Dispensa di Matematica - Endomorfismi autoaggiunti

2. Endomorfismi autoaggiunti

Di particolare interesse risulta essere la seguente classe di endomorfismi (che proveremo in

seguito essere in particolare semplici). n

2.1. Definizione. Un endomorfismo di si dice autoaggiunto se

φ E

· = · ∀ ∈

φ(v) w v φ(w) v, w E.

Sappiamo da 1.12, Cap.VIII che autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono linear-

mente indipendenti. Per gli endomorfismi autoaggiunti vale una proprietà più forte:

n

2.2. Proposizione. Sia un endomorfismo autoaggiunto di e siano ∈ due suoi

φ E λ , λ R

1 2

autovalori distinti. Se ∈ , = 1, 2, sono due autovettori non nulli, allora sono ortogonali.

v V i v , v

i λ 1 2

i

Dimostrazione. Essendo autoaggiunto si ha ) · = · ). D’altra parte, poiché e

φ φ(v v v φ(v v v

1 2 1 2 1 2

sono autovettori: ) = per = 1, 2. Quindi l’ipotesi di autoaggiuntezza diventa

φ(v λ v i

i i i (λ ) · = · (λ ),

v v v v

1 1 2 1 2 2

da cui (v · ) = (v · ) ⇒ (λ − )(v · ) = 0

λ v λ v λ v .

R

1 1 2 2 1 2 2 1 1 2

Essendo gli autovalori distinti per ipotesi, ne segue che · = 0 , ovvero gli autovettori sono

v v R

1 2

ortogonali.

Proviamo ora una importante caratterizzazione dell’autoaggiuntezza in termini di matrici.

Ancora una volta le basi ortonormali giocano un ruolo centrale. Ricordiamo dalla definizione 1.15

n,n

del Cap. V che una matrice = (a ) ∈ si dice simmetrica se coincide con la sua trasposta

A R

ij

t = ovvero se per ogni gli elementi e coincidono.

A A, i, j, a a

ij ji

n n

2.3. Teorema. Siano ∈ ) e B una base ortonormale di . Allora

φ End(E E

B,B è simmetrica.

è autoaggiunto ⇐⇒

φ M φ

B,B e si denotino come al solito con e le colonne

Sia ponga = (a ) :=

Dimostrazione. X Y

A M

ij φ n

delle componenti rispetto a B di e rispettivamente, dove ∈ .

v w, v, w E

Dapprima osserviamo che, applicando opportunamente 1.9, si hanno le uguaglianze

t t t t t t t

· = (AX)Y = ( = e · = ) =

φ(v) w X A)Y X AY v φ(w) X(AY XAY.

n

“ ⇐ ” Se è simmetrica, allora · = · per ogni ∈ . Quindi è autoaggiunto.

A φ(v) w v φ(w), v, w E φ

“ ⇒ ” Viceversa, sia autoaggiunto; allora

φ t t t

=

X AY XAY

n

comunque scelti in . Allora si facciano variare nella base canonica E = (e ) di

X, Y , . . . , e

R n

1

n t t t t t

. Ad esempio, se = e = , allora = e = ; quindi = .

X e Y e X AY a XAY a a a

R 1 2 21 12 21 12

Analogamente si prova che, per ogni gli elementi e coincidono, cioè è simmetrica.

i, j, a a A

ij ji 121

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014

2.3.1. Esempio. La matrice

2 −1

=

A −1 3

2

è simmetrica; dunque l’endomorfismo di associato ad rispetto alla base canonica è autoag-

φ E A

giunto. Si può anche verificarlo direttamente: poiché = (2x − −x + 3y), si ha

φ((x, y)) y,

(a, · = − + + 3y) =

b) φ((x, y)) a(2x y) b(−x

= (2a − + (−a + 3b)y = · (x,

b)x φ((a, b)) y).

Invece la matrice

1 1

=

B −1 0

non è simmetrica; infatti non è autoaggiunto in quanto

φ

) · = (1, −1) · (0, 1) = −1 mentre · ) = (1, 0) · (1, 0) = 1.

φ(e e e φ(e

1 2 1 2

Enunciamo ora il teorema fondamentale relativo alle matrici simmetriche reali:

n,n

2.4. Teorema. Sia ∈ una matrice simmetrica; allora il suo polinomio caratteristico ha

A R

solo radici reali.

Dimostrazione. Sia una radice del polinomio caratteristico di Poiché potrebbe non essere

λ A. λ n

reale, dobbiamo interpretare come matrice associata ad un endomorfismo di ; quindi sia

A C

n n

: −→

φ C C

E,E n

= Sia ∈ un corrispondente autovettore non nullo, cioè = Se

definito da A. v φ(v) λv.

M C

φ

denotiamo come al solito con la matrice colonna delle componenti di possiamo scrivere tale

X v,

condizione in termini di matrici. Più precisamente, se = (x ), allora

v , . . . , x

n

1

x 

 1

.. e vale =

= AX λX.

X . 

 x

n = poiché

Prendendo i complessi coniugati dell’espressione precedente e tenendo conto che A A A

è reale, si ha x

 

1

.

..

= dove =

AX λ̄X, X .

 

x

n

t utilizzando le due uguaglianze precedenti, potrà essere cor-

Consideriamo ora lo scalare XAX:

rispondentemente scritto in due modi differenti:

t t t t

= = = (

XAX X(AX) X(λX) λ XX)

t t t t

t = ( = (AX)X = ( = (

XAX XA)X λ̄X)X λ̄ XX)

da cui, eguagliando, t

(λ − ( = 0.

λ̄) XX)

t .

D’altra parte, = + + · · · + è un numero reale positivo in quanto 6 = 0

XX x x x x x x v n

n n C

1 1 2 2

Pertanto = dunque è reale.

λ λ̄, λ

122 Capitolo IX - Endomorfismi autoaggiunti

2.4.1. Esempio. Il seguente esempio ha un triplice scopo:

- fornisce una dimostrazione “ad hoc” del teorema 2.4 nel caso di matrici 2 × 2;

- verifica in modo diretto la proposizione 2.2 (ancora nel caso = 2);

n

2 2

- mostra che un endomorfismo autoaggiunto di determina una base ortonormale di costituita

E E

da autovettori. Quest’ultimo fatto risulterà utile nella dimostrazione di 2.6.

2,2

Si consideri dunque la generica matrice simmetrica di R

a a

11 12

= .

A a a

12 22

Sia (T ) = det(A − il suo polinomio caratteristico; dunque

p T I)

A −

a T a

11 12 2 212

= − (a + )T + − (∗)

(T ) = T a a a a .

p A 11 22 11 22

−

a a T

12 22

Quindi il discriminante di (T ) è dato da

p A 2 212 2 212

∆ = (a + ) − 4(a − ) = (a − ) + 4a ≥ 0,

a a a a

11 22 11 22 11 22

in quanto somma di due quadrati. Quindi le radici di (T ) sono reali.

λ , λ p A

1 2

Dimostriamo infine che è diagonalizzabile con una matrice ortogonale . A tale scopo conside-

A P E,E

2 ,

riamo l’endomorfismo di associato ad rispetto alla base canonica E. Poiché =

φ E A A M φ

possiamo considerare gli autospazi di associati a e .

φ λ λ

1 2

Se ∆ = 0, allora = e = 0, cioè la matrice è già diagonale e quindi è diagonalizzabile

a a a A

11 22 12

con la matrice ortogonale = . C’è un solo autovalore = = , di molteplicità 2, e il

P I λ a a

2 1 11 22

2

corrispondente autospazio è = .

V E

λ

1

Se ∆ 0, allora le radici 6 = hanno corrispondenti autospazi (entrambi di dimensione uno)

> λ λ

1 2

e . Da 2.2 segue che due loro vettori non nulli ∈ = 1, = 1, 2, sono ortogonali.

V V v V i

λ λ i λ

i

1 2

Quindi la matrice diagonalizzante , le cui colonne sono gli autovettori normalizzati

P v

v 2

1 , ,

k k k k

v v

1 2

è ortogonale per costruzione. Osserviamo che la matrice ortogonale può essere scelta speciale,

P

semplicemente scambiando l’ordine di e e dunque di e .

λ λ v v

1 2 1 2

Nella pratica, per determinare la matrice ortogonale (o equivalentemente una base ortonor-

P

2

male di costituita da autovettori), si procede come segue. Si osserva dapprima che ogni au-

E

tospazio è dato dalle soluzioni del sistema omogeneo associato alla matrice

V

λ

i

−

a λ a

i

11 12

− = = 1, 2.

A λ I , i

i −

a a λ

i

12 22

Poiché, come detto sopra, dim(V ) = 1, il sistema precedente equivale ad una sola equazione: ad

λ

i

esempio, = {(x, | (a − )x + = 0} = L((−a − )) = L(v ), con = 1, 2, dove

V y) λ a y , a λ i

λ i i i

11 12 12 11

i

si sono posti := (−a − ) e := (−a − ).

v , a λ v , a λ

1 12 11 1 2 12 11 2

Si può mostrare esplicitamente che e sono ortogonali. Infatti il loro prodotto scalare è

v v

1 2

212 211

· = + − (λ + )a +

v v a a λ λ λ .

1 2 1 2 11 1 2 212 .

D’altra parte, dall’espressione (∗) di (T ) segue che + = + e = −

p λ λ a a λ λ a a a

A 1 2 11 22 1 2 11 22

Sostituendo nella precedente uguaglianza si ottiene · = 0.

v v

1 2 123

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014

2.4.2. Esempio. Consideriamo la matrice simmetrica dell’esempio 2.3.1:

2 −1

= .

A −1 3

Il suo polinomio caratteristico (T ) = det(A − è esplicitamente calcolato essere

p T I)

A 2

(T ) = − 5T + 5

p T

A √

12 (5 ±

e quindi le sue radici sono chiaramente reali: = 5).

λ

±

I corrispondenti autospazi sono dati dalle soluzioni dei sistemi omogeneo associati alle matrici

V

± √

1

5) −1

(−1 ∓ √

2

− = .

A λ I

± 1 5)

(1 ±

−1 2

Come prima, dim(V ) = 1, e quindi questo sistema equivale ad una sola equazione: ad esempio,

√ √

√ ±

5) = L(v ). Qui := (−2, 1 + 5) e := (−2, 1 − 5). Esplicitamente,

= L((−2, 1 ± v v

V ± −

± + · = 4 − 4 = 0

v v

−

+

ovvero gli autospazi sono ortogonali.

E’ infine chiaro che i vettori v v

−

+

:= :=

u , u

1 2

k k k k

v v

−

+

costituiscono una base ortonormale di autovettori.

Possiamo ora enunciare il teorema fondamentale del capitolo (noto anche come Teorema spet-

trale) nelle sue due formulazioni: per endomorfismi autoaggiunti (2.6) e per matrici simmetriche

(2.7). Per fare questo, abbiamo bisogno di un’avvertenza e di una definizione. n

Nota. Finora abbiamo studiato endomorfismi dello spazio vettoriale euclideo . Tutta la teoria

E

può essere naturalmente formulata per un qualunque vettoriale dotato di prodotto scalare,

R–spazio

n

nozione introdotta nel Cap. IV, di cui lo spazio è un caso particolare. Anche nell’ambito più

E

generale valgono le stesse definizioni e gli stessi risultati. Ne avremo bisogno per il teorema 2.6.

2.5. Definizione. Sia : −→ un endomorfismo di un vettoriale e sia ⊂ un

φ V V Ṽ V

R–spazio

suo sottospazio vettoriale. Se l’immagine di tramite è contenuta in (in simboli: ) ⊆ ),

Ṽ φ Ṽ φ( Ṽ Ṽ

allora è definito l’endomorfismo (in quanto è un’applicazione ovviamente lineare)

: −→ data da (v) := ∀v ∈

φ Ṽ Ṽ φ φ(v), Ṽ .

|V

| Ṽ

In altre parole, ha la stessa legge di ma diverso dominio e codominio. Tale endomorfismo

φ φ,

| Ṽ

di si dice restrizione di a .

Ṽ φ Ṽ

2.6. Teorema spettrale (per endomorfismi). Se (V, ·) è un vettoriale dotato di

R–spazio

prodotto scalare e ∈ ) allora

φ End(V

è autoaggiunto ⇐⇒ esiste una base ortonormale di costituita da autovettori.

φ V

124 Capitolo IX - Endomorfismi autoaggiunti C,C è diagonale e in

Dimostrazione. “ ⇐ ” Sia C una base ortonormale di autovettori; allora M φ

particolare è simmetrica. Quindi è autoaggiunto per 2.3.

φ

“ ⇒ ” Proviamo questa implicazione per induzione su = dim(V ).

n

Se = 2 il risultato è nell’esempio 2.4.1.

n

Supponiamo ora di sapere che l’implicazione vale per ogni spazio vettoriale con prodotto scalare

avente dimensione − 1 e proviamola per (V, ·) di dimensione

n n.

Sia dunque un endomorfismo autoaggiunto di . Se B è una qualunque base ortonormale di

φ V B,B è simmetrica; pertanto il polinomio

(che esiste per 1.22, Cap. IV), allora, per 2.3, =

V A M φ

caratteristico di ha solo radici reali per 2.4. Sia un tale autovalore di e un corrispondente

A λ φ v

1

autovettore che possiamo supporre di norma uno. ⊥

Consideriamo il sottospazio ortogonale della retta vettoriale generata da , cioè := (L(v )) .

v Ṽ

1 1

Per poter definire la restrizione di a (secondo 2.5) dobbiamo verificare che ) ⊆ cioè che

φ Ṽ φ( Ṽ Ṽ

per ogni ∈ si abbia ∈ .

v Ṽ φ(v) Ṽ

⊥

Tenendo conto che := (L(v )) , si tratta di provare che · = 0 ⇒ · = 0; ma questo

Ṽ v v φ(v) v

1 1 1

segue dall’ipotesi che sia autoaggiunto e che sia un autovettore associato a infatti

φ v λ:

1

· = · ) = · (λv ) = (v · ) = 0.

φ(v) v v φ(v v λ v

1 1 1 1

Quindi si restringe ad un endomorfismo : → , che ovviamente è ancora autoaggiunto.

φ φ Ṽ Ṽ

| Ṽ

Inoltre dim( ) = − 1, dunque ad esso si può applicare l’ipotesi induttiva: esistono − 1 vettori

Ṽ n n

(v ) che sono una base ortonormale di e sono autovettori di .

, . . . , v Ṽ φ

n

2 | Ṽ

Poiché è definita come è evidente che (v ) sono anche autovettori di inoltre sono

φ φ, , . . . , v φ;

n

2

| Ṽ

ortogonali a in quanto appartengono a . Abbiamo quindi provato che i vettori (v )

v Ṽ , v , . . . , v

n

1 1 2

sono un insieme ortonormale costituito da autovettori di Infine, essendo in numero di =

φ. n

dim(V ), costituiscono una base di e ciò prova la tesi.

V

n,n

2.7. Teorema spettrale (per matrici). Sia ∈ una matrice simmetrica; allora esiste una

A R

t

matrice ortogonale tale che è diagonale, ovvero le matrici simmetriche sono diagonalizzabili

P P AP

mediante matrici ortogonali. E,E n n

Consideriamo l’endomorfismo = : −→ , che è autoaggiunto per

Dimostrazione. φ f E E

A n

2.3, essendo simmetrica ed E base ortonormale. Per 2.6 esiste una base ortonormale C di

A E

C,C è diagonale. Inoltre, per 8.6, Cap. VII:

costituita da autovettori e quindi M φ E,E

C,C C,E

E,C

= M .

M M

M φ

φ

E,E C,E −1

Poiché = posta := si ha che è diagonale. Ma la matrice ha per colonne

M A, P M P AP P

φ

le componenti dei vettori di C che è una base ortonormale, dunque è una matrice ortogonale.

2.8. Osservazione. Nella dimostrazione precedente, la matrice ortogonale può essere scelta

P

speciale, semplicemente scambiando tra loro due qualsiasi delle sue colonne.

4

2.8.1. Esempio. Sia ∈ ) definito da = (x + + −z + −

φ End(R φ((x, y, z, t)) y, x y, t, z t).

4

La matrice associata a rispetto alla base canonica E di è chiaramente:

φ R

1 1 0 0 

 1 1 0 0

E,E = .

M 



φ 0 0 −1 1 

 0 0 1 −1 125

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014