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Dispensa di Fisica Nucleare - Esperimenti di diffusione

In questa dispensa di Fisica Nucleare a cura del professore Egidio Longo si parla di esperimenti di diffusione. In particolare vengono affrontati i seguenti argomenti:
- Sezione d’urto;
- Interpretazione geometrica della sezione d’urto;
- Coefficiente di assorbimento, lunghezza di attenuazione e cammino libero medio;
- Sezione d’urto totale, elastica, inclusiva ed... Vedi di più

Esame di Fisica nucleare e subnucleare docente Prof. E. Longo

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3.4 Sezione d’urto totale, elastica, inclusiva

ed esclusiva

Finora abbiamo implicitamente assunto che sia possibile un solo tipo di rea-

zione tra proiettile e bersaglio, e che sia sempre possibile contare in maniera

univoca il numero di reazioni avvenute. In presenza di più reazioni, ciascuna

delle quali può dar luogo a una o più combinazioni di particelle nello stato

finale, possiamo sempre definire una sezione d’urto totale σ utilizzando nella

t

(3.1) e nelle altre al posto di N un N definito come differenza tra il numero

r t

di particelle del fascio incidenti sul bersaglio e il numero di particelle del fa-

scio che emergono dal bersaglio senza aver interagito, ossia nello stesso stato

iniziale. Se poi in linea di principio siamo in grado di identificare evento per

evento le differenti reazioni, determinandone quindi le varie sezioni d’urto,

$

dovrà risultare σ = σ .

t r

r

Una distinzione che può essere fatta in maniera semplice è quella tra

diffusione elastica, nella quale le particelle proiettile e bersaglio non cambiano

la loro natura nel corso della reazione, e diffusione anelastica, nella quale il

bersaglio (o il proiettile, o entrambi) in seguito alla reazione si porta in

uno stato eccitato, da cui decade in due o più prodotti di decadimento.

Nella diffusione elastica si deve conservare l’energia cinetica totale, mentre

nella diffusione anelastica la massa invariante del bersaglio deve aumentare

a spese dell’energia cinetica iniziale. Nella diffusione elastica, l’energia (o

impulso) e l’angolo del proiettile diffuso sono quindi univocamente correlati,

e questa caratteristica rende facile l’identificazione degli eventi puramente

elastici. Naturalmente tra le sezioni d’urto totale, elastica e anelastica deve

valere la relazione σ = σ + σ .

t el anel

Nelle diffusioni anelastiche, un’altra distinzione utile è quella tra sezio-

ni d’urto inclusive, quelle misurate in esperimenti nei quali si rivela solo il

proiettile diffuso, e sezioni d’urto esclusive, in esperimenti nei quali si iden-

tificano anche i prodotti di decadimento del bersaglio e si possono quindi

classificare le diverse reazioni in base a questi.

20

3.5 Luminosità e sezione d’urto per esperi-

menti con fasci incrociati

Le formule (3.1) o (3.4) possono essere riscritte semplicemente come

dN

r · L

= σ (3.13)

r

dt

L

introducendo la luminosità come

dN

f

L · · · ·

= n d = φ N (3.14)

b b

dt

dove la seconda uguaglianza vale sotto le ipotesi nelle quali abbiamo derivato

la (3.4). La luminosità ha le dimensioni dell’inverso del prodotto del tempo

−2 −1

per una superficie e si misura quindi in m s .

L’espressione (3.13), che non aggiunge nulla agli esperimenti di diffusione

su bersaglio fisso, permette di determinare in maniera semplice la sezione

d’urto in esperimenti a fasci incrociati, dove le interazioni avvengono tra due

fasci di particelle lanciati l’uno contro l’altro. Questi esperimenti, benché ri-

chiedano macchine acceleratrici più complesse e producano luminosità molto

inferiori a quelle ottenibili con esperimenti a bersaglio fisso, sono estrema-

mente vantaggiosi dal punto di vista dell’energia disponibile nel centro di

massa delle particelle interagenti. Il calcolo della luminosità negli esperimen-

Figura 3.2: Luminosità in una macchina a fasci incorciati: N e N sono i

1 2

numeri di particelle nei due pacchetti, A è la sezione trasversale media dei

fasci. 21

ti a fasci incrociati richiede delle modifiche rispetto alla (3.14), che possono

essere derivate assumendo la (3.13) come definizione di luminosità. Sup-

poniamo che i fasci incrociati siano entrambi composti da due pacchetti di

particelle contenenti rispettivamente N e N particelle e che questi pacchetti

1 2

si incrocino nella zona di interazione con una frequenza f (che in una mac-

i

china ad anello sarà pari alla frequenza di rotazione f di ciascun pacchetto

r

1

nell’anello) . Con considerazioni analoghe a quelle fatte per derivare la (3.1),

possiamo assumere che, fissata la sezione d’urto σ , il numero di reazioni os-

r

L,

servate nell’unità di tempo, e quindi sia proporzionale al prodotto di N ,

1

N e f . Allora potremo scrivere che

2 ·

N N

1 2

L ·

= f (3.15)

i

A

dove A è una grandezza che ha le dimensioni di una superficie e che risulta

tanto più piccola (dando quindi luogo ad una luminosità tanto più alta) quan-

to più strette saranno le sezioni trasversali medie dei fasci. In particolare,

se facciamo l’ipotesi che i pacchetti siano cilindretti di sezione A all’interno

dei quali le particelle sono distribuite uniformemente, allora, considerando il

secondo pacchetto come il bersaglio, il flusso delle particelle del primo pac-

· L ·

chetto è dato da φ = f N /A e la (3.15) si riduce a = φ N come nella

i 1 2

(3.14). Da quest’ultima espressione si capisce anche la enorme differenza tra

le luminosità che si ottengono negli esperimenti a bersaglio fisso e quelle degli

esperimenti a fasci incrociati: per i primi nella espressione di N (si veda la

b

3.5) compare infatti il numero di Avogadro! Nei secondi, per avere lumi-

nosità sufficienti, i fasci, oltre ad avere alta intensità, devono essere quindi

focalizzati nella zona di interazione in modo da ridurre la sezione equivalente

A. Se riscriviamo la (3.13) come definizione di σ , in analogia con la (3.2),

r

otteniamo: dN /dt

dN /dt r

r ·

= A. (3.16)

σ =

r L · ·

N N f

1 2

Il primo termine dell’ultimo prodotto rappresenta di nuovo la probabilità

della reazione, come rapporto tra il numero di reazioni per unità di tempo

ed il numero di incroci per unità di tempo tra coppie di particelle dei due

·

fasci, dato dal prodotto N N (ogni particella del primo pacchetto può in

1 2

In pratica, le macchine ad anelli incrociati utilizzano per ogni fascio un gran numero

1

di pacchetti , sincronizzati in modo da incrociarsi sempre a due a due nella zona di

n p

interazione, il che equivale a porre = .

·

f n f

i p r

22

linea di principio interagire con ciascuna particella del secondo pacchetto)

moltiplicato per la frequenza di incrocio dei fasci.

Il numero di eventi misurato nel corso di un esperimento è dato dal pro-

dotto della sezione d’urto per la luminosità, integrata per tutta la durata

dell’esperimento: # Ldt.

N = σ (3.17)

r r T

Si presti attenzione all’uso di unità inverse per la luminosità integrata:

−1

una luminosità integrata di 1000 mb corrisponde ad una lumionosità inte-

−1

grata di 1 µb . Con questa luminosità integrata si osserveranno infatti in

media 1000 eventi di una reazione che abbia la sezione d’urto di 1 mb e 1

evento di una reazione che abbia la sezione d’urto di 1 µb.

3.6 Sezioni d’urto differenziali

In un esperimento di diffusione, il numero di reazioni può essere determinato

in funzione di alcune variabili cinematiche che caratterizzano lo stato finale

(angoli, energie ecc. delle diverse particelle). In questo modo è possibile de-

terminare la sezione d’urto in funzione delle stesse variabili, raccogliendo cosı̀

informazioni più dettagliate sulle proprietà dell’interazione. Per far questo,

si deve considerare che sperimentalmente sarà sempre necessario contare il

numero di eventi che cadono in un intervallo finito delle variabili in questio-

ne. Cosı̀, se consideriamo per esempio una reazione inclusiva in cui si misura

#

l’energia E e l’angolo θ del proiettile diffuso rispetto alla direzione del pro-

iettile incidente, dovremo riscrivere la (3.13) introducendo conteggi e sezioni

#

d’urto differenziali in queste variabili e integrando negli intervalli ∆E e ∆θ:

#

# dσ (E , θ)

dN (E , θ) r

r L ·

= (3.18)

# #

dtdE dθ dE dθ

#

# #

dN (∆E , ∆θ) dσ (E , θ)

r r #

= dE dθ. (3.19)

#

dt dE dθ

!

∆E ∆θ

23

Figura 3.3: Sulla corona circolare cadranno tutte le particelle deflesse dal

bersaglio ad un angolo compreso tra θ e θ + ∆θ.

3.7 I modelli atomici e l’esperimento di Ru-

therford

Le prime osservazioni di Rutherford sulla deflessione dei raggi α in campi

elettromagnetici mostravano che la deviazione prodotta da campi elettrici

anche elevati era molto minore di quella che poteva essere prodotta dalla

presenza accidentale di aria nei tubi a vuoto, il che suggeriva che all’interno

degli atomi dovessero essere presenti intensi campi elettrici.

All’epoca, come abbiamo visto nel par. 2.3, J. J. Thomson aveva misurato

il rapporto e/m dell’elettrone, mentre Millikan (1909) ne aveva determinata

la carica, per cui era noto che la massa degli elettroni era molto più piccola

di quella totale degli atomi. Era dunque ragionevole assumere che tutta la

massa dell’atomo fosse associata alla carica positiva. Il modello atomico di

Thomson ipotizzava dunque un atomo neutro di forma sferica delle dimen-

−10

sioni di 10 m, in cui è distribuita con continuità la carica positiva Ze. In

questa sfera sono immersi Z elettroni.

In un simile atomo, la diffusione di una particella carica incidente era

quindi il risultato di una serie di molte interazioni con le diverse cariche

positive e negative distribuite uniformemente all’interno dell’atomo. Questo

schema rendeva la diffusione sostanzialmente indipendente dalla penetrazione

della particella all’interno dell’atomo (la carica vista dalla particella era in

media sempre nulla, come mostrato nella figura 3.4) e non poteva produrre

24

Figura 3.4: Particelle α diffuse dal nucleo atomico: a destra, per il teorma

di Gauss, il campo visto dalla particella α è dato dalla carica contenuta in

una sfera di raggio b; a sinistra, nel modello di Thomson la carica positiva è

distribuita in maniera uniforme all’interno del nucleo, cosı̀ come gli elettroni.

La carica di una sfera di raggio b è quindi in media nulla e non dipende da b.

deflessioni a grande angolo.

Nel 1910-11 Rutherford e i suoi collaboratori Geiger e Marsden decisero

quindi di ricercare sistematicamente diffusioni a grande angolo delle particelle

α da fogli sottili di materiale, trovando sistematicamente eventi di questo

tipo, anche con spessori minimi di materiale.

Questi eventi potevano essere giustificati assumendo che la distribuzione

delle cariche positive fosse concentrata in una regione di spazio molto più

piccola all’interno dell’atomo, per cui man mano che la particella α si avvici-

nava a questo nucleo positivo, lo schermo dovuto alle cariche degli elettroni

si riduceva sempre più, fino a rendere possibili interazioni coulombiane col

campo elettrico dovuto ad una carica totale positiva Ze, concentrata nel

nucleo.

3.8 La sezione d’urto di Rutherford

La interazione di una particella di massa m e carica ze con un nucleo di

massa M e carica Ze può essere descritta facilmente in meccanica classica

sotto le seguenti ipotesi:

• la velocità v del proiettile è piccola rispetto alla velocità della luce;

• la diffusione è elastica, per cui si deve conservare anche l’energia cine-

tica; 25

• la massa del nucleo è grande rispetto a quella del proiettile, per cui

nell’urto il nucleo assorbe impulso ma non energia e quindi l’impulso

del proiettile cambia in direzione ma non in modulo;

1 2

zZe

• l’interazione è dovuta alla forza di Coulomb ;

4π" 2

r

0

• l’energia totale del sistema è positiva, per cui il proiettile descriverà

un’orbita iperbolica.

Dalla conservazione del modulo dell’impulso p = mv del proiettile segue

che l’impulso trasferito dal bersaglio è dato da:

∆p = 2p sin(ϑ/2) (3.20)

dove ϑ è l’angolo di diffusione. Dal teorema dell’impulso, ∆p può essere

messo in relazione con la forza coulombiana che si esercita tra proiettile e

bersaglio: # #

+∞ +∞ 2

zZe cos β dt (3.21)

∆p = f dt = 2

4π) r

0

−∞ −∞

dove β è l’angolo formato dal vettore +

r che va dal bersaglio al proiettile con

la bisettrice dell’angolo π ϑ, come mostrato in figura 3.5.

Figura 3.5: La variazione dell’impulso della particella α è dovuta alla com-

2 2

ponente f cos β = zZe /4π) r cos β della forza coulombiana nella direzione

0 −

della bisettrice dell’angolo π ϑ (nella direzione ortogonale a questa, la

variazione di impulso per β positivi e negativi si compensa per simmetria).

Se definiamo il parametro d’urto b come la distanza del nucleo dalla tra-

iettoria rettilinea del proiettile prima dell’interazione, il momento angolare

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Teemo92

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questa dispensa di Fisica Nucleare a cura del professore Egidio Longo si parla di esperimenti di diffusione. In particolare vengono affrontati i seguenti argomenti:
- Sezione d’urto;
- Interpretazione geometrica della sezione d’urto;
- Coefficiente di assorbimento, lunghezza di attenuazione e cammino libero medio;
- Sezione d’urto totale, elastica, inclusiva ed esclusiva;
- Luminosità e sezione d’urto per esperimenti con fasci incrociati;
- Sezioni d’urto differenziali;
- I modelli atomici e l’esperimento di Rutherford;
- La sezione d’urto di Rutherford;
- Il protone e le trasmutazioni nucleari;
- La scoperta del neutrone.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in fisica e astrofisica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teemo92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica nucleare e subnucleare e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Longo Egidio.

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