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0.3. CENNI ALL’INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI 5

0.3 Cenni all’integrazione delle funzioni razionali

Vogliamo accennare al metodo per determinare le primitive di funzioni della forma

A (x)

f (x) = B (x)

con A e B polinomi.

Possiamo considerare solo il caso in cui deg A (x) < deg B (x) .

Infatti se fosse deg A (x) ≥ deg B (x) allora esisterebbero (unici!) due polinomi (quoziente e resto)

Q (x) e R (x) con deg R (x) < deg B (x) tali che

A (x) = Q (x) B (x) + R (x) .

Ossia R (x)

A (x) = Q (x) + .

f (x) = B (x) B (x)

Il polinomio a coefficienti reali B (x) può essere scomposto in modo unico in fattori nel seguente

modo ¡ ¢ ¢

¡

m m

n n 2 2

1 k

1 l x

) · · · (x − b ) + c x + d · · · x + c x + d

B (x) = α (x − b

1 1 1

l k k

dove α ∈ b è radice reale di B (x) di molteplicità n per ogni i = 1, . . . l e il polinomio a

R, i i

2 2

+ c x + d è irriducubile in (cioè c − 4d < 0) per ogni i = 1, . . . k.

coefficienti reali x R

i i i

i

Inoltre, nelle ipotesi precedenti, la funzione f (x) può essere scritta in modo unico nella forma

α α α α

11 1n 12 l n

1 l

f (x) = + ··· + + + ··· + +

n n

1 l

x − b (x − b ) x − b (x − b )

1 1 2 l C x + D

x + D x + D

C

C

11 11 1m 1m km km

1 1 k k

+ ··· + + · · · + .

+ m m

2 2 2

1 k

x + c x + d (x + c x + d ) (x + c x + d )

1 1 1 1 k k

La funzione iniziale è stata quindi scritta come somma di addendi della forma

α α, b ∈ n ∈ n ≥ 1

R, N,

n

(x − b)

e della forma γx + δ γ, δ, c, d ∈ m ∈ m ≥ 1

R, N,

m

2

(x + cx + d)

2

con il polinomio x + cx + d irriducibile in R.

L’integrazione della funzione f è quindi ricondotta a quella dei singoli addendi.

Facilmente, si ottiene  α

Z 1−n

 (x − b) se n ≥ 2

α 1 − n

dx = .

n 

(x − b) α log |x − b| se n = 1

6 CAPITOLO 0. PRIMITIVE E INTEGRALI INDEFINITI

Per quanto riguarda gli addendi della seconda forma osserviamo inizialmente che

δ −

γx + δ 2x + c

γ 2

= + .

m m m

2 2 2

(x + cx + d) 2 (x + cx + d) (x + cx + d)

Facilmente si ha  ¡ ¢

1

Z 1−m

 2

x + cx + d se m ≥ 2

2x + c 1 − m

dx =

m ¢

¡

2

(x + cx + d) 2 + cx + d se m = 1

log x

Restano quindi solo da determinare le primitive degli addendi della forma

1 m

2

(x + cx + d)

2

con c, d ∈ e x + cx + d polinomio irriducibile in

R R.

Per questo si può utilizzare il seguente

Per ogni numero naturale m ≥ 1 sia

Lemma 0.7 Z dx

= .

I

m m

2

(x + 1)

Allora = arctan x + c

I

1

e per ogni m ≥ 2 si ha ¢

¡ 1−m

2 + 1

x x 2m − 3

+ I

= .

I

m m−1

2 (m − 1) 2 (m − 1)

Osserviamo ora che, nelle ipotesi fatte, si ha ¶

µ

´

³ 2

c c

2

2

x + cx + d = x + + d −

2 4

 

 

2

µ  

³ ´

2 1 c

c  

q

1 + x +

= d −  

4 2

2

c

d − 4

e quindi con la sostituzione ³ ´

1 c

q

t = x + 2

2

c

d − 4 1

1 si riconduce a quella di .

l’integrazione di m m

2 2

(x + cx + d) (t + 1)

0.3. CENNI ALL’INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI 7

Calcolare le primitive di

Esempio 8 2 − x − 1

x .

f (x) = 2

x (x + 1)

Si cercano tre costanti in modo che 2

x A Bx + C

− x − 1 = + .

2 2

x (x + 1) x x +1

Applicando il principio di identità dei polinomi si trova che A = C = −1 e B = 2 ossia

2

x − x − 1 1 2x 1

= − + −

2 2 2

x (x + 1) x x +1 x +1

e quindi Z ¡ ¢

2 − x − 1

x 2

dx = − log |x| + log x + 1 − arctan x + c.

2

x (x + 1)

Calcolare

Esempio 9 Z 2 − x + 1

2x dx.

2

x (x − 1)

Scrivendo 2 − x + 1 B C

A

2x + +

=

2 2

x x − 1

x (x − 1) (x − 1)

si ottiene A = B = 1 e C = 2. In conclusione

µ ¶

Z Z

2 1 1 2

− x + 1

2x 2

+ + + c.

dx = dx = log |x (x − 1)| −

2 2

x x − 1 x − 1

x (x − 1) (x − 1)

Calcolare

Esempio 10 Z 2

3x + 2x + 1 dx.

3

x − 1

Scrivendo 2

3x A Bx + C

+ 2x + 1 = +

3 2

x − 1 x − 1 x + x + 1

si ottiene A = 2 e B = C = 1. D’altra parte

x +1 1 1

2x + 1 1

= +

2 2 2

x + x + 1 2 x + x + 1 2 x + x + 1


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AUTORE

Teemo92

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
Università: Milano - Unimi
A.A.: 2003-2004

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teemo92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Milano - Unimi o del prof Salvatori Maura.

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