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Dispensa di Fisica Nucleare - Il passaggio della radiazione nella materia

In questa dispensa di Fisica Nucleare a cura del professore Egidio Longo si parla di passaggio della radiazione nella materia e di rilevatori di particelle. In particolare vengono affrontati i seguenti argomenti:
- La formula di Bohr;
- La formula di Bethe e Block;
- Il percorso residuo;
- La diffusione coulombiana multipla;
- Effetto Cherenkov;
- Perdite di energia per elettroni;
-... Vedi di più

Esame di Fisica nucleare e subnucleare docente Prof. E. Longo

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delle onde sulla superficie dell’acqua. Per semplice costruzione geometrica,

l’angolo di emissione della luce Cherenkov è dato dalla relazione

c 1

βc cos θ = v = cos θ = (4.19)

C g C

n βn

da cui risulta immediatamente che l’effetto Cherenkov ha una soglia data

da β = 1/n e permette quindi di selezionare particelle sopra tale soglia.

th #

E’ altrettanto immediato che per particelle relativistiche (β 1) l’angolo di

emissione è indipendente dall’impulso e vale cos θ = 1/n.

C

In un fascio di particelle selezionato in impulso, l’effetto Cherenkov per-

mette di selezionare le particelle in base alla loro massa. Infatti si ricava:

1 mc

%

p = mcβ γ = mcβ = (4.20)

th th th th 2 2 −

n 1

1 β

th

per cui, dato l’impulso p, la condizione per l’emissione di luce Cherenkov

p > p diventa √

th 2 2 −

mc < pc n 1. (4.21)

2

!

Per discriminare particelle relativistiche (pc mc ), è quindi necessario

che n sia prossimo a 1. A questo scopo si possono usare particolari miscele

di gas, con il vantaggio che, essendo l’indice di rifrazione dipendente dalla

pressione, il valore della soglia può essere facilmente variato agendo sulla

pressione della miscela.

Il numero di fotoni emessi per unità di lunghezza e unità di energia è dato

da: # $

2 2

2 αz 1 αz

d N γ 2

= 1 = sin θ (4.22)

C

2 2

dxdE h̄c β n(E) h̄c

che può essere riscritto in termini di lunghezza d’onda λ = c/ν = hc/E come

# $

2 2

2παz 1

d N γ −

= 1 . (4.23)

2 2 2

dxdλ λ β n(λ)

4.6 Perdite di energia per elettroni

Abbiamo già detto che, nel caso degli elettroni, la formula di Bethe-Block

deve essere modificata per tener conto dell’identità tra il proiettile ed il ber-

saglio. Un effetto più importante nasce però dal fatto che, per effetto degli

40

" c

Ch er en k

g ov

v

= wa

v ve f ro

! # nt

c

Particle velocity v = $c

Figura 4.3: Costruzione del fronte d’onda dell’effetto Cherenkov: θ è la

C

direzione della luce, η è l’angolo di apertura del fronte d’onda conico (Ri-

prodotta da: PDG, W-M Yao et al 2006 J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 33

1).

urti elastici col nucleo, l’accelerazione che una particella carica subisce nel

momento della deflessione provoca l’emissione di radiazione elettromagneti-

ca. La teoria di questo processo è stata elaborata da Bethe e Heitler nel

1934. A parità della forza coulombiana del nucleo, l’accelerazione sarà tanto

maggiore quanto minore sarà la massa della particella, per cui la perdita di

energia per irraggiamento (spesso indicato col termine tedesco Bremsstrah-

lung) sarà molto maggiore per gli elettroni che per le altre particelle. La

perdita di energia per irraggiamento degli elettroni può essere espressa dalla

formula: $

# ' (

2

E N Z ρ

dE A −1/3

2

# #

− 4r α ln 183Z E (4.24)

e

dx X A

0

rad

e questo contributo va a sommarsi a quello dovuto alla ionizzazione. Come si

vede, il contributo radiativo alle perdite di energia degli elettroni è lineare in

E, e dunque per un certo valore di E queste perdite supereranno quelle dovu-

te alla ionizzazione, che tendono invece a divenire costanti. Il valore di E per

il quale le perdite per ionizzazione eguagliano quelle per radiazione prende

il nome di energia critica, & . Assumendo esatta l’uguaglianza espressa dalla

c

(4.24), che è invece valida solo ad alta energia, l’energia critica rappresen-

41

terebbe l’energia per la quale la perdita per ionizzazione per lunghezza di

radiazione uguaglia l’energia dell’elettrone (definizione di Rossi dell’energia

critica), come illustrato in figura 4.4. L’energia critica per gli elettroni può

#

essere espressa come & 600/Z MeV, per cui varia dalle centinaia alla de-

c

cina di MeV per le diverse sostanze. Il corrispondente valore per particelle

pesanti è molto maggiore, per cui queste perdite di energia sono trascurabili

con l’eccezione dei muoni di alta energia.

200 Copper

X 12.86 g cm !2

!

0

E 19.63 MeV

!

100 c

(MeV) l ng

ta

70 lu

o

T ah

Rossi:

50 tr

0 X E

Ionization per

X ss

0

40 m

energy

" "

!#electron re

s

x em tb

d 30

/ Br c

dE a

Ex n

o

nizati

o

I

20 Brems ionization

!

10 2 5 10 20 50 100 200

Electron energy (MeV)

Figura 4.4: Confronto tra le perdite per ionizzazione e quelle per irraggia-

mento degli elettroni in rame. La differenza tra le due definizioni dell’energia

critica rispecchia la circostanza che la (4.24) è valida solo asintoticamen-

te, come si vede dall’andamento delle due curve dell’irraggiamento, calcolate

usando l’espressione completa e quella asintotica (Riprodotta da: PDG, W-M

Yao et al 2006 J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 33 1).

Non è un caso che nella (4.24) compaia la stessa costante che abbiamo

incontrato nello scattering multiplo, poiché in entrambi i casi l’origine del

processo è la diffusione nel campo coulombiano del nucleo. Integrando la

−x/X

(4.24) si può ottenere l’andamento dell’energia dell’elettrone, E = E e .

0

0

42 0.20

Positrons Z

Lead ( = 82)

Electrons

1.0 0.15

)

!1 )

!1

0 Bremsstrahlung

X g

2

( (cm

dE

x

d 0.10

E

1 Ionization

! 0.5 !

e

Møller ( ) 0.05

!

e

Bhabha ( )

Positron

annihilation

0

1 10 100 1000

E (MeV)

Figura 4.5: Perdite di energia per elettroni in piombo, espresse come

1 dE

− /X : in queste unità, il valore asintotico delle perdite dovute all’ir-

0

E dx

raggiamento è 1 (Riprodotta da: PDG, W-M Yao et al 2006 J. Phys. G:

Nucl. Part. Phys. 33 1). 43

La (4.24) può essere quindi assunta come definizione della lunghezza di ra-

diazione X che risulta quindi la distanza alla quale l’energia dell’elettrone

0

si riduce di un fattore 1/e per effetto delle sole perdite per radiazione. Ri-

cordiamo che il segno di uguaglianza nella (4.24) vale solo asintoticamente,

per cui la definizione appena data richiede che si considerino elettroni di alta

energia (si veda la figura 4.4). Le perdite di energia degli elettroni in piombo

sono riportate in figura 4.5.

In ogni singola interazione dell’elettrone col nucleo verranno emessi uno o

più fotoni. Lo spettro di energia dei fotoni irraggiati va da 0 a E con proba-

bilità inversamente proporzionale ad E, mentre l’angolo medio di emissione

2

$ϑ% #

è dato da m c /E , ed è quindi indipendente dalla energia del fotone

e 0

emesso.

4.7 Interazione dei fotoni con la materia

Come per gli elettroni, anche nell’interazione dei fotoni con la materia si

devono distinguere le interazioni con gli elettroni da quelle con i nuclei del

mezzo. Nel primo caso, il fotone può essere assorbito dall’elettrone e scompa-

rire, liberando un elettrone (effetto fotoelettrico) o cedere parte dell’energia

all’elettrone (effetto Compton). Nel secondo, il fotone nel campo del nucleo

può materializzarsi in una coppia elettrone-positrone (produzione di coppie).

4.7.1 Effetto fotoelettrico

Ricordiamo che l’effetto fotoelettrico è considerato la prima dimostrazione

sperimentale della natura corpuscolare della luce, che risulta costituita da

quanti di energia E = hν, proporzionale alla frequenza della radiazione

γ

luminosa. L’effetto fotoelettrico può essere interpretato come una reazione

− +

γ + A e + A .

Notiamo che l’assorbimento del fotone richede la presenza del nucleo: la rea-

− −

zione γ + e e non può avvenire, perché la massa invariante dello stato

iniziale è maggiore della massa invariante finale, che coincide con la massa

dell’elettrone. Il nucleo pesante, come al solito, assorbe impulso senza assor-

bire energia: tutta l’energia del fotone è trasferita all’elettrone. Ne risulta che

l’impulso assorbito dal nucleo deve essere tanto maggiore quanto maggiore è

44

l’energia del fotone, per cui ci aspettiamo che la probabilità dell’effetto fotoe-

lettrico diminuisca al crescere dell’energia del fotone. L’effetto fotoelettrico

richiede che l’energia del fotone sia maggiore dell’energia di legame dell’elet-

2

(

trone. Sopra la soglia, e per energie E m c dove l’effetto fotoelettrico è

γ e

dominante, la sezione d’urto è 1

5

σ Z (4.25)

p.e. 3

E

γ

ed è quindi fortemente dipendente dal numero atomico del materiale. La

sezione d’urto dell’effetto fotoelettrico su carbonio e piombo è riportata nella

figura 4.6.

4.7.2 Effetto Compton

Per energie molto maggiori dell’energia di legame, gli elettroni si possono

considerare liberi e possono interagire con i fotoni tramite il processo elastico

− −

γ + e γ + e

dando luogo all’effetto Compton. L’elettrone assorbe parte dell’energia del

fotone incidente, che varia quindi la sua frequenza. La scoperta dell’effetto

Compton (1923) è la prova definitiva che la radiazione luminosa non può

essere interpretata come un fenomeno puramente ondulatorio, per il quale la

frequenza deve rimanere sempre la stessa.

Un semplice calcolo di cinematica relativistica permette di ricavare la

relazione tra energia ed angolo del fotone diffuso. Chiamando p l’impulso

finale dell’elettrone, ϕ l’angolo di questo con la direzione del fotone incidente,

#

ν e ν le frequenza iniziale e finale del fotone e ϑ l’angolo del fotone uscente

e ricordando che l’impulso di un fotone è dato da hν/c, la conservazione

dell’impulso longitudinale e trasverso si scrive:

hν !

= cos ϑ + p cos ϕ (4.26)

c

c !

hν −

0 = sin ϑ p sin ϕ (4.27)

c

ovvero !

hν hν

p cos ϕ = cos ϑ (4.28)

c c

!

p sin ϕ = sin ϑ (4.29)

c

45

(a) Carbon ( Z = 6)

!

- experimental

1 Mb tot

(barns/atom) ! p.e.

1 kb

section ! Rayleigh

Cross 1 b " nuc

! " e

Compton

10 mb (b) Lead (Z = 82) !

- experimental tot

1 Mb ! p.e.

(barns/atom) ! Rayleigh

1 kb

section

Cross " nuc

! g.d.r.

1 b "

! e

Compton

10 mb

10 eV 1 keV 1 MeV 1 GeV 100 GeV

Photon Energy

Figura 4.6: Sezioni d’urto (in barn per atomo) per interazioni di fotoni in

carbonio (a) e in piombo (b) (Riprodotta da: PDG, W-M Yao et al 2006 J.

Phys. G: Nucl. Part. Phys. 33 1). 46 2

che sommate in quadratura e rimoltiplicate per c danno:

# #

2 2 2 2

(pc) = (hν) + (hν ) 2h νν cos ϑ. (4.30)

#

Indicando con T = hν hν l’energia cinetica trasferita all’elettrone, e

considerando che

2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2

E = m c + p c (m c + T ) = m c + p c (4.31)

e

e e

otteniamo anche # # #

2 2 2 2 2 2 2

− −

(pc) = T + 2T m c = (hν) + (hν ) 2h νν + 2(hν hν )m c (4.32)

e e

e uguagliando gli ultimi membri delle (4.30) e (4.32) otteniamo infine

#

2 h

h νν

# #

− → − −

− (1 cos ϑ) λ λ = (1 cos ϑ) (4.33)

hν hν = 2

m c m c

e e

che esprime la variazione della lunghezza d’onda del fotone in funzione del-

l’angolo di diffusione di questo, per effetto della diffusione Compton su elet-

trone. Notiamo che questa variazione è indipendente dall’energia del foto-

ne incidente (e dalle proprietà del mezzo) e dipende invece dalla quantità

−12

·

λ = h/m c = 2.43 10 m, che prende il nome di lunghezza d’onda Comp-

C e

ton dell’elettrone (notiamo anche che vale la relazione λ = 2πr /α). Dal

C e

punto di vista del fotone, la (4.33) può essere interpretata dicendo che per

subire una variazione significativa di lunghezza d’onda, il fotone deve avere

una lunghezza d’onda confrontabile con λ . Se traduciamo questa lunghezza

C 2

d’onda in energia, abbiamo hν hc/λ = m c , ossia il fotone deve avere una

C e

energia almeno dell’ordine di quella corrispondente alla massa dell’elettrone.

#

Riscrivendo la (4.33) in termini di energia del fotone e risolvendo in E

γ

abbiamo: E

γ

# . (4.34)

E =

γ E

γ −

1 + (1 cos ϑ)

2

m c

e

mentre l’energia trasferita all’elettrone è invece:

E

γ −

(1 cos ϑ)

2

m c

#

− e

E = E E = E (4.35)

e γ γ

γ E

γ −

1 + (1 cos ϑ)

2

m c

e

che ha un massimo per ϑ = 180 : E

γ

max

E = E . (4.36)

γ

e 1 2

m c + E

e γ

2

47

La sezione d’urto differenziale in funzione dell’angolo di diffusione del-

l’elettrone può essere calcolata in elettrodinamica quantistica (formula di

Klein-Nishina, 1928): ) *

# $ 2

# #

#

E E

E

dσ 1 Z γ γ

γ

2 2

= r 1+ + sin ϑ (4.37)

γ

e

dΩ 2 A E E E

γ γ γ γ 2

!

che, integrata, dà la sezione d’urto totale, che va come 1/E per E m c .

γ γ e

La sezione d’urto Compton su carbonio e piombo è riportata nella figura 4.6.

4.7.3 Produzione di coppie

2

Quando E > 2m c , per il fotone si apre la soglia per la produzione di

γ e −

+

coppie elettrone-positrone. La creazione di coppie e e è la manifestazione

sperimentale della teoria di Dirac. La scoperta del positrone sarà discussa nel

seguito (par. 6.2), mentre le interazioni di questa particella con la materia

sono identiche a quelle degli elettroni sopra descritte. La creazione di coppie

non può avvenire nel vuoto: per la differenza tra la massa invariante iniziale

(che deve essere nulla) e dello stato finale che contiene i due elettroni, la

produzione deve avvenire in presenza di un nucleo che assorba l’impulso in

eccesso (il processo può avvenire anche in presenza degli elettroni del mezzo,

ma in tal caso l’energia assorbita dall’elettrone di rinculo è molto maggiore

di quella del nucleo, riducendo quindi quella a disposizione per la creazione

di coppie).

Nel calcolo della sezione d’urto compaiono le stesse quantità che abbiamo

incontrato nel caso dell’irraggiamento degli elettroni e della diffusione mul-

2 1/3

tipla. Ad alte energie, la sezione d’urto è proporzionale a Z ln 183/Z , e

può quindi essere scritta come 7 1 A

# . (4.38)

σ

coppie 9 X ρN

0 A

La sezione d’urto per produzione di coppie su carbonio e piombo è riportata

nella figura 4.6: κ indica la sezione d’urto sui nuclei e κ quella sommata

nuc e

su tutti gli elettroni di un atomo.

L’analogia con l’irraggiamento è completata dall’angolo medio di emis-

sione delle due particelle della coppia, che è lo stesso dei fotoni di Bremms-

2

$ϑ% #

stahlung: m c /E .

e γ 48

4.8 Sciami elettromagnetici

Come abbiamo visto nei precedenti paragrafi, ad alta energia i processi domi-

nanti nell’interazione di elettroni e fotoni con la materia sono l’irraggiamento

e la produzione di coppie. Entrambi questi processi sono regolati da una sca-

la di lunghezza che è data dalla lunghezza di radiazione X . Se consideriamo

0

quindi un elettrone o un fotone di alta energia che colpiscono un blocco di

materiale con uno spessore di qualche X , possiamo immaginare che si svi-

0

luppi un processo di moltiplicazione, per cui un fotone produce una coppia

− −

+ +

e e , mentre ciascun e o e emetterà parte della sua energia sotto forma

di un ulteriore fotone. Si avrà quindi un processo a cascata, che prende il

nome di cascata elettromagnetica o sciame elettromagnetico. Il percorso tra

un processo moltiplicativo e il successivo sarà dell’ordine di X . I prodotti

0

di tali processi avranno energie via via minori man mano che cresce il nu-

mero delle generazioni. Quando gli elettroni ridurranno la loro energia al di

sotto dell’energia critica, diventeranno dominanti le perdite di energia per

ionizzazione, e la cascata si arresterà.

Ci si aspetta dunque che il fenomeno dipenda dalle caratteristiche del

mezzo solo attraverso X e & , almeno in prima approssimazione, per cui se

0 c

si misura l’energia incidente in E /& e lo spessore in t = x/X , lo sviluppo

0 c 0

longitudinale dello sciame sia lo stesso per tutti i materiali. Questo sviluppo

è ben rappresentato (si veda la figura 4.7) da una funzione del tipo

−bt

a

∝ ·

f (t) E /& t e (4.39)

0 c

(f (t) può rappresentare l’energia depositata o la popolazione di particelle alla

profondità t), dove b è una quantità che vale circa 0.5 e dipende leggeremente

dal materiale, mentre a dipende dall’energia E . Notiamo che la funzione

0

definita dalla (4.39) deve avere il massimo a t = a/b. Semplici modelli

max

analitici, confermati dalle simulazioni MonteCarlo, mostrano che il massimo

deve dipendere logaritmicamente dall’energia: t = ln(E /& ) + c (dove

max 0 c

c è una quantità che differisce di circa 1X tra elettroni e fotoni) per cui,

0

uguagliando le due espressioni di t , si può ricavare il valore di a.

max

Lo sviluppo laterale dello sciame, che dipende dalla diffusione coulombia-

na multipla, risulta invece indipendente dall’energia incidente e può essere

quantificato dal raggio di Molière, definito come il raggio di un cilindro che

#

contiene il 90% dell’energia dello sciame e che vale R 21X /& (MeV).

M 0 c

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Teemo92

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questa dispensa di Fisica Nucleare a cura del professore Egidio Longo si parla di passaggio della radiazione nella materia e di rilevatori di particelle. In particolare vengono affrontati i seguenti argomenti:
- La formula di Bohr;
- La formula di Bethe e Block;
- Il percorso residuo;
- La diffusione coulombiana multipla;
- Effetto Cherenkov;
- Perdite di energia per elettroni;
- Interazione dei fotoni con la materia;
- Effetto fotoelettrico;
- Effetto Compton;
- Produzione di coppie;
- Sciami elettromagnetici;
- Sciami adronici;
- Rivelatori di particelle;
- Rivelatori di traccia;
- Spettrometri magnetici;
- Calorimetri.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in fisica e astrofisica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teemo92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica nucleare e subnucleare e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Longo Egidio.

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