positività della somma di tutti i termini

dell’operazione:

−150 − ⇐⇒ ⇐⇒

+ R + 2R + (7R 50) > 0 10R > 200 R > 20 euro.

Fissiamo ora R = 50 e a questo punto l’investimento assume la forma:

I {−150,

= x/t = 50, 100, 300}/{0, 1, 2, 3}.

50

Quindi per il calcolo del TIR dovremo risolvere l’equazione di terzo grado in

v: 2 3 3 2

−150 ⇐⇒ −

+ 50v + 100v + 300v = 0 F (v) = 6v + 2v + v 3 = 0.

Prima di tutto, notiamo che

1 3

−1,

F = 25, F = 1, 40625),

2 4

di conseguenza possiamo applicare il metodo delle approssimazioni successive

1 3

all’intervallo , . Usando i numeri decimali, avremo:

2 4

−0,

F (0, 625) = 12890625, F (0, 6875) = 0, 58251953;

F (0, 65625) = 0, 21331787, F (0, 640625) = 0, 03890228;

−0, −0,

F (0, 6328125) = 04581928, F (0, 63671875) = 00366389;

poichè la soluzione é quindi compresa tra 0,63671875 e 0,640625, dimezziamo

quest’intervallo e troveremo:

F (0, 638671875) = 0, 0175677,

e allora, approssimato a 2 cifre, v = 0, 63, quindi il TIR dell’operazione

risulta 1

∗ − ∼

i = 1 0, 58.

0, 63

5.2. IL TIR 73

5.2.2 Il criterio del TIR

Generalmente considerato più adeguato del criterio del REA, il criterio del

TIR può essere riassunto come segue: ∗

• I I

Dati 2 progetti di investimento e , rispettivamente dotati di TIR i

1 2 1

∗ ∗ ∗

I I

e i , é preferibile a se i é maggiore di i ;

1 2

2 1 2

• F F

Dati 2 progetti di finanziamento e , rispettivamente dotati di TIR

1 2

∗ ∗ ∗ ∗

F F

i e i , é preferibile a se i é minore di i .

1 2

1 2 1 2

Del criterio del TIR esiste inoltre anche una variante che potremmo definire

assoluta, nel senso che invece di confrontare 2 distinte operazioni, si può fissare

un tasso benchmark (una sorta di pietra di paragone) rispetto a cui confrontare

la propria operazione: un investimento é conveniente se il TIR é sopra il

benchmark, un finanziamento lo é se il TIR é sotto.

Esercizio 84. Consideriamo le due seguenti operazioni di finanzia-

mento:

• F : si riceve un prestito di 800 euro al tempo iniziale e lo si

1

rimborsa in 2 rate distinte, la prima che ammonta a 600 euro

dopo un anno, e la seconda di 500 euro dopo 2 anni.

• F : si ricevono in prestito inizialmente 700 euro, che vengono

2

rimborsati in 3 rate, una di 300 euro alla fine del primo anno,

una di 300 euro alla fine del secondo e una di 1.000 euro alla

fine del terzo.

Stabilire col criterio del TIR quale dei due finanziamenti é più

conveniente.

Scriviamo le due operazioni in forma estesa:

F {800, −600, −500}/{0,

= 1, 2},

1

F {700, −300, −300, −1.000}/{0,

= 1, 2, 3}.

2

Calcoliamo ora separatamente i due TIR, se esistono e sono unici.

Nel primo caso, avremo: 2 2

− − ⇐⇒ − ⇐⇒

800 600v 500v = 0 5v + 6v 8 = 0

−3 ± 9 + 40 4

⇐⇒ v = = ,

1,2 5 5

F

avendo scartato la soluzione negativa. Il TIR di é dunque:

1

1

∗ −

i = 1 = 0, 25 = 25%.

1 0, 8

74 CAPITOLO 5. CRITERI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA

F

Per quanto riguarda , avremo invece:

2 2 3 3 2

− − − ⇐⇒ −

700 300v 300v 1.000v = 0 10v + 3v + 3v 7 = 0,

da cui, decomponendo:

3 3 2 3 2 2

− − −

7v + 3v + 3v + 3v 7 = 7(v 1) + 3v(v + v + 1) = 7(v 1)(v + v + 1)+

7

2 2 2 ,

+3v(v +v+1) = (v +v+1)[7(v−1)+3v] = (v +v+1)(10v−7) = 0 per v = 10

che implica il TIR i = 3/7 = 42, 85%.

2 F F

Per il criterio del TIR applicato ai finanziamenti, é preferibile a in

1 2

∗ ∗

quanto i < i .

1 2

Il criterio del TIR é esattamente quello che inconsciamente applichiamo al

momento di contrarre un mutuo per l’acquisto di una casa oppure un prestito

per comprare un oggetto a rate.

Nonostante la sua importanza pratica, anche questo criterio ha qualche

aspetto discutibile: sotto l’aspetto tecnico-matematico, esso potrebbe non esi-

stere o non essere unico, mentre sotto l’aspetto applicativo, possiamo fare

questa riflessione. Il TIR é quel tasso per cui i valori attuali delle entrate

e delle uscite di un’operazione si equivalgono, quindi la sua esistenza rende

essenzialmente uguali l’operazione finanziaria e un investimento degli importi

a quel tasso al di fuori dell’operazione. Ma questo può essere fatto solo as-

sumendo che per un certo periodo di tempo (anche per più anni) i capitali si

possano investire sul mercato a quel tasso, e che quel tasso rimanga costante

per tutto quel tempo. Oggettivamente, é una condizione poco realistica.

5.2.3 Il TAN e il TAEG

Due acronimi che abbiamo un pò tutti e tutte sentito nominare, e che istinti-

vamente associamo all’idea di tassi d’interesse senza però spesso saperne for-

malmente il significato sono il TAN (Tasso Annuo Nominale) e il TAEG

(Tasso Annuo Effettivo Globale), che compaiono, per obbligo di legge, in

riferimento a qualsiasi acquisto a rate. In particolare, il TAEG é addirittura

definito in una legge (D.M. 8/7/1991), ed é uno dei rarissimi casi in cui una

formula matematica entra in campo giuridico, nel modo seguente: il tasso che

rende uguale, su base annua, la somma del valore attuale di tutti gli importi

che compongono il finanziamento erogato dal creditore alla somma del valore

attuale di tutte le rate di rimborso. Il fatto importante che distingue i 2 tassi

é che mentre nelle rate su cui é calcolato il TAEG sono effettivamente incluse

tutte le spese aggiuntive del finanziamento (spese assicurative, notarili, costi

attuativi e gestionali, e via dicendo), il TAN va calcolato al netto di tutti

questi altri oneri.

5.2. IL TIR 75

Per questo motivo, la funzione valore attuale relativa al TAEG prende va-

lori sempre maggiori di quella relativa al TAN, perciò vale sempre la relazione:

TAEG TAN. A volte, addirittura, quando si parla di finanziamenti cosid-

detti a tasso 0, si intende che il TAN sia appunto 0, ma non il TAEG, a parte

alcuni casi di offerte stracciate, comunque molto rare.

Esercizio 85. La signora Laura acquista un nuovo computer a 2.000

euro, da rimborsare con 2 rate annuali da 1.200 euro l’una. La

prima rata sarà però gravata da ulteriori 50 euro per l’accensione

del finanziamento e da 1,50 euro di bollettino postale, mentre per la

seconda rata dovrà pagare soltanto il bollettino postale. Calcolare il

TAN e il TAEG di questo finanziamento.

Prima di tutto, calcoliamo il TAN, vale a dire il tasso relativo all’opera-

zione senza considerare i costi aggiuntivi. Con la solita variabile accessoria

−1

v = (1 + i) , avremo: 2 2

− − ⇐⇒ −

2.000 1.200v 1.200v = 0 3v + 3v 5 = 0,

√ √

− −

69 3 9 69

∗ √

⇐⇒ '

v = T AN = 0, 13066238 = 13, 06%.

1 6 −

69 3

Successivamente, passiamo al calcolo del TAEG. Considerando pure gli oneri

aggiuntivi, l’equazione da risolvere questa volta è: 2

− · − · ⇐⇒

2.000 (1.251, 5 v) (1.201, 5 v ) = 0

p 2

−1.251, − · ·

5 + (−1.251, 5) 4 1.201, 5 (−2000)

∗ '

v = 0, 87053239,

2 2.403

da cui otterremo: 1 −

T AEG = 1 = 14, 87%.

0, 87053239

76 CAPITOLO 5. CRITERI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA

Capitolo 6

Struttura per scadenza dei

tassi d’interesse

Torniamo a parlare di titoli obbligazionari, ma questa volta dal punto di

vista della loro collocazione all’interno di una logica economica di mercato.

Nell’economia finanziaria assume una grande importanza, a livello di valuta-

zione dei titoli, la struttura temporale considerata, e la dinamica dei prezzi

che si evolve su di essa. Come spesso accade nelle formalizzazioni scientifiche,

limiteremo la nostra analisi ad un mercato semplificato, ideale, in cui sono

verificate in ogni istante delle ipotesi standard. All’interno di questo mercato,

considereremo portafogli di zero coupon bond (ZCB, da ora in poi), quindi

potremo pensarli come BoT o CTz, al fine di ricavarne una valutazione, ba-

sata sulla struttura dinamica dei tassi d’interesse, che tenga conto delle varie

scadenze e delle varie quantità di titoli. Quello a cui ci riferiamo é il cosiddetto

mercato secondario, mentre il mercato primario è proprio quello delle aste

dei titoli.

6.1 Ipotesi fondamentali del mercato finanziario

Le assunzioni caratteristiche sul mercato in esame possono essere riassunte

in questa lista (per una trattazione più completa, anche degli altri argomenti

contenuti in questo Capitolo, vedi [M], capitoli 6, 7, 9):

• Non frizionalità dei titoli: questa ipotesi racchiude in sè l’assenza

di costi e di gravami fiscali sulle transazioni, la mancanza di

limitazioni sulle quantità minime e massime di titoli vendibili,

l’assenza di rischi di insolvenza (o default), e la possibilità per

ogni agente di assumere sempre una posizione debitoria (short), ossia

sono consentite le short sales (o vendite allo scoperto); per vendita

77

78CAPITOLO 6. STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI D’INTERESSE

allo scoperto si intende vendita di un titolo che, al momento dell’accordo,

non é ancora in possesso del debitore.

• Competitività degli agenti: gli agenti sul mercato sono razionali e

quindi tendono a massimizzare il proprio profitto, in altri termini la loro

funzione di utilità è crescente, e al tempo stesso sono price taker, cioè

non possono influenzare il prezzo dei titoli con la loro attività.

• Assenza di arbitraggi: Gli agenti non possono effettuare manovre di

arbitraggio, vale a dire, in questo contesto (il concetto é più articolato

nella finanza più avanzata), non possono effettuare operazioni finanzia-

rie nelle quali ci siano tutti importi positivi, o tutti nonnegativi con al-

meno uno di essi strettamente positivo. Gli anglosassoni, con il consueto

pragmatismo, chiamano questo principio ’no free lunch’: un qualsiasi

agente non può soltanto arricchirsi e non pagare mai.

Nota 86. Come sappiamo dall’attualità, i mercati reali sono estremamente

più complessi. La possibilità degli agenti di giocare su più mercati finanziari

(materie prime, oro, valute diverse, debito pubblico sovrano di vari stati del

mondo) e di differenziare i propri investimenti rende l’assenza di arbitraggi

un’ipotesi improbabile. Inoltre, le vendite allo scoperto sono state negli ultimi

tempi oggetto di discussione ed anche di regolamentazione: nel maggio 2010,

nel pieno della crisi greca, la cancelliera tedesca Angela Merkel ha proibito le

short sales come misura anti-speculativa (vedi [LS]).

Possiamo anche dare dell’arbitraggio una definizione formale:

Definizione 87. Dato il flusso di cassa

{x }/{t },

x/t = , . . . , x , . . . , t

1 m 1 m

∀ ∈ {1,

diremo che é un arbitraggio se i . . . , m}, o x = 0, o x > 0, e se

i i

∈ {1,

esiste almeno un j . . . , m} tale che x > 0.

j

Quindi, gli importi devono essere tutti nonnegativi, e almeno uno di essi po-

sitivo. La proprietà di consistenza che l’assenza di arbitraggi impone comporta

l’impossibilità di realizzare profitti senza l’assunzione di alcun rischio.

6.2 Proprietà dei ZCB ≥

Chiamiamo t l’istante corrente, e s t un qualunque istante successivo. Se

per s intendiamo la data,o meglio ancora l’istante di scadenza di un ZCB,

chiamiamo v(t, s) il prezzo in t del ZCB unitario che scade in s, ossia che

garantisce al tempo s il rimborso di 1 (unità di capitale). Come da definizione

6.2. PROPRIETÀ DEI ZCB 79

delle obbligazioni di questo tipo, non ci sono cedole intermedie. Ovviamente

questa espressione del prezzo, in termini di fattore di attualizzazione in regime

t−s

composto, è legata ad un tasso di interesse periodale i: v(t, s) = (1 + i) , da

cui alcune proprietà immediate:

• v(s, s) = 1;

• ≤

0 < v(t, s) < 1, per 0 t < s.

La struttura esponenziale dei prezzi, detto i il tasso di interesse, implica inoltre

la proprietà di decrescenza rispetto alla scadenza; sinteticamente, dato

un ZCB con scadenza s ma la cui compravendita sia permessa anche al tempo

s̃ < s , si ha: ∗

∗ t−s t−s̃

v(t, s ) = (1 + i) < (1 + i) = v(t, s̃).

Quindi il prezzo dello ZCB decresce all’allontanarsi della scadenza dall’istante

iniziale. O anche, dati due ZCB con diverse scadenze, valutati allo stesso

istante, precedente ad entrambe le scadenze, il prezzo di quello che scade

prima é maggiore dell’altro.

Consideriamo ora un’estensione rilevante dei ZCB unitari, ossia quelli che

alla scadenza s garantiscano il rimborso dell’ammontare x , non necessaria-

s

mente uguale a 1, e indichiamone il prezzo in t, istante non successivo ad s,

con il simbolo A(t, x ).

s

Essendo i titoli infinitamente divisibili, in un mercato in cui possono essere

trattati sia i ZCB unitari che quelli non unitari, il possesso di una quantità

x di ZCB con scadenza in s e prezzo v(t, s) equivale al possesso di un unico

s

ZCB il cui valore di rimborso alla scadenza é x , dunque vale la proprietà di

s

indipendenza dall’importo: ∀ ≤

A(t, x ) = x v(t, s), t s.

s s

Queste proprietà sono strettamente legate all’assenza di arbitraggi nel mer-

cato, come vediamo nel seguente esempio. {0,

Esempio 88. Consideriamo uno scadenzario 1} e un mercato in cui ven-

gono comprati e venduti sia ZCB unitari (di cui intendiamo il valore unitario,

1, come 1.000 euro) che non unitari.

Supponiamo al tempo 0 di compiere 2 diverse azioni:

1. acquistare un titolo che scade all’anno 1 il cui valore di rimborso é x =

1

3.000 euro;

2. vendere allo scoperto 3 ZCB unitari che scadranno all’anno 1, e quindi

andranno consegnati in quella data.

80CAPITOLO 6. STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI D’INTERESSE

Per la prima azione, il prezzo da pagare é A(0, 3.000), mentre per la seconda

·

azione la vendita allo scoperto frutta il guadagno 3 v(0, 1).

Alla seconda data, cioè in t = 1, si incasserà il rimborso del titolo non

unitario, quindi da 3.000 euro, ma si dovranno contemporaneamente conse-

gnare i 3 ZCB, ognuno dei quali da 1.000 euro. Quindi, il bilancio dell’intera

operazione risulterà:

−A(0, − · −

3.000) + 3v(0, 1) + 3.000 3 1.000 = 3v(0, 1) A(0, 3.000).

Ora, se questa quantità fosse positiva, avremmo compiuto una manovra di

arbitraggio, cioè avremmo ottenuto un guadagno positivo in una situazione di

totale copertura. Quindi la proprietà di indipendenza dall’importo, che implica

A(0, 3.000) = 3v(0, 1) corrisponde all’impossibilità di compiere arbitraggi.

Da notare, infine, che se l’ammontare ottenuto fosse negativo, anche questo

potrebbe provocare un arbitraggio, semplicemente scambiando tutti i segni, vale

a dire comprare anzichè vendere e viceversa.

Estendendo l’idea di ZCB non unitari ad un insieme di più titoli con dif-

ferenti scadenze, possiamo comporre un portafoglio di titoli obbligazionari, e

denotarli esattamente come le operazioni finanziarie, ossia una sequenza di im-

porti, i valori di rimborso dei titoli, e uno scadenzario, con le date di scadenza

di ciascuno di essi. Un portafoglio composto in questo modo può anche essere

visto come un unico titolo obbligazionario che paghi l’importo x alla k-esima

k

data di scadenza, e in questo caso il prezzo di un titolo del genere in t corri-

sponderà alla sommatoria, o combinazione lineare, dei prezzi dei singoli titoli,

calcolati alla rispettiva data di scadenza e pesati con i loro rispettivi importi.

{x }/{t }

In sintesi, il titolo x/t = , . . . , x , . . . , t avrà in t il prezzo:

1 m 1 m

m

X x v(t, t ).

A(t, x) = k k

k=1

Anche la proprietà di linearità alla base di questa formula é una conseguenza

dell’assenza di arbitraggi, e una tipica spiegazione di questa formula é che,

sotto le ipotesi di questo mercato, un titolo complesso é replicabile mediante

la composizione di opportuni ZCB unitari. Poichè questo titolo complesso

deriva da più titoli elementari, qui nasce la ben nota denominazione di titolo

derivato.

6.3 Prezzi a pronti e prezzi a termine

I contratti a cui ci siamo riferiti finora sono contratti strutturati su due sole

date, quella di accordo tra le parti per l’acquisto di un’obbligazione, e quindi

6.3. PREZZI A PRONTI E PREZZI A TERMINE 81

dell’acquisto stesso, e quella di scadenza, in cui avviene materiamlente il rim-

borso di essa. Passiamo adesso a considerare contratti strutturati su tre date,

cosiddetti contratti a termine (o contratti forward), in cui le due parti

si accordano alla data iniziale di scambiarsi un titolo che sarà consegnato in

una data successiva, e la cui scadenza avverrà ad una data ancora successiva.

Quindi l’acquisto, e il pagamento del prezzo del titolo, avviene alla data in-

termedia. Chiamiamo ancora t la prima data, t la data intermedia e s quella

di scadenza.

Definizione 89. Dato un ZCB di scadenza s la cui vendita é definita in t

∗ ∗ ∗

≤ ≤

per consegna in t , il suo prezzo sarà indicato con v(t, t , s), per t t s, e

detto prezzo a termine in t per consegna in t .

Per marcare in modo più chiaro la differenza con il prezzo definito pre-

cedentemente, quando il contratto é strutturato solo sulle due date t ed s,

chiameremo v(t, s) prezzo a pronti (o spot).

Intuitivamente, possiamo considerare il contratto a pronti come un caso

particolare del contratto a termine, quando le prime due date sulle quali é

strutturato vanno a coincidere, cioè quando la data di stipula é anche quella

di consegna (t = t ): ∀ ≤

v(t, t, s) = v(t, s), t s.

In caso contrario, sempre intuitivamente, si può dedurre che il tempo di attesa

tra la stipula e la consegna dello ZCB abbia un effetto sul prezzo dello ZCB

stesso, in particolare che questo prezzo risulti maggiore, come in un servizio

di prenotazione a pagamento, che comporta un costo aggiuntivo per il bene

acquistato. Tra l’altro, questo fatto é coerente con il concetto alla base della

proprietà di decrescenza rispetto alla scadenza, anche se qui la scadenza é la

stessa: lo ZCB per cui intercorre più tempo tra la consegna e la scadenza ha

un prezzo minore.

Il seguente risultato caratterizza completamente la relazione tra prezzi a

pronti e prezzi a termine, come sempre sotto l’ipotesi di assenza di arbitraggi,

ed é detto Teorema dei prezzi impliciti:

Teorema 90. In un mercato privo di arbitraggio vale la seguente uguaglianza,

≤ ≤

ad ogni istante t t s: ∗ ∗

v(t, s) = v(t, t )v(t, t , s). (6.3.1)

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che l’uguaglianza (6.3.1) non valga,

∗ ∗

ponendo ad esempio v(t, s) > v(t, t )v(t, t , s) (al solito, omettiamo la dimo-

strazione quando la disuguaglianza ha il segno opposto, che é solo legger-

mente differente) e dimostriamo che sotto questa ipotesi si può sviluppare una

strategia arbitraggista, che contraddirebbe l’ipotesi del teorema. Infatti, se:

82CAPITOLO 6. STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI D’INTERESSE

1. al tempo iniziale, t, un investitore vende allo scoperto uno ZCB di valore

unitario di rimborso per scadenza in s, guadagnandone il costo v(t, s);

2. contemporaneamente, sempre in t, lo stesso investitore acquista a pronti

∗ ∗

una quantità di ZCB unitari scadenti al tempo t , in numero di v(t, t , s),

∗ ∗

spendendo quindi v(t, t , s)v(t, t ); ∗

3. infine, sempre in t, stipula un contratto a termine per consegna in t di

uno ZCB unitario scadente al tempo s.

In conseguenza di questa strategia, alle due scadenze successive accadrà quanto

segue: ∗

1. al tempo t , viene incassato il valore di rimborso dei ZCB unitari in

∗ ∗

·

scadenza in questa data, cioè v(t, t , s) 1 = v(t, t , s). Sempre al tempo

t , all’investitore viene consegnato lo ZCB il cui contratto a termine era

stato stipulato in t, e quindi l’investitore ne paga il prezzo: v(t, t , s);

2. alla scadenza s, ci sono 2 posizioni da chiudere: la prima è il rimborso

del primissimo ZCB venduto allo scoperto, con cui l’investitore paga 1,

mentre la seconda é l’incasso del valore di rimborso dello ZCB comprato

a termine e consegnato in t , con cui l’investitore incassa 1.

In definitiva, il bilancio dell’intera strategia è:

∗ ∗ ∗ ∗

− − −

v(t, s) v(t, t , s)v(t, t ) + v(t, t , s) v(t, t , s) 1 + 1 =

∗ ∗

= v(t, s) v(t, t , s)v(t, t ) > 0,

per l’ipotesi iniziale, quindi il mercato ammette una strategia di arbitraggio,

e l’ipotesi del teorema é contraddetta.

Esercizio 91. Dato un BoT il cui prezzo all’istante t = 0 é 950 euro

e che garatisce un valore di rimborso di 1.000 euro dopo 6 mesi,

e un altro BoT il cui prezzo in 0 é 980 euro che garantisce 1.000

euro dopo 3 mesi, calcolare il prezzo a termine dello stesso titolo

per consegna a 3 mesi e scadenza a 6 mesi sotto l’ipotesi di assenza

di arbitraggi.

Dalle ipotesi descritte, si hanno i prezzi a pronti seguenti:

950 980

= 0, 95, v(0, 1/4) = = 0, 98,

v(0, 1/2) = 1.000 1.000

quindi dal teorema dei prezzi impliciti dovrà risultare:

v(0, 1/2) 0, 95

v(0, 1/4, 1/2) = = = 0, 969387.

v(0, 1/4) 0, 98

6.3. PREZZI A PRONTI E PREZZI A TERMINE 83

Ossia, letto in termini di assenza di arbitraggi, la quantità esatta di titoli

unitari a 3 mesi da acquistare per coprirsi dalla vendita allo scoperto di un

titolo a 6 mesi in questo mercato è 0,969387.

Dall’esercizio precedente, si nota piuttosto chiaramente che se conside-

riamo i prezzi come fattori di sconto esponenziale in regime composto, avremo

diversi tassi d’interesse. Usando la stessa terminologia dei prezzi, definiremo

tassi a pronti (o spot) quelli legati ai contratti a pronti e tassi a termine

(o forward) quelli definiti nei contratti a termine.

In particolare, in regime esponenziale la relazione tra tassi sarà data da:

∗ ∗

t−s t−t ⇐⇒

v(t, s) = (1 + i(t, s)) , v(t, t ) = (1 + i(t, t ))

t−s

(1 + i(t, s))

⇐⇒ v(t, t , s) = ,

∗ t−t

(1 + i(t, t )) ∗ ∗

e questo definirà il tasso implicito del contratto a termine i (t, t , s):

1

1 ∗

∗ t−t ∗

∗ (1 + i(t, t ))

1 s−t

s−t

∗ ∗ − −

1= 1. (6.3.2)

i (t, t , s) = ∗ t−s

v(t, t , s) (1 + i(t, s))

Applicando la formula (6.3.2) all’esercizio 88, calcoliamo il relativo tasso im-

plicito: 1

1 1/2−1/4

∗ −

i (0, 1/4, 1/2) = 1 = 0, 132429 = 13, 2429%.

0, 969387

Le proprietà dei prezzi a pronti sono abbastanza facilmente deducibili dalla

relazione (6.3.1): positività, decrescenza rispetto alla scadenza, eccetera.

A volte si utilizza anche la cosiddetta struttura delle intensità dei

rendimenti a scadenza, passando ai logaritmi:

∗ ∗ ∗ ∗

≤ ≤

h(t, t , s) = log[1 + i (t, t , s)], t t s.

Il seguente esercizio esemplifica il calcolo di una struttura dei prezzi e dei tassi

a pronti in un mercato in cui sono osservati i prezzi di diverse quantità di

ZCB.

Esercizio 92. Determinare le strutture dei prezzi e dei tassi a pronti

in un mercato strutturato su 4 anni, i cui prezzi osservati in t = 0

anno per anno risultano (in euro):

A(0, x ) = 80, A(0, x ) = 75, A(0, x ) = 100, A(0, x ) = 90,

1 2 3 4

con le seguenti quantità di ZCB:

x = 85, x = 90, x = 110, x = 95.

1 2 3 4

84CAPITOLO 6. STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI D’INTERESSE

La struttura dei prezzi a pronti é facilmente ottenuta dall’applicazione della

proprietà dell’indipendenza dall’importo, ossia:

A(0, x )

k ,

v(0, k) = x k

per k = 1, 2, 3, 4, quindi:

80 75

v(0, 1) = = 0, 941176, v(0, 2) = = 0, 833333,

85 90

100 90

v(0, 3) = = 0, 909090, v(0, 4) = = 0, 947368,

110 95

e di conseguenza la struttura dei tassi spot é data da:

1 − ∼

1 = 0, 0625 6, 25%,

i(0, 1) = 0, 941176 1

1 2 − ∼

1 = 0, 095445 9, 54%,

i(0, 2) = 0, 833333 1

1 3 − ∼

i(0, 3) = 1 = 0, 032280 3, 22%,

0, 909090 1

1 4 − ∼

i(0, 4) = 1 = 0, 013608 1, 36%.

0, 947368

Esempio 93. Nel linguaggio corrente, anche senza molte competenze finan-

ziarie, si parla spesso di speculazione. Vediamo come potrebbe configurarsi un

semplice caso di speculazione tramite l’uso di contratti spot e forward. Sup-

poniamo che ci siano 2 traders, Giulio e Mario; Giulio vende a Mario un

BoT con consegna 6 mesi dopo e scadenza ad un anno a un prezzo prefissato

A , concordando con la controparte di ricomprarlo a pronti immediatamente

1

dopo 6 mesi. Nel frattempo, i tassi di mercato si muovono e dopo 6 mesi,

Giulio riacquisterà il titolo venduto. Se nel frattempo il prezzo di mercato

A sarà maggiore di A , cioè i tassi si saranno abbassati, Giulio pagherà a

2 1

Mario la differenza A A , altrimenti viceversa. Ma se nel periodo succes-

2 1

sivo i tassi si abbasseranno ulteriormente, Giulio potrà di nuovo vendere il

titolo, il cui prezzo sarà ulteriormente cresciuto. Un’ondata di speculazione si

verifica quando un grande massa di investitori realizza contemporaneamente

delle compravendite di questo tipo, o anche ben più complesse. Naturalmente,

l’andamento dei tassi non può essere determinato con assoluta certezza, ma

soltanto previsto. Quello che accade praticamente sempre in tutti i mercati

finanziari é che i tassi, e quindi i valori dei titoli, cambiano continuamente, e

questo rende le manovre di arbitraggio possibili nella realtà.

6.3. PREZZI A PRONTI E PREZZI A TERMINE 85

6.3.1 Struttura dei tassi e quotazione di un titolo

Come possiamo legare la quotazione di un titolo alla sua struttura dei prezzi

o dei tassi? Nell’esempio-guida seguente considereremo un generico titolo con

cedole costanti (ad esempio un BTp) e ne confronteremo il prezzo dato dalla

struttura di mercato in vigore con quello di emissione, ricordando il concetto

di quotazione sopra e sotto la pari.

Esempio 94. Al tempo t = 0, consideriamo un BTp che garantisce il seguente

flusso di pagamenti annuali:

{5,

x/t = 5, 5, 5, 105}/{1, 2, 3, 4, 5}.

Supponiamo che nel mercato sia in vigore una struttura istantanea dei rendi-

menti della forma k

h(0, k) = ,

10

e quindi le strutture dei tassi e dei prezzi ad essa associate sono rispettiva-

mente: 2

k k

− 1, v(0, k) = e .

i(0, k) = e 10 10

Il prezzo del BTp, calcolato in base a questa struttura, risulta:

i

h 4 9 16 25

1 − − − −

P + e + e + e + 105e = 19, 53693

= 5 e 10 10 10 10 10

euro, e dunque é quotato sotto la pari, in quanto

P

19, 53693 = < C = 100.

Analizzando le caratteristiche del titolo, si nota facilmente che il suo tasso

cedolare é del 5%, mentre il TIR (la cui esistenza é assicurata dal Teorema

77) i si può calcolare applicando il metodo delle approssimazioni successive

per determinare una radice dell’equazione:

2 3 4 5 5 4 3 2

⇐⇒

5v+5v +5v +5v +105v = 19, 53693 21v +v +v +v +v−3, 907386 = 0,

∗ ∗

∼ ∼

da cui si ricava che v 0, 65, e quindi i 53, 84% (spropositatamente alto).

Dall’ultimo esempio, possiamo notare un interessante effetto:

• quando un titolo con cedole é quotato sotto la pari, il suo TIR è maggiore

del suo tasso cedolare;

• quando invece é quotato sopra la pari, il suo TIR è minore del suo tasso

cedolare.

86CAPITOLO 6. STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI D’INTERESSE

Definizione 95. Si definisce tasso di parità (o par yield) il tasso cedolare

i di un titolo obbligazionario a cedola fissa che, valutato in base alla struttura

P

per scadenza in vigore al tempo t, quota il titolo alla pari.

Chiaramente, il tasso di parità é uguale al TIR del flusso relativo, quindi per

calcolarlo possiamo usare la stessa tecnica.

Esercizio 96. Dato il BTp a 3 anni di valore di rimborso 100 euro,

determinare la cedola semestrale e il tasso di parità se la struttura

di rendimento a scadenza in vigore sul mercato é data da

k −

i(0, k) = e 1.

100 P

Chiamiamo I la cedola semestrale da calcolare, e il prezzo di emissione

del titolo; considerando anche l’istante t = 0, l’operazione finanziaria associata

può essere espressa come segue:

{−P,

x/t = I, I, I, I, I, 100 + I}/{0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3}.

Se calcoliamo il valore attuale delle poste in entrata del flusso usando la strut-

2

k

tura data, corrispondente ai prezzi v(0, k) = e , lasiando indicata la cedola

100

I, avremo: h i

1 1 9 1 25

− − − − −

I e + e + e + e + e +

400 100 400 25 400

9

− ⇐⇒

= 100 I = 1, 489228

+(100 + I)e 100

euro. Quindi I é la cedola semestrale richiesta e inoltre contemporaneamente

abbiamo anche determinato il tasso di parità, appunto i = 1, 489228%.

P

In sintesi, abbiamo costruito un titolo quotato alla pari, ossia con prezzo

di emissione pari a prezzo di rimborso, secondo una struttura dei rendimenti

data dal mercato. Il bond ottenuto ha prezzo di emissione 100 euro, paga 5

cedole semestrali di 1,489228 e allo scadere dei 3 anni ha un valore di rimborso

di 101,489228 euro.

Le informazioni sui tassi d’interesse del mercato, o almeno di un mer-

cato sotto le ipotesi che abbiamo descritto, sono contenute all’interno di una

cosiddetta struttura dei tassi, che affronteremo nel prossimo paragrafo.

6.4 La determinazione della struttura per scadenza

Consideriamo il problema della misurazione della struttura per scadenza dei

tassi di interesse come problema di algebra lineare standard.

6.4. LA DETERMINAZIONE DELLA STRUTTURA PER SCADENZA 87

Supponiamo che al tempo t siano trattati (e, comunque, osservabili) sul

mercato n titoli obbligazionari, non necessariamente a cedola nulla. Indi-

{t }

chiamo con t = , . . . , t lo scadenzario comune a tutti i titoli, otte-

1 m

nuto come insieme unione degli n scadenzari caratteristici dei singoli titoli.

Indichiamo inoltre con {x }

x = , x , . . . , x

i i1 i2 im

il flusso di pagamenti generati dall’i-esimo titolo. Nelle date dello scadenzario

totale t in cui il titolo i-esimo non emette pagamenti, il valore che viene

immesso è 0. Chiamiamo ora A = A(t, x ), per i = 1, . . . , n, il prezzo del

i i

titolo i-esimo osservato sul mercato al tempo t.

Il problema che ci si pone é quello di determinare gli m prezzi (o fattori di

sconto): m

X

v(t, t ) := v tali che A = x v , i = 1, 2, . . . , n.

i ij j

k k j=1

Detti rispettivamente A e v i vettori:

t t

A = (A , . . . , A ), v = (v , . . . , v ),

1 n 1 m

e con X la matrice dei pagamenti, di n righe, corrispondenti ai titoli, ed m

colonne, corrispondenti alle scadenze:

X = (x ), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m,

ij

abbiamo un sistema lineare di n equazioni in m incognite, che in forma

matriciale é della forma: Xv = A.

Il rango della matrice, rank(X) individua il massimo numero di flussi di

pagamenti linearmente indipendenti tra loro. Invece, la differenza n−rank(X)

indica il numero di titoli che possono essere considerati ridondanti, ossia il cui

flusso si può ottenere tramite una combinazione lineare di flussi di altri titoli.

Possono verificarsi diverse situazioni, in base al tipo di sistema che abbiamo

ed in base al numero delle sue soluzioni, ben noto grazie al Teorema di Rouchè-

Capelli.

La presenza di titoli ridondanti, quindi ottenibili come portafogli costruiti

con gli altri titoli, può dare luogo ad una situazione in cui, se uno dei titoli

é mal prezzato, ossia se la sua quotazione non coincide con la combinazione

lineare delle quotazioni dei titoli che ne costituiscono il portafoglio, il sistema

di equazioni risulta incompatibile. Ciò significa che non esiste un sistema

di prezzi di titoli a cedola nulla unitari che possa soddisfare tutte le ipotesi

88CAPITOLO 6. STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI D’INTERESSE

del mercato, e questo potrebbe portare ad una violazione del principio di

arbitraggio.

Invece, nel caso in cui un titolo ridondante sia ben prezzato, allora l’equa-

zione associata non produce alcuna violazione delle proprietà del mercato, ma

non aggiunge alcuna condizione nella determinazione della struttura di prezzi,

ossia non contribuisce in alcun modo al sistema, come nei casi di sistemi

indeterminati, cioè con infinite soluzioni.

Assumiamo che in ogni caso n m, perchè in caso contrario ci sarebbe

la certezza di avere n m titoli ridondanti. Però anche in questo caso, spe-

cialmente se m > n, il sistema é indeterminato, ed é perciò possibile scegliere

m−n

arbitrariamente diverse strutture per scadenza che non violano il prin-

cipio di arbitraggio. Invece, l’ipotesi che la soluzione del sistema coincide con

quella di completezza del mercato, che richiede che il numero dei titoli non

ridondanti sia uguale al numero di date sullo scadenzario t.

Esempio 97. Calcoliamo la struttura per scadenza dei tassi d’interesse, a

pronti e a termine, in un mercato in cui al tempo t = 0 siano trattati quattro

titoli obbligazionari, caratterizzati dai flussi seguenti:

{8,

titolo 1: 8, 8, 108}/{1, 2, 3, 4},

{5,

titolo 2: 5, 105}/{1, 2, 3},

{5,

titolo 3: 105}/{1, 2},

{100}/{1},

titolo 4:

ai prezzi:

A = 98 euro, A = 97 euro, A = 95 euro, A = 93 euro.

1 2 3 4

Lo scadenzario comune è {1,

t = 2, 3, 4},

con tempi espressi in anni, e i flussi dei titoli, ridefiniti sullo scadenzario

comune, sono i seguenti:

{8, {5,

x = 8, 8, 108}, x = 5, 105, 0},

1 2

{5, {100,

x = 105, 0, 0}, x = 0, 0, 0},

3 4

×

da cui, la matrice 4 4 assume la forma:

 

8 8 8 108

5 5 105 0

 

X = ,

 

5 105 0 0

 

100 0 0 0

di conseguenza il sistema lineare associato diventa:

6.4. LA DETERMINAZIONE DELLA STRUTTURA PER SCADENZA 89

8v + 8v + 8v + 108v = 98

 

 98

v 1 2 3 4

1 

5v + 5v + 105v = 97

97

v  1 2 3

2 

 

 =⇒

=

X .

 

 95

v 5v + 105v = 95

3 

 

 1 2

93

v 

4 

100v = 93

 1

Questo sistema ammette un’unica soluzione in quanto

· · · 6 ⇐⇒

det(X) = (−108) 105 (−105) 100 = 0 rank(X) = 4.

Le soluzioni sono facilmente calcolabili:

v = 0, 93, v = 0, 860476, v = 0, 838548, v = 0, 712664.

1 2 3 4

La struttura dei tassi a pronti si ricava dalle relazioni:

i

1 j − 1, j = 1, 2, 3, 4,

i =

j v j

quindi 1 − ∼

i = 1 = 0, 075268 7, 52%,

1 0, 93 1

1 2 − ∼

i = 1 = 0, 078029 7, 8%,

2 0, 860476 1

1 3 − ∼

i = 1 = 0, 060451 6, 04%,

3 0, 838548 1

1 4 − ∼

i = 1 = 0, 088375 8, 83%.

4 0, 712664

Per quanto riguarda invece la struttura dei prezzi a termine, la formula da

utilizzare per i prezzi é data ancora dalla (6.3.1):

v(0, k + 1) v k+1

v(0, k, k + 1) = = , k = 1, 2, 3. (6.4.1)

v(0, k) v k

Applicando (6.4.1), avremo i seguenti:

v(0, 2) 0, 860476

v(0, 1, 2) = = = 0, 925243;

v(0, 1) 0, 93

v(0, 3) 0, 838548

v(0, 2, 3) = = = 0, 974516;

v(0, 2) 0, 860476

v(0, 4) 0, 712664

v(0, 3, 4) = = = 0, 849878.

v(0, 3) 0, 838548

90CAPITOLO 6. STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI D’INTERESSE

Infine, la struttura dei tassi impliciti risulta dall’applicazione di (6.3.2):

1 − ∼

i(0, 1, 2) = 1 = 0, 080797 8, 07%;

0, 925243

1 − ∼

i(0, 2, 3) = 1 = 0, 02615 2, 61%;

0, 974516

1 − ∼

i(0, 3, 4) = 1 = 0, 176639 17, 66%.

0, 849878

Capitolo 7

Principi di immunizzazione

finanziaria

L’idea alla base dell’immunizzazione finanziaria, o anche della cosid-

detta copertura, nasce dall’esigenza di possedere, in qualsiasi istante durante

un’operazione finanziaria, una quantità di capitale sufficiente a far fronte a

eventuali necessità. In ambito finanziario, immunizzarsi nei confronti di vari

rischi (di tasso, ecc.) significa ad esempio costruire dei portafogli di copertura,

che siano possibilmente privi di rischio. In ambito attuariale le compagnie as-

sicurative che stipulino dei contratti di assicurazione devono accantonare la

cosiddetta riserva matematica, ossia un ammontare che copra tutte le possibili

spese aleatorie e che sia disponibile in ogni istante di tempo.

Qui ci occuperemo soltanto dell’immunizzazione delle operazioni finanzia-

rie già trattate in precedenza, ed enunceremo qualche risultato standard della

teoria dell’immunizzazione, nei casi ad una o più uscite.

7.1 Indici temporali di un flusso di pagamenti

Consideriamo nuovamente una generica operazione finanziaria

{x }/{t }.

x/t = , . . . , x , . . . , t

1 m 1 m

A volte risulta utile usare degli indici sintetici che riassumano certe caratteri-

stiche specifiche del flusso finanziario.

Definizione 98. Si definisce scadenza (o maturity) il tempo t , e vita a

m

scadenza (o time to maturity) al tempo t la vita residua, cioè la differenza

t t.

m

Definizione 99. Si definisce scadenza media aritmetica t la media delle

scadenze pesate con le poste del flusso, assumendo che siano tutte non negative,

91

92 CAPITOLO 7. PRINCIPI DI IMMUNIZZAZIONE FINANZIARIA

cioè: m

P −

x (t t )

k k

k=1

t := ;

m

P x k

k=1

t rappresenta, fisicamente parlando, la distanza dall’istante t del baricentro

m

P x sull’asse dei tempi.

della distribuzione delle masse m := x / j

k k j=1

7.2 La durata media finanziaria

Se fissiamo un tasso di valutazione j e quindi un regime a interessi composti con

t−t

fattore di attualizzazione v(t, t ) = (1+j) , possiamo definire un importante

k

k

indice sintetico che tiene conto della struttura dei prezzi a pronti in vigore sul

mercato:

Definizione 100. Si definisce durata media finanziaria (o duration) al

tempo t la seguente quantità: m

P −

(t t )x v(t, t )

k k k

k=1

D(t, x) = . (7.2.1)

m

P x v(t, t )

k k

k=1

Ricordando la proprietà di linearità dei prezzi e la relazioni tra prezzi dei

titoli a cedola nulla unitari e non unitari: m

X

·

A(t, x ) = x v(t, s), A(t, x) = x v(t, t ),

s s k k

k=1

possiamo esprimere la durata media finanziaria come segue:

m

P −

(t t )V (t, x )

k k

k=1

=

D(t, x) .

V (t, x)

rappresenta la media aritmetica delle vite a scadenza, questa volta però

D(t, x)

pesata con i valori attuali delle poste del flusso calcolati secondo la struttura

a scadenza in vigore il mercato al tempo t.

Ovviamente, vale la catena di disuguaglianze:

− ≤ ≤ −

t t D(t, x) t t,

m

1

con le uguaglianze che valgono soltanto se l’unica posta non nulla del flusso é

x al tempo t oppure x al tempo t .

1 1 m m

La duration é talvolta anche detta tempo ottimo di smobilizzo, in

riferimento al fatto, per il Teorema di Fisher-Weil che successivamente ve-

dremo, che indica l’istante in cui il proprio portafoglio é immunizzato e quindi

conviene smobilizzare il proprio investimento. Il concetto di smobilizzo è va-

riamente usato in Economia e in Finanza per denotare le operazioni di cessione

crediti per ottenere liquidità immediata.

7.2. LA DURATA MEDIA FINANZIARIA 93

Esempio 101. Ricordando la relazione data dalla struttura dei tassi a pronti:

1

1 s−t − 1,

i(t, s) = v(t, s)

consideriamo in t = 0 una struttura delle intensità di rendimento a scadenza

del tipo: 1

h(t, t + τ ) = log(v(t, t + τ )) = 0.05τ ;

τ

dato il flusso {10,

x/t = 20, 30}/{1, 2.5, 3.3},

la scadenza media aritmetica é data da:

· · ·

10 1 + 20 2, 5 + 30 3, 3

t = = 2, 65 anni,

10 + 20 + 30

vale a dire 2 anni, 7 mesi e 24 giorni, in termini di anno commerciale. La

durata media finanziaria valutata all’istante iniziale va invece calcolata dopo

aver ricavato preliminarmente la struttura dei prezzi a pronti: 2

−h(t,s)(s−t) −h(t,t+τ −0,05τ

v(t, s) = e =⇒ v(t, t + τ ) = e = e ;

allora possiamo facilmente calcolare:

−0,05

v(0, 1) = e = 0, 9512;

2

−0,05·(2,5)

v(0, 2.5) = e = 0, 7316;

2

−0,05·(3,3)

v(0, 3.3) = e = 0, 581.

Allora A(0, x) = x v(0, 1) + x v(0, 2.5) + x v(0, 3.3) = 41, 547 euro,

1 2 3

e allora la durata media finanziaria al tempo 0 risulta:

· · · · · ·

1 10 v(0, 1) + 2, 5 20 v(0, 2.5) + 3, 3 30 v(0, 3.3)

D(0, x) = =

41, 547

= 2, 492 anni, 5 mesi, 27 giorni.

Risulta ancora più semplice il calcolo della durata media finanziaria quando

abbiamo un tasso di valutazione fissato e non abbiamo quindi bisogno di

calcolare la struttura dei prezzi a pronti, come nel seguente caso.

94 CAPITOLO 7. PRINCIPI DI IMMUNIZZAZIONE FINANZIARIA

Esercizio 102. Calcolare la scadenza media aritmetica e la durata

media finanziaria del flusso

{1.000,

x/t = 2.000, 3.500, 5.000}/{3, 6, 9, 12},

laddove le poste sono espresse in euro e i tempi in mesi, al tempo

iniziale t = 0 e al tasso di valutazione del 4%.

Essendo le scadenze espresse in mesi, sarà espressa in mesi pure la sca-

denza media finanziaria:

· · · ·

1.000 3 + 2.000 6 + 3.500 9 + 5.000 12

t = = 9, 26 mesi = 9 mesi e 7 giorni.

1.000 + 2.000 + 3.500 + 5.000

Nella durata media finanziaria, al denominatore c’è il valore attuale delle

poste, dunque: 3 6 9

− − − −1

A(0, x) = 1.000(1, 04) +2.000(1, 04) +3.500(1, 04) +5.000(1, 04) =

12 12 12

= 11.157, 641513 euro. Il numeratore é invece dato dalla quantità:

6 9

3 − − −1

− · · ·

· + 6 2.000(1, 04) + 9 3.500(1, 04) + 12 5.000(1, 04)

3 1.000(1, 04) 12 12 12

×

= 103.016, 91007155 mesi euro, e di conseguenza la durata media finanziaria

ammonta a: 103.016, 91007155

D(0, x) = = 9, 23 mesi = 9 mesi e 6 giorni.

11.157, 641513

7.2.1 Durata media finanziaria con struttura piatta

Si possono verificare diversi casi di flussi finanziari, ad esempio in condizioni

di struttura dei tassi d’interesse costante ad un livello i, ossia:

i(t, s) = i = costante, t s.

Questo é il caso di duration a struttura piatta (o flat yield curve dura-

tion): m −(t −t)

P −

(t t)x (1 + i) k

k k

k=1

= .

D(t, x) m −(t −t)

P x (1 + i) k

k

k=1 R

Esempio 103. Consideriamo ora il caso di una rendita posticipata imme-

diata di m rate annue costanti uguali ad R. Ponendo t = 0, in questo caso

l’espressione della durata media finanziaria della rendita si può scrivere con

x = R, t = k, k = 1, 2, . . . , m:

k k m −k

P · ·

R k (1 + i)

k=1

R)

D(0, = ,

m −k

P ·

R (1 + i)

k=1

7.2. LA DURATA MEDIA FINANZIARIA 95

e risulta evidentemente indipendente dall’entità della rata R. Calcoliamone

esplicitamente la formula risolutiva. m

Il denominatore di questa formula é il valore attuale a = v(1−v )/1−v

m|i

di una rendita posticipata immediata annua unitaria di m rate.

Per quanto riguarda invece il numeratore, possiamo calcolare la relativa se-

rie nel modo seguente, riordinandone i termini (questa dimostrazione differisce

leggermente da quella in [M], Capitolo 8):

m

X k 2 m 2 2 3 3 3 m m

· ·+mv · ·+(v · ·+v

kv = v+2v +· = v+(v +v )+(v +v +v )+· +· ) =

k=1 m m m m m

X X X X X

k k k k k

···

= v + v + v + + v + v =

k=1 k=2 k=3 k=m−1 k=m

m m

m

− −

− 1 v 1 v

1 v 2 m−1

− ··· − − − · · ·

+ v v + + v v v v =

= v − − −

1 v 1 v 1 v m

m+1 2 m+1 m m+1 k m+1

− − − −

v v v v v v v v

X

···

= + + + = =

− − − −

1 v 1 v 1 v 1 v

k=1

m m+1 m

mv v 1 v

1 X k m

− −

v = mv ,

= − − − −

1 v 1 v 1 v 1 v

k=1

e di consegenza la duration diventa:

m

v 1 v m

− mv m

− − 1 mv

1 v 1 v

R) −

D(0, = = ,

m

1 v m

− −

1 v 1 v

v −

1 v

ed espressa in termini di tasso annuo di interesse:

1+ i m

R) −

D(0, = . (7.2.2)

m −

i (1 + i) 1

Dalla formula (7.2.2) si possono dedurre esplicitamente alcune caratteri-

stiche della durata media finanziaria: anzitutto, é una funzione crescente nel

R.

numero di rate, cioè nella scadenza del flusso Come spesso accade nella

teoria economica, si può valutare il comportamento, o la sensibilità, di una

quantità rispetto ad una qualsiasi variabile (o parametro) che essa contiene cal-

colandone le derivate parziali. In questo caso, la positività di questa derivata

è semplice da valutare: m 2 m−1

R) −(1

∂D(0, + i) + 1 + m (1 + i)

= ,

m 2

∂m ((1 + i) 1)

96 CAPITOLO 7. PRINCIPI DI IMMUNIZZAZIONE FINANZIARIA

che é sempre positiva in quanto al numeratore

2 m

m (1 + i) m ∀ ≥

> (1 + i) m 2.

1+ i

Inoltre, tendendo il numero di rate all’infinito, abbiamo la duration di una

1+ i

rendita immediata posticipata annua costante perpetua: .

i

Esercizio 104. Calcolare la durata media finanziaria al tempo 0 di

una rendita costituita da 4 rate annuali costanti posticipate ad un

tasso di valutazione annuo dell’11%.

Utilizzando direttamente la formula (7.2.2) la duration risulta:

4

1 + 0, 11 −

R) = 2, 37 anni =

D(0, = 4 −

0, 11 (1 + 0, 11) 1

=2 anni, 4 mesi e 13 giorni.

Se consideriamo invece dei titoli a cedola fissa (al solito, pensiamo ai BTP),

in t = 0, con scadenza m, valore nominale C e cedole annuali uguali ad I, il

flusso dei pagamenti relativi sarà:

{I,

x = I, . . . , C + I},

rispettivamente esigibili agli istanti t , k = 1, . . . , m. La flat yield curve

k

duration del titolo, calcolata al tasso i, sarà:

m −k −m

P k(1 + i) + mC(1 + i)

I k=1 . (7.2.3)

D(0, x) = m −k −m

P (1 + i) + C(1 + i)

I k=1

Esercizio 105. Dato un titolo con 3 cedole annuali di 100 euro l’una,

valutate al tasso semestrale del 2%, quale deve essere il valore no-

minale del titolo affinchè la sua durata media finanziaria in 0 sia

uguale a 2 anni e 6 mesi?

Prima di tutto, convertiamo il tasso da semestrale ad annuale:

2 −

i = (1 + i ) 1 = 4, 04%.

1/2

Successivamente, applichiamo la formula (7.2.3) lasciando il valore nominale

C come incognita e imponendo che la durata media finanziaria sia uguale a 2

anni e 6 mesi=2,5 anni:

−1 −2 −3 −3

· · · ·

100(1 (1, 0404) + 2 (1, 0404) + 3 (1, 0404) ) + 3 C(1, 0404)

2, 5 = ,

−1 −2 −3 −3

100((1, 0404) + (1, 0404) + (1, 0404) ) + C(1, 0404)

7.3. INDICI DI VARIABILITÀ DI UN FLUSSO DI PAGAMENTI 97

da cui: ·

547, 277377 + (2, 66391414 C) ⇐⇒

2, 5 = ·

277, 298558 + (0, 88797138 C)

⇐⇒ · ·

693, 2463895 + (2, 21992845 C) = 547, 277377 + (2, 66391414 C),

che implica 145, 9690125 = 328, 76963331 euro.

C = 0, 44398569

7.3 Indici di variabilità di un flusso di pagamenti

In tutti i casi in cui ha senso effettuare la valutazione al tempo t del flusso di

{x }/{t }

importi, tutti non negativi, x/t = , . . . , x , . . . , t in base ad una

1 m 1 m

struttura dei rendimenti piatta, ad esempio al livello del tasso di valutazione

i, il prezzo risultante: m

X −(t −t)

x (1 + i)

A(t, x) = k

k

k=1

dipende dall’unico parametro i caratteristico del mercato.

Considerando da ora in poi per semplicità di notazione t = 0, possiamo

vedere il prezzo del flusso come funzione di i (o anche dell’intensità d’interesse

δ = log(1 + i)), ed individuarne alcune proprietà analitiche:

m

X x , lim A(i) = 0.

A(i) > 0, A(0) = k i→+∞

k=1

Inoltre, A(i) é derivabile infinite volte:

m

X

0 −t −1

A (i) = t x (1 + i) ,

k

k k

k=1

m

X

00 −t −2

A (i) = t (t + 1)x (1 + i) .

k

k k k

k=1

Quindi A(i) é decrescente ma anche convessa, ovviamente per i valori positivi

di i. Da quest’espressione e dalle sue derivate si ricavano i principali indici di

variabilità utilizzati nella cosiddetta analisi di sensitività del prezzo rispetto

ad i (oppure anche rispetto a δ). Con le notazioni suddette, diamo le seguenti

definizioni:

Definizione 106. Si definisce semielasticità il rapporto tra la derivata prima

della funzione prezzo e la funzione stessa:

m −t −1

0 P t x (1 + i)

A (i) 1

k

k k

k=1

− −

= = D(0, x).

m −t

P

A(i) x (1 + i) 1 + i

k

k

k=1

98 CAPITOLO 7. PRINCIPI DI IMMUNIZZAZIONE FINANZIARIA

Definizione 107. Si definisce elasticità il prodotto della semielasticità per

il valore della variabile indipendente:

dA

0 i

A (i) A −

=

i = D(0, x).

di

A(i) 1+ i

i

Intuitivamente, la semielasticità misura la velocità di variazione del prezzo

per unità di capitale. Invece l’elasticità del prezzo rispetto ad i rappresenta

il limite del rapporto tra la variazione percentuale del prezzo e la variazione

percentuale del tasso di valutazione, al tendere a zero della variazione del

tasso.

Definizione 108. Si chiama convexity il rapporto tra la derivata seconda

della funzione prezzo e la funzione stessa:

m −t −2

00 P t (t + 1)x (1 + i)

A (i) k

k k k

k=1

= .

m −t

P

A(i) x (1 + i) k

k

k=1

Definizione 109. Si chiama convessità relativa di una funzione il rapporto

tra la sua derivata seconda e la sua derivata prima:

m −t −2

00 P t (t + 1)x (1 + i)

A (i) k

k k k

k=1

− .

= m −t −1

0 P t x (1 + i)

A (i) k

k k

k=1

In particolare, quest’ultimo indice fornisce una misura della velocità di

variazione del prezzo in unità di variazione del prezzo.

Esercizio 110. Consideriamo il titolo che garantisce il flusso

{10,

x/t = 10, 10, 110}/{1, 2, 3, 4},

essendo il tempo misurato in anni. Con riferimento ad una strut-

tura piatta al livello del 10% annuo, calcoliamone i principali indici

di sensitività.

Avremo rispettivamente:

−1 −2 −3 −4

A(0, x) = 10(1, 1) + 10(1, 1) + 10(1, 1) + 110(1, 1) = 100;

−1 −2 −3 −4

· · · ·

10 (1, 1) + 20 (1, 1) + 30 (1, 1) + 440 (1, 1)

D(0, x) = =

A(0, x)

348, 6838

= = 3, 4868 anni = 3 anni, 5 mesi e 25 giorni.

100

Gli indici di variabilità sono i seguenti:

7.4. RISULTATI PRINCIPALI SULL’IMMUNIZZAZIONE 99

la semielasticità é data da:

0

A (i) 1 1

− − −3,

= D(0, x) = 3, 4868 = 169.

A(i) 1+ i 1, 1

L’elasticità è: 0

A (i) · −3,

i = 1, 1 (−3, 169) = 4859.

V (i)

7.4 Risultati principali sull’immunizzazione

Per trattare i punti cardine dell’immunizzazione finanziaria, usiamo una nota-

zione specifica, lievemente diversa da quelle utilizzate precedentemente. Sup-

poniamo di avere un portafoglio di titoli:

P {Q }/{t },

= , . . . , Q , . . . , t

1 m 1 m

visto come operazione finanziaria, o visto come flusso di entrate, di cui la

j-esima posta corrisponde alla quantità Q di zero coupon bond unitari in

j ≥

scadenza alla data t . Per ogni j = 1, . . . , m, Q 0.

j j

Supponiamo inoltre che la forza d’interesse non sia costante, ma dipendente

dal tempo: δ(t).

Per la durata media finanziaria e per la convexity del portafoglio dato,

cambiamo la notazione in modo da specificare anche la forza d’interesse, ossia:

m

P −

(t s)Q v(s, t )

k k k

k=1 ,

D (s, δ(t)) =

P m

P Q v(s, t )

k k

k=1

per la durata media finanziaria al tempo s, dove v(·) é la struttura a termine

dei tassi d’interesse associata a δ(t), mentre la convexity sarà denotata con:

m 2

P −

(s t ) Q v(s, t )

k k k

k=1

Conv (s, δ(t)) = ,

P m

P Q v(s, t )

k k

k=1

e anche qui bisogna stare attenti a non confondere l’istante s di valutazione,

con la variabile temporale t, che é argomento della forza d’interesse δ(·), e le

P.

date t , . . . , t dello scadenzario del portafoglio

1 m

7.4.1 Immunizzazione ad un’unica uscita

Il problema che dobbiamo affrontare consiste nel dover avere bisogno, ad un

dato istante futuro T , della somma di denaro U da pagare. Il valore del nostro

P

portafoglio a quell’istante di tempo, come sappiamo, sarà:

X X

W (T, δ(t)) = Q r(t , T ) + Q v(t , T ),

P k k k k

≤T

t t >T

k k

100 CAPITOLO 7. PRINCIPI DI IMMUNIZZAZIONE FINANZIARIA

laddove r(·) é il fattore di capitalizzazione associato alla struttura a termine

−1

v(·), ossia il suo inverso: r(t , T ) = v (t , T ), quindi al solito il montante

k k

delle quote incassate prima dell’istante T sommato al valore attuale in T delle

quote ancora da incassare.

La condizione da soddisfare é che tale valore equivalga alla somma da dover

pagare, U , all’istante T : W (T, δ(t)) = U.

P

Ma naturalmente l’informazione che la struttura dei tassi sia δ(t) é quella che

abbiamo all’inizio e che, in qualche modo, prevediamo. Ma cosa accade se

sopraggiunge un improvviso cambiamento nella struttura dei tassi, cioè uno

shock? Dobbiamo trovare una strategia di immunizzazione, o di copertura, in

modo da capire se sotto certe ipotesi, anche con lo shock, saremo ancora in

grado di disporre al tempo T della somma U , almeno.

Generalmente, nella realtà economica, le strutture piatte dei tassi sono

molto rare. Possono esserci shock endogeni, cioè derivanti da dinamiche

interne al mercato, per esempio una bolla immobiliare o il default di un grande

gruppo bancario, o anche esogeni, cioè provocati da eventi esterni al mercato,

come lo scoppio di una guerra o la caduta di un Governo, che normalmente

provocano forti incertezze o turbolenze sui mercati.

Distinzioni a parte, gli shock che normalmente consideriamo sono di tipo

additivo, vale a dire che nello spazio tra due istanti successivi x e x + t la

forza d’interesse é sempre δ(t) tranne negli istanti in cui si configura un salto

e, da allorain avanti, diventa δ(t) + . Detto s l’istante dello shock, possiamo

scrivere nel modo seguente: ( ∗

δ(t) se x [0, s )

δ(x, x + t) = ∗

δ(t) + se x > s

Chiamando per brevità δ (t) la forza d’interesse incrementata δ(t) + , enun-

ciamo di seguito, senza dimostrarlo, il teorema fondamentale dell’immunizza-

zione ad un’unica uscita (si intende la somma U ), dovuto a Lawrence Fisher

e a Roman L. Weil (1971): ∗

Teorema 111. Se al tempo s in cui si verifica la variazione della forza

7→

d’interesse δ(t) δ (t) risulta:

∗ ∗

D (s , δ(t)) = T s ,

P

∀ ∈

allora si avrà:

R, ≤

W (T, δ(t)) W (T, δ (t)).

P P

7.4. RISULTATI PRINCIPALI SULL’IMMUNIZZAZIONE 101

L’importante conseguenza di questo risultato é che se il valore del por-

tafoglio inizialmente é adeguato all’entità dell’uscita, e se la durata media

∗ ∗

finanziaria valutata in s é T s , il portafoglio non diminuisce il suo valore

e quindi é immunizzato.

Un breve commento: come si può notare le ipotesi di questo teorema sono

piuttosto forti. In pratica esso, affermando che nell’istante corrispondente

P

alla sua durata media finanziaria, il portafoglio é immunizzato, implica che

se si potesse ricalibrare il portafoglio istante per istante in modo tale che la

condizione di Fisher-Weil fosse verificata sempre, l’immunizzazione varrebbe

sempre. Questa specie di copertura dinamica del portafoglio é l’analogo della

procedura che nella teoria di base del pricing delle opzioni permetterebbe di

annullare la parte rischiosa della dinamica aleatoria del prezzo del titolo. In

queste dispense non ci occupiamo di Finanza Matematica, i lettori e le lettrici

interessate ad approfondire l’argomento possono consultare ad esempio [PR].

7.4.2 Immunizzazione a più uscite

In questo caso, consideriamo non più soltanto un’unica somma da possedere

ad un dato istante T , ma un intero portafoglio composto da uscite, ossia da

poste non positive U , su uno scadenzario discreto, eventualmente diverso da

k

quello delle entrate: U {U }/{τ },

= , . . . , U , . . . , τ

1 n 1 n

intendendo che le date di entrata e di uscite possono non coincidere ed anche

essere in numero differente. Ovviamente, qui dovremo considerare il valore

U:

attuale del portafoglio n

X

A (0, δ(t)) = U v(0, τ ),

U h h

h=1

e questa volta la condizione necessaria per l’immunizzazione del portafoglio

P U

composto dalle entrate di e dalle uscite di sarà data dall’uguaglianza tra

i rispettivi valori attuali: A (0, δ(t)) = A (0, δ(t)).

U P

Consideriamo anche in questa situazione uno shock additivo suitassi d’interesse

di ampiezza . La tecnica per ricavare un teorema analogo a quello di Fisher-

Weil si basa sull’analisi della funzione −

G() := A (0, δ (t)) A (0, δ (t)),

P U

corrispondente alla differenza tra i valori attuali dei flussi in entrata e in uscita

quando la forza d’interesse ha subito lo shock additivo. Dimostrando che G()

102 CAPITOLO 7. PRINCIPI DI IMMUNIZZAZIONE FINANZIARIA

ammette un minimo in = 0, si prova che per valori di abbastanza piccoli

P U.

in modulo, il valore attuale di é sempre non minore di quello di Il

teorema seguente, dovuto a Frank Redington (1952), e di cui omettiamo la

dimostrazione, formalizza le ipotesi affinchè ciò valga:

Teorema 112. Se al tempo s in cui avviene lo shock additivo valgono le

seguenti proprietà:

1. A (s, δ(t)) = A (s, δ(t)),

P U

2. D (s, δ(t)) = D (s, δ(t)) = θ,

P U

3. Conv (θ, δ(t)) Conv (θ, δ(t)),

P U

allora per valori di abbastanza piccoli in modulo, vale:

A (s, δ (t)) > A (s, δ (t)).

P U

Il risultato di Redington si differenzia da quello di Fisher-Weil per la sua

valenza locale piuttosto che globale, cioè la piccolezza richiesta per l’ampiezza

rischia di vanificare il teorema per degli shock troppo grandi. La somiglianza

sta invece nella possibilità, ancorchè teorica, di ricalibrare dinamicamente il

portafoglio per mantenerlo immunizzato.

Capitolo 8

Elementi di calcolo delle

probabilità

Per comprendere gli sviluppi più recenti della Matematica Finanziaria,

in particolare quelli dalla Teoria dell’Utilità, formalizzata compiutamente nei

tardi anni ’40 fino al pricing e alla valutazione dei prodotti finanziari complessi

sui nostri mercati, abbiamo bisogno di alcuni principi preliminari di Calcolo

delle Probabilità. Il Calcolo delle Probabilità è quell’area della Matematica che

studia e analizza i fenomeni incerti ed aleatori, e di cui enunceremo solo alcune

nozioni di base, necessarie per questo corso. Per le teorie successive della

Finanza Matematica (equazioni differenziali stocastiche, dinamiche aleatorie

di tassi e azioni, ecc.) rimandiamo a testi più completi ([C], [P],...).

8.1 Spazi di probabilità

La notazione utilizzata in questo Capitolo è tratta da [B]. Consideriamo un

qualsiasi fenomeno aleatorio, che prevede più di un possibile risultato, e che

non abbiamo la facoltà di conoscere con certezza. Possiamo pensare all’esito

di un lancio di un dado, all’estrazione dei numeri della tombola, all’ordine di

arrivo di un Gran Premio di Formula 1, all’esito del prossimo appello di Eco-

nomia degli Intermediari Finanziari, all’andamento del vostro fondo azionario,

ecc.

8.1.1 Definizioni e proprietà preliminari

Chiamiamo Ω l’insieme dei possibili risultati, e consideriamo una qualsiasi

E E

famiglia di sottoinsiemi di Ω. Gli elementi di saranno indicati come

eventi. ∈ E,

Definizione 113. Dati 2 qualsiasi eventi E , E chiameremo:

1 2

103

104 CAPITOLO 8. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

• ∪

E E evento unione, corrispondente al verificarsi di almeno uno tra

1 2

gli eventi E ed E ;

1 2

• ∩

E E evento intersezione, corrispondente al verificarsi di entrambi

1 2

gli eventi E ed E ;

1 2

C

• E evento complementare, corrispondente al non verificarsi dell’e-

1

vento E .

1

Il nostro scopo é quello di associare ad ogni evento una funzione probabilità

che ne quantifichi, appunto, la probabilità che esso avvenga. A questo scopo,

ci servono alcune definizioni rigorose.

E

Definizione 114. Una famiglia di sottoinsiemi di un insieme Ω si dice una

σ-algebra se valgono le seguenti proprietà:

∅, ∈ E;

1. Ω C

∈ E, ∈ E;

2. se E allora E

∈ E,

3. se E , . . . , E , . . . allora

1 n ∞

[ \

∈ E, ∈ E.

E E

i i

i=1 i=1 A,

Definizione 115. Dato un insieme Ω, e una sua σ-algebra di sottoinsiemi

E −→

un’applicazione P : [0, 1] si dice probabilità se:

1. P (Ω) = 1; {E } E

2. per ogni successione di elementi di disgiunti a due a due, vale:

n n ∞ ∞

!

[ X

P E = P (E ).

n n

n=1 n=1

Possiamo finalmente caratterizzare l’ambiente matematico, o meglio an-

cora il modello, in cui analizzeremo qualsiasi tipo di situazione soggetta ad

incertezza. E,

Definizione 116. Chiamiamo spazio di probabilità una terna (Ω, P )

E

in cui Ω é un insieme, è una σ-algebra di sottoinsiemi di Ω e P é una

probabilità.

8.1. SPAZI DI PROBABILITÀ 105

In generale, per ogni fenomeno aleatorio si può costruire, in modo sog-

gettivo, uno spazio di probabilità. Ma valutazioni differenti sulle probabilità

relative a certi eventi possono dare luogo alla costruzione di spazi differenti.

Ad esempio, nel caso di un evento calcistico, differenti persone potranno as-

sociare differenti probabilità alla vittoria di una squadra o dell’altra oppure

al pareggio. Sicuramente, il nostro scopo è facilitato in presenza di eventi che

hanno naturalmente la stessa probabilità (cosiddetti equiprobabili), e sui

quali esiste una valutazione oggettiva. Sempre nell’ambito del gioco, vediamo

questo esempio.

Esempio 117. Supponiamo di voler lanciare 2 volte una monetina, che prima

dell’avvento dell’euro aveva quasi sempre una testa su una delle due facce (ad

esempio le ormai dimenticate 100 o 200 lire). Se la nostra monetina non é in

alcun modo truccata, ad ogni lancio gli eventi Testa e Croce sono equiprobabili.

Sui due lanci, ci sono quattro eventi possibili:

E ={esce Testa sia al primo che al secondo lancio};

T T

E ={escono Testa al primo lancio e Croce al secondo lancio};

T C

E ={escono Croce al primo lancio e Testa al secondo lancio};

CT

E ={esce Croce sia al primo che al secondo lancio}.

CC

Oltre ad essere equiprobabili, tali eventi sono incompatibili, vale a dire

qualunque di essi avvenga rende impossibile che ne avvenga qualsiasi altro.

Nel caso di eventi incompatibili, é particolarmente semplice verificare le ipotesi

delle definizioni, infatti: {T

Ω = T, T C, CT, CC},

E

e é l’insieme delle parti di Ω, vale a dire l’insieme di tutti i sottoinsiemi di

∅.

Ω, compresi Ω stesso e l’insieme vuoto Di conseguenza, l’intersezione dei

E,

4 eventi é l’insieme vuoto, che quindi appartiene a e la loro unione é tutto

l’insieme Ω, e quindi sono contemporaneamente verificate la prima e la terza

E

ipotesi affinchè sia una σ-algebra. La seconda ipotesi é evidente perchè tutti

i sottoinsiemi complementari, cioè composti da 3 elementi di Ω, appartengono

all’insieme delle parti.

Essendo gli eventi equiprobabili, ognuno di essi dovrebbe avere probabilità

1/4 (un caso favorevole su 4 casi possibili), quindi si avrà: 1

P (E ) = P (E ) = P (E ) = P (E ) = ,

T T T C CT CC 4

∪ ∪ ∪

P (E E E E ) = P (Ω) = 1,

T T T C CT CC

P (E ) + P (E ) + P (E ) + P (E ) = 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1,

T T T C CT CC

106 CAPITOLO 8. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

e quindi, poichè le quantità a primo membro coincidono, P è effettivamente

una probabilità per questo modello. Da notare, infine, che in questo tipo di

esercizi bisogna prestare attenzione a come vengono poste le domande, per non

incorrere in errori banali. Su 4 casi, ce ne sono 2 in cui esce una Testa e una

Croce, quindi la probabilità che esca prima Testa e poi Croce è P (E ) = 1/4,

T C

mentre la probabilità che escano una Testa e una Croce, senza considerarne

l’ordine, é la somma delle 2 probabilità miste: P (E ) + P (E ) = 1/2.

T C CT

In generale, se E ed E sono eventi incompatibili, come da definizione:

1 2

∪ ∩

P (E E ) = P (E ) + P (E ), P (E E ) = P (∅) = 0.

1 2 1 2 1 2

C C

∈ E, ∪ ∩ ∅,

Inoltre, dato un qualsiasi evento E E E = Ω, E E = di

conseguenza: C −

P (E ) = 1 P (E). (8.1.1)

Considerando anche eventi non incompatibili, E , . . . , E , . . ., abbiamo la For-

1 n

mula di De Morgan: C

∞ ∞

!

\ [ C

E = E ,

i i

i=1 i=1

da cui, passando alle probabilità, per (8.1.1) si ha:

∞ ∞

! !

\ [ C

P E = 1 P E . (8.1.2)

i i

i=1 i=1

∈ E,

Teorema 118. Dati 2 eventi E , E vale la seguente formula:

1 2 ∪ ∩

P (E ) + P (E ) = P (E E ) + P (E E ). (8.1.3)

1 2 1 2 1 2

Dimostrazione. Prima di tutto, consideriamo due eventi qualsiasi, quindi non

C ∅,

∈ E. ∩ = anche le due

necessariamente disgiunti, E , E Poichè E E

1 2 2 2

intersezioni con l’altro evento E sono disgiunte, vale a dire:

1 C C

∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∅,

(E E ) (E E ) = E (E E ) =

1 2 1 1 2

2 2

mentre l’unione coincide con tutto E , perchè:

1

C C

∩ ∪ ∩ ∪ ∩

(E E ) (E E ) = E (E E ) = E ,

1 2 1 1 2 1

2 2

per cui la probabilità dell’evento E si può scrivere con la formula degli eventi

1

incompatibili: C

∩ ∩

P (E ) = P (E E ) + P (E E ). (8.1.4)

1 1 2 1 2

D’altra parte, possiamo notare che: C C

∪ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪

E E = E (E E ) = (E E ) (E E ),

1 2 2 1 2 1 2

2 2

8.1. SPAZI DI PROBABILITÀ 107

C

ma E ed E E sono anche disgiunti, perchè:

2 1 2 C

∩ ∩ ∩ ∩ ∅ ∅,

E (E E ) = (E E ) =

2 1 2 1

2

quindi C

∪ ∩

P (E E ) = P (E ) + P (E E ), (8.1.5)

1 2 2 1 2 C

di conseguenza, ricavando il termine comune P (E E ) in (8.1.4) e sosti-

1 2

tuendo in (8.1.5), otteniamo la relazione (8.1.3).

Esercizio 119. Supponiamo di estrarre casualmente una carta da un

mazzo di 40 carte napoletane e di voler calcolare la probabilità che

la carta uscita non sia nè un asso nè una carta del seme dei Denari

(detti anche Ori).

Gli eventi da considerare saranno: 1

E ={la carta estratta é un asso}, la cui probabilità é P (E ) = ;

1 1 10 1

E ={la carta estratta é un Denaro}, la cui probabilità è P (E ) = ;

2 2 4

∩ ∩

E E ={la carta estratta é l’asso di Denari}, la cui probabilità é P (E

1 2 1

1

E ) = . La probabilità dell’evento unione, ossia che la carta estratta sia o

2 40

un qualsiasi asso oppure un qualsiasi Denaro é data dalla formula (8.1.3):

1 1 1 13

∪ − ∩ −

P (E E ) = P (E ) + P (E ) P (E E ) = + = .

1 2 1 2 1 2 10 4 40 40

Per concludere, la probabilità che la carta estratta non sia nè un asso nè un

Denaro é l’evento complementare a E E , quindi applicando (8.1.1):

1 2 27

C

∪ − ∪

P ((E E ) ) = 1 P (E E ) = .

1 2 1 2 40

Allo stesso risultato, ovviamente, si poteva arrivare sommando le 9 Spade ai

9 Bastoni alle 9 Coppe, vale a dire tutte le carte degli altri semi private dei

rispettivi assi (ovviamente i primi esempi sono elementari e risolvibili anche

senza formule rigorose, ma bisogna apprendere la metodologia per i successivi

casi più difficili).

8.1.2 Probabilità condizionata E,

Consideriamo uno spazio di probabilità (Ω, P ) e diamo una caratterizza-

zione alle probabilità degli eventi quando abbiamo un’informazione a priori.

Condizionare la probabilità di un evento al verificarsi di un altro evento non

implica necessariamente definire un evento condizionato, ma semplicemente

raffinare la definizione dello stesso evento.

108 CAPITOLO 8. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

Definizione 120. Dati 2 eventi E , E con P (E ) > 0, si dice probabilità

1 2 2

condizionata (o condizionale) di E rispetto ad E la seguente quantità:

1 2

P (E E )

1 2

|

P (E E ) = . (8.1.6)

1 2 P (E )

2

|

P (E E ) rappresenta la probabilità che si verifichi E data l’informazione

1 2 1

che E si è, contemporaneamente o in precedenza, verificato. Dalla definizione,

2

possiamo dedurre facilmente quella che é universalmente nota come formula

di Bayes: | |

P (E E )P (E ) = P (E E )P (E ).

1 2 2 2 1 1 ∪ ∪

Inoltre, se E , . . . , E sono N eventi disgiunti tali che E . . . E = Ω, la

1 1

N N

formula di Bayes si può estendere. Dato un evento F con P (F ) > 0, vale la

seguente: |E

P (E )P (F )

i i

|

P (E F ) = . (8.1.7)

i N

P |

P (E )P (F E )

k k

k=1

Esercizio 121. Supponiamo di avere un sacchetto di 12 frutti, 8

agrumi (5 arance e 3 limoni) e 4 mele. Mettiamo una mano nel

sacchetto senza guardarci dentro e prendiamo un frutto dalla buc-

cia rugosa, vale a dire un agrume. Qual é la probabilità, dato che

stiamo prendendo un agrume, che esso sia un limone?

Possiamo denominare gli eventi in questo modo:

{il

E = frutto preso é un limone};

1 {il

E = frutto preso é un agrume}.

2

Calcoliamo la probabilità condizionata del primo evento al secondo. Poichè

3

la probabilità dell’evento intersezione è e la probabilità di pescare un limone

12

8

è , la probabilità condizionata risulta:

12 3/12 3

|

P (E E ) = = .

1 2 8/12 8

Da notare come, in pratica, la probabilità risultante sia la stessa che si avrebbe

se nel sacchetto non ci fosse stato alcun altro frutto, che equivale a dire che il

fatto che non venga preso alcun altro frutto era già contenuto nell’informazione

di partenza.

Nel prossimo esempio, di nuovo tratto dal gioco, applicheremo la formula

(8.1.7).

8.1. SPAZI DI PROBABILITÀ 109

Esempio 122. Supponiamo di lanciare consecutivamente 2 dadi (la tempistica

non ha importanza, in realtà), e di costruire uno spazio di probabilità per la

somma dei dadi usciti. I dadi non sono truccati, quindi l’insieme dei risultati,

tra loro incompatibili, sarà il seguente:

{2,

Ω = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12},

e, al solito, l’insieme degli eventi sarà dato dall’insieme delle parti di Ω.

Per la definizione della probabilità P é necessario contare quante volte

ognuna di queste somme può verificarsi, perchè ovviamente non sono equipro-

babili: ad esempio il valore 11 può venire soltanto dalla coppia di uscite 6 e 5

oppure 5 e 6, mentre il valore 5 può risultare da 2 e 3, 3 e 2, 4 e 1 oppure 1

e 4. Descriviamo ogni evento in questo modo:

E ={la somma dei 2 numeri usciti é j}, j = 2, . . . , ..., 12.

j

Quindi abbiamo numerato gli eventi da E a E . Essendo 36 i possibili

2 12

esiti dei 2 lanci, si trova che la probabilità P da associare prende i seguenti

valori: 1 2 3 4

P (E ) = , P (E ) = , P (E ) = , P (E ) = ,

2 3 4 5

36 36 36 36

6 5 4

5 , P (E ) = , P (E ) = , P (E ) = ,

P (E ) = 7 8 9

6 36 36 36 36

3 2 1

P (E ) = , P (E ) = , P (E ) = .

10 11 12

36 36 36

Consideriamo l’evento:

{uno

F = dei due dadi usciti é il 6}, |

e cerchiamo di calcolare, ad esempio, la probabilità condizionata P (E F )

8

usando la formula (8.1.7). Prima di tutto, calcoliamo tutte le probabilità con-

|

dizionate P (F E ), compito piuttosto semplice quando la somma dei dadi

j

usciti non supera il 6, perchè evidentemente é 0, in caso contrario, dobbiamo

calcolare le possibili occorrenze del 6 nelle varie somme, ad esempio su E le

9

|

somme possibili sono 4, e in 2 di esse compare il 6, quindi P (F E ) = 2/4.

9

Più in dettaglio:

|

P (F E ) = 0 se j = 2, 3, 4, 5, 6,

j 2 2 2

| | |

P (F E ) = , P (F E ) = , P (F E ) = ,

7 8 9

6 5 4

2

| | |

P (F E ) = , P (F E ) = 1, P (F E ) = 1.

10 11 12

3

110 CAPITOLO 8. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

Di conseguenza, la sommatoria a denominatore in (8.1.7) contiene soltanto 6

termini, per cui avremo: 2

5 · 2

36 5

|

P (E F ) = .

=

8 2 6 2 5 2 4 2 3 2 1 11

· · · ·

+ + + + +

6 36 5 36 4 36 3 36 36 36

Va notato che allo stesso risultato si poteva pervenire contando le occorrenze

della somma 8 in tutte le uscite col 6: in breve, su 11 possibili uscite (1 e 6,

2 e 6, 3 e 6, 4 e 6, 5 e 6, 6 e 6, 6 e 1, 6 e 2, 6 e 3, 6 e 4, 6 e 5), la somma 8

occorre 2 volte, da cui il rapporto 2/11.

8.1.3 Indipendenza tra eventi

Un concetto cruciale nel Calcolo delle Probabilità riguarda l’analisi degli eventi

e della loro correlazione, ossia di quanto uno di essi dipenda da un altro, o

da tutti gli altri. Quando 2 eventi non hanno alcuna forma di correlazione, le

cose sono particolarmente semplici.

Definizione 123. 2 eventi E ed E si dicono indipendenti se e solo se

1 2

P (E E ) = P (E )P (E ).

1 2 1 2

Definizione 124. N eventi E , . . . E si dicono a due a due indipendenti

1 N

se e solo se ∩

P (E E ) = P (E )P (E ),

i j i j

∀ 6

i = j, i, j = 1, . . . , N .

Per sgomberare il campo da un classico luogo comune, ogni fenomeno alea-

torio che si ripete con le stesse condizioni più di una volta, é un evento indi-

pendente dal precedente, come il lancio ripetuto di una moneta, le estrazioni

del Lotto, i sorteggi di qualsiasi tipo con rimpiazzo o reimbussolamento, la

generazione di numeri casuali, ecc. Per questo motivo, ad esempio, é piuttosto

insensato giocare al Lotto basandosi sui ritardi dei numeri, in quanto ad ogni

estrazione, sempre se non truccata, l’evento è indipendente dal precedente, e

quindi le probabilità sono le stesse.

Cosa accade alla probabilità condizionata nel caso di indipendenza tra

eventi? L’effetto risulta chiaro: se E ed E sono indipendenti, il fatto che E

1 2 2

si verifichi non condiziona in alcun modo il verificarsi di E e infatti, usando

1

la formula (8.1.6) e la definizione precedente, sempre se P (E ) > 0, abbiamo:

2

P (E E ) P (E )P (E )

1 2 1 2

|

P (E E ) = = = P (E ),

1 2 1

P (E ) P (E )

2 2

ossia il vincolo di condizionamento di un evento ad un altro evento indipen-

dente ne lascia uguale la probabilità.


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DESCRIZIONE DISPENSA

In questa dispensa di Matematica Finanziaria a cura di Arsen Palestini sono affrontati vari concetti:
- Introduzione alle operazioni finanziarie
- Leggi finanziarie intertemporali
- Rendite
- Ammortamenti e valutazione dei prestiti
- Criteri di scelta in condizioni di certezza
- Struttura per scadenza dei tassi d’interesse
- Principi di immunizzazione finanziaria
- Elementi di calcolo delle probabilità
- Introduzione alle opzioni finanziarie.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teemo92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica finanziaria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Palestini Arsen.

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