Che materia stai cercando?

Dispensa di Matematica - Algebra lineare e geometria

In questa dispensa di Matematica a cura del professore Ernesto Dedò si parla di algebra lineare e geometria. In particolare sono trattati i seguenti argomenti:
- Richiami di nozioni essenziali;
- I sistemi lineari: teoria elementare;
- Matrici;
- Spazi vettoriali;
- Determinante. Inversa;
- Teoria dei sistemi lineari;
- Applicazioni;
- Similitudine. Autovalori.... Vedi di più

Esame di Algebra e geometria docente Prof. E. Dedò

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

Capitolo 11

La retta nel piano

11.1 Preliminari

In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale è noto dagli studi

precedenti che una retta si rappresenta con un’equazione lineare

+ + =

ax by c 0, (11.1)

a b

in cui e non siano entrambi nulli. È anche noto che, se la retta

y,

non è parallela all’asse si può scrivere anche nella forma, cosiddetta

canonica = +

y mx q. (11.2)

È altresì noto che la forma canonica (11.2) dell’equazione di una retta

m,

mette in luce la “pendenza” della retta: il coefficiente che si chiama

coefficiente angolare, rappresenta la tangente goniometrica dell’angolo

x:

che la retta forma con l’asse dunque se indichiamo con l’ampiezza

ϕ

=

m

di quest’angolo, si ha tan ϕ. #»

r v

Da un altro punto di vista una retta è determinata da un vettore

P r: P

che ne fissa la direzione e da un punto un punto appartiene

0 #»

r PP v

alla retta se e solo se il segmento ha la stessa direzione di .

0

( ) ( )

x y P x, y P,

Siano ora , le coordinate di e le coordinate di

0 0 0 − −

[ ]

P r x x y y

il punto appartiene a se e solo se il vettore , ed il

0 0

#» = [− ]

v b, a

vettore sono linearmente dipendenti, cioè se e solo se

− − −

( ) = ( ) + = +

a x x b y y ax by ax by

cioè da cui si ottiene la

0 0 0 0

− −

=

c ax by

(11.1) ponendo .

0 0 + =

ax by

Dunque la retta di equazione 0 ha la direzione del vettore

#» = [− ]

v b, a . −

h[− ] [ ]i = + =

b, a a, b ab ba

Poiché , 0, possiamo anche affermare

+ + = = [ ]

ax by c w a, b

che la retta 0 è ortogonale al vettore ; i numeri

− b a parametri direttori

e sono noti come della retta, essi sono definiti

105

106 Capitolo 11. La retta nel piano

a meno di un fattore di proporzionalità non nullo. Normalizzando il

#» 0 0 0 0 0

= [− ]

v b a b a

v

vettore si ottiene il vettore , in cui e sono proprio

i coseni degli angoli che la retta (orientata) forma con la direzione

coseni direttori

positiva degli assi coordinati e si chiamano della retta.

Da quanto detto segue il + + =

Sia r la retta di equazione ax by c allora:

0

Teorema 11.1. =

i) r è parallela all’asse x se e solo se a 0,

=

ii) r è parallela all’asse y se e solo se b 0,

+ + =

iii) se r è la retta di equazione a x b y c allora r è parallela a r

0

1 1 1 1 1

se e solo se =

ab ba ,

1 1

iv) r e r sono perpendicolari se e solo se

1 + =

aa bb 0.

1 1

OSSERVAZIONE 11.1. L’equazione della retta è, ovviamente, definita

a meno di un fattore di proporzionalità non nullo, nel senso che le

+ + = + + =

ax by c kax kby kc

equazioni 0 e 0 rappresentano la stessa

R.

∀ 6 ∈

=

k

retta 0 D’ora in avanti parleremo comunque, come si fa

dell’equazione

abitualmente, di una retta (usando l’articolo determina-

tivo), sottintendendo che ci riferiamo ad una qualsiasi delle possibili

equazioni della retta, di solito quella la cui scrittura è più semplice,

tuttavia questa proprietà non va dimenticata, perché il non tenerne

conto può portare a gravi errori, soprattutto nelle applicazioni.

Scriviamo l’equazione della retta perpendicolare al vettore

Esempio 11.1.

[ ] (− )

e passante per il punto . Si vede subito che la retta ha un’equa-

5, 1 1, 2

+ + = (− )

zione della forma y c e che passa per il punto se e solo

5x 0 1, 2

· (− ) + + = =

se c da cui c e quindi la retta cercata ha equazione

5 1 2 0, 3

+ + =

y

5x 3 0. ( )

Vogliamo l’equazione della retta che passa per i punti A 4, 1

Esempio 11.2.

( ) + + =

e B . Sia essa di equazione ax by c si ha, imponendo il passaggio

3, 2 0;

− − − −

( ) + ( ) = ( ) + (

per il primo punto a x b y e per il secondo a b

4 1 0 3 4 2

⇐⇒ − ⇐⇒

) = + = = =

a b a b, dunque , scegliendo a si ha

1 0 0 1

+ =

x y risultato a cui si poteva pervenire direttamente, osservando che è

5, 5

proprio la somma dell’ascissa e dell’ordinata sia di A che di B. 107

11.2. Altri tipi di equazione della retta + + = + + =

a x b y c a x b y c

Si può dimostrare anche che se 0 e 2 2 2

1 1 1

0 sono due rette che formano un angolo si ha

ϕ |

|h[ |

] [ ]i| +

a b a b a a b b

, , , 2 2

2 2 1 1

1 1

= =

cos ϕ ·

k[ k[ q

q

]k ]k

a b a b

, , 21 2 22 2

2 2

1 1 ·

+ +

a b a b

2

1

11.2 Altri tipi di equazione della retta

L’equazione x y

+ = 1 (11.3)

p q

è un’equazione lineare e rappresenta quindi una retta; è facile vedere

equazione seg-

che in questa forma l’equazione della retta (che è detta

mentaria) mette in risalto le intercette sugli assi, precisamente la retta di

( ) ( )

P p, Q q

equazione (11.3) interseca gli assi coordinati nei punti 0 e 0, .

( ) ( )

Viceversa la retta che passa, per esempio, per i punti 2, 0 e 0, 3 ha

x y − −

+ = =

equazione 1 cioè 3x 2y 6 0.

2 3

Viceversa tenendo presente l’equazione segmentaria (11.3) possia-

mo trovare in maniera semplice le intercette sugli assi di una retta scritta

in forma generale dividendo ambo i membri per un multiplo comune

− =

dei coefficienti delle incognite. Per esempio la retta 3x 4y 12 si scri-

x y

+ =

ve anche, dividendo entrambi i membri per 12, nella forma 1

4 3

( ) ( )

P Q

mettendo in evidenza che passa per i punti 4, 0 e 0, 3 .

r

Abbiamo visto che una retta del piano che passa per il punto

( ) = [ ]

P x y u p, q

, ed ha la direzione del vettore è l’insieme dei punti

0 0 0 #» − −

( ) = [ ]

x, y v x x y y

tali che il vettore , sia linearmente dipendente

0 0

u

dal vettore ; ma sappiamo anche che due vettori sono linearmente

#» #»

·

=

v u

dipendenti se e solo se sono proporzionali, quindi dev’essere ,

λ

da cui ( = +

x x λp

0 (11.4)

= +

y y λq

0

equazioni parametriche

le (11.4) si chiamano della retta; ogni punto della

retta ha coordinate espresse dalle (11.4), e per ogni valore del parametro

p q

nelle (11.4) si ottiene un punto della retta. Le componenti e del

#» 1

u

vettore sono una coppia di parametri direttori della retta.

1 Abbiamo già osservato che i parametri direttori sono definiti a meno di una costante

moltiplicativa non nulla.

108 Capitolo 11. La retta nel piano

Ad esempio se vogliamo le equazioni parametriche della retta

≡ − =

r 3x 2y 2 −

( )

r, P

possiamo cominciare scegliendo un punto di per esempio 0, 1 .

[ ]

La retta data ha direzione del vettore 2, 3 e quindi abbiamo le equa-

zioni parametriche ( =

x 2t . (11.5)

=

y 3t 1

OSSERVAZIONE t

11.2. Nel sistema (11.5) abbiamo chiamato il para-

metro: il nome è ovviamente arbitrario, ed è consuetudine indicarlo

t,

con la lettera ma lo studente dovrebbe abituarsi a lavorare con una

rappresentazione parametrica della retta in cui il parametro può essere

indicato da una lettera qualsiasi.

OSSERVAZIONE r

11.3. Mentre l’equazione cartesiana di una retta è

unica a meno di un fattore di proporzionalità non nullo, come notato

nell’osservazione 11.1 a pagina 106, le equazioni parametriche di una

stessa retta possono assumere aspetti molto diversi.

Per esempio la retta di equazioni parametriche (11.5) si può anche

scrivere con le equazioni parametriche

+ t

2

 =

x

 3 . (11.6)

t

=

y

 2

Viceversa per passare dalle equazioni parametriche ad un’equazione

cartesiana si può procedere in vari modi:

• dando due valori al parametro si ottengono due punti della retta,

poi si scrive l’equazione della retta per i due punti trovati.

• oppure si può eliminare il parametro dalle equazioni, trovando

un’equazione cartesiana della retta data.

r

Per esempio se ha equazioni parametriche

( =

x 2t −

=

y 2t 1

posiamo eliminare il parametro sottraendo membro a membro le due

r

equazioni si ottiene così l’equazione cartesiana della che risulta quindi

− =

x y 1. 109

11.3. Distanze

11.3 Distanze

La distanza di due punti nel

piano segue da una immediata

applicazione del Teorema di Pi-

tagora, infatti dalla figura 11.1 si

d

nota subito che la distanza tra i

( ) ( )

A x y B x y

punti , e , è l’ipo-

2 2

1 1

tenusa di un triangolo rettangolo

=

AC x x

i cui cateti sono e

2 1 .

=

BC y y da cui

2 1 Distanza di due punti

Figura 11.1

q 2 2

− −

= ( ) + ( )

d x x y y

2 2

1 1 P

Ricordiamo inoltre che che la distanza del punto di coordinate

( ) + + =

x y ax by c

, dalla retta di equazione 0 è

0 0 | |

+ = +

ax bx c

o

=

d .

2 2

+

a b

11.4 Fasci di rette P

L’insieme di tutte le rette del piano che passano per un punto

2

fascio di rette centro sostegno P.

prende il nome di che ha come o il punto

F P

L’equazione globale di tutte le rette del fascio che ha per sostegno

si può ottenere facilmente come combinazione lineare non banale delle

F

equazioni di due qualsiasi rette di . Questo significa che se abbiamo

0

r r P

due rette distinte e entrambe passanti per e rispettivamente di

0 0 0

+ + = + + =

ax by c a x b y c

equazioni 0 e 0 l’equazione

0 0 0

( + + ) + ( + + ) =

ax by c a x b y c 0 (11.7)

λ µ

tutte e sole P

rappresenta le rette che passano per se e non sono

λ µ

entrambi nulli. Infatti per ogni coppia di valori (non entrambi nulli)

P.

di e la ( 11.7) rappresenta una retta passante per Viceversa una

λ µ, P

qualunque retta per è rappresentata da un’equazione del tipo ( 11.7),

P

cioè qualunque retta per è individuata da una particolare coppia di

valori di e

λ µ.

OSSERVAZIONE 11.4. L’equazione (11.7) è omogenea (rispetto ai para-

metri e cioè è definita a meno di un fattore di proporzionalità non

λ µ)

2 Il concetto di fascio –di rette, di piani, di circonferenze. . . – è molto generale e lo

incontreremo ancora.

110 Capitolo 11. La retta nel piano

nullo. Può essere comodo scriverla, invece, usando un solo parametro,

per esempio nella forma 0 0 0

( + + ) + ( + + ) =

k ax by c a x b y c 0 (11.8)

λ

= =

k

in cui abbiamo posto . In questo caso, però, quando 0 il

µ

µ

k

parametro perde di significato, e quindi l’equazione del fascio, nella

forma (11.8) non rappresenta tutte le rette del fascio, mancando quella

= + + =

ax by c

per cui 0, cioè la retta 0. Se si considera, però,

µ ∞,

=

k k,

che lim si può accettare il valore infinito per il parametro

→ 0

µ + +

ax by

convenendo che in questo caso la (11.8) rappresenta la retta

=

c 0.

I fasci sono uno strumento molto potente e comodo: vediamo un

primo esempio.

Vogliamo scrivere l’equazione della la retta che passa per i

Esempio 11.3. −

( ) ( )

punti A e B . Essa appartiene al fascio che ha per sostegno, per

1, 0 2, 3

esempio, il punto A e quindi di equazione

− + =

x ky

1 0 (11.9)

= =

ottenuta come combinando linearmente le equazioni x e y delle

1 0

rette parallele agli assi passanti per A. La retta cercata si otterà imponendo il

passaggio della generica retta del fascio per il punto P, quindi sostituendo le

− − =

coordinate di P nella (11.9), cioè scrivendo da cui si ottiene

2 1 3k 0

1 −

= + =

k ed ottenendo quindi l’equazione y

3x 3 0.

3 ( )

Vogliamo l’equazione della retta passante per P e per-

1, 0

Esempio 11.4. − + =

pendicolare alla retta Scriviamo l’equazione del fascio di

3x 2y 1 0.

rette per P; essa sarà: −

+ ( ) =

y 1 0

λx µ − =

per la condizione di perpendicolarità si avrà da cui, per esempio,

3λ 2µ 0

= = + =

e a cui corrisponde la retta

2 3 2x 3y 3 0

λ µ

11.5 Coordinate omogenee

Siccome due rette non parallele hanno in comune un punto e due

rette parallele una direzione, fà comodo, in certi contesti, assimilare

una direzione ad un punto “improprio” o punto “all’infinito”. Con

questa convenzione due rette distinte nel piano hanno sempre un punto

111

11.5. Coordinate omogenee

(proprio o improprio) in comune, quindi due rette sono parallele se

(e solo se) hanno in comune un punto improprio. I punti impropri

∞, P

verrano denotati con l’apice per esempio .

Sorge il problema di come “coordinatizzare” i punti impropri. Nel

piano, come sappiamo, un punto al finito può essere rappresentato da

una coppia ordinata di numeri reali, per poter rappresentare anche i

punti impropri conviene utilizzare una terna di coordinate, cosiddette

( )

omogenee, P X, Y P

precisamente, se attribuiamo a le tre coordinate,

x, y u

non tutte nulle, e legate alle precedenti dalla relazione

y

x

= =

X Y

e (11.10)

u u

P omogenee x, y, u

Possiamo allora dire che ha coordinate e scriviamo

6

( ) = ( )

P x y u u P X, Y

: : . Se 0 possiamo scrivere che ha coordinate

( )

P X Y

omogenee : : 1 , per esempio possiamo attribuire all’origine le

= ( )

O

coordinate omogenee 0 : 0 : 1 ; i punti impropri saranno allora

tutti e soli quelli la cui terza coordinata omogenea è nulla.

OSSERVAZIONE 11.5. Le coordinate omogenee di un punto sono de-

finite a meno di un fattore di proporzionalità, questo significa che il

( )

P

punto di coordinate omogenee 3 : 2 : 1 coincide con il punto di

( )

P

coordinate omogenee 6 : 4 : 2 , e quindi che un punto a coordinate

razionali si può sempre considerare come un punto a coordinate omo-

3

1

=

P ,

genee intere: per esempio il punto proprio ha coordinate

5 5

( )

P

omogenee 1 : 3 : 5

Consideriamo ora l’equazione generale della retta: in coordinate non

+ + =

aX bY c

omogenee essa sarà 0: applicando le ( 11.10) diventerà

+ + = =

ax by cu u

0 ed avrà come punto improprio il punto per cui 0

(− )

P b a

che sarà dunque : : 0 .

∞ =

u

In questo contesto, l’equazione 0 rappresenta tutti e soli i punti

la cui terza coordinata omogenea è nulla, quindi tutti (e soli) i punti

impropri, essendo un’equazione lineare possiamo dire che essa rappre-

retta impropria,

senta una retta, precisamente quella che chiamiamo cioè

il luogo dei punti impropri del piano.

Concludiamo il paragrafo con la seguente

OSSERVAZIONE 11.6. Un sistema lineare omogeneo di tre equazioni

in tre incognite può sempre essere interpretato geometricamente, in

coordinate omogenee, come la ricerca dell’eventuale punto comune di

tre rette.

Il seguente esempio chiarisce la situazione.

112 Capitolo 11. La retta nel piano

Il sistema

Esempio 11.5.  − + =

hx y hu 0

 − − =

hx y u 0

 − + =

x hy u 0

 ( )

è lineare omogeneo, quindi ammette la soluzione banale che in

0 : 0 : 0

coordinate omogenee non rappresenta alcun punto. La matrice dei coefficienti

 

h h

1

− − 6 ±

h 1 1 = = = =

è: ; essa ha rango r per h ha r per h e

3 1, 2 1

 

− h

1 1

− 6 ±

= = =

r per h quindi per h le rette non hanno in comune alcun

1 1 1 ∞ 1

=

punto nè proprio nè improprio, per h ci sono soluzioni, che sono

1

le coordinate omogenee di uno ed un solo punto (proprio o improprio) e per

∞ 2

=

h ci sono soluzioni che rappresentano le coordinate omogenee dei

1

punti di una retta; quindi le tre rette coincidono.

11.6 I sistemi di riferimento

Cambiamento del sistema di riferimento

Abbiamo visto che un sistema di riferimento cartesiano ortogonale

O,

è determinato da un’origine che corrisponde al punto di coordi-

( ) u u

nate 0, 0 e dai due versori fondamentali degli assi e e che il

2

1

( ) = +

P x, y, OP xu yu

punto è rappresentato dal vettore , cioè è una

2

1

combinazione lineare dei versori fondamentali.

( )

P x, y

Se è il generico punto del piano e se si effettua una traslazio-

0 ( )

O

ne di assi che porta l’origine nel nuovo punto , le coordinate

α, β

0 0

( )

x y P

, di rispetto ai nuovi assi saranno:

0

( = +

x x α

0 = +

y y β

come si vede chiaramente nella figura 11.2 nella pagina successiva.

Ci si rende conto molto facilmente che le traslazioni sono trasfor-

R 2

mazioni lineari di in sè che conservano le distanze –verificarlo per

esercizio–. ( )

P x, y

Ci si può chiedere che cosa succede delle coordinate di quan-

do si cambia il sistema di riferimento, prendendo altri due vettori

indipendenti come base. Questo significa effettuare una rotazione del

P

sistema di riferimento. Al punto saranno associati altri due numeri

0 0

( )

x y

, e ci si chiede qual è il legame tra queste coppie di numeri.

113

11.6. I sistemi di riferimento Nella figura 11.3 nella pagi-

OQ OR

na seguente ed sono ri-

spettivamente l’ascissa e l’ordina-

P

ta del punto rispetto al sistema

0

OQ

di riferimento non ruotato e

0

OR

ed quelle rispetto al sistema

ruotato.

Si effettua in questo modo un

cambiamento di base nello spazio

R

2

vettoriale che, come sappiamo,

Traslazione

Figura 11.2 è rappresentato da una matrice

quadrata di ordine 2.

Se consideriamo i cambiamenti di sistema di riferimento che lascia-

no ferma l’origine (escludiamo il caso noto delle traslazioni di assi),

( )

P x, y

osserviamo che se ha coordinate in un sistema di riferimento

0 0

( )

x y P

e , nell’altro, le equazioni che legano le coordinate di nei due

sistemi di riferimento sono date dal sistema

0 0

( = +

x ax by (11.11)

0 0

= +

y cx dy

o, in forma più compatta da #» #» 0

=

x A x

0

#» #»

x x a b

0

= = =

x x A

dove e ed ,

0

y y c d

Dimostriamo ora il

Si consideri un cambiamento di sistema di riferimento che

Teorema 11.2.

lascia ferma l’origine, quindi rappresentato dalle equazioni (11.11) e che

3

conservi la distanza di due punti . Allora la matrice A è ortogonale e siamo in

presenza di una rotazione di assi vedi Figura 11.3 nella pagina successiva.

( )

Dimostrazione. P x y

Sia , un punto. Senza ledere la generalità, pos-

0 0 ( )

O

siamo supporre che il secondo punto sia l’origine 0, 0 (se non lo fosse

possiamo effettuare prima una opportuna traslazione di assi). La distan-

q 0 0

2 2 20 2 2

2 20

+ = + = +

d P O x y d x y x y

za di da è quindi deve essere .

0 0 0

0

3 P Q d d

cioè se la distanza di due punti e è nel sistema non accentato, essa resta in quello

accentato 114 Capitolo 11. La retta nel piano

Ma si ha 0

0

0

0 2

2

2 20 ) =

+

) + (

+

+ = = ( dy

cx

by

x y ax 0

0

0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 2 2 2 2 2 2 2

= + + + + + =

a x b x y c x d x y

2abx 2cdx

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

2 2 2 2 2 2

= ( + ) + ( + ) + ( + )

a c x b d y ab cd x y

2 .

0 0

0 0

0 0

2 2

+

x y

che è uguale a se e solo se

0 0 2 2

 + =

a c 1

 2 2

+ =

b d 1

 + =

ab cd 0

 A

che sono le condizioni per cui è una matrice ortogonale.

R P 0

0 Q

R Q

O Rotazione

Figura 11.3

11.7 Coordinate polari

Presentiamo ora un altro sistema di riferimento che può essere

comodo in varie circostanze.

coordinate polari nel piano. P

Parliamo delle Sia un punto distinto

( )

x, y

dall’origine e siano le sue coordinate in un sistema di riferimento

p 2 2

= +

x y P

cartesiano. Se è la distanza di dall’origine, e l’angolo

ρ ϑ

115

11.7. Coordinate polari

# »

OP

che il vettore forma con l’asse, si vede subito dalla figura 11.4 che si

ha ( =

x cos

ρ ϑ

=

y sin

ρ ϑ

> <

con 0, 0 2π.

ρ ϑ P

ρ ( )

sin

ρ ϑ

A

ϑ

O ( )

cos

ρ ϑ

Coordinate polari

Figura 11.4 ( )

P coordinate polari P

Possiamo allora dire che il punto ha . Se

ρ, ϑ

coincide con l’origine, ovviamente non è definito, e possiamo dire

ϑ =

che esso è individuato dalla sola coordinata 0.

ρ

OSSERVAZIONE 11.7. Mentre le coordinate polari sono rappresen-

tate da una coppia ordinata di numeri reali che rappresentano due

lunghezze, i due numeri reali che rappresentano le coordinate polari,

invece, sono rispettivamente una lunghezza e l’ampiezza di un angolo

R +

∈ ≤ <

(misurata in radianti), quindi e 0 2π.

ρ ϑ

Capitolo 12

La circonferenza nel piano

12.1 Generalità

Consideriamo un riferimento cartesiano ortogonale. La distanza tra

( ) ( )

P x y Q x y

i punti , e , è, come è noto,

2 2

1 1 q 2 2

− −

= ( ) + ( )

d x x y y .

2 2

1 1

Γ ( )

C x y r

Sappiamo che una circonferenza di centro , e raggio è

0 0

l’insieme dei punti del piano che distano r da C. Per trovare l’equazione di

tale circonferenza basta tradurre in equazione la definizione, cioè, se

( )

P x, y è un punto qualsiasi del piano, esso sta sulla circonferenza se e

C r;

solo se la sua distanza da è cioè

q 2 2

− −

( ) + ( )

= x x y y

r 0 0

da cui 2 2 2

− −

( ) + ( ) =

x x y y r (12.1)

0 0

che assume la più usuale forma

2 2

+ + + + =

x y ax by c 0 (12.2)

2 20 2

− − −

= = = +

a b c x y r

pur di porre 2x , 2y e .

0 0 0

Ma si può anche far vedere che ogni equazione del tipo (12.2) rappre-

senta una circonferenza. Infatti, confrontando la (12.1) con la (12.2) si ve-

a b

− −

C

de subito che essa rappresenta la circonferenza di centro ,

2 2

√ 2 2 −

+

a b 4c

=

r

e di raggio purché si abbia

2 2 2 −

+ >

a b 4c 0. (12.3)

117

118 Capitolo 12. La circonferenza nel piano

( )

La circonferenza che ha centro nel punto C e raggio

1, 0

Esempio 12.1.

√ 2 2 2 2

− −

= ( ) + = +

r ha equazione x y che, sviluppata, diventa x y

2 1 2

− =

2x 1 0. Sia la circonferenza

Esempio 12.2. γ 2 2 − −

+ + =

2x 2y 4x 8y 1 0. (12.4)

Vogliamo trovarne centro e raggio. L’equazione (12.4) si può scrivere anche

12

2 2 − −

+ + =

nella forma (canonica) x y da cui si ha subito che il

2x 4y 0 √

√ −

+

4 16 2 2

3

=

( ) = .

centro ha coordinate C ed il raggio è r

1, 2 2 2

OSSERVAZIONE 12.1. È comodo rimuovere l’eccezione (12.3) in modo

tutte cioè tutte le

da poter affermare che le equazioni del tipo (12.2)

equazioni di secondo grado in cui manca il termine rettangolare ed in cui i

2 2

coefficienti di x ed y sono uguali rappresentano una circonferenza. Per

far ciò bisogna ampliare il piano cartesiano con i punti a coordinate

complesse e quindi ammettere che sia una circonferenza anche la curva

rappresentata dall’equazione 2 2

+ =

x y 0

che ha un solo punto reale, e rappresenta la circonferenza con centro

nell’origine e raggio nullo o peggio, l’equazione

2 2

+ + =

x y 1 0

che rappresenta la circonferenza, completamente immaginaria, di cen-

=

r i.

tro l’origine e raggio immaginario

La circonferenza nel piano ha anche un’interessante rappresentazio-

ne parametrica: come si vede dalla figura 12.1 nella pagina successiva,

x x 0

( ) =

C x y r

se il centro è il punto , ed il raggio è si ha che cos ϕ

0 0 r

y y 0

= CP

e sin dove è l’angolo che il raggio forma con la dire-

ϕ ϕ

r ( )

x. C x y

zione dell’asse Dunque la circonferenza che ha centro in , e

0 0

r

raggio ha equazioni parametriche

( = +

x x r cos ϕ

0 . (12.5)

= +

y y r sin ϕ

0

Due circonferenze possono intersecarsi, essere esterne una all’altra,

essere interne una all’altra o tangenti, internamente od esternamente.

119

12.2. Tangenti La circonferenza in equazioni parametriche

Figura 12.1 2 2 2 2

≡ − ≡ −

+ = + =

Siano x y e y

2x 0 2x 2y 0.

Esempio 12.3. γ γ

2

1

Vogliamo trovare le loro intersezioni. Si osserva subito che passano entrambe

per l’origine, quindi o sono ivi tangenti o sono secanti. Si potrebbe stabilirlo

esaminando la relazione che c’è tra la distanza dei centri e la somma o la

differenza dei raggi, ma qui ci interessano le intersezioni. Dobbiamo studiare

quindi il sistema 2 2

 −

+ =

x y 2x 0

( 2 2 −

+ =

x y 2x 0 

equivalente a 1

2 2 2 2

+ =

y −

2x 2y 0 =

+

x y 0

 2

e anche, sottraendo membro a membro, al sistema

2 2

 −

+ =

x y 2x 0

 1

− + =

y

2x 0

 2 2 8

= = = =

che fornisce le soluzioni x y e x y .

0 0 2 2

1 1 17 17

Una retta ed una circonferenza hanno in comune due punti: se i due

secante,

punti sono reali e distinti la retta è se sono reali e coincidenti la

tangente esterna

retta è se sono immaginarie la retta è

12.2 Tangenti

Sussiste il ben noto

120 Capitolo 12. La circonferenza nel piano

Siano P un punto e una circonferenza. Se P è esterno a

Teorema 12.1. γ ∈

da P escono due e due sole tangenti alla circonferenza, invece se P la

γ γ

tangente è una sola. Per determinare l’equazione

di una tangente può essere utile

ricordare una proprietà elementa-

re illustrata nella figura 12.2: la

tangente ad una circonferenza in

un suo punto è perpendicolare al

raggio passante per quel punto.

Si può dimostrare il 2

( ) +

Sia x x

:

Teorema 12.2. γ 0

2 2

( ) = l’equazione di una

y y r

0 Γ.

( )

circonferenza e sia T x y

,

1 1

Tangente in P ad una circonferen-

Figura 12.2 Allora la retta tangente a in T ha

za γ

equazione

− −

( )( )+

x x x x (12.6)

0

1 1

− −

( )( ) =

y y y y 0

0

1 1 −

(

P, a x

Dimostrazione. Poiché la tangente passa per essa ha equazione

) + ( ) =

b y y

x 0. Questa retta deve essere perpendicolare alla retta

1 1 − − −

[ ] =

PC x x y y a x x

cioè al vettore , e quindi possiamo porre

0 0 0

1 1 1

=

b y y

e .

0

1 P P

Nel caso di esterno per trovare le tangenti uscenti da si può

procedere come nel seguente

Vogliamo determinare le tangenti alla circonferenza

Esempio 12.4. 2 2

≡ −

+ =

x y 2x 0

γ

( )

passanti per P . (vedi la figura 12.3 nella pagina successiva). La ha

0, 2 γ

( ) =

centro nel punto C e raggio r Si nota subito da questo fatto che una

1, 0 1.

delle tangenti è l’asse y. Per trovare l’altra tangente si può procedere in vari

modi

i) Nel fascio di rette che ha per sostegno P si scelgono quelle a distanza 1

da C. 121

12.3. Fasci di circonferenze Tangenti da un punto ad una circonferenza

Figura 12.3 = +

ii) L’equazione canonica della generica retta per P è y mx Quindi,

2.

intersecando con la si ha il sistema:

γ ( = +

y mx 2

2 2 −

+ =

x y 2x 0

2 2 −

+ ( + ) =

che ammette come equazione risolvente x mx che

2 2x 0

diventa, con semplici passaggi,

2 2 −

( + ) + ( ) + =

m x x

1 2 2m 1 4 0. (12.7)

La (12.7) ammette due soluzioni coincidenti quando

∆ 2 2

− −

= ( ) ( + ) =

m

2m 1 4 1 0

4

− − =

cioè quando da cui si ha la retta

4m 3 0

3

− −

= + + =

y x cioè

2 3x 4y 8 0.

4

OSSERVAZIONE 12.2. Nell’esempio 12.4 a fronte abbiamo trovato una

sola retta: questo è dovuto al fatto che abbiamo usato l’equazione

y.

canonica che, come è noto, non individua rette parallele all’asse

12.3 Fasci di circonferenze

L’insieme di tutte le circonferenze che passano per due punti fissi

A B fascio di circonferenze

e si chiama ed i due punti prendono il nome

punti base

di del fascio; se e sono due circonferenze di equazioni

γ γ

2

1

rispettive 2 2

+ + + + =

x y a x b y c 0 (12.8)

1 1 1

122 Capitolo 12. La circonferenza nel piano

e 2 2

+ + + + =

x y a x b y c 0 (12.9)

2 2 2

si vede subito che l’equazione

2 2 2 2

( + + + + ) + ( + + + + ) =

x y a x b y c x y a x b y c 0 (12.10)

λ µ 2 2 2

1 1 1

6 −

= A B.

rappresenta, per ancora una circonferenza che passa per e

λ µ

= A B

Per la (12.10) rappresenta una retta passante per e che è

λ µ

asse radicale

detta del fascio e che può esser considerata la circonferenza

di raggio massimo (infinito) del fascio. Quindi

L’ equazione del fascio che ha per sostegno i punti A e B cioè

Teorema 12.3.

di tutte e sole le circonferenze che passano per questi punti si ottiene come

combinazione lineare non banale di quelle di due qualsiansi circonferenze

passanti per A e B.

Come abbiamo osservato, l’asse radicale, che appartiene al fascio

=

perché si ottiene ponendo nella (12.10), viene considerato come

λ µ

una circonferenza di raggio infinito, e come tale viene spesso usato per

scrivere l’equazione del fascio stesso.

Facendo riferimento all’osservazione 11.4 a pagina 109 notiamo

che anche i fasci di circonferenze si possono descrivere con un solo

parametro non omogeneo, pur di tener conto delle condizioni elencate

appunto nell’osservazione 11.4.

Se vogliamo scrivere l’equazione della circonferenza che passa

Esempio 12.5. ( ) ( ) ( )

per i tre punti A , B e C possiamo scrivere anzitutto l’equa-

1, 0 3, 0 2, 3

zione del fascio che ha come punti base A e B combinando linearmente due

qualsiansi circonferenze per A e B: le più comode sono quella di raggio massi-

=

mo (cioè l’asse radicale, di equazione y e quella di raggio minimo, cioè

0) ( )

quella che ha per diametro AB, quindi centro nel punto O e raggio cioè

2, 0 1

2 2

( ) + =

di equazione x y da cui l’equazione del fascio

2 1,

2 2 −

+ + + =

x y 4x 3 0

λy

dove, in accordo con quanto detto nell’osservazione 11.4 a pagina 109, abbiamo

usato un solo parametro, ovviamente posto nella posizione più comoda. A

questo punto la circonferenza che cerchiamo sarà quella del fascio che passa

per il punto C, cioè quella per cui

2 2 − ·

+ + + =

2 3 4 2 3λ 3 0. 123

12.4. Circonferenza ed elementi impropri I due punti base del fascio pos-

sono anche essere coincidenti: è il

caso di un fascio di circonferenze

tangenti in un punto ad una retta

(Fig. 12.4). In questo caso la cir-

conferenza di raggio massimo è

sempre l’asse radicale, cioè la ret-

ta tangente, e quella di raggio mi-

nimo si riduce alla circonferenza

(immaginaria) che ha centro nel

punto e raggio nullo.

Fascio di circonferenze tangenti

Figura 12.4

ad una retta Vogliamo l’equazio-

Esempio 12.6.

ne del fascio di circonferenze tan-

( )

genti nel punto P alla retta di

1, 2

=

equazione y 2x.

Possiamo combinare linearmente l’equazione della retta con quella della

2 2

− −

( ) + ( ) =

circonferenza che ha centro in P e raggio che è: x y

0, 1 2 0

ottenendo l’equazione del fascio

2 2

− − −

( ) + ( ) + ( ) =

x y y

1 2 2x 0

λ

Si parla di fascio anche quando le due circonferenze hanno in co-

mune solo punti immaginari, questo è il caso, per esempio, di fasci di

circonferenze concentriche.

Per esempio il fascio di circonferenze che hanno centro nel

Esempio 12.7.

( )

punto C può essere rappresentato dall’equazione

1, 0 2 2 2 2

− − −

( ) + + [( ) +

x y k x y

1 1 1

ottenuto combinando linearmente la circonferenza di raggio nullo e quella di

raggio 1, entrambe con centro in C.

12.4 Circonferenza ed elementi impropri

Il problema delle intersezioni di due circonferenze dà luogo, come

abbiamo visto, ad un sistema di quarto grado (due equazioni di secon-

do), tuttavia le soluzioni, reali o complesse che siano, sono al più due.

La ragione di questo strano fatto risiede nella considerazione dell’esi-

stenza di due punti impropri che appartengono a tutte le circonferenze

del piano; infatti, in coordinate omogenee l’equazione della generica

circonferenza è 2 2 2

+ + + + =

x y axu byu cu 0.

124 Capitolo 12. La circonferenza nel piano

I punti di intersezione di questa circonferenza con la retta impropria

sono le soluzioni del sistema omogeneo

( 2 2

+ =

x y 0

=

u 0 ±

( )

i

e cioè i punti di coordinate omogenee 1 : : 0 che, come si verifica

qualsiasi

immediatamente, soddisfano l’equazione di una circonferenza;

punti ciclici

essi prendono il nome di del piano.

Nel caso di un fascio di circonferenze concentriche, ad esempio

Esempio 12.8.

(scrivendo le equazioni in coordinate omogenee)

2 2 2 2 2

≡ − − ≡ −

+ + = + + =

x y e x y

2xu 2yu 3u 0 2xu 2yu 0

γ γ

2

1 2 =

se cerchiamo l’asse radicale otteniamo l’equazione cioè la retta

3u 0,

impropria contata due volte. Questo sigifica che tutte le circonferenze di

questo fascio sono tangenti alla retta impropria nei punti ciclici.

Capitolo 13

Le coniche

In questo paragrafo esamineremo le principali proprietà di alcune

1

coniche

curve piane note con il nome di e cioè delle curve che vanno

ellisse, parabola ed iperbole.

sotto il nome di Le coniche

Figura 13.1

O r

In generale se è un punto fissato del piano ed una retta non

O conica P

passante per chiamiamo il luogo dei punti tali che la distanza

>

PO P r.

sia 0 volte la distanza tra ed Il numero che si chiama

ε ε 2

eccentricità della conica e

viene spesso indicato anche con la lettera . Una

< = >

ellisse

conica si chiama se 1, parabola se 1 e iperbole se 1.

ε ε ε

(Fig.13.1)

Nello specifico possiamo dire che

1 Il nome deriva dal fatto che l’ellisse, la parabola e l’iperbole sono sezioni piane di un cono

circolare.

2 =

e

Da non confondere con il numero 2, 71 . . . di Nepero, base dei logaritmi naturali

125

126 Capitolo 13. Le coniche

F F ellisse

Dati due punti e del piano, si chiama

DEFINIZIONE 13.1. 2

1

F F P

(Fig. 13.2) di fuochi e l’insieme dei punti del piano tali che sia

2

1 P F F

costante la somma delle distanze di da e 2

1

( ) + ( ) =

d PF d PF 2a

2

1 > ( )

a d F F

dove è una costante tale che 2a .

2

1

L’ellisse

Figura 13.2

Determiniamo l’equazione dell’ellisse scegliendo il sistema di rife-

(− ) ( )

F c, F c,

rimento in modo che i fuochi abbiano coordinate 0 e 0 ,

2

1

< <

c a.

tenendo conto che è 0 Precisamente dimostriamo che l’ellisse

F F

che ha fuochi e ha equazione

2

1 2 2

x y

+ = 1. (13.1)

2 2

a b

√ 2 2

=

b a c

dove .

( )

P x, y

Sia ; allora deve essere

q q

2 2 2 2

= ( ) + ( ) = ( + ) + + ( ) +

d PF d PF x c y x c y

2a .

2

1 127

Da cui 2

q

2 2 2 2

− ( ) +

( + ) + = x c y

x c y 2a q

2 2 2 2 2

− − −

= + ( ) + ( ) +

x c y x c y

4a 4a

e quindi q 2

2 2

− −

( ) + = ( )

x c y a cx

4

4a

da cui 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2

− − −

( + + ) = ( ) = +

a x c y a cx a xc c x

2xc 2a

2 2

x y

2 2 2 2 2 2 2 2

− − ⇐⇒ + =

( ) + = ( )

a c x a y a a c 1

2 2 2

a a c

2 2 2

=

b a c

e la (13.1) segue ponendo .

OSSERVAZIONE 13.1. Per come è stato definito segue naturalmente

< = >

b a; b a b a

che se si ottiene una circonferenza e se si scambiano

±

( )

x y c

il ruolo della e e dunque si ottiene l’ellisse di fuochi 0, .

Per esempio vogliamo determinare i fuochi dell’ellisse di equazione

2 2

+ =

y

4x 1. (13.2)

Possiamo scrivere la (13.2) nella forma

2

x 2

+ =

y 1

2

1

2 1

= = >

a b b a

da cui si ricava immediatamente che e 1; essendo si ot-

2 √ √ !

√ r 3 3

1

2 2

− − −

=

= =

c b a c F

tiene e dunque 1 e quindi 0,

1

4 2 2

√ !

3

F

e 0, .

2 2

Tenendo presente l’equazione (13.1) si vede subito che si può por-

x y

= = equazioni

re cos e sin da cui si ottengono le comode

ϕ ϕ

a b

parametriche dell’ellisse riferita ai propri assi di simmetria

( =

x a cos ϕ ≤ ≤ + 2π. (13.3)

ϕ ϕ ϕ

0 0

=

y b sin ϕ

128 Capitolo 13. Le coniche

L’iperbole

Figura 13.3 F F iperbole

Dati nel piano due punti e si chiama

DEFINIZIONE 13.2. 2

1

F F P

di fuochi e l’insieme dei punti del piano tali che è costante il

2

1 P F F

valore assoluto della differenza delle distanze di da e 2

1

| −

( ) ( )| =

d PF d PF 2a

2

1 < ( )

a d F F

dove è una costante che soddisfa la relazione 2a .

2

1

(− ) ( )

F c, F c,

Se 0 e 0 si ottiene, con calcoli del tutto analoghi a quelli

2

1

svolti precedentemente – e che lasciamo per esercizio al lettore – che

F F

l’iperbole avente fuochi in e ha equazione

2

1 2 2

x y

− = 1 (13.4)

2 2

a b

√ 2 2

+

= a b

c .

dove | |

x

Si osserva anche che per grandi valori di , l’iperbole “si av-

±

=

ay bx,

vicina”alle due rette di equazioni infatti dalla (13.4) si

ha p 2 2 2 2

± +

= a b b x

ay ,

>

y

da cui, se 0 p 2 2 2 2

− | | − − | |

= +

ay b x a b b x b x √

√ 2 2 2 2 2 2 2 2

− − −

| |)( | |)

+ + +

( a b b x b x a b b x b x

= 2 2 2 2

− | |

+ +

a b b x b x

2 2

− a b

= .

2 2 2 2

| | + +

b x a b b x 129

questa è una quantità che diventa sempre più piccola al crescere di

b 3

±

| | = x

y asintoti

x . Le rette di equazioni si chiamano dell’iperbole.

a

equilatera

L’iperbole si chiama se gli asintoti sono perpendicolari.

La parabola

Figura 13.4

parabola.

Consideriamo ora la F r

Dati nel piano un punto ed una retta tali che

DEFINIZIONE 13.3.

6∈

F r, parabola F r P

una di fuoco e direttrice è l’insieme dei punti del

F r

piano equidistanti da e da cioè:

( ) = ( )

d FP d Pr . p

>

p F ,0

Per trovarne l’equazione canonica (v. Fig. 13.4) sia 0, se 2

p

=

r x

allora ha equazione e l’equazione della parabola è:

2 2 =

y 2px (13.5)

infatti r 2

p 2

− +

( ) = x y

d PF 2

e p

( ) = +

d P, r x 2

3 Il concetto generale di asintoto di una curva è stato chiarito nei corsi di Analisi.

130 Capitolo 13. Le coniche

da cui 2

2 p

p 2 2

2 −

= + +

+ + x px y

x px 4 4

che, semplificata, è la (13.5).

Dalle equazioni che abbiamo trovato notiamo che l’ellisse e l’iper-

bole sono curve simmetriche: esse posseggono due assi di simmetria

tra loro ortogonali che nel nostro caso coincidono con gli assi del si-

stema di riferimento, quindi hanno anche un centro di simmetria, che

coincide con il punto di incontro degli assi e che, in forma canonica, è

l’origine del sistema di riferimento; la parabola, invece, ha un solo asse

x

di simmetria che, in forma canonica, coincide con l’asse e quindi non

ha un centro di simmetria. equazioni canoniche

Quelle che abbiamo esaminato sono le cosiddette

delle coniche, cioè quelle in cui appunto gli assi di simmetria delle

coniche coincidono con gli assi coordinati, per le coniche a centro e con

x

l’asse per la parabola. Se ciò non accade la forma dell’equazione può

essere molto diversa.

13.1 Coniche in forma generale

In generale l’equazione di una conica è una generica equazione di

secondo grado, quindi ha la forma

2 2

+ + + + + =

ax bxy cy dx ey f 0 (13.6)

a, b, c

con non tutti nulli; oppure, in forma matriciale,

~ ~ =

x A x 0

T

x y

~ 1

x A

dove è il vettore ed è la matrice simmetrica

b d 

 a 2 2

b e

=

A c 

 2 2

d e f

2 2

OSSERVAZIONE 13.2. Tra le equazioni della forma (13.6) dobbiamo

2 2

+ =

x y

accettare anche equazioni del tipo 0 (circonferenza che ha un

2 2

+ + =

x

solo punto reale, già vista) o 2y 1 0 (ellisse completamente

2 2

− = +

x x

immaginaria) oppure 2y 0 spezzata nelle due rette reali

√ √

= =

x

2y 0 e 2y 0 ed altre “stranezze” del genere. Quindi,

per completezza, dobbiamo chiamare coniche anche curve a punti di

spezzate

coordinate complesse o curve in coppie di rette, queste ultime

coniche degeneri.

prendono anche il nome di 131

13.2. Riconoscimento di una conica

13.2 Riconoscimento di una conica

Sorge allora il problema di “riconoscere” la conica, cioè di sapere

se l’equazione 13.6 a fronte rappresenti un’ellisse, un’iperbole o una

parabola, degenere o no.

Il problema del riconoscimento di una conica si può affrontare in

vari modi; per i nostri scopi possiamo notare subito che la (13.6) rap-

= =

b a c.

presenta una circonferenza se e solo se 0 e Inoltre, nel

caso generale, si dimostra che mediante un opportuno cambiamento

di sistema di riferimento l’equazione 13.6 nella pagina precedente) si

può portare in una delle tre forme canoniche ( 13.1 a pagina 126), ( 13.4

a pagina 128) e ( 13.5 a pagina 129) che non contengono il termine

4

“rettangolare” .

Se il polinomio a primo membro della (13.6) si scompone in fattori

degenere

lineari, la conica è detta e spezzata in due rette (reali o immagi-

narie, coincidenti o no). Si verifica facilmente, con passaggi elementari

ma un po’ laboriosi, che una conica degenere rimane tale in qualunque

sistema di riferimento cartesiano ortogonale; quindi l’essere degenere è

invariante

un carattere rispetto ad una qualsiasi rototraslazione di assi.

Un’altra caratteristica invariante di una conica è la sua natura, cioè

il fatto di essere un’ellisse piuttosto che una parabola od un iperbole,

equilatera o no.

Questi caratteri invarianti si traducono in termini algebrici esami-

A

nando la matrice vista nel paragrafo precedente, e la sua sottomatrice

b

a 2

=

B

formata dalle prime due righe e dalle prime due colonne: .

b c

2

Si può infatti dimostrare che = =

Una conica è degenere se e solo se I A la conica

det 0;

Teorema 13.1. 3

= = >

è una parabola se I B è un ellisse se I ed è un’iperbole se

det 0; 0

2 2

< = + =

I In particolare se la traccia di B cioè I a c è nulla si tratta di

0. 0

2 1

una iperbole equilatera.

OSSERVAZIONE 13.3. Dal teorema 13.1 si vede dunque che la natura

di una conica è completamente determinata solo dai coefficienti dei

termini di secondo grado della sua equazione ed in particolare che la

conica è una parabola se e solo se il complesso dei termini di secondo

grado è il quadrato di un opportuno binomio.

4 In realtà le equazioni canoniche dell’ellisse e dell’iperbole non contengono nemmeno

termini lineari, ma questi ultimi si possono facilmente eliminare con una traslazione degli assi.

132 Capitolo 13. Le coniche

OSSERVAZIONE 13.4. Osserviamo anche che la parabola degenera in

5

due rette reali parallele (eventualmente sovrapposte : per esempio

2 =

x

quelle rappresentate dall’equazione 0); l’ellisse degenera in due

rette incidenti entrambe prive di punti reali (tranne il loro punto di

intersezione) infine l’iperbole degenere è costituita da due rette reali

incidenti in un punto, che sono perpendicolari se e solo se l’iperbole è

equilatera.

Si può anche dimostrare che con un’opportuna rototraslazione di

assi l’equazione generica di una conica ( 13.6 a pagina 130) si può

sempre portare in una ed una sola delle forme canoniche elencate nella

tabella 13.1. Le forme canoniche dell’equazione di una conica

Tabella 13.1

2 2

x y

+ = 1 (ellisse reale)

2 2

a a

2 2

x y −

+ = 1 (ellisse immaginaria)

2 2

a a

2 2

x y

+ = 0 (ellisse degenere)

2 2

a a 2

2 y

x − = 1 (iperbole non degenere)

2 2

a a

2 2

x y

− = 0 (iperbole degenere)

2 2

a a

2 =

y 2px (parabola non degenere)

2 =

y 0 (parabola degenere)

In riferimento alla tabella 13.1, notiamo che:

=

a b

i) Nei due casi dell’ellisse, se si ha una circonferenza, rispetti-

vamente reale o immaginaria.

=

a b

Nell’ellisse immaginaria se si ha la circonferenza di raggio

ii) ± =

x iy

nullo, degenere in due rette immaginarie: di equazioni 0

rette isotrope.

che si chiamano =

a b

iii) Nell’equazione dell’iperbole se si ha l’iperbole equilatera.

Osserviamo anche che operare la rotazione che riduce a forma canonica

l’equazione di una conica equivale a diagonalizzare ortogonalmente

A, A

la matrice il che è sempre possibile, essendo simmetrica (vedi

Teorema 9.8 a pagina 89).

5 una retta contata due volte.

in questo caso si parla spesso di 133

13.3. Tangenti ad una conica in forma canonica

Sia da riconoscere la conica

Esempio 13.1. 2 2

− −

+ + =

x x

4xy 4y 2y 0. (13.7)

2

− −

( ) + =

Si vede subito che la (13.7) si può scrivere come x x

2y 2y 0,

quindi, poiché il complesso dei termini di secondo grado è un quadrato, si

tratta di una parabola; inoltre, raccogliendo opportunamente la (13.7) si scrive

− −

( )( + ) =

anche x x dunque è degenere. del resto si vede anche

2y 2y 1 0 1

 

1 2 2

− −

2 4 1

=

subito che la matrice A è singolare.

 

1 − 1 0

2

Vogliamo riconoscere la conica di equazione

Esempio 13.2. 2 2

− −

+ =

x 2xy 6y 2x 0.

 

− −

1 1 1

− 1 6 0

=

La matrice dei coefficienti è A che non è singolare. Si

 

− 1 0 0

1 1

=

vede subito che la sottomatrice B ha determinante uguale a 5

− 1 6

quindi positivo: si tratta dunque di un’ellisse non degenere (vedi Figura 13.5).

13.3 Tangenti ad una conica in forma canonica

Sia una conica. Una

γ

r

retta ha in comune con

al massimo due punti,

γ

infatti il sistema formato

dalle equazioni della retta

e della conica ammette al

più due soluzioni, in quan-

to la risolvente del siste-

ma è al più di secondo gra-

do. Questi due punti, pe-

rò, possono essere distinti,

reali o complessi oppure

coincidenti. In questo ca-

r

so diciamo che la retta è Esempio 13.2

Figura 13.5

tangente alla conica γ.

Nel caso delle equazio- ( )

in forma canonica P x y

ni si verifica agevolmente che se , è un punto

0 0

134 Capitolo 13. Le coniche

appartenente alla conica P

l’equazione della tangente in alla conica è, per

le coniche reali a centro, xx yy

0 0

± = 1 (13.8)

2 2

a b −

+

ovviamente con il segno se si tratta di un’ellise e con il segno

in forma canonica

se si tratta di un’iperbole. ed invece per la parabola

P

l’equazione della tangente in è:

= ( + )

yy p x x . (13.9)

0 0 solo se P

ATTENZIONE Le (13.8) e (13.9) rappresentano le tangenti

appartiene alla conica e quest’ultima è scritta in forma canonica.

13.4 Conica per cinque punti

L’equazione generica della conica ( 13.6 a pagina 130) è un’equazione

6

che dipende da sei coefficienti omogenei ; quindi imporre il passaggio

per un punto dà luogo ad una equazione in sei variabili. Dunque il

( ) =

P x y i

passaggio per cinque punti distinti , , 1 . . . 5 dà luogo al

i i i

sistema  2 21

+ + + + + =

ax bx y cy dx ey f 0

1 1 1 1 1

1

 2 2

 + + + + + =

ax bx y cy dx ey f 0

 2 2 2 2 2

2 2

 2 23

+ + + + + =

ax bx y cy dx ey f 0

3 3 3 3 3

3

 2 24

 + + + + + =

ax bx y cy dx ey f 0

 4 4 4 4 4

4

 2 25

 + + + + + =

ax bx y cy dx ey f 0

 5 5 5 5 5

5 a, b, c, d, e

che è lineare omogeneo di 5 equazioni nelle 6 incognite

f

ed . Allora se il rango della matrice dei coefficienti è massimo, cioè,

∞ 1

( ) =

A r A

detta la matrice dei coefficienti, se 5 il sistema ammette

soluzioni, cioè infinite soluzioni che differiscono solo di un fattore di

proporzionalità. Quanto qui esposto si traduce nel

Per cinque punti, a tre a tre non allineati, passa una ed una

Teorema 13.2.

sola conica non degenere.

Dimostrazione. Se i cinque punti sono a tre a tre non allineati le equazio-

∞ 1

ni sono indipendenti quindi il sistema ammette soluzioni, infatti, se

così non fosse, cioè se una delle equazioni fosse combinazione lineare

delle altre quattro, si avrebbe che tutte le coniche che passano per quat-

A B C D E,

tro punti passerebbero anche per il quinto il che è assurdo,

6 cioè, ricordiamo, definiti a meno di un fattore di proporzionalità non nullo.

135

13.5. Le coniche in coordinate omogenee AB CD

perché la conica che si spezza nelle rette e dovrebbe passare

E AB CD.

per che per ipotesi non può appartenere nè alla retta nè alla

L’unica conica che passa per i cinque punti è anche irriducibile, perché

se così non fosse almeno tre dei cinque punti sarebbero allineati.

Le condizioni poste non vietano che due dei cinque punti coincida-

no. In tal caso la conica è tangente ad una retta passante per i due punti

coincidenti (e per nessuno dei rimanenti). Di più le coppie di punti

coincidenti possono essere due, in tal caso la conica sarà tangente a due

rette che passano ciascuna per una delle coppie di punti coincidenti.

13.5 Le coniche in coordinate omogenee

In coordinate omogenee, cioè lavorando nel piano ampliato con gli

elementi impropri, l’equazione ( 13.6 a pagina 130) si scrive

2 2 2

+ + + + + =

ax bxy cy dxu eyu f u 0 (13.10)

Per riconoscere la natura di una conica è più elegante studiarne il com-

portamento all’infinito, intersecandola con la retta impropria. Infatti

segue dalle considerazioni svolte sin qui, che una retta ed una conica

hanno sempre due punti in comune, distinti o coincidenti, reali o meno,

propri o impropri.

Una rototraslazione di assi, che, come abbiamo visto, non altera la

natura di una conica, manda punti propri in punti propri e punti im-

propri in punti impropri, quindi la natura di una conica equivale al suo

comportamento all’infinito, che possiamo esaminare sulle equazioni

canoniche.

2 2 2

x y x

2

± ±

= u

Per i punti impropri sono quelli delle due rette

2 2 2

a b a

2

y b b

± ±

= i

0 e cioè, rispettivamente 1 : : 0 per l’ellisse e 1 : : 0

2 a a

b l’iperbole ha due punti impropri reali e distinti: quelli

per l’iperbole, dunque

dei suoi asintoti i punti impropri dell’ellisse sono immaginari.

mentre 2 =

y

Per quanto riguarda l’equazione 2pxu della parabola si ha

2 =

y x

0 che equivale all’asse contato due volte, quindi la parabola è

( )

X

tangente alla retta impropria nel punto 1 : 0 : 0 . Nel caso generale

l’intersezione tra una parabola e la retta impropria produce il sistema

( 2 2

+ + =

ax bxu cy 0

=

u 0

136 Capitolo 13. Le coniche

( + )

in cui la prima equazione è il quadrato di un binomio e

αx βy

( )

quindi la parabola avrà il punto improprio : : 0 .

β α

Dunque possiamo concludere

che:

L’ellisse non ha punti impro-

pri reali.

La parabola ha due punti im-

propri reali coinci-

denti, cioè è tangen-

te alla retta impro-

pria nel suo punto

improprio. Esempio 13.3

Figura 13.6

L’iperbole ha due punti impro-

pri reali e distinti, in

direzione ortogona-

le se e solo se essa è

equilatera.

Vogliamo riconoscere la natura della conica che in coordi-

Esempio 13.3. γ

2 2

− −

+ + =

nate non omogenee ha equazione x y x Se passiamo

3xy 2 0. =

a coordinate omogenee e intersechiamo la con la retta impropria u 0

γ

otteniamo il sistema

( (

2 2 2 2 2

− − −

+ + = + =

x y xu x y

3xy 2u 0 3xy 0

equivalente a

= =

u u

0 0

2

Dividendo la prima equazione per x otteniamo i coefficienti angolari delle rette

2 − − =

in cui è spezzata la conica del secondo sistema: m che ammette

3m 1 0

± 13

3

=

le due radici reali e distinte m , quindi la conica, avendo i due

12 √ √

2 −

( + ) ( )

punti impropri reali e distinti P e Q è

2 : 3 13 : 0 2 : 3 13 : 0

∞ ∞

un’iperbole; di più poiché i due punti impropri sono in direzioni ortogonali, si

tratta di un’iperbole equilatera. (Vedi figura 13.6)

2 2 −

+ + + =

Riconosciamo la conica x xy x Passando

2y 1 0.

Esempio 13.4. 2 +

a coordinate omogenee ed intersecando con la retta impropria, abbiamo x

2 2

+ = + + =

xy da cui m che ha radici complesse, quindi la

2y 0 1 2m 0

conica è un’ellisse, come si vede dalla figura 13.7 a fronte)

13.6 Fasci di coniche 137

13.6. Fasci di coniche In questo paragrafo

estenderemo al caso delle

coniche il concetto di fa-

scio già visto per le rette e

le circonferenze; in genera-

le, infatti, un fascio è un in-

sieme di enti geometrici le

cui equazioni dipendono

linearmente da una coppia

di parametri omogenei o

da un solo parametro non

omogeneo.

Esempio 13.4

Figura 13.7 Generalità

sui fasci di coniche

fascio di coniche

Chiamiamo generato da due co-

DEFINIZIONE 13.4.

niche e , che si incontrano in quatto punti (reali o no, propri o

γ γ

2

1

impropri, a tre a tre non allineati ma eventualmente a due a due coinci-

F

denti) l’insieme di tutte le coniche la cui equazione si ottiene come

combinazione lineare non banale delle equazioni di e . In tale

γ γ

2

1

punti base del fascio

situazione chiamiamo i quattro punti comuni a e

γ

1

.

γ

2 F

tutte e sole

Si verifica facilmente che le coniche di passano per

tutti e quattro i punti base.

Per quattro punti a tre a tre non allineati passano sei rette, che, op-

portunamente considerate a due a due, formano le (uniche) tre coniche

F

degeneri di . Osserviamo inoltre che imporre ad una conica di passa-

re per quattro punti non allineati vuol dire fornire quattro condizioni

lineari indipendenti.

Per scrivere l’equazione del fascio di coniche che ha come punti base

A, B, C D

i punti e basta combinare linearmente le equazioni di due

qualsiansi di queste coniche; in generale le più comode sono proprio

AB

quelle degeneri; esse sono tre: quella spezzata nella coppia di rette

· · ·

CD AB CD, AC BD AD BC;

e che indicheremo con la e la possiamo

usare due di queste per scrivere l’equazione del fascio.

Se due dei quattro punti base coincidono si ha una condizione di

tangenza in un punto: è il caso del fascio di coniche tangenti in un

punto ad una data retta e passanti per altri due punti.

138 Capitolo 13. Le coniche

Ci possono essere anche due coppie di punti coincidenti: in tal caso

si parla di fascio di coniche bitangenti, cioè di coniche tangenti in un

P r Q s.

punto ad una retta ed in un punto ad una seconda retta

Se le due coniche da cui partiamo per costruire il fascio hanno

rispettivamente equazioni:

2 2

≡ + + + + + =

a x b xy c y d x e y f 0

γ

1 1 1 1 1 1 1

2 2

≡ + + + + + =

a x b xy c y d x e y f 0

γ

2 2 2 2 2 2 2

l’equazione del fascio sarà:

2 2

( + + + + + )+

a x b xy c y d x e y f

λ 1 1 1 1 1 1

2 2

+ ( + + + + + ) =

a x b xy c y d x e y f 0 (13.11)

µ 2 2 2 2 2 2

L’equazione (13.11) può assumere anche la forma

2 2

( + ) + ( + ) + ( + ) +

x xy y

λa µa λb µb λc µc

2 2 2

1 1 1

+( + ) + ( + ) + + =

x y f f 0 (13.12)

λd µd λe µe λ µ

2 2 2

1 1 1

Ci chiediamo quando l’equazione (13.11) rappresenta un’iperbole equi-

2 2

+ + + + + =

ax bxy cy dx ey f

latera. Ricordiamo che una conica 0 è

+ =

a c

un’iperbole equilatera se e solo se 0 quindi nella (13.12) se e solo

+ + + =

se 0. Questa è un’equazione lineare che può

λa µa λc µc

2 2

1 1

ammettere una sola soluzione, oppure essere identicamente verificata

+ = + =

a c a c

(se 0) o non ammettere soluzioni (se, ad esempio,

2 2

1 1

6

+ = + =

a c a c

0, 0).; quindi in un fascio di coniche possono esserci

2 2

1 1

esattamente una iperbole equilatera, solo iperboli equilatere oppure

nessuna iperbole equilatera.

Analogamente possiamo dire che la (13.12) rappresenta una parabo-

la se e solo se 2

( + ) + ( + )( + ) =

4 0 (13.13)

λb µb λa µa λc µc

2 2 2

1 1 1

L’equazione (13.13) può ammettere esattamente due soluzioni reali,

distinte o coincidenti, e allora nel fascio ci sono due parabole distinte o

7

coincidenti oppure essere identicamente soddisfatta, e allora si tratta

di un fascio di sole parabole o impossibile, e allora si tratta di un fascio

di coniche che non contiene parabole.

Cerchiamo se esistono parabole passanti per i punti comuni

Esempio 13.5. 2 2 2 2

≡ ≡ − −

+ = + =

alle coniche x y e x y (circonferenza

4 2xy 2x 0

γ γ

2

1

7 eventualmente degeneri in due rette parallele o sovrapposte. 139

13.7. Fasci e punti impropri

e iperbole equilatera non degenere). Il fascio individuato dalle due coniche ha

2 2 2 2

− − −

( + ) + ( + ) =

equazione x y x y che si può anche

4 2xy 2x 0

λ µ

2 2 2 2

− − −

+ + ( + ) =

scrivere come x y k x y o anche come

2xy 2x 4 0

2 2

− − −

( + ) + ( ) + =

k x k y

1 2xy 1 2x 4k 0 √

− − ±

( + )( ) = =

Per avere una parabola dovrà essere k k da cui k

1 1 1 0 2.

Quindi si hanno due parabole, di equazioni rispettive

√ √

√ 2 2

− − −

) ( + ) + =

( + x y

2 2xy 1 2 2x 4 2 0

1 √ √ √

2 2

− − − −

( ) ( ) + + =

x y

1 2 2xy 1 2 2x 4 2 0

13.7 Fasci e punti impropri

Le questioni riguardanti le coniche per quattro o cinque punti hanno

senso anche quando uno o due dei punti sono impropri; ad esempio se

r

si dice che una conica ammette un asintoto parallelelo ad una retta

R

data, si intende che la conica passa per il punto improprio della retta

r; se si conosce proprio l’equazione dell’asintoto, allora le condizioni

sono due: il passaggio per il punto improprio e la tangenza ivi alla retta

asintoto.

La circonferenza è una particolare conica che viene individuata

dando solo tre condizioni lineari indipendenti; questo fatto si spiega

considerando che, come abbiamo detto alla fine del capitolo12 tutte le

circonferenze del piano passano per due punti: i punti ciclici. Un fascio

di circonferenze secanti è dunque un caso particolare di quello delle

coniche per quattro punti distinti.

Per quanto riguarda l’asse radicale di un fascio di circonferenze,

esaminiamo che cosa accade in coordinate omogenee intersecando due

circonferenze: si ha il sistema

( 2 2 2

+ + + + =

x y axu byu cu 0 .

2 2 2

+ + + + =

x y 0

αxu βyu γu

Sottraendo membro a membro e raccogliendo opportunamente si ha

l’equazione − − −

) + ( ) + =

u a x b y c 0

[( ]

α β γ

che è l’equazione di una conica spezzata nella retta impropria e in un

altra retta, quella che abbiamo chiamato l’asse radicale del fascio.

Parte III

Polarità piana

Capitolo 14

Proiettività ed involuzioni

forma proiettiva di prima specie

Chiamiamo qualunque insieme di

enti geometrici la cui equazione è definita al variare di due parametri

lineari omogenei od uno non omogeneo che possa però assumere anche

il valore infinito: le rette, viste come insieme di punti (punteggiate) sono

forme di prima specie, così come lo sono i fasci di rette o di coniche.

In questo capitolo ci occuperemo di particolari trasformazioni tra for-

me di prima specie dette proiettività e di un particolare ed importante

tipo di tali trasformazioni dette involuzioni.

14.1 Proiettività

Si considerino due rette proiettive (cioè completate con il loro punto

0

r r

improprio e pensate come insieme di punti) e . Su ciascuna di esse si

( )

x u

può fissare un sistema di ascisse in modo che : siano le coordinate

0 0

∈ ( )

P r x u

omogenee del generico punto e : quelle del generico punto

0 0 0

P r proiettività r r

. Chiamiamo tra ed la corrispondenza biunivoca

0 0

( )

P x u r P r

che associa al punto : di il punto di di coordinate

π 0

( = +

ax bu

ρx (14.1)

0 = +

cx du

ρu

R,

− ∈ 6

= =

ac bd

con 0 e 0. Facendo nel sistema (14.1) il rapporto

ρ ρ

membro a membro e passando dalle coordinate omogenee a quelle

ordinarie si ottiene +

ax b

0 =

x (14.2)

+

cx d

che è la forma più usata per descrivere una proiettività. Esse valgono

(

P

soltanto per i punti propri, infatti il corrispondente del punto 1 :

143

144 Capitolo 14. Proiettività ed involuzioni

0

( = a

ρx 6

) =

c

0 dalla (14.1) ha coordinate tali che sia e se 0 si ha

0 = c

ρy

0 0 ac

( ) =

P a c P c

: cioè mentre se è 0 si ottiene il punto di coordinate

0 0

( )

P a r

omogenee : 0 cioè il punto improprio della retta . Esso può

+

ax b

0 =

x

anche essere determinato, usando la (14.2), come lim . In

+

cx d

x 0

r

modo analogo si osserva che il punto di che ha come corrispondente

0 dc

6 −

(− ) =

r P d c c P

il punto improprio di è : , dunque per 0 si ha e

=

c r.

per 0 si ha il punto improprio di

Un altro modo per rappresentare una proiettività si può ricavare

eliminando il denominatore nella (14.2) ottenendo una relazione del

tipo 0 0

+ + + = 0 (14.3)

αxx βx γx δ

− =

con la condizione 0.

αδ βγ

Se nella ( 14.1 nella pagina precedente) lasciamo cadere la condizio-

− =

ad bc

ne 0 si perde la biunivocità, come mostra il seguente

0 2x 4

=

Si consideri la corrispondenza x in cui, appunto, è

Esempio 14.1. − +

x 2 −

( )

x

2 2

0

− · − ·

= (− ) (− ) = =

ad bc Possiamo scrivere x e quindi

2 2 4 1 0. −( − )

x 2

0 00

− 6

= = =

x per ogni x mentre per x si ha la forma di indecisione

2 2 0

che corrisponde alla coppia di coordinate omogenee nulle ma non rappresenta

alcun punto. −

0 x 1

=

Consideriamo la proiettività x e calcoliamo il cor-

Esempio 14.2. +

x 1 0

( )

rispondente di qualche punto. Ad A corrisponde il punto A di ascissa

1

− − − ∞

0 0

1 1 1 1

= = (− ) = =

x al punto B il punto di ascissa x cioè il

0, 1 −

+ +

1 1 1 1

0

punto improprio della retta r ed al punto P improprio della r il punto di

0 x 1

= =

ascissa x lim 1

+

x 1

x

Nel caso in cui le due rette (o più in generale le due forme) coinci-

forme sovrapposte

dano, cioè, come si suol dire, la proiettività sia tra si

uniti fissi

chiamano o i punti che sono corrispondenti di se stessi.

Vogliamo trovare i punti uniti della proiettività di equazione

Esempio 14.3.

0 0

− − =

xx x Un punto è unito se e solo se è corrispondente di se stesso,

2x 0.

0

=

cioè se x x . Tenendo conto di questa condizione si ottiene l’equazione

2 − = ( ) ( )

x da cui i due punti uniti O ed A .

3x 0 0 3 145

14.1. Proiettività 6 =

Dall’esempio precedente si vede che, se nella (14.3) è 0 la ricerca

α

dei punti uniti si riconduce alla ricerca delle radici di un’equazione di

secondo grado, quindi una proiettività può avere:

• iperbolica)

due punti uniti distinti (proiettività

• parabolica)

un punto unito doppio (proiettività

• ellittica)

nessun punto unito (proiettività

=

Nel caso in cui sia 0 si verifica facilmente che un punto unito è

α − −

0 0 βx δ

+ + = =

x

il punto improprio: infatti da 0 si ha (qui

βx γx δ γ

− =

è sicuramente non nullo perche se no sarebbe 0 e non

γ αβ γδ

− − ∞.

βx δ =

avremmo una proiettività) e quindi lim L’altro punto

∞ γ

x

6 − − −

δ

= = =

x

unito sarà, se e se il punto improprio è un

β γ β γ

+

β γ

punto unito doppio.

Ogni proiettività è rappresentata da un’equazione omogenea che

dipende da 4 coefficienti, quindi è perfettamente determinata quando

sono date tre coppie di punti corrispondenti (uniti o meno):

Vogliamo l’equazione della proiettività che ammette come uni-

Esempio 14.4. 0

( ) ( ) ( ) (− )

ti i punti A , B e fa corrispondere al punto C il punto C . Le con-

0 1 2 1

 = 0

δ

 + + + = 0

dizioni poste, sostituite nella danno luogo al sistema

(14.3), α β γ δ

 − −

+ + =

2α 2β 0

 γ δ

= = =

da cui si ricava e e quindi l’equazione della

0, 3β 4β

δ α γ

0 0

+ =

proiettività è x

3xx 4x 0.

Finora abbiamo considerato proiettività tra rette (punteggiate), ma

come abbiamo detto, si possono considerare allo stesso modo proiettivi-

tà tra fasci di rette o di coniche, in questo caso le coordinate (omogenee)

del singolo elemento del fascio sono i parametri che lo individuano nel

fascio stesso. F F 0

+ =

Sia il fascio di rette per l’origine e

0

Esempio 14.5. λx µy

0 0

( ) + = ( )

x y quello delle rette per P , e sia la corrispondenza

1 0 1, 0

λ µ π

F F

0 0

che associa ad ogni retta r di la retta r di ad esssa perpendicolare. Per la

0

( −

=

ρλ µ

0 0

+ =

condizione di perpendicolarità si deve avere cioè

0

λµ λ µ 0 =

ρµ λ

che diventa, utilizzando nei due fasci un solo parametro non omogeneo e

146 Capitolo 14. Proiettività ed involuzioni

F 0 0 0 0

1

− − −

= = ( ) = =

scrivendo y mx e y m x m cioè mm Si

: : 1 1 0.

m

hanno quindi delle relazioni analoghe alle ed dunque la

(14.1), (14.2) (14.3);

relazione di ortogonalità definisce una proiettività tra i due fasci considerati.

Le rette, pensate come punteggiate ed i fasci (di rette o di coni-

che) vengono globalmente indicate , in questo contesto, come abbiamo

visto, come forme di prima specie. D’ora in avanti, salvo avviso con-

trario, sottintendiamo di estendere a tutte le forme di prima specie le

considerazioni che facciamo per le punteggiate.

14.2 Involuzioni

Se in una proiettività tra forme di prima specie sovrapposte si ha

π ( ) = =⇒ ( ) =

A B A B B A

una coppia di punti e tale che si dice che

π π

involutoria si corrispondono in doppio modo.

la coppia è o che i punti

Una proiettività tra forme di prima specie sovrap-

DEFINIZIONE 14.1. involuzione.

poste in cui ogni coppia di elementi è involutoria si chiama

L’equazione di una involuzione si può scrivere, in analogia con la

(14.3) come 0 0

+ ( + ) + =

x x 0 (14.4)

αxx β δ 0

x x

che è un’equazione simmetrica, cioè non cambia scambiando con .

Se in una proiettività di equazione esiste una coppia

(14.3)

Lemma 14.1. =

involutoria, allora si ha e quindi la proiettività è in particolare una

β γ

involuzione.

Dimostrazione. x

Infatti se a , ascissa di un punto non unito corrispon-

1

6 = + + + =

x x x x

de si ha 0, ma poiché anche

αx βx γx δ

2 2 2

1 1 1 1

+ + + =

x x

corrisponde ad si avrà anche 0; sottraen-

αx βx γx δ

2 2 2

1 1

− −

( ) + ( ) =

x x x x

do membro a membro otteniamo 0 da

β γ

2 2

1 1

− − 6

( )( ) = =

x x x x

cui 0 e poiché per ipotesi , deve essere

β γ

2 2

1 1

− = 0, quindi la proiettività è un’involuzione.

β γ

Per le involuzioni sussiste il

La proiettività di equazione è un’involuzione se e

(14.3)

Teorema 14.2.

=

soltanto se β γ. 0

=

Dimostrazione. x x

Se risolvendo la (14.3) sia rispetto ad che ad

β γ,

si ha 0

+ +

βx δ βx δ

0 = =

x x

e 0

+ +

αx β αx β 147

14.2. Involuzioni

quindi ogni coppia di punti è involutoria; viceversa se la proiettività è

un’involuzione, allora ogni coppia di punti è involutoria e quindi, per

=

il lemma 14.1 si ha β γ.

A questo punto è chiaro che

Una proiettività tra forme di prima specie sovrapposte

Corollario 14.3. π

che ammetta una coppia involutoria è una involuzione, cioè tutte le coppie di

elementi che si corrispondono in sono involutorie

π

Dimostrazione. Segue immediatamente dal Lemma 14.1 e dal Teore-

ma 14.2.

L’equazione (14.4) dipende da tre coefficienti omogenei, quindi

1

è univocamente determinata da due coppie di punti corrispondenti

essa , in

particolare un’involuzione è univocamente determinata dai suoi punti

uniti.

Anche le involuzioni si possono classificare in base ai loro punti

uniti: precisamente un’involuzione è

iperbolica se ammette due punti uniti reali e distinti;

ellittica se non ha punti uniti reali. =

x

Non esistono involuzioni paraboliche, infatti ponendo nella 14.4

0 2 + + =

x si ottiene l’equazione di secondo grado 2βx 0 il cui

αx δ

∆ 2 2

− −

= = ( )

B

discirminante 4β 4αγ 4 non si annulla mai perché

αγ

− 6 =

dev’essere 0 e quindi, siccome si tratta di una involuzione

αδ βγ

2

− 6 = 0

αδ β

Vediamo ora qualche esempio 0 + =

Calcoliamo i punti uniti dell’involuzione xx Si per-

1 0.

Esempio 14.6. R).

2 + =

viene all’equazione x che non ha radici (in Quindi l’involuzione

1 0

non ha punti uniti reali ed è dunque ellittica.

Troviamo l’equazione dell’involuzione che ha come punti

Esempio 14.7.

( ) ( )

uniti A e B . Le coordinate dei punti uniti sono soluzioni dell’equazione

0 1 0 0

12

2 − −

= ( + ) =

x x da cui si ottiene xx x x

0 0.

Sia data, in un fascio di rette, l’involuzione che fa corrispon-

Esempio 14.8. =

dere alla retta di coefficiente angolare m quella di coefficiente angolare

3

0 = =

m e che ammette come unita la retta per cui m Vogliamo trovare

1.

1 punti

Due punti che si corrispondono in una involuzione vengono anche spesso detti

coniugati. 148 Capitolo 14. Proiettività ed involuzioni

+

0 βm δ

=

l’altra retta unita. Dalla relazione m , tenendo conto delle condi-

+

αm β +

β δ

+ = =

zioni date si hanno le relazioni e che danno luogo al

3α 0 1

β +

α β

( (

+ = =

2β 5α

α δ δ

sistema che ha come soluzione . L’involuzione

+ = =

3α 0 3α

β β

0 0 0

− ( + ) + = =

cercata ha dunque equazione mm m m Ponendo m m si

3 5 0.

2 − + = =

ha l’equazione ai punti uniti m le cui soluzioni sono m

6m 5 0, 1,

=

che sapevamo, ed m coefficiente angolare dell’altra retta unita.

5,

Capitolo 15

Polarità piana

In questo capitolo esamineremo e studieremo una particolare cor-

rispondenza biunivoca tra punti e rette del piano indotta da una

conica.

15.1 Polare di un punto rispetto ad una conica

irriducibile 1

Sia data una conica irriducibile che, come già visto, può essere

γ

rappresentata, in coordinate omogenee, dall’equazione

2 2 2

( ) = + + + + + =

f x, y, u a x xy a y xu yu a u

2a 2a 2a 0

2 23 33

11 12 13 (15.1)

o anche, in notazione matriciale

~ ~ =

x A x 0 (15.2)

T

~ = [ ] = [ ]

x x, y, u A a

dove ed è la matrice simmetrica dei coefficienti

ik

6 =

A

della (15.1) e det 0 in quanto consideriamo solo coniche irriducibli.

( )

polare P x t u

Chiamiamo del punto : : rispet-

DEFINIZIONE 15.1. 0 0 0

to alla conica di equazione (15.1) la retta che può scriversi indifferente-

1 Da qui in poi, e per tutto il capitolo, anche se non espressamente detto, le coniche prese in

esame dovranno essere considerate, salvo esplicito avviso contrario, irriducibili.

149

150 Capitolo 15. Polarità piana

2

mente in ciascuna delle due seguenti forme

f f

f

∂ ∂

∂ +

+ =

x u

y 0 (15.3)

∂x ∂y ∂u

P P

P

f f

f ∂ ∂

∂ + + =

y u

x 0 (15.4)

0 0

0 ∂x ∂y ∂u

L’equazione (15.3) è quella di una retta i cui coefficienti sono le tre

P;

derivate parziali calcolate nel punto si vede subito che anche la (15.4)

rappresenta una retta in quanto è sicuramente un’equazione lineare

e che le tre derivate parziali non si annullano contemporaneamente

in alcun punto del piano. Inoltre si può facilmente dimostrare che

la corrispondenza che associa ad ogni punto del piano la sua polare

rispetto ad una conica è biunivoca.

γ

r P P polo

Se la retta è la polare del punto il punto si chiama della

r

retta rispetto alla conica γ.

Se la conica è data con l’equazione (15.2), l’equazione della polare è

data da ~ ~ ~ ~

=

x A x x A x

0 oppure (15.5)

0 0 T

T

~ [ ]

x x y u

dove è il vettore , , ; l’equivalenza delle due forme nella (15.5)

0 0 0 0 ~ ~ ~ ~

= =

x A x x A x

A

deriva dal fatto che è simmetrica, si ha infatti 0 0 T T

T T

T

~ ~

x A x .

0 T

L’equivalenza delle (15.5) con le (15.3) ed (15.4) può essere ricavata

con semplici calcoli, che costituiscono un utile esercizio, osservando

A A

che le righe della matrice (e quindi anche le colonne, essendo

simmetrica) sono i coefficienti delle tre derivate parziali del polinomio

x, y u

a primo membro della (15.1) rispetto ad e rispettivamente.

( )

Vogliamo calcolare la polare del punto P rispetto

1 : 0 : 1

Esempio 15.1. 2 2

− −

+ =

all’iperbole di equazione x xy xu u Applicando la si

0. (15.4)

· − · · −

( + ) + (− ) + ( ) =

ottiene y u x x e quindi l’equazione

1 2x 0 1 2u 0

− − =

della polare è 3x 2y 2u 0

Come si vede dall’esempio 15.1 è spesso più comodo usare la forma

(15.4) piuttosto che la (15.3), che torna invece utile in casi come quello

del seguente

2 L’equivalenza delle due forme dell’equazione della polare si può facilmente verificare

sostituendo semplicemente nella (15.4) le espressioni delle tre derivate parziali del polinomio

di cui alla (15.1) calcolate in un punto generico. 151

15.1. Polare di un punto rispetto ad una conica irriducibile

Vogliamo determinare il punto proprio, di ascissa unitaria, che

Esempio 15.2. 2 2 2

( ) = + =

rispetto all’ellisse irriducibile di equazione f x, y, u x u

4y 0

γ (− )

ha la polare perpendicolare rispetto a quella del punto P . La polare di

1, 1

P rispetto a ha equazione

γ    

1 0 0 1

0 4 0 1

[ ] =

x, y, u 0

   

0 0 1 1

 

− 1 −

4

[ ] = + = ( )

cioè x, y, u da cui x u sia ora A t il generico

4y 0; 1,

0

 

− 1

punto proprio del piano di ascissa unitaria: i coefficienti di x e y nell’equazione

f f

∂ ∂

= =

della sua polare sono a e b ; le due polari sono perpendico-

∂x ∂y

A A

f f

∂ ∂

· · −

− ( ) ( ) =

=

lari se e soltanto se è cioè

1 4 0 2x 4 8y 0

A A

∂x ∂y

A A

1 1

− = =

da cui e quindi t . Il punto cercato è allora A

2 32t 0 1, .

16 16

Dare una coppia polo–polare, cioè un punto e la sua polare rispetto

ad una conica, significa imporre sui coefficienti dell’equazione della

conica due condizioni lineari indipendenti.

Consideriamo le coniche che ammettono come polare del punto

Esempio 15.3.

( ) + =

X la retta di equazione y Pensiamo alla conica nella

1 : 0 : 0 1 0.

f f f

∂ ∂ ∂

· · ·

+ + =

forma 15.1 a pagina 149: l’equazione che

1 0 0 0

∂x ∂y ∂u

+ + =

diventa a x a y a u dovrà essere quella della retta data, quindi

0

11 12 13 −

= =

si deve avere a a a dunque proprio due condizioni lineari

0

11 12 13

indipendenti. P

Si può dimostrare che se appartiene alla conica (e soltanto in que-

P

sto caso) la sua polare rispetto alla conica è la tangente in alla conica:

diventa allora molto semplice trattare molte questioni di tangenza me-

diante lo strumento della polarità. Ad esempio la tangente nell’origine

( )

ad una conica si può pensare come la polare dell’origine 0 : 0 : 1

γ

cioè il complesso dei termini lineari del polinomio che rappresenta la γ.

Inoltre gli asintoti di un’iperbole sono le tangenti all’iperbole stessa nei

suoi punti impropri, quindi possono essere determinati come le polari

di questi ultimi. 2 2

− −

+ =

Vogliamo gli asintoti dell’iperbole y

6x 5xy 2xu 0.

Esempio 15.4. ( ) ( )

I suoi punti impropri sono P e Q . Gli asintoti, che

1 : 2 : 0 1 : 3 : 0

∞ ∞

152 Capitolo 15. Polarità piana

· − −

(

sono le polari di tali punti, avranno rispettivamente equazioni 1 12x 5y

· · − − ·

) + (− + ) = ( ) + (− + ) =

e cioè,

2u 2 5x 2y 0 1 12x 5y 2u 3 5x 2y 0,

− − −

= + =

in coordinate non omogenee y e y

2x 2 0 3x 2 0

15.2 Principali proprietà della polarità piana

Sussiste il seguente fondamentale Se la polare del punto

(Legge

Teorema 15.1 di reciprocità o di Plücker).

( ) =

P rispetto ad una conica irriducibile f x, y, u passa per il punto Q

: 0

γ

allora la polare di Q rispetto alla medesima conica passa per il punto P.

Dimostrazione. P

Scriviamo l’equazione della polare di rispetto a nella

γ

forma (15.3):

f f

f ∂ ∂

∂ + + =

y u

x 0

∂x ∂y ∂u

P P

P

( )

Q x y u

per ipotesi essa passa per , : : quindi la

1 1 1

f f f

∂ ∂ ∂

+ =

+

x y u 0 (15.6)

1 1 1

∂x ∂y ∂u

P P

P Q

è un’identità. Scriviamo ora l’equazione della polare di nella forma

(15.4):

f f

f ∂ ∂

∂ + + =

y u

x 0

1 1

1 ∂x ∂y ∂u P.

che, grazie alla (15.6), è soddisfatta dalle coordinate di

I seguenti corollari sono immediate conseguenze della legge di reci-

procità (Teorema 15.1) (le semplicissime dimostrazioni sono proposte

come esercizio) Se il polo Q della retta q appartiene alla retta p allora il polo

Corollario 15.2.

P di p appartiene alla retta q.

Se il punto P si muove su una retta r, allora la polare di P

Corollario 15.3.

descrive il fascio di rette che ha per sostegno il polo R di r.

Se una retta r descive un fascio che ha per sostegno il punto

Corollario 15.4.

P allora il suo polo descrive una retta che è la polare di P.

La legge di reciprocità ci fornisce un metodo comodo per determi-

nare le coordinate del polo di una retta: 153

15.2. Principali proprietà della polarità piana 2

− −

+ = +

Date la retta r x y e la parabola x

: 3u 0 2xy

Esempio 15.5.

2 − = vogliamo determinare il polo R di r. Per la legge di reciprocità

y 2xu 0

le polari di due qualsiasi punti di r passano per il polo di r, quindi possiamo

( )

scegliere su r due punti comodi, per esempio il punto improprio P 1 : 1 : 0

− −

( ) =

ed il punto (proprio) Q . La polare di P ha equazione u

3 : 0 : 1 2x 2y

− − =

mentre la polare di Q ha equazione Il punto cercato, in

0 2x 3y 3u 0.

quanto intersezione delle due polari, avrà le coordinate che sono soluzione del

( − − =

u

2x 2y 0 3

− −

sistema e cioè R che si può anche scrivere

: 2 : 1

2

− − =

2x 3y 3u 0

(− )

come R .

3 : 4 : 2

Dalle proprietà della polarità piana segue anche il

Per un punto P non appartenente ad una conica passano

Teorema 15.5. γ

esattamente due tangenti alla reali o meno.

γ,

Tangenti da un punto ad una conica

Figura 15.1 Q R

Dimostrazione. Riferiamoci alla Figura 15.1. Siano e le intersezioni

3

P Q

della polare di con la conica , allora la polare di è tangente alla

Q P

conica, perché sta sulla conica e passa per per la legge di reciprocità.

R,

In modo analogo si può dire che la polare di a sua volta tangente,

P. P

passa anch’essa per Quindi per passano almeno due tangenti alla

conica. Dimostriamo che sono solo due. Supponiamo, per assurdo

PT

che anche la retta sia tangente alla conica; sempre per la legge di

T P

reciprocità, il punto deve stare sulla polare di e sulla conica, quindi,

3 Nel piano ampliato con elementi impropri ed elementi immaginari una retta ed una conica

hanno sempre due punti in comune, a meno che il punto non appartenga alla conica.

154 Capitolo 15. Polarità piana

ricordando che una conica ed una retta hanno in comune al massimo

Q R.

due punti, esso deve coincidere con o con

Dal teorema 15.5 segue ovviamente che

La polare rispetto ad una conica irriducibile di un punto P

Teorema 15.6. γ

non appartenente ad essa congiunge i punti di tangenza delle tangenti passanti

per P.

Questo risultato si può sfruttare per scrivere in maniera rapida

ed elegante le equazioni delle tangenti condotte da un punto ad una

conica. 2 − −

+ =

Sia la conica di equazione x x si

2xy 1 0;

Esempio 15.6. γ

vogliano le tangenti alla uscenti dall’origine. La polare dell’origine ha, in

γ − =

coordinate omogenee, equazione x essa ha in comune con la conica

2u 0; ( )

il punto improprio ed il punto di coordinate . Le tangenti cercate,

8 : 5 : 4 =

che congiungono tali punti con O hanno rispettivamente equazioni x e

0

− =

5x 8y 0.

15.3 Elementi coniugati rispetto ad una conica

irriducibile A coniugato reciproco B

Diciamo che il punto è o del punto rispetto

A B.

ad una conica irriducibile se la polare di passa per Poiché, in

γ

questo caso, in virtù della legge di reciprocità (Teorema 15.1 a pagi-

B A

na 152) anche la polare di passa per possiamo dire che i due punti

sono (mutuamente) reciproci rispetto a In modo analogo diciamo

γ.

a b

che due rette e sono reciproche se il polo dell’una sta sull’altra.

Dalle considerazioni precedenti risulta evidente che il luogo dei punti

P

reciproci, rispetto ad una conica irriducibile di un punto è la polare

γ,

P a

di rispetto a Analogamente le rette reciproche di una retta sono

γ. a.

quelle del fascio che ha per sostegno il polo di

Vogliamo il punto reciproco dell’origine rispetto alla conica

Esempio 15.7.

2 2 2

− − =

x y u che appartiene all’asse x. Poiché la polare dell’origine

: 0

γ

rispetto a è la retta impropria, il punto cercato sarà il punto improprio

γ ( )

dell’asse x, cioè il punto X .

1 : 0 : 0

Da quanto detto segue anche che fissata una conica irriducibile γ

r

ed una retta non tangente a γ, 155

15.3. Elementi coniugati rispetto ad una conica irriducibile

I punti di r reciproci rispetto a si corrispondono in una

Teorema 15.7. γ

involuzione, detta o i cui punti

dei punti reciproci dei punti coniugati

uniti sono gli eventuali punti di intersezione reali tra la retta e la conica.

Involuzione ellittica, retta

Figura 15.3

Involuzione iperbolica, retta

Figura 15.2 esterna

secante

La natura di questa involuzione permette di distinguere le rette non

tangenti alla conica in: secanti, se l’involuzione è iperbolica, ed esterne

T

se essa è ellittica. È escluso il caso in cui la retta sia tangente in alla

conica, perché in tal caso non si avrebbe un’involuzione, in quanto

r T.

ogni punto di sarebbe reciproco di La situazione è illustrata nelle

figure 15.2 e 15.3.

Vale anche, dualmente, il F

Le rette di un fascio avente per sostegno il punto P non

Teorema 15.8.

appartenente ad una conica che siano reciproche rispetto alla stessa si

γ γ

corrispondono in una involuzione le cui rette unite sono le eventuali rette reali

passanti per P e tangenti alla γ.

Se per una conica non degenere l’involuzione delle rette

Esempio 15.8. γ 0

( ) +

reciproche nel fascio che ha per sostegno l’origine O ha equazione mm

0, 0

0

( + ) =

m m allora le tangenti condotte da O alla conica, che sono le rette

0,

unite dell’involuzione, si possono determinare come le rette i cui coefficienti

2 − = = =

angolari sono soluzioni dell’equazione m cioè m ed m e

2m 0, 0 2

= =

sono quindi le rette y e y

0 2x.

Dimostriamo ora il

Una conica è il luogo dei punti che appartengono alla

Teorema 15.9. γ

propria polare, cioè sono rispetto alla

autoconiugati γ

156 Capitolo 15. Polarità piana

Dimostrazione. P

Se la sua polare rispetto alla conica è la tangente

γ,

P P.

in alla conica, quindi passa per

( )

P x y u

Viceversa supponiamo che : : appartenga alla propria

0 0 0

( ) =

f x, y, u

polare rispetto alla conica : 0. Sostituendo le coordinate

γ

P

di nell’equazione della polare, si deve avere

f f

f

∂ ∂

∂ +

+ =

x u

y 0

0 0

0

∂x ∂y ∂u

P P

P 4

( )

f x, y, u

Ma essendo omogenea, dal Teorema di Eulero sulle funzioni

f f f

∂ ∂ ∂

+ + = ( )

x y u f x, y, u

omogenee segue che 2 e quindi

∂x ∂y ∂u

( ) =

f x y u

, , 0.

0 0 0

15.4 Triangoli autopolari

autopolare

Si chiama per una conica irriducibile

DEFINIZIONE 15.2. γ

5

un triangolo tale che ogni vertice sia il polo del lato opposto.

PQR

Nella figura 15.4 a fronte il triangolo è autopolare per l’ellisse.

Tenendo conto del fatto che la polare di un punto esterno ad una

conica taglia la conica stessa in due punti reali e distinti, mentre quella

di un punto interno non ha punti reali in comune con la conica, è facile

verificare che un triangolo autopolare ha sempre esattamente un vertice

interno alla conica e due esterni ad essa, inoltre può accadere che uno o

due dei vertici di un triangolo autopolare siano punti impropri. Nel

primo caso, il lato opposto al vertice improprio è un diametro della

conica, nel secondo il vertice proprio è il centro della stessa, come

preciseremo meglio nel prossimo capitolo.

L’insieme di tutte le coniche che ammettono un certo triangolo come

∞ 2 rete

autopolare è costituito da coniche e come tale prende il nome di

di coniche, questo equivale a dire che dare un triangolo autopolare per

una conica equivale a dare tre condizioni lineari indipendenti, infatti,

pur essendo date tre coppie polo–polare (quindi sei condizioni lineari)

per la legge di reciprocità (Teorema 15.1 a pagina 152) le condizioni

indipendenti sono solo tre.

4 Noto teorema di Analisi sulle funzioni omogene.

5 rette

In Geometria proiettiva un triangolo è una figura piana costituita da tre non con-

non da tre segmenti

correnti, (cioè non passanti tutte tre per un medesimo punto) e come in

lati od impropri

Geometria elementare. Le tre rette si dicono del triangolo ed i tre punti (propri

che siano) vertici

in cui le rette si intersecano a due a due sono chiamati del triangolo.

157

15.4. Triangoli autopolari

Si può dimostrare che l’equa-

zione complessiva della rete di co-

niche che ammetta come autopo-

A, B

lare il triangolo di vertici e

C si ottiene come combinazione

lineare dei quadrati delle equa-

zioni dei tre lati, cioè, in forma

simbolica,

2 2 2

+ + = 0

λAB µAC νBC (15.7)

Anche in questo caso, invece di Triangolo autopolare

Figura 15.4

usare tre parmetri omogenei, se

ne possono usare due non omo- µ

λν

= =

h k

genei, ad esempio e , perdendo così le coniche che si

ν

=

ottengono dalla (15.7) per 0: in questo caso, tuttavia, non è necessa-

ν ∞

=

rio pensare di riammetterle per il valore in quanto le questioni

ν

relative alla polarità riguardano solo coniche irriducibili e dunque nel-

la (15.7) non può annullarsi nessuno dei tre coefficienti. Si dimostra

che in realtà vale anche il viceversa, cioè nessuna delle coniche della

rete considerata individuata dai valori non nulli dei tre parametri è

degenere. Vogliamo determinare l’equazione dell’iperbole che ammette

Esempio 15.9.

come autopolare il triangolo formato dagli assi coordinati e dalla retta di

+ = + + =

equazione x ed ammette come asintoto la retta x

2y 1 0 2y 2 0.

Abbiamo tre condizioni fornite dal triangolo autopolare e due dall’asintoto

(tangente nel punto improprio, quindi coppia polo–polare). La rete di coniche

2 2

+ + ( +

che ammette il triangolo dato come autopolare ha equazione x

λx µy ν

2

− −

) = ( )

la polare di P , punto improprio dell’asintoto,

2y 1 0; 2 : 1 : 0

∞ −

( + ) + ( + )

rispetto alla generica conica della rete ha equazione x y

2ν 4ν

λ µ

+ 4ν − 4ν

µ

= + = =

che coincide con la retta data quando cioè

4ν 0, 2µ

λ 2 2

2 2

− − − −

= = +

quando e La conica ha dunque equazione

4ν 8ν. 4x 8y

λ µ

2 2 2

− − −

( + ) = + + + =

x che diventa facilmente

2y 1 0 3x 4xy 4y 2x 4y 1

0. Nella discussione del precedente esempio abbiamo usato tre pa-

rametri omogenei invece di due non omogenei per ricordare, ancora

una volta, come due rette coincidano quando le due equazioni siano

individuate da due polinomi non necessariamente uguali ma anche

solo proporzionali.

Capitolo 16

Centro, diametri ed assi di una

conica irriducibile

In questo capitolo vediamo come le proprietà della polarità piana

viste nel capitolo precedente possano essere utilmente utilizzate per

determinare ulteriori elementi di una conica, notevoli da un punto di

vista geometrico e già accennati in modo elementare nei precedenti

capitoli sulle coniche.

16.1 Centro e diametri di una conica centro

Se è una conica irriducibile chiamiamo

DEFINIZIONE 16.1. γ diametro

di il polo della retta impropria rispetto a Chiamiamo

γ γ.

di una qualunque retta che passi per il centro, cioè, per la legge di

γ

reciprocità la polare di un qualunque punto improprio.

La parabola, in quanto tangente alla retta impropria nel suo punto

improprio, ha centro improprio: il punto improprio del suo asse. Ne

segue che la parabola ha tutti i diametri paralleli, in quanto passanti

tutti per il medesimo punto improprio.

L’ellisse e l’iperbole, invece, hanno centro proprio (e sono perciò

coniche a centro),

dette anche infatti se esso fosse improprio, sarebbe

autoconiugato, visto che apparterrebbe alla propria polare e dunque

per il Teorema 15.9 a pagina 155 apparterrebbe alla conica e la sua

polare, la retta impropria, sarebbe tangente alla conica, contro l’ipotesi

che sia un’ellisse od un’iperbole.

Si mostra facilmente che il polo della retta impropria è centro di

0

AA

simmetria per una conica a centro, cioè ogni corda che passa per

0

C C AA

è tale che sia il punto medio di . (vedi Figura 16.1 nella pagina

successiva). Si può facilmente verificare questo fatto considerando

159

160 Capitolo 16. Centro ed assi

la conica in forma canonica, cioè operando una rototraslazione del

sistema di riferimento, trasformazione che non altera le proprietà della

2 +

a x

polarità piana. In questo caso la conica assume equazione 11

2 + =

a y a 0. Una qualunque retta per il centro, che qui è l’origine,

22 33 2 2

= ( ) + =

y mx a a m x a

ha equazione da cui l’equazione 0 che

22 33

11

è un’equazione di secondo grado tale che la semisomma delle radici è

nulla, dunque esse sono simmetriche. 2 − −

+ =

Vogliamo trovare il centro della conica x xy x 3 0.

Esempio 16.1.

Basta intersecare le polari di due punti impropri qualsiansi, per esempio i

( )

più comodi sono i punti impropri degli assi coordinati X e

1 : 0 : 0

( ) + = =

Y . Le polari sono rispettivamente le rette y e x

0 : 1 : 0 2x 1 0 0;

∞ ( − + =

y

2x 1 0

il punto comune è soluzione del sistema e cioè il punto

=

x 0

( )

C .

0, 1 I diametri di una conica irriduci-

bile formano un fascio, proprio se la

conica è a centro ed improprio se la

conica è una parabola. Riveste una

particolare importanza, in questo fa-

scio, l’involuzione che ad ogni dia-

metro fà corrispondere il suo coniu-

involu-

gato essa prende il nome di

zione dei diametri coniugati: due dia-

metri sono coniugati se e soltanto se

il polo dell’uno è il punto improprio

dell’altro.

Gli asintoti di una iperbole sono

Polo della retta impropria,

Figura 16.1 gli elementi uniti di tale involuzio-

centro di simmetria ne, essendo diametri ed autoconiuga-

ti (tangenti alla conica, quindi conte-

l’involuzione dei

nenti il loro polo). Più in generale possiamo dire che

diametri coniugati di una conica è ellittica se e solo se la è un’ellisse ed è

γ γ

iperbolica se e solo se essa è un’iperbole. Quindi l’esame dell’involuzione

dei diametri coniugati fornisce un ulteriore strumento per il riconosci-

ogni diametro di una

mento di una conica. Si può inoltre dimostrare che

conica a centro dimezza le corde in direzione coniugata cioè ogni diametro è

asse di simmetria obliqua. 161

16.1. Centro e diametri Determinazione grafica del centro di una conica

Figura 16.2

Questo risultato permette di determinare graficamente il centro

di una conica ed il diametro coniugato ad un diametro dato, come

mostrano i seguenti esempi e le seguenti figure.

Vogliamo determinare graficamente il centro della conica

Esempio 16.2. γ

di Figura 16.2. Tracciamo due rette a e b parallele che intersecano la conica,

0 0

e siano A e B e, rispettivamente A e B i punti di intersezione delle rette

0 0

con la conica. Indicati con M ed N i punti medi delle corde AB e A B

rispettivamente; tracciamo la retta MN. Essa è un diametro (coniugato alla

direzione delle rette a e b); se indichiamo con C e D i punti di intersezione di

questo diametro con la conica, il centro è il punto medio K della corda CD.

Vogliamo determinare il diametro coniugato al diametro d

Esempio 16.3.

nella conica di Figura 16.3 nella pagina successiva. Tracciamo una retta

γ

parallela alla d che intersechi la conica. Siano A e B le due intersezioni della

retta con la conica. e sia M il punto medio di AB allora la retta CM è il

diametro coniugato cercato.

Dimostriamo ora l’importante

Sia

Teorema 16.1.

2 2

+ + + + + =

a x xy a y xu yu a

2a 2a 2a 0

22 23 33

11 12 13

l’equazione di una conica irriducibile allora l’equazione dell’involuzione

γ,

dei diametri coniugati di è

γ 0 0

+ ( + ) + =

a mm a m m a 0 (16.1)

22 12 11

162 Capitolo 16. Centro ed assi

Dimostrazione. Consideriamo due qualsiansi diametri della conica e

0

m m

supponiamo che abbiano coefficienti angolari e rispettivamente

0

( ) ( )

P m Q m

e pertanto passino per i punti impropri 1 : : 0 e 1 : : 0 ,

∞ ∞

( )

p P m

essi sono coniugati se e soltanto se la polare di 1 : : 0 passa

0

( ) + + + ( +

Q m p x y m x

per 1 : : 0 . La ha equazione 2a 2a 2a 2a

∞ 11 12 13 12

+ ) = ( + ) + ( + ) + +

y a ma x ma a y a

2a 2a 0 che diventa

22 23 22

11 12 12 13

0

( ) + +

= Q m a ma

ma 0; essa passerrà per 1 : : 0 se e solo se è

23 11 12

0 ( + ) =

m ma a 0 che con facili passaggi si riconduce alla (16.1).

22 12 2 2

− − −

+ + =

La conica di equazione y y

3x 2xy 3x 7 0

Esempio 16.4. 0 − ( +

ammette come involuzione dei diametri coniugati l’equazione mm m

0 ) + =

m Le rette unite hanno coefficienti angolari che sono soluzioni

3 0. 2 − + =

dell’equazione m che non sono reali. L’involuzione è perciò

2m 3 0

ellittica e quindi la conica è un’ellisse. Se la conica è una circonferen-

za l’equazione dell’involuzione

dei diametri coniugati si riduce

a 0 + =

mm 1 0 (16.2)

in-

relazione che si chiama anche

voluzione circolare, viceversa ogni

conica che ammetta la (16.2) come

involuzione dei diametri coniuga-

ti è una circonferenza. Osservia-

mo anche che la (16.2) è la relazio-

ne che lega due rette ortogonali

quindi in una circonferenza i dia-

metri coniugati sono ortogonali

e viceversa ogni conica per cui

tutti i diametri ortogonali sono

Determinazione grafica del

Figura 16.3

diametro coniugato coniugati è una circonferenza.

A B d

È facile verificare che le tangenti agli estremi e di un diametro

d

sono parallele al diametro coniugato (v. fig. 16.4 a fronte) infatti è la

0

P d

polare del punto improprio di e quindi le tangenti alla conica in

A B P

e passano per .

Osserviamo anche che ogni coppia di diametri coniugati forma, con

la retta impropria un triangolo autopolare, infatti la polare dell’interse-

zione di due diametri, che è il centro della conica, è la retta impropria e

la polare del punto improprio di ciascun diametro è quello ad esso co-

r s

niugato. Se chiamiamo e i due diametri coniugati, la rete di coniche

163

16.2. Assi di una conica

che ammette queste due rette come diametri coniugati ha equazione

2 2 2

+ + = 0.

λr µs νu La conica che ammette le rette r ed s rispettivamente di

Esempio 16.5. −

= = + ( )

equazioni y x e y come diametri coniugati e passa per A

2x 1 1, 2

2

( ) ( ) +

e B può essere cercata nella rete di coniche che ha equazione x y

0, 2 α

2

( + ) + =

y imponendo il passaggio per i due punti dati si ottiene

2x 1 1 0;

β ( + + =

9β 1 0

α 8 3

− −

= =

il sistema che ha come soluzione e da

α β

35 35

+ + =

4α 1 0

β 2 2

− − − −

+ =

cui l’equazione della conica che è

20x 4xy 11y 12x 6y 32 0

un’ellisse.

16.2 Assi di una conica

asse

Si dice di una conica un

diametro proprio che sia coniu-

gato alla direzione ad esso orto-

gonale; per quanto detto prima

un asse dimezza le corde in dire-

asse di

zione ortogonale, quindi è

simmetria ortogonale. P

Per una parabola tutti i dia-

metri sono paralleli e passano per

P,

il punto improprio di di con-

seguenza l’asse è la polare del

punto improprio in direzione or-

P;

togonale a quello di quindi la Tangenti agli estremi di un

Figura 16.4

parabola ha un solo asse. diametro

Consideriamo ora una conica

a

a centro e siano un suo asse e

γ

0

a a. a

il diametro coniugato ad Per definizione di asse il polo di è il

0 0

a a

punto improprio di , quindi, per la legge di reciprocità il polo di è

0

a A

il punto improprio di dunque anche è un asse di Abbiamo così

γ.

dimostrato il Se una conica a centro possiede un asse, ne possiede almeno

Teorema 16.2.

un altro.

Di più, gli assi di una conica a centro diversa da una circonferenza

sono esattamente due. Infatti, se nella ( 16.1 a pagina 161) poniamo

164 Capitolo 16. Centro ed assi

0 1

=

m otteniamo

m

1

− −

+ + =

a a m a 0

22 12 11

m

che diventa 2 − −

+ ( ) =

a m a a m a 0 (16.3)

22

12 11 12

6 =

a

Per 0 la (16.3) ammette due radici reali e distinte, quindi la conica

12 6

= =

a a a

ammette esattamente una coppia di assi. Se invece è 0 e 22

12 11

l’equazione (16.3) si abbassa di grado ed ammette una radice nulla: si

hanno quindi anche in questo caso esattamente due assi, di coefficienti

∞.

= =

m m

angolari 0 e 6 = =

a a a

Infine se è 0 e cioè se la conica è una circonferenza,

22

12 11

la (16.3) diventa un’identità in accordo col fatto che l’involuzione circo-

lare è l’involuzione dei diametri coniugati della circonferenza, per la

quale, dunque, tutti i diametri sono assi. 2 −

+ =

Vogliamo gli assi della conica x xy In questo

: 2 0.

Esempio 16.6. γ √

− ±

1 5

2 −

+ = =

caso la diventa m m che ha come radici m : gli

(16.3) 1 0 2

assi della possono essere determinati o come polari dei due punti impropri

γ

− ±

1 5 oppure osservando che il centro di è l’origine in quanto

1 : : 0 γ

2

la sua equazione manca dei termini lineari. Dunque gli assi sono le rette di

− ±

1 5

= x.

equazioni y 2 Parte IV

Geometria dello spazio

Capitolo 17

Rette e piani nello spazio

17.1 Equazioni parametriche della retta nello spazio

Quanto detto nel paragrafo 11.2 a pagina 107 sulle equazioni pa-

rametriche della retta nel piano si generalizza facilmente al caso di

rette nello spazio, precisamente diciamo che, nello spazio, una retta che

~

( ) = [ ]

P x y z u a, b, c

passa per il punto , , ed ha la direzione del vettore

0 0 0 − − −

( ) [ ]

P x, y, z x x y y z z

è l’insieme dei punti tali che il vettore , ,

0 0 0

#» = [ ]

u a, b, c equazioni

sia proporzionale al vettore , ottenendo così le

parametriche di una retta nello spazio.

 = +

x x at

0

 = +

y y bt (17.1)

0

 = +

z z ct

 0

Osserviamo che in questo caso l’eliminazione del parametro porta

1

due non è possibile descrivere una retta

a equazioni cartesiane, quindi

nello spazio mediante una sola equazione cartesiana. La direzione della

[ ]

a, b, c

retta è data da quella del vettore le cui componenti si chiamano

parametri direttori r.

di

Vogliamo le equazioni parametriche della retta che passa per

Esempio 17.1. − −

( ) ( ) [ ]

i punti P e Q . Essa ha la direzione del vettore

3, 1, 0 0, 1, 1 3, 1, 0

− −

[ ] = [ ] e quindi le sue equazioni parametriche sono

0, 1, 1 3, 2, 1  = +

x 3 3t

 = +

y 1 2t .

 −

=

z t

 −

= =

Infatti per t otteniamo il punto P e per t il punto Q.

0 1

1 In generale una linea. 167

168 Capitolo 17. Rette e piani nello spazio

OSSERVAZIONE 17.1. Da quanto detto discende che i parametri diret-

tori di una retta sono definiti a meno di un fattore di proporzionalità

~ = [ ]

v a, b, c

non nullo, in accordo col fatto che il vettore ha la stessa

6 ~

[ ] =

ka, kb, kc k v

direzione del vettore se 0. Se invece di consideriamo il

~

v

0 0

~ ~

=

v v coseni direttori

versore le componenti di sono i cosiddetti

k k

v 2

della retta, infatti sono proprio i coseni degli angoli che la retta forma

con la direzione positiva degli assi coordinati.

Vogliamo trovare i coseni direttori della retta

Esempio 17.2.  = +

x t

1

 −

=

y 2t

r : .

 −

=

z t

 − −

Una terna di parametri direttori è e quindi, normalizzando i parame-

1, 2, 1 1

tri direttori otteniamo i coseni direttori che sono, ordinatamente, ,

+ +

1 4 1

− −

2 1

√ √

,

6 6 Vogliamo scrivere le equazioni parametriche delle rette che

Esempio 17.3. ( )

passano per il punto P e non tagliano il piano xy. Ogni retta che non

1, 2, 3

taglia il piano xy ha la direzione di un qualunque vettore del piano xy diverso

[ ]

dal vettore nullo, cioè a, b, con a e b non contemporaneamente nulli; allora

0

le equazioni parametriche delle rette cercate saranno

 = +

x at

1

 = +

y bt

2 .

 =

z 3

Come nel piano i parametri direttori sono utili per controllare per-

pendicolarità e parallelismo di rette nello spazio, come vedremo nel

§ 17.3 a pagina 170.

17.2 Equazione di un piano nello spazio

Un piano è orientato quando in esso è dato il verso delle rotazioni

π n

positive. Per consuetudine una retta ortogonale ad un piano orientato,

2 r s

Dobbiamo precisare che nello spazio si parla di angolo tra due rette orientate ed

ϕ

anche se esse non si incontrano e non sono parallele – cioè sono, come si suol dire, sghembe –

0 0

r s r s

quando formano l’angolo le rette e , rispettivamente parallele ed equiverse ad ed e

ϕ

passanti per un medesimo punto, per esempio l’origine del sistema di riferimento.

169

17.2. Equazione di un piano nello spazio

normale,

detta anche è orientata in modo che un osservatore in piedi sul

n

piano dalla parte positiva di veda le rotazioni positive sul piano

π

operare in senso antiorario. ∈

( )

P x y z n,

Sia ora dato un punto , , e la sua normale di para-

π

0 0 0

a b, c P.

metri direttori , e e passante per Osserviamo che il generico

( )

Q x, y, z

punto appartiene a se e solo se appartiene a rette passanti

π

n.

per ortogonali ad Una terna di parametri direttori della generica

π − − −

P x x y y z z

retta per è , e quindi deve essere

0 0 0

− − −

( ) + ( ) + ( ) =

a x x b y y c z z 0

0 0 0

Che diventa + + + =

ax by cz d 0 (17.2)

− − −

=

d ax by cz

pur di porre . Abbiamo così dimostrato il

0 0 0

Nello spazio tutte e sole le equazioni della forma 17.2 rappre-

Teorema 17.1. 3

sentano un piano in cui a, b e c sono numeri non tutti e tre nulli .

a, b c

Si suol dire che e sono i parametri direttori del piano, cioè

i parametri direttori di un piano coincidono con quelli di una sua qualsiasi

normale.

OSSERVAZIONE a, b c

17.2. Abbiamo visto che i numeri e non devono

essere tutti e tre nulli. Tuttavia da quanto visto si può dedurre che:

• Se uno dei tre è nullo l’equazione (17.2) rappresenta un piano

parallelo all’asse avente lo stesso nome della variabile che manca.

• Se due dei tre sono nulli, il piano rappresentato dalla (17.2) è

parallelo al piano individuato dai due assi delle variabili che

mancano. − + =

Il piano y è parallelo all’asse z ed interseca il

2x 3 0

Esempio 17.4.

piano xy lungo la retta di equazioni

( − + =

y

2x 3 0

=

z 0

=

mentre il piano x è parallelo al piano yz.

5

3 in quanto parametri direttori di una retta.

170 Capitolo 17. Rette e piani nello spazio

17.3 Parallelismo e perpendicolarità nello spazio

Nel paragrafo 11.1 a pagina 105 abbiamo visto dei criteri per sta-

bilire quando nel piano due rette sono parallele o perpendicolari;

discuteremo ora l’analogo problema nello spazio. 4

Due rette si dicono parallele se hanno la stessa direzione . Due piani

si dicono paralleli se non hanno punti in comune o se coincidono; un

piano ed una retta si dicono paralleli se non hanno punti in comune o

se la retta giace sul piano. Vale il + + + =

I piani e di equazioni rispettive a x b y c z d

Teorema 17.2. π π 2

1 1 1 1 1

~

+ + + = = [ ]

e a x b y c z d sono paralleli se e solo se i vettori u a b c

0 0 , ,

2 2 2 2 1 1 1

6

~ ~ ~

= [ ] = =

e v a b c sono proporzionali, cioè se u k v con k quindi se

, , 0,

2 2 2 6

= = = =

a ka b kb c kc k

; ; 0. (17.3)

2 2 2

1 1 1

=

Se inoltre d kd i piani sono coincidenti; inoltre e sono ortogonali

π π

2 2

1 1

se e solo se h[ ] [ ]i =

a b c a b c

, , , , , 0. (17.4)

2 2 2

1 1 1

cioè se e solo se + + =

a a b b c c 0 (17.5)

2 2 2

1 1 1

Analogo teorema vale per le rette nello spazio:

Le rette

Teorema 17.3. 

 = + = +

x x a t x x a t

2 2

1 1

 

 

= + = +

y y b t y y b t

r e r

: : 2 2

2

1 1

1  

= + = +

z z c t z z c t

  2 2

1 1 ~ ~

= [ = [

] ]

u a v a

sono parallele se e solo se i vettori b c e b c sono

, , , ,

2 2 2

1 1 1

6

~ ~

= =

proporzionali, cioè se e solo se u k v con k quindi se vale la (17.3).

0,

Inoltre r e r sono ortogonali se e solo se vale la (17.5)

2

1

OSSERVAZIONE 17.3. Ribadiamo (vedi nota 2 a pagina 168) che nello

spazio due rette perpendicolari possono anche non intersecarsi, cioè

essere sghembe!

Per le relazioni di perpendicolarità e parallelismo tra una retta ed

un piano vale il teorema seguente

4 Abbiamo già visto che è comodo considerare parallele anche due rette coincidenti, in

modo che la relazione di parallelismo sia una relazione di equivalenza. 171

17.4. La retta intersezione di due piani

Sia r la retta di equazioni

Teorema 17.4.  = +

x x a t

0 1

 = +

y y b t

0 1

 = +

z z c t

 0 1

+ + + =

e il piano di equazione a x b y c z d allora r e sono paralleli

0

π π

2 2 2 2

h[ ] [ ]i =

a b c a b c

se e solo se e sono perpendicolari se e solo se i

, , , , , 0

2 2 2

1 1 1

~ ~ ~ ~

] ]

= [ = [ =

vettori b c e b c sono proporzionali, cioè se

u a v a u k v

, , , ,

2 2

2

1 1

1

6 =

con k quindi se vale la (17.3).

0,

Dunque le relazioni di parallelismo e perpendicolarità tra due rette

o tra due piani nello spazio per così dire si “scambiano” nel caso di

parallelismo e perpendicolarità tra una retta ed un piano; ciò avviene

perché per un piano di equazione

π + + + =

ax by cz d 0

[ ]

a, b, c

le componenti del vettore formano, come abbiamo visto, una

terna di parametri direttori di una retta ortogonale a π.

17.4 La retta intersezione di due piani

Siano dati i due piani + + + =

a x b y c z d 0 (π )

1 1 1 1 1

+ + + =

a x b y c z d 0 (π )

2 2 2 2 2

~ =

v

Per quanto detto finora essi saranno non paralleli se i vettori 1

~

] = [ ]

[ b c v a b c

a , , e , , sono linearmente indipendenti. Dal punto

2 2 2 2

1 1

1

di vista geometrico, due piani non paralleli hanno in comune una

∈ ∩

( ) ( )

P x, y, z x, y, z

retta, in accordo col fatto che se e solo se è

π π 2

1

soluzione del sistema ( + + + =

a x b y c z d 0

1 1 1 1 (17.6)

+ + + =

a x b y c z d 0

2 2 2 2

Dal teorema 3.5 a pagina 30 segue che, nell’ipotesi che i piani non

A

siano paralleli, questo sistema è possibile, dato che, se chiamiamo

( ) = ( ) =

B r A r B

la matrice dei coefficienti e quella completa, si ha 2,

∞ 1

dunque il sistema ammette soluzioni che sono effettivamente i punti

di una retta nello spazio. Dunque una retta può essere individuata

come intersezione di due piani.

172 Capitolo 17. Rette e piani nello spazio

Sia data la retta

Esempio 17.5. ( + + =

x y z 1

r ; (17.7)

: − =

x z 0

[ ] [ ]

i vettori e sono linearmente indipendenti dunque i piani

1, 1, 1 1, 0, 1

non sono paralleli ed il sistema rappresenta una retta. Per trovare le equazioni

parametriche di questa retta possiamo osservare che il sistema equivale a

( + =

y 2z 1

=

x z

e quindi una possibile soluzione è data da

 =

x t

 −

=

y 1 2t

 =

z t

che sono le coordinate del generico punto di r e quindi rappresentano una

terna di equazioni parametriche della retta.

OSSERVAZIONE 17.4. Le soluzioni del sistema (17.7) si possono anche

scrivere come −

 1 τ

=

x

 2

 =

y τ −

 1 τ

 =

z

 2

ed in altri infiniti modi, significativamente diversi, ciascuno dei quali

r.

rappresenta una terna di equazioni parametriche della

~ ~

( ) = = [ ] =

r A v a b c v

Se accade che 1, cioè che i vettori , , e 2

1 1 1 1

[ ]

a b c

, , sono linearmente dipendenti, i due piani sono paralleli se

2 2 2

( ) = ( ) =

r B r B

2 e coincidenti se 1; nel primo caso il sistema risulta

impossibile, infatti i piani non si incontrano, nel secondo il sistema

∞ 2

ammette soluzioni, cioè i due piani e coincidono e qualunque

π π 2

1

punto di essi ha coordinate che sono soluzioni del sistema.

OSSERVAZIONE 17.5. Sia data la retta

( + + + =

ax by cz d 0

r : 0 0 0 0

+ + + =

a x b y c z d 0 173

17.5. Fasci di piani

0

r r

la retta parallela ad (quindi avente gli stessi parametri direttori) e

passante per l’origine è: ( + + =

ax by cz 0

0

r : (17.8)

0 0 0

+ + =

a x b y c z 0

0 0

r r

Poiché passa per l’origine, una terna di parametri direttori di è data

dalle coordinate di un suo punto qualsiasi, che sono quindi le soluzioni

del sistema lineare omogeneo (17.8) e quindi proporzionali ai tre minori

a c b c

a b −

, e estratti dalla matrice dei coefficienti.

0 0

0 0 0 0

a b a c b c

Quanto detto nell’Osservazione 17.5 rappresenta un modo pratico e

veloce per trovare una terna di parametri direttori di una retta scritta

come intersezione di due piani, senza passare dalle sue equazioni

parametriche.

17.5 Fasci di piani

L’insieme di tutti i piani che passano per una stessa retta si chiama

fascio di piani + + + = + + +

Se a x b y c z d e a x b y c z

: 0 :

Teorema 17.5. π π 2 2 2 2

1 1 1 1 1

= sono due piani non paralleli che definiscono la retta r, l’equazione del

d 0

2

generico piano passante per r è

( + + + ) + ( + + + ) =

a x b y c z d a x b y c z d 0 (17.9)

λ µ 2 2 2 2

1 1 1 1

cioè l’equazione del fascio di piani che ha per sostegno la retta r si ottiene come

combinazione lineare delle equazioni di due piani qualsiasi passanti per r.

Una conseguenza del Teorema 17.5 è che qualunque coppia di piani

5 r

appartenenti al fascio di equazione (17.9) rappresenta la retta le cui

equazioni cartesiane possono essere dunque molto differenti.

OSSERVAZIONE 17.6. Come già più volte osservato, nella pratica può

essere comodo usare un solo parametro non omogeneo invece di due

omogenei, con le solite avvertenze sul valore infinito del parametro.

OSSERVAZIONE piani paralleli:

17.7. Ha senso anche parlare di fasci di

combinando linearmente le equazioni di due piani paralleli si otten-

gono piani le cui equazioni differiscono solo per il termine noto. Essi

retta impropria

definiscono una dello spazio.

5 Osserviamo che ogni piano del fascio è individuato da una coppia di coefficienti e

λ µ

della (17.9), anch’essi definiti a meno di un fattore di proporzionalità non nullo.

174 Capitolo 17. Rette e piani nello spazio

17.6 Altri problemi su rette e piani

Esaminiamo in questo paragrafo, prevalentemente su esempi, alcuni

altri problemi sulle rette e sui piani nello spazio.

Intersezione tra retta e piano + + + =

ax by cz d

Siano dati il piano di equazione 0 e la retta di

equazioni  = +

x x αt

0

 = +

y y .

βt

0

 = +

z z

 γt

0

Piano e retta hanno un solo punto comune se e solo se retta e piano

6

+ + =

aα bβ cγ

non sono paralleli, cioè se e solo se 0 : in questo caso,

x, y, z

sostituendo rispettivamente nell’equazione del piano si ottiene

t

un valore di che, sostituito a sua volta nelle equazioni della retta dà le

coordinate del punto di intersezione. − −

+ =

Si considerino il piano y z e la retta

: 3x 1 0

Esempio 17.6. π

 =

x t

 −

=

y t 1

r :  =

z 2t

sostituendo le coordinate del generico punto della retta nell’equazione del

− −

+ + = =

piano, si ottiene t da cui t e dunque l’intersezione

3t 1 2t 1 0 0

∩ −

= ( )

è r P 0, 1, 0 .

π Se la retta è data come intersezione di due piani gli eventuali punti

comuni tra piano e retta sono le soluzioni del sistema formato dalle tre

equazioni; piano e retta hanno un solo punto in comune se e solo se

( ) =

r A

tale sistema ammette una ed una sola soluzione, cioè se 3, il

6 =

A A

che equivale a dire che det 0, se con abbiamo indicato la matrice

dei coefficienti del sistema.

La retta

Esempio 17.7. ( =

x y

)

r =

y z 175

17.6. Altri problemi su rette e piani

≡ − −

+ =

ed il piano x hanno in comune il punto le cui

2y 3z 1 0

α

coordinate sono la soluzione del sistema

 − =

x y 0

 − =

y z 0

 − + =

x 2y 3z 1

1 1

1

=

cioè P , , .

2 2 2 ∈

( ) =

r A r

Se 2 ed il sistema è possibile, allora altrimenti se il

π,

r

sistema è impossibile e non hanno punti in comune, quindi sono

π 6

( ) =

r A

paralleli. Osserviamo che è sempre 1 altrementi i tre piani

coinciderebbero e non sarebbe individuata alcuna retta.

Rette sghembe

Due rette che non hanno punti in comune e non sono parallele, cioè

sghembe.

due rette non complanari, si dicono Se entrambe le rette sono

date come intersezione di due piani, esse sono sghembe se non sono

parallele e se il sistema formato dalle quattro equazioni è impossibile.

Le rette

Esempio 17.8. ( (

+ = + =

x z y

0 2x 1

r e s

: :

− = + =

y z x

1 2z 0

non sono parallele; consideriamo allora il sistema formato dalle quattro equa-

zioni:  + =

x z 0

 −

 =

y z 1

 + =

y

2x 1

 + =

x 2z 0

  

1 0 1

0 1 1

 

=

la matrice dei coefficienti sarà A che ha rango 3 e quella

 

2 1 0

 

1 0 2

 

1 0 1 0

0 1 1 1

 

=

completa sarà B , anch’essa di rango 3, dunque il sistema

 

2 1 0 1

 

1 0 2 0

ammette una soluzione, quindi le rette si incontrano, dunque sono complanari

176 Capitolo 17. Rette e piani nello spazio

e quindi non sghembe. L’equazione del piano che le contiene entrambe si può

F

determinare in vari modi, per esempio trovando il fascio di piani per una

delle due e, scelto un punto comodo P sull’altra (ovviamente diverso dal punto

F

di intersezione), scrivere l’equazione del piano di passante per P; oppure,

determinato il punto Q comune alle due rette, scegliere un punto comodo

∈ 6≡ ∈ 6≡

R r (R Q) ed uno comodo S s (S Q) e poi determinando il piano

per i tre punti Q, R ed S.

Se una delle rette è data come intersezione di due piani e l’altra

con le sue equazioni parametriche basta sostituire l’espressione del

parametro nelle equazioni dei due piani.

Distanza di due punti

Figura 17.1

Siano date le rette

Esempio 17.9.  =

x t ( −

 + =

x y z 0

 =

y 2t

r ed s

: : + =

x z 1

 −

=

z 1 3t

si ha, sostituendo le coordinate del generico punto di r nelle equazioni due

piani che formano s, il sistema

( (

+ + = =

t 2t 1 3t 0 6t 1

che diventa

+ = =

t 1 3t 1 2t 0

177

17.6. Altri problemi su rette e piani

formato da due equazioni palesemente in contraddizione, quindi il sistema è

impossibile e concludiamo che le rette sono sghembe.

Distanze

• Distanza di due punti: dalla figura 17.1 nella pagina precedente si

( ) ( )

P x y z Q x y z

vede subito che se sono dati i punti , , e , , , la

2 2 2

1 1 1

PQ

distanza è l’ipotenusa del triangolo rettangolo che ha come

z z

cateti la differenza delle quote e la distanza delle proiezioni

2

1

P Q P Q xy.

ortogonali e rispettivamente di e sul piano Sul

1 1

xy

piano dal Teorema di Pitagora si ricava immediatamente che

( ) ( )

P x y Q x y

la distanza , , è

2 2

1 1 1 1

q 2 2

− −

( ) + ( )

( ) = x x y y

d P Q .

2 2

1 1

1 1

e quindi un’ulteriore applicazione del Teorema di Pitagora forni-

sce la distanza di due punti nello spazio:

q 2 2 2

− − −

( ) = ( ) + ( ) + ( )

d PQ x x y y z z .

2 2 2

1 1 1

Distanza di un punto da un piano

Figura 17.2

• + + +

Distanza di un punto da un piano: ax by cz

(fig. 17.2) se :

π

= ( )

d P x y z

0 è l’equazione del piano allora la distanza di , , da

0 0 0

è:

π | |

+ + +

ax by cz d

0 0 0

√ (17.10)

2 2 2

+ +

a b c

infatti distanza si può calcolare considerando la perpendicolare

P Q

al piano per e, chiamato l’intersezione di questa retta con il

PQ.

piano, calcolando la distanza

178 Capitolo 17. Rette e piani nello spazio

P

La retta perpendicolare a passante per il punto ha equazioni

π

 = +

x x at

0

 = +

y y bt ,

0

 = +

z z ct

 0

( + + + )

Q x at, y bt, z ct

dunque è il punto di intersezione di

0 0 0 P

tale retta con e la sua distanza da è

π, p 2 2 2

| | + +

t a b c , (17.11)

se appartiene a cioè se

π,

( + ) + ( + ) + ( + ) + =

a x at b y bt c z ct d 0

0 0 0

2 2 2

⇐⇒ −(

( + + ) = + + + )

t a b c ax by cz d

0 0 0

+ + +

ax by cz d

0 0 0

⇐⇒ −

=

t .

2 2 2

+ +

a b c

Sostituendo questo valore nella formula 17.11 che esprime la

P Q

distanza di da si ha la 17.10 nella pagina precedente.

• Distanza di un punto da una retta: P r

siano un punto e una retta

6∈

P r, P r

tali che il piano che passa per ed è perpendicolare a

r R proiezione ortogonale di P

incontra la retta in un punto (che è la

su r) PR.

la distanza del punto dalla retta sarà allora la distanza

• + + + =

Distanza di piani paralleli: ax by cz d

se : 0 e :

π π 2

1 1

+ + + =

ax by cz d 0 sono due piani paralleli, allora la loro

2

distanza è: | − |

d d 2

1

√ (17.12)

2 2 2

+ +

a b c

( )

P x y z

Infatti se , , , è evidente che la distanza cercata è

π

0 0 0 1

| | | − |

+ + +

ax by cz d d d

0 0 0 2 2 1

√ √

( ) =

d Pπ cioè

2 2 2 2 2 2 2

+ + + +

a b c a b c

• Distanza di due rette sghembe: r r

se e sono due rette sghembe, si

2

1 ∈ ∈

P r Q r

vede facilmente che esistono due punti e tali che la

2

1

PQ r r PQ

retta è perpendicolare sia ad che ad . La distanza è la

2

1

distanza delle due rette. Dal punto di vista geometrico, però è più

r r

comodo considerare il piano passante per e parallelo a ; la

σ 2

1 ∈

P r

distanza cercata sarà quella di un qualsiasi punto da σ.

2

179

17.6. Altri problemi su rette e piani

Vogliamo calcolare la distanza delle rette sghembe dell’esem-

Esempio 17.10.

pio 17.9 a pagina 176. Calcoliamo l’equazione del piano per s parallelo ad r

( )

di cui una terna di parametri direttori è . Il fascio di piani che ha

1, 2, 3

− −

+ + ( + ) =

per sostegno s ha equazione x y z k x z Dovrà essere

1 0.

− −

+ + ( ) = =

k k da cui k quindi il piano cercato ha equazione

1 2 3 1 0 3,

+ + =

y La distanza richiesta sarà la distanza di questo piano

4x 2z 3 0. ( )

da un punto qualsiasi della r, per esempio il punto P (corrispondente

0, 0, 1

1

=

al valore t che è .

0) √ 21

Angoli tra rette, tra piani, tra rette e piani

+ + + = + + + =

a x b y c z d a x b y c z d

Siano : 0 e : 0

π π 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

π i

h

due piani. L’ampiezza 0, dell’angolo tra e è, ponendo

ϕ π π 2

1

2

~ ~

= [ ] = [ ]

v a b c w a b c

, , e , , , tale che:

2 2 2

1 1 1 h~ i

~

v w

,

= .

cos ϕ · k

k k~

k~ w

v

Essa deriva dalla formula che dà l’angolo tra due vettori e dal fatto

~ ~ ~ ~

v w v w

che se è l’angolo tra e , essendo rispettivamente e ortogonali

α π π

≤ −

= = >

ai due piani, si ha se e se e quindi

ϕ α α ϕ π α α

2 2

| |

=

cos cos .

ϕ α

Siano ora  

= + = +

x x a t x x a s

2 2

1 1

 

 = + = +

y y b t y y b s

r s

: e : 2 2

1 1

  = +

= + z z c s

z z c t 

 2 2

1 1 π

h i

6 ∈

due rette nello spazio; e sia l’angolo da esse formato , con 0, ;

ϕ ϕ 2

=

se esse sono parallele diremo che 0, in generale indicando con

ϕ

~ ~

= [ ] = [ ]

v a b c w a b c

, , e , , si ha

2 2 2

1 1 1 h~ i

~

v w

,

=

cos .

ϕ ·

k~ k k~ k

v w

Concludiamo considerando una retta

 = +

x x at

1

 = +

y y bt

r : 1

 = +

z z ct

 1

6 r s

Ricordiamo, ancora una volta, che non è necessario che e si incontrino.

180 Capitolo 17. Rette e piani nello spazio

+ + + = = [ ] = [ ]

v a, b, c w

ed un piano : 0, se e e

π αx βy γz δ α, β, γ

π i

h

∈ è l’angolo tra la retta ed il piano, si ha

0,

ϕ 2 h~ i

~

v w

,

=

sin (17.13)

ϕ ·

k~ k k~ k

v w

π i

h

∈ r

l’angolo tra e la normale al piano, si ha

Infatti, detto 0,

ψ 2 h~ i

~

v w

,

=

cos ψ ·

k~ k k~ k

v w

π −

= =

e poiché si ha cos sin e quindi la (17.13).

ϕ ψ ψ ϕ

2

17.7 Simmetrie

In questo paragrafo presentiamo, per lo più mediante esempi, alcuni

problemi nello spazio riguardanti le simmetrie rispetto a punti a rette

ed a piani.

Simmetrie rispetto ad un punto 0

P Q P P

Siano e due punti distinti dello spazio; il simmetrico di

Q PQ Q

rispetto a è l’unico punto appartenente alla retta e tale che sia

0

PP

punto medio del segmento .

P f

Sia ora un punto dello spazio e sia una qualunque figura, la

0

f f P

figura simmetrica di rispetto a è il luogo dei punti simmetrici

P f

rispetto a dei punti di . 0 ( )

Vogliamo il simmetrico A del punto A rispetto al

1, 0, 0

Esempio 17.11.

(− )

punto M . Dalla definizione si ha

1, 2, 1 +

x x

 0

A A

=

x

 M

 

2 −

=

x x

2x

 0 M A

A

 

+

y y

 

0

A A −

=

y x

2y

da cui ;

=

y 0 M A

A

M 2

  −

=

z z

2z

 

+

z z 0 M A

A

 0

A A

 =

z

 M

 2

quindi, nel caso in esame,

 − −

= (− ) =

x 2 1 1 3

0

A

 · −

= =

y 2 2 0 4

0

A

 · −

= =

z 2 1 0 2

 0

A

0 (− )

da cui A .

3, 4, 2 181

17.7. Simmetrie Sia data la retta

Esempio 17.12.  = +

x t 1

 =

y 2t

r .

:  −

=

z t 1

0 −

( )

Vogliamo le equazioni della retta r simmetrica di r rispetto al punto P ;

1, 1, 2

essa è costituita dal luogo dei punti simmetrici di quelli di r rispetto a P, quin-

di sarà, come è facile dimostrare, una retta parallela ad r. Scegliamo due

= ( )

punti “comodi” su r, per esempio quello per cui t cioè A e quello

0 1, 0, 1 0 0

= ( )

per t cioè B . La retta cercata è quella che passa per A e B ,

1, 2, 2, 0

simmetrici di A e B rispettivamente. Procedendo come nell’esercizio 17.11 a

0 0

− −

( ) ( )

fronte troviamo A e B e dunque sarà

1, 2, 5 0, 4, 4

 −

=

x t

0 − −

=

y 4 2t

r : .

 −

=

z t

4

 0

Per determinare l’equazione del piano simmetrico di :

Esempio 17.13. π π

− −

+ = ( ) ( )

x y z rispetto a T consideriamo il generico punto P x, y, z ,

0 2, 1, 0 0

scriviamo le coordinate del suo simmetrico P rispetto a T procedendo come

0

+ =

nell’esercizio 17.11 nella pagina precedente ed otteniamo x x ,

2x T

0 0

+ = + =

y y e z z da cui

2y 2z

T T 0

 −

=

x x

4

 0

− −

=

y y

2 .

0

 −

=

z z

 0

− + =

Poiché P sta su se e solo se x y z si ha che le coordinate di P

0

π 0 0 0

− −

+ + =

devono soddisfare l’equazione x y z che si può scrivere

4 2 0

0 0 0

− −

+ =

come x y z e che rappresenta un piano parallelo a

6 0 π.

Simmetria rispetto ad un piano ∈

P P proiezione

Siano un punto e un piano tali che / chiamiamo

π π;

ortogonale P H P

di su il punto intersezione tra stesso e la retta per

π π

P

perpendicolare a Il simmetrico di un punto rispetto ad un piano

π. P H.

è il simmetrico di rispetto ad Come nel caso della simmetria

π 7

rispetto ad un punto anche in questo caso si dimostra che la simmetrica

di una retta rispetto ad un piano è una retta ed il simmetrico di un

piano rispetto ad un piano è ancora un piano. Il tutto è illustrato nella

figura 17.3

7 simmetria centrale.

detta anche

182 Capitolo 17. Rette e piani nello spazio

Simmetrica di una retta rispetto ad un piano

Figura 17.3

Vogliamo le equazioni della retta simmetrica di

Esempio 17.14.  =

x t

 =

y t

r :  =

z t

− + =

rispetto al piano x y z La retta taglia il piano nell’origine. La

: 0.

π

retta cercata sarà dunque (vedi figura 17.3) la congiungente dell’origine con il

0 ∈

punto P simmetrico rispetto al piano di un qualsiasi punto P r diverso dal

( )

punto comune (nel nostro caso l’origine O . Scegliamo, per esempio

0, 0, 0 8

( )

P . La retta per P ortogonale a ha equazioni

1, 1, 1 π

 = +

x 1 τ

 −

=

y 1 τ

 = +

z 1

 τ

4 2

2

− −

+ ( ) + + =

da cui si ha e quindi H dunque le

1 1 1 0 , ,

τ τ τ 3 3 3

0

coordinate di P sono 1

2

 · −

= =

x 2 1

0

 P

 3 3

 4 5

 · −

= =

y 2 1

0

P 3 3

 2 1

 · −

= =

z 2 1

 0

 P 3 3

8 Per evitare equivoci usiamo un parametro diverso, il parametro È ovvio che il nome

τ.

del parametro è del tutto arbitrario. 183

17.7. Simmetrie 0

allora la retta r , che congiunge O con H ha equazioni

1

 =

x k

 

3 =

x

 α

 

5

  =

y 5α

che possiamo anche scrivere (vedi la nota 8 ) .

= k

y 3

  =

z

  α

1

 =

z k

 3 Simmetrico di un piano rispetto ad un piano

Figura 17.4 0

Per determinare l’equazione del piano simmetrico di :

Esempio 17.15. α α

− − =

= rispetto a x y z conviene utilizzare la teoria dei fasci di

x 1 : 0

π

piani, infatti il piano cercato passerà per la retta r intersezione tra e (v.

α π

0 − − −

+ ( ) =

Fig. 17.4). Dunque l’equazione di sarà del tipo x y z k x 1 0.

α

Il valore di k può essere determinato procedendo come nel caso precedente: se

( )

consideriamo su un punto, per esempio P la sua proiezione H su

1, 0, 0

α π

stando sulla retta  = +

x t

1

 −

=

y t

 −

=

z t

 1

=

perpendicolare a e passante per P risulta individuata da t quindi è

π 3

0 0

23 13 1 1 23 23

= ( )

H . Dunque il simmetrico P di P sarà P e sostituendo

, , , ,

3 3

le sue coordinate nell’equazione del fascio si ottiene, con semplici calcoli,

0 −

+ + =

l’equazione del piano che è x 2y 2z 3 0.

α

184 Capitolo 17. Rette e piani nello spazio

Simmetrico di un piano rispetto ad un piano parallelo

Figura 17.5

Nel caso in cui i due piani siano paralleli, vedi fig. 17.5 si può anche,

d

per esempio, considerare la loro distanza: se essa è basta scrivere

d

l’equazione del piano a distanza da α.

Simmetrie rispetto ad una retta

P r

Se è un punto dello spazio ed una retta che non lo contiene,

0

H P r, P P

chiamando la proiezione ortogonale di su il simmetrico di

r P H.

rispetto ad è il punto dello spazio simmetrico di rispetto ad

r s

La retta r’ simmetrica di rispetto ad si determina (v. fig. 17.6 nella

r

pagina successiva) considerando i simmetrici di due punti di

0

Vogliamo le equazioni della retta r simmetrica di

Esempio 17.16.  =

x 1 (

 =

x z

 =

y t

r rispetto ad s

: : .

=

y 0

 −

=

z t

 0

Si verifica subito che le due rette date sono sghembe; per determinare r occorre

e basta determinare i simmetrici di due punti comodi di r e scrivere le equa-

( ) ( )

zioni della retta che li congiunge: per esempio siano P e Q

1, 0, 0 1, 1, 1

= =

(corrispondenti, rispettivamente, ai valori t e t i due punti: i

0 1)

0 0

1

− −

( ) (− )

due simmetrici sono, come si ricava facilmente P e Q

0, 0, 1, 1, 1

2

0 0

32

dunque una terna di parametri direttori di s è quindi la retta s ha

1, 1, 185

17.8. Coordinate omogenee nello spazio

Simmetrica di una retta rispetto ad un altra retta

Figura 17.6

equazioni  −

=

x 2t 1

 −

= +

y 2t 1 .

 −

= +

z 3t 1

17.8 Coordinate omogenee nello spazio

In analogia con quanto visto nel piano, si può introdurre una siste-

ma di coordinate omogenee anche nello spazio: i punti saranno definiti

da quaterne di coordinate omogenee. Quando la quarta coordinata

u)

omogenea (anche qui indicata con la lettera sarà non nulla si avrà a

che fare con punti dello spazio ordinario, mentre, anche qui, i punti la

impropri all’in-

cui quarta coordinata omogenea è nulla verranno detti o

finito e corrisponderanno, nello spazio ordinario, alle varie direzioni di

rette parallele. Saremo dunque in presenza di uno spazio ampliato con

=

u piano

i punti impropri, cioè i punti per cui 0 costituenti il cosiddetto

+ + + =

improprio. ax by cz du

Su ogni piano di equazione 0 esisterà

una retta impropria, che sarà l’intersezione del piano stesso con il piano

improprio ed avrà quindi equazioni

( (

+ + + = + + =

ax by cz du ax by cz

0 0

o anche

= =

u u

0 0

186 Capitolo 17. Rette e piani nello spazio

r

Su ogni retta ci sarà un punto improprio, intersezione tra le rette

r

improprie dei piani passanti per come mostra il seguente

Determiniamo le coordinate del punto improprio della retta

Esempio 17.17.  = +

x t

1

 =

y 2t

r : .

 −

=

z t

In coordinate cartesiane avremo

( (

− − −

= =

y y

2x 2 2x 2u 0

r che in coordinate omogenee diventa r

: : .

− −

= + + =

z x x z u

1 0

Intersecando con il piano improprio si ottiene

 =

y 2x

 −

=

z x

 =

u 0

 −

( )

da cui le coordinate del punto improprio P che è il punto

1 : 2 : 1 : 0

∞ −

= =

comune alle rette improprie dei due piani y e z x le cui equazioni

2x

sono ( (

− = + =

y x z

2x 0 0

e .

= =

u u

0 0

Nello spazio ampliato con gli elementi impropri il termine “compla-

narità” è sinonimo di “incidenza”: incidenza in un punto proprio per

le rette incidenti dello spazio ordinario, ed in un punto improprio per

rette parallele.

In questo contesto risulta semplice l’interpretazione geometrica di

sistemi lineari in quattro incognite come insiemi di piani

Vogliamo vedere se le rette

Esempio 17.18.

( (

− − − −

+ = + + ( ) =

x ky z x k z

2 3y 1 1

r ed s

: :

+ = ( + ) + =

kz k y z k

2x 1 1

sono sghembe. Dopo averle riscritte in coordinate omogenee, avremo a che fare

con un sistema lineare omogeneo di quattro equazioni in quattro incognite che

indicherà la complanarità delle rette, quando ammette autosoluzioni, ed il loro

9

essere sghembe, quando ammetterà solo la soluzione banale .

9 ( )

Ricordando che la quaterna di coordinate omogenee 0 : 0 : 0 : 0 non rappresenta alcun

punto. 187

17.8. Coordinate omogenee nello spazio

Quindi, nel nostro caso, avremo il sistema

 − −

+ =

x ky z 2

 −

 + =

kz

2x 1

 − −

+ + ( ) =

x k z

3y 1 1

 ( + ) + =

k y z k

1

di matrice dei coefficienti  

k

1 1 2

k

0 2 1

 

A :  

k

1 3 1 1

 

+

k k

0 1 1

6 ± − −

= = = = = =

il cui rango è r per k r per k ed r per k

4 1, 3 1 2 1.

6 ±

=

Questo significa che per k il sistema non ha autosoluzioni, quindi i

1

piani non hanno, nello spazio ampliato con i punti impropri, alcun punto in

∞ 1

=

comune: le due rette sono dunque sghembe; per k ci sono soluzioni,

1

10

dunque esattamente un punto di intersezione, proprio o improprio (basta

risolvere il sistema per scoprirlo, cioè per scoprire se le rette sono effettivamente

∞ 2

=

incidenti o parallele); per k ci sono soluzioni, dunque le due rette

1

coincidono e sono, ovviamente complanari.

Concludiamo il paragrafo notando che l’introduzione dei punti im-

propri dello spazio permette di rimuovere, tra le altre, la dissimmetria

nella trattazione dei fasci di piani passanti per una retta o paralleli, dal

momento che, in questo contesto, i piani paralleli passano tutti per una

medesima retta impropria.

10 Ricordiamo che anche le coordinate omogenee dei punti dello spazio sono definite a meno

di un fattore di proporzionalità.

Capitolo 18

Sui sistemi di riferimento

In questo capitolo ci occuperemo di alcune particolari trasformazio-

ni del sistema di riferimento cartesiano ortogonale in sè e forniremo

poi un breve cenno ad altri possibili sistemi di riferimento diversi da

quello cartesiano, ma usati spesso in vari settori della Matematica, nelle

altre Scienze e nella Tecnologia.

18.1 Rototraslazioni

Risulta quasi immediato verificare che una trasformazione di assi,

cioè il passaggio da un sistema di riferimento monometrico ad un altro

con gli assi paralleli ed equiversi a quelli del precedente e con la stessa

1 2

unità di misura è descritto dalle equazioni

0

 −

=

x x α

 0 −

=

y y (18.1)

β

0

 −

=

z z

 γ

( )

dove sono le coordinate della nuova origine nel sistema di

α, β, γ x, y, z

riferimento iniziale; sono le coordinate del generico punto in

questo sistema e le coordinate accentate sono le coordinate nel nuovo

sistema di riferimento.

Le traslazioni conservano le distanze: se due punti hanno distanza

d d

rispetto ad un sistema di riferimento, essi hanno distanza rispetto

1 Noi considereremo sempre le trasformazioni geometriche nel modo cosiddetto passivo,

nel senso, cioè, che saranno sempre gli assi del sistema di riferimento e non i punti a muoversi:

risulterebbe interessante trattare l’argomento anche in modo contrario, ma ciò comporterebbe

un livello di astrazione superiore che esula dagli scopi di queste dispense.

2 cioè tali equazioni legano le coordinate di un punto generico dello spazio nel vecchio

sistema di riferimento a quelle del nuovo. 189

190 Capitolo 18. Sui sistemi di riferimento

a qualsiasi altro sistema traslato rispetto al primo quindi non vi è

cambiamento di unità di misura.

Per quanto riguarda le rotazioni vale un teorema, analogo al Teore-

ma 11.2 a pagina 113, e che si dimostra con la stessa tecnica, secondo

cui la matrice di una rotazione è una matrice ortogonale. Più precisa-

mente, con considerazioni puramente geometriche, si fà vedere che le

equazioni di questa trasformazione sono:

0

 = + +

x x y z

cos cos cos

α β γ

1 1 1

 0 = + +

y x y z

cos cos cos (18.2)

α β γ

2 2 2

0

 = + +

z x y z

cos cos cos

 α β γ

3 3 3

dove cos , cos , cos ; cos , cos , cos ; cos , cos , cos

α β γ α β γ α β γ

2 2 2 3 3 3

1 1 1

sono, rispettivamente, i coseni direttori dei nuovi assi rispetto ai vecchi.

Poiché la matrice dei coefficienti è la matrice

 

cos cos cos

α β γ

1 1 1

Γ cos cos cos

= α β γ

2 2 2

 

cos cos cos

α β γ

3 3 3

che è ortogonale, la matrice inversa è quindi la trasposta

 

cos cos cos

α α α

2 3

1

Γ Γ

1 cos cos cos

= = β β β

2 3

T 1

 

cos cos cos

γ γ γ

2 3

1

da cui si ricavano facilmente le equazioni della trasformazione inversa.

La composizione di una rotazione e di una traslazione è ancora

3 rototraslazione,

una isometria che prende il nome di le cui equazioni si

ottengono, mettendo insieme la (18.1) e la (18.2), con il sistema

0

 = + + +

x x y z a

cos cos cos

α β γ

1 1 1

 0 = + + +

y x y z b

cos cos cos (18.3)

α β γ

2 2 2

0

 = + + +

z x y z c

cos cos cos

 α β γ

3 3 3

OSSERVAZIONE 18.1. La composizione di una rotazione e di una tra-

slazione non è, in generale, commutativa; cioè applicando prima la

rotazione e poi la traslazione si ottiene in generale un risultato diver-

so da quello che si ottiene applicando prima la traslazione e poi la

rotazione.

3 cioè una trasformazione dello spazio in sè che conserva le distanze. 191

18.2. Coordinate polari e coordinate cilindriche

Consideriamo la trasformazione

Esempio 18.1.  1 1

00 0 0

√ √

=

x x y

0 

 = +

x x 2  2 2

 

 0 1 1

=

y y 1 e la rotazione :

: $

τ 00 0 0

√ √

= +

y x y

0 

 2 2

=

z z 2 

 

 00 0

 =

z z

sostituendo si ha :

 1 1 1 3

1

00 √ √ √ √ √

− − −

( + ) ( ) = +

= x y x y

x 2 1

 2 2 2 2 2

 1 1 1 1 3

00 √ √ √ √ √

= ( + ) + ( ) = + +

y x y x y

2 1

 2 2 2 2 2

 00

 −

=

z z 2

Facendo agire, invece le due trasformazioni in ordine inverso, cioè eseguendo

prima la rotazione e poi la traslazione, si ha

 1 1

0 √ √

=

x x y

 00 0

  = +

x x 2

 2 2

 

  00 0

1 1 −

=

y y 1

e

: :

$ τ

0 √ √

= +

y x y 00 0

 

2 2 −

=

z z 2

 

 0

 =

z z

si ottiene facilmente  1 1

00 √ √

= +

x x y 2

 2 2

 1 1

00 √ √ −

= +

y x y 1

 2 2

 00

 −

=

z z 2

che differisce dalla precedente.

18.2 Coordinate polari e coordinate cilindriche

Anche per i punti dello spazio si parla, come nel piano, di coordinate

polari. Vediamo come si possono introdurre e come si passa da un

sistema polare ad uno cartesiano e viceversa.

192 Capitolo 18. Sui sistemi di riferimento

Fissato nello spazio un

sistema di coordinate car-

4

tesiane ortogonali (v. fi-

gura 18.1), consideriamo

asse polare z

come l’asse

e la semiretta ortogonale

all’asse polare coinciden-

te con la direzione positi-

x;

va dell’asse otteniamo

un semipiano giacente

ω

xy

sul piano che prende il

semipiano polare.

nome di

Ciò posto un qualun-

Coordinate polari

Figura 18.1 P

que punto dello spa-

zio individua un segmen-

# »

=

OP raggio vettore P, OP

to detto di inoltre il vettore (che ha quindi

ρ colatitudine angolo

norma forma, con l’asse polare, un angolo detto o

ρ) ϑ

≤ ≤

(o distanza) zenitale di P (ovviamente si ha 0 infine il semipia-

ϑ π),

P

no individuato da e dall’asse polare forma, con il semipiano un

ω

≤ ≤

azimut longitudine P

angolo detto o di (si ha 0 2π). A volte,

ϕ ϕ π −

=

invece della colatitudine si considera la latitudine che è

ϑ

ϑ ψ 2

piano equatoriale

l’angolo formato dal raggio vettore con il passante

ε

O

per e perpendicolare all’asse polare.

P coordinate

In tal modo ogni punto viene individuato dalle sue

5 ( ) ( )

polari o molto usate, specialmente in Geografia ed in

ρ, ϑ, ϕ ρ, ψ, ϕ

Astronomia.

Osservando ancora la figura 18.1 si possono facilmente scrivere le

formule di passaggio dalle coordinate polari alle cartesiane e viceversa.

Q Z P

Infatti se con e si indicano le proiezioni ortogonali di sul piano

xy z X Y

e sull’asse rispettivamente e con e le proiezioni ortogonali di

= = =

P x y, OZ z OQ

sugli assi e si hanno le formule cos sin

ρ ϑ, ρ ϑ,

= = = = = = = =

X x OQ XQ OY y OQ

cos sin cos e sin

ϕ ρ ϑ ϕ ϕ

sin sin quindi

ρ ϑ ϕ,

4 Nello spazio, come, del resto anche nel piano, si può, ovviamente, introdurre un riferi-

mento polare anche in assenza di uno cartesiano preesistente; qui preferiamo invece partire

da un sistema cartesiano, in quanto siamo interessati alla determinazione del legame tra le

coordinate di un punto in sistemi di riferimento diversi in qualche modo però legati tra loro.

5 In questo modo, infatti, ogni punto dello spazio viene individuato da una ed una sola

=

terna di numeri; fà eccezione l’origine del riferimento, per cui si ha 0 e e indeterminati

ρ ϕ ϑ

193

18.2. Coordinate polari e coordinate cilindriche

 =

x sin cos

ρ ϑ ϕ

 =

y sin sin

ρ ϑ ϕ

 =

z cos

 ρ ϑ

e, all’inverso, come è facile verificare,

q

 2 2 2

= + +

x y z

ρ

 z

= arccos

ϑ

 p 2 2 2

 + +

x y z

mentre, noti e si ottiene con le relazioni

ρ ϑ ϕ,

x y

= =

cos e sin

ϕ ϕ

sin sin

ρ ϑ ρ ϑ

Un altro tipo di coor-

dinate per individuare un

P

punto dello spazio, che,

in un certo senso, è una

via di mezzo tra quelle car-

tesiane e quelle polari è

costituito da quelle che si

coordinate cilin-

chiamano

driche: P

un punto è rap-

presentato dalle coordina-

te polari della sua proie-

Q xy

zione sul piano (vedi

figura 18.2) e dalla quota

=

z z P.

di

0 = OQ

Dunque si ha Coordinate cilindriche

Figura 18.2

ρ 0

= XOQ

e detti rispetti-

[

ϑ distanza orizzonta-

vamente ( )

le azimut. P z

e Le coordinate cilindriche di sono allora , e le

ρ ϑ,

0 0

formule di passaggio si ricavano immediatamente dalla definizione:

 =

x cos

ρ ϑ

0

 =

y sin

ρ ϑ

0

 =

z z

 0

p 2 2

= +

x y

e, all’inverso, e, noto si può calcolare dalle relazioni

ρ ρ ϑ

0 0

x y

= =

cos e sin .

ϑ ϑ

ρ ρ

0 0

Capitolo 19

Linee e Superfici nello spazio

In questo capitolo vedremo come si rappresentano in generale linee

e superfici nello spazio.

19.1 Superfici superficie

Si chiama il luogo dei punti dello spa-

DEFINIZIONE 19.1.

zio, che riferito ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali,

soddisfano un’equazione cartesiana

( ) =

f x, y, z 0 (19.1)

od una terna di equazioni parametriche del tipo

 = ( )

x g u, v

 = ( )

y h u, v (19.2)

 = ( )

z i u, v

f

dove nella (19.1) la è funzione reale di al più tre variabili, in genere

g, h i

reali e nella (19.2) ed sono tre funzioni reali di al più due variabili.

Nella definizione 19.1 si parla di funzioni qualsiasi, che quindi

possono dar luogo a superfici anche molto lontane dal concetto intuitivo

che abbiamo di superficie.

La superficie più semplice è il piano che, come abbiamo visto, è

+ + + =

ax by cz d

rappresentato da un’equazione cartesiana lineare, 0

a, b c

purché i coefficienti e non siano tutti e tre nulli, ma anche da una

terna di equazioni parametriche lineari

 = + +

x x αu βv

0

 = + +

y y (19.3)

γu δv

0

 = + +

z z

 eu ζv

0

195

196 Capitolo 19. Linee e Superfici nello spazio

con non tutti e tre nulli ed ugualmente non contemporaneaa-

α, γ, e ( )

mente nulla la terna . Le equazioni (19.2) rappresentano effetti-

β, δ, ζ u v

vamente un piano, perché eliminando da esse i due parametri e si

ottiene una equazione (ed una sola) lineare.

OSSERVAZIONE 19.1. Mentre l’equazione cartesiana di un piano è

sempre lineare e, viceversa in un sistema di riferimento cartesiano ogni

equazione lineare rappresenta un piano, le equazioni parametriche di

un piano possono anche non essere lineari, addirittura non algebiche.

Mostriamo infatti che il sistema

Esempio 19.1. 3

 = +

x u v

log

 3

= +

y v

2u 3 log

 3

 = +

z v

3u 7 log

rappresenta un piano. Per far ciò basta eliminare i due parametri u e v ricavan-

3 3 −

=

do u e v dalle prime due equazioni: si ottiene u y e, similmente,

log 3x

=

v y sostituendo poi i valori trovati nella terza equazione, si per-

log 2x; − + =

viene all’equazione cartesiana z che rappresenta appunto un

5x 4y 0

piano.

Per la precisione in questo caso si dovrebbe parlare di un piano privato di

>

una semiretta, infatti, poiché v è argomento di logaritmo, dev’essere v e

0

n − + =

z

5x 4y 0

− >

cioè y quindi bisognerebbe scrivere .

2x 0 − >

y 2x 0

Tra le superfici di equazione ( 19.1 nella pagina precedente) esistono,

ad esempio, anche quelle rappresentate dall’equazione

2 2 2

+ + =

x y z k (19.4)

>

k

che per 0 rappresentano una superficie reale, quella formata da

√ k

tutti (e soli) i punti che distano dall’origine: si tratta di una sfera,

superficie di cui parleremo diffusamente nel prossimo capitolo. Ma

=

k

se 0 si ottiene una superficie che ha un solo punto reale, l’origine

( ) <

O k

0, 0, 0 e se 0 nessun punto della superficie, che per comodità

chiamiamo ancora sfera, è reale.

Quindi anche nel caso dello spazio occorre accettare superfici for-

mate solo da punti a coordinate complesse, ossevando, di passata, che

anche le superfici reali contengono, in generale punti a coordinate

complesse. 197

19.1. Superfici

L’equazione cartesiana di una superficie, equazione 19.1 a pagi-

1

na 195, si può, sotto certe ipotesi esplicitare, cioè scrivere nella forma

= ( )

z x, y (19.5)

ϕ

che in molte occasioni può essere più comoda.

algebrica di ordine n

Una superficie si dice se può

DEFINIZIONE 19.2.

essere rappresentata da un equazione di tipo (19.1) in cui il primo

n.

membro è un polinomio di grado Le superfici che non possono

trascendenti.

essere rappresentate in questo modo si chiamano

Quindi, per esempio, esaminando ancora un caso patologico, e

=

x

seguendo la definizione 19.2 la superficie di equazione 0 deve

2 =

x

essere considerata diversa dalla superficie 0 pur essendo entrambe

formate dagli stessi punti.

( ) =

f x, y, z n r

Sia ora 0 una superficie algebrica di ordine e sia una

generica retta di equazioni parametriche

 = +

x x at

0

 = +

y y bt .

0

 = +

z z ct

 0

r

Le intersezioni di con la superficie sono ovviamente le soluzioni

dell’equazione ( + + + ) =

f x at, y bt, z ct 0 (19.6)

0 0 0 t

che è un polinomio uguagliato a zero nella variabile e di grado non

n,

maggiore di il quale, per il Teorema Fondamentale dell’Algebra,

m n

ammette radici, reali o complesse contate con le opportune mol-

teplicità. Quindi possiamo concludere che una retta ed una superficie

n n

algebrica di ordine hanno al più punti in comune.

tangente

Una retta si dice alla superficie se l’equazione (19.6) ri-

solvente l’intersezione ammette almeno una radice multipla. Questa

radice è costituita dalle coordinate del punto di tangenza.

Una retta tangente può ovviamente intersecare la superficie anche

in altri punti diversi da quello di tangenza o addirittura essere tangente

in più punti. Σ

P

Un punto di un a superficie algebrica si dice

DEFINIZIONE 19.3. Σ Σ.

multiplo ogni P

per la superficie se retta passante per è tangente a

1 che qui non importa precisare: si tratta di un noto teorema di Analisi sulle funzioni

implicite di più variabili.

198 Capitolo 19. Linee e Superfici nello spazio

19.2 Linee L

Una linea (o curva) nello spazio può essere rappresentata da

equazioni parametriche del tipo  = ( )

x f t

L ≡ = ( )

y g t (19.7)

 = ( )

z h t

 L

che individuano le coordinate del generico punto di al variare del

t.

parametro Se proviamo ad eliminare il parametro dalle equazio-

due

ni (19.7) otteniamo sempre equazioni cartesiane, quindi una curva

può anche essere rappresentata come intersezione di due superfici.

Se tutti i punti di una curva appartengono ad un medesimo piano

piana, sghemba gobba.

la curva si dice nel caso opposto si parla di curva o

Un esempio di curva gobba è fornito dal filetto di una comune vite.

Per stabilire se una linea è piana oppure gobba, si può procedere in

vari modi, a seconda di come è rappresentata la linea:

• Se la linea è individuata dall’intersezione di due superfici, cioè da

un sistema di due equazioni cartesiane, allora si può cercare un

sistema equivalente che contenga un’equazione lineare. Se lo si

trova allora si può affermare che la curva è piana e l’equazione

lineare trovata è quella del piano che la contiene. Ovviamente il

fatto di non riuscire a trovare il sistema più semplice non sempre

garantisce che non esista e quindi non garantisce che la curva sia

gobba.

• Se la curva, invece, è data mediante le sue equazioni parametriche

(caso peraltro a cui ci si può sempre ricondurre, ed in generale con

relativa facilità) basta sostituire le coordinate del punto generico

+ + +

ax by cz

della cuva ( 19.7) nell’equazione del generico piano

=

d 0 ottenendo · · ·

( ) + ( ) + ( ) + =

a f t b g t c g t d 0 (19.8)

La curva è piana se e solo se la (19.8) è identicamente verificata,

ogni valore t.

cioè è verificata da del parametro

Nel caso in cui il primo membro dell’equazione (19.8) sia un po-

n

linomio di grado la condizione è verificata se e solo se ogni

coefficiente del polinomio (compreso quindi anche il termine no-

to) è nullo. Ponendo uguali a zero tutti i coefficienti si ottiene un

199

19.2. Linee ≤ +

k n

sistema lineare omogeneo di 1 equazioni nelle quattro

a, b, c d.

incognite e La curva è piana se e solo se un tale siste-

ma ammette autosoluzioni, cioè se e solo se la matrice dei suoi

<

coefficienti ha rango 4.

Sia data la curva di equazioni

Esempio 19.2. ( 2 2 2 − −

+ + + + =

x y z z

3x 2y 1 0

2 2 2 −

+ + + =

x y z x 1 0

sottraendo membro a membro si ottiene il sistema equivalente

( 2 2 2 − −

+ + + + =

x y z z

3x 2y 1 0

− + + + =

z

2x 2y 2 0

− − − =

quindi la curva è piana ed appartiene al piano z

2x 2y 2 0.

Sia data la curva di equazioni parametriche

Esempio 19.3. 2

 = +

x t t

 −

=

y t 1 .

 2 −

=

z t 2t

Vogliamo vedere se è piana. 2 2

− −

( + ) + ( ) + ( ) + =

In questo caso la (19.8) diventa a t t b t c t d

1 2t 0

2 − −

( + ) + ( + ) + =

che, ordinando il polinomio, diventa a c t a b t d b

2c 0,

identicamente verificata se e solo se il sistema

 + =

a c 0

 −

+ =

a b 2c 0

 − =

d b 0

ammette autosoluzioni, il che accade, in quanto il rango della matrice dei

coefficienti è palesemente non maggiore di L’equazione del piano si ottiene

3.

facilmente: i coefficienti sono, ordinatamente, una di queste autosoluzioni.

L

Sia la linea

Esempio 19.4. 3

 =

x t

 3 2

= +

y t t

 =

z t

200 Capitolo 19. Linee e Superfici nello spazio

3 3 2 3 2

+ ( + ) + + = ( + ) + + + =

si ha at b t t ct d cioè a b t bt ct d da

0 0

 + =

a b 0

 =

b 0

cui il sistema che non ammette autosoluzioni, quindi possiamo

=

c 0

 =

d 0

concludere che la curva non è piana.

Capitolo 20

Sfera e circonferenza nello

spazio

20.1 La sfera sfera

Come è noto si chiama il luogo dei punti dello spazio equi-

( )

C

distanti da un punto fissato. Se tale punto è e la distanza è

α, β, γ

≥ ( )

R P x, y, z

0 si vede subito che, indicando con un generico punto

dello spazio, l’equazione della sfera è

2 2 2 2

− − −

( ) + ( ) + ( ) =

x y z R (20.1)

α β γ

che diventa

2 2 2 2 2 2 2

− − − −

+ + + + + =

x y z R

2αx 2βy 2γz 0

α β γ

che si può scrivere 2 2 2

+ + + + + + =

x y z ax by cz d 0

2 2 2 2

− − − −

= = = = + +

a b c d R

pur di porre 2α, 2β, 2γ e .

α β γ

Viceversa l’equazione

2 2 2

+ + + + + + =

x y z ax by cz d 0 (20.2)

caratterizzata dal fatto di avere i coefficienti dei termini quadratici ugua-

li e non contenere alcun termine rettangolare rappresenta la sfera con

a b c 1 2 2 2

− − − −

= = + +

C R a b c

centro nel punto , , e raggio 4d

2 2 2 2

come si può facilmente mostrare con ragionamenti analoghi a quelli

effettuati per la circonferenza nel piano. Ampliando lo spazio con i

punti a coordinate complesse, come abbiamo fatto per il piano, pos-

R ogni

siamo eliminare nella (20.1) l’eccezione 0 ed affermare che

equazione della forma (20.2) rappresenta una sfera nello spazio.

201

202 Capitolo 20. Sfera e circonferenza nello spazio

20.2 Piani tangenti ad una sfera

Esaminiamo ora, su esempi, come si possa determinare l’equazione

1 P.

del piano tangente ad una sfera in un suo punto

Σ 2 2 2

≡ −

+ + + =

Sia data la sfera x y z che ha

2x 2y 0

Esempio 20.1. √

( ) =

centro nel punto C e raggio R Vogliamo l’equazione del pia-

1, 1, 0 2.

Σ.

( )

no tangente nell’origine O alla Il piano cercato è perpendicolare

0, 0, 0

π −

alla retta OC che ha parametri direttori , quindi possiamo scegliere

1, 1, 0

questi parametri direttori per poiché, infine passa per l’origine, la sua

π; π

− =

equazione è: x y 0.

Per inciso, si può mostrare che il piano tangente nell’origine ad una

2

sfera è rappresentato dall’equazione che si ottiene eguagliando a zero

il complesso dei termini lineari dell’equazione che la rappresenta.

Σ 2 2 2

+ + =

Siano la sfera di equazione x y z ed r la retta

1

Esempio 20.2.

( =

x 3 Σ

di equazioni Vogliamo gli eventuali piani tangenti a e passanti

.

=

z 0

per r. =

Si vede subito che la sfera data ha centro nell’origine e raggio R i

1

piani cercati appartengono allora al fascio che ha per sostegno la retta r, cioè

+ =

al fascio x ed hanno distanza dall’origine, quindi dev’essere

3 0 1

λz √

3 ±

=

= da cui si ricava in accordo con il fatto che i piani

1 2 2.;

√ λ

2

+

1 λ

tangenti ad una sfera e passanti per una retta sono al più due.

20.3 Circonferenze nello spazio

Σ

L’intersezione di una sfera con un piano rappresenta una cir-

π

conferenza, reale, se il piano taglia la sfera in punti reali, cioè se la sua

R,

distanza dal centro è minore del raggio ridotta ad un solo punto se

R

il piano è tangente, cioè se la distanza è e immaginaria se il piano

R,

non taglia la sfera, cioè se la distanza è maggiore di e viceversa ogni

circonferenza dello spazio può essere vista come l’intersezione di un

piano con una sfera. Quindi, in generale, una circonferenza si può

rappresentare nello spazio con le equazioni

( 2 2 2

+ + + + + + =

x y z ax by cz d 0

≡ (20.3)

γ + + + = 0

αx βy γz δ

1 P

Il piano tangente ad una superficie in un suo punto può essere inteso come il luogo

P

delle rette tangenti in alla superficie.

2 anzi, ad una qualsiasi superficie algebrica. 203

20.3. Circonferenze nello spazio

Ci proponiamo di

calcolare le coordina-

te del centro e la lun-

ghezza del raggio di γ.

C

Se indichiamo con

R

e rispettivamente il

centro ed il raggio del-

Σ,

la sfera è facile ren-

dersi conto (vedi Figu-

0

C

ra 20.1) che il centro

della è la proiezione

γ C

ortogonale di sul pia-

no quindi si può de-

π, Circonferenza nello spazio

Figura 20.1

terminare come inter-

sezione tra il piano π C.

e la retta ad esso perpendicolare passante per Per quanto rigurada il

r

raggio della circonferenza, osservando sempre la figura 20.1, il Teo-

2 2 2

= +

R r d d

rema di Pitagora ci permette di scrivere che , dove con

c

abbiamo indicato la distanza di dal piano da cui immediatamente

π

√ 2 2

=

r R d . Siano date le equazioni

Esempio 20.3. ( 2 2 2 − −

+ + + =

x y z z

2x 2y 0

+ =

x y z 0

1

che rappresentano l’intersezione della sfera di centro C e raggio

1, 1, 2

3 −

= +

R con il piano x y z ; esse rappresentano una circonferenza reale,

2

infatti il piano taglia la sfera in punti reali dato che la distanza d di da C è

π

12 r r

|

| − −

1 1 1 9 1 1 26

√ √ −

= < = =

, quindi d R. Dunque r . Per

4 12 2 3

3 2 3

trovare le coordinate del centro di osserviamo che una terna di parametri

γ

direttori del piano è quindi la retta perpendicolare al piano passante

1, 1, 1,

 = +

x t

1

 −

= +

y t

1

 +

per C avrà equazioni intersecandola con il piano si ottiene 1

1

 −

=

z t

 2

1 7 5 1

0

1

− − −

+ + = =

t t t da cui t cui corrisponde il punto C

1 0 , ,

2 6 6 6 3

centro della circonferenza data.

204 Capitolo 20. Sfera e circonferenza nello spazio

20.4 Fasci di sfere

F

L’insieme di tutte e sole le sfere che passano per una data circon-

ferenza (reale o completamente immaginaria, degenere in un punto

γ

o meno) e dal piano che la contiene costituisce quello che si chiama un

3

fascio di sfere piano radicale del fascio

il piano che ne fà parte si chiama e

sostegno

la circonferenza data si chiama del fascio. Il luogo dei centri

F

delle sfere di risulta ovviamente costituito dalla retta che passa per

il centro di ed è ortogonale al piano su cui giace.

γ γ l’equazione

In modo del tutto analogo ai fasci di piani si dimostra che

di tutti e soli gli elementi di un fascio di sfere si scrive come combinazione

lineare non banale di quelle di due qualsiasi di esse.

Sia data la circonferenza intersezione delle due sfere

Esempio 20.4. γ

( 2 2 2 − −

+ + =

x y z 2x 2y 0

2 2 2 − −

+ + + + =

x y z x z

2y 1 0

Il fascio che ha per sostegno la ha equazione

γ

2 2 2 2 2 2

− − − −

( + + ) + ( + + + + ) =

x y z x y z x z

2x 2y 2y 1 0

λ µ

che, come al solito e con le solite avvertenze sull’eventuale valore infinito del

parametro, si può scrivere, con un parametro solo, nella forma

2 2 2 2 2 2

− − − −

+ + + ( + + + + ) =

x y z k x y z x z

2x 2y 2y 1 0 (20.4)

che diventa 2 2 2 − − −

( + )( + + ) + ( ) + ( + ) + =

k x y z k x k y kz k

1 2 2 1 0.

− −

= + =

Per k la diventa z che è l’equazione del piano

1 (20.4) 3x 1 0

radicale del fascio. Essa si ottiene comunque sottraendo membro a membro le

equazioni della γ. √ 6

=

Vogliamo l’equazione di una sfera che ha raggio R e

Esempio 20.5. 2

passa per la circonferenza di equazioni

( 2 2 2 −

+ + =

x y z x 1

: .

γ −

+ + =

x y z 1 0

3 Anche qui, come nel caso delle circonferenze del piano, si considerano anche altri tipi di

fasci: i fasci costituiti dalle sfere tangenti un piano dato in un punto dato (e qui la circonferenza

sostegno ha raggio nullo) o le sfere che hanno un dato centro. 205

20.4. Fasci di sfere

Le sfere che soddisfano tali condizioni son al massimo due ed appartengono al

F

fascio che ha per sostegno la la cui equazione è

γ,

2 2 2 − − −

+ + + ( + + ) =

x y z x k x y z

1 1 0

F

L’equazione della generica sfera di si può scrivere come

2 2 2 − − −

+ + + ( ) + + =

x y z k x ky kz k

1 1 0

e quindi il suo raggio è 1 q 2 2 2

− − −

= ( ) + + ( )

R k k k k

1 4 1

2

Uguagliando R al valore dato si ottiene l’equazione

6 1 2 2

− −

= ( + + + )

k 2k 1 2k 4k 4

4 4 2 − − =

che, con semplici passaggi, diventa da cui si ottengono i

3k 6k 1 0

due valori di k.

Capitolo 21

Superfici rigate e di rotazione

21.1 Superfici rigate Σ

rigata

Si dice una superficie tale che per ogni suo punto passi

Σ. Σ

almeno una retta reale tutta contenuta in Le rette che formano la si

Σ

generatrici

chiamano ed ogni linea che appartiene a ed incontra ogni

(curva) direttrice.

generatrice si chiama Per esempio è rigata la supeficie

Σ di equazione 2

− + =

xy z 1 0 (21.1)

infatti l’equazione (21.1) si può scrivere

· −

= ( + )( )

x y z z

1 1

che ammette le stesse soluzioni dell’insieme costituito dai due sistemi

di rette ( (

= ( ) = ( + )

x k z x h z

1 1 ;

= = +

ky z ky z

1 1

h k

al variare dei parametri non nulli e queste sono rette che giacciono

per intero sulla superficie e si verifica che per ogni punto della (21.1)

passa almeno una di queste rette, quindi la superficie è rigata.

È facile scrivere le equazioni parametriche di una superficie rigata

L

quando siano date una direttrice ed un sistema di generatrici: se le

equazioni della direttrice sono  = ( )

x f t

L = ( )

y g t

= ,

 = ( )

z h t

( ( ) ( ) ( ))

P f t g t h t

per ogni punto , , di essa passa una generatrice i cui

t ( ) ( ) ( )

a t b t c t P

parametri direttori , , dipendono da . La generatrice

t

207

208 Capitolo 21. Superfici rigate e di rotazione

P

passante per ha quindi equazioni

t  = ( ) + ( )

x f t a t τ

 = ( ) + ( )

y g t b t . (21.2)

τ

 = ( ) + ( )

z h t c t

 τ

Il sistema (21.2), pensato come sistema nella sola incognita rappre-

τ

senta la generica generatrice, mentre pensato come sistema nelle due

t

incognite e rappresenta la superficie rigata cercata.

τ

Naturalmente per avere l’equazione cartesiana della superficie biso-

t

gna eliminare i due parametri e cosa che può comportare conti a

τ,

volte un po’ laboriosi.

f g h t a, b c

In particolare se , ed sono funzioni lineari di ed e funzioni

costanti, si ha a che fare con le equazioni parametriche di un piano:

lasciamo come esercizio al lettore la costruzione di un esempio in cui

si possano chiaramente individuare la direttrice e le generatrici di una

superficie rigata costituita da un piano.

Cerchiamo l’equazione della superficie rigata che ha come

Esempio 21.1. 1

direttrice la “cubica gobba” di equazioni

 =

x t

 2

=

y t

 3

=

z t

e come generatrici rette di parametri direttori 1, 1, 1.

Scriveremo allora il sistema  = +

x t τ

 2

= +

y t τ

 3

= +

z t

 τ

che costituiscono una terna di equazioni parametriche della superficie cercata.

Eliminando i parametri per passare alla forma cartesiana della superficie

otteniamo, dopo qualche calcolo, lungo ma non difficile, l’equazione

3

− − − −

( ) ( )( + ) =

x y y z x z

2y 0.

21.2 Superfici di rotazione Σ

di rotazione rotonda

Si chiama o una superficie (fig. 21.1 nella pagina

L

successiva) ottenuta facendo ruotare una linea attorno ad una retta

r, asse di rotazione.

detta di solito

1 Questo esempio mostra che la direttrice può anche non essere una curva piana.

209

21.2. Superfici di rotazione

Per scrivere l’equa-

zione di una tale su-

perficie basta conside-

rare il generico punto

L

P ed imporre che

sul piano passante

π

P

per ed ortogonale a

r esso descriva una cir-

conferenza con centro

r

l’intersezione tra e π.

In questo modo si ot-

tengono due equazioni

(di una sfera e del pia-

no ambedue que-

π); Superficie di rotazione

Figura 21.1

ste equazioni dipendo-

no dal parametro che L

P

individua la posizione di sulla linea ; eliminando questo para-

metro si ottiene l’equazione della superficie, come mostra il seguente

esempio. Vogliamo l’equazione cartesiana della superficie che si ottiene

Esempio 21.2. L

facendo ruotare la linea di equazioni parametriche

 2

= ( )

x t 1

 (21.3)

=

y 0

 =

z t

attorno alla retta r di equazioni ( =

x 1 .

=

y 1 L

Un punto generico dello spazio P appartiene alla se e solo se le sue coordi-

2

( )

nate soddisfano la e quindi sono P t t ; il piano passante

(21.3) 1 , 0, π

=

per P e ortogonale ad r ha equazione z t. La circonferenza è individuata

tagliando il piano P con una qualunque sfera avente centro C su r e raggio

( )

CP. Prendendo C si ha l’equazione della sfera

1, 1, 0 2

h i

2 2 2 2 2

− − − −

( ) + ( ) + = ( ) + +

x y z t t

1 1 1 1 1

ottenendo così la circonferenza di equazioni

 2

h i

2 2 2 2 2

− − − −

( ) + ( ) + = ( ) + +

x y z t t

1 1 1 1 1

 =

z t

210 Capitolo 21. Superfici rigate e di rotazione

In questo caso è particolarmente semplice l’eliminazione del parametro, dopo

la quale, con opportune semplificazioni, si ottiene l’equazione

2 2 2 2

− − − −

( ) + ( ) + ( ) =

x y z z

1 1 2 1 0

che rappresenta la superficie di rotazione cercata.

Capitolo 22

Cilindri, coni e proiezioni

22.1 Coni V

Fissati nello spazio un punto ed una curva

DEFINIZIONE 22.1.

L L

1 2

cono V

algebrica , si chiama di vertice e direttice l’insieme di

L

V

tutte e sole le rette passanti per e secanti la (Figura 22.1), quindi il

cono è una superficie rigata. Ricordiamo che un’equazione

( ) =

f x, y, z

in tre variabili 0 si di-

R

∀ ∈

omogenea di grado k t

ce se e

R 3

∀( ∈

)

x, y, z accade che

k

( ) = ( )

f tx, ty, tz t f x, y, z

il che equivale a dire, se essa è rap-

presentata da un polinomio egua-

gliato a zero, che il polinomio

( )

f x, y, z è costituito da monomi

Cono

Figura 22.1 tutti dello stesso grado. Le equa-

zioni omogenee in tre variabili

hanno una particolare importanza, come appare dal seguente

Le equazioni omogenee intere nelle incognite x, y, z rappre-

Teorema 22.1.

sentano tutti e soli i coni con il vertice nell’origine. ( ) =

Dimostrazione. f x, y, z

Infatti, supponiamo che l’equazione 0 sia

( )

P x y z

omogenea e che il punto , , appartenga alla superficie da essa

0 0 0

1 cioè rappresentabile mediante l’intersezione di due superfici algebriche.

2 La nozione di cono si potrebbe estendere anche al caso di direttrici non algebriche, ma in

questo caso occorrerebbe fare alcune precisazioni che appesantirebbero la trattazione.

211

212 Capitolo 22. Cilindri, coni e proiezioni

( ) =

f x y z f

rappresentata, cioè sia tale che , , 0; allora, poiché la è

0 0 0 R,

∀ ∈

( ) =

f tx ty tz t

omogenea, è anche , , 0 quindi ogni punto della

0 0 0

retta  =

x x t

0

 =

y y t ,

0

 =

z z t

 0

P

che congiunge con l’origine, appartiene alla superficie, la quale risulta

quindi un cono con vertice nell’origine.

( ) =

f x, y, z

Viceversa se 0 rappresenta un cono con vertice nel-

( )

P x y z

l’origine, vuol dire che quando , , appartiene al cono, ad

0 0 0 P O

esso appartiene l’intera retta che congiunge con e cioè la retta di

equazioni  =

x x t

0

 =

y y t ,

0

 =

z z t

 0 R

∀ ∈

( ) = = ( ) =

f x y z f tx ty tz t

il che significa che , , 0 , , 0 e

0 0 0 0 0 0

∀( ∈

)

x, y, z R, f

quindi la è omogenea.

Segue immediatamente il più generale − −

Le equazioni omogenee nelle tre incognite x y

Corollario 22.2. α, β,

− ( )

z rappresentano tutti e soli i coni con vertice nel punto V .

γ α, β, γ

Dimostrazione. Basta operare la traslazione d’assi che porta l’origine

V.

nel punto

Abbiamo visto che un cono è dato quando siano dati il vertice

ed una direttrice, vediamo come sfruttare questo fatto per scriverne

l’equazione. L

( )

V a, b, c

Sia il vertice e la direttrice di equazioni

( ( ) =

f x, y, z 0 .

( ) =

g x, y, z 0

( )

P x y z

Se , , è un punto del cono esso dovrà stare su una retta che

0 0 0

V V P

passa per e che taglia la direttrice. La generica retta per e per ha

equazioni parametriche  − −

= ( )

x a x a t

0

 − −

= ( )

y b y b t (22.1)

0

 − −

= ( )

z c z c t

 0 213

22.1. Coni

Per imporre il fatto che la retta (22.1) tagli la direttrice, basta sosti-

L

tuire nelle equazioni della i valori dati dalle (22.1) ed eliminare il

parametro dalle due equazioni. ( )

Vogliamo l’equazione del cono che ha vertice in V e

0, 1, 0

Esempio 22.1.

come direttrice la circonferenza di equazioni

( 2 2 2 −

+ + =

x y z 2x 0 .

− + =

x 2y 3z 0

( )

Se P x y z è un punto generico, esso sta sul cono anzitutto se appartiene

, ,

0 0 0

alla retta PV che ha equazioni

 =

x x t

0

 −

= + ( )

y y t

1 1 ;

0

 =

z z t

 0

poi la retta PV deve tagliare la direttrice, quindi si ha il sistema:

( 2 2 2

− −

( ) + ( + ( ) ) + ( ) ( ) =

x t y t z t x t

1 1 2 0

0 0 0 0 .

− −

( + ( ) ) + =

x t y t t

2 1 1 3z 0

0 0 0

Eliminando il parametro t dalle due equazioni si ottiene la relazione che deve

intercorrere tra le coordinate di P affiché quest’ultimo stia su rette passanti per

V che intersecano la direttrice, cioè affinché P stia sul cono cercato. Nel nostro

2 2

− − −

+ ( ) =

caso, con facili conti si trova l’equazione x y

13z 8x 1 6xz 0

che è effettivamente omogenea nelle differenze tra le coordinate x, y, z e le

coordinate del vertice.

Quando il vertice è nell’origine è semplice verificare l’omogeneità,

quando invece il vertice è un altro punto occorre spesso raccogliere

opportunamente i termini.

Alcuni coni sono di rotazione, perché ottenuti dalla rotazione di una

retta attorno ad un’altra ad essa incidente

Siano r e s rispettivamente le rette di equazioni

Esempio 22.2.   −

= =

x t x t

 

 

= =

y t y t

r e s

: : ;

 

= =

z t z 3t

 

vogliamo l’equazione del cono che si ottiene facendo ruotare la retta r attorno

≡ ( )

alla s. Si può osservare che tale cono ha vertice V O , che è il

0, 0, 0

214 Capitolo 22. Cilindri, coni e proiezioni

punto comune a r e s; per trovare una direttrice possiamo considerare il

generico piano perpendicolare ad s e non passante per V, che ha equazione

1 1 3

− − 6 −

+ = =

x y k con k esso interseca la s nel punto S k, k, k

3z 0 0; 5 5 5

1 1 1

e la r nel punto R k, k, k e tagliarlo con la sfera che ha centro in S e

3 3 3

raggio uguale a RS, determinabile facilmente con il teorema di Pitagora (vedi

figura Prendendo un valore comodo di k (per esempio qui se si prende

??).

=

k si ottengono coordinate intere) si ricavano facilmente e le equazioni

15

della direttrice. Oppure tale cono si può scrivere come superficie di rotazione,

facendo appunto ruotare la retta r attorno alla retta s.

OSSERVAZIONE 22.1. Facendo ruotare una retta attorno ad un’altra

retta, otteniamo un cono se e solo se le rette sono incidenti; se sono pa-

rallele otteniamo, come vedremo tra poco, un cilindro, se sono sghembe

una superficie del second’ordine detta iperboloide ad una falda di cui

parleremo diffusamente nel capitolo 23 sulle quadriche.

22.2 Cilindri Fissata nello spazio una curva algebrica ed una

DEFINIZIONE 22.2. γ

r cilindro r

retta che interseca si chiama di direttrice e generatrice

γ γ r

la superficie (rigata) formata da tutte e sole le rette parallele ad che

intersecano la (Figura 22.2 a fronte).

γ.

Quindi il cilindro è ben di più del cilindro circolare che siamo

abituati a conoscere.

OSSERVAZIONE 22.2. Si vede subito che ogni equazione del tipo

( ) =

f x, y 0 (22.2)

rappresenta, nello spazio, un cilindro con le generatrici parallele all’asse

z xy

ed avente come generatrice sul piano la curva di equazioni

( ( ) =

f x, y 0 ;

=

z 0

( )

P x y

infatti si verifica subito che, se , è un punto le cui coordinate

0 0

soddisfano l’equazione (22.2), allora (e solo allora) qualunque punto

della retta ( =

x x 0

=

y y 0 215

22.2. Cilindri z P)

(che è la generica retta parallela all’asse passante per soddisfa

l’equazione (22.2).

Quindi, generalizzando l’os-

servazione 22.2, possiamo dire

un’equazione in due variabili

che

rappresenta sempre, nello spazio, un

cilindro con le generatrici parallele

all’asse che ha lo stesso nome della

variabile che manca.

Per scrivere l’equazione di un

cilindro con le generatrici in dire-

zione generica, cioè non necessa-

riamente parallelle ad uno degli

assi coordinati, si può sfruttare

la definizione, vale a dire che si

può pensare al fatto che un gene-

( )

P x y z

rico punto , , dello spa-

0 0 0

zio appartiene al cilindro se e solo

se sta su una retta parallela alla Cilindro

Figura 22.2

generatrice che interseca la curva

direttrice. Vogliamo l’equazione del cilindro con le generatrici parallele

Esempio 22.3. = =

alla retta r di equazioni x y z che taglia il piano xy sulla parabola di

2 =

equazione y x avente quindi come direttrice la curva

( 2 =

y x .

=

z 0

( )

Sia P x y z un generico punto dello spazio; la retta passante per P e

, ,

0 0 0

parallela ad r ha equazioni  = +

x x t

0

 = +

y y t .

0

 = +

z z t

 0

Il punto P appartiene al cilindro se e soltanto se quest’ultima retta taglia la

parabola. Quindi deve essere verificato il sistema

( 2

( + ) = +

y t x t

0 0 .

+ =

z t 0

0

216 Capitolo 22. Cilindri, coni e proiezioni

Eliminando, con semplici calcoli, il parametro t dalle due equazioni del sistema

si ottiene la relazione che deve intercorrere tra le coordinate di P perché questi

appartenga al cilindro, che è quindi 2

− −

( ) =

y z x z.

OSSERVAZIONE 22.3. Esistono, ovviamente, cilindri rotondi, cioè che

hanno una direttrice formata da una circonferenza. La loro equazione

si può anche scrivere come quella di una superficie di rotazione.

OSSERVAZIONE 22.4. Non sempre i calcoli per l’eliminazione del

parametro sono così immediati come nell’esempio 22.3 nella pagina

precedente: a volte possono essere piuttosto lunghi e laboriosi.

22.3 Proiezioni

DEFINIZIONE proiezione di una curva da un punto V

22.3. Si chiama γ

sul piano l’intersezione tra il piano stesso ed il cono avente vertice

α α

V

in e come direttrice (v. figura 22.3)

γ.

proiezione di una curva dalla direzione della retta r sul piano

Si chiama γ

(v. fig. 22.4 a pagina 218) l’intersezione tra il piano stesso ed il

α α r.

clindro avente come generatrice e generatrici parallele a

γ

Dalla definizione 22.3 esclu-

diamo, per evitare casi patologici,

V r

che oppure sia parallela

α

ad α. Cerchiamo le equa-

Esempio 22.4.

zioni della proiezione della curva

( 2

= +

x y 1

γ = +

z x 1 Proiezione centrale

Figura 22.3

( ) =

dall’origine O sul piano x

0, 0, 0

1. Il cono che ha vertice nell’origine

e come direttrice la ha equazione

γ

(verificarlo per esercizio)

2 2

− −

+ ( ) + ( ) =

y x x z x z 0 217

22.4. Riconoscimento di una conica nello spazio

evidentemente omogenea nelle tre variabili; quindi la curva proiezione può

essere individuata dal sistema

( 2 2

− −

+ ( ) + ( ) =

y x x z x z 0 .

=

x 1

Se sostituiamo nella prima equazione il valore di x dato dalla seconda, ottenia-

mo la stessa curva, rappresentata però come intersezione di un cilindro con le

generatrici perpendicolari al piano:

( 2 2 −

+ + =

y z 3z 2 0 .

=

x 1

22.4 Riconoscimento di una conica nello spazio

Si può mostrare che nello spazio ogni conica irriducibile può essere

vista come sezione piana di un cono circolare. Più precisamente se

tagliamo un cono rotondo tale che la generatrice formi un angolo con

α

l’asse di rotazione con un piano non passante per il vertice e che formi

un angolo con lo stesso asse di rotazione otteniamo rispettivamente

β

• =

una parabola se α β

• <

un’ellisse se α β

• >

un’iperbole se α β

Si può inoltre mostrare che qualunque sezione piana di una super-

ficie del secondo ordine è una conica, eventualmente degenere. Per

riconoscerla, si può usare il seguente teorema, che enunciamo senza

dimostrazione.

Ogni proiezione parallela di una conica non ne altera la natura,

Teorema 22.3.

se effettuata da una direzione non parallela al piano su cui giace la conica

stessa.

Quindi per studiare la natura di una conica nello spazio basta

3

proiettarla, se possibile, su uno dei piani coordinati .

3 ovviamente se la conica giace già su un piano parallelo ad uno dei piani coordinati questo

non è possibile, ma in tal caso il riconoscimento procede come già abbiamo visto nel piano.


PAGINE

254

PESO

10.72 MB

AUTORE

Teemo92

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questa dispensa di Matematica a cura del professore Ernesto Dedò si parla di algebra lineare e geometria. In particolare sono trattati i seguenti argomenti:
- Richiami di nozioni essenziali;
- I sistemi lineari: teoria elementare;
- Matrici;
- Spazi vettoriali;
- Determinante. Inversa;
- Teoria dei sistemi lineari;
- Applicazioni;
- Similitudine. Autovalori. Autovettori;
- Diagonalizzazione, matrici ortogonali;
- Polinomi di matrici;
- La retta nel piano;
- La circonferenza nel piano;
- Le coniche;
- Proiettività ed involuzioni;
- Polarità piana;
- Centro ed assi;
- Rette e piani nello spazio;
- Sui sistemi di riferimento;
- Linee e Superfici nello spazio;
- Sfera e circonferenza nello spazio;
- Superfici rigate e di rotazione;
- Cilindri, coni e proiezioni;
- Superfici quadriche.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
Università: Milano - Unimi
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teemo92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra e geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Milano - Unimi o del prof Dedò Ernesto.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Corso di laurea in matematica

Dispensa di Matematica - Successioni
Dispensa
Dispensa di Matematica - Analisi matematica 2
Dispensa
Dispensa di Matematica - Analisi matematica 2
Dispensa
Calcolo delle probabilità e statistica II
Appunto