Dispensa di Fisica Nucleare - Interazioni

useremo questi diagrammi unicamente per una illustrazione schematica dei

vari processi, in quanto una trattazione quantitativa richiede la conoscenza

della teoria relativistica dei campi.

La figura 5.1, come abbiamo detto, mostra il diagramma di Feynman per

lo scattering elastico elettrone-protone. Adottiamo la convenzione che vede

il tempo scorrere da sinistra verso destra mentre l’asse spaziale è orienta-

to verso l’alto. Nei diagrammi le linee rette rappresentano i fermioni nello

stato iniziale e finale. Le antiparticelle sono simbolizzate da frecce che pun-

tano indietro nel tempo; i fotoni sono visualizzati da linee ondulate, i bosoni

pesanti da linee tratteggiate e i gluoni da linee elicoidali. I punti dove tre

o più linee del grafico si incontrano sono detti vertici o nodi. L’ intensità

dell’interazione tra il bosone virtuale e il fermione è chiamata costante di ac-

coppiamento. Per l’interazione elettromagnetica è proporzionale alla carica

elettrica. In un generico grafico, i vertici rappresentano l’intensità dell’ac-

coppiamento dell’interazione moltiplicata per la carica relativa del fermione.

Inoltre in ciascun vertice devono valere le appropriate leggi di conservazione.

Per esempio, durante l’interazione è possibile che i fermioni cambino alcune

loro proprietà: se il bosone di Gauge è carico, allora i fermioni dopo l’intera-

zione avranno la carica variata in modo che ad ogni vertice la carica elettrica

si conservi, cosı̀ come si deve conservare il quadrimpulso. Ricordiamo inoltre

che la particella scambiata è off mass-shell: è quindi virtuale.

Lo scambio del fotone tra l’elettrone e il protone può anche essere pensato

come una emissione del fotone da parte dell’elettrone con conseguente rinculo;

il fotone è poi assorbito dal protone che, in seguito a ciò, ne assorbe anche il

quadrimpulso modificando la sua direzione di moto. Quindi c’è uno scambio

di energia ed impulso tra l’elettrone e il protone: si esercita quindi una forza

tra le particelle di materia, ma questa è però sempre il risultato di una

interazione locale tra le particelle e i campi di forza.

Nelle figure 5.2, 5.3 e 5.4 sono mostrati alcuni diagrammi di Feynman

per processi virtuali che coinvolgono elettroni, positroni e fotoni. Ciascuno

di questi processi ha un solo vertice, e quindi, secondo la regola che abbia-

√ α, a cui è associata una

mo enunciato, ha una ampiezza proporzionale a

probabilità proporzionale al quadrato dell’ampiezza, ossia ad α, costante di

accoppiamento elettromagnetica: sono quindi grafici al primo ordine in α.

Notiamo di nuovo che l’emissione di un fotone reale da parte di un elettrone

non può conservare l’energia e l’impulso. Tuttavia il principio di indetermina-

%

zione di Heisenberg, ∆E∆t h̄, permette la non conservazione dell’energia

62 − −

→

Figura 5.2: Vertici elettrone-fotone: a sinistra, e e + γ ; a destra,

− −

→

γ + e e . + +

→

Figura 5.3: Vertici positrone-fotone: a sinistra, e e + γ ; a destra,

+ +

→

γ + e e . − + →

Figura 5.4: A sinistra, annichilazione e + e γ ; a destra, creazione di

− +

→

coppia γ e + e . 63

per un tempo ∆t che soddisfi la relazione

≤

∆t h̄/∆E = h̄/E . (5.6)

e γ

Ma allora l’emissione o il riassorbimento di un fotone di energia E da

γ

parte di un elettrone all’interno di un intervallo di tempo che soddisfa questa

condizione in principio non è misurabile. Nessuno di questi processi da solo

può rappresentare un fenomeno fisico osservabile. − −

Figura 5.5: Grafici del secondo ordine in α: in alto, diffusione e e ; in basso

−

+

diffusione e e .

Per avere un processo osservabile, bisogna considerare grafici al secondo

ordine in α, come quelli della figura 5.5, dove una particella virtuale emessa (o

assorbita) nel primo vertice viene assorbita (o emessa) nel secondo. In questo

caso tutte le particelle che entrano o escono dal diagramma sono reali (ossia

hanno la massa invariante che compete loro, sono on mass-shell ). Notiamo

anche che due grafici che hanno lo stesso stato iniziale e lo stesso stato finale

− −

+ +

→

(nella figura, i due grafici della diffusione e e e e che coinvolgono lo

scambio, rispettivamente, di un fotone di tipo spazio e uno di tipo tempo)

sono indistinguibili dal punto di vista della meccanica quantistica (il fotone

non è osservabile) e devono quindi essere sommati tra loro per il calcolo della

64

Figura 5.6: Grafico di Feynman per l’effetto Compton.

Figura 5.7: Grafico di Feynman per la Bremsstrahlung nel campo

elettromagnetico del nucleo. − − − −

→

probabilità totale. Viceversa, per la diffusione e e e e lo scambio di

− − →

un fotone di tipo tempo non interviene, perché nel vertice e e γ non si

conserverebbe la carica elettrica.

I grafici di Feynman dei processi studiati nel capitolo 4 sono mostrati in

figura 5.6 per il processo Compton (del secondo ordine in α), in figura 5.7

per la Bremsstrahlung ed in figura 5.8 per la creazione di coppie: com’è facile

verificare, questi ultimi due processi sono del terzo ordine in α. Nelle figure

sono anche indicati i valori delle ampiezze e delle sezioni d’urto relative ai

vari processi.

Figura 5.8: Grafico di Feynman per la produzione di coppie nel campo

elettromagnetico del nucleo. 65 4

Figura 5.9: Diagramma di Feynman di ordine α .

Nulla vieta di scambiare più di un fotone come in figura 5.9. Tuttavia

i diagrammi agli ordini superiori sono sempre più soppressi da potenze cre-

scenti di α che vale 1/137. Questo è il motivo per cui in elettrodinamica

quantistica di solito è sufficiente considerare solo i diagrammi all’ordine più

basso.

Concludiamo questo paragrafo sottolineando che quanto illustrato dà una

spiegazione del motivo per cui le forze elettromagnetiche decrescono rapida-

2

∝

mente con la distanza (f 1/r ). Ricordiamo ancora una volta la relazione

%

∆E∆t h̄. Dunque se un elettrone emette un fotone virtuale di energia

grande, esso può esistere solo per un tempo molto corto e può quindi eserci-

tare una forza intensa solo su di un altro elettrone che gli passi vicino. D’altra

parte un fotone virtuale di piccola energia può avere influenza, sebbene con

intensità più debole, su distanze più grandi.

5.4 Range delle interazioni forti e ipotesi di

Yukawa

La semplice osservazione che i nuclei, formati da protoni e neutroni, sono sta-

bili, dimostra l’esistenza di una forza, molto più intensa di quella repulsiva

tra le cariche elettriche dei protoni, capace di tenere insieme i nucleoni in una

regione spaziale di qualche fermi di raggio. Si deve poi notare che per diffu-

sioni di particelle α a distanze di circa 2 fermi la formula di Rutherford non

riproduce i dati sperimentali. Come vedremo nel capitolo 8 questo è dovuto

alla interazione attrattiva tra i nucleoni e la particella incidente. Sperimen-

talmente si misura che il raggio di azione, o range, delle forze nucleari, R, è

−1

attrattivo per valori di qualche fermi e repulsivo per R < 10 fm. La prima

66

interpretazione del range delle forze nucleari è stata data da Hideki Yukawa

nel 1935 in termini di scambio, tra neutrone e protone, di una particella che

nello stato libero venne in seguito identificata come il pione (vedi capitolo

6). Il modello, simile a quello per le forze elettromagnetiche appena discus-

so, ipotizza che la forza tra i nucleoni del nucleo sia dovuta allo scambio di

quanti del campo nucleare, che sono i messaggeri della forza, di cui i nucleoni

sono le “sorgenti”. Il modello deve spiegare l’intensità della forza, il corto

raggio d’azione ed infine il fatto che le forze di tipo nucleare che si esercitano

tra protoni-protoni, protoni-neutroni e neutroni-neutroni, sembrano essere

uguali. Applicando ancora una volta il principio di indeterminazione di Hei-

senberg tra il tempo e l’energia e sapendo dai dati sperimentali che il raggio

di azione delle forze nucleari era dell’ordine del fermi, Yukawa stimò l’ordine

di grandezza della massa del bosone continuamente emesso e riassorbito dai

nucleoni nel nucleo: se il range del bosone scambiato deve essere 1-2 fm,

2

ponendo R = c∆t e ∆E = M c , per rispettare il principio di Heisenberg

dovremo avere: ·

h̄c 200 MeV fm

2

% → % ÷

∆E∆t h̄ M c = = 100 200 MeV (5.7)

÷

R 1 2 fm

Il bosone di Yukawa venne chiamato mesone, dal greco µ$σoζ, intermedio,

in quanto di massa intermedia tra quella dell’elettrone e quella del protone.

Se combiniamo gli operatori dell’energia e dell’impulso, in unità naturali

−i∂/∂x,

(h̄ = c = 1) E = i∂/∂t e p = con la relazione tra energia, impulso

2 2 2

e massa della relatività ristretta, E = p + M , otteniamo l’equazione di

Klein-Gordon, che rappresenta l’equazione quanto-relativistica che devono

soddisfare le funzioni d’onda dei bosoni:

" #

2

∂ ψ 2 2

∇ −

= M ψ (5.8)

2

∂t →

e si riduce all’equazione di d’Alembert nel limite M 0. In condizioni

statiche, l’equazione diventa: 2 2

∇ ψ = M ψ (5.9)

ed ammette soluzioni del tipo 2

g −M

s r

−

ψ = e (5.10)

4πr

67

∝

che si riducono a ψ 1/r per M = 0 (per M = 0, l’equazione statica di

Klein-Gordon (5.9) si riduce all’equazione del potenziale elettrostatico nel

vuoto). Per analogia col campo elettrostatico, se consideriamo un nucleone

di prova in prossimità di un altro nucleone che costituisce la sorgente dei

mesoni di Yukawa, possiamo allora interpretare la soluzione dell’equazione

di Klein-Gordon non solo come la funzione d’onda del bosone, ma anche come

il potenziale del campo generato dalla sorgente della forza nucleare:

2

g −M

s r

−

U (r) = e (5.11)

4πr

e considerare g come la carica nucleare, analoga alla carica elettrica. L’a-

s 2

nalogo di α sarà quindi α = g /4π, costante di accoppiamento nucleare che

s s

caratterizza l’interazione forte fino a distanze dell’ordine di R = h̄/M c che

coincide con la lunghezza d’onda Compton del mesone. Per distanze inferiori

−1

a 10 fm, il potenziale diventa repulsivo a causa del principio di esclusione

di Pauli. Complessivamente, il potenziale effettivo può essere approssimato

come una buca di potenziale di 30÷40 MeV.

Come vedremo nel capitolo 6, la massa del mesone di Yukawa ha un va-

lore molto simile a quello della particella costituente la componente dura dei

raggi cosmici, il muone. Con la osservazione di questa particella, questa fu

identificata con il mesone di Yukawa, ma fu presto dimostrato sperimental-

mente da Conversi, Pancini e Piccioni che i muoni, nella interazione con la

materia, non hanno il comportamento di una particella che interagisce forte

con protoni e neutroni. Il modello di Yukawa ebbe un grande successo a par-

tire dal 1947, quando fu finalmente identificato il pione carico, o mesone π,

2

%

con massa M 140 MeV/c e successivamente fu osservato anche il pione

π

neutro, con valore di massa simile.

Nella figura 5.10 sono mostrati alcuni diagrammi di Feynman che illu-

strano come le interazioni tra protoni e neutroni derivano dallo scambio dei

mesoni carichi e neutri. Il protone (o il neutrone) è in uno stato di attività

continua ed emette ed assorbe pioni. I pioni sono virtuali e la conservazio-

ne dell’energia impedisce loro di allontanarsi troppo dal nucleone di origine:

ciascun nucleone è circondato da una nuvola di pioni virtuali che fluttuano

continuamente dal protone al neutrone e viceversa. I protoni e neutroni in-

teragiscono tra loro attraverso questa nuvola di pioni e questo scambio dà

come risultato una forza attrattiva. Oggi sappiamo che i pioni sono particelle

con struttura interna (sono stati legati di quark e antiquark, vedi il paragra-

fo 7.7) e non sono i bosoni mediatori dell’interazione nucleare. Nonostante

68

Figura 5.10: Alcuni diagrammi di Feynman che descrivono le forze tra i

nucleoni in termini di scambio di mesoni π carichi e neutri.

questo, le basi teoriche del modelo di Yukawa sono tuttora valide e anche

ipotizzando soltanto lo scambio di mesoni vettori (i mesoni ρ) e scalari (i

pioni) si riescono a spiegare alcuni potenziali nucleari.

5.5 Evidenza sperimentale dello scambio di

mesoni carichi

La distribuzione sperimentale della diffusione elastica neutrone-protone in

funzione dell’angolo di diffusione nel riferimento del centro di massa è mo-

strata in figura 5.11.

Si può dare in maniera semplice una stima degli angoli di diffusione con-

|" | ∼| | %

siderando che per lo scattering elastico p p

" e ∆p pϑ. D’altra parte,

i f

%< %

∆p f > ∆t, dove ∆t R /v è il tempo di interazione, mentre < f >

0

è la forza media, che può essere stimata dal rapporto tra la profondità della

buca di potenziale e il raggio d’azione: < f >% V /R . In definitiva

0 0

∆p < f > ∆t V R 1 V V

0 0 0 0

% % %

ϑ = = (5.12)

p p R v p vp 2T

0

dove T è l’energia cinetica del neutrone incidente. Nell’esperimento preso

69

in esame, 100 MeV < T < 600 MeV, che per V = 35 MeV dà un angolo

0

o

ϑ < 10 . Nella figura 5.11 si osserva in effetti una distribuzione concentrata

a piccoli angoli, ma sono presenti in egual misura anche angoli prossimi a

o

180 ! La spiegazione di Yukawa è semplicissima: se si assume che esistano

sia mesoni neutri che carichi, la diffusione può procedere anche col neutrone

incidente che si trasforma in un protone, emettendo un mesone negativo, e

procede in avanti a piccolo angolo, mentre il protone assorbendo il mesone

si trasforma in un neutrone, che nel centro di massa procede in direzione

o

opposta, a circa 180 rispetto alla direzione incidente.

Figura 5.11: Diffusione elastica di neutrone su protone: distribuzione angola-

re del neutrone diffuso; nella scala inferiore è riportato il momento trasferito

∆p per T = 600M eV . 70

5.6 Il propagatore per il potenziale di Yuka-

wa

Torniamo ora al propagatore nel caso del potenziale di Yukawa. Consideria-

mo la diffusione di un pione da parte di un potenziale nucleare V (r) ad un

−

angolo ϑ rispetto alla direzione iniziale del pione ed indichiamo con p

" = p

" p

"

i f

l’impulso trasferito dal pione. Calcoliamo di nuovo l’ampiezza di diffusione

nell’approssimazione di Born, come trasformata di Fourier del potenziale:

!

1 ·!

i!

p r 3

∝

M e V (r)d "

r

f i 4π ! ! ! (5.13)

∞ π 2π −M r

α e

s 2

ipr cos ϑ

−

= e r sin ϑdϑdϕdr

4π r

0 0 0

che integrata su ϕ e chiamando y = cos ϑ diventa

! !

∞ 1

α

s −M

ipry r

∝ −

M re e drdy

f i 2 −1

0

! ∞ " #

α

s −ipr −M

ipr r

− −

= e e e dr

2ip 0

! (5.14)

∞ " #

α

s (ip−M )r (−ip−M )r

− −

= e e dr

2ip 0

$ %

α 1 1 α 2ip

s s

= + = 2 2

− −

2ip ip M ip + M 2ip (−p M )

ossia α

s

∝ − (5.15)

M f i 2 2

M + p

che dà l’ampiezza di diffusione, espressa in funzione del momento trasferito

al pione. Questa derivazione non è completa, perchè oltre all’impulso si deve

considerare anche l’energia trasferita al pione. Un calcolo analogo in quattro

dimensioni dà l’espressione relativisticamente corretta:

α

s

∝ −

M (5.16)

f i 2 2

p + M 2 2

dove ora p è il quadrimpulso trasferito, ed il termine 1/(p +M ) rappresenta

il contributo del propagatore. 71

In questa dispensa di Fisica Nucleare a cura del professore Egidio Longo si parla di interazioni. In particolare vengono esaminati i seguenti argomenti:
- Particelle e forze;
- L’interazione elettromagnetica;
- Introduzione ai diagrammi di Feynman;
- Range delle interazioni forti e ipotesi di Yukawa;
- Evidenza sperimentale dello scambio di mesoni carichi;
- Il propagatore per il potenziale di Yukawa;
- Il propagatore delle interazioni deboli;
- Leggi di decadimento di nuclei e particelle instabili;
- La formula di Breit e Wigner;
- Intensità relativa delle interazioni fondamentali;
- La seconda regola d’oro di Fermi.