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18 CAPITOLO 1. L’INTEGRALE DI RIEMANN

Siano x, y ∈ [a, b]. Poichè f è limitata, esiste K > 0 tale che |f (t)| ≤ K per ogni t ∈ [a, b];

Dim.

si ha quindi ¯

¯ ¯ ¯

¯

¯ ¯ ¯

Z Z Z Z Z

y y y

x x

¯

¯ ¯ ¯

¯¯

¯¯ ¯¯ ¯¯

= =

|F (x) − F (y)| = f (t) dt − f (t) dt f (t) dt + f (t) dt − f (t) dt

¯

¯ ¯ ¯

a a a y a

¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯

Z Z Z

x x x

¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯¯

= ≤ ≤ = K |x − y| → 0 per x → y

f (t) dt |f (t) | dt K dt

¯ ¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯

y y y

e quindi F è continua in y.

È chiaro che, dopo aver fissato ε > 0, la scelta δ < ε/K garantisce |F (x) − F (y)| < ε pur di

utilizzare |x − y| < δ, da cui segue la uniforme continuità di F in [a, b] .

Se poi f è continua in c ∈ [a, b], per ogni ε > 0 troviamo δ > 0 tale che |f (t) − f (c)| < ε purchè

t ∈ [a, b] e |t − c| < δ.

Scrivendo il rapporto incrementale di F a partire dal punto c abbiamo

 

Z Z Z

x c x

1 1

F (x) − F (c)  

= f (t) dt − f (t) dt = f (t) dt =

x − c x − c x − c

a a c

 

Z Z Z

x x x

1 1

 

= [f (t) − f (c)] dt + f (c) dt = f (c) + [f (t) − f (c)] dt .

x − c x − c

c c c

Osserviamo che se x ∈ [a, b] e |x − c| < δ, lo stesso accade per tutti i valori t compresi tra c ed x, e

quindi l’ultima eguaglianza, il Teorema 1.12 e la relazione |f (t) − f (c)| < ε permettono di ottenere

¯

¯ ¯ ¯

¯

¯

¯ ¯ ¯

¯ Z Z

x x

¯

¯

¯ ¯ ¯

¯ 1

1

F (x) − F (c) ¯

¯

¯ ¯ ¯

¯ ≤ < ε

=

− f (c) [f (t) − f (c)] dt |f (t) − f (c)| dt

¯

¯

¯ ¯ ¯

¯ x − c x − c x − c

¯

¯ ¯ ¯

c c

che può essere riassunta come F (x) − F (c)

lim = f (c) ;

x − c

x→c

0

così, F è derivabile in x = c e F (c) = f (c).

Questo teorema afferma che se f è continua in ogni punto di [a, b], la funzione F (come tutte le

altre funzioni integrali) è una primitiva di f in [a, b], cioè è una funzione derivabile in [a, b] la cui

derivata coincide con f . Da questo risultato si ricava immediatamente la formula fondamentale

del calcolo integrale:

Sia f continua in [a, b] e sia φ una sua primitiva su [a, b]. Allora

Teorema 1.13 Z

b f = φ(b) − φ(a).

a

1.4. FUNZIONE INTEGRALE E SUE PROPRIETÀ 19

R

x

Poichè f è continua in [a, b], la funzione F (x) = f (t) dt è una primitiva di f in [a, b].

Dim. a

Quindi la primitiva φ differisce da F per una costante, cioè esiste c ∈ tale che

R

Z

x f (t) dt + c per ogni x ∈ [a, b] .

φ(x) = a

Sostituendo x = a, si ottiene c = φ(a) e quindi

Z

x f (t) dt + φ(a) per ogni x ∈ [a, b] .

φ(x) = a

Sostituendo x = b, si ottiene la tesi.

Per calcolare l’integrale di una funzione continua f è quindi sufficiente conoscere una primitiva

φ della funzione f :

R

b

il valore f si ottiene come differenza tra i valori assunti da φ nei punti x = b e x = a.

a

Dal punto di vista delle notazioni, useremo anche la scrittura

x=b

φ(b) − φ(a) ≡ [φ(x)] .

x=a

Vi sono dei metodi specifici per il calcolo degli integrali, collegati alla regola di derivazione del

prodotto (integrazione per parti) o ai cambiamenti di variabile (integrazione per sostituzione).

Esponiamo questi metodi con ipotesi atte a garantire l’esistenza di tutti gli integrali che com-

paiono nelle formule.

Siano f, g : [a, b] → derivabili con derivata continua in [a, b]. Allora

R

Teorema 1.14 Z Z

b b

0 0

f g = f (b)g(b) − f (a)g(a) − f g

a a

Esempio 4 Z Z

1 1 2

x

2 x=1

2x arctan x dx = [x arctan x] − dx =

x=0 2

1 + x

0 0

Z Z

1 1

2

(x + 1) − 1 1

π π

− − 1 +

= dx = dx =

2 2

4 1 + x 4 1 + x

0 0 π

π x=1

− 1 + [arctan x] − 1 .

=

= x=0

4 2 N

. Poichè

Esempio 5

Z Z Z

2π 2π 2π

x x x=2π x x x=2π x

e sin x dx = [e sin x] − e cos x dx = −[e cos x] − e sin x dx

x=0 x=0

0 0 0

20 CAPITOLO 1. L’INTEGRALE DI RIEMANN

si ha Z

2π 2π + 1

−e

x .

e sin x dx = 2

0 N

.

Esempio 6 ¶

¶ ¸ µ

·µ

Z Z

3 3

x=3

3 2

x

x

2 2

− x − x dx =

log x

(x − 2x) log x dx = −

3 3

x=1

1 1

¸

· x=3

3 2

x

x 10

− .

= − =

9 2 9

x=1 N

.

Per quanto riguarda l’uso dei cambiamenti di variabile, stabiliamo prima di tutto quali sono le

ipotesi che essi devono ragionevolmente soddisfare: se vogliamo porre x = x(t) con la variabile

x che varia nell’intervallo [a, b] e la variabile t che deve variare in un intervallo [α, β], abbiamo

bisogno che la funzione x = x(t) stabilisca una corrispondenza biunivoca tra i due intervalli e che,

se essa è regolare su [α, β] (ad esempio derivabile con derivata continua), anche la sua inversa lo

sia nell’intervallo [a, b]. Queste ipotesi sono sicuramente soddisfatte se supponiamo per x = x(t)

le ipotesi del seguente teorema

Sia f : [a, b] → continua. Sia x = x(t) una funzione derivabile, con derivata

R

Teorema 1.15

continua e non nulla, nell’intervallo [α, β], e avente per immagine l’intervallo [a, b] . Allora

−1

x (b)

Z Z

b 0

f (x) dx = f (x(t))x (t) dt .

a −1

x (a)

Per calcolare

Esempio 7 Z

π ¡ ¢

2 3

cos t − 2 cos t + 3 cos t sin t dt

0

possiamo porre x = x(t) = cos t

e quindi calcolare Z Z

−1 1 4

2 3 2 3 .

(x − 2x + 3x )(−1)dx = (x − 2x + 3x )dx = − 3

1 −1 N

.

1.5. FUNZIONI A VALORI VETTORIALI 21

Per calcolare

Esempio 8 Z

4 ³ ´ √

3/2

x − x xdx

0

√ 2

possiamo porre x = t, cioè x = x(t) = t e quindi calcolare

Z Z

2 2

¡ ¢ 128

2 3 4 5 .

− t (t − t )dt = −

t t 2tdt = 2 15

0 0 N

.

1.5 Funzioni a valori vettoriali

k

Sia f = (f , f , ..., f ) : [a, b] → , con k > 1, una funzione limitata. L’integrabilità di f e

R

1 2 k

il calcolo del suo integrale vengono riportati all’analogo problema sulle componenti del vettore

.

k-dimensionale f k integrabile

Sia f : [a, b] → una funzione limitata. Diciamo che f è in

R

Definizione 1.16 è integrabile in [a, b]. Se f è integrabile in [a, b], poniamo

[a, b] se ogni coordinata f

i  

Z Z Z Z

b b b b

 

f = f , f , ..., f

1 2 k

a a a a

cioè l’integrale di f è il vettore avente per coordinate gli integrali delle coordinate di f .

È immediato verificare, mediante il Teorema 1.5, che l’insieme delle funzioni integrabili in [a, b] è

uno spazio vettoriale sul quale l’integrale agisce come un operatore lineare; continua a valere la

proprietà di additività rispetto all’intervallo di integrazione (si veda il Teorema 1.9). In particolare

la stima dell’integrale, espressa nel caso di funzioni a valori reali dal Teorema 1.6, diviene in questo

caso la seguente k

: [a, b] → una funzione integrabile. Allora

Siaf R

Teorema 1.17 ° °

° °

Z Z Z

b b b q

° ° ° °

° ° ° ° 2 2 2

f f (x) + f (x) + ... + f (x) dx .

f =

° ° 1 2 k

° °

a a a

1.6 Integrali impropri

La teoria dell’integrazione esposta nei paragrafi precedenti riguarda funzioni limitate definite in

intervalli chiusi e limitati; lo studio dei cosiddetti integrali impropri va nella direzione di cercare

di ridurre, in tutto o in parte, tali ipotesi, ottenendo una generalizzazione del classico concetto

di integrale.

22 CAPITOLO 1. L’INTEGRALE DI RIEMANN

Sia f : [a, b) → tale che f ∈ R[a, x] per ogni a ≤ x < b.

R

Definizione 1.18

Se esiste, finito, il limite Z

x

lim f (t) dt

x→b a converge,

diciamo che l’integrale (improprio) di f in [a, b) o che f è integrabile in senso impro-

prio in [a, b). integrale improprio

Chiamiamo tale limite di f in [a, b), e lo denotiamo con l’usuale simbolo

R

b f .

a Sia f : (a, b] → tale che f ∈ R[x, b] per ogni a < x ≤ b. Se esiste, finito, il

R

Definizione 1.19

limite Z b f (t) dt

lim

+

x→a x

diciamo che l’integrale (improprio) di f in (a, b] converge o che f è integrabile in senso improprio

in (a, b]. R

b f .

Chiamiamo tale limite integrale improprio e lo denotiamo con l’usuale simbolo a

Le definizioni precedenti richiedono prima di tutto un’osservazione: riferiamoci, per fissare le

idee, alla prima. Supponiamo che f sia integrabile in [a, x] per ogni a ≤ x < b. Questa ipotesi

R

b f ha già un suo preciso significato;

è senz’altro soddisfatta se f ∈ R[a, b], quando il simbolo a

R

x

d’altra parte, per il Teorema 1.12, la funzione integrale f (t) dt è continua in [a, b] e quindi in

a

particolare in x = b, per cui Z Z

x b

lim f (t) dt = f (t) dt

x→b a a

cioè l’integrale improprio converge e coincide con l’integrale di Riemann. L’uso del medesimo

simbolo non genera confusione, poichè quando esiste l’integrale di Riemann esiste anche quello

improprio, e coincidono. Poichè, come vedremo tra poco, vi sono molte situazioni in cui f non è

integrabile ma l’integrale improprio di f converge, possiamo affermare che questi integrali sono

una generalizzazione naturale degli integrali classici.

Consideriamo le funzioni

Esempio 9 1

(t) = t ∈ (a, b] .

f

p p

(t − a)

è prolungabile con continuità in tutto l’intervallo [a, b] e quindi f ∈ R[a, b]. Se

Se p ≤ 0, f

p p

non è limitata; ci chiediamo se il suo integrale improprio converge

invece p > 0, la funzione f

p

1.6. INTEGRALI IMPROPRI 23

in (a, b]. Si ha R

b f (t)dt =

lim p

+

x→a  

x −p+1

 (b − a)

 −p+1 −p+1

(b − a) − (x − a)

 se p < 1

 lim = −p + 1

 

−p + 1

+

x→a +∞ se p > 1

= 

 [log(b − a) − log(x − a)] = +∞ se p = 1

lim

+

x→a

Quindi l’integrale improprio in (a, b] converge se e solo se p < 1.

Con calcoli del tutto analoghi si ottiene che le funzioni

1

(t) = t ∈ [a, b)

f

p p

(b − t) N

hanno integrale improprio convergente in [a, b) se e solo se p < 1.

Consideriamo ora l’estensione dell’integrale a intervalli non limitati.

Sia f : [a, +∞) → tale che f ∈ R[a, x] per ogni x > a.

R

Definizione 1.20

Se esiste, finito, il limite Z

x f (t) dt

lim

x→+∞ a converge

diciamo che l’integrale (improprio) di f in [a, +∞) o che f è integrabile in senso

improprio in [a, +∞). R

+∞

integrale improprio f .

Chiamiamo tale limite e lo denotiamo con il simbolo a

Sia f : (−∞, b] → tale che f ∈ R[x, b] per ogni x < b.

R

Definizione 1.21

Se esiste, finito, il limite Z

b f (t) dt

lim

x→−∞ x

diciamo che l’integrale improprio di f in (−∞, b] converge o che f è integrabile in senso improprio

in (−∞, b]. R

b f .

Chiamiamo tale limite integrale improprio e lo denotiamo con il simbolo −∞

1

Prendiamo ancora in considerazione le potenze f (t) = e sia, ad esempio, a = 1.

Esempio 10 p p

t

Si ha   1

 

 −p+1

x − 1

 se p > 1

 lim =

Z p − 1

x  

−p + 1

x→+∞ +∞ se p < 1

f (t)dt =

lim p 

x→+∞ 

1 

 lim log x = +∞ se p = 1

x→+∞

24 CAPITOLO 1. L’INTEGRALE DI RIEMANN

R

+∞ f converge se e solo se p > 1. Con calcoli analoghi si perviene

e quindi l’integrale improprio p

1

alla convergenza dell’integrale Z

−1 1 dt

p

|t|

−∞

se e solo se p > 1.

Cerchiamo ora delle condizioni sufficienti a garantire la convergenza di un integrale improprio

e che non presuppongano, come da definizione, il calcolo esplicito di integrali definiti e di loro

limiti. Per non appesantire l’esposizione enunciamo un unico teorema (e non quattro, uno per

ciascuna delle definizioni), supponendo che la funzione f soddisfi le ipotesi di una delle definizioni

precedenti nell’intervallo corrispondente I.

Sia f : I → soddisfacente le ipotesi di una delle definizioni precedenti.

R

Teorema 1.22

1. Se |f (x)| ≤ g(x) per ogni x ∈ I

e converge in I l’integrale improprio di g, allora converge in I anche l’integrale improprio di f .

2. Se 0 ≤ g(x) ≤ f (x) per ogni x ∈ I

e non converge in I l’integrale improprio di g, allora non converge in I neppure l’integrale im-

proprio di f .

Questo teorema, noto come risulta molto utile nella pratica, soprattutto

criterio del confronto,

quando si conosca il comportamento di un “gruppo” di funzioni utilizzabili per il confronto;

tenendo conto dei risultati ottenuti negli esempi 9 e 10, otteniamo che gli integrali impropri

Z Z Z

+∞ 1 +∞

2 2

−2 + 3 sin x cos(1/x) sin x + cos x

√ dx

dx dx

2 x

3

x + 1 2xe + 1

x

1 0 1

convergono, poichè ¯ ¯

¯ ¯

2

−2 + 3 sin x 5 5

¯ ¯ ≤ ≤ per ogni x ≥ 1

¯ ¯

2 2 2

x + 1 x +1 x

¯

¯ ¯

¯ cos(1/x) 1

¯

¯ √ √

≤ per ogni x ∈ (0, 1]

¯

¯ 3 3

x x

¯

¯ ¯

¯ 2

sin x + cos 2 1

x ¯

¯ ≤ ≤ per ogni x ≥ 1

¯

¯ x x 2

2xe + 1 2xe + 1 x

R R

+∞ 1

2 1/3

1/x dx e 1/x dx convergono).

(come abbiamo visto 1 0

Non converge invece l’integrale in [1, +∞) della funzione

log(4 + sin x) .

f (x) = x

1.6. INTEGRALI IMPROPRI 25

Infatti log(4 + sin x) log 3

≥ = g(x) per ogni x ≥ 1

x x

e l’integrale di g in [1, +∞) non converge.

Come conseguenza del criterio del confronto otteniamo i seguenti risultati che fanno uso del

comportamento asintotico.

Sia f : [a, b) → tale che f ∈ R[a, x] per ogni a ≤ x < b e f (x) ≥ 0 per ogni

R

Corollario 1.23

x ∈ [a, b). Se −

f (x) ∼ h(x) per x → b

l’integrale improprio di f in [a, b) converge se e solo se converge l’integrale improprio di h in un

intervallo [c, b), dove c è un qualsiasi numero reale tale che a ≤ c < b.

Sia f : [a, +∞) → tale che f ∈ R[a, x] per ogni x > a e f (x) ≥ 0 per ogni

R

Corollario 1.24

x ∈ [a, +∞). Se f (x) ∼ h(x) per x → +∞

l’integrale improprio di f in [a, +∞) converge se e solo se converge l’integrale improprio di h in

un intervallo [M, +∞), dove M è un qualsiasi numero reale tale che M ≥ a.

Tralasciamo l’enunciato di corollari riguardanti gli integrali impropri estesi ad intervalli del tipo

(a, b] e(−∞, b].

I seguenti integrali convergono

Esempio 11

Z Z Z Z

+∞ 0 25 0 2

2 x 3 2 x

2x − x 3 − e x + sin x e − 1

dx ; dx ; dx ; dx

5 2 7/3

x − 1 x + x + 1 x x

−∞

5 0 −1

poichè 2 1

2x − x ∼− per x → +∞

5 3

x − 1 x

x 3

3 − e ∼ per x → −∞

2 2

x + x + 1 x

3 2

+ sin x

x +

∼ x per x → 0

x

2

x

e − 1 1 −

∼ per x → 0 .

7/3 1/3

x x

Arricchiamo la famiglia delle funzioni da utilizzare come confronto.

Sia t ∈ [M, +∞), con M > 1 e

Esempio 12 1

f (t) = q

t log t

26 CAPITOLO 1. L’INTEGRALE DI RIEMANN

Si ha Z

x 1 dt =

lim q

t log t

x→+∞

 

M −q+1

  M

log

 −q+1 −q+1

log x − log M

 se q > 1

 lim = q − 1

 

−q + 1

x→+∞ +∞ se q < 1

= 

 lim log(log x) − log(log M ) = +∞ se q = 1

x→+∞

e quindi l’integrale converge se e solo se q > 1. Consideriamo ora sul medesimo intervallo le

funzioni 1 .

f (t) = q

p

t log t

Sia p > 1; se q > 0 si ha 1

1 ≤

0 ≤ q q

p p

t log t t log M

se q < 0 fissiamo 0 < ε < p − 1; per t grande (e quindi se M è sufficientemente grande) si ha

−q ε

t

1 log t 1

0 ≤ = ≤ =

q

p p p p−ε

t log t t t t

e l’integrale converge per il criterio del confronto.

Sia p < 1; se q > 0 e 0 < ε < 1 − p, per t grande si ha

1 1

≥ ≥ 0

q

p p+ε

t log t t

se q < 0 si ha −q −q

1 log t M

log

= ≥ ≥ 0

q

p p p

t log t t t N

e quindi l’integrale non converge per il criterio del confronto.

Riassumiamo i risultati ottenuti negli esempi 10 e 12 nella seguente affermazione: se M > 1

 Z

+∞

 1

 dt converge

 q

p

 t log t

 M

 se e solo se

 p > 1, ∀q p = 1, q > 1 .

oppure

Mediante il teorema di integrazione per sostituzione (teorema 1.15), si ottiene che se 0 < b < 1


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Teemo92

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Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
Università: Milano - Unimi
A.A.: 2004-2005

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teemo92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Milano - Unimi o del prof Salvatori Maura.

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