Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

2

Inizialmente, l’ambiente in cui lavoreremo sarà il piano affine euclideo , cioè il piano affine

E

2

associato al piano euclideo reale E . Nella maggior parte del nostro studio, non utilizzerermo però

la struttura euclidea data dal prodotto scalare, quindi in realtà opereremo semplicemente nel piano

2

affine (R); successivamente avremo bisogno anche di coordinate complesse, quindi “amplieremo”

A 2 2 2

il nostro ambiente ad (C): è intuitivamente chiaro che dall’inclusione canonica ֒→ , segue

A R C

l’inclusione dei piani affini 2 2

(R) ֒→ (C).

A A 2

Si dice il luogo dei punti di aventi coordinate (x, y) che soddisfano

conica E

2.1. Definizione.

una equazione polinomiale di secondo grado a coefficienti reali in due variabili, cioè una equazione

del tipo: 2 2

a x + 2 a xy + a y + 2 a x + 2 a y + a = 0 (4)

11 12 22 13 23 33

dove a ∈ La denominazione dei coefficienti (con due indici) come pure il fattore 2 nei coefficienti

R.

ij

di alcuni monomi sono dovuti a motivi pratici, chiariti in seguito.

2.2. Osservazione.

a) Le coniche del paragrafo precedente sono casi particolari della equazione generale (4); ad

esempio l’equazione per una parabola si ottiene per

a = 1, a = −2p, a = a = a = a = 0.

11 23 12 22 13 33

Si osservi che in tutte le equazioni per una parabola, un’ellisse o un’iperbole studiate nel

paragrafo precedente, il coefficiente a del monomio xy è nullo.

12

b) Non ogni equazione del tipo (4) descrive uno dei luoghi geometrici precedentemente definiti

2 2

(cioè è una parabola, un’ellisse o un’iperbole). Infatti, ad esempio, il polinomio x − y si

2 2

fattorizza nel prodotto (x + y)(x − y) e quindi la conica di equazione x − y = 0 risulta essere

l’unione delle due rette di equazione x + y = 0 e x − y = 0.

Più in generale, ogni equazione di secondo grado del tipo

′ ′ ′

(ax + by + c)(a x + b y + c ) = 0

rappresenta l’unione di due rette. Tali rette non sempre sono reali. Ad esempio si consideri

2 2 2 2

l’equazione x + y = 0. In (R) tale equazione ha la sola soluzione (0, 0), mentre in (C),

A A

2 2

poiché x + y = (x + iy)(x − iy), corrisponde all’unione delle due rette complesse e coniugate

x + iy = 0 e x − iy = 0.

Una conica si dice se è unione di due rette (che possono essere reali e

degenere

2.3. Definizione.

distinte, reali e coincidenti, complesse e coniugate).

Nel seguito utilizzeremo ampiamente una scrittura più sintetica della equazione (4) in termini

3,3

di matrici. Si osservi infatti che, denotando con B la matrice simmetrica di definita da

R

 a a a

11 12 13

a a a

B := 12 22 23 

 a a a

13 23 33 175

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014

si ha    

a a a x

11 12 13 2 2

a a a

( x y 1 ) y = a x + 2 a xy + a y + 2 a x + 2 a y + a .

12 22 23 11 12 22 13 23 33

   

a a a 1

13 23 33

Quindi l’equazione (4) di una conica C diventa:  

x = 0. (5)

( x y 1) B y

 

1

Si osservi che la parte omogenea di secondo grado del polinomio che definisce la conica C, cioè

2 2

F (x, y) := a x + 2 a xy + a y

11 12 22

C

è esprimibile anch’essa in termini di una matrice simmetrica:

a a x

11 12

2 2

a x + 2 a xy + a y = ( x y ) .

11 12 22 a a y

12 22

Cioè, posta

a a

11 12

A := a a

12 22

si può scrivere:

x .

F (x, y) = ( x y ) A

C y

Tale F è un esempio di forma quadratica, detta della conica C.

forma quadratica

C Sia C una conica di equazione

2.4. Definizione. 2 2

a x + 2 a xy + a y + 2 a x + 2 a y + a = 0.

11 12 22 13 23 33

Le matrici  

a a a

11 12 13

a a

11 12

a a a

B := e A :=

12 22 23

  a a

12 22

a a a

13 23 33

sono dette, rispettivamente, e di C.

matrice dei coefficienti matrice della forma quadratica

2

Le matrici associate alla parabola y = 3x sono:

2.4.1. Esempio.  

3 0 0

3 0 .

B := 0 0 −1/2 e A :=

  0 0

0 −1/2 0

Si noti che i 6 coefficienti a che compaiono in (4) individuano una conica,

2.5. Osservazione. ij

ma non viceversa; infatti per ogni k ∈ \ {0}, l’equazione

R

2 2

ka x + 2 ka xy + ka y + 2 ka x + 2 ka y + ka = 0

11 12 22 13 23 33

176 Capitolo XII - Coniche

definisce lo stesso luogo di punti del piano, cioè la stessa conica. Pertanto ogni conica è individuata

1 1

da ∞ equazioni o, più precisamente, da ∞ sestuple di coefficienti, tutte tra loro proporzionali.

3. Forma canonica di una conica: traslazioni

Una domanda naturale che ci si pone è la seguente: Data una conica non degenere in forma

generale esiste un sistema di riferimento del piano affine in cui tale conica assume una forma

particolarmente semplice, cioè una forma “simile” a quelle di (⋆)?

Si dice di una conica non degenere C una sua equazione in un

forma canonica

3.1. Definizione.

sistema di riferimento (O; x, y) che è di una delle seguenti forme:

2 2

i) x = 2py ii) y = 2px (P )

una tale conica viene detta parabola;

2 2 2 2

x y x y

i) + =1 ii) + = −1 (E)

2 2 2 2

a b a b

una tale conica viene detta nel caso E.i); nel caso E.ii);

ellisse reale, ellisse immaginaria

2 2 2

2 y x y

x − =1 ii) − = −1 (I)

i) 2 2 2 2

a b a b

una tale conica viene detta iperbole.

Risponderemo alla domanda iniziale in due passi successivi: dapprima ci limiteremo a coniche

nella cui equazione non appare il monomio xy, cioè tali a = 0; vedremo che il sistema di riferi-

12

mento cercato è ottenibile mediante traslazione.

In seguito vedremo che, data una conica in forma generale, il riferimento in cui si annulla il

coefficiente del monomio xy si otterrà mediante una rotazione. La procedura completa per ottenere

una forma canonica di una conica risulterà essere, quindi, la composizione di una rotazione e di

una traslazione del piano. Una tale operazione viene quindi chiamata del piano.

rototraslazione

2

Sia Γ : y = 2x una parabola in forma canonica; vediamo come varia l’equazione

3.1.1. Esempio.

di Γ se operiamo la traslazione del piano x = X + a .

T :

(a,b) y = Y + b

Con una sostituzione si ottiene l’equazione di Γ in (O ; X, Y ):

2 2

Y = 2X + 4aX + 2a − b. 177

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014

2 2

Sia Γ : x + 2y = 1 un’ellisse in forma canonica; con la traslazione T

3.1.2. Esempio. (a,b)

dell’esempio precedente, l’equazione di Γ diventa:

2 2 2 2

X + 2Y + 2aX + 4bY + a + 2b − 1 = 0.

Si osservi che attraverso la traslazione T le coniche Γ e Γ passano dalla forma canonica

(a,b)

ad una nuova forma nella quale il coefficiente a è ancora zero. Vediamo ora il viceversa, cioè

12

proviamo che se una conica ha una equazione priva del monomio xy, la si può ridurre a forma

canonica operando una traslazione. Sia C una conica non degenere avente

3.2. Metodo del completamento dei quadrati.

equazione, in un riferimento cartesiano (O; x, y),

2 2

a x + a y + 2 a x + 2 a y + a = 0. (6)

11 22 13 23 33

Si possono presentare due casi: o entrambi i coefficienti a e a sono non nulli oppure uno dei

11 22

due è nullo. (il caso a 6 = 0, a = 0 è del tutto analogo).

I. Caso a = 0, a 6 = 0 11 22

11 22

L’equazione (6) diventa dunque: 2

a y + 2 a y + a + 2 a x = 0. (6.P )

22 23 33 13

Poiché #

" 2 2 2 2

a a

a a

a

23 23

23

23 23

2

2 y + 2 y +

a y + 2 a y = a = a

y = a − −

y +

22 23 22 22

22

a a a a a

22 22 22 22 22

l’equazione (6.P ) diventa: 2 2

a

a

23 23 ′

+ a + 2 a x = 0. (6.P )

y +

a 33 13

22 a a

22 22 ′

Poiché si suppone C non degenere, allora a 6 = 0 e quindi l’equazione (6.P ) della conica si può

13

scrivere come: 2 223

a a a − a

23 33 22

y + x +

a + 2 a =0

22 13

a 2 a a

22 22 13

da cui 2 223

2 a a a − a

a 13 33 22

23 = − x + .

y + a a 2 a a

22 22 22 13

Quindi con la traslazione 223

a a − a

 33 22

X = x +

 2 a a

22 13

a

23

Y = y +

 a

22

e ponendo p = −a /a , si ottiene la forma canonica:

13 22 2

Y = 2 p X. (P.ii)

178 Capitolo XII - Coniche

Se non richiediamo alla conica in questione di essere non degenere, dobbiamo esaminare anche il

caso a = 0; in questo caso l’equazione (6.P ) diventa:

13 2 2

− a a

a

a 33 22

23 23

=

y + 2

a a

22 22

cioè, con la traslazione X = x

 a

23

Y = y +

 a

22

assume la forma 2

Y = q. (P.iii)

II. Caso a 6 = 0, a 6 = 0.

11 22

Come operato nel caso precedente: 2 2

a

a

13 13

2 −

a x + 2 a x = a x +

11 13 11 a a

11 11

e, analogamente: 2 223

a

a

23

2 .

y +

y + 2 a y = a

a

22 23 22 a a

22 22

Pertanto l’equazione (6) diventa: 2 2 2 2

a a a a

13 23 13 23 ′

x +

a y +

+ a + a − − = 0. (6 )

11 22 33

a a a a

11 22 11 22

Se si opera dunque la traslazione di equazioni: a

 13

X = x +

 a

 11

a

23

Y = y +

 a

22

213 223

a a

ponendo h = −a + + , nel sistema di riferimento (O; X, Y ) la conica C ha equazione:

33 a a

11 22 2 2 ′′

a X + a Y = h. (6 )

11 22

Si presentano ora due casi: o a e a sono concordi oppure sono discordi. Ovviamente, a meno di

11 22

un cambio di segno dell’equazione precedente, si può supporre a > 0. Poiché C è non degenere,

11

deve essere h 6 = 0. Per completezza, esamineremo anche il caso h = 0.

II.a) Caso a > 0, a > 0.

11 22 ′′

(◦) h > 0: in tal caso l’equazione (6 ) diventa:

a a

11 22

2 2

X + Y = 1.

h h 2 2

Poiché a /h > 0 e a /h > 0, poniamo a /h = 1/a e a /h = 1/b per opportuni a, b ∈ R;

11 22 11 22

quindi l’equazione di C diventa 2

2 X

X + = 1. (E.i)

2 2

a b 179

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014

(◦) h < 0: in tal caso, dividendo ambo i membri per −h, visto che −a /h > 0 e −a /h > 0, si

11 22

2 2 ′′

pone −a /h = 1/a e −a /h = 1/b per opportuni a, b ∈ quindi l’equazione (6 ) diventa

R;

11 22 2

2 Y

X + = −1. (E.ii)

2 2

a b

2 2

(◦) h = 0: in tal caso, ponendo a = 1/a e a = 1/b per opportuni a, b ∈ si ottiene

R

11 22

l’equazione 2

2 Y

X + = 0. (E.iii)

2 2

a b

II.b) Caso a > 0, a < 0.

11 22 ′′

(◦) h > 0: in tal caso l’equazione (6 ) diventa:

a a

11 22

2 2

X + Y = 1.

h h 2 2

Poiché a /h > 0 e a /h < 0, posti a /h = 1/a e a /h = −1/b per opportuni a, b ∈ R,

11 22 11 22

l’equazione di C diventa 2

2 X

X − = 1. (I.i)

2 2

a b

(◦) h < 0: in tal caso, dividendo ambo i membri per −h, visto che −a /h > 0 e −a /h < 0,

11 22

2 2 ′′

si può porre −a /h = 1/a e a /h = 1/b per opportuni a, b ∈ quindi l’equazione (6 )

R;

11 22

diventa 2

2 Y

X − = −1. (I.ii)

2 2

a b

2 2

(◦) h = 0: in tal caso, ponendo a = 1/a e a = −1/b per opportuni a, b ∈ si ottiene

R

11 22

l’equazione 2

2 Y

X − = 0. (I.iii)

2 2

a b

Nella discussione precedente abbiamo incontrato equazioni di coniche degeneri, simili a quelle

delle forme canoniche di parabola, ellisse, iperbole. E’ naturale, dare la seguente

Si dice di una conica degenere una delle seguenti equazioni:

forma canonica

3.3. Definizione. 2 2

x = q o y = q (P.iii)

2

2 y

x + =0 (E.iii)

2 2

a b 2

2 y

x − =0 (I.iii)

2 2

a b

I nomi (P.iii), (E.iii), (I.iii) dati nella definizione precedente si riferiscono al fatto che le cor-

risponenti equazioni si sono ottenute in 3.2 come casi particolari di parabole, ellissi, iperboli,

rispettivamente.

180 Capitolo XII - Coniche

La conica C di equazione

3.4. Osservazione. 2 2

x = q (o analogamente y = q) (P.iii)

√ q. Se q > 0, tali rette sono reali e distinte, se q < 0

è l’unione delle rette parallele all’asse y: x = ±

tali rette sono complesse e coniugate; infine se q = 0 la conica C risulta essere l’asse y “contato

due volte”.

L’equazione 2

2 y

x + =0 (E.iii)

2 2

a b

è soddisfatta da un solo punto a coordinate reali: l’origine (0, 0); mentre nel piano affine complesso

2 (C) tale conica risulta essere l’unione di due rette complesse e coniugate, in quanto si può operare

A

la seguente fattorizzazione di polinomi (in y]):

C[x,

2 2

x x

y y

y x

.

+ i − i

+ =

2 2

a b a b a b

Infine l’equazione 2 2

x y

− =0 (I.iii)

2 2

a b

corrisponde all’unione di due rette reali e distinte, in quanto si può operare la seguente fattoriz-

zazione di polinomi (in y]):

R[x, 2

2 x

y y

y x

x

.

+ −

− =

2 2

a b a b a b

Riassumendo, il Metodo 3.2 prova dunque il seguente

Sia C una conica (degenere o non degenere) la cui equazione sia priva del monomio

3.5. Teorema. ′

xy in un sistema di riferimento (O; x, y). Allora esiste un sistema di riferimento (O ; X, Y ), ottenuto

dal precedente mediante traslazione, in cui C ha un’equazione in forma canonica.

Sia C la conica di equazione

3.5.1. Esempio. 2 2

C : x + 4y + 2x − 12y + 3 = 0.

Vogliamo determinare un riferimento (O ; X, Y ) in cui C ammette una forma canonica e l’equazione

della corrispondente traslazione.

Applicando il metodo del completamento dei quadrati, poiché 2

3

2 2 2

x + 2x = (x + 1) − 1 , 4y − 12y = 4 y − − 9

2

si ha: 2

3

2 2 2 − 7.

x + 4y + 2x − 12y + 3 = (x + 1) + 4 y − 2

Pertanto, operando la traslazione: X = x +1

32

Y = y −

l’equazione di C diventa 2

2 Y

X

2 2 + = 1;

X + 4Y = 7 ⇒ 7 7/4 √

7, 7/2.

ovvero una ellisse di centro (−1, 3/2), assi le rette x = −1 e y = 3/2 e semiassi 181

Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria, 7.1.2014


PAGINE

17

PESO

143.03 KB

AUTORE

Teemo92

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Esame: Algebra
Corso di laurea: Matematica
SSD:
Università: Trieste - Units
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teemo92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Trieste - Units o del prof Brundu Michela.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Algebra

Dispensa di Matematica - Endomorfismi autoaggiunti
Dispensa
Dispensa di Matematica - Geometria lineare affine
Dispensa
Dispensa di Matematica - Sistemi lineari
Dispensa
Dispensa di Matematica - Strutture algebriche elementari
Dispensa