Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

2-6 Cinematica

così: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

≈ × + × + × ≈

S 8.33 m s 3.3 s 75 m s 3.3 s 208.33 m s 3.3 s 972.2 m

v ( t )

Aumentando il numero n di intervalli, cioè diminuendo la durata di ciascun

intervallo, si ottengono i risultati indicati nella precedente tabella. Con le

∆ rappresenta l’area

scelte fatte, dal punto di vista geometrico, il prodotto v t

k k

del rettangolo di base e di altezza pari al valore assunto dalla velocità

t k

( ) ∑

al centro dell’intervallo stesso. Pertanto le somme

t

v t ∆

v t

k k k v

k k

( )

costituiscono un’approssimazione dell’area sottesa dalla funzione v t

( ) .

nell’intervallo 0, T D t

O T t

k

Analogamente a quanto visto nel caso della velocità istantanea, al diminuire della durata degli

( )

∆ S

intervalli t in cui è diviso l’intervallo di tempo , lo spostamento tende ad un valore

T

0,

k

limite. Allora: T

∑ ( )

= ∆ =

S lim v t v t dt ,

k k

∆ →

t 0

k k 0

v ( t ) ( )

=

cioè l’integrale della funzione calcolato dall’istante di

v v t

= =

tempo iniziale a quello finale , fornisce l’entità dello

t t T

0 ( ) .

spostamento che subisce il punto materiale nell’intervallo T

0,

Dalle proprietà dell’integrale segue che lo spostamento subito tra

( )

=

due istanti di tempo è pari all’area sottesa dalla curva v v t

tra gli istanti specificati. Nell’Appendice sono riportati gli

O T t integrali di alcune funzioni notevoli.

( )

Esempio: Con riferimento all’esempio precedente, se , posto

= 2

v t h t

T ,

∆ ≡

t k n

per ogni k, si ha: 2  

2 2 2 2

     

1 T T T T T T T k T T kT T

∆ = ∆ − ∆ = − = × − = × + − =

v t v k t t v k h k h  

     

k k k k 2 2 2

2 2 2 4

  n  n n  n  n n  n n n n n .

 

3  

1

hT

= + −

2 ;

k k

 

3 4

n  

così, sommando per k che varia tra 1 e n, si trova:  

3 3

 

n n n n

hT 1 hT 1

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

≈ ∆ = + − = + − =

2 2

S v t k k k k

   

k k 3 3

n 4 n 4

   

= = = =

1 1 1 1

k k k k k

 

     

3 3 2 2 3 3  

hT n n n n n n hT n n 1 1

= + + + − + = − = −

3

hT 1 ,

 

       

3 3 2

 

n 3 2 6 4 2 2 n 3 12 3 4 n

     

 

e quindi:

Cinematica 2-7

 

1 1 1

= ∆ = − =

3 3

S lim lim 1 ,

v t hT hT

 

k k 2

3 4 3

n

 

∆ → →∞

t n

0

k k

così: =

S 1 km

.

D’altra parte: T

T T 1 1

( )

∫ ∫

= = =

2 3 3

v t dt ht dt ht hT ,

3 3

0

0 0

che conferma quanto precedentemente trovato.

La relazione tra velocità e spostamento può essere ricavata in maniera più formale a partire dalla

= , dalla quale si deduce:

definizione (2.6) della velocità istantanea v dx dt

=

dx v dt ;

se ora si integrano ambo i membri, si ottiene:

x t

∫ ∫

ξ ζ

= , (2.7)

d v d

x t

0 0

( )

≡ la posizione del punto materiale al tempo t . D’altra parte applicando la

essendo x x t

0 0 0

definizione di integrale al primo membro dell’espressione precedente, si ha:

x n

∫ ξ ξ

= ∆

d lim ,

k

ξ

∆ → 0

k =

1

k

x

0 ξ

∆ come fatto nell’esempio precedente, come

ed esprimendo k

x x

ξ

∆ = 0 ,

k n

segue: x − −

 

 

n n x x x x

∑ ∑

∫ ξ ξ

= ∆ = = = −

d n x x

lim lim lim .

0 0

 

  0

k n n

 

 

ξ

∆ → →∞ →∞

0 n n

k = =

1 1

k k

x

0

Sostituendo quindi nella (2.7) si ottiene:

t

∫ ζ

= + . (2.8)

x x v d

0 t 0 ( )

− = − , così da

Si osservi, infine, che dalla definizione di velocità media (2.5) risulta x x v t t

0 0

m

quest’ultima relazione segue:

2-8 Cinematica

t

1 ∫ ζ

=

v v d

m −

t t 0 t

0 ( ) −

= t t

nell’intervallo .

che coincide con l’espressione della media della funzione v v t 2 1

Teorema fondamentale del calcolo

Il legame analitico tra la derivata e l’integrale è stabilito dal

la cui dimostrazione è riportata nell’Appendice.

Esempio: (moto rettilineo uniforme) Se la velocità del punto materiale è indipendente dal tempo e pari a , dalla (2.7)

v

0

segue: t t ( )

∫ ∫

ζ ζ

− = = = −

x x v d v d v t t ,

0 0 0 0 0 x ( t )

t t

0 0

ovvero: ( )

= + −

x x v t t ,

0 0 0

≡ , allora:

e, in particolare, se t 0 x

0 0

= + O

x x v t . t

0 0 uniforme ; tuttavia, in generale, la

Quando la velocità è indipendente dal tempo, il moto è detto

velocità dipende dal tempo, così, per completare la caratterizzazione del moto è necessario

( ) ( )

≡ ≡

conoscere come essa varia istante per istante. A tale scopo, posto e le velocità

v v t v v t

1 1 2 2

t t accelerazione media

e , si definisce

assunte dal punto materiale, rispettivamente ai tempi 1 2

t t

nell’intervallo di tempo , il rapporto:

2 1

∆ v v

v

≡ =

a ,

2 1

m ∆ −

t t t

2 1

in cui: ∆ ≡ −

v v v ,

2 1

∆ ≡ −

t t t .

2 1

L’accelerazione ha le dimensioni di una lunghezza diviso il quadrato di un tempo, per cui nel

Sistema Internazionale risulta:

m

[ ] =

a ,

m 2

s

non essendoci una specifica unità di misura per questa grandezza.

Analogamente a quanto osservato per la definizione di velocità media, l’accelerazione media

fornisce un’indicazione complessiva circa il moto che si esplica tra due istanti di tempo, non

consentendo, tuttavia, una determinazione del valore assunto dall’accelerazione in corrispondenza

accelerazione istantanea t

al tempo il limite:

di uno specifico istante. Per tale motivo definiamo 0

Cinematica 2-9

( ) ( )

+ ∆ −

v t t v t dv

( ) ≡ =

0 0 ;

lim

a t 0 ∆ t dt

∆ → 0

t ≡

t t

0

( )

= t

calcolata al tempo fornisce il valore dell’accelerazione in

cioè la derivata della funzione v v t 0 = > , e il moto si

corrispondenza dell’istante specificato. Se la velocità aumenta nel tempo, a dv dt 0

= <

accelerato

; se la velocità diminuisce nel tempo, , e il moto si

dice, genericamente, 0

a dv dt

decelerato

.

dice

Dalla relazione precedente si trova:

=

dv a dt ;

così, integrando ambo i membri, si ha:

v t

∫ ∫

η ζ

= ,

d a d

v t

0 0 v

( ) ∫ η

≡ = −

. Siccome , sostituendo nell’espressione precedente, si ha:

dove v v t d v v

0 0 0

v

0

t

∫ ζ

− = ,

v v a d

0 t

0

ovvero: t

∫ ζ

= + . (2.9)

v v a d

0 t 0

Il fatto che la velocità è la derivata rispetto al tempo della posizione e che l’accelerazione è la

derivata rispetto al tempo della velocità, determina un legame tra l’accelerazione e la posizione del

corpo: 2

 

dv d dx d x

= = = ,

a   2

dt dt dt dt

 

cioè l’accelerazione è la derivata seconda della posizione.

Esempio: (moto uniformemente accelerato) Se l’accelerazione del punto materiale è indipendente dal tempo e pari a

, dalla (2.9) segue:

a

0 t ( )

∫ ζ

= + = + −

v v a d v a t t ;

0 0 0 0 0

t 0

sostituendo questa espressione della velocità nella (2.8), si ha:

2-10 Cinematica

t t ( )

∫ ∫

ζ ζ ζ

= + = +  + −  =

x x v d x v a t d

 

v ( t ) 0 0 0 0 0

t t

0 0

1 ( )

( ) 2

= + − + −

x v t t a t t .

0 0 0 0 0

2

≡ si ottiene:

In particolare, se t 0

0

v 0 = +

v v a t ,

0 0 (2.10)

1

O = + +

t 2 .

x x v t a t

0 0 0

2 ( ) ( )

e per questo tipo di moto.

In figura sono mostrati gli andamenti di v t x t

Attraverso l’eliminazione del parametro t dalle equazioni precedenti è

x ( t ) possibile esprimere la velocità v in funzione della posizione; cioè, essendo

( ) , si ha:

= −

t v v a

0 0 2

 

− −

v v v v

1 1 ( ) ,

− = + = −

2 2

0 0

x x v a v v

 

0 0 0 0

a a a

2 2

 

0 0 0

x da cui segue la relazione:

0

O ( )

t , (2.11)

− = −

2 2

v v 2 a x x

0 0 0

che consente di stabilire il valore assunto dalla velocità in corrispondenza di una specificata posizione.

Esempio: (moto verticale di un corpo) Trascurando la resistenza offerta dall’aria e la spinta idrostatica, un x

corpo lasciato cadere in prossimità della superficie terrestre si muove verso il basso, per effetto della gravità,

con accelerazione costante g pari a circa ; pertanto il moto è uniformemente accelerato. Se

2

9.8 m s

consideriamo un sistema di riferimento con origine sulla superficie terrestre e orientato verso l’alto,

1 :

l’accelerazione a cui sarà soggetto il corpo sarà

= − .

a g

0

Nel caso in cui il corpo è lasciato cadere con velocità iniziale nulla da un’altezza h, dalle relazioni (2.10), la O

velocità e la posizione del corpo varranno:

= −

v gt ,

1

= − 2

x h gt ,

2 = ) al tempo tale che:

così il corpo raggiungerà il suolo ( x 0 t c

1

= − 2

0 ,

h gt c

2

ovvero: 2 h

=

t ,

c g

1 Il segno negativo deriva dalla scelta fatta circa il sistema di riferimento; infatti dalla (2.11) segue che se si lascia

( )

cadere il corpo da una certa altezza con velocità iniziale nulla, affinché risulti , siccome risulta

= − >

2

v v 2 a x x 0

0 0 0

< <

sempre , deve necessariamente aversi .

x x a 0

0 0

Cinematica 2-11

con la velocità: 2 h

= = =

v gt g 2 gh .

c c g −

sia rivolta verso il basso e pari a , dalle relazioni (2.10) risulta:

Qualora la velocità iniziale v v

0 i

= − −

v v gt ,

i 1

= − − 2

x h v t gt ,

i 2

così: 2

 

v v

h

2

= + −

i i

t ,

 

c g g g

 

= +

2 2 .

v v gh

c i

Consideriamo infine la circostanza in cui il corpo parte dalla superficie v ( t )

= ) con velocità iniziale diretta verso l’alto, allora dalle

terrestre ( x 0 v

i v i

relazioni (2.10) segue: t

= −

v v gt , c

i 1 O v t

= − 2 i

,

x v t gt

i g

2 - v i

quindi la velocità del corpo è inizialmente diretta verso l’alto e, al tempo:

v

= i

t M g

si annulla per poi successivamente invertirsi. Il corpo si muove verso l’alto x ( t )

al tempo :

raggiungendo la massima quota x t

M M 2

v i

2 g

2

  2

v v v

1 1 ,

= − = − =

2 i i i

x v t gt v g  

M i M M i g g g

2 2 2

 

dopo di che, con l’invertirsi del segno della velocità, il moto si esplica verso il

tale che:

basso. Al tempo t t

c v t

O i c

1 g

= − 2

0 ,

v t gt

i c c

2

il corpo raggiunge il suolo, dove:

2 v

= i

t .

c g

In particolare, al suolo, la velocità raggiunta vale;

2 v

= − = − = −

i

v v gt v g v ,

c i c i i

g

cioè la velocità con la quale il corpo arriva a terra è uguale in modulo a quella iniziale.

2-12 Cinematica

2.3 Moto curvilineo

JJJG

G ≡

Sia il vettore posizione del punto materiale al

r OP z

1 1 JJJG

G r

t t

tempo e il vettore posizione al tempo . Si

r OP v

r

1 2 2 2 m

P

D r 2

P

definisce velocità (vettoriale) media il rapporto: 1

r r

G G

G r

∆ − r

G r r r 1 2

≡ =

v ,

2 1

m ∆ −

t t t O

2 1 y

x

dove si è posto:

G G G

∆ ≡ −

r r r ,

2 1

∆ ≡ −

t t t ;

2 1 G G

r v

e il vettore velocità media risultano tra loro paralleli.

si osservi che il vettore spostamento m

Analogamente a quanto osservato nel caso del moto rettilineo, la velocità media non fornisce

un’indicazione completa circa il moto. Per tale motivo si introduce la velocità istantanea quale

limite del rapporto tra spostamento e intervallo in cui si esplica tale spostamento, quando tale

t vale:

intervallo è fatto tendere a zero. Così la velocità istantanea (vettoriale) al tempo 0

G G G

( ) ( )

+ ∆ −

r t t r t

G dr

( ) ≡ =

0 0 (2.12)

lim .

v t 0 ∆

t dt

∆ →

t 0 ≡

t t

0 r

r v

∆ v

a zero, il vettore

Al tendere dell’intervallo di tempo t m1

m2

r

G G

( ) ( )

+ ∆ − v

varia con continuità in modulo e

spostamento r t t r t m3

0 0

direzione sino a far coincidere, al limite, la sua direzione con

P

quella della retta tangente alla traiettoria nel punto occupato r r

v D r

t . Pertanto il vettore velocità è tangente

dal corpo al tempo 1

0

alla traiettoria. Utilizzando la relazione (2.3), la velocità (2.12) P

può esprimersi come:

G

G dr dx dy dz

= = + + = + +

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ , (2.13)

v x y z x v y v z v

x y z

dt dt dt dt

dove  dx

v ,

 x dt

 dy

v ,

 y dt

 dz

v ,

 z dt

 G . Pertanto il modulo della velocità vale:

sono le componenti del vettore v

Cinematica 2-13

= + +

2 2 2 .

v v v v

x y z

Attraverso l’uso dell’ascissa curvilinea è possibile esplicitare la direzione del vettore velocità,

infatti dalla definizione (2.12) e dalla relazione (2.4) segue:

G G

G dr dr ds ds

ˆ

= = = (2.14)

;

v t

dt ds dt dt z r

calcolando il modulo di ambo i membri di tale espressione si ha: v r

1 v

2

ds ds ds

ˆ ˆ

= = = ,

v t t r

dt dt dt a

r

a m

O

così la relazione (2.14) diventa: y

x

G ˆ

= ,

v t v G calcolata in un punto della traiettoria è un vettore tangente alla traiettoria nel

cioè la velocità v

punto considerato. G G G G

( ) ( )

≡ ≡

Analogamente al caso del moto rettilineo, se e rappresentano le velocità

v v t v v t

1 1 2 2

assunte dal punto materiale rispettivamente ai tempi e , si definisce accelerazione (vettoriale)

t t

1 2

media nell’intervallo di tempo , il rapporto:

t t

2 1

G G

G −

∆ v v

v

G ≡ = ,

a 2 1

m ∆ −

t t t

2 1

in cui: G G G

∆ ≡ − ,

v v v

2 1

∆ ≡ − .

t t t

2 1

Inoltre si definisce accelerazione (vettoriale) istantanea al tempo , il limite:

t 0

G G G

( ) ( )

+ ∆ −

v t t v t

G dv

( ) ≡ =

0 0 (2.15)

lim ;

a t 0 ∆

t dt

∆ →

t 0 ≡

t t

0

G della velocità come:

esprimendo il differenziale dv

G = + +

ˆ ˆ ˆ ,

dv x dv y dv z dv

x y z

l’accelerazione può essere scritta come:

G dv

dv dv

G dv y

= = + + = + +

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

x

a x y z x a y a z a ,

z x y z

dt dt dt dt

2-14 Cinematica

dove:  dv

≡ x

a ,

 x dt

 dv

 y

a ,

 y dt

 dv

a ,

z

 z dt

 G

sono le componenti del vettore . Utilizzando la definizione di velocità (2.12) è possibile esprimere

a

l’accelerazione attraverso il vettore posizione:

G G G

2

 

dv d dr d r

G = = = ,

a  

dt dt dt dt

 

per cui si ha:

 2

d x

a ,

 x 2

dt

 2

d y

≡ ,

a

 y 2

dt

 2

d z

≡ .

a

 z 2

dt

Le espressioni della velocità e dell’accelerazione possono essere invertite per determinare,

rispettivamente, la posizione e la velocità del corpo. Pertanto, dalla (2.12) risulta:

G G

=

dr v dt ;

dalle relazioni (2.3) e (2.13) questa identità vettoriale può esprimersi come:

+ + = + +

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

x dx y dy z dz x v dt y v dt z v dt ;

x y z

che corrisponde alle identità scalari:

=

dx v dt ,

x

=

dy v dt ,

y

=

dz v dt .

z

Tali espressioni possono essere integrate separatamente, ottenendo così:

Cinematica 2-15

 x t

∫ ∫

ξ ζ

=

d v d ,

 x

 x t

0 0

 y t

 ∫ ∫

ξ ζ

=

d v d ,

 y

 y t

0 0

 z t

 ∫ ∫

ξ ζ

=

d v d ,

 z

 z t

0 0

in cui: G ≡ + +

ˆ ˆ ˆ , (2.16)

r x x y y z z

0 0 0 0 t . Sviluppando le espressioni precedenti si ottiene,

rappresenta il vettore posizione all’istante 0

quindi:  t

∫ ζ

= +

 x x v d ,

0 x

 t 0

 t

 ∫ ζ

= +

y y v d ,

 0 y

 t 0

 t

 ∫ ζ

= +

z z v d ;

 0 z

 t 0

è possibile ricondurre queste tre relazioni scalari ad una relazione di tipo vettoriale, moltiplicando

, ŷ e ẑ e sommando, successivamente, membro

ciascuna relazione, rispettivamente, per i versori x̂

a membro: t t t

∫ ∫ ∫

ζ ζ ζ

+ + = + + + + +

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ;

x x y y z z x x y y z z x v d y v d z v d

0 0 0 x y z

t t t

0 0 0

d’altra parte, siccome i versori sono indipendenti dal tempo, possono essere portati sotto il segno di

integrale e, applicando l’additività di tale operatore, dalle relazioni (2.2), (2.13) e (2.16) segue

infine: t t

G G G G

( )

∫ ∫

ζ ζ

= + + + = +

ˆ ˆ ˆ . (2.17)

r r x v y v z v d r v d

0 0

x y z

t t

0 0

Si osservi che tale risultato corrisponde, formalmente, alla relazione (2.8) ricavata nel caso

unidimensionale. G

Esempio: (moto uniforme) Se la velocità del punto materiale è indipendente dal tempo e pari a , dalla (2.17) segue:

v

0

t t

G G G G G G G ( )

∫ ∫

ζ ζ

= + = + = + −

r r v d r v d r v t t

0 0 0 0 0 0 0

t t

0 0


PAGINE

24

PESO

271.30 KB

AUTORE

Teemo92

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Esame: Fisica
Corso di laurea: Corso di laurea in fisica
SSD:
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teemo92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Salento - Unisalento o del prof Panareo Marco.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Fisica

Dispensa di Fisica - Onde elettromagnetiche
Dispensa
Dispensa di Fisica - Lavoro ed energia
Dispensa
Dispensa di Fisica - Il campo magnetico statico
Dispensa
Dispensa di Fisica - Dinamica del corpo rigido
Dispensa