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Dispensa di Informatica - Spazi vettoriali normati

In questa dispensa di Informatica a cura del professore Bellen si parla di spazi vettoriali normati. In particolare si affrontano i seguenti argomenti trattati durante il corso che viene tenuto dal docente:
- Nozioni preliminari;
- Norme di vettori e di matrici.

Esame di Calcolo numerico docente Prof. A. Bellen

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Esse saranno rappresentate, più semplicemente, nel seguente modo:

A= diag(λ ,λ ,...,λ )

1 2 n

Il passaggio dalla matrice diagonale al vettore degli elementi diagonali della matrice si

ottiene moltiplicando A per il u=(1,1,...,1) : Au=(λ ,λ ,...,λ ) .

T

vettore unitario 1 2 n

Gli autovalori di una matrice diagonale o triangolare sono gli elementi della

diagonale principale. A B

Definizione: Le matrici e si dicono simili (A≈B) se esiste una matrice non singolare

-1

P B=P AP.

tale che λ λ

E' immediato osservare che se è autovalore di A con autovettore x, allora è

λ λ

-1 -1 -1 -

⇔ ⇔

x. Infatti: Ax= x P Ax= P x P

autovalore della matrice B con autovettore P

λ λ

1 -1 -1 -1 -1

APP x= P x BP x= P x. Inoltre poichè P è non singolare, essa trasforma vettori

indipendenti in vettori indipendenti e quindi la matrice B conserva la molteplicità

geometrica degli autovalori. La molteplicità algebrica è pure conservata poiche A e B

hanno la stessa equazione caratteristica associata. Infatti :

λ λ λ λ

-1 -1 -1 -

I) I) I) I)P)

det(A- = det(P P) det(A- = det(P ) det(A- det(P) = det(P (A- = det (P

λ

1 I).

AP- Possiamo concludere con il seguente teorema:

1.2. Due matrici simili hanno gli stessi autovalori con la stessa molteplicità

T

EOREMA

algebrica e geometrica. Gli autovettori sono i trasformati secondo la matrice di similitudine

P. L'interesse per le traformazioni di similitudine stà nel fatto che le matrici possono

essere trasformate in matrici simili di forma molto particolare, dette forme canoniche.

Come avremo modo di vedere nel seguito, le trasformazioni di similitudine rappresentano

uno strumento molto potente sul piano teorico ma sfortunatamente non sul piano

numerico. (Forma canonica di Schur).Per A P

Teorema 1.3. ogni matrice esiste una matrice unitaria

AP

P

H risulta triangolare.

tale che A =A P AP è

H H

Corollario 1.4. Se allora diagonale.

Dim. Poichè P AP è triangolare ed hermitiana, deve essere diagonale.

H 28

A =A A

H

Corollario 1.5. Se allora possiede n autovettori linearmente indipendenti ed

n )

ortogonali ( base ortogonale di C -1

Dim. A P AP =diag(λ ,λ ,...,λ )=D con P =P . Moltiplicando a sinistra per P si

H H

1 2 n

ottiene: P(P AP)=PD

H

AP=PD.

Uguagliando le corrispondenti colonne , si ottine infine:

Ap =λ p

i i i

il che significa che le colonne p di P sono autovettori di A. Esse sono indipendenti

i

perchè P è non singolare, e sono ortogonali perchè P è unitaria.

λ ≤λ ≤...≤λ

A =A

H

Corollario 1.6. Se con autovalori (reali) allora

1 2 n n

λ ≤ ≤ λ ∀x∈C

x x x Ax x x .

H H H

1 n

Dim. Per il teorema di Schur:

≈ AP =diag(λ ,λ ,...,λ )=D

A P

H 1 2 n

Ponendo y=P x e quindi x=Py si ottiene:

H Σ 2

λ

x Ax = (Py) APy = y P APy = y Dy = |y | ,

H H H H H i i

dove, per ipotesi,

Σ Σ

2 2

λ ≤ λ λ

|y | |y | = y y

H

i i i

n n

Σ Σ

2 2

λ ≥ λ λ

|y | |y | = y y

H

i i i

1 1 y=x x da cui la tesi.

Poiche P conserva il prodotto scalare, y

H H k,1 k,2 k,n

λ λ

,λ ,...,λ A ,λ ,...,λ

Corollario 1.7. Se sono autovalori di allora sono tutti e soli gli

1 2 n

k

A , k>1.

autovalori di 29 k k

λ λ

Dim. E' ovvio che se è autovalore di A, è autovalore di A . Dimostriamo che

-1

non ce ne sono altri. Poichè A è simile ad una matrice triangolare T=P AP, i cui

-1 k k

autovalori stanno sulla diagonale, consideriamo la matrice R=P A P, simile ad A ,

che risulta ancora triangolare, infatti:

-1 k -1 -1 -1 -1 k

R=P A P=P AA...AP=P APP AP....P AP=T .

k k,i

λ

Gli autovalori di R sono dunque gli elementi diagonali di T che sono del tipo .

λ µ λ−µ

x, anche (A- I)x=( )x e quindi, in base al corollario

Si osservi ancora che se Ax=

precedente, vale la seguente proposizione: λ

P 10. Per ogni matrice A e per ogni polinomio p , detti ed x un autovalore e

ROPOSIZIONE λ

la corrispondente autosoluzione di A, si ha p(A)x=p( )x. ρ

A, A, (A),

Definizione. Data una matrice si chiama raggio spettrale di e si indica con il

max |λ |.

numero i i

ρ ρ

k k ∀k>1.

(A) = (A )

Teorema 1.8.

La dimostrazione discende dal corollario precedente.

Teorema 1.9. Per ogni matrice non singolare, si ha:

ρ ρ

-k k -1 k ∀k>1.

(A ) = (A ) =1/(min |λ |)

i i -1 -1

λ λ

Dim. Si vede facilmente che se è autovalore di A, è autovalore di A da cui

ρ ρ ρ

-1 -k -1 k -k k -1

(A ) =1/(min |λ |) . Poichè A =(A ) si ha, per il teorema 1.8, (A ) = (A )

i i

k

=1/(min |λ |) .

i i n n

( Forma canonica di Jordan). A∈ (C , C )

Teorema 1.10. Ogni matrice è simile ad una

matrice diagonale a blocchi del tipo:

-1

A P AP = J = diag(J , J , ...., J )

1 2 k

n n

i i

J (C , C ) ,

dove i blocchi detti blocchi di Jordan, sono del tipo:

i

λ 1

λ 1 λ

J = . . A n +...+n =n.

con autovalore di ed

i 1 k

. 1

λ 30

s J s

Ogni autovalore di molteplicità algebrica compare sulla diagonale di esattamente

1 ed s

volte e può dar luogo ad un numero di blocchi di Jordan compreso tra .

Precisamente, per ogni autovalore ci saranno tanti blocchi di Jordan quanto è la

molteplicità geometrica di quell'autovalore.

.

2-N

ORME DI VETTORI E DI MATRICI

Indichiamo in generale con V uno spazio vettoriale . || ||

V

Definizione: Sullo spazio si definisce norma ogni applicazione a valori reali non

negativi che gode delle proprietà:

|| || || ||

≥0; ⇔

x x =0 x=0 (elemento nullo di V)

||α || || ||

|α|

x = x

|| || || || || ||

≤ + α.

x+y x y per ogni x ed y di V, e per ogni scalare

In generale si possono definire più norme sullo stesso spazio vettoriale.

n

Consideriamo dapprima lo spazio C e definiamo alcune possibili norme:

|| || = |x |

x 1 i

|| || || ||

22

= |x | è la norma Euclidea x =x x

x 2 H

2 i

p ∑

|| || = |x |

x p

p i

|| ||∞

x =max |x |

i i

|| || |

|| || 0

x = Ax A|

A

|| || = x A x con A =A, A def.pos. E' detta norma ellittica ed è ricavata dal

x H H

prodotto scalare: <x,y> :=x Ay

H

A p p

∑ ∑

|| ||∞ || ||∞

|| || ≥

= x infatti |x | x ed inoltre |x |

Si osservi che lim x p p

p→ p i i

p p || ||∞→ || ||∞

p ∞

≤ n max |x | = n x x per p→ .

i i n n

D'ora in poi, nel considerare lo spazio vettoriale R , C , o in generale uno spazio V ,

|| ||

lo penseremo dotato di una norma e lo indicheremo con (V, . ). Ricordiamo che negli

31

spazi vettoriali di dimensione finita, quali quelli che stiamo considerando, tutte le norme

|| || || ||

,

sono equivalenti, cioè per ogni coppia di norme ^ esistono due costanti m , M tali

che || || || || || ||

≤ ≤ ∀ ∈V.

m x x ^ M x x

In altre parole, se una successione converge in una norma, converge in ogni altra

norma.

Un'altra osservazione che sarà utile nel seguito è che l'applicazione che ad un

R+

|| ||, || || ∪ {0}.

vettore x associa la sua norma x è una applicazione continua di (V, . ) in

×

Poichè ogni matrice A di dimensione può essere vista come un vettore ad

n m nm

componenti, anche le matrici possono essere normate. Si avrà, per esempio:

|| || | | 2

A = a

Euclidea i j i j

|| ||

A =max |a |.

max i j i j

Un altro modo di definire delle norme per le matrici, è quello di normare l'operatore

lineare che esse rappresentano. In questo caso la norma sarà indotta dalle norme

assegnate agli spazi vettoriali tra i quali opera la matrice A.

×

Consideriamo, in generale, una matrice A , rappresentativa di una applicazione

m n, ||∗

|| ||^) ||

n m ) . Se i due spazi sono da

lineare tra due spazi normati (C , . e (C , . n=m n

considerarsi comunque diversi inquanto dotati di norme diverse. L'applicazione di ( C ,

m

) in R così definita:

C ||∗

|| Ax

|| || := n m

sup

A A ( C , C )

|| ||^

x≠0 x 

gode delle seguenti proprietà (che dimostreremo tra poco):

|| || || ||

≥ ⇔

A 0, A = 0 A=0 (matrice nulla)

1. ||α || =|α| || ||

2. A A

|| || || || || ||

≤ +

3. A+B A B

|| || || || || ||

4. AB A B

e viene detta dalle norme di vettore. In generale scriveremo:

norma indotta 32

|| ||

Ax

|| || = sup

A || ||

x≠0 x || || || || || || n

A , Ax e x sono tre norme diverse, quella di ( C ,

tenendo però presente che

m m n

C ), di C e di C rispettivamente. Nel caso di applicazioni di uno spazio normato in sè,

|| || ,

cioè di applicazioni tra due spazi vettoriali uguali e dotati della stessa norma i

scriveremo || ||

Ax

|| || i

= sup

A e la chiameremo norma naturale .

|| ||

i x≠0 x i || ||

I

Osserviamo subito che per ogni norma naturale si ha =1.

Prima di dimostrare che valgono le quattro proprietà delle norme, osserviamo che la

norma indotta si può esprimere in altro modo:

|| || Ax

Ax || ||

|| || || ||

=sup sup

= sup

A = Ax

|| ||

|| ||

x≠0 x≠0 || ||

x =1

x

x || ||

→ è una applicazione

Ax

Poichè, come abbiamo già osservato, l'applicazione x

continua , essa ammette massimo su ogni insieme chiuso e limitato. Poichè, infine, la

sfera unitaria è un insieme chiuso e limitato, la nostra applicazione ammette massimo.

Quindi:

|| || || ||.

max

A = Ax

|| ||

x =1 || || || || || ||

In seguito sarà utile ricordare che esiste un x : x =1 e Ax = A .

Definizione: Una norma di matrice di dice consistente o compatibile con una norma di

|| || || || || ||.

Ax A x

vettore se

Ovviamente ogni norma naturale è compatibile con la norma di vettore dalla quale è

dedotta, ma ci possono essere compatibilità anche per norme di matrici non naturali. Per

esempio: la norma euclidea di matrice è compatibile con la norma 2 di vettore:

|| || || || || ||

Ax A x

2 E 2 || ||

→ A verifica le 4 proprietà della norma

Verifichiamo ora che l'applicazione A

precedentemente enunciate. 33 || || || ||

= 0 A=0.

1. Parte della dimostrazione è ovvia; dimostriamo solo che A A

Poichè

|| || || || || || ⇒

=0

=0 allora Ax = 0 per ogni x =1. D'altra parte Ax Ax=0 e, per

l'arbitrarietà di x nella sfera unitaria, si ha A=0 .

2. Dimostrazione ovvia.

|| || || || || || || || || || || || ||

=1 = . = ≤ +

Si ha

3. Sia x tale che x (A+B)x A+B (A+B)x Ax+Bx Ax

e

|| || || || || || || || || || || || ||

≤ + = + .

Bx A x B x A B

4. Dimostrazione analoga.

La definizione di norma naturale non consente, in generale, di valutare facilmente la

norma di una matrice in termini dei suoi coefficienti. Ciò risulta possibile in alcuni casi

particolari. Σ

|| || | |

n n

∈ ,

(C , C ) A a

A = max .

T 1.11. Per ogni

EOREMA ∞ i j ij

|| || || || || ||

∞=

=1

x Ax A . Si ha:

Dim. Sia x tale che e

∞ ∞

Σ Σ Σ

|| || | | | || | | | || ||

x

Ax a a x a x

= max max max =

∞ ∞

i j ij j i j ij j i j ij

Σ | |

a

max

i j ij

Per dimostrare la disuguaglianza opposta, sia k l'indice per il quale:

a a

a

k1 k2 kn

Σ Σ ( )

,...,

,

| | | | T

a = max a e sia z = | | | | | |

j kj i j ij a a a

k1 k2 kn

|| ||∞

Si ha ovviamente z =1 ed

a a a

kj kj kj

Σ Σ

(Σ )

, ,... , T

Az= a a a

| | | | | |

j 1j j 2j j nj

a a a

kj kj kj

a

kj

Σ

|| || | |

la cui norma è Az a . Per ogni indice i si ha:

=max

∞ | |

i j i j a

kj

a

kj

Σ Σ

| | | |

a a .

| |

j i j j ij

a

kj 34

mentre per l'indice i=k si ha

a

kj

| |

Σ Σ | |

=

a a ,

| |

j kj j kj

a

kj

cosicchè si ottine: Σ

|| || | |

Az a

= max

∞ i j ij

Σ

|| || | |

da cui A a e quindi la tesi.

max

∞ i j ij

Analogamente si dimostra il seguente teorema: Σ

|| || | |

n n

∈ ,

A (C , C ) A a

= max

Per ogni

T 1.12.

EOREMA j i ij

1

Dim.(analoga) || ||

,, A

Dimostriamo ancora un teorema che fornisce il valore di in funzione del

2

raggio spettrale di A A. Cominciamo con l'osservare che, pur essendo in generale A A

H H

ρ ρ

≠AA , si ha (A A) = (AA )

H H H

ρ ρ

(A A) = (AA ).

H H

T 1.13.

EOREMA

Dim. Siccome A A è hermitiana semidefinita positiva i suoi autovalori sono reali e

H ρ ρ

(A A) è un autovalore tale che (A A)≥0. Supponiamo

non negativi, quindi H H

ρ

dapprima che sia (A A)>0 e sia x l'autovettore associato. Si ha:

H

ρ ≠

A Ax= (A A)x (da cui Ax 0)

H H

ρ

Ax= (A A)Ax.

AA

H H ρ

Da ciò si deduce che (A A) è un autovalore, positivo, di AA e quindi:

H H

ρ ρ

(AA )≥ (A A)>0.

H H ρ

Dall'ultima relazione si ricava (AA )>0 e, per quanto appena dimostrato,

H

ρ ρ

(A A)≥ (AA )>0

H H 35

e quindi:

ρ ρ

(AA )= (A A).

H H

ρ ρ

Sia ora (A A)=0. Se fosse (AA )>0, per le relazioni precedenti, sarebbe anche

H H

ρ (A A)>0. Il teorema è così dimostrato.

H || || ρ ρ

A = (A A) = (AA )

H H

T 1.14.

EOREMA 2 A sono non negativi e per ogni x≠0 si ha

Dim. Per il corollario 1.6, gli autovalori di A H

ρ ρ 2

≤ || ||

x A Ax (A A)x x = (A A) x e quindi

H H H H H 2

2

|| ||

Ax 2 ρ ρ

2

≤ || || ≤

(A A), dalla quale si deduce A (A A).

H H

2

2

|| ||

x 2 ρ

Per la disuguaglianza opposta, detto x l'autovettore di A A associato a (A A), si

H H

ha: ρ

=

A Ax (A A)x

H H

ρ

=

x A Ax (A A)x x

H H H H

2

|| ||

Ax 2 ρ

= (A A),

H

2

|| ||

x 2 ρ

2 ≥

|| || (A A) e quindi la tesi.

dalla quale si deduce A H

2

ρ

E' immediato osservare che (A) è una minorazione per tutte le norme naturali di A.

λ

Infatti, detto l'autovalore di modulo massimo ed x il corrispondente autovettore

|| ||

normalizzato in una qualunque norma ( x =1), si ha:

|| ||=| λ | || ||=| λ | | λ | || || || ||= || ||

λx ⇒ Ax x A x A .

Ax = || ||

ρ ≤

(A) A . Per qualche matrice può accadere che il raggio spettrale

da cui si ricava

coincida con qualche norma. Per esempio se A è hermitiana, dal teorema 1.14 segue che

|| ||

ρ =

(A) A . Per una matrice arbitraria A, vale il seguente importante risultato

2 36


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Teemo92

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DETTAGLI
Corso di laurea: Ingegneria informatica
SSD:
Università: Trieste - Units
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teemo92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Calcolo numerico e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Trieste - Units o del prof Bellen Alfredo.

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