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funzione approssimante. Abbiamo già accennato ai vincoli interpolatori con i quali si

impone che in alcuni punti i valori della funzione approssimante e, più in generale, di certe

sue derivate, coincidano con quelli della funzione data. Un secondo tipo di condizioni sono

date dai vincoli variazionali con i quali si impone che la funzione approssimante sia la più

prossima alla funzione data in qualche norma atta a valutare la distanza tra due funzioni.

Tra le varie norme possibili, consideriamo la norma lagrangiana:

− = −

f g sup f(x) g(x)

∞ x a,b

e la norma hilbertiana: b

− = − 2 .

f g (f(x) g(x)) dx

2 a

La norma hilbertiana è particolarmente adatta a misurare la distanza tra funzioni

discontinue. Nelle seguenti figure si vede che la distanza tra la funzione g(x) e la funzione

(discontinua) f(x) è 1 in norma lagrangiana mentre è molto piccola in norma hilbertiana

f(x)

1 g(x)

o -1

1 1 2

g(x)-f(x) |g(x)-f(x)|

o o

-1

Si osservi che, nell'esempio proposto, nessuna funzione continua può avere distanza

lagrangiana da f(x) minore di 1. In particolare la funzione nulla approssima la f(x) con lo

stesso errore della g(x), il che non è ragionevole. Ciò rende la distanza lagrangiana

inappropriata all'esempio considerato, mentre la distanza hilbertiana consente delle stime

più sensate.

Una terza classe di norme, dette sono del tipo:

norme hilbertiane discrete

m

= 2

f(x) w f(x )

i i

2,d =

i 1 125

e, come vedremo, consentono di individuare un legame tra i metodi variazionali e quelli

interpolatori.

Abbiamo già accennato al fatto che per ogni funzione f(x) esiste un polinomio di

grado n di minima distanza lagrangiana da f(x). Estendiamo questo risultato al caso dei

polinomi generalizzati ed al caso di una generica norma || f ||.

. F F

Teorema della miglior approssimazione Sia uno spazio lineare normato e un

n

n s ,...,s . f F,

sottospazio di dimensione generato dalla base Per ogni elemento esiste

1 n

s*= a s +...+a s F , f F ,

un elemento di minima distanza da tra tutti quelli di cioè tale

1 1 n n n n

≤ ∀ ∈

||f-s*|| ||f-s|| s F .

che n

Dim. Sia s' un elemento qualunque di F e sia B la palla di centro f e raggio r=||f-s'||.

n

F F n

B . s'

.

f. A

r=||f-s'||

L'nsieme A:= B F è limitato e chiuso, inquanto intersezione di chiusi. Essendo

n ϕ

inoltre incluso in un sottospazio a dimensione finita, risulta compatto. La funzione

→ ∪{ }

R+

(s)=||f-s||: F 0 è una funzione continua e quindi ammette un punto diminimo

F ha distanza da f maggiore di ||f-s*|| e

s* nel compatto A. Ogni altro punto di n F .

quindi s* è l'elemento di minimo scarto da f in tutto n

Ricordiamo infine che la norma hilbertiana è dedotta dal prodotto scalare:

b

=

f | g f(x)g(x)dx

a

il quale dà luogo alla nozione di ortogonalità tra funzioni. Analogamente a quanto visto nel

n , ciò consentirà di risolvere in modo relativamente facile il problema

caso degli spazi R

della ricerca dell'elemento di minima distanza.

126

2. M .

ETODI INTERPOLATORI

Interpolazione di Lagrange. Δ {

Data una funzione f(x) definita in un intervallo [a,b] ed un insieme di nodi = x <

n 0

}

<...<x in [a,b], si definisce il polinomio p (x)

polinomio d'interpolazione di Lagrange

x

1 n n

π

∈ che soddisfa le condizioni d'interpolazione:

n p (x )=f(x ) i=0,1,...,n.

n i i Δ

Tale polinomio esiste ed è unico per ogni insieme di nodi (tra loro distinti) e per ogni

n

(x) in :

forma canonica

funzione f(x). Infatti, esprimendo p

n n

p (x )= a + a x+...+a x ,

n i 0 1 n

le condizioni di interpolazione si traducono nel seguente sistema lineare nelle incognite

a ,a ...,a :

0 1 n n0

a + a x +...+a x =f(x )

0 1 0 n 0

n1

a + a x +...+a x =f(x )

0 1 1 n 1

...... nn

a + a x +...+a x =f(x ).

0 1 n n n , è:

determinante di Vandermonde

Il determinante della matrice del sistema, detto

n

1 x .. x

0 0

1n

1 x .. x

1

V( x , x ,...,x )=

0 1 n .. .. .. ..

n

1 x .. x

n n

ed è non nullo per ogni insieme di nodi distinti. Il sistema ammette quindi una ed una sola

soluzione.

A volte sarà conveniente indicare con L (f,x) l'operatore che associa alla funzione

Δ n

Δ . Per l'unicità dell'interpolazione (o, se si

f(x) il suo polinomio d'interpolazione sui nodi n

127 Δ

), è chiaro che per ogni e per ogni

principio di identità dei polinomi

preferisce, per il n

π

∈ si ha:

polinomio q

n n (q ,x)=q (x)

L

Δ n n

n

Sul piano pratico non conviene rappresentare il polinomio d'interpolazione nella

l (x):

coefficienti di Lagrange

forma canonica, ma attraverso i seguenti i

− − − − − −

x x

n (x x )(x x )...(x x )(x x )...(x x ) π

∏ ∈

+

j

l n

0 1 i-1 i 1

=

(x) = n

− − − − −

i (x x )(x x )...(x x )(x x )...(x x )

x x

= +

j 0 n

0 1

i i i i-1 i i 1 i

i j

j i

per i quali si ha: ≠

0 per i j

δ

l ⎨

(x )= =

j i,j =

i ⎩ 1 per i j

Si osservi che essi dipendono esclusivamente dai nodi e sono tutti polinomi di grado n.

Il polinomio d'interpolazione assume quindi la forma:

n

∑ l

(f,x)=

L (x)

f(x )

Δ n i i

i=0 (f,x) è lineare rispetto ad f. Il polinomio

dalla quale appare evidente che l'operatore L Δ n .

polinomio di Lagrange

d'interpolazione scritto in questa forma lo chiameremo

.

Errore dell'interpolazione di Lagrange

Per dare una valutazione puntuale dell'errore di interpolazione f(x)-p (x)

n

∈ Δ

[a,b], diverso dai nodi , e con esso costruiamo la funzione:

consideriamo un punto x n

w(x) ( )

g(x) =f(x) - p (x) - f(x) - p (x)

n n

w(x)

dove ⋅ ⋅

)(x-x ) ... (x-x ).

w(x)=(x-x

0 1 n n+1

Supponiamo che la funzione f(x) , e quindi la g(x), sia di classe C [a,b]. Poichè

, la sua derivata g'(x) si annulla in almeno

g(x) si annulla su n+2 punti, i nodi ed il punto x

n+1 punti interni all'intervallo [a,b]. Così la derivata seconda g''(x) si annulla in almeno n

128

(n+1) (x) si annulla in almeno un punto interno di

punti e, così proseguendo, la derivata g

ξ tale punto, che risulta dipendere da , per esso si ha:

[a,b]. Detto x

(n +1)!

(n+1) (n+1)

ξ ξ ( )

g ( ) = f ( ) - f(x) - p (x) = 0.

n

w(x)

∀ ∉Δ

e quindi x n ξ)

(n+1)

f w( x)

(

f(x) - p (x) = .

n (n +1)!

Poichè sui nodi il polinomio w(x) si annulla, la precedente stima puntuale è valida per ogni

ξ in funzione di , la formula può essere

punto di [a,b]. Non conoscendo il valore x

(n+1) (x) su tutto [a,b] :

utilizzata solo maggiorando f |

(n+1)

f w( x)|

- p (x) |

|f(x) n (n + 1)!

Da quest'ultima si può infine ricavare la stima uniforme:

(n+1)

f w ∞

|| . (5.1)

|| f - p ∞

n (n + 1)!

Si osservi che la stima dell'errore dipende da due fattori indipendenti tra loro. Il primo,

n+1 ∞

|| , dipende soltanto dalla regolarità della funzione f(x); il secondo ||w|| , dipende

||f ∞ è data da

solo dai nodi. E' facile vedere che una maggiorazione brutale del termine ||w|| ∞ {

n+1

, dove h è la massima distanza tra due punti consecutivi dell'insieme a,x ,

(n+1)!h 0

}

,...,x ,b . Vale allora la stima:

x

1 n ≤ n+1 n+1

|| || ||f || h (5.2)

f - p ∞

n

Se, in particolare, x =a e x =b, cioè se ci limitiamo a dare una stima dell'errore all'interno

0 n allora il termine ||w|| = max |w(x)| può essere

dei nodi di interpolazione, [x ,x ] [x ,x ]

0 n 0 n

1 n+1

(n!)h , dove h=max (x -x ). In questo caso vale la seguente

maggiorato con 1≤i≤n i i-1

4

maggiorazione: (n+1) n+1

f h

[x ,x ]

≤ n

|| || (5.3)

0

f - p [x ,x ]

n 0 n 4(n +1)

. 129

Se i nodi sono equidistanti, le precedenti stime di ||w|| sono le migliori possibili e

quindi (5.2) e (5.3) sono ottimali per maggiorare l'errore di interpolazione. A differenza di

quello che si potrebbe pensare, la distribuzione di nodi equidistanti non è però la migliore

è

nell'interpolazione con polinomi algebrici. Vedremo infatti che il termine ||w|| ∞

minimizzato se i nodi sono gli zeri dei polinomi di Chebyshev relativi all'intervallo [a,b]. E'

dove, al

fenomeno di Runge

tipico della interpolazione su nodi equidistanti il seguente

crescere di n, i polinomi interpolanti aumentano l'oscillazione.

1

Nelle seguenti figure si interpola la funzione f(x)= su 7 e 15 nodi equidistanti

+ 2

1 x

(linea tratteggiata) e di Chebyshev (linea punteggiata).

Polinomi di Chebyshev.

Per ogni numero naturale n si definisce la

polinomio di Chebyshev di grado n

seguente funzione definita in [-1,1]:

T (x) = cos(n arccos(x)).

n π

∀ ∈

Osserviamo innanzitutto che n, T (x) . Per le note formule sulla somma del coseno

n n

si ha: + −

⎛ ⎛

⎞ ⎞

a b a b

⎜ ⎜

⎟ ⎟

cos .

cos(a) + cos(b) = 2 cos ⎝ ⎝

⎠ ⎠

2 2

le quali, attraverso il cambio di variabile 130

ϕ ≤ ≤

=arccos(x) -1 x 1,

forniscono: ϕ ϕ ϕ ϕ

cos((n+1) ) + cos((n-1) ) = 2 cos(n ) cos( )

e quindi: T (x) + T (x) = 2T (x) x.

n+1 n-1 n

Si ottiene così la a tre termini:

relazione ricorsiva

T (x) = 2 x T (x) - T (x) n=1,2...

n+1 n n-1 π

Poichè T (x)=1 e T (x)=x, si vede facilmente che T (x) per ogni n, ed inoltre il

0 1 n n

n-1

di T (x) é k =2 .

coefficiente principale n n

Il polinomio T (x) è ovviamente definito su tutto R, ma soltanto in [-1,1] coincide con la

n

funzione cos(n arccos(x)).

Verifichiamo ora che, per ogni n, T (x) ammette n radici reali e distinte in (-1,1).

n π ∈

z = (2k-1) con k Z, la funzione cos(n arccos(x)) si

Poichè il coseno si annulla sui punti k 2

x tali che n arccos( x )= z . Quindi, restringendoci ai valori

annullerà sui punti k k k

π

],

dell'arccoseno in [0, π

(2k - 1)

arccos( x ) = k=1,2,....,n

k n 2

e π

⎛ ⎞

(2k - 1)

⎜ ⎟

x =cos k=1,2,...,n.

k ⎝ ⎠

n 2

-1 1

x x x x

3 2 1 0

radici di T (x)

4 131 di Tn(x) , essi sono raggiunti in quei punti

massimi e minimi

Per quanto riguarda i π ∈

y per i quali n arccos( y )= k con k Z. Restringendoci ancora ai valori dell'arccoseno

k k

π

], si ha:

in [0, π

k

arccos( y ) = k=0,1,....,n

k n

e quindi: π

k

y =cos k=0,1,...,n.

k n

Su tali punti estremali si ha:

=(-1)k

T (y ) k=0,1,...,n.

n k

1

~

Sia ora (x) = T (x) il la cui norma è:

polinomio monico di Chebyshev

T n n

n 1

2 1 1

~ (x)||= ||T (x)|| = (5.4)

|| T n n

− −

n 1 n 1

2 2

e dimostriamo per esso la seguente proprietà di minimo. ~

n , (x)

Teorema 5.3: Tra tutti i polinomi monici di grado il polinomio possiede la

T n

[-1,1].

minima norma lagrangiana nell'intervallo ~

Dim: Supponiamo che esista un polinomio monico p (x) di norma inferiore a (x)

T

n n

~

||p (x)|| < || (x)||.

T

n n ~ (x) si alternano sui punti estremali, si avrà:

Poichè i massimi e minimi di T n

~ (y ) > p (y )

T n 0 0 0

~ (y ) < p (y )

T n 1 n 1

....

e così di seguito, in modo alternato, fino al punto y .

n

~ (x)-p (x) cambia segno n+1 volte e quindi possiede n zeri. Essendo

Il polinomio T n n

differenza di due polinomi monici di grado n, esso è di grado al più n-1 e quindi

coincide con la funzione nulla. I due polinomi sono dunque uguali ma questo

132


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Teemo92

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questa dispensa di Matematica a cura del professore A. Bellen si parla di approssimazione di funzioni. In particolare vengono esaminati i seguenti argomenti:
- Approssimazione con polinomi algebrici;
- Approssimazione con polinomi generalizzati;
- Interpolazione di Lagrange;
- Errore dell'interpolazione di Lagrange;
- Polinomi di Chebyshev;
- Convergenza dell'interpolazione di Lagrange.


DETTAGLI
Corso di laurea: Ingegneria informatica
SSD:
Università: Trieste - Units
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teemo92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Calcolo numerico e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Trieste - Units o del prof Bellen Alfredo.

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