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si ha p = a a , p = a a a , p = a a a a , e per il numero p si usa il simbolo

1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 n

n

Y

p = a ,

n k

k=0

ove nuovamente k è una variabile muta. Si noti che, in particolare,

n

Y +

∀n ∈

n! = k .

N

k=1

(4) Sia q un numero reale. La somma n

X

2 3 n k

1 + q + q + q + ... + q = q

k=0 k

si dice progressione geometrica di ragione q. Naturalmente, q significa 1 se k = 0,

mentre se k > 0 denota il prodotto di k fattori uguali a q; nel caso speciale k = 0 e

k

q = 0 il simbolo q deve intendersi come 1.

Proviamo che si ha (

n n + 1 se q = 1

X k ∀n ∈

q = N,

n+1

1−q 6

se q = 1

k=0 1−q 6

Se q = 1, la dimostrazione è banale e si lascia per esercizio. Supposto q = 1, indichiamo

con p(n) l’enunciato seguente: n n+1

1 q

X k ”.

p(n) = “vale l’uguaglianza q = −

1 q

k=0

Allora p(0) è vera in quanto 0 1

1 q

X k 0

q = q = 1 = ;

1 q

k=0 ∈

Supponiamo adesso che p(n) sia vera per un dato n e proviamo a dedurre p(n + 1)

N,

(il che, di per sé, non significherà che p(n) e p(n + 1) siano vere per davvero!). Si può

scrivere, isolando l’ultimo addendo,

n+1 n

X X

k k n+1

q = q + q ,

k=0 k=0

e poiché stiamo supponendo vera p(n), otteniamo

n+1 n+1 n+1 n+1 n+2

− − − −

1 q 1 q + (1 q)q 1 q

X k n+1

q = + q = = ,

− − −

1 q 1 q 1 q

k=0 19 ∈

che è proprio p(n + 1). Abbiamo cosı̀ provato che p(n) implica p(n + 1) per ogni n N.

Poiché p(0) è vera, dal principio di induzione segue che p(n) è vera per ogni n N.

(5) Proviamo la disuguaglianza n ≤ ∀n ∈

2 (n + 1)! N.

n 0

Posto p(n) =“2 (n + 1)!”, vediamo che p(0) è vera in quanto 2 = 1 è effettivamente

non superiore a 1! = 1. Supposto ora che p(n) sia vera, si può scrivere

n+1 n

· ≤ ·

2 = 2 2 2 (n + 1)! ;

≤ ∈

da qui ricaviamo, essendo ovviamente 2 n + 2 per ogni n N,

n+1 ≤

2 (n + 2)(n + 1)! = (n + 2)! ,

il che mostra che vale p(n + 1). Abbiamo cosı̀ provato che p(n) implica p(n + 1) per

ogni n essendo anche p(0) vera, per il principio di induzione p(n) è vera per ogni

N:

n N.

(6) Proviamo la disuguaglianza

2 n

≤ ∀n ∈ ≥

n 2 n 4.

N,

2 n

Posto p(n) =“n 2 ”, osserviamo che p(0), p(1) e p(2) sono vere mentre p(3) è falsa;

∈ ≥

inoltre p(4) è vera. Proviamo adesso che p(n) =⇒ p(n + 1) per ogni n con n 4:

N

usando l’ipotesi induttiva, si ha

n+1 n 2 2 2

· ≥

2 = 2 2 2n > n + 2n + 1 = (n + 1) ;

2 2

−2n+1

la seconda disuguaglianza è vera in quanto equivale a n > 2, ossia a (n−1) > 2,

e quest’ultima è verificata addirittura per ogni n 3. Poiché p(4) è vera e p(n) implica

p(n + 1) per ogni n 4, per il principio di induzione (applicato, per essere precisi, non

a p(n) ma a q(n) = p(n + 4)) segue che p(n) è vera per ogni n 4.

Proprietà di N, Z, Q

Anzitutto definiamo rigorosamente gli insiemi e

Z Q. ∪ {−n ∈

Definizione 1.6.5 L’insieme dei numeri interi è : n l’insieme dei

Z N N};

m + +

∈ ∈ } \ {0}).

{ : m n (ricordiamo che =

numeri razionali è Z, N N N

Q n

Dalla definizione di seguono abbastanza facilmente alcune sue proprietà.

N

Proposizione 1.6.6 è illimitato superiormente.

N

Dimostrazione Supponiamo per assurdo che sia limitato superiormente: in tal caso

N

L = sup è un numero reale, che per la proposizione 1.5.10 verifica

N

≥ ∈

(a) L n per ogni n N, 20

∈]0, ∈ − ≤

(b) per ogni ε 1[ esiste ν tale che L ε < ν L.

N

Avendo scelto ε < 1, da (b) segue che il numero naturale ν + 1 verifica

L < ν + ε < ν + 1,

il che contraddice (a). Dunque L = +∞.

Di conseguenza, e sono illimitati sia superiormente che inferiormente.

Z Q

Proposizione 1.6.7 (proprietà di Archimede) Per ogni coppia a, b di numeri reali

positivi esiste n tale che na > b.

N b non è un maggiorante di quindi

Dimostrazione Poiché sup = +∞, il numero N;

N a

b

esiste n per cui risulta n > . Moltiplicando per a, che è positivo, ne segue la tesi.

N a

Una conseguenza della proprietà di Archimede è la densità dei razionali in cioè il

R,

fatto che in ogni intervallo ]a, b[⊆ cade almeno un numero razionale (e quindi infiniti:

R

vedere l’esercizio 1.6.4). Si ha infatti: ∈

Corollario 1.6.8 Per ogni coppia a, b di numeri reali con a < b, esiste r tale che

Q

a < r < b.

Dimostrazione Supponiamo dapprima a 0. Per la proprietà di Archimede, esiste

∈ −

n tale che n(b a) > 1, ossia

N 1 −

< b a.

n

Consideriamo ora l’insieme m

n o

∈ ≤

A = m : a ;

N n

·

esso è ovviamente limitato superiormente (n a ne è un maggiorante) e non vuoto

∈ ∈]0,

(0 A). Posto L = sup A, e fissato ε 1[, dalla proposizione 1.5.10 segue che esiste

∈ − ≤ ≤ ∈

µ A tale che L ε < µ L, ossia µ L < µ + ε < µ + 1; pertanto µ A mentre

µ +1 / A (essendo µ + 1 > sup A). Si ha allora

µ µ +1 µ 1

≤ −

a< = + < a + (b a) = b.

n n n n

µ+1

Il numero razionale r = soddisfa dunque la tesi.

n ≤

Supponiamo ora a < 0. Se b > 0, si ha la tesi scegliendo r = 0. Se invece b 0, per

−b −a,

quanto già provato esiste un razionale r tale che < r < e dunque il numero

−r

razionale appartiene ad ]a, b[. La tesi è provata.

Osservazione 1.6.9 Non è difficile dimostrare che il numero L della dimostrazione

precedente è in realtà un massimo. Si dimostra anzi che ogni sottoinsieme limitato di

ha massimo (esercizio 1.6.2).

N 21

Vi è un risultato di densità più fine, che è il seguente:

Teorema 1.6.10 Sia α un numero reale. L’insieme

{kα ∈

E = + h : k, h Z}

è denso in se e solo se α è irrazionale.

R m

Dimostrazione Se α α = , allora

Q, n

km + hn p

n o

∈ ∈

E = : k, h = : p

Z Z

n n

1 : pertanto E non può essere denso in

e quindi i punti di E distano fra loro almeno R.

n

∈ \

Supponiamo invece α proveremo la densità di E in mostrando che per ogni

R Q: R

∈ ∈

x e per ogni ε > 0 esistono k, h tali che

R Z

x ε < kα + h < x + ε.

È chiaramente sufficiente provare la tesi per α > 0. Sia dunque ε > 0 e cominciamo con

il caso x = 0. Fissiamo N e poniamo

N {kα ∈ ∩

E = + h : k, h [−N, N ]}.

Z

N

Poiché α è irrazionale, gli elementi di E sono tutti distinti e sono esattamente in

N

2

numero di (2N + 1) . Inoltre ⊆

E [−N (1 + α), N (1 + α)].

N i

h 4N (1+α)

≤ ≤ + 1, gli intervalli chiusi adiacenti

Consideriamo adesso, per 1 m ε ε ε

h i

−N − −N

I = (1 + α) + (m 1) , (1 + α) + m ,

m 2 2

la cui unione ricopre l’intervallo [−N (1 + α), N (1 + α)], e quindi E . Scegliamo N

N

sufficientemente grande, in modo che

4N (1 + α) 2

+ 1 < (2N + 1) :

ε

ciò è certamente possibile, risolvendo la disequazione più forte

4N (1 + α)

2

(2N + 1) > + 1,

ε

o quella ancora più forte, ma più facile, 2(1 + α)

2

(2N + 1) > (2N + 1) + (2N + 1).

ε

22

Allora, necessariamente, almeno uno fra gli intervalli I dovrà contenere due diversi

m

elementi di E (questo è il cosiddetto principio dei cassetti: se mettiamo p oggetti in

N

q cassetti vuoti, e se p > q, allora esiste almeno un cassetto che contiene più di un

oggetto). Quindi esistono quattro interi p , p , q , q , non superiori a N in valore

1 2 1 2

assoluto, tali che ∈

p α + q , p α + q I

1 1 2 2 m

per un opportuno m. In particolare, poiché I ha ampiezza minore di ε,

m

−ε − −

< (p p )α + (q q ) < ε,

1 2 1 2

e ciò prova la tesi nel caso x = 0. ∈

Sia ora x > 0: per quanto già provato, esistono m, n tali che

Z

−ε < mα + n < ε,

−m, −n

e rimpiazzando eventualmente m, n con possiamo supporre che

0 < mα + n < ε.

Adesso scegliamo p tale che

N ≤

p(mα + n) x < (p + 1)(mα + n)

x

). Si ha allora

(sarà quindi p = mα+n

− − ≤

x ε < x (mα + n) < p(mα + n) x < x + ε

e quindi abbiamo la tesi con k = mp, h = np.

Esercizi 1.6

1. Dimostrare, sulla base della definizione di i seguenti enunciati:

N,

(i) Non esiste alcun numero naturale minore di 0.

∈ ∈

(ii) Se p, q allora p + q, pq

N, N.

+

∈ − ∈

(iii) Se p , allora p 1

N N.

∈ − ∈

(iv) Se p, q e p > q, allora p q

N N.

+

∈ − ∈

(v) Se p, q e p > q, allora p q .

N N

{p ∈ ∈ {p ∈

[Traccia: per (ii), mostrare che S = : p + q e P = : pq

N N} N}

{0} ∪ {p ∈ − ∈

sono insiemi induttivi; per (iii), mostrare che T = : p 1

N N}

{p ∈ − ∈ ∀q ∈ ∩ }

è induttivo; per (iv), mostrare che A = : p q [0, p[ è

N N N

induttivo; infine (v) segue da (iv).]

2. Si provi che ogni sottoinsieme limitato di ha massimo.

N

3. Dati a, b con a < b, trovare un numero irrazionale c tale che a < c < b.

R 23

4. Siano a, b con a < b. Provare che esistono infiniti numeri razionali compresi

R

fra a e b. ∈

5. Un numero intero k si dice pari se esiste m tale che k = 2m, si dice dispari se

Z

k + 1 è pari. Dimostrare che:

(i) nessun intero è simultaneamente pari e dispari;

(ii) ogni numero intero è o pari, o dispari;

(iii) la somma e il prodotto di numeri pari sono numeri pari;

(iv) la somma di due numeri dispari è pari mentre il prodotto è dispari.

6. Dimostrare le uguaglianze ∞

1

1 [

\ − ,b , ]a, b] = a + ,b .

[a, b] = a n n

n=1

n=1

∈ ≥

7. Sia b b 2. Provare che l’insieme delle “frazioni in base b”, ossia

N, m

n o

+

∈ ∈

: m n ,

Z, N

n

b

è denso in R.

8. Quanti sono i sottoinsiemi distinti di un fissato insieme di n elementi?

+ n n

∈ · ≤

9. Per quali n risulta 2 n! n ?

N

10. Si consideri la seguente forma modificata del principio di induzione:

{n ∈

“Sia A = : p(n)}. Supponiamo che valgano i seguenti fatti:

N

(a) p(0) è vera, ∈ ≤

(b) se vale p(k) per ogni k con k n, allora vale p(n + 1).

N

Allora p(n) è vera per ogni n ossia A =

N, N”.

(i) Si provi che questo enunciato implica il principio di induzione.

(ii) Si provi che questo enunciato è implicato dal principio di induzione.

[Traccia: Per (ii), si applichi il principio di induzione all’affermazione q(n) definita

∈ ≤

da q(n) =“p(k) per ogni k con k n”.]

N ⊆

11. Si provi che ogni insieme non vuoto E ha minimo.

N ∈

[Traccia: se cosı̀ non fosse, posto p(n) =“n / E”, si applichi a p(n) il principio

di induzione nella forma dell’esercizio 1.6.10.]

+

12. Si dimostri che ogni n è scomponibile in fattori primi.

N

[Traccia: Utilizzare il principio di induzione nella forma dell’esercizio 1.6.10.]

24

13. Provare che:

n n(n+1) +

P ∈

per ogni n ;

(i) k = N

k=1 2

n 2 +

P − ∈

(ii) (2k 1) = n per ogni n ;

N

k=1

n n(n+1)(2n+1)

2 +

P ∈

(iii) k = per ogni n ;

N

k=1 6

2 2

n n (n+1)

3 +

P ∈

(iv) k = per ogni n .

N

k=1 4

14. Siano a, b, c, d reali positivi. Provare che

b a + b a b

a ≤ ≤

, max , .

min c d c + d c d

15. Stabilire se sono vere o false le seguenti affermazioni:

(i) la somma di due irrazionali è irrazionale;

(ii) il prodotto di due irrazionali è irrazionale;

(iii) la somma di un razionale e di un irrazionale è irrazionale;

(iv) il prodotto di un razionale e di un irrazionale è irrazionale.

n n +

∈ ∈

16. Siano a, b Provare che se 0 < a < b allora 0 < a < b per ogni n .

R. N

17. Provare che: 1 2 ∈ ≤ ≤

≤ − ≤ (n + 1) per ogni k con 1 k n;

(i) n k(n + 1 k) N

4

nk=1 +

2 Q − ∈

k(n + 1 k) per ogni n ;

(ii) (n!) = N

2n

n+1

n 2 +

≤ ≤ ∈

(iii) n (n!) per ogni n .

N

2 {â }

18. Siano a , . . . , a , b , . . . , b numeri reali. Denotiamo con il riordinamento

1 n 1 n k

{ă } {a },

crescente e con il riordinamento decrescente della sequenza e similmente

k k

{b }.

per Si provino le disuguaglianze seguenti:

k

nk=1 nk=1 nk=1

P P P

≤ ≤

(i) ă b̂ a b â b̂ ,

k k k k k k

nk=1 nk=1 nk=1 nk=1

1

P P P P

≤ ≤

(ii) ă b̂ ( a ) ( b ) â b̂ .

k k k k k k

n {b }

[Traccia: si può supporre che sia già riordinata in modo crescente. Con-

k

sideriamo le due disuguaglianze di destra: per (i), si verifichi che se i < j e

a > a , allora risulta a b + a b < a b + a b ; per (ii), si decomponga la quantità

i j i i j j j i i j

n

P − −

(â â )(

b̂ b̂ ) e si noti che essa è non negativa. Le disuguaglianze di

k h k h

k,h=1 {a } {−b }.]

sinistra si ottengono applicando quelle di destra a e a

k k

25

1.7 La formula del binomio nk

∈ ≥

Per ogni n, k con n k definiamo i coefficienti binomiali (si legge “n su k”)

N

nel modo seguente:

n n!

= .

k k!(n k)!

nk

Si noti che = 1 quando k = n e quando k = 0; negli altri casi si ha

− · · · · · −

n n(n 1) (n k + 1)

= ,

k k!

e questa espressione si presterà ad ulteriori generalizzazioni nel seguito del corso. Dalla

definizione seguono subito queste proprietà:

n

n

• (simmetria) = ,

k n k

n n n +1

• (legge del triangolo di Tartaglia) + = .

k 1 k k

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

·······························································

Il triangolo di Tartaglia, qui sopra riprodotto, ha tutti 1 sui lati obliqui ed ogni suo

elemento all’interno è la somma dei due elementi ad esso soprastanti. Gli elementi del

n

triangolo sono appunto i coefficienti binomiali: si trova al posto k-simo nella riga

k

n-sima (cominciando sempre a contare da 0).

La denominazione “coefficiente binomiale” nasce dal fatto che questi numeri saltano

n

fuori come coefficienti nella formula di Newton che dà lo sviluppo del binomio (a + b) ,

∈ \ {0} ∈

formula che adesso dimostreremo. Ricordiamo preliminarmente che se x e n

R

n

la potenza x , il cui significato è comunque ovvio, andrebbe definita rigorosamente

N,

nel seguente modo: 0

x =1

n+1 n

· ∀n ∈

x = x x N;

n + 0

se invece x = 0, si pone 0 = 0 per ogni n , mentre 0 non si definisce. Ciò posto,

N

si ha: 26

+

∈ \ {0} ∈

Teorema 1.7.1 Se a, b e n , si ha

R N

n

n

X

n k n−k

(a + b) = a b .

k

k=0

Dimostrazione Utilizziamo il principio di induzione. Se n = 1 la formula è vera

perché

1 1

0 1 1 0

a + b = a b + a b = b + a.

0 1

Supponiamo vera la formula per un binomio di grado n e proviamola per un binomio

di grado n + 1. Si ha

n+1 n

(a + b) = (a + b)(a + b) = (per ipotesi induttiva)

n n n

n n n

X X X

k n−k k+1 n−k k n+1−k

·

= (a + b) a b = a b + a b =

k k k

k=0 k=0 k=0

(ponendo h = k + 1 nella prima somma e h = k nella seconda)

n+1 n

n n

X X

h n+1−h h n+1−h

= a b + a b =

h 1 h

h=1 h=0

(isolando l’ultimo addendo nella prima somma e il primo addendo nella seconda)

n n

n n n n

X X

n+1 0 0 n+1 h n+1−h h n+1−h

= a b + a b + a b + a b =

n 0 h 1 h

h=1 h=1

n

n n

X h n+1−h

n+1 n+1 + a b =

= a + b + −

h 1 h

h=1

(per la legge del triangolo di Tartaglia)

n n+1

n + 1 n + 1

X X

n+1 n+1 h n+1−h h n+1−h

= a + b + a b = a b .

h h

h=1 h=0 +

Per il principio di induzione la formula è vera per ogni n .

N ∈

Osservazioni 1.7.2 (1) La formula del binomio vale più in generale per a, b e

R

0

n se in tale formula si conviene di interpretare il simbolo 0 come 1.

N, +

−1, ∈

(2) Scelti a = b = 1, n si ottiene

N n

n

X

n k n−k

0 = (−1 + 1) = (−1) 1 ,

k

k=0

cioè n

n

X k +

∀n ∈

(−1) =0 .

N

k

k=0 27

(3) Scelti a = 1, b = 1, n si ottiene

N n

n

X n ∀n ∈

= 2 N.

k

k=0 n

Questa uguaglianza ha una interpretazione combinatoria: 2 è il numero di sottoinsiemi

nk

distinti di un fissato insieme con n elementi (esercizio 1.6.8), mentre è il numero di

sottoinsiemi distinti aventi k elementi di un insieme con n elementi (esercizio 1.7.3). Si

tratta dunque di contare tutti i sottoinsiemi raggruppandoli per numero di elementi.

nk

(4) Un altro modo di enunciare la proprietà dell’esercizio 1.7.3 è il seguente: è il

numero di modi in cui si possono sistemare k palline indistinguibili in n scatole distinte,

una per scatola: infatti ogni distribuzione di palline individua un sottoinsieme di k

scatole (sulle n complessive). In termini probabilistici si può anche dire: data un’urna

contenente k palline bianche e n k palline nere, la probabilità dell’evento che consiste

nell’estrarre le k palline bianche nelle prime k estrazioni (intesa come rapporto tra gli

esiti favorevoli e gli esiti possibili) è pari a 1 .

n

k −1

Infatti, nella prima estrazione ci sono k esiti favorevoli su n possibili, nella seconda k

su n−1, e cosı̀ via, finché nella k-sima si ha un solo esito favorevole su n−k +1 possibili:

dunque la probabilità che l’evento considerato si verifichi è

k 1 1 1

k · · ··· · = .

n

− −

n n 1 n k +1 k

Ad esempio la probabilità di fare 6 al Superenalotto è

1

1 ≈

= 0.000000016

90

622.614.630

6

(qui le “palline bianche” sono i 6 numeri prescelti e il simbolo “≈” significa “circa uguale

a”).

(5) Dalla formula del binomio segue subito la seguente disuguaglianza di Bernoulli:

n ≥ ∀x ≥ ∀n ∈

(1 + x) 1 + nx 0, N n

(basta osservare che tutti gli addendi nello sviluppo del binomio (1 + x) sono non

negativi); una versione più generale di questa disuguaglianza è enunciata nell’esercizio

1.7.6. Si può anche osservare che risulta −

n(n 1)

n 2

≥ ∀x ≥ ∀n ∈

(1 + x) 1 + nx + x 0, N.

2

28 ≥

Esempio 1.7.3 Sia A un insieme di k elementi e sia B un insieme di n elementi (k, n

1). Mentre è facile, come ora vedremo, determinare il numero delle applicazioni iniettive

da A in B, il calcolo del numero delle applicazioni surgettive da A in B appare un po’

più intricato, seppur sempre elementare.

Cominciamo con il caso delle applicazioni iniettive da A in B. È chiaro che se k < n

non ce n’è neanche una. Se k n, e denotiamo con x , . . . , x gli elementi di A,

1 k −

possiamo scegliere in n modi il valore f (x ); fatto ciò, possiamo scegliere in n 1 modi

1

il valore f (x ), in n 2 modi il valore f (x ), eccetera, finché per il valore di f (x )

2 3 k

avremo a disposizione n k + 1 scelte. Il totale delle applicazioni iniettive è dunque

− · · −

di n(n 1) . . . (n k + 1). Si noti che in particolare quando k = n il numero delle

applicazioni iniettive (dunque bigettive) da A in B è n!.

Calcoliamo adesso il numero S delle applicazioni surgettive da A in B: sarà necessario

k,n

un procedimento alquanto più complicato. Ovviamente

∀k

S = 0 < n, S = n!;

k,n n,n

vogliamo calcolare S per k > n 1. Naturalmente

k,n ∀k

S = 1 > 1.

k,1 k ∈ {1,

Il numero di tutte le applicazioni da A in B è n , in quanto per ogni j . . . , k}

abbiamo n scelte per fissare il valore f (x ): possiamo allora arrivare a un calcolo indut-

j

tivo di S nel modo seguente.

k,n k →

Raggruppiamo le n applicazioni f : A B secondo il numero di elementi dell’imma-

≤ ≤

gine f (A), che indichiamo con j (1 j n). Tutte le funzioni f tali che f (A) ha j

elementi si distinguono, a loro volta, cosı̀: fissato un insieme di j elementi contenuto in

B, vi sono (per definizione) S funzioni che hanno tale insieme come immagine; dato

k,j nj

che i sottoinsiemi di B con j elementi sono , il totale delle funzioni f : A B la cui

nj

immagine ha j elementi è dato da S . Sommando rispetto a j otteniamo

k,j

n

n

X

k ∀k ≥

n = S > n 1.

k,j

j

j=1

Questa relazione, risolta rispetto a S , dà la caratterizzazione induttiva cercata:

k,n

 ∀k ≥

S = 1 1,

k,1

 n−1

n

X

k ∀n ∀k ≥

− S > 1, n.

S = n

 k,n k,j

 j

 j=1

Ma si può trovare anche una formula esplicita per S . A questo scopo è essenziale il

k,n

seguente lemma.

Lemma 1.7.4 Siano a , . . . , a numeri reali o complessi. Posto

1 N

n

n

X j ≤ ≤

b = (−1) a , 1 n N,

n j

j

j=1 29

risulta n

n

X p ≤ ≤

a = (−1) b , 1 n N.

n p

p

p=1 →

In altre parole, l’applicazione (a , . . . , a ) (b , . . . , b ) sopra definita è l’inversa di se

1 N 1 N

stessa. ≤ ≤

Dimostrazione Per 1 n N si ha p

n n

p

n n X

X X j

p p (−1) a =

(−1) b = (−1) j

p j

p p

p=1 p=1 j=1

p

n

n p

X X p+j

= (−1) a .

j

p j

p=1 j=1

Adesso notiamo che risulta, come è facile verificare direttamente,

n p n n j

= ;

p j j p j ≤ ≤ ≤

inoltre la doppia somma si riferisce alle coppie di interi (p, j) tali che 1 j p n, e

n n

P P . Dunque

quindi essa può riscriversi come j=1 p=j

n n n

n n n j

X X X

p p+j

(−1) b = (−1) a =

p j

p j p j

p=1 j=1 p=j

" #

n n −

n j

X X p j

= (−1) (−1) a =

j

p j

j=1 p=j

n−j

" #

n −

n j

X X q 2j

= (−1) (−1) a .

j

q

q=0

j=1

2j

Ora si osservi che, ovviamente, (−1) = 1 per ogni j; inoltre, per la formula di Newton,

n−j ( 1 se n = j,

n j

X q

(−1) =

q n−j

(−1 + 1) = 0 se n > j;

q=0

e dunque nella somma esterna sopravvive solo l’addendo con j = n. Pertanto, come

richiesto, n

n

X p

(−1) b = a .

p n

p

p=1

A questo punto applichiamo il lemma scegliendo N = k e

k n

b = n , a = (−1) S n = 1, . . . , k.

n n k,n

30

L’ipotesi del lemma vale, in quanto, come sappiamo,

n n

n n

X X

k j

b = n = S = (−1) a ;

n k,j j

j j

j=1 j=1

dunque vale la tesi, che ci dà n n

n n

X X

n p p k

(−1) S = a = (−1) b = (−1) p .

k,n n p

p p

p=1 p=1

Ne segue infine la formula cercata:

n

n

X n−p k ∀k ≥

S = (−1) p > n 1.

k,n p

p=1

Si noti che, in particolare, per k = n le applicazioni surgettive da A in B sono tutte e

sole le applicazioni iniettive: dunque si ha

n

n

X n−p n ∀k ≥

n! = S = (−1) p > n 1.

n,n p

p=1

(si vedano anche gli esercizi 1.7.10, 1.7.11 e 1.7.12).

Algoritmo della radice quadrata

Vogliamo giustificare rigorosamente il metodo di calcolo approssimato della radice qua-

drata di un numero razionale dato, che viene di solito esposto in modo meccanico agli

studenti della scuola media inferiore. Il problema è il seguente: dato y 0, si vuol

trovare un numero x 0 il cui quadrato approssimi y per difetto; si richiede cioè che

2 2 2 2

sia x y < (x + 1) . Poiché (x + 1) = x + 2x + 1, si cerca equivalentemente x tale

2 ≤

che x + r = y, con 0 r < 2x + 1.

Per affrontare questa questione, scriviamo y in base 100:

k

X k−h k−1

y = b 100 = 100 b + . . . + 100b + b ,

h 1 k−1 k

h=1

≤ ≤

ove 0 b 99 per h = 1, . . . , k. Scriviamo invece il numero incognito x in base 10:

h k

X k−h k−1

x = c 10 = 10 c + . . . + 10c + c ,

h 1 k−1 k

h=1

≤ ≤

con 0 c 9 per h = 1, . . . , k.

h ≤ ≤

Lemma 1.7.5 Posto, per 1 p k, 2

2

p p−1 p−1

# " #

" # " X X

X p−h p−h p−h

− c ,

s = c 10 c 10 = 2 c 10 + c

p h h h p p

h=1 h=1 h=1

31 2

p p

" #

X X

p−h p−h

r = b 100 c 10 ,

p h h

h=1 h=1

risulta ( −

r = b s

1 1 1 − ∀p ∈ {2,

r = 100r + b s . . . , k}.

p p−1 p p

Dimostrazione Verifica diretta per induzione, noiosa ma facile.

Andiamo a costruire gli interi c passo a passo. Scegliamo c imponendo che

h 1

21 2

c b < (c + 1) ,

1 1 21 −

≤ ≤ e r = b s , la

il che determina c univocamente, con 0 c 9. Essendo s = c 1 1 1

1 1 1

condizione si riscrive come ≤

0 r < 2c + 1.

1 1

∈ {2,

Per ogni p . . . , k}, supposti noti c , . . . , c scegliamo c imponendo che

1 p−1 p 2

2

p p

p #

" # "

X X

X

p−h p−h

p−h

c 10 c 10 + 1 ,

b 100 <

h h

h

h=1 h=1

h=1 ≤ ≤

il che determina c univocamente, con 0 c 9. Sottraendo il primo membro dagli

p p

altri due, la condizione si può riscrivere nel modo seguente, per definizione di r e di s :

p p

2

p p

" #

X X

p−h p−h

≤ −

0 r = b 100 c 10 <

p h h

h=1 h=1

2 2

p

p p

# " #

" X

X X

p−h

p−h p−h

− c 10

c 10 +1 =1+2 c 10 ,

< h

h h

h=1

h=1 h=1

ovvero p

X p−h

≤ −

0 r = 100r + b s < 2 c 10 + 1.

p p−1 p p h

h=1

In particolare, per p = k, la condizione che determina c è

k

2 2

" # " #

k k k

X X X

2 k−h k−h k−h 2

c 10 y = b 100 < c 10 + 1

x = = (x + 1) ;

h h h

h=1 h=1 h=1

essa si riscrive, ponendo r = r , come

k k

X k−h

0 r< 2 c 10 + 1 = 2x + 1.

h

h=1

Il numero r risolve il nostro problema, dato che

2 2

" # " #

k k k

X X X

2 k−h k−h k−h

x + r = c 10 + b 100 c 10 = y.

h h h

h=1 h=1 h=1

32

Osservazione 1.7.6 Se si vuole un’approssimazione fino alla m-sima cifra decimale,

basterà considerare gli sviluppi di y in base 100 e di x in base 10 arrivando a h = k + m

anziché a h = k, il che corrisponde a considerare gli sviluppi fino alla m-sima cifra “dopo

la virgola” per x e y nelle rispettive basi. ·

Esempi 1.7.7 (1) Sia y = 4810: quindi y = 100 48 + 10. Cerchiamo x della forma

2 2

10c + c . La condizione per c dà c = 6 (perché 7 = 49 > 48 > 36 = 6 ). Dunque

1 2 1 1

s = 36 e r = 48 36 = 12. Ne segue 100r + b = 1210. Adesso si determina c

1 1 1 2 2

in modo che s = (20c + c )c < 10r + b , ossia (120 + c )c < 1210: dato che si

2 1 2 2 1 2 2 2

· ·

trova (120 + 9) 9 = 129 9 = 1161 < 1210, deve essere c = 9, da cui s = 1161 e

2 2

− −

r = r = 100r + b s = 1210 1161 = 49. Qui si termina. In definitiva si ha x = 69,

2 1 2 2

2 2

ed infatti risulta x + r = 69 + 49 = 4810 = y. Possiamo tradurre l’intero algoritmo

nello schema seguente: c c

1 2

↓ ↓

√ ·

100 48 + 10 = 48 10 6 9

s = 36 c = 6

1 1

s = (120 + c )c

2 2 2

·

129 9 = 1161 = s < 1210, c = 9

r = 12; 100r + b = 12 10 2 2

1 1 2

s = 11 61

2

r = 49

2 2

(2) Sia y = 33333 = 3·100 +33·100+33. Cerchiamo di conseguenza x = 10 c +10c +c .

1 2 3

Lo schema è: c c c

1 2 3

↓ ↓ ↓

√ 2 · ·

100 3 + 100 33 + 33 = 3 33 33 1 8 2

s = 1 c = 1

1 1

s = (20 + c )c

2 2 2

·

r = 2, 100r + b = 2 33 28 8 = 224 = s < 233, c = 8

2 2

1 1 2

s = 2 24

2 s = (360 + c )c

3 3 3

·

r = 9, 100r + b = 9 33 362 2 = 724 = s < 933, c = 2

2 2 3 3 3

s = 7 24

3

r = 2 09 2 2

In conclusione si ha x = 182 ed infatti x + r = 182 + 209 = 33333 = y.

−1

2

· · ·

(3) Sia y = 39472.11 = 3 100 = 94 100 + 72 + 11 100 . Cerchiamo

−1

2

· · ·

x = c 10 + c 10 + c + c 10 .

1 2 3 4

Lo schema è 33

c c c c

1 2 3 4

↓ ↓ ↓ ↓

√ 3 94 72. 11 1 9 8. 6

s = 1 c = 1

1 1 · ⇒

r = 2, 100r + b = 2 94 29 9 = 261 = s < 294 c = 9

1 1 2 2 2

s = 2 61

2 · ⇒

r = 33, 100r + b = 33 72 388 8 = 3104 = s < 3372 c = 8

2 2 3 3 3

s = 31 04

3 · ⇒

r = 31, 100r + b = 2 68. 11 3966 6 = 23796 = s < 26811 c = 6

3 3 4 4 4

s = 2 37. 96

4

r = 30. 15 2 2

In conclusione si ha x = 198.6 ed infatti x + r = (198.6) + 30.15 = 39472.11 = y.

Esercizi 1.7

1. Provare che:

nk n−1

· · ∈ ≥ ≥

(i) k = n per ogni n, k con n k 1;

N

k−1

n n n−1 +

P · · ∈

k

(ii) = n 2 per ogni n ;

N

k=1 k

n n

2 n−2 +

P · · ∈

k

(iii) = n(n + 1) 2 per ogni n ;

N

k=1 k

n m n+1

P ∈ ≥

(iv) = per ogni n, k con n k.

N

m=k k k+1

+

2. Per n si dimostri la relazione

N n

n

X k n−k n−1

· − ∀t ∈

k t (1 t) = nt(1 + t ) R.

k

k=1 n

3. Provare che un insieme di n elementi ha sottoinsiemi distinti con k elementi

k

≤ ≤

(0 k n).

4. Calcolare la probabilità di fare un terno al lotto.

5. Calcolare la probabilità di fare 5 + 1 al Superenalotto.

6. (Disuguaglianza di Bernoulli) Provare che risulta

n +

≥ ∀x ≥ −1, ∀n ∈

(1 + x) 1 + nx .

N

7. Provare che x n

o

n +

∈ ∀x ≥

− : n =1 0.

sup 1 N

2

n

[Traccia: utilizzare la disuguaglianza di Bernoulli.]

34

8. Si generalizzi la formula del binomio al caso di tre addendi.

+

9. Dimostrare per n le seguenti formule:

N

n k n k h

n k n k h

X X X X X

n n

(i) =3 , (ii) = 4 ,

k h k h i

i=0

k=0 h=0 k=0 h=0 n

e trovare una formula analoga che dia come risultato p , ove p è un fissato numero

naturale.

10. Si provi che la formula che fornisce il numero delle applicazioni surgettive S

k,n

vale anche quando 0 k < n, allorché S = 0: in altre parole si mostri, per

k,n

induzione, che n

n

X n−p k ≤

(−1) p = 0 per 0 k < n.

p

p=1

11. Si provi che n

n n

X +

n−p n+1 ∀n ∈

S = (−1) p = (n + 1)! .

N

n+1,n 2

p

p=1

12. Si provi la formula ricorsiva +

∀k, ∈

S = n [S + S ] n .

N

k,n k−1,n k−1,n−1

13. Si mostri che n

n

X n−h n ∀n ∈

n! = (−1) (h + 1) N.

h

h=0

14. Determinare la radice quadrata approssimata per difetto dei seguenti numeri:

1200, 35.99, 123456.789, 0.000678.

1.8 Radici n-sime

Proviamo adesso un’altra conseguenza dell’assioma di continuità, vale a dire l’esistenza

della radice n-sima di qualunque numero reale non negativo.

+

∈ ≥

Teorema 1.8.1 Sia n . Per ogni numero reale a 0 esiste un unico numero reale

N √

n

r 0 tale che r = a; tale numero si chiama radice n-sima di a, e si scrive r = a

n

1

oppure r = a .

n ≥

Dimostrazione Supporremo n 2, dato che per n = 1 la tesi è ovvia. Se a = 0, allora

n

l’unica soluzione dell’equazione x = 0 è il numero 0 in virtù della legge di annullamento

del prodotto. Supponiamo dunque a > 0. 35

Proviamo dapprima l’unicità della radice n-sima. Se vi fossero due numeri r e ρ, entram-

n

bi non negativi ed entrambi soluzioni dell’equazione x = a, uno dei due, ad esempio ρ,

n n

sarebbe maggiore dell’altro; ma da r < ρ segue (esercizio 1.6.16) che a = r < ρ = a,

il che è assurdo. Dunque r = ρ e l’unicità è provata.

Per dimostrare l’esistenza della radice n-sima, consideriamo l’insieme

n

{x ≥

A = 0 : x < a}

(ovviamente non vuoto, dato che 0 A) e mostriamo:

(a) che A è limitato superiormente, n

(b) che r = sup A è il numero che stiamo cercando, ossia che r = a.

Proviamo (a): se a 1, facciamo vedere che il numero a è un maggiorante di A, mentre

se 0 < a < 1 facciamo vedere che il numero 1 è un maggiorante di A. Sia a 1: se per

un x A risultasse x > a, moltiplicando questa disuguaglianza per x e per a avremmo

2 2 2 2

≥ ≥

x > ax > a ; essendo a 1, dedurremmo x > a a. Procedendo per induzione,

n ∈ ≤

avremmo x > a, contraddicendo il fatto che x A: dunque si ha x a per ogni

∈ ∈

x A. Sia ora 0 < a < 1: se per un x A risultasse x > 1, procedendo analogamente

n n

troveremmo x > 1; essendo 1 > a, otterremmo x > a, nuovamente contraddicendo il

∈ ≤ ∈

fatto che x A. Quindi si ha x 1 per ogni x A. Se ne conclude che pr ogni scelta

di a l’insieme A ha maggioranti, e quindi è limitato superiormente.

Proviamo (b). Notiamo anzitutto che r = sup A > 0. Infatti A contiene elementi non

n

nulli: ad esempio, se a > 1 si ha 1 A in quanto 1 = 1 < a, mentre se 0 < a < 1 si ha

n

12 12

12

n ∈

∈ A dato che < < 1 = a.

a A poiché a < a; infine se a = 1 si ha

n

Dobbiamo mostrare che r = a, e lo faremo provando che sono assurde entrambe le

n n n

relazioni r > a e r < a. Supponiamo che sia r > a: vogliamo mostrare che, di

conseguenza, deve essere n

(r ε) > a

per ogni ε positivo e sufficientemente piccolo; ciò implicherebbe che l’intervallo ]r−ε, r[ è

costituito da punti che non appartengono ad A, contraddicendo il fatto che, essendo r il

minimo dei maggioranti di A, in tale intervallo dovrebbero cadere punti di A. Invece di

n

ricavare ε dalla disuguaglianza (r ε) > a, che non sappiamo risolvere, ne dedurremo

un’altra più restrittiva, ma più facile da risolvere. A questo scopo osserviamo che

per ε ]0, r[ si ha, grazie alla disuguaglianza di Bernoulli (esercizio 1.7.6; si noti che

ε

− −1)

>

r ε ε

n

n

n n −

− − ≥ 1 n

(r ε) = r 1 r ;

r r

n

se ne deduce (r ε) > a purché risulti ε

n −

r 1 n > a.

r

Questa disuguaglianza, che segue da quella originale ed è quindi più restrittiva di essa,

si risolve subito: essa è verificata se e solo se

r a

ε< 1 ,

n

n r

36

e dunque si deduce, come volevamo, che r a

i h

n

− ∀ε ∈ − ⊂

(r ε) > a 0, 1 ]0, r[;

n

n r

di qui, come si è detto, segue l’assurdo.

n

Supponiamo ora che sia r < a: vogliamo analogamente dedurre che

n

(r + ε) < a

per ogni ε positivo ed abbastanza piccolo; da ciò seguirà che A contiene numeri mag-

giori di r, contraddicendo il fatto che r è un maggiorante di A. Trasformiamo la

disuguaglianza che ci interessa: si ha

ε 1

1

n

n n ⇐⇒

1 +

(r + ε) = r > ;

< a n

ε

r a

n

r 1 + r ε

d’altronde, applicando nuovamente la disuguaglianza di Bernoulli (si noti che >

r

ε

1+ r

−1), risulta n ε

ε

ε

1 r r

− −

> 1 n

= 1 > 1 n ;

n ε ε

ε 1+ 1+ r

1+ r r

r n

quindi al posto della disuguaglianza (r + ε) > a si ottiene la disuguaglianza più

restrittiva ε 1

1

1 n >

n

r r a

che è vera se e solo se n

r r

0 <ε< 1 .

n a

Dunque si ottiene, come si voleva, n

r r

n ∀ε ∈ − ⊂

(r + ε) < a 0, 1 ]0, r[,

n a

e quindi, come si è osservato, l’assurdo.

In definitiva, non resta che dedurre l’uguaglianza r = a.

Disuguaglianza delle medie

Un risultato molto importante, utilissimo in svariate situazioni, è la disuguaglianza tra

media geometrica e media aritmetica di n numeri non negativi. Se a , a , . . . , a sono

1 2 n

numeri non negativi, la loro media geometrica è il numero reale

v n

u Y

u

n

G = a ,

k

t k=1

mentre la loro media aritmetica è il numero reale

n

1 X a .

A = k

n k=1

Si ha allora: 37

+

Teorema 1.8.2 Se n e se a , . . . , a sono numeri non negativi, allora

N 1 n

v n n

u 1

Y X

u ≤

n a a ;

k k

t n

k=1 k=1

inoltre vale il segno di uguaglianza se e solo se gli a sono tutti uguali fra loro.

k

Dimostrazione Anzitutto, è chiaro che se gli a sono tutti uguali fra loro allora G = A.

k

Per provare il viceversa, mostreremo che se gli a non sono tutti uguali allora risulta

k

G < A; ciò è ovvio se qualcuno degli a è nullo, perché in tal caso si ha G = 0 < A.

k

Possiamo dunque supporre gli a strettamente positivi e non tutti uguali. Proveremo

k

la disuguaglianza G < A per induzione.

Se n = 2, la tesi è vera perché √ √

√ 1 2

⇐⇒ −

a a < (a + a ) ( a a ) > 0,

1 2 1 2 2 1

2

6

ed essendo a = a , la relazione a destra è vera.

1 2

Supponiamo che la disuguaglianza stretta sia vera per ogni n-pla di numeri positivi non

tutti uguali, e dimostriamola nel caso di n + 1 numeri. Prendiamo dunque n + 1 numeri

positivi a , . . . , a , a non tutti uguali: allora ce ne sarà almeno uno diverso dalla

1 n n+1

media aritmetica A; per simmetria, o meglio per definizione stessa di media aritmetica,

di numeri diversi da A ce ne dovranno essere almeno due, a e a , dei quali uno sarà

i j

maggiore ed uno sarà minore di A. Quindi, a meno di riordinare gli a , non è restrittivo

k

supporre che risulti a < A < a .

n n+1

Il fatto che A è la media aritmetica degli a si può riscrivere cosı̀:

k

n−1

X − ·

a + (a + a A) = n A,

k n n+1

k=1

e questo ci dice che A è anche la media aritmetica degli n numeri non negativi a , . . . ,

1

a , a + a A; per ipotesi induttiva, la loro media geometrica è non superiore ad

n−1 n n+1

A, ossia v n−1

u Y

u

n − · ≤

(a + a A) a A.

t n n+1 k

k=1

Elevando alla n-sima potenza e moltiplicando per A si ricava allora

n−1

Y n+1

· − · ≤

A (a + a A) a A .

n n+1 k

k=1

D’altra parte risulta −

a a < A(a + a A)

n n+1 n n+1

38

in quanto − − − −

A(a + a A) a a = (A a )(a A) > 0;

n n+1 n n+1 n n+1

quindi a maggior ragione otteniamo

n+1 n−1

Y Y n+1

· − · ≤

a < A (a + a A) a A .

k n n+1 k

k=1 k=1

La disuguaglianza per n + 1 numeri è dunque stretta se essi non sono tutti uguali.

Per il principio di induzione, la tesi è provata.

Esempi 1.8.3 (1) Applicando la disuguaglianza delle medie si dimostra questa basilare

proprietà delle radici n-sime: 1

1 ∀a ≥ ∀a ∈]0,

= 1 1, sup a = 1 1].

inf a n n

+

n∈N +

n∈N 1 1

1 +

{a ∈ },

significa inf : n e similmente sup a

(Si osservi la notazione: inf a N

n n n

+ +

n∈N n∈N

1 +

{a ∈ }.)

denota sup : n N

n 1 +

Infatti la proprietà è evidente quando a = 1, poiché 1 = 1 per ogni n . Suppo-

N

n

≥ · · ·

niamo adesso a > 1: allora, fissato n 2 e prendendo a = = a = 1 e a = a,

1 n−1 n

dalla disuguaglianza delle medie si ha −

1 a 1

1 − ∀n ≥

1 < a < (n 1 + a) = 1 + 2,

n n n

da cui

a 1

1

≤ ≤

1 inf a inf 1 + = 1.

n n

+ +

n∈N n∈N

Ciò prova la tesi quando a > 1.

1 > 1 e, per quanto visto,

Se a < 1, si ha a 1 1 −

1 −

1 1 a

n a ∀n ≥

1 < < 1+ =1+ 2,

a n na

da cui 1 1 ∀n ≥

< a < 1 2;

n

1−a

1 + na

ne segue 1 1

≤ ≤

sup a 1.

1 = sup n

1−a

1 +

+ +

n∈N n∈N

na

(2) Dimostriamo la seguente importante disuguaglianza:

n+1

x x

n

+

∀x ∈ \ {0}, ∀n ∈ −x.

1+ < 1+ con n >

R N

n n +1 39 x

· · ·

Essa segue dalla disuguaglianza delle medie, scegliendo a = = a = 1+ e a = 1:

1 n n+1

n

infatti n+1

!

n+1

n+1 n+1

i

x

1

x 1

n

h

X

Y n 1+ +1

= a = =

1+ a < k

k

n n + 1 n + 1 n

k=1

k=1 n+1 n+1

n + x +1 x

= = 1+ .

n +1 n +1

Esercizi 1.8 ≥

1. Provare che per ogni numero reale a > 0 e per ogni intero pari n 2 l’equazione

1

n ±a

x = a ha le due soluzioni reali x = ; si provi inoltre che

n

1 n

{x ∈

−a = inf : x < a}.

n R n

∈ ≥

2. Provare che per ogni a e per ogni intero dispari n 1, l’equazione x = a ha

R

esattamente una soluzione reale, e cioè:

1

se a 0,

a n

x = 1

−(−a) se a < 0;

n

questo permette di estendere la definizione di radice n-sima, quando n è dispari,

a tutti i numeri a R.

3. Si dimostri la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.

2

[Traccia: data l’equazione ax +bx+c = 0, si osservi che non è restrittivo supporre

a > 0; si “completi il quadrato” a primo membro scrivendola nella forma

2

√ 2

b b 4ac

a x + = ,

4a

2 a

2 −

e si analizzi il segno del discriminante b 4ac. . . ]

+

4. Sia n . Si provi la seguente disuguaglianza tra media armonica e media

N

geometrica di n numeri positivi: v n

u

n Y

u

≤ n a .

k

t

n 1

P k=1 a k=1

k +

5. Dimostrare che la media geometrica è superadditiva, nel senso che se n e se

N

a , . . . , a , b , . . . , b sono numeri positivi, allora

1 n 1 n 1 1 1

! ! !

n n n

n n n

Y Y Y

a + b (a + b ) .

i i i i

i=1 i=1 i=1

[Traccia: si divida per la quantità a secondo membro e si utilizzi opportunamente

il teorema 1.8.2.] 40

1.9 Valore assoluto

In geometria la retta è un concetto primitivo, ossia non se ne fornisce la definizione ma la

si considera come un ente intrinsecamente noto. Il sistema dei numeri reali costituisce il

modello matematico dell’idea intuitiva di retta: si assume che ad ogni punto della retta

corrisponda uno ed un solo numero reale (che viene detto ascissa del punto). Questo

è un vero e proprio assioma, ma è peraltro un enunciato del tutto ragionevole; per

realizzare tale corrispondenza, si fissa sulla retta un sistema di riferimento, costituito

da un’origine, a cui associamo il numero reale 0, da un’unità di misura, che ci permette

di identificare i punti a cui associare i numeri interi, e da un’orientazione, allo scopo di

distinguere i punti corrispondenti a numeri positivi da quelli corrispondenti a numeri

negativi.

Per misurare la “grandezza” di un numero, a prescindere dal fatto che esso sia positivo

oppure negativo, è fondamentale la seguente

Definizione 1.9.1 Il valore assoluto, o modulo, di un numero reale x è il numero non

|x|

negativo cosı̀ definito: √ ≥

x se x 0

2

|x| x =

= −x se x < 0.

Si noti che risulta −|x| ≤ ≤ |x| ∀x ∈

x R,

od equivalentemente |x| −x} ∀x ∈

= max{x, R.

Si noti anche che |x| ≤ ⇐⇒ −a ≤ ≤

a x a

e, più generalmente (esercizio 1.9.4),

|x − ≤ ⇐⇒ − ≤ ≤

u| a u a x u + a.

|x|

Rappresentando come retta orientata, è la distanza del numero reale x dall’origine

R |a −

0, e analogamente b| è la distanza fra i due numeri reali a e b.

La proposizione che segue riassume le principali proprietà del valore assoluto.

Proposizione 1.9.2 Valgono i seguenti fatti:

41

|x| ≥ ∈ |x|

(i) 0 per ogni x e = 0 se e solo se x = 0;

R,

|x| · |y| |xy| ∈

(ii) = per ogni x, y R;

|x ≤ |x| |y| ∈

(iii) (subadditività) + y| + per ogni x, y R;

||x| − |y|| ≤ |x − ∈

(iv) y| per ogni x, y R;

1 1 ∈ \ {0};

per ogni x

(v) = R

|x|

x |x|

x ∈ ∈ \ {0}.

(vi) per ogni x e y

= R R

|y|

y

Dimostrazione La proprietà (i) è evidente. Per (ii) si osservi che dalla definizione

2 2

|x| ∈

segue subito x = per ogni x quindi

R;

2 2 2 2 2 2 2

· |y|) |x| |y| |xy|

(|x| = = x y = (xy) = ;

da qui segue la tesi estraendo la radice quadrata: infatti

√ 2

∈ ⇐⇒ ≥

t t = t t 0.

R,

Proviamo (iii): usando (i) e (ii), si ha

2 2 2 2 2 2

|x ≤ |x| |y|

+ y| = (x + y) = x + y + 2xy + + 2|xy| =

2 2 2

|x| |y| |y|)

= + + 2|x||y| = (|x| + ,

da cui la tesi estraendo la radice quadrata.

La (iv) è conseguenza della subadditività: infatti

|x| |(x − ≤ |x − |y|,

= y) + y| y| +

|x| − |y| ≤ |x − |y| − |x| ≤ |y −

da cui y|; scambiando i ruoli di x e y si ottiene anche x| =

|x − y|, e quindi ||x| − |y|| − |y|, |y| − |x|} ≤ |x −

= max{|x| y|.

Dimostriamo (v): da (ii) segue 1 1

|x| · · |1|

= x = = 1,

x x

1 |x|,

quindi è l’inverso di ossia vale la tesi.

x

Infine (vi) è conseguenza evidente di (ii) e (v).

42

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Un’altra importante disuguaglianza, che come si vedrà ha un rilevante significato geo-

metrico, è la seguente: +

Teorema 1.9.3 Fissato n , siano a , . . . , a , b , . . . , b numeri reali. Allora si ha

N 1 n 1 n

v v

n n

n u u

X X

X u u

2 2

≤ a b

a b .

t t

i i i i

i=1 i=1

i=1

Dimostrazione Fissato t consideriamo la quantità, certamente non negativa,

R,

n 2

P (a + tb ) . Si ha

i i

i=1 n n n n

X X X X

2 2 2 2

≤ ∀t ∈

0 (a + tb ) = a + 2t a b + t b :

R

i i i i

i i

i=1 i=1 i=1 i=1

Questa espressione è un trinomio di secondo grado nella variabile reale t. Il fatto che

esso sia sempre non negativo implica che il discriminante

2

!

n n n

X X X

2 2

∆=4 a b 4 b a

i i i i

i=1 i=1 i=1 ≤

deve essere non positivo (esercizio 1.8.3). La condizione ∆ 0 implica la tesi.

Esercizi 1.9

1. Determinare sotto quali condizioni sui numeri reali x, y valgono le uguaglianze:

|x| − |y| |x − |x |x −

(i) = y|; (ii) + y| = y|;

|x| − |y| − |x| − |y|

(iii) = x y; (iv) = x + y;

||x| − |y|| |x ||x| − |y|| |x −

(v) = + y|; (vi) = y|;

||x| − |y|| ||x| − |y|| −

(vii) = x + y; (viii) = x y.

2. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni: 2

|x| |x |x| − ||x|

(i) + 1 = + 1|, (ii) x = + x|,

|x |2x − ||x −

(iii) + 3| < 3|, (iv) 1| + 1| < 1,

1 1 1

− ||2x − − |x |4x

(v) > , (vi) 1| + 3|| < + 5|.

|x| |x+3| |x+4| 43

3. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni:

|x − |2 |4 −

(i) 1| < 3; (ii) + 3x| = x|;

|10 − |1 ≥

(iii) 3x| = 4; (iv) + 2x| 1;

−1

|x ≥ |5 |

(v) + 2| 5x; (vi) + x < 1;

2 2

|x − ≤ |x −

(vii) 2| 1; (viii) x < 12| < 4x;

15x 3 −1

x + 1 >

(ix) 3; (x) ;

−3x + 4 > 2

2 −

x 5

2

|x − |x −

2| + 3 + 2| 2x

≥ ≤

(xi) 1; (xii) 1;

2 −

3x + 1 x 2x

2x

2 2 − ≥

> ; (xiv) x 5|x| + 6 0.

(xiii) 2 −

x +2 x 1

∈ ≥

4. Siano a, b con b 0. Verificare che

R |x − ⇐⇒ −

a| < b a b < x < a + b.

5. Determinare un numero reale M tale che si abbia

2

|x| ≤ |x − ≤

1 =⇒ x| M.

6. Risolvere le seguenti disequazioni: s

r |x

x +1 + 2|

(i) 2; (ii) > 1;

|x −

x +3 1|

√ √ √

2 2 2

− − − −

(iii) 4x 1 < x 3; (iv) 3x 1 > x 3;

√ √

|x| − 3

2 √

2

|x| − − >

(v) 1 2x > 2x 1; (vi) x.

x 2

7. Provare che per ogni a si ha

R

|a| − |a|

a + a

max{a, 0} = , min{a, 0} = max{−a, 0} = .

2 2

8. Si dimostri la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz utilizzando il principio di indu-

zione.

1.10 La funzione esponenziale

x

Vogliamo definire la funzione esponenziale a per ogni base a > 0 e per ogni esponente

x naturalmente preservando le proprietà usuali, “notoriamente” vere quando gli

R,

esponenti sono numeri naturali. A questo scopo procederemo in vari passi.

Prima di cominciare, enunciamo un lemma che useremo a più riprese.

44

Lemma 1.10.1 (dell’arbitrarietà di ε) Siano a, b numeri reali e M, δ numeri reali

positivi. Supponiamo che risulti ≤ ∀ε ∈]0,

a b + Mε δ[;

allora si ha necessariamente a b.

Dimostrazione Se fosse a > b, scegliendo

a b

ε 0, min δ, M

si otterrebbe a > b + M ε, contro l’ipotesi.

o n

∈ ∈

1 passo (esponenti naturali) Ricordiamo che per n e a la potenza a

N R

è stata definita all’inizio del paragrafo 1.7; è facile verificare che se a, b > 0 valgono i

seguenti fatti: n 0

∀n ∈

(i) a > 0 a = 1;

N,

n+m n m

· ∀n, ∈

(ii) a = a a m N;

nm n m ∀n, ∈

(iii) a = (a ) m N;

n n n

· ∀n ∈

(iv) (ab) = a b N;

n n +

∀n ∈

(v) a < b =⇒ a < b ;

N

( n

a < 1 =⇒ a < 1 +

∀n ∈ ;

(vi) N

n

a > 1 =⇒ a > 1

( m n

a < a se a < 1 ∀m, ∈

n con m > n.

(vii) N

m n

a > a se a > 1

Le proprietà (i)-(vi) si verificano per induzione su n (esercizio 1.10.1), mentre la (vii)

m n m−n

·

segue banalmente da (vi) scrivendo a = a a .

o 1

+

2 passo (radici n-sime) Per n e a > 0 la quantità a è stata definita

N n

n

nel paragrafo 1.8 come l’unica soluzione positiva dell’equazione x = a; dunque per

definizione si ha 1 n +

∀n ∈

(a ) = a .

n N

Risulta anche 1 1 1 +

∀n, ∈

a = (a ) m

nm n m N mn

(perché, per (iii), i due membri risolvono entrambi l’equazione x = a),

1 1

m m +

∀n, ∈

(a ) = (a ) m

n n N n m

(perché, per (iii), i due membri risolvono entrambi l’equazione x = a ),

1 1 1 +

· ∀n ∈

(ab) = a b

n n n N

45 n

(perché, per (iv), i due membri risolvono entrambi l’equazione x = ab),

1

( a < 1 =⇒ a < 1

n +

∀n ∈ N

1

a > 1 =⇒ a > 1

n

(per l’esercizio 1.10.2), 1 1

( a < 1 =⇒ a < a

n m +

∀n, ∈

m con m > n

N

1 1

a > 1 =⇒ a > a

n m

(elevando entrambi i membri alla potenza mn ed usando (v), (vii)).

o pq +

∈ ∈

∈ ; se a > 0

con p q

3 passo (esponenti razionali) Se r sarà r = Z, N

Q,

poniamo allora, per definizione, p

1 ≥

a se p 0

q

p

a =

q 1 se p < 0.

−p

1

 q

a

Occorre però verificare che questa è una buona definizione, nel senso che essa non deve

dipendere dal modo di rappresentare in frazione il numero razionale r: in altri termini,

p m

pq m

bisogna controllare che se r = = a . Ed infatti,

= , ossia np = mq, allora risulta a q n

n

supposto ad esempio p 0, utilizzando le proprietà precedenti si trova p

1 1 1 1 1

m 1 1 1

m p m mp mp m p p

a = (a ) = (((a ) ) ) = (a ) = (a ) = (((a ) ) ) = (a ) = a ;

p np mq q q q

n n n m

il discorso è del tutto analogo se p < 0.

Si ottengono allora facilmente le estensioni delle proprietà (i)-(vii) al caso di esponenti

razionali (vedere l’esercizio 1.10.3):

r 0

∀r ∈

(i) a > 0 a = 1;

Q,

r+s r s

· ∀r, ∈

(ii) a = a a s Q;

rs r s ∀r, ∈

(iii) a = (a ) s Q;

r r r

· ∀r ∈

(iv) (ab) = a b Q;

r r ∀r ∈

(v) a < b =⇒ a < b con r > 0;

Q

( r

a < 1 =⇒ a < 1 ∀r ∈

(vi) con r > 0;

Q

r

a > 1 =⇒ a > 1

( r s

a < a se a< 1 ∀r, ∈

(vii) s con r > s.

Q

r s

a > a se a> 1

o

4 passo (esponenti reali) Manco a dirlo, nell’estensione da a è essenziale

Q R

x ∈

l’assioma di continuità. Prima di definire la quantità a per x dimostriamo il

R,

seguente risultato che ci illuminerà sul modo di procedere.

46

Proposizione 1.10.2 Siano a, x con a > 0, e poniamo

R

r s

{a ∈ {a ∈

A = : r r < x}, B = : s s > x}.

Q, Q,

Allora gli insiemi A e B sono separati; in particolare, se a 1 si ha sup A = inf B,

mentre se a 1 risulta inf A = sup B.

Dimostrazione Supponiamo a 1 e poniamo λ = sup A, µ = inf B; questi numeri

λ, µ sono finiti (esercizio 1.10.4). Da (vii) segue che

r s

≤ ∀r, ∈

a a s con r < x < s,

Q

quindi risulta λ µ. Dobbiamo provare che λ = µ. Se fosse invece λ < µ, dal fatto che

1

inf a = 1

n

+

n∈N +

(esempio 1.8.3 (1)) segue che possiamo scegliere n tale che

N

µ

1

1 a < .

n λ

1

∈ −

Scelto poi r tale che x < r < x, il che è lecito per la densità dei razionali in

Q R

n

1

(corollario 1.6.8), si ha r + > x; dunque, usando (ii),

n µ

1 1 1

r+ r

≤ · ≤ · ·

µ a = a a λ a < λ = µ.

n n n λ

Ciò è assurdo e pertanto λ = µ.

Supponiamo adesso 0 < a 1 e poniamo L = inf A, M = sup B; nuovamente, questi

numeri L, M sono finiti (esercizio 1.10.4). Da (vii) segue stavolta

r s

≥ ∀r, ∈

a a s con r < x < s,

Q +

≥ ∈

cosicché L M . Se fosse L > M , preso n tale che

N

M 1 ≤

< a 1

n

L

1 1 1

∈ −

(lecito, essendo sup a = 1) e scelto s con x < s < x + , si ha s <x e

Q

n

+

n∈N n n

dunque, per (ii), s M L

a

1

s−

≤ ≤ ·

L a = < M = L.

n 1 1 M

a a

n n

Ciò è assurdo e pertanto L = M . x

La precedente proposizione ci dice che la nostra scelta per definire a è obbligata: se

vogliamo mantenere la proprietà (vii) siamo forzati a dare questa x

Definizione 1.10.3 Siano a, x con a > 0. Indichiamo con a il numero reale

R

seguente: ( r s

∈ ∈ ≥

sup{a : r r < x} = inf{a : s s > x} se a 1

Q, Q,

x

a = r s

∈ ∈ ≤

inf{a : r r < x} = sup{a : s s > x} se 0 < a 1.

Q, Q,

47

Non è difficile verificare che nel caso in cui x è razionale questa definizione concorda

con la precedente (esercizio 1.10.4). x ∈

Osservazioni 1.10.4 (1) Dalla definizione segue subito che 1 = 1 per ogni x R.

−x 1

(2) Per ogni a > 0 e per ogni x risulta a = . Infatti, supposto ad esempio

R x

a

a 1, si ha −x r ∈ −x} −r)

a = sup{a : r r < = (posto s =

Q,

−s ∈

= sup{a : s s > x} = (per definizione nel caso

Q, di esponente razionale)

1

: s s > x = (per l’esercizio 1.10.5)

= sup Q,

s

a 1 1

=

= ;

s x

inf{a : s s > x} a

Q,

il discorso è analogo se 0 < a 1.

Estendiamo adesso le proprietà (i)-(vii) al caso di esponenti reali. La (i) è evidente. Per

la (ii) si ha:

Proposizione 1.10.5 Per ogni a > 0 si ha

x+y x y

· ∀x, ∈

a = a a y R.

Dimostrazione Supponiamo ad esempio a 1. Poiché

x+y q ∈

a = sup{a : q q < x + y},

Q,

per ogni r, s con r < x e s < y si ha r + s < x + y e quindi

Q r s r+s x+y

· ≤

a a = a a .

Passando all’estremo superiore separatamente rispetto a r e rispetto a s, otteniamo

(esercizio 1.5.15) x y x+y

a a a .

In modo del tutto analogo, usando il fatto che

x+y q ∈

a = inf{a : q q > x + y},

Q,

x y x+y

≥ ≥

si prova che a a a . La tesi è cosı̀ provata quando a 1.

Nel caso 0 < a 1 si procede esattamente come sopra: l’unica differenza è che dalla

relazione x+y q ∈

a = inf{a : q q < x + y}

Q,

x y x+y

segue che a a a , mentre dalla relazione

x+y q ∈

a = sup{a : q q < x + y}

Q,

x y x+y

segue che a a a .

Proviamo ora (iv) e (iii); per le proprietà (v), (vi), (vii) si rimanda agli esercizi 1.10.6,

1.10.7 e 1.10.8. 48

Proposizione 1.10.6 Per ogni a, b > 0 si ha

x x x

· ∀x ∈

(ab) = a b R. x x x

Dimostrazione Supponiamo a, b 1. Usando la caratterizzazione di a , b , (ab)

mediante gli estremi superiori, si vede che per ogni r con r < x si ha

Q

r r r x

a b = (ab) (ab) .

0 0

D’altra parte fissato ε > 0 esistono r, r con r < x e r < x tali che

Q 0

x r x x r x

− ≤ − ≤

a ε < a a , b ε < b b ;

0 }

quindi posto ρ = max{r, r si ha a maggior ragione

x ρ x x ρ x

− ≤ − ≤

a ε < a a , b ε < b b .

x x },

Ne segue, scegliendo 0 < ε < min{a , b

x x ρ ρ ρ x

− − ≤

(a ε)(b ε) < a b = (ab) (ab)

2

da cui, essendo ε > 0, x x x x x

a b ε(b + a ) < (ab)

ossia x x x x x x x

∀ε ∈]0, }[;

a b < (ab) + ε(a + b ) min{a , b

x x x

per il lemma dell’arbitrarietà di ε si deduce che a b (ab) .

x x x

Utilizzando invece le caratterizzazioni di a , b , (ab) mediante gli estremi inferiori, si

x x x

≥ ≥

ottiene in modo analogo che a b (ab) . La tesi è cosı̀ provata quando a, b 1.

Se a, b 1 si procede in modo simmetrico: usando le caratterizzazioni con gli estremi

x x x

superiori si trova che a b (ab) , usando quelle con gli estremi inferiori si trova l’altra

disuguaglianza. ≥

Infine se a > 1 > b e, ad esempio, ab 1, allora usando le caratterizzazioni con gli

estremi superiori avremo:

r r r x

≤ ∀r ∈

a b = (ab) (ab) con r < x,

Q

0 0 0 0

e per ogni ε > 0 esistono r , s con r < x, s > x, tali che

Q,

0 0

x r x x s x

− ≤ − ≤

a ε < a a , b ε < b b ;

0 0

−r

x x s

} ≤

dunque se 0 < ε < min{a , b si ricava, ricordando che b 1,

0 0 0 0 0

x x r s r r r x

− − ≤ ≤

0 < (a ε)(b ε) < a b a b = (ab) (ab) ,

x x x

da cui, procedendo come prima, a b (ab) . Similmente, usando le caratterizzazioni

con gli estremi inferiori, si arriva alla disuguaglianza opposta. Se a > 1 > b e ab 1, la

procedura è la stessa, “mutatis mutandis”, e lasciamo i dettagli al lettore.

49

Osservazione 1.10.7 Dalla proposizione precedente segue, in particolare, che

x

1

x x

· ∀a ∀x ∈

a = 1 = 1 > 0, R,

a

cioè, ricordando l’osservazione 1.10.4, x

1

1 −x ∀a ∀x ∈

= a = > 0, R.

x

a a

Proposizione 1.10.8 Per ogni a > 0 si ha

x y xy ∀x, ∈

(a ) = a y R.

Dimostrazione È sufficiente considerare il caso x, y 0: infatti, provata la tesi in

questo caso, se min{x, y} < 0 ci si riconduce ad esso nel modo seguente:

y

1 1

x y xy ≤

(a ) = = a se x < 0 y;

=

−x (−x)y

a a 1

1 xy

x y ≤

= = a se y < 0 x;

(a ) = −y −xy

x

(a ) a

1 1 1

x y (−x)(−y) xy

(a ) = = = a = a se x, y < 0.

=

−y 1

−y

x

(a ) 1 (−x)(−y)

a

−x

a

Siano dunque x, y 0: se x = 0 oppure y = 0 la tesi è evidente, dunque possiamo

assumere x, y > 0. Consideriamo dapprima il caso a 1: in particolare avremo anche

x ≥

a 1. Usando la caratterizzazione con gli estremi superiori, si ha

r s rs xy

≤ ∀r, ∈

(a ) = a a s con r < x e s < y,

Q

0 0 0 0

1

∈]0, ∈

e per ogni ε [ esistono r , s tali che 0 < r < x, 0 < s < y e

Q

2 0 0

x r x x y x s x y

− ≤ − ≤

a (1 ε) < a a , (a ) (1 ε) < (a ) (a ) . 0 ≥

Dunque, facendo uso della proposizione 1.10.8 e tenendo conto del fatto che s 0 e

0 0

0 < r s < xy, si ottiene 0 0 0 0

0

0 x s s x s r s xy

x s −

(a ) [a (1 ε)] a a

(1 ε)

(a )

x y ≤ ≤

= .

=

(a ) < 0 0 0 0

s +1 s +1 s +1 s +1

− − − − −

1 ε (1 ε) (1 ε) (1 ε) (1 ε)

0 1 1

∈ ≤

Da qui, scegliendo n tale che s +1 n, e osservando che da ε < segue < 1+2ε,

N 2 1−ε

concludiamo che xy

a

x y xy n

(a < a

) < (1 + 2ε) .

0

s +1

(1 ε)

D’altra parte, dalla formula del binomio (teorema 1.7.1) e dall’osservazione 1.7.2 (3)

segue che n n

n

n

X X

n k n+1

(1 + 2ε) = 1 + (2ε) < 1 + 2ε < 1 + 2 ε,

k k

k=1 k=1

50

da cui finalmente

1

x y xy xy n+1

· ∀ε ∈

(a ) < a + a 2 ε 0, ,

2

x y xy

e dunque (a ) a in virtù dell’arbitrarietà di ε.

In modo analogo, usando la caratterizzazione con gli estremi inferiori, si prova la disu-

guaglianza opposta: ciò conclude la dimostrazione nel caso a 1.

Se 0 < a 1 si procede in modo analogo: la caratterizzazione con gli estremi supe-

x y xy

riori implicherà che (a ) a , mentre quella con gli estremi inferiori porterà alla

disuguaglianza opposta. La tesi è cosı̀ provata.

Logaritmi

Abbiamo visto che la funzione esponenziale di base a (con a numero positivo e diverso

∈ ∞[.

da 1) è definita per ogni x ed è a valori in ]0, Essa è strettamente monotòna,

R

ossia verifica (esercizio 1.10.8)

x y x y

x<y =⇒ a < a se a > 1, x<y =⇒ a > a se a < 1 :

se a > 1 è dunque una funzione strettamente crescente su se a < 1 è strettamente

R,

decrescente su In particolare, essa è iniettiva: ciò significa che ad esponenti distinti

R.

corrispondono potenze distinte, ossia

x y

a = a =⇒ x = y. ∞[,

Inoltre la funzione esponenziale ha per codominio la semiretta ]0, vale a dire che

ogni numero positivo è uguale ad una potenza di base a, per un opportuno esponente

x ciò è garantito dal seguente risultato:

R;

Teorema 1.10.9 Se a è un numero positivo diverso da 1, allora per ogni y > 0 esiste

x

un unico x tale che a = y; tale numero x si chiama logaritmo in base a di y e si

R

indica con x = log y.

a

Dimostrazione L’unicità di x è conseguenza dell’iniettività della funzione esponen-

ziale. Proviamo l’esistenza. Trattiamo dapprima il caso a > 1, y > 1: consideriamo

l’insieme t

{t ∈

A = : a < y},

R

che è certamente non vuoto, essendo 0 A. Notiamo che A è anche limitato supe-

n

riormente. Infatti esiste n tale che a > y, dato che per la disuguaglianza di

N y−1

n − ; quindi

Bernoulli (esercizio 1.7.6) si ha a > 1 + n(a 1) > y non appena n > a−1

n t ∈ ∈

risulta a > y > a per ogni t A, da cui n > t per ogni t A, ossia ognuno di tali n è

x

un maggiorante di A. Poniamo allora x = sup A, e mostriamo che a = y.

1

x 1/n x

∈ ·

Se fosse a > y, scelto n in modo che a < a , il che è possibile grazie all’esem-

N y 1

x−1/n t ∈ − ∈

pio 1.8.3 (1), avremmo a > y > a per ogni t A, da cui x > t per ogni t A:

n

1

ne seguirebbe che x sarebbe un maggiorante di A, il che contraddice la definizione

n −x

x 1/n x+1/n

·

di x. Se fosse a < y, scelto n in modo che a < y a , avremmo a < y, cioè

1 x

x + A, nuovamente contraddicendo la definizione di x. Perciò a = y, e la tesi è

n 51

provata nel caso a > 1, y > 1. 1 > 1, cosicché

Se a > 1, y = 1 allora chiaramente x = 0. Se a > 1, 0 < y < 1, allora y

0

0 0

1

x

∈ −x

per quanto già visto esiste un unico x tale che a = ; quindi, posto x = , si

R y

0

−x

x

ha a = a = y. 0

0 x

∈ = y;

Infine, se 0 < a < 1 e y > 0, per quanto visto esiste un unico x tale che (1/a)

R

0 x

−x

posto x = , ne segue a = y.

La funzione esponenziale (con base positiva e diversa da 1) è dunque invertibile: la

funzione inversa, che ad ogni y > 0 associa l’unico esponente x per il quale si ha

R

x

a = y, è il logaritmo di base a:

x ⇐⇒

a = y x = log y.

a

∞[,

La funzione logaritmo è definita su ]0, a valori in ed è ovviamente anch’essa

R,

bigettiva: dunque per ogni x esiste un unico y > 0 tale che log y = x, e tale y è

R a

x

precisamente a . Si hanno dunque le relazioni

log y x

∀y ∀x ∈

a = y > 0, log a = x

a R.

a

Dalle proprietà dell’esponenziale seguono le corrispondenti proprietà dei logaritmi:

∀b, ∀a ∈]0, ∞[ \{1}

log (bc) = log b + log c c > 0,

a a a

x+y x y

·

(conseguenza di a = a a , scegliendo x = log b, y = log c);

a a

1 − ∀c ∀a ∈]0, ∞[ \{1}

= log c > 0,

log a

a c

−x 1

(conseguenza di a = , scegliendo x = log c);

a

x

a · ∀c ∀a, ∈]0, ∞[ \{1}

log c = log b log c > 0, b

a a b

x y xy

(conseguenza di (a ) = a , scegliendo x = log b, y = log c). In particolare:

a b

b − ∀b, ∀a ∈]0, ∞[ \{1},

log = log b log c c > 0,

a a a

c ∀a ∈]0, ∞[\{1},

log 1 = 0

a

c ∀c ∈ ∀b ∀a ∈]0, ∞[ \{1},

log b = c log b > 0,

R,

a a 1 ∀a, ∈]0, ∞[ \{1}.

log b = b

a log a

b x

I grafici approssimativi delle funzioni a , log x sono riportati di seguito.

a

52

L’andamento qualitativo del grafico di

x

a è giustificato dalle seguenti conside-

razioni: se a > 1, l’incremento della

x

quantità a nel passaggio da 0 a ε è pa-

ε −

ri a a 1, mentre nel passaggio da t a

t+ε t t ε

−a −1).

t+ε è pari a a , ossia a a (a

Dunque è lo stesso di prima, dilatato o

t

contratto di un fattore a (che è mag-

giore di 1 se t > 0, minore di 1 se t < 0).

Se 0 < a < 1, vale lo stesso discorso, ma

rovesciato: si hanno incrementi dilatati

se t < 0, contratti se t > 0.

Il grafico qualitativo di log x si ottiene

a

x

da quello di a per riflessione rispetto

alla retta y = x, come sempre acca-

de per le funzioni inverse (osservazione

1.3.1).

Esercizi 1.10

1. Dimostrare le regole di calcolo con esponenti naturali, ossia le proprietà (i)-(vi)

o

enunciate nel 1 passo.

2. Si provi che 1/n +

≥ ⇐⇒ ≥ ∀n ∈

a 1 a 1 ;

N

1/n +

≤ ⇐⇒ ≤ ∀n ∈

0 <a 1 a 1 .

N

3. Dimostrare le regole di calcolo con esponenti razionali, ossia le proprietà (i)-(vii)

o

enunciate nel 3 passo.

4. Per a > 0 poniamo r s

{a ∈ {a ∈

A = : r r < x}, B = : s s > x}.

Q, Q,

Si provi che A e B sono limitati inferiormente, e che:

53

≥ ≤

(i) se a 1, A è limitato superiormente, mentre, se a 1, B è limitato superior-

mente; pq p/q

∈ ≥ ≤

(ii) supposto x = se a 1 si ha a = sup A = inf B, mentre se a 1 si

Q,

p/q

ha a = inf A = sup B. ∞[.

5. Sia A un insieme non vuoto contenuto nella semiretta ]0, Si provi che

( +∞ se inf A = 0

1 ∈

: x A =

sup 1

x se inf A > 0,

inf A

( 0 se sup A = +∞

1 ∈

inf : x A = 1

x se sup A < +∞.

sup A x x

6. Siano a, b > 0 e x > 0. Si provi che se a < b allora a < b .

x x

7. Siano a, x > 0. Si provi che se a < 1 allora a < 1, mentre se a > 1 allora a > 1.

x y

8. Siano a > 0 e x, y con x < y. Si provi che se a < 1 allora a > a , mentre se

R

x y

a > 1 allora a < a . 3

x x

9. Dimostrare che l’equazione 37 = (0.58) non ha soluzioni reali diverse da 0.

10. Risolvere le seguenti equazioni:

√ 1 1/(x−1) 1/(3x−1)

x

8 = ; (ii) 9 = 3 ;

(i) 4 2−x 3+x x−2 2x−3

(5 ) (5 )

2 −5x+9

x

(iii) 7 = 343; (iv) = ;

x−1 2x 3

·

25 25 125

2 2

x + y =4 x + y = 17

(v) ; (vi) ;

xy x+y

3 = 27 5 = 125 1

2

2 −3 15−3x

5x 2x−1 4x 2x+1

·

(vii) 8 = 2 ; (viii) 81 + 2 9 + 711 = 81 + .

2 2

x +1 3x +1 9

11. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni: √ √

4

x+1 x−1 x x x

(i) 7 + 7 = 5 ; (ii) 4 15 4 = 16;

1 x

x+1 1−x

≥ |2 −

(iii) 3 5 ; (iv) < 1| < 2;

2

− ≤

(v) log x log x > 2; (vi) log (2x + 3) 3;

3 1/3 1/2 x x/2

|log |x|| − −

(vii) = 100; (viii) (3 2 )(5 2) > 0;

10 2

− |x| ≤ − |x|;

(ix) log log (x 5) < 0; (x) log 3 log

3 4 2 4

√ 5

2 12

(xi) log x log ; (xii) log x < ;

x =

4 8 2x

3

x 4

y = 10 xy = 1/2

(xiii) (xiv) 1

log y

1/x x = .

y = 10; 2 4

54

12. Dimostrare che |x|

x

|a − ≤ − ∀a ≥ ∀x ∈

1| a 1 1, R.

1.11 Geometria nel piano

In geometria il piano, come la retta, è un concetto primitivo. L’assioma che permette

di identificare una retta orientata con l’insieme dei numeri reali ci consente anche di

rappresentare univocamente i punti del piano con coppie di numeri reali. Per fare ciò,

si deve fissare il sistema di riferimento, che è costituito da tre oggetti: (a) un punto

origine O, (b) due direzioni, ossia due rette orientate (non coincidenti e non opposte)

passanti per O, e infine (c) un’orientazione: si deve decidere quale sia la prima direzione

e quale la seconda; la prima retta si chiama asse delle ascisse, o asse x e la seconda asse

delle ordinate, o asse y. Si dice che il sistema è orientato positivamente se, partendo dal

lato positivo dell’asse x e girando in verso antiorario, si incontra il lato positivo dell’asse

y prima di quello negativo. Il sistema è orientato negativamente nel caso opposto. Noi

considereremo soltanto sistemi di riferimento orientati positivamente.

A questo punto si proietta P su ciascuna retta parallelamente all’altra: alle sue due pro-

iezioni A sull’asse x e B sull’asse y corrispondono univocamente (per quanto visto) due

numeri reali a, b, che si chiamano coordinate di P (rispettivamente, ascissa e ordinata).

6

La coppia (a, b) determina allora in modo unico il punto P : si noti che se a = b le coppie

(a, b) e (b, a) individuano punti diversi. In definitiva, il piano si può identificare con il

2 ×

prodotto cartesiano = Nel seguito questa identificazione sarà sistematica.

R R R.

È comodo, anche se per nulla necessario, utilizzare sistemi di riferimento ortogonali,

nei quali cioè le due direzioni sono perpendicolari fra loro; è anche utile (ma talvolta

controindicato) scegliere la stessa unità di misura per le ascisse e per le ordinate: si

parla allora di “coordinate cartesiane ortogonali monometriche”.

2

I punti di si possono sommare fra loro e moltiplicare per una costante reale, utilizzan-

R 55

done la rappresentazione in coordinate: se P = (x , y ) e Q = (x , y ) sono punti di

P P Q Q

2 2

, la loro somma P+Q è il punto di coordinate (x +x , y +y ); se P = (x , y )

R R

P Q P Q P P

e λ è un numero reale, il prodotto λP è il punto di coordinate (λx , λy ). Scriveremo

P P

−P −

in particolare in luogo di (−1)P, e questo permette di definire la sottrazione: P Q

− −

significa P + (−1)Q e dunque ha coordinate (x x , y y ). Cosı̀ come il prodotto

P Q P Q

per scalari, la somma e la sottrazione si possono rappresentare graficamente, facendo

uso della cosiddetta “regola del parallelogrammo”.

Per queste operazioni valgono le usuali proprietà della somma e del prodotto ordinari

(associatività, commutatività, distributività, eccetera). La possibilità di effettuare que-

2

ste operazioni sui punti del piano definisce in una struttura di spazio vettoriale, e

R

2

per questo i punti di sono anche detti vettori.

R

2

Distanza in R

Il passo successivo è quello di rappresentare, e quindi definire mediante i numeri reali,

le principali proprietà ed entità geometriche. Cominciamo con la fondamentale nozione

di distanza euclidea nel piano. 2

Definizione 1.11.1 Siano P = (x , y ), Q = (x , y ) due punti di . La distanza

R

P P Q Q

euclidea fra P e Q è il numero non negativo

q 2 2

− −

P Q = (x x ) + (y y ) .

P Q P Q

Elenchiamo le proprietà di cui gode la distanza euclidea:

(i) (positività) P Q 0 e P Q = 0 se e solo se P = Q;

2

(ii) (simmetria) P Q = QP per ogni P, Q ;

R 2

≤ ∈

(iii) (disuguaglianza triangolare) P Q P R + RQ per ogni P, Q, R .

R

56

Le proprietà (i) e (ii) sono ovvie per definizione;

proviamo la (iii). Poniamo, al solito,

P = (x , y ), Q = (x , y ), R = (x , y )

P P Q Q R R

ed anche, per comodità,

− −

u = x x , v = y y ,

P R P R

− −

w = x x , z = y y .

R Q R Q

Dobbiamo dimostrare che √ √

p 2 2 2 2 2 2

(u + w) + (v + z) u + v + w + z .

In effetti si ha, utilizzando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (teorema 1.9.3),

2 2 2 2 2 2 ≤

(u + w) + (v + z) = u + w + v + z + 2(uw + vz)

2 2 2 2 2 2 2 2

≤ u + v w + z =

u + v + w + z + 2

√ 2

2 2 2 2

u + v + w + z ) .

= (

La distanza euclidea ha un’altra fondamentale proprietà: l’invarianza per traslazioni.

2 2

Una traslazione è una trasformazione del piano (cioè una funzione da in ) che

R R

2

manda ogni punto P nel punto P + U, ove U è un fissato punto di . Dalla definizione

R

di distanza è evidente il fatto che 2

∀P, ∈

(P + U )(Q + U ) = P Q Q, U ,

R

il che esprime appunto l’invarianza per traslazioni della distanza euclidea.

2

Invece la trasformazione del piano che manda ogni punto P di nel punto λP, ove

R

λ è un fissato numero reale, si dice omotetia; il comportamento della distanza rispetto

alle omotetie è il seguente: 2

|λ|P ∀P, ∈ ∀λ ∈

(λP )(λQ) = Q Q ,

R R.

La distanza fra due punti è anche, come suggerisce l’intuizione, invariante rispetto a

rotazioni e simmetrie del piano (esercizi 1.11.22 e 1.11.23).

Osservazione 1.11.2 La distanza euclidea P Q fra due punti P e Q coincide, come

abbiamo visto, con la distanza di P−Q dall’origine O, cioè con O(P Q); in particolare,

essa fornisce la lunghezza del segmento PQ. Per questa ragione, in luogo della notazione

P Q si usa spessissimo la seguente:

q 2

2 2

|P − − − ∀P, ∈

Q| = P Q = (x x ) + (y y ) Q ;

R

P Q P Q

|P| |P − |P |

se Q = O, si scriverà più semplicemente in luogo di O| (si dice che è il

modulo del vettore P). Con questa notazione si può scrivere, in modo più naturale,

2

|(P − |P − ∀P, ∈

+ U) (Q + U)| = Q| Q, U ,

R

2

|λP − |λ| · |P − ∀P, ∈ ∀λ ∈

λQ| = Q| Q ,

R R.

57

Alla distanza euclidea si associano in modo natu-

rale alcuni speciali sottoinsiemi del piano: i dischi

2

e le circonferenze. Siano P = (a, b) e r > 0.

R

Il disco, o cerchio, di centro P e raggio r è l’insieme

2

{X ∈ |X −

B(P, r) = : P| < r} =

R

2 2 2 2

{(x, ∈ − − };

= y) : (x a) + (y b) < r

R

il disco chiuso di centro P e raggio r è

2 2 2 2 2

{X ∈ |X − ≤ {(x, ∈ − − ≤ };

B(P, r) = : P| r} = y) : (x a) + (y b) r

R R

la circonferenza di centro P e raggio r è

2 2 2 2 2

{X ∈ |X − {(x, ∈ − − }.

S(P, r) = : P| = r} = y) : (x a) + (y b) = r

R R

Rette

Tutti i sottoinsiemi del piano, in linea di principio, possono essere descritti in termini

delle coordinate dei propri punti, tramite equazioni e disequazioni. Vediamo come si

2

rappresentano le rette in .

R

Se una retta è orizzontale (parallela all’asse x), i suoi punti avranno ordinata y costante

e quindi la retta sarà descritta dall’equazione

y = k,

ove k è un fissato numero reale. Analogamente, una retta verticale (parallela all’asse y)

è costituita da punti di ascissa costante e quindi la sua equazione sarà

x = h

con h fissato numero reale.

Consideriamo ora una retta r obliqua, ossia non parallela agli assi coordinati. Fissiamo

58

0 00

due punti distinti P e Q in r. Siano poi r la retta per P parallela all’asse x e r la retta

per Q parallela all’asse y: tali rette sono perpendicolari fra loro e quindi si incontrano

in un punto T. Il triangolo PTQ è rettangolo, di cateti PT e QT. Se prendiamo

0 0

due altri punti distinti P e Q su r, e ripetiamo la stessa costruzione, otteniamo un

0 0 0 0 0 0 0

altro triangolo rettangolo P T Q , di cateti P T e Q T , il quale è simile al precedente.

Quindi fra le lunghezze dei rispettivi cateti vale la proporzione

0 0 0 0

QT : P T = Q T : P T .

0

Dato che, per costruzione, T = (x , y ) e Q = (x , y ), la proporzione sopra scritta

0 0

Q P Q P

diventa, dopo un cambiamento di segno,

− −

y y y y

0 0

P Q P Q

= .

− −

x x x x

0 0

P Q P Q

0 0

Questa relazione è valida per ogni coppia P , Q di punti (distinti) di r. Ad esempio,

0

scegliendo P = P, pensando P fisso e facendo variare Q, si ottiene che

− y y

y y 0

P Q

P Q 0

∀Q, ∈

= Q r,

− −

x x x x 0

P Q P Q

−y

y

P Q

ossia il rapporto m = è indipendente da Q quando Q varia in r. La quantità

−x

x P Q

m sopra definita si chiama pendenza o coefficiente angolare della retta r. Se la retta

è orizzontale si ha m = 0; se la semiretta (di tale retta) corrispondente alle y positive

forma con la direzione positiva dell’asse x un angolo acuto, si ha m > 0, mentre se tale

angolo è ottuso si ha m < 0. Per le rette verticali il coefficiente angolare non è definito,

ma si suole dire che esse hanno “pendenza infinita”.

2 ∈

Come abbiamo visto, se X = (x, y) è un punto di si ha X r se e solo se

R

y y

P = m;

x x

P

dunque l’equazione cartesiana della retta (obliqua) r è la seguente:

− −

y y = m(x x ),

P P

o anche, posto q = y + mx ,

P P y = mx + q.

Il numero reale q è l’ordinata del punto di incontro di r con l’asse y.

Riepilogando ed unificando tutti i casi sopra visti, otteniamo che la più generale equa-

zione cartesiana di una retta è ax + by + c = 0

con a, b, c numeri reali tali che a e b non siano entrambi nulli. Se b = 0 la retta è verticale

cb

c

− −

(di equazione x = ), se a = 0 la retta è orizzontale (di equazione y = ), e se a e b

a cb

ab

− −

sono entrambi non nulli la retta è obliqua (di equazione y = x ). Notiamo anche

che una retta di equazione ax + by + c = 0 passa per l’origine se e solo se il suo “termine

noto” c è nullo. 59

Si noti che l’equazione cartesiana di una retta è unica a meno di un fattore di propor-

6

zionalità non nullo: se λ = 0, le equazioni

ax + by + c = 0, λax + λby + λc = 0

individuano la stessa retta.

Infine, la retta passante per due punti distinti

assegnati P e Q ha equazione

− − − −

(x x )(y y ) = (y y )(x x )

Q P P Q P P

6

e, se si sa che x = x , si può scrivere

Q P

equivalentemente −

y y

Q P −

− (x x ).

y y = P

P −

x x

Q P

Semirette, segmenti, semipiani

Se invece di una retta occorre descrivere una semiretta, basterà delimitare l’insieme di

variabilità della x o della y: per esempio, la semiretta bisettrice del primo quadrante

2

{(x, ∈ ≥

y) : x, y 0} è descritta dall’equazione

R ≥

y = x, x 0, oppure y = x, x > 0,

a seconda che si consideri la semiretta chiusa, ossia comprendente il suo estremo, oppure

aperta, cioè senza l’estremo.

Analogamente, il segmento (chiuso) di estremi P e Q sulla retta r di equazione ax +

by + c = 0 è descritto, supponendo x < x , dalle condizioni

P Q ≤ ≤

ax + by + c = 0, x x x .

P Q

≤ ≤

Se risultasse invece x > x , si scriverà x x x ; se infine x = x , sarà

P Q Q P P Q

≤ ≤

necessariamente y < y oppure y > y e scriveremo allora le limitazioni y y y

P Q P Q P Q

≤ ≤

oppure y y y .

Q P

Se il segmento lo si vuole aperto, o semichiuso a destra, o semichiuso a sinistra, occorrerà

rendere strette una o l’altra o entrambe le disuguaglianze.

Una retta r divide il piano in due semipiani. Se essa ha equazione ax + by + c = 0 e se

∈ 6

P / r, si ha ovviamente ax + by + c = 0. I due insiemi

p P −

+ 2 2

{(x, ∈ ≥ {(x, ∈ ≤

Σ = y) : ax + by + c 0}, Σ = y) : ax + by + c 0}

R R

60

sono i due semipiani chiusi delimitati da r; se

i semipiani li si vuole aperti, basta mettere

le disuguaglianze strette. Per disegnarli, ba-

sta tracciare la retta r, poi scegliere un punto

P fuori di r e vedere il segno dell’espressione

ax +by +c: se è positivo, il semipiano con-

P P −

+

tenente P sarà Σ , se è negativo sarà Σ .

+

Ad esempio, il semipiano Σ relativo alla ret-

−10x −

ta 6y + 7 = 0 è quello che sta “al di

sotto”: infatti la retta incontra l’asse y nel

7 ) e quindi l’origine, che appartiene

punto (0, 6

+

a Σ , sta sotto la retta.

L’intersezione di due rette non parallele è un punto, le cui coordinate si ottengono met-

tendo a sistema le equazioni delle due rette: il fatto che le pendenze delle rette siano

diverse garantisce la risolubilità del sistema. Se invece le rette sono parallele, il sistema

avrà infinite soluzioni o nessuna soluzione a seconda che le rette siano coincidenti o no.

L’intersezione di due semipiani è un angolo convesso, cioè minore dell’angolo piatto; un

angolo concavo (maggiore dell’angolo piatto) si ottiene invece facendo l’unione di due

semipiani. Un triangolo si ottiene intersecando tre (opportuni) semipiani; ogni poligono

convesso di n lati si ottiene come intersezione di n semipiani. I poligoni non convessi si

realizzano tramite opportune unioni e intersezioni di semipiani.

Rette e segmenti in forma parametrica

Consideriamo il segmento S di estremi (distinti) A = (x , y ) e B = (x , y ) e

A A B B

6

supponiamo, per fissare le idee, che sia x < x e y = y . Come sappiamo, si

A B B A

61

ha

y y

B A

2

∈ − − ∈

S = (x, y) : y y = (x x ), x [x , x ] .

R A A A B

x x

B A

Se P = (x, y) S, si ha, per ragioni di similitudine,

|P − − −

A| x x y y

A A ∈

= = [0, 1].

|B − − −

A| x x y y

B A B A

Poniamo |P − A| :

t = |B − A|

∈ ∈

poiché P S, si ha t [0, 1]. Le coordinate x, y di P verificano allora

x = x + t(x x )

A B A

y = y + t(y y ).

A B A

∈ ∈

Quindi ogni P S si rappresenta nella forma sopra descritta, con un opportuno t

[0, 1]. Viceversa, sia P = (x, y) dato dal sistema sopra scritto, per un certo t [0, 1]:

y−y

x−x = = t, cosicché P appartiene alla retta passante per A e

allora si ha A

A

−x −y

x y

B A B A − − ≤ − ≤ −

B; d’altra parte, essendo x x = t(x x ), si ha 0 x x x x , ossia

A B A A B A

x [x , x ]. Pertanto P appartiene al segmento S.

A B

Il sistema −

x = x + t(x x )

A B A ∈

t [0, 1]

y = y + t(y y ),

A B A

fornisce le equazioni parametriche del segmento S. Alle stesse equazioni si perviene,

come è facile verificare, quando x > x (basta scambiare i ruoli di A e B ed effettuare

A B

la sostituzione s = (1 t)), ed anche quando y = y (segmento orizzontale) oppure

A B

6

x = x e y = y (segmento verticale). In forma vettoriale si può scrivere, in modo

A B A B

equivalente, 2

{P ∈ − ∈

S = : P = A + t(B A), t [0, 1]}.

R

In modo analogo, il sistema

x = x + t(x x )

A B A ∈

t R,

y = y + t(y y ),

A B A

ovvero, in forma vettoriale, − ∈

P = A + t(B A), t R, −

dà le equazioni parametriche della retta per A e B. Il vettore B A può essere

interpretato come la velocità di avanzamento lungo la retta, mentre il parametro t

rappresenta il tempo di percorrenza: all’istante t = 0 ci troviamo in A, all’istante t = 1

transitiamo in B, per valori t > 1 ci spingiamo oltre B mentre per t < 0 siamo dall’altra

parte, oltre A. 62

Parallelismo e perpendicolarità

0

Due rette r, r sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare, cosicché

le rispettive equazioni cartesiane, a parte un’eventuale costante moltiplicativa, differi-

scono solamente per il termine noto. Se le rette hanno equazioni ax + by + c = 0 e

0 0 0

a x + b y + c = 0, esse sono parallele se e solo se il sistema costituito dalle due equazioni

non ha soluzioni (in tal caso le rette sono parallele e distinte) oppure ne ha infinite (e

allora le due rette coincidono). Ciò equivale alla condizione

0 0

ab ba = 0

(esercizio 1.11.1), la quale esprime appunto il fatto

che il sistema costituito dalle equazioni delle due

rette non è univocamente risolubile.

Se le due rette sono scritte in forma parametrica:

{X ∈

r = = P + tQ, t R},

0 {X ∈

r = = A + tB, t R}, ∈

esse risultano parallele se e solo se esiste λ R\{0}

tale che Q = λB (esercizio 1.11.13).

Due segmenti PQ, AB, dunque di equazioni parametriche

{X − ∈ {X − ∈

PQ = = P + t(Q P), t [0, 1]}, AB = = A + t(B A), t [0, 1]},

sono paralleli se le rette che li contengono sono parallele: quindi se e solo se Q P è

proporzionale a B A.

Una retta r è parallela ad un segmento PQ se è parallela alla retta che lo contiene.

0

Scriviamo ora l’equazione cartesiana di una retta r perpendicolare ad una retta r asse-

0 0

gnata. È chiaro che se r è orizzontale allora r è verticale, e se r è verticale allora r è

orizzontale. Supponiamo r obliqua: se P e Q sono punti distinti di r, sappiamo che la

−y

y 0 0 0

P Q ; se ora P e Q sono punti distinti di r , costruiamo i punti

pendenza di r è m = −x

x P Q

0

T e T di intersezione delle rette parallele agli assi passanti rispettivamente per P, Q

0 0 0 0 0

e per P , Q , come si è fatto in precedenza. I triangoli rettangoli PTQ e P T Q sono

ancora simili, ma le coppie di cateti sono scambiate e si ha

0 0 0 0

|Q − |P − |P − | |Q − |,

T| : T| = T : T

da cui − −

y y x x 1

0 0

Q P Q P

− −

= = ,

− −

x x y y m

0 0

Q P Q P

0 0 1

e in definitiva la pendenza di r è m = . Di conseguenza, se r ha equazione del tipo

m −bx+ay

ax+by +c = 0, le rette perpendicolari a r hanno equazioni della forma +k = 0,

con k arbitrario.

R 63

Vediamo ora come si esprime la perpendico-

larità fra segmenti. Consideriamo due seg-

menti OP , OQ con un vertice nell’origine O,

ove P = (x , y ) e Q = (x , y ) sono punti

P P Q Q

distinti e diversi da O. Il fatto che OP sia

perpendicolare ad OQ si può descrivere in

termini di distanza: significa che O, fra tutti

i punti della retta r contenente OQ, è quello

situato a minima distanza da P . Traducia-

mo a questo in termini di coordinate: poiché

{tQ, ∈

i punti t descrivono la retta r,

R}

deve aversi

|P | ≤ |P − ∀t ∈

tQ| R.

Elevando al quadrato i due membri si ricava, per definizione di distanza,

2 2 2 2

≤ − −

x + y (x tx ) + (y ty ) =

P Q P Q

P P 2 2 2 2 2

− ∀t ∈

= x + y 2t(x x + y y ) + t (x + y ) R,

P Q P Q

P P Q Q

ovvero 2 2 2 − ≥ ∀t ∈

t (x + y ) 2t(x x + y y ) 0 R.

P Q P Q

Q Q

Ciò è possibile se e solo se il discriminante di questo polinomio di secondo grado è non

positivo: dunque deve essere 2 ≤

(x x + y y ) 0,

p Q P Q

ossia x x + y y = 0.

P Q P Q

Questa condizione è pertanto equivalente alla perpendicolarità dei segmenti OP e OQ.

Essa dipende solo dalle coordinate di P e di Q: dunque esprime una proprietà che

riguarda intrinsecamente i punti P e Q, e che è naturale prendere come definizione di

2 2

ortogonalità fra vettori di (e non più fra segmenti di ).

R R 2

Definizione 1.11.3 Diciamo che due vettori P = (x , y ) e Q = (x , y ) di sono

R

P P Q Q

fra loro ortogonali, se i segmenti OP e OQ sono perpendicolari, ossia se risulta

x x + y y = 0.

P Q P Q −

Due segmenti qualunque PQ e AB sono perpendicolari se e solo se i vettori Q P e

B A sono ortogonali, ossia se e solo se

− − − −

(x x )(x x ) + (y y )(y y ) = 0.

Q P B A Q P B A

0

Consideriamo ancora due rette r, r , scritte stavolta in forma parametrica:

0

{X ∈ {X ∈

r = = P + tQ, t r = = A + tB, t

R}, R}.

64 0

Allora la direzione di r è quella del vettore Q e la direzione di r è quella del vettore B:

perciò esse sono perpendicolari se e solo se Q e B sono vettori ortogonali, vale a dire se

e solo se x x + y y = 0.

Q B Q B 0

Supponiamo invece, nuovamente, che r, r siano scritte in forma cartesiana:

0 0 0 0

{(x, {(x,

r = y) : ax + by + c = 0}, r = y) : a x + b y + c = 0},

0 0

e consideriamo le rette ρ, ρ parallele a r ed a r e passanti per l’origine:

0 0 0

{(x, {(x,

ρ = y) : ax + by = 0}, ρ = y) : a x + b y = 0}.

Dalla definizione 1.11.3 segue subito che ρ è l’insieme dei vettori che sono ortogonali al

0

vettore dei suoi coefficienti (a, b), mentre ρ è, analogamente, l’insieme dei vettori che

0 0 0 0

sono ortogonali a (a , b ); se ne deduce che ρ e ρ (e quindi anche r e r ) sono fra loro

0 0

perpendicolari se e solo se i vettori (a, b) e (a , b ) sono fra loro ortogonali, cioè se e solo

se 0 0

aa + bb = 0. 0

Ritroviamo cosı̀ il fatto che le equazioni di r e r sono, a meno di un fattore di

proporzionalità, della forma 0 0

{(x, {(x, −

r = y) : ax + by + c = 0}, r = y) : bx ay + c = 0}.

Si noti che comunque si fissi U = (u, v) r,

la retta r descrive l’insieme dei vettori X =

(x, y) tali che X U è ortogonale al vettore

dei coefficienti A = (a, b): infatti, essendo

∈ −(au

U r si ha c = + bv), da cui

− −

(x u)a + (y v)b = ax + by + c = 0.

Esempio 1.11.4 La retta r di equazione x−

y = 0 è la bisettrice degli assi coordinati. La

perpendicolare a r passante per (−2, 5) è la

0 −(x − −

retta r di equazione + 2) (y 5) = 0,

ovvero, più semplicemente, x + y 3 = 0. La

−4)

parallela a r passante per (−1, è la retta

00 −

r di equazione (x + 1) (y + 4) = 0, ossia

x y + 5 = 0.

Prodotto scalare

2

In , oltre alla somma ed al prodotto per scalari, è definita un’altra operazione fra

R

vettori: il “prodotto scalare”, che a due vettori assegnati fa corrispondere una quantità

scalare, vale a dire un numero reale, e che come vedremo ha un rilevante significato

geometrico. 65 2

Definizione 1.11.5 Siano P = (x , y ), Q = (x , y ) punti di . La quantità

R

P P Q Q

x x + y y

P Q P Q hP,

si chiama prodotto scalare fra P e Q e si indica con Qi. 2

Le proprietà del prodotto scalare sono le seguenti: per ogni P, Q, R si ha

R

2

hP, |P|

(i) Pi = ;

hP, hQ,

(ii) Qi = Pi;

hP hP, hQ,

(iii) + Q, Ri = Ri + Ri;

|hP, ≤ |P| · |Q|.

(iv) Qi|

Le prime tre proprietà sono immediata conseguenza della definizione; la quarta è una

riformulazione della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Vale anche il seguente “sviluppo del binomio”:

2 2 2 2

|P − |P| |Q| − hP, ∀P, ∈

Q| = + 2 Qi Q R

(esercizio 1.11.8).

Dalla definizione di prodotto scalare e dalla definizione 1.11.3 segue che due vettori P

hP,

e Q sono fra loro ortogonali se e solo se Qi = 0.

Ma il significato geometrico del prodotto scalare non è tutto qui: data una retta r

per l’origine, di equazione ax + by = 0, il vettore Q = (a, b) appartiene al semipiano

+ 2

{(x, ∈ ≥

Σ = y) : ax + by 0}, come si verifica immediatamente. Poiché il segmento

R +

OQ è perpendicolare alla retta, si deduce che Σ è l’insieme dei vettori P tali che i

− 2

{(x, ∈ ≤

segmenti OP e OQ formano un angolo acuto, mentre Σ = y) : ax + by 0}

R

è l’insieme dei vettori P tali che l’angolo fra i segmenti OP e OQ è ottuso. D’altra

parte, si ha, per definizione di prodotto scalare,

+ 2 2

{P ∈ hP, ≥ {P ∈ hP, ≤

Σ = : Qi 0}, Σ = : Qi 0};

R R

se ne deducono le equivalenze

⇐⇒ hP,

QOP acuto Qi > 0,

\ ⇐⇒ hP,

QOP retto Qi = 0,

\ ⇐⇒ hP,

QOP ottuso Qi < 0.

\ 66

Distanza di un punto da una retta

Sia r una retta di equazione ax + by + c = 0,

2

e sia U = (x , y ) un punto di . Vogliamo

R

U U

calcolare la distanza del punto U dalla retta

|U−P|

r, ossia il minimo delle distanze al va-

riare di P r; denoteremo tale distanza con

d(U, r). Supponiamo naturalmente U / r,

altrimenti la distanza cercata è 0. Conside-

0

riamo la retta r passante per U e perpendi-

colare a r: essa intersecherà r in un punto Q,

le cui coordinate (x, y) si determinano, come

sappiamo, risolvendo il sistema

ax + by + c = 0

−b(x − −

x ) + a(y y ) = 0,

U U

È facile, anche se un po’ laborioso, dedurre che

2 2

−ac − −bc −

+ b x aby abx + a y

U U U U

x = , y = .

Q Q

2 2 2 2

a + b a + b

|U−P| |U−Q|.

La minima distanza si ottiene per P = Q: dunque basterà determinare

Sviluppando con pazienza i calcoli, si trova

2 2 2

|U − − −

Q| = (x x ) + (y y ) =

U Q U Q

1 h 2

2 2 2

= x (a + b ) + ac b x + aby +

U U U

2 2 2

(a + b ) i

2

2 2 2

+ y (a + b ) + bc + abx a y =

U U U

1 2 2 2 2

a (ax + by + c) + b (ax + by + c) =

= U U U U

2 2 2

(a + b ) 2

(ax + by + c)

U U ,

= 2 2

a + b

da cui |ax + by + c|

U U

|U −

d(U, r) = Q| = .

2 2

a + b

−48)

Quindi, ad esempio, la distanza del punto (32, dalla retta di equazione x−2y−99 =

0 è semplicemente |32 −

+ 96 99| 29

√ √ .

=

1+4 5

Lineare indipendenza

2

Siano A, B . Come sappiamo, la somma A + B è il vettore di componenti

R

(x + y , x + y ), e la sua posizione nel piano si determina mediante la regola del

A A B B 67

parallelogrammo, il cui nome deriva dal fatto che nel parallelogrammo di lati OA e OB

il quarto vertice è A + B. Consideriamo l’insieme

2

{P ∈ ∃λ, ∈

M = : µ : P = λA + µB},

R R

che è il luogo dei quarti vertici di tutti i parallelogrammi, con primo vertice in O,

costruiti su multipli dei vettori A e B. Le espressioni λA + µB, al variare di λ, µ R,

si chiamano combinazioni lineari dei vettori A e B: quindi M è l’insieme dei vettori P

che sono combinazioni lineari di A e B. È chiaro che O M , dato che per ottenere O

basta scegliere λ = µ = 0. A seconda di come si fissano A e B, può capitare che questo

sia l’unico modo di ottenere O, o possono invece esistere altri valori (non nulli) di λ e

µ tali che λA + µB = O. 2

Definizione 1.11.6 Due vettori A, B di si dicono linearmente indipendenti se l’u-

R

nica loro combinazione lineare che dà come risultato il vettore O è quella con entrambi

i coefficienti nulli: in altre parole, A e B sono linearmente indipendenti quando vale

l’implicazione λA + µB = O =⇒ λ = µ = 0.

I due vettori si dicono linearmente dipendenti se non sono linearmente indipendenti,

ossia se esistono λ, µ non entrambi nulli, tali che λA + µB = O.

R,

È chiaro che A e B sono linearmente dipendenti se e solo se sono allineati con l’origine;

in questo caso l’insieme M coincide con la retta per A e B. Quando invece A e B

non sono allineati con O (e in particolare sono entrambi non nulli), si può agevolmente

2 2

mostrare che M = . Sia infatti P = (x, y) e proviamo che esistono λ e µ tali

R R

che P = λA + µB. Questa uguaglianza si può tradurre nel sistema

λx + µx = x

A B

λy + µy = y

A B

le cui incognite sono λ e µ. Risolvendo si trovano

λ e µ: −

yx xy

B B ,

λ = −

x y y x

B A B A

xy yx

A A

µ = ,

x y y x

B A B A

il che dimostra che P M , a patto però che risulti

− 6

x y y x = 0.

B A B A − hA,

Ma se fosse x y y x = 0, posto C = (−y , x ) avremmo Ci = 0, nonché

B A B A B B

hB, Ci = 0. Di conseguenza, sia A che B apparterrebbero alla retta di equazione

−y x + x y = 0, cioè sarebbero allineati con l’origine: ciò è assurdo.

B B

In definitiva, data una qualunque coppia di vettori A, B linearmente indipendenti, le

2 2

combinazioni lineari di tali vettori generano tutto il piano ; in tal caso ogni P

R R

si può scrivere in uno ed un sol modo come combinazione lineare di A e B (esercizio

1.11.24). 68

Esercizi 1.11

1. Dimostrare che il sistema ax + by + c = 0

0 0 0

a x + b y + c = 0

0 0

− 6

è risolubile univocamente se e solo se risulta ab ba = 0; in tal caso se ne scriva

la soluzione (x, y). −1)

2. Determinare la retta passante per (2, e perpendicolare alla retta di equazione

4x 3y + 12 = 0.

3. Determinare la retta passante per (0, 0) e per il centro della circonferenza di

2 2 −

equazione x + y 2x + y = 0. −

4. Si calcoli la distanza del punto (−3, 2) dalla retta di equazione 4x 3y + 12 = 0.

5. Si suddivida il segmento di estremi (1, 2) e (2, 1) in quattro parti di egual lunghezza

mediante i tre punti P, Q, R. Si calcolino le coordinate di tali punti.

6. Dati P = (−2, 5) e Q = (4, 13), trovare le coordinate di un punto R sul segmento

|P − |Q −

PQ tale che R| = 2 R|.

7. Sia R = (2, 3) il punto medio del segmento PQ, ove P = (7, 5). Determinare le

coordinate di Q. 2

8. Dimostrare che per ogni P, Q si ha

R

2 2 2

|P − |P| |Q| − hP,

Q| = + 2 Qi.

−1),

9. Provare che il triangolo di vertici (2, (4, 2) e (5, 1) è isoscele.

−1)

10. Provare che il triangolo di vertici (−3, 3), (−1, 3) e (11, è rettangolo.

11. Calcolare la lunghezza della mediana uscente dal punto A relativa al triangolo

−6), −2).

ABC, ove A = (−1, 1), B = (0, C = (−10,

12. Scrivere l’equazione dell’asse del segmento di estremi (0, 2) e (2, 1) (l’asse di un

segmento è il luogo dei punti che sono equidistanti dai vertici del segmento).

13. Si provi che le rette di equazioni parametriche X = P + tQ, t e X = A + sB,

R

∈ ∈

s sono fra loro parallele se e solo se esiste λ non nullo, tale che Q = λB.

R R,

0 0 0

14. Si provi che le rette di equazioni ax + by + c = 0 e a x + b y + c = 0 sono fra loro

0 0

∈ \ {0}

parallele se e solo se esiste λ tale che a = λa e b = λb.

R 0 0 0

15. Si provi che le rette di equazioni ax + by + c = 0 e a x + b y + c = 0 sono fra loro

0 0

∈ \ {0} −b

perpendicolari se e solo se esiste λ tale che λa = , λb = a .

R

69 ∈

16. Si provi che le rette di equazioni X = P + tQ, t e ax + by + c = 0 sono

R,

fra loro perpendicolari se e solo se i vettori Q e (a, b) sono proporzionali, e sono

−a)

parallele se e solo se i vettori Q e (b, sono proporzionali.

2

17. Si considerino i luoghi dei punti di descritti dalle seguenti equazioni:

R

2 2 2 2

(i) x + y 1 = 0, (v) x + y + xy = 0,

2 2 2 2

(ii) x + y = 0, (vi) x y = 0,

2 2 2 2

(iii) x + y + 1 = 0, (vii) x + y + 2x + 2y + 2 = 0,

2 2 2 2 2

(iv) x + y + 2xy = 0, (viii) (x 1) + y = 0,

e si riconosca quale delle precedenti equazioni rappresenta:

(a) nessun punto, (d) una retta,

(b) un punto, (e) due rette,

(c) due punti, (f) una circonferenza.

18. Si verifichi che ogni angolo convesso è l’intersezione di due semipiani.

2

19. Si provi che ogni triangolo in è l’intersezione di tre semipiani.

R 2

20. Si provi che ogni quadrilatero in è l’intersezione di quattro semipiani.

R

21. Verificare che gli insiemi

2 2

{(x, ∈ |x| ≤ |y| ≤ {(x, ∈ |x| |y| ≤

A = y) : 1, 1}, B = y) : + 1}

R R

sono quadrati; determinarne i vertici e le lunghezze dei lati.

2 2 2 2

∈ →

22. Siano a, b tali che a + b = 1. La funzione R : , definita da

R R R

−bx

R(x, y) = (ξ, η), ξ = ax + by, η = + ay,

definisce una rotazione del piano (attorno all’origine). Si provi che:

2 2 2 2 2

(i) si ha ξ + η = x + y per ogni (x, y) ;

R

(ii) posto U = R(1, 0), V = R(0, 1), le rette per O, U e per O, V formano un

sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato positivamente;

0 0 0 0 0 0 0 0

2 2 2 2

− − − −

(iii) posto (ξ , η ) = R(x , y ), si ha (ξ ξ ) + (η η ) = (x x ) + (y y ) per

0 0 2

ogni (x, y), (x , y ) .

R

2 2 2 2

∈ →

23. Siano a, b tali che a + b = 1. La funzione S : , definita da

R R R

S(x, y) = (ξ, η), ξ = ax + by, η = bx ay,

definisce una simmetria del piano (rispetto a una retta). Si provi che:

2 2 2 2 2

(i) si ha ξ + η = x + y per ogni (x, y) ;

R

70

(ii) posto U = S(1, 0), V = S(0, 1), le rette per O, U e per O, V formano un

sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato negativamente;

0 0 0 0 0 0 0 0

2 2 2 2

− − − −

(iii) posto (ξ , η ) = S(x , y ), si ha (ξ ξ ) + (η η ) = (x x ) + (y y ) per

0 0 2

ogni (x, y), (x , y ) ;

R

(iv) i punti (x, y) della bisettrice dell’angolo formato dall’asse x e dalla retta

bx ay = 0 soddisfano la relazione S(x, y) = (x, y). 2

24. Si provi che se A, B sono vettori linearmente indipendenti in , allora per ogni

R

2

P esiste un’unica coppia di numeri reali λ, µ tali che P = λA + µB.

R

1.12 Numeri complessi

Una delle possibili motivazioni per ampliare il campo dei numeri reali con l’introduzione

dei numeri complessi è il fatto che nell’ambito di non è possibile risolvere certe equa-

R

zioni algebriche (cioè equazioni della forma P (x) = 0, con P (x) polinomio a coefficienti

2 −1 ±1,

reali e x variabile reale). Ad esempio, l’equazione x = 0 ha le soluzioni reali x =

2

ma l’equazione x + 1 = 0 non è risolubile in Per risolvere questa ed altre equazioni

R.

algebriche occorre dunque aggiungere nuovi numeri all’insieme dei numeri reali: il pri-

mo di essi è la quantità (certamente non un numero reale) che indichiamo con i, a cui

attribuiamo per definizione la proprietà seguente:

2 −1.

i =

Il numero i è detto unità immaginaria (per pure ragioni storiche: non è meno reale

√ 2

2, né più immaginario di 3). Si osservi allora che l’equazione x + 1 = 0 ha le

di ±i.

soluzioni x =

Se però vogliamo mantenere, anche con l’aggiunta di questo nuovo numero, la possibilità

di fare addizioni e moltiplicazioni, nonché ottenere che restino valide le regole di calcolo

che valgono in dovremo aggiungere, insieme a i, anche tutti i numeri che si generano

R,

facendo interagire, mediante tali operazioni, il numero i con se stesso o con i numeri

reali: dunque nell’insieme allargato di numeri dovremo includere quelli della forma

a + ib (a, b R),

ed anche, più generalmente,

2 n

· · · ∈ ∈

a + a i + a i + + a i (a , a , a , . . . , a n

R; N),

0 1 2 n 0 1 2 n

cioè tutti i polinomi P (x) a coefficienti reali calcolati nel punto x = i. Fortunatamente,

le regole di calcolo e la definizione di i ci dicono che

0 1 2 3

−1 −i,

i = 1 i = i, i = i =

4 5 6 7

−1, −i,

i = 1, i = i, i = i =

4n 4n+1 4n+2 4n+3

−1, −i ∀n ∈

i = 1, i = i, i = i = N,

71

e quindi è sufficiente prendere polinomi di grado al più 1. In definitiva, introduciamo

l’insieme dei numeri complessi definito da

C, {a ∈

= + ib : a, b

C R};

in altre parole, assegnare un numero complesso a + ib equivale ad assegnare una coppia

(a, b) di numeri reali. La quantità i, meglio scritta come 0 + i1, appartiene a perché

C

corrisponde alla scelta (a, b) = (0, 1).

Introduciamo in le operazioni di somma e prodotto in modo formalmente identico a

C

R: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),

2

· −

(a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + i bd = (ac bd) + i(ad + bc).

Si vede subito che gli assiomi di relativi a somma e prodotto valgono ancora; in

R

particolare l’elemento neutro per la somma è 0 + 0i, l’elemento neutro per il prodotto

−a −

è 1 + 0i, l’opposto di a + ib è ib. Vale la legge di annullamento del prodotto:

· − · · · ∀a ∈

(a + ib)(0 + i0) = (a 0 b 0) + i(a 0 + b 0) = 0 + i0 + ib C.

La corrispondenza Φ che ad ogni numero reale a associa la coppia (a, 0) = a + i0, è

chiaramente biunivoca tra e il sottoinsieme di costituito dalle coppie con secondo

R C 0

elemento nullo; inoltre essa preserva la somma e il prodotto, nel senso che Φ(a)+Φ(a ) =

0 0 0 0 ∈

Φ(a + a ) e Φ(a)Φ(a ) = Φ(aa ) per ogni a, a È naturale allora identificare le

R.

coppie (a, 0) = a + i0 con i corrispondenti numeri reali a, ottenendo la rappresentazione

semplificata a + i0 = a per ogni a analogamente scriveremo ib anziché 0 + ib. Si

R;

noti che la legge di annullamento del prodotto ci dice che, nelle notazioni semplificate,

deve essere i0 = 0. In questa maniera si può scrivere o più precisamente

R C,

{a ∈

= + ib : b = 0}.

R C

6

Se a+ib = 0 (cioè è non nullo a, oppure è non nullo b, od anche sono non nulli entrambi),

si può agevolmente verificare che il reciproco di a + ib esiste ed è dato da

− − −

a ib a ib a ib a b

1 −

= = = = i .

2 2 2 2 2 2 2 2 2

− −

a + ib (a + ib)(a ib) a i b a + b a + b a + b

In definitiva, in valgono le stesse proprietà algebriche di

C R.

Non altrettanto si può dire delle proprietà di ordinamento: in non è possibile intro-

C

durre un ordinamento che sia coerente con le regole di calcolo valide per Infatti,

R.

se ciò fosse possibile, per il numero i si avrebbe i > 0, oppure i < 0 (non i = 0, in

2 2

−1): −1

quanto i = in entrambi i casi otterremmo = i > 0, il che è assurdo. Per

questa ragione non ha senso scrivere disuguaglianze tra numeri complessi, né parlare di

estremo superiore o inferiore di sottoinsiemi di C.

Dal momento che assegnare un numero complesso equivale ad assegnare una coppia di

2

numeri reali, vi è una ovvia corrispondenza biunivoca fra e , che associa ad a + ib la

C R

coppia (a, b). È naturale allora rappresentare i numeri complessi su un piano cartesiano:

il piano complesso, o piano di Gauss. L’asse delle ascisse è detto asse reale, quello delle

72 ∈

ordinate è detto asse immaginario. Visualizzeremo i numeri complessi z = a + ib C

come vettori di coordinate (a, b); nel seguito faremo sistematicamente uso di questa

identificazione. Essa, fra l’altro, ci permette di rappresentare la somma di due numeri

∈ ∈

complessi, ed anche il prodotto λz, con λ e z esattamente come si è fatto in

R C,

2 (paragrafo 1.11).

R · ∈

Invece la rappresentazione grafica del prodotto z w, con z, w non ha un analogo

C,

2

in ; come vedremo, tale rappresentazione sarà possibile con l’uso della forma trigo-

R

nometrica dei numeri complessi, che introdurremo più avanti.

Se z = a + ib il numero reale a è detto parte reale di z, mentre il numero reale b è

C,

detto parte immaginaria di z; si scrive

a = Rez, b = Imz,

da cui ∀z ∈

z = Rez + i Imz C.

Se z = a + ib il coniugato di z è il numero

C, −

z definito da z = a ib. Si ha quindi

complesso −Imz,

= Rez, Imz =

Rez

cioè − ∀z ∈

z = Rez i Imz C.

Dunque z è il simmetrico di z rispetto all’asse

reale. Invece, il simmetrico di z rispetto all’asse

−z.

immaginario è il numero

Ricavando dalle relazioni precedenti z e z in funzione di Rez e Imz, si trova

z + z z z

Rez = , Imz = ,

2 2i

ed in particolare ∈ ⇐⇒ ⇐⇒

z Imz = 0 z = z = Rez,

R ⇐⇒

z =0 Rez = Imz = 0.

73

Vediamo le proprietà dell’operazione di coniugio, la dimostrazione delle quali è una

semplice verifica: ·

z = z, z + w = z + w, zw = z w,

z

1 z

1

= , = .

z z w w

Ad esempio, si ha −i, −i

i = = i, 1 = 1,

1

1

−1 −1, − −

= 5 3i = 5 + 3i, = = i.

i i

Se in non vi è un “buon” ordinamento, c’è però il modo di valutare quanto un numero

C 2

complesso sia grande: si può misurare la sua distanza, intesa nel senso di , dall’origine,

R

cioè dal punto 0.

Definizione 1.12.1 Il modulo di un numero complesso z = a + ib è il numero reale

non negativo √ p

2 2 2 2

|z| = a + b = (Rez) + (Imz) .

2 2

∈ ∈

Il modulo di z è dunque la distanza del punto (a, b) dal punto (0, 0) ; ovvero,

R R

è la lunghezza del segmento di estremi 0 e z del piano complesso, cioè dell’ipotenusa del

triangolo rettangolo di vertici 0, Rez, z. Dalla definizione segue subito, per ogni z C,

−|z| ≤ ≤ |z|, −|z| ≤ ≤ |z|.

Rez Imz

Si noti che queste sono disuguaglianze tra numeri reali, non tra numeri complessi!

|z|

In particolare, l’equazione = 1 rappresenta la circonferenza di centro 0 e raggio 1 nel

piano complesso.

Vediamo le proprietà del modulo di numeri complessi:

Proposizione 1.12.2 Risulta per ogni z, w C:

2

|z|

· z = ;

(i) z

|z| ≥ |z|

(ii) 0, e = 0 se e solo se z = 0;

|z| |z| | −

(iii) = = z|;

|z| · |w| |zw|;

(iv) = |z ≤ |z| |w|;

(v) (subadditività) + w| +

||z| − |w|| ≤ |z −

(vi) w|;

1 1

6

(vii) se z = 0, allora = ;

|z|

z |w|

w

6

(viii) se z = 0, allora = .

|z|

z 74

Dimostrazione Per (i) si ha, posto z = a + ib,

2 2 2 2 2 2

· − − |z|

z z = (a + ib)(a ib) = a i b = a + b = .

Le proprietà (ii) e (iii) sono evidenti.

Proviamo (iv): usando (i) si ha

2 2 2

|zw| · · · · |z| |w|

= z w z w = (zz) (ww) = ,

da cui la tesi estraendo la radice quadrata.

Dimostriamo (v): usando (i) e (iv), si ha

2

|z + w| = (z + w)(z + w) = zz + wz + zw + ww =

2 2 2 2

|z| |w| ≤ |z| |w|

= + 2Re(zw) + + 2|zw| + =

2 2 2

|z| |w| |w|)

= + + 2|z||w| = (|z| + ,

da cui la tesi estraendo la radice quadrata.

Per (vi) osserviamo che, grazie a (v), si ha

|z| |(z − ≤ |z − |w|, |w| |(w − ≤ |z − |z|,

= w) + w| w| + = z) + z| w| +

cosicché −|z − ≤ |z| − |w| ≤ |z −

w| w|;

ne segue la tesi, per l’esercizio 1.9.4.

Proviamo (vii): si ha 2

1 1 1

1 1

·

= = ,

= 2

|z|

z z z zz

da cui la tesi.

Infine, (viii) segue da (iv) e (vii).

Il numero π

Prima di introdurre la forma trigonometrica dei numeri complessi, conviene parlare,

appunto, di trigonometria. Preliminare a tutta la questione è il problema di dare una

definizione il più possibile rigorosa del numero reale π.

Il nostro punto di partenza sarà l’area dei triangoli, che supponiamo elementarmente

nota (metà del prodotto base per altezza!), insieme con le sue basilari proprietà, e cioè:

• se un triangolo è incluso in un altro triangolo, allora l’area del primo è non

superiore all’area del secondo;

• se due triangoli sono congruenti, allora essi hanno la stessa area;

• l’area di una figura costituita da due triangoli disgiunti o adiacenti è pari alla

somma delle aree dei due triangoli. 75

Fissato un intero n 3, consideriamo un poligono

P

regolare di n lati, inscritto nel cerchio B(0, 1)

P

del piano complesso. I vertici di sono numeri

complessi w , w , . . . , w , w w di modulo

0 1 n−1 n 0

0 , Z i punti

unitario. Denotiamo con O, W ,W i

i i

del piano corrispondenti ai numeri complessi

w + w w + w

i i−1

i i−1

0 , z = .

0, w , w = i

i i |w |

2 + w

i i−1

P:

Calcoliamo l’area a(P) di poiché il triangolo

OW W è isoscele con base W W e altezza

i−1 i i i−1

0

OW , si ottiene

i n

X

a(P) = a(OW W ) =

i−1 i

i=1

n 1

X 0

|w | · |w − |

= w =

i i−1

i

2

i=1

n 1

X |w − | · |w |.

= w + w

i i−1 i i−1

4

i=1 P

Invece il perimetro `(P) del poligono è semplicemente la somma delle lunghezze dei

segmenti W W : quindi

i−1 i n

X |w − |.

`(P) = w

i i−1

i=1

w +w

i i−1 < 1, si ha

Si noti che, essendo 2 2a(P) < `(P).

0

P

D’altra parte, detto il poligono regolare inscritto di 2n lati, di vertici w , z , w , z ,

0 0 1 1

0

≡ P

. . . , w , z , w w , si riconosce facilmente che l’area di è data dalla somma

n−1 n−1 n 0

delle aree degli n quadrilateri OW Z W ; poiché

i−1 i i

|w − |

1 w 1

i i−1 · |z | |w − |,

a(OW Z W ) = 2a(OZ W ) = 2 = w

i−1 i i i i i i i−1

2 2 2

si ottiene 1

0

a(P ) = `(P).

2

Questa relazione implica, in particolare:

Proposizione 1.12.3 Risulta

P

sup{a(P) : poligono regolare inscritto in B(0, 1)} =

1 P

= sup{`(P) : poligono regolare inscritto in B(0, 1)}.

2 76

Q

Consideriamo ora un poligono regolare di n lati circoscritto al cerchio B(0, 1). In-

≡ Q

dichiamo con v , v , . . . , v , v v i vertici di e con z , z , . . . , z i punti in

0 1 n−1 n 0 0 1 n−1

Q

cui tocca la circonferenza S(0, 1). Come prima, denotiamo con O, V , Z i punti del

i i

Q

piano corrispondenti ai numeri complessi 0, v , z . L’area di è data da

i i

n n n 1

1 X

X X |z | · |v − | |v − |,

a(Q) = a(OV V ) = v = v

i i i−1 i i−1

i−1 i 2 2

i=1

i=1 i=1

Q

mentre il perimetro di è semplicemente

n

X |v − |.

`(Q) = v

i i−1

i=1

Dunque 1

a(Q) = `(Q).

2

Pertanto:

Proposizione 1.12.4 Risulta

Q

inf{a(Q) : poligono regolare circoscritto a B(0, 1)} =

1 Q

inf{`(Q) : poligono regolare circoscritto a B(0, 1)}.

= 2 P

Adesso notiamo che per ogni poligono regolare inscritto in B(0, 1) e per ogni poligono

Q P ⊂ ⊂ Q

regolare circoscritto a B(0, 1) si ha, evidentemente, B(0, 1) e quindi

a(P) < a(Q). Ciò mostra che i due insiemi

{a(P) P

: poligono regolare inscritto in B(0, 1)},

{a(Q) Q

: poligono regolare circoscritto a B(0, 1)}

sono separati: quindi per l’assioma di completezza esiste almeno un elemento separatore

fra essi. Proveremo adesso che i due insiemi sono anche contigui, e che quindi l’elemento

separatore è in effetti unico. P Q,

Proposizione 1.12.5 Per ogni ε > 0 esistono due poligoni regolari e uno in-

scritto e l’altro circoscritto a B(0, 1), tali che

a(Q) a(P) < ε. n

≥ P Q

Dimostrazione Fissato n 2 siano e poligoni regolari di 2 lati, il primo in-

n n

scritto e il secondo circoscritto al cerchio B(0, 1). Denotando con v i numeri complessi

i

0

P Q

corrispondenti ai vertici di e con v quelli relativi a , supporremo (il che è lecito, a

n n

i Q P

meno di un’opportuna rotazione attorno all’origine) che la posizione di rispetto a

n n

0

v = v per ciascun vertice. Allora, utilizzando le formule precedenti,

sia tale che risulti i i

0

|v |

i

in questo caso si trova 77

|v − | · |v |

v + v

i i−1 i i−1

n

a(P ) = 2 ,

n 4

|v − |

v

i i−1

n

a(Q ) = 2 ,

n |v |

+ v

i i−1

da cui

4 4

n |v −v |·|v | − −

a(Q )−a(P ) = 2 +v 1 = 4a(P ) 1 .

n n i i−1 i i−1 n

2 2

|v | |v |

+ v + v

i i−1 i i−1

Osserviamo adesso che, indicando con ` la lunghezza del lato del poligono regolare

n

P |v − | |v | |v |

inscritto , si ha ` = v e quindi, essendo = = 1,

n n i i−1 1 i−1

2 2 2 2

|v | − |v − | − |v − | −

+ v = 2 + 2 Re v v = 2 + (2 v ) = 4 v = 4 ` ;

i i−1 i i−1 i i−1 i i−1 n

di conseguenza 2 2

` 4`

n n

a(Q ) a(P ) = 4a(P ) < a(Q ) .

n n n 2

2 2

− −

4 ` 4 `

n n

Al crescere di n, il lato ` è sempre più piccolo e, in particolare,

n inf ` = 0;

n

n≥2 2

∈ ≥

ne segue che, fissato ε ]0, 4[ , esiste ν 2 sufficientemente grande in modo che ` <

ν

ε/2 < 2; se ne deduce allora 2 ε/2

4`

ν

− < 4 = ε.

a(Q ) a(P ) < a(Q )

ν ν 2 2

− −

4 ` 4 2

ν

Ciò prova la tesi.

Dalle proposizioni precedenti segue che esiste un unico numero reale, che denotiamo

con π, il quale è l’unico elemento separatore fra l’insieme delle aree di tutti i poligoni

regolari inscritti e l’insieme delle aree di tutti i poligoni regolari circoscritti al cerchio

B(0, 1). Si noti che, a maggior ragione, π è anche l’elemento separatore fra l’insieme

delle aree di tutti i poligoni inscritti (non necessariamente regolari) e l’insieme delle aree

di tutti i poligoni circoscritti al cerchio B(0, 1) (non necessariamente regolari). Ovvie

considerazioni geometriche ci inducono a definire l’area di B(0, 1) attribuendole il valore

π. In altre parole:

Definizione 1.12.6 Il numero reale π è l’area del cerchio B(0, 1), ed è quindi dato da

P

π = a(B(0, 1)) = sup{a(P) : poligono inscritto in B(0, 1)} =

Q

= inf{a(Q) : poligono circoscritto a B(0, 1)}.

Si noti che π è compreso fra 2 e 4 (le aree del quadrato inscritto e di quello circoscritto).

Dal fatto che l’area di un poligono regolare circoscritto al cerchio B(0, 1) è la metà del

suo perimetro, anche l’insieme dei perimetri dei poligoni regolari inscritti in B(0, 1) e

78

quello dei perimetri dei poligoni regolari circoscritti a B(0, 1) hanno un unico elemento

separatore, il quale coincide esattamente con 2π in virtù della proposizione 1.12.4. A

maggior ragione, 2π è anche l’elemento separatore fra l’insieme dei perimetri dei poligo-

ni inscritti (non necessariamente regolari) e quello dei perimetri dei poligoni circoscritti

a B(0, 1) (non necessariamente regolari). Nuovamente, evidenti considerazioni geome-

triche ci portano a definire il perimetro della circonferenza S(0, 1) attribuendole il valore

2π. Si ha dunque:

Corollario 1.12.7 Il perimetro della circonferenza S(0, 1) è dato da

P

`(S(0, 1)) = sup{`(P) : poligono inscritto in B(0, 1)} =

Q

= inf{`(Q) : poligono circoscritto a B(0, 1)} = 2π.

Osservazione 1.12.8 In modo del tutto analogo, per ogni r > 0 si definiscono l’area

del cerchio B(0, r) come P

a(B(0, r)) = sup{a(P) : poligono inscritto in B(0, r)} =

Q

= inf{a(Q) : poligono circoscritto a B(0, r)}

e il perimetro della circonferenza S(0, r) come

P

`(S(0, r)) = sup{`(P) : poligono inscritto in B(0, r)} =

Q

= inf{`(Q) : poligono circoscritto a B(0, r)}.

P

Se è un poligono inscritto o circoscritto con

P

vertici v , e è il poligono i cui vertici sono

i r

i punti rv , per ovvie ragioni di similitudine

i

risulta 2

a(P ) = r a(P), `(P ) = r `(P);

r r

pertanto si ha 2 2

a(B(0, r)) = r a(B(0, 1)) = πr ,

`(S(0, r)) = r `(S(0, 1)) = 2πr.

2

Dunque il cerchio B(0, r) ha area πr e perimetro 2πr, come era da aspettarsi.

Area dei settori e lunghezza degli archi

Ogni coppia di numeri complessi v, w non nulli individua sulla circonferenza S(0, 1) due

v w

e ; questi punti formano con

punti, V e W, corrispondenti ai numeri complessi |v| |w|

l’origine O due angoli. Attribuiamo un’orientazione a tali angoli: diciamo che VOW

è positivo se la terna (V, O, W) è orientata come (1, 0, i) (ossia in verso antiorario);

diciamo che VOW è negativo se la terna (V, O, W) è orientata come (i, 0, 1) (ossia in

verso orario). È chiaro che VOW è positivo se e solo se WOV è negativo.

79

Denotiamo le intersezioni di S(0, 1) con le re-

gioni interne ai due angoli rispettivamente

con γ (v, w) e γ (v, w): si tratta evidente-

+

mente di due archi. L’arco γ (v, w) va da

+

V a W in verso antiorario, cioè con orienta-

zione positiva, mentre l’arco γ (v, w) va da

V a W in verso orario, cioè con orientazio-

ne negativa. Agli archi positivamente orien-

tati attribuiremo una lunghezza positiva, a

quelli negativamente orientati una lunghezza

negativa.

Analogamente, ai corrispondenti settori circolari

{z ∈ ∈ ∈

Σ (v, w) = : z = tζ, t [0, 1], ζ γ (v, w)},

C

+ +

{z ∈ ∈ ∈

Σ (v, w) = : z = tζ, t [0, 1], ζ γ (v, w)}

C

− −

attribuiremo un’area rispettivamente positiva e negativa.

Notiamo esplicitamente che, per definizione,

w w

v

v ∀v, ∈ \ {0}

, , Σ (v, w) = Σ , w :

γ (v, w) = γ C

± ±

± ± |v| |w| |v| |w| ∈

quindi non sarà restrittivo riferirsi ad archi γ (v, w) relativi a numeri v, w con

C

±

|v| |w|

= = 1. ∈

Fissiamo dunque v, w S(0, 1). Conside-

reremo linee spezzate inscritte o circoscritte

a γ (v, w). Una linea spezzata è formata

+

da una sequenza finita ordinata di vertici e

dai segmenti che li congiungono; ci limitere-

mo a spezzate con primo vertice v e ultimo

vertice w. Una tale spezzata è inscritta in

γ (v, w) se tutti i suoi vertici appartengono

+

a γ (v, w); è invece circoscritta se tutti i suoi

+

vertici, tranne il primo e l’ultimo, sono ester-

ni a B(0, 1) e tutti i suoi segmenti sono tan-

genti esternamente a γ (v, w), ossia toccano

+

tale arco senza attraversarlo.

Considereremo anche i “settori” Σ associati a spezzate P inscritte o circoscritte: detti

P

≡ ≡

v v, v , . . . , v , v w i vertici di P , il settore Σ è l’unione degli n triangoli

0 1 n−1 n P

OV V (ove al solito O, V sono i punti del piano corrispondenti ai numeri complessi

i−1 i i

0, v ).

i

Ciò premesso, con considerazioni analoghe a quelle svolte per il cerchio B(0, 1) e per la

80

circonferenza S(0, 1), si ottiene che

sup{a(Σ ) : P spezzata inscritta in γ (v, w)} =

P +

1

= sup{`(P ) : P spezzata inscritta in γ (v, w)} =

+

2

1 inf{`(Q) : Q spezzata circoscritta a γ (v, w)} =

= +

2

= inf{a(Σ ) : Q spezzata circoscritta a γ (v, w)}.

Q +

Siamo cosı̀ indotti alla seguente ∈ \ {0}.

Definizione 1.12.9 Siano v, w La lunghezza dell’arco positivamente orien-

C

tato γ (v, w) è il numero reale non negativo

+ `(γ (v, w)) = sup{`(P ) : P spezzata inscritta in γ (v, w)} =

+ +

= inf{`(Q) : Q spezzata circoscritta a γ (v, w)}.

+

L’area del settore positivamente orientato Σ (v, w) è il numero reale non negativo

+

a(Σ (v, w)) = sup{a(Σ ) : P spezzata inscritta in γ (v, w)} =

+ P +

= inf{a(Σ ) : Q spezzata circoscritta a γ (v, w)} =

Q +

1 `(γ (v, w)).

= +

2

La lunghezza dell’arco negativamente orientato γ (v, w) è il numero reale non positivo

−2π

`(γ (v, w)) = + `(γ (v, w)).

− +

L’area del settore negativamente orientato Σ (v, w) è il numero reale non positivo

−π

a(Σ (v, w)) = + a(Σ (v, w)).

− +

Una fondamentale proprietà delle lunghezze e delle aree sopra definite è la loro additi-

vità. A questo proposito vale la seguente z

∈ \ {0}. ∈

Proposizione 1.12.10 Siano v, w, z Se γ (v, w), allora

C +

|z|

`(γ (v, w)) = `(γ (v, z)) + `(γ (z, w)),

+ + +

a(Σ (v, w)) = a(Σ (v, z)) + a(Σ (z, w)).

+ + + 0

Dimostrazione Fissiamo ε > 0. Per definizione, esistono due spezzate P, P , l’una

inscritta in γ (v, z) e l’altra inscritta in γ (z, w), tali che

+ + 0

− ≤ − ≤

`(γ (v, z)) ε < `(P ) `(γ (v, z)), `(γ (z, w)) ε < `(P ) `(γ (z, w)),

+ + + +

∗ 0

Indicata con P la spezzata i cui vertici sono tutti quelli di P seguiti da tutti quelli di P ,

∗ 0 ∗ ≤

è chiaro che P è inscritta in γ (v, w); inoltre si ha `(P ) + `(P ) = `(P ) `(γ (v, w)).

+ +

Quindi ∗

− ≤

`(γ (v, z)) + `(γ (z, w) 2ε < `(P ) `(γ (v, w)).

+ + +

81

L’arbitrarietà di ε prova che ≤

`(γ (v, z)) + `(γ (z, w) `(γ (v, w)).

+ + +

Per provare la disuguaglianza inversa, sia ε > 0 e sia P una spezzata inscritta a γ (v, w)

+

tale che − ≤

`(γ (v, w)) ε < `(P ) `(γ (v, w)).

+ +

Se la spezzata P non ha come vertice il punto z, esisteranno due vertici consecutivi

v , v tali che z γ (v , v ); allora, sostituendo al segmento V V i due segmenti

i−1 i + i−1 i i−1 i

∗ ∗

V Z e ZV , si ottiene una nuova spezzata P inscritta a γ (v, w) tale che `(P ) > `(P ).

i−1 i +

0 00

Inoltre tale spezzata è l’unione di due spezzate P e P , l’una formata da tutti i vertici

fra v e z (inclusi) e inscritta in γ (v, z), l’altra formata da tutti i vertici fra z e w

+

(inclusi) e inscritta in γ (z, w). Si ha allora

+ ∗ 0 00

− ≤

`(γ (v, w)) ε < `(P ) < `(P ) = `(P ) + `(P ) `(γ (v, z)) + `(γ (z, w)).

+ + +

Nuovamente, l’arbitrarietà di ε prova che

`(γ (v, w)) `(γ (v, z)) + `(γ (z, w)).

+ + +

La prima parte della tesi è provata. La seconda parte segue subito ricordando che l’area

di un settore è la metà della lunghezza dell’arco corrispondente.

Corollario 1.12.11 Se v, w γ (1, i), allora

+ √

|v − |`(γ − ≤ −

w| < (1, v)) `(γ (1, w))| 2|v w|.

+ + ∈ ∈

Dimostrazione Anzitutto notiamo che si ha v γ (1, w) oppure w γ (1, v); se

+ +

siamo ad esempio nel secondo caso, allora per la proposizione 1.12.10

`(γ (1, v)) `(γ (1, w)) = `(γ (w, v)),

+ + +

cosicché la prima disuguaglianza è ba-

nale. Per provare la seconda, denotia-

mo, al solito, con O, V, W, Z i pun-

ti corrispondenti ai numeri complessi

0, v, w, v + w, e tracciamo la bisettri-

ce dell’angolo VOW; sia U il punto

di intersezione delle perpendicolari ai

segmenti OV e OW condotte da V e

W rispettivamente. La spezzata P di

vertici V, U, W è allora circoscritta a

γ (v, w) e la sua lunghezza è

+ |v − w|

|v − |u − −

`(P ) = u| + w| = 2|u v| = 2 ;

|v + w|

82

|v

ma poiché + w| è la lunghezza della diagonale maggiore OZ del rombo OVZW, tale

√ 2 (la diagonale del quadrato di lato OV). Si

quantità è certamente non inferiore a

ottiene allora √

≤ ≤ −

`(γ (v, w)) `(P ) 2|v w|.

+

Il corollario appena dimostrato ci permette di enunciare il seguente fondamentale risul-

tato, conseguenza dell’assioma di completezza di R.

∈ \ {0} ∈

Teorema 1.12.12 Per ogni w esiste un unico numero ϑ [0, 2π[ tale che

C

`(γ (1, w)) = 2a(Σ (1, w)) = ϑ.

+ + \ {0}

La funzione g(w) = `(γ (1, w)) è dunque surgettiva da in [0, 2π[ ed è bigettiva

C

+

da S(0, 1) in [0, 2π[. Il numero ϑ = `(γ (1, w)) si dice misura in radianti dell’angolo

+

individuato dai punti 0, 1, w.

Dimostreremo il teorema 1.12.12 più avanti nel corso, utilizzando la teoria delle funzioni

continue.

Un radiante è quindi, per definizione, la misura dell’unico angolo (orientato in verso

antiorario) il cui corrispondente arco della circonferenza unitaria ha lunghezza 1; un

angolo misura ϑ radianti se e solo se l’arco corrispondente su S(0, 1) ha lunghezza ϑ

ϑ ±π

. In particolare, allora, l’angolo piatto misura

e il settore corrispondente ha area 2

π

± , e l’angolo sotteso da un lato del poligono regolare di N

(radianti), l’angolo retto 2

±

lati misura ; il segno davanti alla misura dipende dal verso di rotazione.

N

Naturalmente, facendo più di un giro in ver-

so antiorario le aree e le lunghezze d’arco cre-

scono di 2π, 4π, eccetera, mentre se il verso è

−2π, −4π,

orario esse decrescono di eccetera.

D’altra parte dopo una rotazione di ϑ + 2kπ,

con k intero arbitrario, l’estremo dell’arco è

lo stesso di quello relativo ad una rotazione di

ϑ: ad ogni w corrispondono dunque

C\{0} ∈

le infinite misure ϑ + 2kπ, k Possiamo

Z.

allora dare la seguente ∈ \ {0}, ∈

Definizione 1.12.13 Sia w e sia ϑ [0, 2π[ la misura in radianti dell’arco

C ∈

γ (1, w). Ognuno degli infiniti numeri ϑ+2kπ, k si chiama argomento del numero

Z,

+

complesso w e si denota con arg w; il numero ϑ, cioè l’unico fra gli argomenti di w che

appartiene a [0, 2π[, si chiama argomento principale di w.

Si osservi che arg w denota uno qualsiasi degli infiniti argomenti di w, quindi è una

quantità definita a meno di multipli interi di 2π.

Funzioni trigonometriche

Sulla base del teorema 1.12.12 e della conseguente definizione 1.12.13, siamo in grado

di introdurre le funzioni trigonometriche. Infatti, fissato ϑ [0, 2π[, tale risultato ci

83 w

permette di scegliere w tale che arg w = ϑ; in particolare, è l’unico elemento

C\{0} |w|

di S(0, 1) il cui argomento è ϑ, cioè che verifica

w

w = 2 a Σ 1, = ϑ.

l γ 1, +

+ |w| |w|

w w

w , vale a dire Re e Im , sono quindi funzioni di ϑ. Ha senso

Le coordinate di |w| |w| |w|

perciò la seguente definizione delle funzioni trigonometriche coseno e seno:

Definizione 1.12.14 Per ogni ϑ [0, 2π[ si pone

w w

cos ϑ = Re , sin ϑ = Im ,

|w| |w|

∈ \ {0}

ove w è un qualsiasi numero complesso tale che arg w = ϑ.

C

In particolare, un generico numero complesso non nullo w si può scrivere in forma

trigonometrica: w = ρ(cos ϑ + i sin ϑ),

|w|

ove ρ = e ϑ = arg w.

Poiché ad un numero complesso z di argo-

mento principale ϑ [0, 2π[ corrispondono

anche gli argomenti ϑ + 2kπ, occorre che le

funzioni coseno e seno siano periodiche di

periodo 2π: esse cioè devono verificare le

relazioni ∀ϑ ∈

cos(ϑ + 2π) = cos ϑ R,

∀ϑ ∈

sin(ϑ + 2π) = sin ϑ R.

Immediata conseguenza della definizione sono poi le seguenti proprietà:

2 2

| ≤ | ≤ ∀ϑ ∈

cos ϑ| 1, sin ϑ| 1, cos ϑ + sin ϑ = 1 R.

Poiché i punti z e z sono simmetrici rispet-

to all’asse reale, ad essi corrispondono angoli

opposti: dunque il seno ed il coseno di angoli

opposti devono verificare

z z

cos (−ϑ) = Re = Re = cos ϑ,

|z| |z|

z z

−Im −

sin (−ϑ) = Im = = sin ϑ.

|z| |z| 84

Si verifica poi facilmente, utilizzando le simmetrie illustrate nelle figure sottostanti, che

π π

− − ∀ϑ ∈

cos ϑ = sin ϑ, sin ϑ = cos ϑ R,

2 2

π π

− ∀ϑ ∈

cos + ϑ = sin ϑ, sin + ϑ = cos ϑ R,

2 2

− − − ∀ϑ ∈

cos (π ϑ) = cos ϑ, sin (π ϑ) = sin ϑ R,

− − ∀ϑ ∈

cos (π + ϑ) = cos ϑ, sin (π + ϑ) = sin ϑ R.

Più in generale si ha: ∈

Proposizione 1.12.15 Per ogni ϑ, α valgono le formule di addizione

R

cos (ϑ α) = cos ϑ cos α + sin ϑ sin α,

cos (ϑ + α) = cos ϑ cos α sin ϑ sin α,

− −

sin (ϑ α) = sin ϑ cos α cos ϑ sin α,

sin (ϑ + α) = sin ϑ cos α + cos ϑ sin α.

Dimostrazione Siano z, w numeri complessi di modulo 1, con arg z = ϑ e arg w = α:

ciò significa che nel piano il punto z ha coordinate (cos ϑ, sin ϑ) mentre il punto w ha

2

|z −

coordinate (cos α, sin α). Calcoliamo la quantità w| : si ha

2 2 2

|z − − −

w| = (cos ϑ cos α) + (sin ϑ sin α) .

85

|z −

D’altra parte, w| rappresenta la lunghezza del segmento di estremi z e w, quindi

tale quantità non cambia se cambiamo sistema di riferimento. Scegliamo due nuovi

0 0 0

assi ortogonali x , y tali che la semiretta positiva dell’asse x coincida con la semiretta

|z| |w|

uscente da 0 che contiene w. Dato che = = 1, le coordinate di w in questo nuovo

− −

sistema sono (1, 0) mentre quelle di z sono (cos (ϑ α), sin (ϑ α)). Pertanto

2 2 2

|z − − − −

w| = (cos (ϑ α) 1) + (sin (ϑ α)) .

Confrontando fra loro le due espressioni e svolgendo i calcoli, si ricava facilmente la

prima uguaglianza. −α:

La seconda uguaglianza segue dalla prima scambiando α con

− −

cos (ϑ (−α)) = cos ϑ cos (−α) + sin ϑ sin (−α) = cos ϑ cos α sin ϑ sin α.

Per la terza e quarta uguaglianza si osservi che, per quanto già provato,

π

− − − =

sin (ϑ α) = cos ϑ α + 2

π π

− −

= cos ϑ + cos α sin ϑ + sin α =

2 2

= sin ϑ cos α cos ϑ sin α,

π

sin (ϑ + α) = cos ϑ + α + =

2 π

π

= cos ϑ + cos α + sin ϑ + sin α =

2 2

= sin ϑ cos α + cos ϑ sin α.

I grafici delle funzioni coseno e seno sono illustrati qui sotto.

86

Si noti che il grafico del seno si ottiene da quello del coseno mediante una traslazione

π π

di + lungo l’asse x, dato che, come sappiamo, cos ϑ = sin (ϑ + ).

2 2

Completiamo questa breve introduzione alle funzioni trigonometriche definendo la fun-

zione tangente. π

∈ 6 ∈

Definizione 1.12.16 Se ϑ e ϑ = + kπ, k poniamo

R Z,

2 sin ϑ .

tan ϑ = cos ϑ

Questa funzione non è definita nei punti dove si annulla il coseno, ed è periodica di

periodo π.

Vale questa importante disuguaglianza:

Proposizione 1.12.17 Risulta

sin x π π

h i

∀x ∈ − \ {0};

cos x < < 1 ,

x 2 2

di conseguenza si ha

a

sin n ∀a ∈ \ {0}.

sup =1 R

a

+

n∈N n π

Dimostrazione Fissiamo x 0, e siano O l’origine ed E, X i punti corrispondenti

2

ai numeri 1 e cos x + i sin x; sia poi T il punto di incontro tra la perpendicolare ad

OE passante per E ed il prolungamento di OX, e H il punto d’incontro con OE della

87

perpendicolare ad OE passante per X. Dato che i triangoli OHX e OET sono simili,

si ha |H| |E| |X − |T −

: = H| : E|,

da cui |X − · |E| sin x

H|

|T − = = tan x.

E| = |H| cos x

D’altra parte, il triangolo OEX è contenuto nel settore di vertici O,E,X il quale a sua

volta è contenuto nel triangolo OET: ne segue, calcolando le tre aree,

1 1 1

sin x < x < tan x,

2 2 2

π

da cui la tesi quando x 0, .

2

π

∈ − , 0 , per quanto già visto si ha

Se x 2 sin (−x)

cos x = cos (−x) < < 1;

−x

sin (−x) sin x π

±

dato che = , si ha la tesi anche in questo caso. Infine, se x = la tesi è

−x x 2

banale.

Sia ora a > 0. Essendo 2

a

a

a 2 +

2 ∀n ∈

≤ − = sin < ,

0 1 cos N

2

n n n

a 2a

si ottiene (dato che cos > 0 per n > )

n π 1

a 2

sin a a 2

n

≥ ≥ ≥ −

1 sup sup cos sup 1 = 1.

a 2

n n

+ + n>2a/π

n∈N n∈N

n

Seno e coseno in coordinate

2

Fissiamo due punti P, Q , diversi dall’origine O. Consideriamo l’angolo conves-

R

so POQ, orientato da P a Q: la sua ampiezza, misurata in radianti, è un numero

\

ϑ [−π, π]. Vogliamo esprimere i numeri reali cos ϑ , sin ϑ , che denoteremo

P Q P Q P Q

direttamente con cos POQ e sin POQ, in termini delle coordinate di P e Q.

\ \

Supponiamo dunque P = (x , y ) e Q = (x , y ),

P P Q Q

e poniamo per comodità E = (1, 0). Siano ϑ e

P

ϑ le misure in radianti degli angoli convessi orien-

Q

tati EOP, EOQ; con l’aiuto delle figure è facile

\ \

verificare che risulta

− |ϑ − |

 ϑ ϑ se ϑ < π

Q P Q P

 − − ≤ −π

ϑ ϑ + 2π se ϑ ϑ

ϑ = Q P Q P

P Q 

 − − − ≥

ϑ ϑ 2π se ϑ ϑ π.

Q P Q P 88

Di conseguenza, utilizzando le formule di addizione (proposizione 1.12.15), si ottiene

cos POQ = cos (ϑ ϑ ) =

\ Q P

= cos ϑ cos ϑ + sin ϑ sin ϑ =

Q P Q P

x x y y

Q P Q P

= + ,

q p q p

2 2 2 2

x + y x + y

2 2 2 2

x + y x + y

P P P P

Q Q Q Q

sin POQ = sin (ϑ ϑ ) =

\ Q P −

= sin ϑ cos ϑ cos ϑ sin ϑ =

Q P Q P

y x

x y

Q Q

P P

= .

q p q p

2 2 2 2

x + y x + y

2 2 2 2

x + y x + y

P P P P

Q Q Q Q

Queste sono le espressioni del coseno e del seno che cercavamo. Si noti che, di conse-

guenza,

hP, Qi 1 x x

P Q

cos POQ = , sin POQ = det ,

\ \

|P| · |Q| |P| · |Q| y y

P Q

a α

ove il determinante della matrice è, per definizione, il numero aβ bα. Vale allora

b β

la seguente importante 2

∈ \ {O}.

Proposizione 1.12.18 Siano P, Q R

(i) Risulta hP, |P| · |Q|

Qi = cos POQ;

\

P

(ii) detto il parallelogrammo di vertici O, P, Q e P + Q, la sua area a(P) è data da

|P| · |Q| · | |x − |.

a(P) = sin POQ| = y y x

\ P Q P Q

Dimostrazione (i) Segue dai discorsi precedenti.

P |P| |Q| | | ≤

(ii) La base di misura e la sua altezza misura sin POQ|; poiché POQ| π,

\ \

| |

si ha sin POQ| = sin POQ|, da cui la tesi.

\ \

Se ne deduce immediatamente: 89

2

∈ T

Corollario 1.12.19 Se P, Q , l’area del triangolo di vertici O, P e Q è uguale

R

a 1 |x − |.

y y x

a(T ) = P Q P Q

2

Forma trigonometrica dei numeri complessi

Se z = a + ib è un numero complesso non nullo, come sappiamo esso può essere rap-

presentato, oltre che per mezzo delle sue coordinate cartesiane (a, b), anche tramite il

suo modulo ed il suo argomento (definizione 1.12.13): infatti, ricordando la definizione

|z|

1.12.14, posto ρ = e ϑ = arg z vale la relazione

z = ρ(cos ϑ + i sin ϑ).

Questa è la scrittura di z in forma tri-

gonometrica. Si noti che, noti ρ e ϑ, si

ha a = ρ cos ϑ

b = ρ sin ϑ ,

mentre, noti a e b, si ha a

( cos ϑ =

√ ρ

2 2

a + b ,

ρ = b

sin ϑ = ,

ρ

il che equivale, com’è giusto, a determinare ϑ a meno di multipli interi di 2π.

La forma trigonometrica dei numeri complessi è utile per rappresentare geometricamen-

te il prodotto in Siano infatti z, w se uno dei due numeri è 0, allora il prodotto

C. C:

fa 0 e non c’è niente da aggiungere. Se invece z, w sono entrambi non nulli, scrivendoli

in forma trigonometrica,

z = ρ(cos ϑ + i sin ϑ),

w = r(cos α + i sin α),

otteniamo che

zw = ρr(cos ϑ + i sin ϑ)(cos α + i sin α) =

= ρr[(cos ϑ cos α sin ϑ sin α) +

+i(sin ϑ cos α + cos ϑ cos α)] =

= ρr[cos (ϑ + α) + i sin (ϑ + α)].

Dunque zw è quel numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli e per

argomento la somma degli argomenti. In particolare si ha la formula

arg (zw) = arg z + arg w + 2kπ, k Z.

Ovviamente si ha anche − −

zw = ρr[cos (ϑ α) + i sin (ϑ α)];

90

scelto poi w = z, troviamo 2 2

z = r (cos 2ϑ + i sin 2ϑ),

e più in generale vale la formula di de Moivre:

n n n n ∀ϑ ∈ ∀n ∈

z = r (cos ϑ + i sin ϑ) = r (cos nϑ + i sin nϑ) R, N.

Da questa formula, utilizzando lo sviluppo di Newton per il binomio (valido ovviamente

anche in campo complesso, trattandosi di una relazione algebrica) è possibile dedurre

delle non banali relazioni trigonometriche che esprimono sin nϑ e cos nϑ in termini di

sin ϑ e cos ϑ (esercizio 1.12.13).

Altre formule trigonometriche, che seguono facilmente dalle formule di addizione, sono

illustrate negli esercizi 1.12.6, 1.12.7 e 1.12.8.

Radici n-sime di un numero complesso n

Fissato w vogliamo trovare tutte le soluzioni dell’equazione z = w (con n intero

C,

maggiore di 1). Ricordiamo che proprio l’esigenza di risolvere le equazioni algebriche ci

ha motivato ad introdurre i numeri complessi. 6

Se w = 0, naturalmente l’unica soluzione è z = 0; se w = 0, risulta ancora utile usare

la forma trigonometrica. Scriviamo w = r(cos α + i sin α), e sia z = ρ(cos ϑ + i sin ϑ)

n

l’incognita: affinché sia z = w bisognerà avere

n

ρ = r (uguagliando i moduli),

nϑ = α + 2kπ, k (uguagliando gli argomenti),

Z

cioè 1

( ρ = r (radice n-sima reale positiva)

n

α+2kπ ∈

ϑ = , k Z.

n

Sembra dunque che vi siano infinite scelte per ϑ, cioè infinite soluzioni z. Però, mentre

le prime n scelte di k (k = 0, 1, . . . , n 1) forniscono n valori di ϑ compresi fra 0 e 2π

α+2(n−1)π

α+2π

αn ≥ ≤ −1

(ossia ϑ = , ϑ = , . . . , ϑ = ), le scelte k n e k danno luogo

1 n−1

0 n n

a valori di ϑ che si ottengono da quelli già trovati traslandoli di multipli interi di 2π:

infatti α + 2nπ α + 2(n + 1)π

ϑ = = ϑ + 2π, ϑ = = ϑ + 2π,

n 0 n+1 1

n n

ed in generale per j = 0, 1, . . . , n 1

α + 2(mn + j)π ∀m ∈

ϑ = = ϑ + 2mπ Z.

mn+j j

n

In definitiva, le infinite scelte possibili per ϑ forniscono solo n scelte distinte per z, e

cioè

α + 2jπ α + 2jπ

1 −

z = r cos + i sin , j = 0, 1, . . . , n 1.

n

j n n

91

6

Quindi ogni numero complesso w = 0 ha

esattamente n radici n-sime distinte z , z ,

0 1

. . . , z che sono tutte e sole le soluzioni

n−1 n

dell’equazione z = w. I numeri z , . . . ,z

0 n−1

giacciono tutti sulla circonferenza di centro

1

|w| ; ciascuno forma un angolo

0 e raggio n

di con il precedente, cosicché essi sono i

n

vertici di un poligono regolare di n lati in-

scritto nella circonferenza. L’argomento del

primo vertice z si trova dividendo per n l’ar-

0

gomento principale di w, cioè l’unico che sta

in [0, 2π[. 1

Se, in particolare, w è reale positivo, si avrà arg z = arg w = 0, quindi z è reale

0 0

n

positivo ed è la radice n-sima reale positiva di w. Dunque, se w è reale positivo, la sua

1 è una delle n radici n-sime complesse di w (e tra queste

radice n-sima reale positiva w n

1

−w

ci sarà anche se n è pari).

n

Esercizi 1.12

1. Calcolare le quantità 67 45 5

1 1+ i i + 2i 1+ i

24

(1 i) , .

, , ,

− |1

i 1 i + i|

1 2i

2. Quanti gradi sessagesimali misura un angolo di 1 radiante?

3. Calcolare le aree del poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza di

raggio 1 e di quello circoscritto alla medesima circonferenza.

4. Dimostrare che: −`(γ ∈ \ {0};

(i) `(γ (v, w)) = (w, v)) per ogni v, w C

− + ∈ \ {0};

−`(γ w) per ogni w

(ii) `(γ (1, w)) = (1, C

− + −iw)) ∈ −1);

(iii) `(γ (i, w)) = `(γ (1, per ogni w γ (i,

+ + +

−w)) ∈

(iv) `(γ (−1, w)) = `(γ (1, per ogni w γ (−1, 1).

+ + +

5. Completare la seguente tabella: 92

π π π π 2π 3π 5π

x 0 6 4 3 2 3 4 6

cos x

sin x

tan x 5π 4π 3π 5π 7π 11π

x π 6 4 3 2 3 4 6

cos x

sin x

tan x

6. Dimostrare le formule di bisezione: −

1 + cos x x 1 cos x

x 2

2 ∀x ∈

= , sin =

cos R.

2 2 2 2

7. Dimostrare le formule di duplicazione:

2 2

− ∀x ∈

cos 2x = cos x sin x, sin 2x = 2 sin x cos x R.

8. (i) Dimostrare le formule di Werner:

1 − −

 sin ax sin bx = [cos(a b)x cos(a + b)x]

2

 1 − ∀a, ∈

cos ax cos bx = [cos(a b)x + cos(a + b)x] b, x R.

2

 12

 −

sin ax cos bx = [sin(a b)x + sin(a + b)x].

(ii) Dedurre le formule di prostaferesi:

 α+β α−β

cos α + cos β = 2 cos cos

2 2

 α+β α−β

− −2

cos α cos β = sin sin

 2 2 ∀α, ∈

β R.

α+β α−β

cos

sin α + sin β = 2 sin

 2 2

 α+β α−β

 −

sin α sin β = 2 cos sin .

 2 2

9. Provare che

| − ≤ |α − | − ≤ |α − ∀α, ∈

cos α cos β| β|, sin α sin β| β| β R.

93

10. Dimostrare le relazioni tan α+tan β tan α−tan β

tan(α + β) = , tan(α β) = ,

1−tan α tan β 1+tan α tan β

α 1−cos α 2 tan α

2

tan = , tan 2α = 2

2 1+cos α 1−tan α

per tutti gli α, β per i quali le formule hanno senso.

R

∈ \ {(2k

11. Dimostrare che se α + 1)π} si ha

R k∈Z

α α

2

2 tan 1 tan

2 2

sin α = cos α = .

α α

2 2

1 + tan 1 + tan

2 2

12. Provare che sin(α−β)

sin(α+β) −

, tan α tan β = ,

tan α + tan β = cos α cos β cos α cos β

sin(α+β) sin(α−β)

1 1 1 1

+ = , =

tan α tan β sin α sin β tan α tan β sin α sin β

per tutti gli α, β per i quali le formule hanno senso.

R ∈

13. Utilizzando la formula del binomio, dimostrare che per ogni ϑ e per ogni

R

+

n si ha

N n

[ ]

2

n

X h 2h n−2h

cos nϑ = (−1) sin ϑ cos ϑ,

2h

h=0

n−1 ]

[ 2

n

X h 2h+1 n−2h−1

(−1) sin ϑ cos ϑ,

sin nϑ = 2h + 1

h=0

ove [x] denota la parte intera del numero reale x, cioè

∈ ≤

[x] = max{k : k x}.

Z

14. Dimostrare che

N 12 x

sin N +

1 X +

∀x ∈ \ {2kπ} ∀N ∈

+ cos nx = , .

R N

k∈Z

x

2 2 sin 2

n=1 1

[Traccia: usare le formule di Werner con a = e b = n.]

2

15. Calcolare: 5π π 5π 7π 11π

π , sin , tan , cos , sin , tan .

cos 12 12 8 8 8 12

16. (Teorema di Carnot) Sia ABC un triangolo. Detto α l’angolo opposto al vertice

A, si provi che 2 2 2 −

a = b + c 2bc cos α,

|B − |C − |A −

ove a = C|, b = A|, c = B|.

94

17. (Teorema dei seni) Sia ABC un triangolo. Detti α, β e γ gli angoli opposti ai

vertici A, B e C, si provi che a b c

= = ,

sin α sin β sin γ

|B − |C − |A −

ove a = C|, b = A|, c = B|.

18. Risolvere le equazioni: √

− 3 cos x = 0, (ii) sin x + (2 + 3) cos x = 1,

(i) 3 sin x

2 4 2 2 4

− −

(iii) 2 sin x sin x = 1, (iv) sin x 4 sin x cos x + 3 cos x = 0,

2 4

4 2

(v) sin x + 3| sin x| = 2, (vi) cos x 4 sin x cos x + 3 sin x = 0.

19. Risolvere le disequazioni: 3

1 −

(i) sin x < , (ii) 4 sin x tan x > 0,

2 cos x

( tan x > 3

1

(iii) cos x > , (iv)

√ 2 12 ,

sin x >

√ √ √

2 sin x 1

√ − −

> 0, (vi) sin x + ( 2 1) cos x > 2 1.

(v) 2 sin x + 1

20. Determinare l’area dei triangoli di vertici:

(i) (0, 0), (−2, 5), (4, 2), (ii) (1, 1), (2, 6), (−1, 3).

21. Scrivere in forma trigonometrica i numeri complessi:

√ √ √ −

1 i 7

− − −1 −

1 + i, 3 3i, 2, 3 + i, + 3i, , .

1+ i

3 i

22. Calcolare: −

(i) le radici seste di 1; (ii) le radici quadrate di i;

√ −

(iii) le radici quarte di 1 + 3i; (iv) le radici ottave di i.

23. Dimostrare che se z le radici n-sime di z sono a due a due coniugate.

R

24. Siano z , . . . , z le radici n-sime di 1 che sono diverse da 1. Provare che tali numeri

1 n

sono le soluzioni dell’equazione n−1

X k

z = 0.

k=0

95

25. Provare che la somma delle n radici n-sime di un qualunque numero complesso z

è uguale a 0.

26. Risolvere in le seguenti equazioni:

C 3

4 2 4

(i) z 2iz + 3 = 0, (ii) z = z ,

3 − −

(iii) z izz = 0, (iv) z|z| 2Rez = 0,

π

3

|z − |z −

(v) + 2| 2| = 2, (vi) z = arg z + ,

6 √

2 2 2

2 − −i|z| −

|z|z zz = 1, (viii) z = 2,

(vii) z|z| +

2 2 2 2 2

|z |z − − |z|

(ix) + 1| + 1| = 8z 6, (x) z + = 3i + 2,

5 3 6 2

− −

(xi) z iz z = 0, (xii) z = arg z + arg z .

27. Risolvere in i seguenti sistemi:

C

( (

2 2

|z + 1| = 1 zw = 1

(i) (ii)

1 2 2 4

|z|

Rez = , z + w = 2,

2

( ( 3

2

|z −

+ i 1| = 2 z w = 1 + i

(iii) (iv)

2 4 2

|z| − |w|

3|z| + 2 = 0, z = 3i,

(

( 3

3

2 − −

z

z w = i 1 w 1 = 0

(vi)

(v) 2 2

|z|w + 2z = 0, z w + 1 = 0.

∈ |z | |z | |z |

28. Si provi che se z , z , z se = = = 1 e z + z + z = 0, allora i

C,

1 2 3 1 2 3 1 2 3

punti z , z , z sono i vertici di un triangolo equilatero. Cosa succede nel caso di

1 2 3

quattro punti soggetti ad analoghe condizioni? 1 Im(zw).

29. Provare che l’area del triangolo di vertici 0, z, w è data da 2

[Traccia: ridursi con una rotazione al caso arg w = 0.]

30. Provare che le equazioni della forma ∈ ∈

λz + c = 0, λ c

λz + C, R,

rappresentano le rette nel piano complesso.

31. Provare che le equazioni della forma

2 2

|z| − − ∈ ∈ |λ|

λz λz + c = 0, λ c c < ,

C, R,

rappresentano le circonferenze nel piano complesso.

∈ ∈

32. Siano a, b disegnare il luogo dei numeri z tali che

C: C

1

|z − |z −

a| > b|.

2

∈ |z| −

33. Sia z con = 1. Si verifichi che (z 1)(z + 1) è immaginario puro e si

C

interpreti geometricamente questo fatto.

96

Capitolo 2

Successioni

2.1 Limiti di successioni

Si usa il termine “successione” per indicare una sequenza interminabile di elementi presi

da un certo insieme. Più precisamente:

Definizione 2.1.1 Sia X un insieme. Una successione a valori in X è una funzione a :

→ X. Gli elementi a(0), a(1), a(2), eccetera, si dicono termini della successione e si

N

denotano più brevemente con a , a , a , e cosı̀ via. Nel termine generico a è contenuta

0 1 2 n

la legge di formazione della successione. La successione a : X si denota con

N

{a } {a },

o anche semplicemente con confondendola impropriamente con l’insieme

n n∈N n

dei suoi termini.

A noi interesseranno per lo più (ma non solo) successioni a valori reali o complessi.

Molto spesso sarà utile considerare successioni definite non su tutto ma solo per tutti

N

{n ∈ ≥ } →

i numeri naturali maggiori di un intero fissato, cioè funzioni a : : n n X.

N 0

1 +

} ∈

{ è una successione reale, definita solo per n : si ha a = 1,

Esempi 2.1.2 (1) N 1

n +

a = 1/2, a = 1/3, . . . , dunque a = 1/n per ogni n .

N

2 3 n n

∈ {q } ∈

(2) Se q è un numero fissato, è una successione complessa (reale se q

C R)

2 3

ed i suoi termini sono 1, q, q , q , eccetera. In particolare: se q = 1 la successione vale

−1 −1

costantemente 1; se q = la successione prende solo i valori 1 e alternativamente,

{a }

infinite volte; se q = i, analogamente, assume ciclicamente i quattro valori 1, i,

n

−1, −i.

{n!}

(3) è la successione reale 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, . . . ; essa cresce

molto rapidamente al crescere dell’indice n.

nk=0 k

P ∈ {a }

(4) Posto a = q , con q fissato, è una successione i cui termini, come

C

n n

sappiamo, sono (esempio 1.6.4 (4)) n+1

( 1−q 6

se q = 1,

1−q

a =

n n + 1 se q = 1.

97

(5) La legge di formazione di una successione può essere data induttivamente anziché

in modo esplicito: ad esempio

a = 1 se n = 0

0 1 ≥

se n 1,

a = 1 +

n+1 a

n

è una successione definita per ricorrenza, ove ciascun elemento (salvo a ) è definito in

0

termini del precedente; si ha 5 8 13 21

3 , a = , a = , a = , a = ,

a = 1, a = 2, a = 3 4 5 6

0 1 2 2 3 5 8 13

e possiamo calcolarne quanti vogliamo, ma non è facile determinare una legge esplicita

che esprima il termine generale a in funzione solo di n.

n

A noi interesserà il comportamento di una data successione per valori molto grandi di

n. A questo scopo è fondamentale la nozione di limite:

{a } ⊆ ∈

Definizione 2.1.3 Sia sia L Diciamo che L è il limite della succes-

C, C.

n

{a } {a }

sione al tendere di n a +∞, oppure che la successione converge a L per n

n n

che tende a +∞, se vale la condizione seguente:

∀ε ∃ν ∈ |a − ∀n

> 0 : L| < ε > ν.

N n

Ciò significa che comunque si fissi un margine di errore ε > 0, si può trovare una soglia

ν al di là della quale per ogni indice n il corrispondente elemento a differisce da L (in

n

modulo) per meno di ε. In tal caso scriveremo → → ∞.

lim a = L, oppure a L per n

n n

n→∞ {a }

Osservazioni 2.1.4 (1) Se la successione è reale e L è reale, la definizione di

n |a −

limite non cambia di una virgola: naturalmente il modulo L| diventa un valore

n

assoluto.

(2) Nella definizione non cambia nulla se si concede alla soglia ν di essere un numero

reale anziché un numero naturale: l’importante è che per tutti gli indici n che

N

|a −

sono maggiori di ν valga la disuguaglianza L| < ε. In particolare, non è affatto

n

necessario scegliere il minimo ν possibile: ciò oltretutto può complicare terribilmente i

conti. |a −

(3) La condizione L| < ε è tanto più vincolante e significativa quanto più ε è

n

piccolo; minore è ε, più saremo costretti a scegliere una soglia ν grande. Si noti che la

condizione, apparentemente meno forte,

“esiste un numero K > 0 tale che per ogni ε > 0 si può trovare una soglia ν per cui

|a −

risulta L| < Kε per ogni n > ν”

n

è equivalente a dire che lim a = L: infatti il numero Kε è un arbitrario numero

n→∞ n

positivo esattamente come lo era ε, per cui non c’è perdita di generalità (si ricordi il

lemma dell’arbitrarietà di ε, lemma 1.10.1).

Nel caso di successioni reali, c’è anche la nozione di successione divergente a +∞ oppure

−∞: 98

{a } ⊆ {a }

Definizione 2.1.5 Sia Diciamo che la successione ha limite +∞ per

R.

n n

→ →

n +∞, ovvero che essa diverge positivamente per n +∞, se

∀M ∃ν ∈ ∀n

> 0 : a > M > ν.

N n

{a } −∞ →

Analogamente, diciamo che la successione ha limite per n +∞, ovvero

n

essa diverge negativamente per n +∞, se

∀M ∃ν ∈ −M ∀n

> 0 : a < > ν.

N n

In altre parole, la successione è divergente se, fissato un numero M arbitrariamente

grande, esiste sempre una soglia ν al di là della quale tutti i termini della successione

−M

sono ancora più grandi di M (se il limite è +∞), ovvero ancora più piccoli di (se

−∞).

il limite è 1 1 1

| −

Esempi 2.1.6 (1) lim = 0. Infatti, fissato ε > 0, la relazione 0| = < ε è

n→∞ n n n 1

1 . Quindi la definizione è soddisfatta se si sceglie ν = ; se

verificata non appena n > ε ε

1

si vuole ν si potrà prendere ν = + 1.

N, ε

n ≥

= 1 (questa successione è definita per n 11). Infatti, dato ε > 0 si

(2) lim

n→∞ n−10

ha

n 1

n ⇐⇒

− − ⇐⇒

1 1 <ε n > 10 1 + ,

− −

n 10 n 10 ε

1 20

per cui basta scegliere ν = 10 1 + , o anche ν = (purché sia ε 1).

ε ε

n n n

∈ |q| |q | |q|

(3) Se q e < 1, allora lim q = 0. Infatti dato ε > 0 si ha = < ε

C n→∞ |q|

se e solo se n > log ε (si ricordi che la funzione log è decrescente essendo < 1).

|q| |q|

n

|q| ≥ ∈ {q }

Se, invece, 1 e q / [1, +∞[, la successione non ha limite (esercizio 2.1.7).

∈ ≥

Osserviamo però che se q e q 1

R 1 se q = 1

n

lim q = +∞ se q > 1.

n→∞ n

Ciò è evidente se q = 1; se q > 1 basta osservare che q > M se e solo se n > log M ,

q

dato che la funzione log stavolta è crescente.

q nk=0 1

k

P

∈ |q| . Infatti

(4) Per ogni q con < 1 si ha lim q =

C n→∞ 1−q

n n+1 n+1

− |q|

1 1 q 1

X k − −

q = = ,

− − − |1 −

1 q 1 q 1 q q|

k=0

quindi n n+1

|q|

1

X k − ⇐⇒ −

q = <ε n + 1 > log (ε|1 q|).

|q|

− |1 −

1 q q|

k=0

Ma anche senza questo calcolo esplicito, che oltretutto non è sempre possibile, si poteva

n

osservare che, per l’esempio 2.1.6 (3), si ha lim q = 0; quindi esiste certamente

n→∞

99

n+1

|q | −

un ν tale che < ε|1 q| per ogni n > ν. Di conseguenza risulta, per tutti gli n

superiori a quel ν, n n+1

|q|

1

X k − = < ε.

q − |1 −

1 q q|

k=0

(5) lim n! = +∞. Infatti, ovviamente n! > M non appena, ad esempio, n > M .

n→∞

(6) Si ha +∞ se b > 1

lim log n =

b −∞ se 0 < b < 1.

n→∞

Infatti se M > 0 risulta

M

⇐⇒

log n > M n > b se b > 1,

b −M

−M ⇐⇒

log n < n > b se 0 < b < 1.

b 1/n

(7) Se a > 0, si ha lim a = 1. La cosa è evidente se a = 1, perché in tal caso

n→∞

1/n +

|a − |1 − ∈

addirittura 1| = 1| = 0 per ogni n . Se a > 1, ricordando l’esempio

N

1/n ∈

1.8.3 (1) abbiamo che inf a = 1; dunque, dato ε > 0 esiste ν tale che

N

+

n∈N 1/ν

1 < a < 1 + ε.

1/n 1/ν

D’altra parte, essendo a > 1 si ha a < a per n > ν: dunque a maggior ragione

1/n 1/n

|a − − ∀n

1| = a 1 < ε > ν,

1 > 1 e quindi, per quanto già provato, per ogni

che è la tesi. Infine se 0 < a < 1 si ha a

ε > 0 esiste ν tale che 1/n 1/n

1 1

− − ∀n

1 = 1 <ε > ν;

a a

1/n

dunque, moltiplicando per a ,

1/n 1/n 1/n

|1 − | − · ∀n

a = 1 a < ε a < ε > ν,

e la tesi è provata anche in questo caso. 1/n

{n } → ∞:

(8) Non è chiaro a priori se la successione abbia limite per n l’esponente

tende a rimpicciolire il numero, la base tende ad accrescerlo. Osserviamo intanto che

1/n +

≥ ∈ ≥

n 1 per ogni n ; d’altra parte, se per ogni n 2 applichiamo la disuguaglianza

N √

n,

delle medie (teorema 1.8.2) agli n numeri positivi a = . . . = a = 1, a = a =

1 n−2 n−1 n

si ottiene 1

!

n n

n 1 2 2 2

1 Y X √ √

n = a < a = 1 + < 1 + .

n k k

n n n n

k=1 k=1

Da qui segue che, per ogni fissato ε > 0, risulta 2

1 √

n < 1 + ε purché < ε,

n n

100

2

ossia purché n > 4/ε . In conclusione, 1/n

lim n = 1.

n→∞

Osservazione 2.1.7 Se una certa proprietà p(n) è verificata per ogni numero naturale

maggiore di una data soglia ν (ossia, in altri termini, se essa vale per tutti i naturali

salvo al più un numero finito), diremo che tale proprietà è vera definitivamente. Cosı̀,

nell’esempio 2.1.6 (8) si ha per ogni ε > 0

2

√ <ε definitivamente,

n 2

in quanto, come si è visto, tale condizione è vera per tutti gli n > 4/ε . →

Analogamente, la definizione di limite può essere riformulata come segue: si ha a L

n

→ ∞ |a −

per n se e solo se per ogni ε > 0 risulta L| < ε definitivamente, e si ha

n

→ → −∞ → ∞

a +∞ oppure a per n se e solo se per ogni M > 0 risulta a > M

n n n

−M

definitivamente, oppure a < definitivamente.

n

Successioni limitate

Un’importante classe di successioni è quella delle successioni limitate (che non significa

“dotate di limite”!). {a } {a }

Definizione 2.1.8 (i) Sia una successione reale o complessa. Diciamo che

n n

è limitata se esiste M > 0 tale che

|a | ≤ ∀n ∈

M N.

n

{a } {a }

(ii) Sia una successione reale. Diciamo che è limitata superiormente (oppure

n n

limitata inferiormente) se esiste M tale che

R

≤ ∀n ∈ ≥ ∀n ∈

a M oppure a M

N N.

n n

Ovviamente, una successione reale è limitata se e solo se è limitata sia superiormente

che inferiormente. Inoltre, ricordando che

|Imz|} ≤ |z| ≤ |Rez| |Imz| ∀z ∈

max{|Rez|, + C,

{a }

deduciamo che una successione complessa è limitata se e solo se le due successioni

n

{Rea }, {Ima }

reali sono entrambe limitate.

n n

Proposizione 2.1.9 Ogni successione convergente è limitata; il viceversa è falso.

Dimostrazione Sia lim a = L. Allora, scelto ε = 1, esiste ν tale che

N

n→∞ n

|a − ∀n

L| < 1 > ν;

n 101

quindi se n > ν si ha

|a | |a − ≤ |a − |L| |L|,

= L + L| L| + < 1 +

n n n

mentre se n = 0, 1, 2, . . . , ν risulta evidentemente

|a | ≤ | ∈ ≤

max{|a : k k ν}.

N,

n k

|a |

In definitiva tutti i numeri sono non superiori alla quantità

n |L|, |a |, |a |, |a |}.

M = max{1 + . . . ,

0 1 ν

n

{(−1) }

La successione mostra che il viceversa è falso.

Per le successioni reali divergenti si ha un risultato della stessa natura (esercizio 2.1.8).

Proprietà algebriche dei limiti

Proviamo anzitutto l’unicità del limite:

Proposizione 2.1.10 Il limite di una successione reale o complessa, se esiste, è unico.

{a }

Dimostrazione Supponiamo per assurdo che converga a L ed anche a M , con

n 1 |L − |,

6 M si ha

L = M ; supponiamo L e M entrambi finiti. Fissato ε tale che 0 < ε < 2

per ipotesi

|a − |a − |

L| < ε definitivamente, M < ε definitivamente;

n n

quindi, scegliendo un n che superi la maggiore delle due soglie, si ha anche

|L − | |L − − | ≤ |L − | |a − | |L − |,

M = a + a M a + M < 2ε < M

n n n n

e questo è assurdo. Pertanto deve essere L = M . ±∞.

Lasciamo al lettore diligente l’analisi dei casi in cui L, o M , è

Vediamo ora come si comportano i limiti rispetto alle operazioni algebriche.

{a }, {b } → →

Teorema 2.1.11 Siano successioni reali o complesse. Se a L e b M

n n n n

→ ∞,

per n con L e M finiti, allora:

→ → ∞;

(i) a + b L + M per n

n n

· → · → ∞.

(ii) a b L M per n

n n 6

Supposto inoltre M = 0, si ha:

1 1

→ → ∞;

(iii) per n

b M

n

a L

n → → ∞.

(iv) per n

b M

n 102

Dimostrazione (i)-(ii) Fissato ε > 0, si ha

|a − |b − |

L| < ε definitivamente, M < ε definitivamente;

n n

quindi risulta definitivamente

|a − − | ≤ |a − |b − |

+ b L M L| + M < 2ε,

n n n n

e ciò prova (i), tenuto conto dell’osservazione 2.1.4 (3). Inoltre

|a − | |a − − | ≤

b LM = b Lb + Lb LM

n n n n n n

≤ |a − · |b | |L| · |b − | | |L|).

L| + M < ε(|b +

n n n n

{b },

D’altra parte, la successione essendo convergente, è limitata da una costante

n

K > 0, in virtù della proposizione 2.1.9; ne segue

|a − | |L|)

b LM < ε(K + definitivamente,

n n

il che prova (ii), tenuto nuovamente conto dell’osservazione 2.1.4 (3). 6

(iii) Osserviamo anzitutto che b è definitivamente diversa da 0 essendo M = 0, ed anzi

n

|b | ≥

si ha C > 0 definitivamente (esercizio 2.1.9). Quindi per ogni ε > 0 si ha

n |M − |

1 1 b ε

n

− = < definitivamente,

|b | · |M | |

b M C|M

n n

da cui la tesi.

(iv) Segue da (ii) e (iii).

Per un analogo risultato nel caso di successioni (reali) divergenti si rimanda all’esercizio

2.1.18.

Limiti e ordinamento

Vediamo adesso come si comportano i limiti rispetto alla struttura d’ordine di R.

{a }, {b } →

Teorema 2.1.12 (di confronto) Siano successioni reali. Se a L e

n n n

→ → ∞,

b M per n e se

n ≤

a b definitivamente,

n n

allora si ha L M . ∈

Dimostrazione Supponiamo, per fissare le idee, che L, M e, per assurdo, che

R

12 −

L > M ; scegliamo 0 < ε < (L M ). Sia ν la soglia tale che

≤ |L − | |M − | ∀n

a b , a < ε, b < ε > ν.

n n n n

Per tali n si ha anche − ≤

L ε < a b < M + ε,

n n

da cui 0 < L M < 2ε per ogni ε > 0. Ciò è assurdo, per il lemma dell’arbitrarietà di

ε (lemma 1.10.1).

±∞ ±∞

Il caso L = oppure M = è analogo.

103

Esercizi 2.1 ∈ −L)

1. Si provi che si ha lim a = L, con L se e solo se risulta lim (a =

C,

n→∞ n n→∞ n

0. {a } ⊆ {a } ∈

2. Sia Si provi che ha limite L se e solo se le due successioni reali

C. C

n n

{Rea } {Ima }

e convergono entrambe, con limiti ReL e ImL rispettivamente.

n n → |a | → |L|.

3. Si provi che se a L, allora È vero il viceversa?

n n

→ {b } · →

4. Si provi che se a 0 e è limitata, allora a b 0.

n n n n

5. Dimostrare che se a L, allora

n −

lim (a a ) = 0.

n+1 n

n→∞

È vero il viceversa? → 6

6. Dimostrare che se a L e L = 0, allora

n a n+1

lim = 1.

a

n→∞ n

È vero il viceversa? Che succede se L = 0? n

∈ |q| ≥ 6 {q }

7. Si dimostri che se q 1 e q = 1 allora la successione non ha limite.

C,

{a } {a }

8. Provare che se è una successione reale divergente, allora non è limitata,

n n

ma che il viceversa è falso. {a } ⊆

9. (Teorema della permanenza del segno) Sia Provare che:

C.

n

6

(i) se lim a = 0, allora esiste δ > 0 tale che

n→∞ n |a | ≥ δ definitivamente;

n

{a } ⊆

(ii) se e se lim a > 0, allora esiste δ > 0 tale che

R

n n→∞ n ≥

a δ definitivamente.

n

10. Provare che n ∀a

lim =0 > 1,

n

a

n→∞

e dedurre che b

n ∀a ∀b ∈

lim =0 > 1, R.

n

a

n→∞

11. Provare che log n

a ∀a 6

lim =0 > 0, a = 1,

n

n→∞

e dedurre che log n

a ∀a 6 ∀b

lim =0 > 0, a = 1, > 0.

b

n

n→∞ 104

12. Provare che n

a ∀a

=0 > 1.

lim n!

n→∞

13. Provare che n!

lim = 0.

n

n

n→∞

14. Provare che √

n a ∀a ∈

n = 1

lim R.

n→∞

15. Provare che √

n

lim n! = +∞.

n→∞

[Traccia: ricordare l’esercizio 1.6.17.]

16. Calcolare, se esistono:

√ p p

n n n

n n n n n n+1

2 + 3 , (ii) lim (−2) + 3 , (iii) lim 2 + (−1) .

(i) lim n→∞ n→∞

n→∞ −n

17. Calcolare, se esiste, lim a , ove a = 1 se n è pari e a = 2 se n è dispari.

n→∞ n n n

{a } {b }

18. Siano e successioni reali. Dimostrare che:

n n

→ →

(i) se a +∞ e b è limitata inferiormente, allora a + b +∞;

n n n n

→ −∞ → −∞;

(ii) se a e b è limitata superiormente, allora a + b

n n n n

→ ≥ · →

(iii) se a +∞ e b K > 0 definitivamente, allora a b +∞;

n n n n

→ ≤ · → −∞;

(iv) se a +∞ e b K < 0 definitivamente, allora a b

n n n n

→ −∞ ≥ · → −∞;

(v) se a e b K > 0 definitivamente, allora a b

n n n n

→ −∞ ≤ · →

(vi) se a e b K < 0 definitivamente, allora a b +∞;

n n n n

→ → −∞, →

(vii) se a +∞ oppure a allora 1/a 0;

n n n

→ 6 | →

(viii) se a 0 e a = 0 definitivamente, allora 1/|a +∞ (questo vale anche

n n n

{a } ⊆

se C);

n

→ →

(ix) se a 0 e a > 0 definitivamente, allora 1/a +∞;

n n n

→ → −∞;

(x) se a 0 e a < 0 definitivamente, allora 1/a

n n n

(xi) negli altri casi, cioè per le cosiddette forme indeterminate seguenti:

− ∞ → → −∞),

(a) +∞ (per il limite di a + b quando a +∞ e b

n n n n

· · → → ±∞),

(b) 0 (±∞) (per il limite di a b quando a 0 e b

n n n n

∞ a → ±∞ → ±∞),

(c) (per il limite di quando a e b

n n n

∞ b n

0 a → →

(d) (per il limite di quando a 0 e b 0),

n n n

0 b n

si mostri con esempi che il corrispondente limite può essere un numero reale

±∞,

qualunque, oppure oppure può non esistere.

105

{a }, {b }, {c } ≤

19. (Teorema dei carabinieri) Siano successioni reali tali che a

n n n n

≤ → → ∈

b c definitivamente. Si provi che se a L e c L (con L oppure

R

n n n n

±∞), →

L = allora b L.

n

20. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

√ √ 1

n n

4n sin 3 8 ,

(i) lim , (ii) lim n cos n

n→∞ n→∞

√ √ 1

2 √

(iii) lim ,

n +1 n , (iv) lim n sin n

n→∞ n→∞

2n 2

−n

(v) lim , (vi) lim 2 n!,

n

n→∞ n→∞ √

2

n +1

n n n n+1

− − .

(vii) lim (4 + 10 11 ), (viii) lim 3 3

n→∞ n→∞

{a } ⊆ →

21. Dimostrare che se a L e L > 0, allora

R,

n n

√ √

k +

∀k ∈

lim a = L , lim a = 1.

k n

N

n n

n→∞ n→∞

→ ∈

22. Si provi che se a L, L allora

C,

n n−1

1 X a = L.

lim k

n

n→∞ k=0

{a } ⊆ ±∞?

È vero il viceversa? Che succede se e L =

R

n

{a } ⊆ ∞[ → ∈ ∞[,

23. Si provi che se ]0, e a L, con L [0, allora

n n v

n−1

u Y

u

n

lim a = L.

t k

n→∞ k=0

È vero il viceversa? Che succede se L = +∞?

{b } →

24. Sia una successione di numeri positivi tale che b b, con b > 0. Si provi

n n

xn x

→ ∈

che b b per ogni x R.

{a }

25. (Teorema di Cesàro) Sia una successione reale o complessa. Si provi che se

n

a λ, allora

n a + a + . . . + a

1 2 n → λ.

n

{a } ⊂ ±∞.[Traccia:

Si estenda questo risultato al caso e λ = fissato ε > 0,

R

n

∈ |a − ≥

sia ν tale che λ| < ε per ogni n ν. Si osservi che, per n grande, la

N n

n ν

1 1

P P

a è vicina a λ, mentre a è vicino a 0...]

quantità k k

k=ν+1 k=1

n n

106

2.2 Serie

Le serie numeriche sono semplicemente successioni reali o complesse di tipo particolare,

che però, per la loro importanza pratica e teorica, meritano una trattazione a parte.

{a }

Data una successione reale o complessa, andiamo a costruire una nuova successione

n

{s } in questo modo:

n s = a

0 0 ∀n ∈

s = s + a N.

n+1 n n+1

Si ha dunque n

X ∀n ∈

s = a N.

n k

k=0

{s }

Definizione 2.2.1 Ogni successione del tipo sopra definito si chiama serie e si

n ∞

P P a , quando si voglia precisare

indica con il simbolo a (o, più pedantemente, con k

k k=0 ∞

P a ,

qual è l’indice iniziale: si possono infatti considerare anche serie del tipo k

k=1

∞ P

P ∈

a con p fissato ad arbitrio). I numeri a si dicono termini della

a , N

k k

k k=p

k=50

serie ed i numeri s si dicono somme parziali della serie.

n

Si noti che nel definire una serie ed il simbolo che la indica non si è fatto alcun riferimento

{s },

alla convergenza della successione che può benissimo non verificarsi.

n P

Definizione 2.2.2 Si dice che la serie a è convergente ad un numero (reale o com-

k {s }

plesso) L se la successione delle sue somme parziali è convergente ed ha limite L;

n

in tal caso il numero L si dice somma della serie e si scrive

n

X X

L = lim a = a .

k k

n→∞ k=0 k=0 ∞

P a viene usato sia

Come si vede, c’è una certa ambiguità, perché lo stesso simbolo k

k=0

per indicare la serie (convergente o no), sia per indicarne la somma (se convergente).

Purtroppo si tratta di una notazione di uso ormai consolidato, e non possiamo evitare

di adottarla; sarà comunque chiaro di volta in volta dal contesto del discorso in quale

P

dei due sensi va inteso il simbolo a .

k

k=0

Osservazione 2.2.3 Una serie è dunque una particolare successione, costruita a partire

da un’altra successione assegnata. Però il punto di vista si può anche capovolgere: ogni

P

{a } {b }

successione può essere vista come una serie b , con opportuna. Basta

n k n

infatti definire b = a

0 0 ∀n ∈ N,

b = a a

n+1 n+1 n

ed è facile verificare che allora n

X ∀n ∈

a = b N,

n k

k=0

P

{a }

cioè coincide con la serie b .

n k 107

Successioni e serie sono dunque concetti del tutto equivalenti. Tuttavia le serie si pre-

sentano spesso in modo naturale nelle applicazioni (geometriche, fisiche, meccaniche,

ecc.); inoltre la teoria delle serie è per molti aspetti più maneggevole ed articolata di

quella delle successioni. Ad esempio, vi sono svariati criteri di uso molto semplice che

garantiscono la convergenza delle serie, i cui analoghi per le successioni non sono altret-

tanto comodi dal punto di vista pratico.

Nel caso di serie reali si può dare anche la nozione di serie divergente:

P

Definizione 2.2.4 Diciamo che la serie reale b è divergente positivamente, oppure

k

divergente negativamente, se le sue somme parziali s formano una successione che

n

−∞, → ∞.

tende a +∞, oppure a per n In tal caso si scrive

∞ ∞

X X −∞.

a = +∞, oppure a =

k k

k=0 k=0

P

Definizione 2.2.5 Diciamo che la serie a (reale o complessa) è indeterminata se

k

{s } → ∞.

la successione delle sue somme parziali non ha limite per n

n ∈ |q|

Esempi 2.2.6 (1) (Serie geometrica) Sia q Se < 1, allora

C.

∞ 1

X k

q = −

1 q

k=0

|q| ≥ ∈

(esempio 2.1.6 (4)). Se 1 e q / la serie è indeterminata in virtù dell’esercizio

R,

∈ ≥

2.1.7, mentre se q q 1 la serie è reale e diverge positivamente.

R,

∞ 1

P = 1. Infatti

(2) Risulta k=1 k(k+1)

n n

1 1 1 1

X X − − → → ∞.

s = = =1 1 per n

n k(k + 1) k k +1 n +1

k=1 k=1

Questo è un esempio di serie telescopica: sono telescopiche le serie che si presentano

P − −

nella forma (b b ), cosicché s = b b . Ciò in effetti accade sempre, tenuto

k k+1 n 0 n+1

conto dell’osservazione 2.2.3, ma si parla di serie telescopiche soltanto quando questo

modo di vederle porta ad una concreta semplificazione della situazione.

∞ 1

P si chiama serie armonica perché ciascun termine

(3) (Serie armonica) La serie k=1 k

(salvo il primo) è la media armonica del predecessore e del successore (la media ar-

2

monica di due numeri positivi a, b è il numero ; si veda anche l’esercizio 1.8.4).

1/a+1/b

1

Osservando che i termini sono positivi e decrescenti, si ha

k 2n 1 n 1

X +

− ≥ ∀n ∈

s s = = .

N

2n n k 2n 2

k=n+1

Ne segue che la serie armonica non può essere convergente, perchè in tal caso esisterebbe

14

∈ |s −

L tale che L| < definitivamente; ma allora, scelto n abbastanza grande,

R n

dedurremmo 1 1 1 1

≤ − ≤ |s − |L − |

s s L| + s < + = ,

2n n 2n n

2 4 4 2

108 ∈

il che è assurdo. In effetti la stima precedente mostra che per ogni fissato m e per

N

m

ogni n 2 si ha

≥ − − − · · · −

s s = s + (s s ) + (s s ) + (s s ) + + (s s ) =

m m m−1

n 2 1 2 1 4 2 8 4 2 2

m m m

1

X X

− ≥

= 1+ =1+ ,

(s s ) 1 +

k k−1

2 2 2 2

k=1 k=1

→ ∞

e ciò prova che s (definizione 2.2.4), ossia che la serie armonica è divergente

n

positivamente. ∞

P

Osservazione 2.2.7 Sia a una serie convergente con somma L. Allora sottraen-

k

k=0 ∞

P ∈

do s ad entrambi i membri dell’uguaglianza a = L si ottiene che per ogni m N

m k

k=0

P

la serie a è convergente e

k

k=m+1 ∞

X − ∀m ∈

a = L s N.

k m

k=m+1 P

In particolare, facendo tendere m a +∞, si deduce che per ogni serie a convergente

k

si ha ∞

X

lim a = 0.

k

m→∞ k=m ∞

∞ P

P a .

a si chiama resto m-simo della serie

La serie k

k k=0

k=m

Vediamo ora una condizione necessaria per la convergenza di una serie.

P

Proposizione 2.2.8 Se a è una serie convergente, allora i suoi termini a formano

k n

→ → ∞;

una successione infinitesima, ossia risulta a 0 per n il viceversa è falso.

n ∈

Dimostrazione Se L è la somma della serie, fissato ε > 0 esiste ν tale che

N

|s − L| < ε per ogni n > ν. Quindi

n |a | |s − | ≤ |s − |L − | ∀n

= s L| + s < 2ε > ν + 1,

n n n−1 n n−1

→ → ∞.

cioè a 0 per n

n

La serie armonica (esempio 2.2.6 (3)) è una serie che non converge, benché i suoi termini

1 formino una successione infinitesima.

n

Osservazione 2.2.9 L’analogo della proposizione precedente per le successioni si può

{a }

enunciare nel modo seguente (vedere esercizio 2.1.5): se è una successione conver-

n

gente, allora −

lim (a a ) = 0,

n n+1

n→∞ √

{

ma il viceversa è falso, come mostra la successione n}.

109

Esercizi 2.2 P P P

1. Provare che se a e b sono serie convergenti, anche la serie (a + b ) è

n n n n

convergente e ∞ ∞ ∞

X X X

(a + b ) = a + b ;

n n n n

n=0 n=0 n=0

P

si provi anche che per ogni λ la serie (λa ) è convergente e

C n

∞ ∞

X X

(λa ) = λ a .

n n

n=0 n=0

Si generalizzino questi enunciati, per quanto possibile, al caso di serie reali diver-

genti. P P ≤ ≤

2. (Criterio del confronto) Siano a e b serie reali tali che 0 a b per

n n n n

ogni n N. ∞

∞ P

P P P ≤ b ; in

a

(i) Si provi che se b converge, allora a converge e n

n

n n n=0

n=0

quale caso vale l’uguaglianza?

P P

(ii) Si provi che se a diverge, allora b diverge.

n n

P

3. Sia a una serie a termini reali non negativi. Si dimostri che

n ∞

∞ a

X

X n

⇐⇒

a < +∞ < +∞.

n 1 + a

n

n=0

n=0

P P

4. Sia a una serie a termini reali non negativi. Si dimostri che se a è

n n

p

P ≥

convergente, allora (a ) è convergente per ogni p 1.

n P P P

{a } ⊆

5. Sia Si provi che se a e a sono convergenti, allora a è

C.

n 2m 2m+1 n

convergente e ∞ ∞ ∞

X X X

a = a + a ;

n 2m 2m+1

n=0 m=0 m=0

è vero il viceversa? a

2

P P

{a } ⊆ |a | è convergente,

6. Sia Si provi che se è convergente, allora n

C.

n n n

ma che il viceversa è falso.

7. (i) Si provi che ogni numero razionale ha uno sviluppo decimale periodico (even-

tualmente di periodo nullo).

(ii) Viceversa, sia x un numero reale con sviluppo decimale periodico, il cui an-

tiperiodo sia un intero a = a . . . a di p cifre e il cui periodo sia un intero

1 p

b = b . . . b con q cifre. Si provi che

1 q ∞

a b 1

X

x [x] = + ;

p p qn

10 10 10

n=1

110

dedurre che x è un numero razionale, e che x si può scrivere sotto forma

di una frazione (la frazione generatrice di x) il cui denominatore è fatto da

q cifre 9 seguite da p cifre 0, e il cui numeratore è la differenza fra l’intero

a . . . a b . . . b e l’intero b . . . b .

1 p 1 q 1 q

2.3 Successioni monotone

Un’importante classe di successioni reali è quella delle successioni monotòne (e non

monòtone!). {a } ⊆ {a }

Definizione 2.3.1 Sia Diciamo che è monotona crescente se si ha

R.

n n

≥ ∀n ∈

a a N.

n+1 n

{a }

Diciamo che è monotona decrescente se si ha

n ≤ ∀n ∈

a a N.

n+1 n

{a }

Diciamo che è strettamente crescente o strettamente decrescente se la corrispon-

n ∈

dente disuguaglianza è stretta per ogni n In entrambi i casi precedenti, la suc-

N. {a }

cessione si dirà strettamente monotòna. Infine diciamo che è definitivamente

n

monotona (crescente o decrescente) se la corrispondente disuguaglianza è vera soltanto

da una certa soglia ν in poi.

1 }, {−n}

{ sono successioni strettamente decrescenti.

Esempi 2.3.2 (1) n

n−1 }

{(n { sono successioni strettamente crescenti.

(2) + 1)!}, n

n

x

{ } ≥ −1 6

(3) 1 + è una successione crescente per ogni x (strettamente, se x = 0),

n −1

ed è definitivamente crescente per x < (esempio 1.8.3 (2)).

(4) Le somme parziali di una serie a termini di segno costante formano una successione

monotona: crescente se il segno è positivo, decrescente se è negativo.

Il comportamento all’infinito delle successioni monotone è particolarmente semplice. Si

ha infatti: {a } ⊆

Proposizione 2.3.3 Sia una successione monotona. Allora essa ha limite e

R

n

si ha ∈ − ∞, {a }

 sup a ] +∞] se è crescente,

n n

 n∈N

lim a =

n

n→∞ ∈ {a }

inf a [−∞, +∞[ se è decrescente.

 n n

n∈N

In particolare, una successione monotona è convergente se e solo se è limitata.

{a }

Dimostrazione Proveremo la tesi solamente nel caso in cui è decrescente, lascian-

n {a },

do l’altro caso al lettore. Sia L l’estremo inferiore della successione e supponiamo

n

dapprima che L allora, come sappiamo (proposizione 1.5.10), si ha

R: ≤ ∀n ∈

L a N,

n 111

∀ε ∃ν ∈ ≤

> 0 : L a < L + ε.

N ν

{a }

Poiché è decrescente, deduciamo

n ≤ ≤ ∀n ≥

L a a < L + ε ν,

n ν

→ → −∞, {a }

da cui segue che a L per n +∞. Se invece L = allora non ha minoranti

n n

e quindi ∀M ∃ν ∈ −M

> 0 : a < ;

N ν

{a }

per la decrescenza di segue che

n ≤ −M ∀n ≥

a a < ν,

n ν

→ −∞ →

cioè a per n +∞.

n {a }

L’ultima proprietà è banale: se è monotona e limitata, allora ha estremo superiore

n

ed estremo inferiore finiti, e quindi ha limite finito coincidente con uno dei due, cioè è

convergente; viceversa, ogni successione convergente è limitata per la proposizione 2.1.9

(si noti che questo è vero anche se la successione non è monotona).

Tornando alle serie, la proposizione precedente ci dice che per provare la convergenza

delle serie a termini positivi è sufficiente far vedere che le somme parziali sono limitate

superiormente: e questo è spesso abbastanza facile.

Esempi 2.3.4 (1) (Serie armonica generalizzata) Per α > 0 consideriamo la serie

∞ 1

X .

α

n

n=1

Se α = 1, essa si riduce alla serie armonica e, come si è visto nell’esempio 2.2.6 (3), è

∈]0,

divergente (positivamente). Dunque per ogni α 1[ si ha a maggior ragione

n

n 1

1 X

X → →

> +∞ per n +∞,

s =

n α

k k

k=1

k=1

cioè la serie diverge positivamente. Se α = 2, tenuto conto dell’esempio 2.2.6 (2), si ha

n n n−1

1 1 1

X X X → →

s = < 1+ =1+ 2 per n +∞,

n 2 −

k k(k 1) h(h + 1)

k=1 k=2 h=1

e per il teorema di confronto (teorema 2.1.12) la serie converge ed ha somma inferiore

a 2. Se α > 2, a maggior ragione, n

n 1

1 X

X <

s =

n α 2

k k

k=1 k=1

e, per confronto con il caso α = 2, la serie converge (con somma minore di 2).

Resta il caso α ]1, 2[: analogamente a quanto fatto per la serie armonica, andiamo a

stimare la differenza s s : si ha

2n n 2n 1 n

X +

− ≤ ∀n ∈

s s = ;

N

2n n α α

k (n + 1)

k=n+1 112

+ m

quindi, fissato m e scelto n = 2 , la disuguaglianza precedente implica

N m m k−1

2

X X

− ≤

s = s = 1 + (s s ) 1 + <

m k k−1

n 2 2 2 k−1 α

(2 + 1)

k=1 k=1

m 1 1

X

< 1+ < 1+ .

−(α−1)

(k−1)(α−1) −

2 1 2

k=1

m

≤ ∈

Dato che m 2 per ogni m si conclude che

N, 1 +

≤ ∀m ∈

s s < 1 + ,

N

m

m 2 −(α−1)

1 2

e pertanto la serie è convergente. In definitiva, la serie armonica generalizzata ha il

seguente comportamento:

1 converge se α > 1

X ∞ ≤

diverge a + se α 1.

α

n

n=1

(2) Consideriamo l’insieme P dei numeri primi, ossia di quei numeri naturali p che

sono privi di divisori interi diversi da p e da 1. Ordiniamo P in modo crescente: dunque

+

p = 2, p = 3, p = 5, p = 7 e p < p per ogni n . Vogliamo dimostrare che

N

1 2 3 4 n n+1

∞ 1

X = +∞.

p n

n=1

Supponiamo per assurdo che la serie sia convergente: dunque le sue somme parziali s n

formano una successione convergente. Esiste allora un indice k tale che

N

m 1 1

X ∀m

− > k.

s s = <

m k p 2

n

n=k+1

Fissiamo ora un arbitrario m > k e consideriamo l’insieme

+

{h ∈ ≤

E = : h m, h non è divisibile per alcun p con n > k} =

N

m n

{h ∈ ≤ }.

= : h m, h è divisibile al più per p , . . . , p

N 1 k

Ad esempio, se k = 4 e se scegliamo m = 15, si ha

{h ∈ ≤

E = : h 15, h è divisibile al più per 2, 3, 5, 7} =

N

15 {1,

= 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15}.

Indichiamo con c il numero degli elementi di E . Vogliamo dare una stima separata

m m

di c e di m c . A questo scopo ricordiamo che ogni intero n > 1 è fattorizzabile in

m m

modo unico nella forma α α

·

n = p p ,

1 s

1 s

113

+

∈ ∈ ∈

ove s , p , . . . , p P mentre α , . . . , α (e qualcuno di questi può essere

N N

1 s 1 s

nullo). Se qualcuno degli α è dispari, separiamo un fattore p dagli altri: in qusto

j j

modo si ottiene

β b b

β

·

·

·

1 ,

p

p

p

n = p 1 s

s 1

1 s

s

ove β , . . . , β sono numeri naturali pari e b , . . . , b valgono 0 oppure 1. Per esempio,

1 s 1 s

possiamo scrivere 3 2 2 2 0 0 2

· · · · · · · ·

360 = 2 3 5 = (2 3 5 ) (2 3 5) = 6 10;

in questo caso dunque s = 3, β = 2, β = 2, β = 0, b = 1, b = 0, b = 1.

1 2 3 1 2 3

Stimiamo c : se n E , allora con la decomposizione sopra descritta otteniamo n =

m m

β

β b

b k

2 ·

·

· 1 k p . Variando n, abbiamo al più 2 scelte per v (in

p e v = p

u v, dove u = p k

1 √

1

1 k

k {0,

quanto b , . . . b variano in 1}), mentre le scelte di u saranno al più [ m] (dato che

1 k 2 ≤ ≤

u è un intero tale che u n m). Dunque √

k

c 2 m.

m

≤ ∈ ≤

D’altra parte, se n m e n / E , allora n è divisibile per qualche p con k < j m, ove

m j

si usa il fatto che, ovviamente, m p e quindi nessun p con j > m può essere divisore

m j ≤

di n. Ma fra 1 e m il totale dei numeri n divisibili per un fissato p , con 1 < j m,

j ≤

non può essere maggiore di m/p : quindi il totale dei numeri n con 1 < n m che sono

j −

divisibili per almeno uno dei p , ossia m c , deve verificare

j m m

m 1 m

m X

X

− ≤ = m < .

m c m p p 2

j j

j=k+1

j=k+1

Otteniamo cosı̀ m/2 c , da cui, ricordando la stima fatta per c ,

m m

m k

≤ 2 m,

2

ovvero √ k+1

m 2 ,

ed infine 2k+2

m 2 .

Questa relazione è però assurda, perché k è assegnato ma m è arbitrario e quindi può

2k+2

essere scelto maggiore di 2 . Ciò prova che la serie Σ1/p è divergente.

n

(3) (Serie esponenziale) Consideriamo la serie

∞ 1

X ,

n!

n=0

che è convergente in quanto

n n

1 1

X X

≤ → →

s = 2+ 3 per n +∞.

n −

k! k(k 1)

k=0 k=2 114 n

z

P ∈

Questa serie è un caso particolare della serie esponenziale , z che verrà

C,

n!

analizzata in seguito.

Stabiliamo adesso un’importante relazione che ci darà modo di definire il fondamentale

numero reale e.

Proposizione 2.3.5 Risulta ∞ n

1

1

X = lim 1 + .

k! n

n→∞

k=0 1 n

) è

Dimostrazione Notiamo che il limite a destra esiste perché la successione (1 + n

crescente (esempio 1.8.3 (2)). Inoltre si ha, utilizzando la formula di Newton (teorema

1.7.1), n

n

1 n 1

X +

∀n ∈

1+ ;

= N

k

n k n

k=0

quindi n

n

− · · −

1 n(n 1) . . . (n k + 1)

X

1+ = =

k

·

n k! n

k=0

n n

− −

1 1

n n 1 n k +1

X X +

· · · · ≤ ∀n ∈

= ... ,

N

k! n n n k!

k=0 k=0

da cui, per il teorema di confronto (teorema 2.1.12),

n

1 1

X

≤ .

lim 1 + n k!

n→∞ k=0

+

D’altra parte, per ogni fissato m si ha

N

m m

− −

1 1 n n 1 n k +1

X X · · ·

= 1+ lim ... =

k! k! n n n

n→∞

k=0 k=1 m m

− −

1 n 1

n n 1 n k +1

X X

· ·

= 1 + lim ... = lim ;

k

k

k! n n n n

n→∞ n→∞

k=0 k=0

aumentando nell’ultimo termine il numero degli addendi da m (che è fisso) a n (che è

più grande, dato che sta tendendo a +∞) si ottiene

m n n

1 n 1 1

X X +

≤ ∀m ∈

lim = lim 1 + ,

N

k

k! k n n

n→∞ n→∞

k=0 k=0

da cui finalmente, facendo tendere anche m a +∞,

∞ n

1 1

X ≤ lim 1 + ,

k! n

n→∞

k=0

il che prova l’uguaglianza richiesta. 115

Definizione 2.3.6 Indichiamo con e il numero reale definito dalla proposizione 2.3.5,

ossia poniamo ∞ n

1

1

X = lim 1 + .

e = k! n

n→∞

k=0

Il numero e si chiama numero di Nepero e riveste un’importanza fondamentale in tutta

la matematica. Esso è un irrazionale (esercizio 2.3.1) ed è compreso fra 2 e 3: infatti

∞ ∞

1 1 1

1 X X

X < < 2+ = 3.

2= −

k! k! k(k 1)

k=0 k=2

k=0

Il logaritmo in base e si dice logaritmo naturale e si scrive indifferentemente log x =

e

log x = ln x; noi useremo di preferenza la scrittura ln x.

Esercizi 2.3

1. Provare che ∞ 1

1

X +

∀m ∈

< ,

N

·

n! m m!

n=m+1

e dedurne che e è irrazionale. +

∈ ∈

[Traccia: se fosse e = p/q con p, q primi tra loro, avremmo per ogni m

N N

m

p 1 1

P

− ·

la disuguaglianza 0 < < ; moltiplicando per q m! e scegliendo

n=0

q n! m·m!

m > q, si deduca un assurdo.]

2. Dimostrare che se b > 1 si ha

∞ ∞

1 1

X X ∀α

= +∞, < +∞ > 1.

α

n log n n(log n)

b b

n=2 n=2

k

[Traccia: stimare s s per n = 2 , analogamente a quanto fatto per la serie

2n n

armonica e per la serie armonica generalizzata negli esempi 2.2.6 (3) e 2.3.4 (1).]

P

{a }

3. Sia una successione decrescente di numeri positivi. Provare che se a è

n n

·

convergente, allora lim n a = 0, ma che il viceversa è falso.

n→∞ n n+1 n

1 1

4. Si provi che le successioni 1 + e 1 sono decrescenti e se ne calco-

n n+1

lino i limiti.

5. Calcolare, se esistono, 2

n n

1 1

lim 1+ , lim 1 + .

2

n n

n→∞ n→∞

6. Provare che 1

2

n 1 n

lim = 1.

2

n(1 + n )

n→∞ 116

7. Dimostrare le disuguaglianze

1 1 1 1 1 1 +

− − − ∀n ∈

< ln 1 + < , < ln 1 < .

N

n +1 n n n 1 n n

8. (Identità di Abel) Siano a , . . . , a , b , . . . , b , b numeri complessi. Posto

1 n 1 n n+1

k

P

s = a , si provi che

k h

h=1 n n

X X

− −

a b = s b s (b b ).

k k n n+1 k k+1 k

k=1 k=1

9. Determinare il comportamento delle seguenti serie: ∞

ln n

1

1 X

X

X − , (iii) ,

, (ii) sin

(i) 1 cos 3

n n n

n=1

n=1

n=1

∞ ∞ ∞ n

n(n 1) 1 n

X X X

(iv) , (v) , (vi) ,

2 ln n 2

(n + 1)(n + 2) (ln n) (n!)

n=0 n=2 n=1

∞ ∞ ∞

n n n

[7 + 3(−1) ] 1 n + 2

X X X

(vii) , (viii) , (ix) ,

3n 3

4

2 1 + n

3

1 + n

n=1 n=0 n=0

√ √

∞ ∞

n

n n

n +1 n 1 (−1)

X

X X

, (xi)

(x) .

, (xii) 1

2

n(1 + n ) n 40 n

n=1

n=1 n=1

10. Si verifichi l’identità

1 (n + 1)!

n! n! − ∀n ∈ ∀k ≥

= 2,

N,

− −

(n + k)! k 1 (n + k 1)! (n + k)!

e se ne deduca che ∞ n! 1

X ∀k ≥

= 2,

− −

(n + k)! (k 1)(k 1)!

n=0

ossia ∞ 1

1

X ∀k ≥

=1+ 2.

n+k −

k 1

n

n=0 2

1/n 1/n

P P

−1) −1)

11. Si provi che se a > 1 la serie (a è convergente mentre la serie (a

è divergente. Che succede se 0 < a 1? k−1

1/k h/k

P

− · −

[Traccia: si utilizzi l’identità (a 1) a = a 1.]

h=0

{a }

12. Sia definita per ricorrenza dalle relazioni

n  a = 1

0

 a n ∀n ∈

a = N,

n+1

 λ + a n

117 {a }

ove λ è un fissato numero positivo. Si provi che è decrescente e se ne calcoli

n

P

il limite; si deduca che la serie a è convergente se λ > 1 e divergente se

n

0 < λ 1.

[Traccia: si trovi un’espressione esplicita per a .]

n

{F }

13. Sia la successione dei numeri di Fibonacci, definiti da

n ( F = 0, F = 1,

0 1 ∈

F = F + F n N;

n+2 n+1 n 1

P .

si determini il comportamento della serie F

n

14. Si provi che risulta ∞

1 1 1

X +

∀n ∈

< < .

N

2

n + 1 k n

k=n+1

2.4 Criteri di convergenza per le serie

Come si è già accennato in precedenza, spesso è facile accertare la convergenza di

una serie senza conoscerne la somma. Ciò è reso possibile da alcuni comodi criteri

che forniscono condizioni sufficienti per la convergenza delle serie. I più semplici di

questi criteri riguardano le serie reali a termini di segno costante, ad esempio positivi;

il più semplice in assoluto è il criterio del confronto, una versione del quale si trova

nell’esercizio 2.2.2. P P

Proposizione 2.4.1 (criterio del confronto) Siano a , b due serie reali, e

n n

supponiamo che risulti ≤ ≤

0 a b definitivamente;

n n

P P P

in tal caso, se b converge allora a converge, mentre se a diverge a +∞ allora

n n n

P b diverge a +∞.

n ∈ ≤ ≤ ≥

Dimostrazione Sia ν tale che 0 a b per ogni n ν: allora

N n n

∞ ∞

X X

≤ ≤ ∀m ≥

0 a b ν,

n n

n=m n=m

cosicché i due enunciati seguono facilmente tenendo conto dell’osservazione 2.2.7.

Si ha poi: P

Proposizione 2.4.2 (criterio del rapporto) Sia a una serie con termini defini-

n

tivamente positivi. Se esiste λ ]0, 1[ tale che

a n+1 ≤ λ definitivamente,

a

n

P

allora la serie a è convergente. Il viceversa è falso.

n 118

∈ ≥

Dimostrazione Sia ν tale che a > 0 per ogni n ν ed inoltre

N n

a n+1 ≤ ∀n ≥

λ ν;

a n

allora si ha n−1 n−1

a

Y Y

k+1 n−ν

· ≤ · · ∀n ≥

a = a a λ = a λ ν,

n ν ν ν

a k

k=ν k=ν

cioè a ν n

≤ · ∀n ≥

a λ ν.

n ν

λ P

Dal criterio del confronto, essendo λ ]0, 1[ , segue che a è convergente.

n

2

P è una serie convergente, e malgrado ciò non verifica le ipotesi

Viceversa, la serie 1/n

del criterio del rapporto: infatti 2

n

a n+1 → →

1 per n +∞,

= 2

a (n + 1)

n ∈

e quindi non esiste alcun λ ]0, 1[ che possa soddisfare l’ipotesi richiesta.

Osservazione 2.4.3 Si noti che nell’ipotesi del criterio del rapporto non basta richie-

dere che sia a n+1 < 1 definitivamente:

a n

infatti questa condizione è meno restrittiva ed esistono serie divergenti che la soddisfano:

1

P .

per esempio la serie armonica n

n!

P è convergente: infatti

Esempi 2.4.4 (1) La serie n

n

(n+1)! n

a n 1

1

n+1

(n+1)

n+1 → → ∞,

= = per n

= n

n! 1

a n +1 e

1+

n n

n n

cosicché si ha definitivamente a 1

n+1 < + ε< 1

a e

n

1

pur di scegliere 0 < ε < 1 .

e

α n

P ∈ ∈

(2) La serie n b è convergente per ogni α e per ogni b [0, 1[: infatti

R

α

a n +1

n+1 · → → ∞,

b b per n

=

a n

n

e quindi si ha definitivamente a n+1 ≤ b + ε< 1

a n

pur di scegliere 0 < ε < 1 b. 119

n

x

P

(3) La serie esponenziale è convergente per ogni x > 0: infatti

n! x

a n+1 → →

= 0 per n +∞,

a n +1

n

cosicchè per qualunque λ ]0, 1[ si ha

a n+1 ≤ λ definitivamente.

a n

(4) Fissato k la serie

N, ∞ −1/2

n + k

X k

n=0

è a termini positivi, ma l’uso del criterio del rapporto non dà informazioni sul suo

comportamento: infatti 1/2

n +1

a n+1 → →

= 1 per n +∞,

a n + k +1

n ≥

quindi la serie potrebbe convergere o divergere. Tuttavia se k 3 si ha

s s

k!n! k! k! +

≤ ≤ ∀n ∈

a = ,

N

n 3/2

− −

(n + k)! (n + k)(n + k 1)(n + k 2) n

quindi la serie converge per il criterio del confronto; se invece k = 2, e a maggior ragione

se k = 0 o k = 1, si vede subito che la serie diverge per confronto con la serie armonica.

P

Proposizione 2.4.5 (criterio della radice) Sia a una serie a termini non nega-

n

tivi. Se esiste λ ]0, 1[ tale che

√ ≤

a λ definitivamente,

n n

P

allora la serie a è convergente; se invece esistono infiniti valori di n per i quali

n √ ≥

a 1,

n n

P

allora la serie a è positivamente divergente.

n

Dimostrazione Dalla prima ipotesi segue che si ha

n

a λ definitivamente,

n

P ∈

quindi a converge per il criterio del confronto, essendo λ ]0, 1[ .

n ≥

Se invece vale la seconda ipotesi, allora si ha a 1 per infiniti valori di n: quindi la

n

P

serie a diverge a +∞.

n 120

Osservazione 2.4.6 Si noti che, come per il criterio del rapporto, nell’ipotesi del

criterio della radice non basta richiedere che sia

√ a < 1 definitivamente,

n n

in quanto questa condizione meno restrittiva è verificata da alcune serie divergenti: per

1

P

esempio la serie armonica .

n n

3

P

Esempi 2.4.7 (1) La serie è convergente, perché

n −1

4

1 1

n

3 3 3

1

n n → →

= per n +∞,

−n

n − −

4 1 4 1 4 4

1 , si ha

cosicché, scelto 0 < ε < 4 1

n

3

3 n < + ε< 1 definitivamente.

n −

4 1 4

2

n n

1 1

P − −

(2) La serie 1 è convergente: infatti, essendo 1 crescente,

n n

1

2

" #

n n

n

1

1 1 +

− ∀n ∈

− ≤

= 1 .

1 N

n n e

n

3 1 π

P

(3) La serie + cos n è a termini positivi e diverge a +∞ perché il termine

4 2 2

generale a è

n n

 3 se n è dispari,

4

 n

5

a = se n è multiplo di 4,

n 4

 n

1

 se n è pari ma non è multiplo di 4,

 4

√ ≥

cosicché a 1 per infiniti indici n.

n n

(4) La serie √

∞ n

2

n 1

X 2

n(1 + n )

n=1

è a termini positivi ma il criterio della radice non dà informazioni sulla convergenza, in

quanto 1

2

√ −

n 1 n → → ∞

a = 1 per n

n n 2

n(1 + n )

(esercizio 2.3.6); quindi per ogni λ ]0, 1[ si ha definitivamente

λ < a < 1.

n n

Tuttavia, in virtù del criterio del confronto la serie è convergente poiché

√ √

n n

2

n 1 1 1

≤ ≤ ∀n ≥ 4.

2 2

n(1 + n ) n n

Il criterio di convergenza di uso più facile e frequente è il seguente:

121 P P

Proposizione 2.4.8 (criterio del confronto asintotico) Siano a , b due se-

n n

rie a termini definitivamente positivi, e supponiamo che esista

a n ∈ [0, +∞].

L = lim b

n→∞ n

Allora: ∈]0,

(i) se L +∞[, le due serie hanno lo stesso comportamento;

P P

(ii) se L = 0, la convergenza di b implica la convergenza di a ;

n n

P P

(iii) Se L = +∞, la divergenza di b implica la divergenza di a .

n n

∈]0,

Dimostrazione (i) Sia L > 0 e sia ε L[. Allora si ha

a n

0 <L ε< <L + ε definitivamente,

b n

quindi −

b (L ε) < a < b (L + ε) definitivamente,

n n n

e la tesi segue dal criterio del confronto. ≤

(ii) Fissato ε > 0 si ha definitivamente a εb , da cui la tesi.

n n

(iii) Fissato M > 0, si ha definitivamente M b < a , da cui la tesi.

n n

Esempi 2.4.9 (1) La serie √

∞ 2 −

n + 3 n 4

X √

3

2n n +1

n=1 −3/2

P

converge perché confrontandola con n , che è convergente, si ha

2 n−4

n +3

√ 1

3

2n n+1

lim = .

1 2

n→∞ 3/2

n

√ −1/2

1 2 P

P n) è divergente a +∞ perché confrontandola con n ,

(2) La serie (cos n +

n

che è divergente, si ha √

2

cos n + n

lim = 1.

n

n→∞

n

−3+(−1) −3/2

P P

(3) La serie n è convergente perché a confronto con n dà

3/2

n

lim = 0.

n

3−(−1)

n

n→∞

(4) Consideriamo la serie ∞ 1

X ,

α

n(ln n)

n=2 122

ove α 1. Notiamo che si ha, per ogni ε > 0,

1 1 1 definitivamente

< <

1+ε α

n n(ln n) n

ε

n = +∞ (esercizio 2.1.11). Quindi siamo in un caso intermedio

in quanto lim n→∞ α

(ln n) 1

1 P

P (divergente) e (convergente), ed il criterio del confronto asintotico non

fra 1+ε

n n

dà alcun aiuto. Tuttavia le somme parziali della serie verificano

2n 1 n 1

X

− ≤ ≤ ∀n ≥

s s = 2,

2n n α α α

k(ln k) (n + 1)(ln(n + 1)) (ln n)

k=n+1

2n 1 n 1 1

X

− ≥ ∀n ≥

s s = = 2;

2n n α α α

k(ln k) 2n(ln(2n)) 2 (ln(2n))

k=n+1

di conseguenza, con lo stesso ragionamento usato per la serie armonica e per la serie

≤ ≥

armonica generalizzata (esempi 2.2.6 (3) e 2.3.4 (1)), se α 1 si ha per ogni m 2 e

m

per ogni n 2 m

1 X − ≥

≥ (s s )

s s = +

m k k−1

n 2 2 2

α

2(ln 2) k=2

m m

1 1 1 1 1

X X

≥ + = ,

α k α α α

2(ln 2) 2 (ln 2 ) 2(ln 2) k

k=2 k=1

mentre se α > 1 si ha per ogni n 2

n

1 X

≤ − ≤

s s = + (s s )

n k k−1

n 2 2 2

α

2(ln 2) k=2 !

n n−1

1 1 1 1 1

1 X X

≤ .

+ = +

α k−1 α α α

2(ln 2) 2 (ln 2 ) (ln 2) 2 h

k=2 h=1

Dal comportamento della serie armonica generalizzata si deduce che

∞ ( converge se α > 1,

1

X α

n(ln n) ∞ ≤

diverge a + se α 1.

n=2 123

Esercizi 2.4

1. Determinare il comportamento delle seguenti serie:

∞ ∞ ∞

1 1 1

X X X

(i) ,

, (ii) , (iii)

1+1/n 1/n

n (n!) ln n!

n=1 n=1 n=2

∞ ∞ ∞

√ 1 1

X X X

− n −

(iv) e , (v) ln 1 + , (vi) ln 1 ,

2 2

n n

n=0 n=1 n=2

∞ ∞

∞ n

√ 1

2

X X

X − n 2

n ,

, (viii) , (ix) tan

(vii) 2 e n

(ln n) n

n=2 n=1

n=0

∞ ∞ ∞

√ √

√ n

X X X

− −n

n n n n!−n

(x) n! n , (xi) n ( n) , (xii) 10 .

n=1 n=1 n=1

P

2. (Criterio di Raabe) Sia a una serie a termini positivi. Si provi che se esiste

n

K > 1 tale che

a n +

− ≥ ∀n ∈

n 1 K ,

N

a n+1

allora la serie converge, mentre se risulta

a n +

− ≤ ∀n ∈

n 1 1 ,

N

a n+1

allora la serie diverge a +∞. −

[Traccia: nel primo caso, posto d = K 1, si mostri che

1 −

≤ (na (n + 1)a ),

a n n+1

n+1 d

n a

P

e che quindi le somme parziali a non superano ; nel secondo caso si

1

k+1

k=1 d

a

verifichi che a .]

1

n+1 n+1

3. Si determini il comportamento delle seguenti serie:

∞ 2

· · · · −

· · · · − 1 4 7 . . . (3n 2)

1 4 7 . . . (3n 2) X

X

(i) , (ii) .

· · · · · · · ·

3 6 9 . . . (3n) 3 6 9 . . . (3n)

n=1

n=1

[Traccia: utilizzare il criterio di Raabe.]

4. Verificare che il criterio di Raabe implica la divergenza della serie armonica.

∈]0,

5. Si provi che esiste un numero reale γ 1[, detto costante di Eulero, tale che

!

n 1

X −

lim ln n = γ.

k

n→∞ k=1

[Traccia: utilizzare il risultato dell’esercizio 2.3.7.]

124

6. Quanti addendi occorre sommare affinché risulti

n 1

X ≥ 100?

k

k=1

7. Siano a < a < a < . . . i numeri naturali che, scritti in cifre decimali, non

0 1 2

contengono la cifra 0. Provare che n 1

X < 90.

a k

k=1

[Traccia: si determini quanti sono i numeri di n cifre fra le quali non c’è lo 0, e

n−1

si osservi che essi sono tutti maggiori di 10 . . .]

8. Si provi che n x sin x

Y +

∀n ∈ ∀x ∈ \ {0},

cos = ,

N R

x

k n

2 2 sin n

2

k=1

e di conseguenza si calcoli la somma della serie

∞ x

X ∈

, x

ln cos R.

k

2

k=1

9. Si consideri la successione definita da

( a = α

0 1 − ∀n ∈

a = max{ a , a 1} N.

n+1 n n

2

ove α R. {a } ∈

(i) Si provi che è monotona e infinitesima per ogni α R.

n P

(ii) Si determini il comportamento della serie a al variare di α in R.

n

∞ ln n

a

P

10. Discutere la convergenza della serie al variare del parametro a > 0.

n=1 n

11. Provare che ∞

1 converge se α > 1,

X ∞ ≤

diverge a + se α 1.

α

n(ln n)(ln ln n)

n=3

{a } ⊆

12. Sia ]0, +∞[. Si provi che

n √

a n+1

∃ ∃

lim = L =⇒ lim a = L,

n n

a

n→∞ n→∞

n

ma che il viceversa è falso; se ne deduca che il criterio della radice implica il criterio

del rapporto, ma non vale il viceversa.

125

2.5 Convergenza assoluta e non

Per le serie a termini complessi, o a termini reali di segno non costante, i criteri di con-

vergenza sin qui visti non sono applicabili. L’unico criterio generale, rozzo ma efficace,

è quello della convergenza assoluta.

P

Definizione 2.5.1 Sia a una serie a termini reali o complessi. Diciamo che la

n P |a |

serie è assolutamente convergente se la serie è convergente.

n

Si noti che per verificare la convergenza assoluta di una serie i criteri visti in precedenza

P |a |

sono tutti validi perché è una serie a termini positivi. Naturalmente, come

n

suggerisce il loro nome, le serie assolutamente convergenti sono convergenti: vale infatti

il risultato seguente:

Proposizione 2.5.2 Ogni serie assolutamente convergente è convergente.

P |a |

Dimostrazione Sia convergente, e supponiamo dapprima che gli a siano tutti

n n

reali. Poniamo |a | − ∀n ∈

b = a :

N

n n n P

≤ ≤ |

chiaramente si ha 0 b 2|a per ogni n, cosicché b è convergente per il criterio

n n n

del confronto. Essendo |a | − ∀n ∈

a = b N,

n n n

P

la serie a converge perché differenza di serie convergenti (esercizio 2.2.1).

n

Supponiamo adesso che gli a siano numeri complessi. Dalle relazioni

n

|Re ≤ |z|, |Im ≤ |z| ∀z ∈

z| z| C

P P

segue, per il criterio del confronto, che le due serie reali Re a e Im a sono as-

n n

solutamente convergenti; quindi, per quanto già dimostrato, esse convergono. Dunque,

n

P a il risultato dell’esercizio 2.1.2, si ottiene che la

applicando alle somme parziali k

k=0

P P P

serie a = Re a + i Im a è convergente.

n n n

Come vedremo fra poco, il viceversa della proposizione precedente è falso: esistono serie

convergenti che non sono assolutamente convergenti.

Per le serie a termini reali di segno alterno c’è uno speciale criterio di convergenza.

{a }

Proposizione 2.5.3 (criterio di Leibniz) Sia una successione reale decrescen-

n

n

P

te ed infinitesima. Allora la serie (−1) a è convergente e si ha

n

X n ≤ ∀m ∈

(−1) a a N.

n m+1

n=m+1 ∞ n

P

Dimostrazione Siano s le somme parziali della serie (−1) a ; se n è pari,

n n

n=0

{a }

n = 2m, dalla decrescenza di segue che

n

− ≤ ≤ · · · ≤ ≤

s = s a + a s s s ,

2m+2 2m 2m+1 2m+2 2m 2 0

126

mentre se n è dispari, n = 2m + 1, si ha analogamente

− ≥ ≥ · · · ≥ ≥

s = s + a a s s s .

2m+1 2m−1 2m 2m+1 2m−1 3 1

Inoltre per la positività degli a n − ≤ ∀m ∈

s = s a s N;

2m+1 2m 2m+1 2m

in definitiva +

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ∀m ∈

s s s s s s .

N

1 2m−1 2m+1 2m 2m−2 0

{s }

Dunque, le due successioni 2m+1 m∈N

{s }

e sono monotone (crescente la

2m m∈N

prima e decrescente la seconda) e limitate;

quindi convergono entrambe e, posto

D = lim s , P = lim s ,

2m+1 2m

m→∞ m→∞

dal teorema di confronto (teorema 2.1.12)

si ha ≤ ≤ ≤

s D P s .

1 0 − −a ∈ {a }

D’altra parte, essendo s s = per ogni m dall’ipotesi che è

N,

2m+1 2m 2m+1 n

→ ∞,

infinitesima segue, al limite per m che D = P . Poniamo allora S = D = P , e

∞ n

P (−1) a ha somma S. Per ogni ε > 0 si ha

proviamo che la serie n

n=0

|s − |s −

S| < ε definitivamente, S| < ε definitivamente;

2m 2m+1 |s −

quindi se n è abbastanza grande, pari o dispari che sia, risulterà S| < ε, e pertanto

n

→ → ∞.

s S per n

n

Notiamo poi che si ha ≤ ≤ ≤ ∀m ∈

s S s s N,

2m+1 2m+2 2m

da cui se n è pari, n = 2m,

≤ − − ≤ −

0 s S = s S s s = a = a ,

n 2m 2m 2m+1 2m+1 n+1

mentre se n è dispari, n = 2m + 1,

≤ − − ≤ −

0 S s = S s s s = a = a ;

n 2m+1 2m+2 2m+1 2m+2 n+1

in ogni caso |s − ≤ ∀n ∈

S| a N,

n n+1

e ciò prova la tesi. 127

Osservazione 2.5.4 Il criterio di Leibniz è ancora vero per le serie che ne verificano le

ipotesi soltanto definitivamente: ad esempio, la serie potrebbe essere a termini di segno

alterno solo da un certo indice in poi, ed i termini stessi, in valore assoluto, potrebbero

essere decrescenti solo da un certo altro indice in poi. In questo caso, però, la stima

|s − ≤

S| a va opportunamente modificata.

n n+1 n

(−1) 1

P { }

è convergente perché è una successione decre-

Esempi 2.5.5 (1) La serie n n

scente ed infinitesima. Questo è un esempio di serie convergente ma non assolutamente

convergente (dato che la serie dei valori assoluti è la serie armonica).

−n −n

n 100 100

P {n }

(2) La serie (−1) n 2 è convergente perché 2 è infinitesima e definitiva-

mente decrescente (esercizio 2.5.6).

n −n

10

n

P non converge: il suo termine generale non è infinitesimo.

(3) La serie (−1) n+1

10

sin nx

P ∈

(4) La serie converge per ogni x infatti è assolutamente convergente, per

R:

2

n 1

P .

confronto con la serie 2

n

Vi è un altro importante criterio di convergenza non assoluta, il quale generalizza il

criterio di Leibniz; esso discende dall’identità di Abel (esercizio 2.3.8), che enunciamo

qui in forma lievemente più generale: {a } {b }

Proposizione 2.5.6 (Identità di Abel) Siano e due successioni di numeri

n n N

P

∈ ≤ b , risulta

reali o complessi. Fissati p, q con q p e posto B =

N n

N n=q

−1

N N

X X

− − ∀N

a b = a B a B + (a a )B > p,

n n N N p p−1 n n+1 n

n=p n=p

ove B = 0 nel caso in cui q = p.

p−1

Dimostrazione Basta osservare che −1

N N N N

X X X X

− −

a b = a (B B ) = a B a B =

n n n n n−1 n n n+1 n

n=p n=p n=p n=p−1

−1

N

X

− −

= a B a B + (a a )B .

N N p p−1 n n+1 n

n=p

Un’immediata conseguenza di questa identità è il seguente

{a } {b }

Lemma 2.5.7 (di Abel) Siano e due successioni di numeri reali. Posto

n n

N

P

B = b , supponiamo che

N n

n=0 |B | ≤ ∀N ∈ ≥ ≥

(i) K (ii) a a 0 e lim a = 0.

N,

N n n+1 n

n→∞

Allora la serie Σa b converge e vale la stima

n n ∞

X ≤ ∀N ∈

a b 2Ka N.

n n N

n=N 128 M

P

Dimostrazione Per M > N poniamo s = a b . Dall’identità di Abel

M N n n

n=N

otteniamo −1

M

X

− −

s = a B a B + (a a )B ;

−1

M N M M N N n n+1 n

n=N

|a | ≤ → → ∞,

poiché B Ka 0 per M ed inoltre

M M M

∞ ∞ ∞

X X X

|(a − | − | ≤ −

a )B = (a a )|B K (a a ) = Ka ,

n n+1 n n n+1 n n n+1 N

n=N n=N n=N

→ ∞

al limite per M si ottiene

X ≤ |a | ≤

a b B + Ka 2Ka ,

−1

n n N N N N

n=N

e dunque si ha la tesi. |B | ≤ ∈

Osservazione 2.5.8 Alla stessa conclusione si arriva quando M per ogni N

N

≥ ∈ {a },

a 0 per ogni n e, in luogo della decrescenza di si fa l’ipotesi che la serie

N, N

n n

P |a − |

a sia convergente.

n n+1

n=1

Più in generale, vale questo risultato:

{a } {b }

Proposizione 2.5.9 Siano e due successioni di numeri reali non negativi,

n n N

P

{a } b , si ha

con decrescente e infinitesima. Posto B = n

n N n=0

∞ X

X − ∞.

∞ ⇐⇒ (a a )B <

a b < n n+1 n

n n n=0

n=0

Dimostrazione (=⇒) Dalla positività di a B e dall’identità di Abel

N N

−1

−1 N

N

N X

X

X +

∀N ∈

− ≤ a b ,

(a a )B + a B =

(a a )B N

n n

n n+1 n N N

n n+1 n n=0

n=0 n=0

da cui la tesi per confronto.

(⇐=) Dall’identità sopra scritta segue che a B , essendo differenza di due somme di

N N ∈ ∞]; ∈

termini positivi una delle quali convergente, ha limite λ [0, se proviamo che λ R

seguirà la tesi. A questo scopo basta osservare che

∞ ∞

X X

− ≤ −

a B = B (a a ) (a a )B ;

N N N n n+1 n n+1 n

n=N n=N → ∞,

ma per ipotesi l’ultimo membro è infinitesimo per N e dunque λ = 0.

Osservazione 2.5.10 Si noti che dalla dimostrazione precedente segue addirittura

l’uguaglianza ∞ ∞ n

X X X

− b ,

a b = (a a )B , ove B =

n n n n+1 n n k

n=1 n=1 k=1

{a }

per ogni successione reale decrescente e infinitesima e per ogni successione non

n

{b }.

negativa n 129

Il lemma di Abel si può applicare, in particolare, a serie della forma

∞ ∞

X X

a cos nx, a sin nx,

n n

n=0 n=1

{a }

supponendo naturalmente che sia una successione reale, decrescente e infinitesima.

n

Infatti le somme di funzioni trigonometriche hanno la proprietà di essere limitate per

|t| ≤

0 < π: risulta in effetti

N N i(N +1)t

1 e

X X int ≤

cos nt = Re e =

it

1 e

n=0 n=0

r N +1

sin

− 1

2 2 cos(N + 1)t 2 ≤

= ,

= t t

2 2 cos t sin sin

2 2

e similmente

N N N

r

iN t sin

− 1

1 cos N t

1 e

X X int it 2 ≤

≤ = .

sin nt = Im e e t t

it

− −

1 e 1 cos t sin sin

2 2

n=1 n=1 ∞ n

z

P

Esempio 2.5.11 Consideriamo la serie , ove z è un parametro complesso: uti-

n=1 n

lizzando il criterio del rapporto si vede subito che essa converge assolutamente quando

|z| < 1, mentre certamente non converge, non essendo infinitesimo il suo termine ge-

|z| |z|

nerale, quando > 1. Quando = 1 non vi è convergenza assoluta, ma la serie

−1,

potrebbe convergere in certi punti: ciò è vero per z = come sappiamo dall’esempio

2.5.5 (1), mentre non è vero per z = 1. Cosa succede per gli altri z di modulo unitario?

Consideriamo le somme parziali n k

z

X +

, n ,

s = N

n k

k=1

∈ |z|

ove z e = 1. Utilizziamo nuovamente l’identità di Abel: scegliamo

C 1

k

a = z , b = ,

k k k

6

ed osserviamo che se z = 1 si ha

k k

z(1 z ) 2

X h +

|σ | ≤ ∀k ∈

σ = z = , ;

N

k k

− |1 −

1 z z|

h=1

{σ }

quindi la successione è limitata. Sostituendo nell’identità di Abel otteniamo

+

k k∈N

|z| 6

per = 1, z = 1,

n n n

n

z σ 1 1 σ σ

X X X

n n k

− −

s = = σ = + .

n k

n n + 1 k + 1 k n + 1 k(k + 1)

k=1 k=1 k=1

130 → ∞,

Il primo addendo nell’ultimo membro tende a 0 per n in virtù della limitatezza

delle σ ; il secondo addendo è la somma parziale di una serie assolutamente convergente,

k 1

P . Se ne conclude che le somme parziali s formano

per confronto con la serie n

k(k+1) n

z

P

una successione convergente, e in definitiva la serie converge per ogni z di modulo

n

unitario, ad eccezione del punto z = 1.

Quando nessun criterio di convergenza è applicabile, non rimane che tentare uno studio

diretto della serie e delle sue somme parziali, con il quale, in certi casi, si riesce a

determinarne il comportamento. Consideriamo ad esempio la serie

∞ n(n+1)

(−1) 2

X ,

n

n=1 n(n+1) =

che non è assolutamente convergente. Essa non è a segni alterni: infatti si ha 2

n

P −1

k (esercizio 1.6.13), per cui la parità dell’esponente di cambia quando si somma

k=1

un intero dispari e non cambia quando si somma un intero pari. Il risultato è che la

−1, −1, −1, −1, −1, −1,

sequenza dei segni è 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . .

Per studiare il comportamento della serie, analizziamone direttamente le somme parziali:

(2m−1)2m

2m(2m+1) 2 2 −m

= 2m +m e = 2m

se N è pari, N = 2m, si ha (dato che gli interi 2 2

hanno la stessa parità di m) n(n+1)

2m (−1) 2

X =

s =

2m n

n=1 m m

1 1 1 1 1 (−1) (−1)

−1 − − − ···

= + + + + + =

2 3 4 5 6 2m 1 2m

m

1 1

X h −

= (−1) .

2h 1 2h

h=1

Quest’ultima espressione è la somma parziale m-sima di una serie che verifica le ipotesi

{s }

del criterio di Leibniz e quindi è convergente. Perciò la successione converge ad

2m

un numero reale S. Se ora N è dispari, N = 2m + 1, si ha

(2m+1)(2m+2)

(−1) 2 → → ∞;

s = s + S per m

2m+1 2m 2m + 1

{s }

quindi converge anch’essa a S. Se ne deduce, come nella dimostrazione del

2m+1 {s }

criterio di Leibniz, che l’intera successione converge a S, e che quindi la serie data

n

è convergente. 131

Esercizi 2.5

1. Determinare il comportamento delle seguenti serie:

∞ ∞ ∞

n n n

n(−1) (−1) (−1)

X X X

(i) , (ii) , (iii) ,

2 −

n + 1 2n 101 2 + sin n

n=0 n=−5 n=−47

∞ ∞

∞ √

n n

(−1) 2 + (−1)

X X

X n n −

(iv) 3 1), (vi)

, (v) (−1) ( ,

3/7 2

n n

n=1 n=1

n=1

∞ ∞

∞ n

n

sin(n + 1)

(−1) X X

X n

, (viii) (sin(sin n)) , (ix) .

(vii) 1/n 2

n n + 1

n=0 n=0

n=1 ∈ ∈

2. Determinare per quali x convergono, e per quali x convergono assoluta-

R R

mente, le seguenti serie: ∞ ∞

∞ n 1 n

x X X

X n n

, (ii) x sin , (iii) (x 1) ,

(i) n +1 n n +1

n=1 n=0

n=0 ∞

∞ n n

(ln x)

sin x X

X

X −nx

n

(−2) e , (vi) ,

, (v)

(iv) √ n

n 2

n=1

n=0

n=1

∞ ∞

1/n √

x x

X X

X − n ln 1 +

x ,

(vii) , (ix)

, (viii)

1+1/n 2

n n

n=1 n=0

n=0

∞ ∞ ∞

3 n 3 n

(n!) x n (4x) 3x

X X X

(x) , (xi) .

, (xii) sin 2

n(3n)! n +1

2 n!

n=1 n=0 n=0

3. Quanti addendi occorre sommare per approssimare la somma della serie

∞ n

(−1)

X 2n + 1

n=0

1 ?

con un errore minore di 100

∞ 2n+1

n

P

4. Provare che la serie (−1) è convergente e calcolarne la somma.

n=1 n(n+1)

5. Per quali α la serie

R 1 1 1 1 1 1 1

− ··· ···

− − −

1 + + + + +

α α α α

2 3 4 5 6 2n 1 (2n)

è convergente? −n

α

{n } ∈

6. Si provi che la successione β è definitivamente decrescente per ogni α R

e β > 1. 132

7. Sia x un numero reale. Si provi che:

∃ ⇐⇒ ∈

lim sin nx x = kπ, k Z;

n→∞

∃ ⇐⇒ ∈

lim cos nx x = 2kπ, k Z.

n→∞

[Traccia: si supponga che L = lim sin nx esista: usando la formula di dupli-

n→∞ √ 3

±

cazione per il seno si mostri dapprima che L = 0 oppure L = ; poi, usando la

2

formula di addizione per sin(n + 1)x, si deduca che se L = 0 allora x è multiplo

12

6 : da qui si ricavi un assurdo.]

di π, mentre se L = 0 allora cos x =

8. Si consideri la successione definita per ricorrenza da

 a = 0

0

 1

2 ∀n ∈

a = (a ) + N.

n+1 n

 4

{a }

(i) Provare che è crescente e limitata e calcolarne il limite L.

n 2

P −

(ii) Provare che la serie (L a ) è convergente e determinarne la somma.

n → ∞ {a }

(iii) Discutere il comportamento per n della successione quando il

n

valore di a è un numero α > 0 qualsiasi, anziché 0.

0

9. Descrivere il comportamento delle seguenti serie: √

∞ ∞ ∞

∞ n n

sin(nπ/4) (−1) i n + in

1 X X X

X , (ii) , (iii) , (iv) .

(i) 2 −

n + i n 2n + 1 n in

n=1 n=0 n=1

n=0 ∞ n

z

P

10. Stabilire il comportamento della serie sul bordo del cerchio di conver-

n=1 n

genza.

[Traccia: utilizzare il procedimento dell’esempio 2.5.5 (6).]

2.6 Successioni di Cauchy

Un’importante proprietà delle successioni reali o complesse, strettamente legata alla

nozione di limite, è quella espressa dalla definizione che segue.

{a } {a }

Definizione 2.6.1 Sia una successione reale o complessa. Diciamo che è

n n

una successione di Cauchy se vale la condizione seguente:

∀ε ∃ν ∈ |a − | ∀n,

: a < ε m > ν.

N n m

Come si vede, la condizione di Cauchy è molto vicina alla definizione di successione

convergente: invece che chiedere ai numeri a di essere definitivamente vicini al limite

n

L, si chiede loro di avvicinarsi gli uni agli altri (sempre definitivamente). Ma il legame

con la nozione di limite è strettissimo; infatti:

133

{a } {a }

Proposizione 2.6.2 Sia una successione reale o complessa. Allora è una

n n

successione di Cauchy se e solo se essa è convergente.

{a }

Dimostrazione Se converge al numero complesso L allora, per definizione,

n ε ∀n

∀ε ∃ν ∈ |a − > ν.

> 0 : L| <

N n 2

Quindi per ogni n, m > ν si ha ε ε

|a − | ≤ |a − |L − |

a L| + a < + = ε,

n m n m 2 2

e quindi vale la condizione di Cauchy. Viceversa, supponiamo che valga la condizione

−k ∈

di Cauchy: allora, scelto ε = 2 , con k risulta

N, −k ∀n, ≥

∀k ∈ ∃ν ∈ |a − | m ν ,

: a < 2

N N k

k n m ≥

e non è restrittivo supporre che ν > ν per ogni k 1: basta eventualmente sostituire

k k−1

0 ≤ ≤

la k-sima soglia ν con la soglia ν = 1 + max{ν : 0 j k}. In particolare, avremo

k j

k −k

|a − | ∀k ∈

a < 2 N.

ν ν

k+1 k

P −

Di conseguenza la serie (a a ) è assolutamente convergente; pertanto

ν ν

h+1 h

" # ∞

k−1

X X

∃ − −

lim a = lim a + a a = a + (a a ) = L;

ν ν ν ν ν ν ν

0 0

k h+1 h h+1 h

k→∞ k→∞ h=0 h=0

{a }, {a }

in altre parole, la sottosuccessione ottenuta da prendendo solo gli indici n

ν n

k

della forma ν e scartando tutti gli altri, è convergente.

k {a }

Proviamo adesso che l’intera successione converge a L: fissato ε > 0, e scelto k in

n

−k ε

ε

|a − ed anche 2 < , dalla condizione di Cauchy segue che

modo che risulti L| <

ν 2 2

k ε ε ε

−k

|a − ≤ |a − | |a − ∀n

L| a + L| < 2 + < + = ε > ν ,

n n ν ν k

k k 2 2 2

da cui la tesi. P

Osservazioni 2.6.3 (1) Nel caso di una serie a di numeri reali o complessi, la

n

condizione di Cauchy si applica alle sue somme parziali ed equivale, per quanto visto,

alla convergenza della serie. Essa ha la forma n

X

∀ε ∃ν ∈ |s − | ∀n ≥

> 0 : s = a < ε > m ν,

N n m k

k=m+1

ovvero m+p

X +

∀ε ∃ν ∈ ∀m ≥ ∀p ∈

> 0 : a < ε ν, .

N N

k

k=m+1

(2) L’equivalenza tra la condizione di Cauchy e la convergenza è una proprietà legata

all’insieme ambiente: è vera per successioni in o in ma non è vera in generale. Ad

R C, {a } ⊂

esempio, se ci limitiamo all’ambiente dei numeri razionali, ci sono successioni Q

n

le quali sono di Cauchy, ma non convergono in (Naturalmente ciò non toglie che

Q. n

1

esse abbiano limite in Un facile esempio è la successione 1 + , che converge al

R!) n

numero reale e, il quale non è razionale (esercizio 2.3.1).

134

Esercizi 2.6

1. Si provi che ogni successione di Cauchy è limitata, ma che il viceversa è falso.

2. Si provi che se una successione di Cauchy ha una sottosuccessione convergente ad

un certo valore L allora l’intera successione ha limite L.

C, {a }, ∈

3. Data una successione reale per ogni k poniamo L = sup a e

N

n k n

n≥k

` = inf a . Provare che:

k n≥k n

{L } {` } −∞ ≤ ≤ ≤

(i) è decrescente, è crescente, e ` L +∞ per ogni

k k∈N k k∈N h k

h, k N. −∞ ≤ ≤ ≤

(ii) Posto L = lim L e ` = lim ` , si ha ` L +∞; i numeri

k→∞ k k→∞ k {a };

L e ` sono chiamati massimo limite e minimo limite della successione n

si scrive L = maxlim a e ` = minlim a , o anche L = lim sup a

n→∞ n n→∞ n n

n→∞

e ` = lim inf a .

n→∞ n

(iii) Si ha L = ` se e solo se esiste λ = lim a , e in tal caso λ = L = `;

n→∞ n

(iv) lim sup a = r se e solo se

R

n

n→∞ ∈ ≥

(a) per ogni ε > 0 esiste ν tale che a < r + ε per ogni n ν,

N n

− ∈

(b) per ogni ε > 0 si ha r ε < a per infiniti numeri n N.

n

(v) lim inf a = ρ se e solo se

R

n→∞ n ∈ − ≥

(a) per ogni ε > 0 esiste ν tale che a > ρ ε per ogni n ν,

N n ∈

(b) per ogni ε > 0 si ha ρ + ε > a per infiniti numeri n N.

n

{a }

4. Provare che da ogni successione reale si possono estrarre due sottosuccessioni

n {a }.

che tendono rispettivamente al massimo limite e al minimo limite di n

2.7 Serie di potenze

Una serie di potenze è una serie della forma

X n

a z ,

n

n=0

{a }

ove è una arbitraria successione reale o complessa (fissata) e z è un parametro

n ∈

complesso (variabile). Quindi per ogni scelta di z si ha una serie numerica che

C

potrà convergere oppure no; la somma della serie sarà dunque una funzione di z, definita

sull’insieme dei numeri z tali che la serie è convergente. Le somme parziali

n

X k

s (z) = a z

n k

k=0

sono quindi polinomi nella variabile z (cioè combinazioni lineari finite di monomi, vale

a dire di potenze di z). I numeri a si dicono coefficienti della serie di potenze.

k 135 0

·

Osservazione 2.7.1 Quando z = 0, il primo termine della serie di potenze, a 0 , non

0

0

6 ·

ha senso; per z = 0 esso è a 1 = a . Allora conveniamo di porre a z = a anche

0 0 0 0

quando z = 0; avremo quindi, per definizione,

X n 2 n ∀z ∈

a z = a + a z + a z + . . . + a z + . . . C.

n 0 1 2 n

n=0

Chiaramente allora ogni serie di potenze converge quando z = 0, con somma a . Il nostro

0

obiettivo è trovare condizioni che implichino la convergenza della serie di potenze in altri

6

punti z = 0, e caratterizzare l’insieme di tali z.

Osservazione 2.7.2 Più in generale si possono considerare serie di potenze della forma

X n

a (z z ) ,

n 0

n=0

∈ −

con z fissato; ma con il cambiamento di variabile y = z z ci si riconduce

C

0 0

immediatamente al caso in cui z = 0, e quindi basta considerare questo caso.

0

L’ambito naturale delle serie di potenze è il campo complesso; ciò non toglie che talvolta

sia interessante considerare serie di potenze reali, cioè di variabile reale: per queste

∞ n

P a x .

ultime verrà usata la variabile x al posto della z, scrivendole nella forma n

n=0

∞ n

P z è una serie di potenze (ove a = 1 per

Esempi 2.7.3 (1) La serie geometrica n

n=0 1

∈ |z| e non converge per

ogni n che converge assolutamente per < 1 con somma

N) 1−z

|z| ≥ 1. N n

P a z è una serie di potenze in cui a = 0 per ogni n > N , e

(2) Ogni polinomio n n

n=0 ∈

ovviamente tale serie converge per ogni z C.

∞ n

z

P ∈

converge assolutamente per ogni z grazie al

(3) La serie esponenziale C

n=0 n!

criterio del rapporto; calcoleremo la sua somma fra breve.

∞ n

P ∈ \ {0}.

(4) La serie n!z converge per z = 0 e non converge per alcun z C

n=0

∞ n

z

P ∈ |z| ≤ 6

(5) La serie converge per tutti gli z tali che 1 e z = 1, mentre non

C

n=1 n |z|

converge per z = 1 e per > 1 (esempio 2.5.5 (6)).

Vediamo qualche criterio di convergenza.

n |z|

Proposizione 2.7.4 Se i termini a z di una serie di potenze sono limitati per = R,

n

ossia esiste K > 0 per cui risulta n

|a |R ≤ ∀n ∈

K N,

n

n

P ∈ |z|

allora a z è assolutamente convergente in ogni punto z con < R.

C

n |z|

Dimostrazione Se < R possiamo scrivere

n

|z| z n

n n

|a | |a |R ≤ ∀n ∈

z = K N,

n n R R

136 |z|

da cui la tesi per confronto con la serie geometrica di ragione < 1.

R

Corollario 2.7.5 Se una serie di po-

∞ n

P

tenze a z converge in un pun-

n

n=0

∈ \ {0},

to z essa converge asso-

C

1 ∈

lutamente in ogni punto z con

C

|z| |z |;

< se la serie non converge in

1 ∈

un punto z essa non converge (ed

C,

2

anzi la serie dei moduli diverge a +∞)

∈ |z| |z |.

in ogni z con >

C 2

Dimostrazione La prima parte dell’enunciato segue dalla proposizione precedente,

n è infinitesima e quindi limitata. Se poi la se-

perché, per ipotesi, la successione a z

n 1

|z| |z |,

rie convergesse in un punto z con > per la parte già dimostrata avremmo la

2

convergenza assoluta anche nel punto z , il che è assurdo.

2 ∞ n−1 n

P |z|

Esempi 2.7.6 (1) I termini della serie di potenze z sono limitati per =

n=0 n+1

|z|

1. Quindi la serie converge assolutamente per < 1. D’altra parte essa non può

|z| ≥

convergere per 1 perché il termine generale non è infinitesimo.

∞ n

P |z|

nz , pur non avendo i termini limitati per = 1, è assolutamente

(2) La serie n=0

|z|

convergente per < 1, come mostra il criterio del rapporto, mentre non converge per

|z| ≥ 1. ∈

I risultati e gli esempi precedenti fanno pensare che l’insieme dei numeri z tali che

C

n

P

la serie a z è convergente somigli ad un cerchio di centro l’origine, e motivano la

n

seguente n

P

Definizione 2.7.7 Il raggio di convergenza di una serie di potenze a z è il numero

n

(appartenente a [0, +∞]) ∞

( )

X n

|z| ∈

: z e a z è convergente .

R = sup C n

n=0

Il cerchio di convergenza della serie è il cerchio di centro 0 e raggio pari al raggio di

convergenza: {z ∈ |z|

B = : < R}.

C

R

∅.

Si noti che B = e B = Se la serie è reale, si parla di intervallo di convergenza

C

∞ 0

− − ∩

] R, R[ ; risulta ovviamente ] R, R[ = B R.

R n

P

Teorema 2.7.8 Sia R il raggio di convergenza della serie di potenze a z . Allora:

n

(i) se R = 0, la serie converge solo per z = 0; ∈

(ii) se R = +∞, la serie converge assolutamente per ogni z C; ∈

(iii) se 0 < R < +∞, la serie converge assolutamente per ogni z B e non converge

R

∈ |z|

per ogni z con > R;

C 137 ∈

(iv) nulla si può dire in generale sulla convergenza della serie nei punti z con

C

|z| = R. 6 |z|,

Dimostrazione (i) Se la serie convergesse in z = 0 avremmo R = 0 < contro la

definizione di raggio di convergenza.

(ii) Sia ( )

X n

|z| ∈

A = : z e a z è convergente ,

C n

n=0

∈ |z|

cosicché sup A = R = +∞. Sia z poiché non è un maggiorante di A, esiste

C; n

P

∈ |z | |z| |z | ∈

z tale che > e A, ossia a z è convergente. Dal corollario 2.7.5

C

1 1 1 n 1

n

P |a |

segue che z è convergente, cioè la tesi.

n ∈ |z| |z|

(iii) Sia A l’insieme sopra definito. Fissiamo z con < R; poiché non è un

C n

P

∈ |z| |z | |z | ∈ è

maggiorante di A, esiste z tale che < < R e A, ossia a z

C

1 1 1 n 1

n

P |a |

convergente. Dal corollario 2.7.5 segue che z è convergente.

n

∈ |z| ∈

Fissiamo ora z con > R: se la serie convergesse nel punto z, avremmo z A e

C

|z| ≤

quindi R, il che è assurdo.

(iv) L’ultima affermazione è provata dai seguenti esempi: le tre serie

∞ ∞ n n

z

z X

X X

n ,

z , 2

n n

n=1

n=0 n=1

hanno tutte raggio di convergenza 1; tuttavia:

n

P

• ∈ |z|

z non converge in alcun punto z con = 1,

C

n

z

P

• ∈ |z|

converge assolutamente in tutti gli z con = 1,

C

2

n

n

z

P ∈ |z|

• converge (non assolutamente) in ogni z con = 1, salvo che in z = 1

C

n

(esempio 2.5.11).

Come si determina il raggio di convergenza di una serie di potenze? Spesso è utile il

seguente criterio: n

P

Proposizione 2.7.9 Sia a z una serie di potenze. Se esiste il limite

n p

n |a |

lim = L,

n

n→∞

allora il raggio di convergenza della serie è

 +∞ se L = 0

 ∞

1/L se 0 < L <

R = 

 0 se L = +∞.

138 n

P

{|z| ∈

Dimostrazione Sia, al solito, A = : z e a z è convergente}. Utilizziamo

C n

→ ∞

il criterio della radice: per n si ha p

p n

n n

|a | |a ||z| →

z = L|z|.

n n ∈

Dunque se L = 0 la serie è assolutamente convergente per ogni z cioè A = [0, +∞[

C, ∈ \ {0},

e pertanto R = +∞. Se L = +∞, la serie non converge per nessun z C

{0}

quindi A = e R = 0. Se 0 < L < +∞, la serie è assolutamente convergente per

1 1

∈ |z| ∈ |z|

gli z tali che < , mentre non converge per gli z tali che > ; la

C C

L L

⊆ ∩ ∞[ ∅.

prima asserzione dice che [0, 1/L[ A, la seconda dice che A ]1/L, = Perciò

⊆ ⊆

[0, 1/L[ A [0, 1/L], ossia R = 1/L.

La più generale versione della proposizione 2.7.9 è esposta nell’esercizio 2.7.1.

α n

P ∈

Esempi 2.7.10 (1) La serie n z ha raggio di convergenza 1 qualunque sia α R:

infatti √

n α ∀α ∈

n = 1

lim R.

n→∞

n

P

(2) Se b > 0, la serie (bz) ha raggio di convergenza 1/b: infatti ovviamente

n n

lim b = b.

n→∞ n

(nz)

P

(3) Per calcolare il raggio di convergenza della serie il criterio precedente è poco

n!

utile, perché richiede di calcolare il non facile limite

r n

n n

n √

= lim

lim .

n

n! n!

n→∞

n→∞

Utilizziamo invece il criterio del rapporto: dato che (definizione 2.3.6)

n

n+1 n+1

(n + 1) n!|z| n +1 |z|

= lim = e|z|,

lim n n

|z|

(n + 1)!n n

n→∞

n→∞ ∈

avremo che la serie converge assolutamente per tutti gli z per cui risulta e|z| < 1,

C

mentre non potrà convergere, essendo il suo termine generale definitivamente crescente

in modulo, per gli z tali che e|z| > 1. Se ne deduce che R = 1/e.

C

Si noti che dall’esercizio 2.4.12 segue che n

lim = e,

n n!

n→∞

ossia √

n n! 1

lim = :

n e

n→∞

si confronti questo risultato con la stima dell’esercizio 1.6.17.

139

La serie esponenziale ∞ n

z

P converge assolutamente in ogni punto

Come sappiamo, la serie esponenziale n=0 n!

z ci proponiamo di calcolarne la somma. Ricordiamo che se z = 1 la somma della

C;

serie è, per definizione, il numero e. ∈

Teorema 2.7.11 Per ogni z = x + iy si ha:

C

∞ n

z z

n

X x

lim 1 + = = e (cos y + i sin y).

n n!

n→∞ n=0

In particolare risulta

∞ ∞

2h 2h+1

y y

X X

h h ∀y ∈

(−1)

cos y = , sin y = (−1) R.

(2h)! (2h + 1)!

h=0 h=0

Dimostrazione Fissiamo z = x + iy Possiamo scrivere

C.

z x y

n n

1+ = 1+ + i =

n n n n n

y

x

x y

n n

n = 1+

= 1+ 1+ i 1+ i .

x

n 1 + n n + x

n n

o x

{ }

1 passo: calcoliamo il limite della successione reale 1 + per un arbitrario

n

x R. |x|

Come sappiamo, tale successione è crescente non appena n > (esempio 1.8.3 (2)). È

chiaro che se x = 0 la successione ha limite 1. Supponiamo x > 0 e poniamo

n

h i ∈

, n

k = N;

n x

≤ → → ∞.

chiaramente k k e k +∞ per n Possiamo scrivere

n n+1 n x

" #

n/x

x 1

n

1+ = 1+ ,

n n/x

e osservando che k n/x < k + 1, deduciamo

n n

k n/x k +1

n n

1 1 1 ∀n ∈

< 1+ < 1+

1+ N.

k + 1 n/x k

n n

Per il teorema dei carabinieri, ricaviamo n/x

1

lim 1 + = e;

n/x

n→∞

dall’esercizio 2.1.24 segue allora x

" #

n/x

1 x ∀x

lim 1+ = e > 0.

n/x

n→∞ 140

Sia ora x < 0. Possiamo scrivere |x|

" #

n/|x|

x 1

n

1+ = 1 ,

n n/|x|

i

h n si ha

e ponendo stavolta k =

n |x|

k +1 n/|x| k

n n

1 1 1

− ∀n ∈

− −

1 < 1 < 1 N,

k n/|x| k + 1

n n

da cui n

1 1

lim 1 =

n/|x| e

n→∞

e, per l’esercizio 2.1.24, |x|

" # |x|

n/|x|

1 1 x

− ∀x

lim 1 = = e < 0.

n/|x| e

n→∞

In definitiva x n

x ∀x ∈

= e

lim 1+ R.

n

n→∞

o

2 passo: calcoliamo il limite della successione complessa

n

y

b = 1 + i .

n n + x

Poniamo y |c |(cos

= α + i sin α )

c = 1 + i n n n

n n + x

∈ −

ove α ] π/2, π/2[ , dato che la parte reale di c è positiva. Allora dalla formula di

n n

de Moivre (paragrafo 1.12) si ottiene

n

|c |

b = (cos nα + i sin nα ).

n n n n

n

|c |

Valutiamo il modulo di b , cioè : si ha per n sufficientemente grande (in modo che

n n

n + x n/2) n

2

y 2

≤ |b | ≤

1 = 1+

n 2

(n + x) 1

n 2

" #

n 2n 1

2 2

y 4y

2

2 2n

4y

≤ ≤

1+ = 1+ e ,

2 2

(n/2) n

e per il teorema dei carabinieri n

|c |

lim = 1.

n

n→∞ 141

Valutiamo ora l’argomento di b , cioè nα : anzitutto, dato che

n n y

|c | |c |

cos α = 1, sin α = ,

n n n n n + x

y → → ∞.

0 per n

si ha tan α =

n n+x

Notiamo adesso che dalla proposizione 1.12.17 segue che

| sin x|

≤ ≤ ∀x ∈ −

cos x 1 ] π/2, π/2[\{0};

|x|

inoltre ricordiamo che (esercizio 1.12.9)

| − ≤ |x| ∀x ∈

cos x 1| R.

Dal fatto che tan α è infinitesima si ricava allora

n α n

→ → → → ∞,

α 0, cos α 1, 1 per n

n n tan α

n

e di conseguenza ny α

α n

n · → → ∞,

· = y per n

nα = (n tan α )

n n tan α n + x tan α

n n

da cui finalmente → → ∞.

cos nα + i sin nα cos y + i sin y per n

n n

Pertanto si conclude che n

|c |

lim b = lim (cos nα + i sin nα ) = cos y + i sin y.

n n n n

n→∞ n→∞

Dai primi due passi della dimostrazione deduciamo che

z n

x

∃ = e (cos y + i sin y).

lim 1 + n

n→∞

o ∞ n

z

P

3 passo: mostriamo che la somma della serie coincide col precedente limite.

n=0 n!

Ripeteremo, con qualche modifica, la dimostrazione della proposizione 2.3.5. Fissiamo

m allora si ha

N: − · · −

1 n n(n 1) . . . (n k + 1) 1

lim = lim = per k = 0, 1, 2, . . . , m.

k k

n k k! n k!

n→∞ n→∞

Quindi se z possiamo scrivere

C m m

k k

z n z

X X

= lim .

k

k! k n

n→∞

k=0 k=0

142

D’altra parte se n > m si ha, per la formula del binomio (teorema 1.7.1),

m n n n

k k k k

n z n z n z z n z

n

X X X X

− −

= = 1+ ,

k k k k

n n n n n

k k k k

k=0 k=0 k=m+1 k=m+1

quindi per n > m si deduce

m n n

k k k

|z|

n z n z

z n

n

X X X

− ≤

1 + = =

k k k

k n n k n n

k

k=0 k=m+1 k=m+1

n n

k k

|z| − − |z|

n n 1 n k +1

X X

· · · ≤

= ... ;

k! n n n k!

k=m+1 k=m+1

→ ∞

pertanto quando n segue che m

m k

k

z z

n z

z n n

X

X − −

1 + 1 +

lim lim

= lim =

k

k! n k n n

n→∞ n→∞

n→∞ k=0

k=0 ∞

m k

k

|z|

z

n z n

X

X +

− ≤ ∀m ∈

1 + .

= lim N

k

n n k!

k

n→∞ k=m+1

k=0

Adesso facciamo tendere anche m a +∞: tenuto conto dell’osservazione 2.2.7, si ottiene

∞ k

k |z|

z

z n

X

X − ≤

lim 1 + lim = 0,

k

n n k!

n→∞ m→∞ k=m+1

k=0

o

cioè la tesi del 3 passo. Il teorema è completamente dimostrato.

x

7→

La funzione complessa z = x+iy e (cos y+i sin y) è una estensione a della funzione

C

x z

esponenziale reale e . Essa si chiama esponenziale complessa e si indica con e . Dunque,

per definizione e per quanto dimostrato, ∞ n z

z n

X

z Re z ∀z ∈

= lim 1+

e = e (cos Im z + i sin Im z) = C.

n! n

n→∞

n=0

In particolare, scegliendo z = iy immaginario puro, si ha la formula di Eulero

iy ∀y ∈

e = cos y + i sin y R,

ed anche ∞ 2N n n

n n

i y i y

X X

iy ∀y ∈

e = = lim R;

n! n!

→∞

N

n=0 n=0

2h h 2h+1 h

poiché i = (−1) e i = i(−1) , decomponendo la somma in indici pari ed indici

dispari si trova −1

" #

N N

2h 2h+1

y y

X X

h h

iy

e = lim (−1) + i (−1) ,

(2h)! (2h + 1)!

→∞

N h=0 h=0

143

e dato che le somme parziali a secondo membro si riferiscono a due serie che sono

entrambe assolutamente convergenti per ogni y si deduce

R,

∞ 2h+1

2h y

y X

X h

h ∀y ∈

+ i

cos y + i sin y = (−1)

(−1) R.

(2h)! (2h + 1)!

h=0

h=0

Infine, uguagliando fra loro parti reali e parti immaginarie, si ottengono gli sviluppi in

serie per le funzioni seno e coseno:

∞ ∞

2h 2h+1

y y

X X

h h ∀y ∈

cos y = (−1) , sin y = (−1) R.

(2h)! (2h + 1)!

h=0 h=0

Il teorema è completamente dimostrato.

Esercizi 2.7 n

P

1. Sia a z una serie di potenze. Si provi che, posto

n p

n |a |

L = lim sup n

n→∞

(si veda l’esercizio 2.6.3), il raggio di convergenza R della serie è dato da

 +∞ se L = 0

 ∞

1/L se 0 < L <

R = 

 0 se L = +∞.

2. Determinare il raggio di convergenza delle seguenti serie di potenze:

∞ ∞ n

n

i

z X

X X n

n! , (iii) z ,

(i) z , (ii) n

n + 2 2 + i

n=0 n=0 n=0

∞ ∞ ∞ 2n−1

n n

3 7 n

2

X X X

n n n n

z , (vi)

(iv) 2 z , (v) z ,

n n

4 3 2n + 1

n=0 n=1 n=0

∞ ∞ ∞

n

n √

z

X X X

− n n n n

, (viii) 3 z , (ix)

(vii) [(−2) + 1]z ,

n

n

n=1 n=0 n=0

∞ ∞

∞ 2 − · · ·

(n!) (2n 1) . . . 3 1

n! 2

X X

X n n n

(x) z , (xi) z , (xii) z .

n · · ·

n (2n)! 2n . . . 4 2

n=0 n=1

n=0 ∈

3. Dimostrare le seguenti uguaglianze, specificando per quali z sono vere:

C

∞ ∞

1 1

X X

n n 2n

(i) ; (ii) ;

(−1) z = z = 2

1+ z 1 z

n=0 n=0

∞ ∞ 2

1 iz

X X

n 2n n 2n

(iii) (−1) z = ; (iv) i z = .

2 2

1 + z 1 iz

n=0 n=1

144

P

4. Sia a una serie convergente: si provi che il raggio di convergenza della serie di

n n

P

potenze a z è non inferiore a 1.

n ∞ 2n

P

5. (i) Trovare il raggio di convergenza R della serie (n + 1)z .

n=0

∞ 2k

P

(ii) Posto R (z) = (k + 1)z , si verifichi che

n k=n 2n

z

2n

− ∀z ∈ |z|

(1 z)R (z) = nz + con < R.

C

n 2

1 z

|z|

(iii) Si calcoli per < R la somma della serie.

6. (i) Determinare il raggio di convergenza R della serie di potenze

∞ · · · · − ·

3 5 7 . . . (4n 1) (4n + 1)

1

X n

x ;

2 2 2 2

· · − ·

n 4 8 . . . (4n 4) (4n)

n=1

(ii) verificare che 1 3(4n + 1) 1 +

· ∀n ∈

< a < ;

N

n

n 4(4n) n −R.

(iii) descrivere il comportamento della serie nei punti x = R e x =

{F }

7. Sia la successione dei numeri di Fibonacci (esercizio 2.3.13).

n ∞ n

P F z .

(i) Determinare il raggio di convergenza R della serie n

n=0

2

− −

(ii) Detta S(z) la somma della serie, provare che (1 z z )S(z) = z, ossia

z ∀z ∈ |z|

S(z) = con < R.

C

2

− −

1 z z

8. Trovare due serie di potenze nella variabile z che abbiano come somme, nei

rispettivi cerchi di convergenza di cui si troveranno i raggi, le funzioni

1 1

F (z) = , G(z) = .

2 2

z + 4z + 3 z + z +1

∞ n

P

9. Sia R il raggio di convergenza di a z : provare che anche le serie

n

n=0

∞ ∞ ∞

1

X X X

n n n ∈

a z , na z , a z (con m fissato)

N

n n n+m

n

n=1 n=0 n=0

hanno raggio di convergenza R. n

P {a }

10. Trovare il raggio di convergenza della serie a z , ove è data da

n n

( a = 1/2

0 − ∀n ∈

a = a (1 a ) N.

n+1 n n

145

11. Le “funzioni iperboliche” coseno iperbolico e seno iperbolico sono definite da

−x −x

x x −

e + e e e

∈ ∈

cosh x = , x sinh x = , x

R, R.

2 2

(a) Provare che per ogni x si ha

R

∞ ∞

2n 2n+1

x x

X X

cosh x = , sinh x = .

(2n)! (2n + 1)!

n=0 n=0

(b) Provare che per ogni x, y si ha

R

2 2

(i) cosh x sinh x = 1;

(ii) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y;

(iii) sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y. ∈

12. Calcolare la somma delle seguenti serie, specificando per quali z esse sono

C

convergenti: ∞ ∞ ∞

2n 3n+2 n−1

z z z

X X X

n

(i) (−1) , (ii) , (iii) .

n! n! (n + 1)!

n=0 n=0 n=1 ∈

13. Calcolare la somma delle seguenti serie, specificando per quali x esse sono

R

convergenti: ∞ ∞ ∞

n 4n 3n

x x x

X X X

n n

(i) (−1) , (ii) (−1) , (iii) .

(2n)! (2n + 1)! (2n 3)!

n=0 n=0 n=2

146

∈ ∈] −

14. Siano α, β Si provi che se x 1, 1[ si ha

R. ∞ − −

cos α x cos(α β)

X n

x cos(α + nβ) = ,

2

1 2x cos β + x

n=0

∞ − −

sin α x sin(α β)

X n .

x sin(α + nβ) = 2

1 2x cos β + x

n=0 ∈

15. Calcolare la somma delle seguenti serie, ove α, β R:

∞ ∞

cos(α + nβ) sin(α + nβ)

X X

(i) , (ii) ,

n! n!

n=0 n=0

∞ sin(α + nβ)

cos(α + nβ) X

X n

n , (iv) (−1) ,

(iii) (−1) (2n)! (2n)!

n=0

n=0

∞ ∞

cos(α + nβ) sin(α + nβ)

X X

(v) , (vi) ,

(2n + 1)! (2n + 1)!

n=0 n=0

∞ ∞

− −

cos(α 3nβ) sin(α 3nβ)

X X

n n

(vii) (5i) , (viii) (5i) .

(2n + 2)! (2n + 2)!

n=0 n=0

16. Determinare la parte reale e la parte immaginaria dei seguenti numeri:

4 |1+2i|

1−i 3−2i (1+i) i(i−1)

e , e , e , ie , e .

17. Determinare il luogo dei punti z in cui ciascuna delle due funzioni

C 2

z z

f (z) = e , g(z) = e

assume valori reali, ed il luogo ove ciascuna assume valori puramente immaginari.

18. Determinare il luogo dei punti z in cui ciascuna delle due funzioni

C

2 3

z z

g(z) = e , h(z) = e

ha modulo unitario.

+

19. Fissato k , si consideri la serie

N ∞ n

X 2πin/k n+1+(−1)

e z

n=0

e se ne determini l’insieme di convergenza. Qual’è la somma?

147

2.8 Riordinamento dei termini di una serie

Cosa succede se si modifica l’ordine degli addendi di una serie? Le proprietà di conver-

genza si mantengono o si alterano?

Intanto bisogna intendersi sul significato di questa operazione: ad esempio, “sommare

i termini in ordine inverso” ha senso solo per somme finite. Andiamo allora a chiarire

con una definizione ciò che intendiamo quando parliamo di “riordinamento” dei termini

di una serie. P →

Definizione 2.8.1 Sia a una serie a termini reali o complessi, e sia τ : N N

n ∈

una funzione bigettiva, cioè sia iniettiva che surgettiva: in altre parole, per ogni k N

∈ ∈

esiste uno ed un solo n tale che τ (n) = k. Posto b = a per ogni n la serie

N N,

n τ (n)

∞ ∞

P P

b si dice riordinamento della serie a .

n n

n=0 n=0

P b ciascun termine a compare esattamente

Osservazioni 2.8.2 (1) Nella serie n k

n=0

−1 ∈

una volta, e cioè quando n = τ (k), ossia quando n assume l’unico valore n tale

N

k

∞ P

P a .

b ha esattamente “gli stessi addendi” di

che τ (n ) = k. Quindi k

n

k k=0

n=0 ∞

∞ P

P a (costruito mediante la corrispondenza

b è un riordinamento di

(2) Se n

n n=0

n=0 ∞

∞ P

P b (mediante la

a è un riordinamento di

biunivoca τ ), allora, viceversa, n

n n=0

n=0

−1

corrispondenza biunivoca τ , inversa di τ ).

Il risultato che segue risponde alla domanda iniziale.

P

Teorema 2.8.3 (di Dirichlet) Sia a una serie reale o complessa assolutamente

n P

convergente. Allora ogni suo riordinamento b è assolutamente convergente ed ha la

n

stessa somma: ∞ ∞

X X

a = b .

n n

n=0 n=0

P

Se la serie a non è assolutamente convergente, allora nessun suo riordinamento lo

n

è. P P

Si osservi che, di conseguenza, per ogni serie a e per ogni suo riordinamento b

n n

si ha ∞ ∞

X X

|a | |b |

=

n n

n=0 n=0

(questo valore potrà essere finito o +∞).

Dimostrazione Con le stesse considerazioni fatte alla fine della dimostrazione della

proposizione 2.5.2, si verifica che possiamo limitarci al caso di serie a termini reali.

≥ ∈

Supponiamo dapprima a 0 per ogni n e siano

N,

n ∞ n n

X X X

S = a , s = a , σ = b .

n n k n k

n=0 k=0 k=0

≤ ∈

Per ipotesi, si ha s S per ogni n inoltre, posto

N;

n m = max{τ (0), τ (1), . . . , τ (n)},

n 148

si ha n m n

X X

≤ ≤ ∀n ∈

σ = a a = s S N,

n h m

τ (k) n

k=0 h=0

P

cosicché b è convergente ed ha somma non superiore a S. D’altra parte, essendo

n

P P

a a sua volta un riordinamento di b , con ragionamento simmetrico si ha

n n

X

S b ,

n

n=0

e dunque vale l’uguaglianza.

Passiamo ora al caso generale: come si è fatto nella dimostrazione della proposizione

2.5.2, poniamo |a | − |b | − ∀n ∈

α = a , β = b N,

n n n n n n

cosicché ≤ ≤ |, ≤ ≤ | ∀n ∈

0 α 2|a 0 β 2|b N.

n n n n

P

La serie α è a termini positivi e converge per il criterio del confronto; dunque, per

n P

la parte già dimostrata, il suo riordinamento β è convergente e vale l’uguaglianza

n

∞ ∞

X X

α = β .

n n

n=0 n=0 P |a |

Inoltre, sempre in virtù della parte già dimostrata, poiché la serie è convergente,

n

P |b |

il suo riordinamento è convergente e

n ∞

∞ X

X |b |,

|a | = n

n n=0

n=0

P

cosicché b è assolutamente convergente. Ne segue

n ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

X X X X X X

|b | − |a | −

b = β = α = a .

n n n n n n

n=0 n=0 n=0 n=0 n=0 n=0

P

Notiamo infine che se a non è assolutamente convergente, non può esserlo nemmeno

n

P P P

|b | |a |

b , perché se fosse < +∞, per la parte già dimostrata dedurremmo =

n n n

P P P

|b | < +∞, essendo a sua volta a un riordinamento di b .

n n n

P

Osservazione 2.8.4 Per le serie a assolutamente convergenti si ha una proprietà

n

di riordinamento ancora più forte di quella espressa dal teorema di Dirichlet: se A e B

sono sottoinsiemi disgiunti di la cui unione è tutto allora

N, N,

X X X

a = a + a

n n n

n=0 n∈A n∈B

(esercizio 2.8.1). Si noti che questa proprietà non può valere senza l’ipotesi di assoluta

convergenza: se A è l’insieme dei numeri naturali pari e B quello dei numeri naturali

n

∞ (−1)

P −∞,

dispari, la serie si decomporrebbe in due serie divergenti a +∞ ed a

n=0 n+1

la cui addizione non avrebbe senso. 149

P

Se una serie a è convergente, ma non assolutamente convergente, l’operazione di

n

riordinamento può alterare il valore della somma, come è mostrato dal seguente

n

∞ (−1)

P

Esempio 2.8.5 La serie è convergente ad un numero reale S (che è uguale

n=0 n+1

a ln 2, come vedremo più avanti), ma non è assolutamente convergente. Si ha quindi

1 1 1 1 1 1 1

− − − −

1 + + + + . . . = S,

2 3 4 5 6 7 8

e dividendo per 2 1 1 1 1 1 1 1 S

1 − − − −

+ + + + ... = .

2 4 6 8 10 12 14 16 2

P

Dunque la serie c , ove

n  0 se n è dispari

c = n/2

(−1)

n − se n è pari,

 n

è convergente con somma S/2, in quanto le sue somme parziali di indice 2N coincidono

con quelle di indice N della serie precedente: ossia

1 1 1 1 1 1 S

− − −

0+ +0 +0+ +0 +0+ +0 + 0 + ... = .

2 4 6 8 10 12 2

n

∞ (−1)

P

Sommando ora questa serie con la serie si trova

n=0 n+1

1 1 1 1 1 1

− − −

(0 + 1) + + 0+ + + 0+ +

2 2 3 4 4 5

1 1 1 1 1 S

− − −

+ + 0+ + + ... = + S ,

6 6 7 8 8 2

ovvero 1 1 1 1 1 1 1 1 3S

1 − − −

1+0+ + +0+ + +0+ + + 0 + ... = ;

3 2 5 7 4 9 11 6 13 2

ora notiamo che la serie che si ottiene da questa sopprimendo i termini nulli (che sono

3S

quelli di indici 1, 5, 9, . . . , 4n + 1, . . . ) converge alla stessa somma : infatti, le sue

2

somme parziali di indice 3N + 1 coincidono con le somme parziali di indice 4N + 1 della

serie contenente anche i termini nulli. Tuttavia la serie cosı̀ ottenuta, cioè

1 1 1 1 1 1 1 1 1

− − −

1+ + + + + + + ...,

3 2 5 7 4 9 11 6 13

n

∞ (−1)

P

è evidentemente un riordinamento della serie , che convergeva a S. Non è

n=0 n+1

difficile verificare che la corrispondenza τ fra gli indici delle due serie è data da

 τ (3n) = 4n

 ∀n ∈

τ (3n + 1) = 4n + 2 N.

τ (3n + 2) = 2n + 1

Per le serie non assolutamente convergenti vale questo risultato ancora più drastico:

150

P

Teorema 2.8.6 (di Riemann) Sia a una serie reale convergente, ma non assolu-

n

tamente convergente. Allora: P

(i) per ogni L esiste un riordinamento di a che ha somma L;

R n

P

(ii) esiste un riordinamento di a che diverge positivamente;

n

P

(iii) esiste un riordinamento di a che diverge negativamente;

n

P

(iv) esiste un riordinamento di a che è indeterminato.

n P

Dimostrazione (i) Osserviamo anzitutto che la serie a contiene infiniti termini

n

strettamente positivi e infiniti termini strettamente negativi, altrimenti essa avrebbe

termini definitivamente a segno costante e quindi, essendo convergente, sarebbe anche

assolutamente convergente. Poniamo ∀n ∈

p = max{a , 0}, q = max{−a , 0} N,

n n n n

cosicché ≥ ≥ − |a | ∀n ∈

p 0, q 0, p q = a , p + q = N;

n n n n n n n n

−q

inoltre a coincide o con p (e allora q = 0), o con (e allora p = 0). Essendo in

n n n n n

particolare N N N N N N

X X X X X X

− |a | ∀N ∈

a = p q , = p + q N,

n n n n n n

n=0 n=0 n=0 n=0 n=0 n=0

P

dall’ipotesi sulla serie a si deduce

n ∞ ∞

X X

p = q = +∞

n n

n=0 n=0 P |a |

(altrimenti, se entrambe queste due serie fossero convergenti, otterremmo che n

P

converge, mentre se convergesse solo una delle due otterremmo che a diverge).

n

≤ ≤ |a | ≤ ≤ |a | ∈

D’altra parte, essendo 0 p e 0 q per ogni n si ha anche

N,

n n n n

lim p = lim q = 0.

n n

n→∞ n→∞

Ciò premesso, fissiamo L Costruiremo adesso una serie, che si otterrà riordinando

R.

P

i termini di a , e che soddisferà la tesi. Essa sarà formata da un certo numero di p ,

n n

seguiti da un certo numero di q , poi ancora da un po’ di p , poi di nuovo da un po’

n n

di q , e cosı̀ di seguito, in modo da “oscillare” attorno al valore L prescelto. A questo

n {m }

scopo andiamo a costruire due opportune successioni crescenti di indici, e

+

n n∈N

{k } , e formiamo la serie

+

n n∈N m k

m k m k

1 1 2 2 h h

X X X X X X

− − −

p q + p q + . . . + p q + . . . ;

n n n n n n

n=0 n=0 n=m +1 m +1

n=k +1 n=k +1

1 h−1

1 h−1

151

denoteremo con s la sua n-sima somma parziale.

n {α } {β },

Fissiamo due successioni e entrambe convergenti a L e tali che α < L < β :

n n n n

1

1

− e β = L + . Definiamo adesso gli indici

ad esempio prenderemo senz’altro α = L n

n n n

m

P

m e k : m è il minimo numero naturale m per cui p > L + 1, mentre k è il

n n 1 n 1

n=0

m k

P P

− −

1

minimo numero naturale k per cui p q < L 1. Questi indici esistono

n n

n=0 n=0

P P

per la divergenza delle serie p e q . In generale, avendo costruito m e k come

n n h h

i minimi indici maggiori rispettivamente di m e k tali che

h−1 h−1

 m

k

m h

1

1 1

X

X

X

 − p > L +

q + . . . + ,

p

 n

n

n

 h

 m +1

n=0

n=0 h−1 k

m

m k h

h

1 1 1

X

X

X X

 −

− q < L

p

p q + . . . + ,

 n

n

n n

 h

 m +1

n=0 n=0 n=k +1

h−1 h−1

definiremo m e k come i minimi indici maggiori rispettivamente di m e k tali

h+1 h+1 h h

che  m

m k h+1

1 1 1

 X X

X

 ,

p p > L +

q + . . . +

 n n

n

 h +1

 n=0 m +1

n=0 h k

m

m k h+1

h+1

1 1 1

X

X

X X

 −

− q < L

p

p q + . . . + .

 n

n

n n

 h + 1

 m +1

n=0 n=0 n=k +1

h h P P

Nuovamente, tali indici esistono in virtù della divergenza di p e q .

n n

{s },

Indichiamo con σ e τ le somme parziali della serie cosı̀ costruita, cioè gli ultimi

n n n

−q

termini delle quali sono rispettivamente p e : in altre parole,

m k

n n

σ = s , τ = s .

n m +k +...+m n m +k +...+m +k

n n n

1 1 1 1

Allora otteniamo, per la minimalità di m e k ,

n n 1

1

− ≤ − ≤

σ p L + < σ , τ < L τ + q ,

n n n k

n m n n

n n

→ → → ∞.

cosicché σ L e τ L per n D’altra parte, consideriamo una generica somma

n n

parziale s : esisterà un unico indice h tale che sia vera una delle due relazioni

n ≤ ≤

m + k + . . . m n m + k + . . . + m + k ,

1 1 h 1 1 h h

oppure ≤ ≤

m + k + . . . m + k n m + k + . . . + m + k + m ;

1 1 h h 1 1 h h h+1

ne segue ≤ ≤ ≤ ≤

τ s σ , oppure τ s σ ,

h n h h n h+1

→ ∞.

e dunque anche s converge a L per n Ciò prova (i).

n

(ii)-(iii)-(iv) Questi enunciati si provano in modo del tutto simile: basta scegliere le

{α } {β } −∞,

successioni e entrambe divergenti a +∞, o entrambe divergenti a o

n n

convergenti a due valori L e L con L < L .

1 2 1 2

152

Raggruppamento dei termini di una serie

Vale la proprietà associativa per i termini di una serie? Si possono mettere le parentesi

per racchiudere un numero finito di addendi, senza alterare la somma? Vediamo.

P {k }

Definizione 2.8.7 Sia a una serie reale o complessa. Sia inoltre una

n n

n=0

successione strettamente crescente di numeri naturali. Posto

k k n

0

X X +

∀n ∈

b = a , b = a ,

N

0 h n h

h=0 h=k +1

n−1

P P

si dice che la serie b è ottenuta da a raggruppandone i termini.

n n n+1

∞ (−1)

1 P

P è ottenuta da raggruppandone i

Esempio 2.8.8 La serie n=1

n=1 2n(2n−1) n

{k }

termini a due a due: in questo caso è definita da k = 2n.

n n

Il risultato che segue stabilisce che il raggruppamento dei termini di una serie è un’o-

perazione del tutto lecita.

P P

Teorema 2.8.9 Sia a una serie reale o complessa, e sia b una serie ottenuta

n n

P P P

da a raggruppandone i termini. Se a è convergente, allora anche b lo è e

n n n

P

in tal caso le due serie hanno la stessa somma. Se a è assolutamente convergente,

n

P

allora anche b lo è e in tal caso si ha

n ∞

∞ X

X |a |.

|b | ≤ n

n n=0

n=0 n

m P

P

∈ b ; si ha allora,

a e σ =

Dimostrazione Per m, n poniamo s =

N k

k n

m k=0

k=0

per definizione di b ,

h n

X

− ∀n ∈

σ = s + s s = s N.

n k k k k

n

0 h h−1

h=1

{s } |s −

Poiché è per ipotesi convergente ad un numero S, dato ε > 0 si avrà S| < ε

n n

≥ |σ −

per tutti gli n maggiori di un certo ν. Ma allora, essendo k n, sarà anche S| =

n n

|s − → → ∞.

S| < ε per ogni n > ν, cioè σ S per n

k n

n ∞

P |a | ∞,

Se poi < allora a maggior ragione, per la parte già dimostrata,

n

n=0 ∞ ∞ ∞

k k n

0

X X X X X

|b | ≤ |a | |a | |a |

+ = < +∞.

n h h h

n=0 n=1

h=0 h=k +1 h=0

n−1

Osservazioni 2.8.10 (1) Il teorema vale anche nel caso di serie reali divergenti (eser-

cizio 2.8.2). 153

(2) Non mantiene la convergenza, al contrario, l’operazione inversa al raggruppamento,

che consiste nell’eliminare eventuali parentesi presenti: ad esempio, la serie

− − − −

(1 1) + (1 1) + (1 1) + (1 1) + . . .

converge ed ha somma 0, mentre la serie

− − − −

1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ...

è indeterminata. In generale, si può scrivere l’uguaglianza

∞ ∞ ∞

X X X

(a + b ) = a + b

n n n n

n=0 n=0 n=0

P P

solo quando ciascuna delle due serie a e b è convergente; in tal caso l’uguaglianza

n n

è conseguenza dell’esercizio 2.2.1. Più generalmente, si veda l’esercizio 2.8.3.

Esercizi 2.8

P

1. Sia a una serie assolutamente convergente. Si provi che se A e B sono

n ∪

sottoinsiemi disgiunti di tali che A B = allora

N N,

∞ X

X

X a .

a +

a = n

n

n

n=0 n∈B

n∈A

P −∞,

2. Si provi che se a è una serie divergente a +∞, oppure a allora ogni

n

P P

serie b ottenuta da a raggruppandone i termini è ancora divergente a +∞,

n n

−∞.

oppure a

P {k } ⊆

a una serie reale o complessa, sia una successione stretta-

3. Sia N

n n

n=0

mente crescente e siano k k

n

0 X

X ∀n ∈

b = a

a , b = N.

0 h n h

h=k +1

h=0 n−1

P

Si provi che se b è convergente, e se

n

n=0 k

n

X |a |

lim = 0,

h

n→∞ h=k +1

n−1

P

allora a è convergente.

n

n=0 +

4. (i) Per n, k siano a numeri non negativi. Si dimostri che se

N nk ∞ ∞

" #

X X a = S,

nk

n=1 k=1

allora si ha anche " #

∞ ∞

X X a = S.

nk

n=1

k=1

154

(ii) Verificare che il risultato di (i) è falso se gli a hanno segno variabile, utiliz-

nk

zando i seguenti a :

nk +

 ∈

1 se k = n, n N

 n−1 −

2 1

 +

a = − ∈

se k = n + 1, n N

nk n −

2 1

 0 altrimenti.

2.9 Moltiplicazione di serie

A prima vista il problema di moltiplicare fra loro due serie sembra irrilevante. Fare il

prodotto di due serie significa moltiplicare tra loro le successioni delle rispettive somme

·

parziali; se queste convergono a S e S , il loro prodotto convergerà a S S . Dov’è il

1 2 1 2

problema?

Il punto è che noi vogliamo ottenere, come risultato del prodotto di due serie, una

nuova serie. Il motivo di questo desiderio è legato alla teoria delle serie di potenze: due

serie di potenze hanno per somma una funzione definita sul cerchio di convergenza di

ciascuna serie; il prodotto di tali funzioni è una nuova funzione, definita sul più piccolo

dei due cerchi di convergenza, e della quale si vorrebbe conoscere uno sviluppo in serie

di potenze che ad essa converga. Dunque si vuole trovare una serie di potenze che sia il

prodotto delle due serie di potenze date, ed abbia per somma il prodotto delle somme.

M

N n

n P

P ≤

b z (con N M ) è naturale

a z e

Scrivendo il prodotto di due polinomi n

n n=0

n=0 n

raggruppare i termini con la stessa potenza z : quindi si metteranno insieme i prodotti

a b , a b , . . . , a b , a b . Il polinomio prodotto sarà quindi (ponendo a = 0 per

0 n 1 n−1 n−1 1 n 0 n

n = N + 1, . . . , M ) !

N n

X X n

z .

a b

k n−k

n=0 k=0

Passando dai polinomi alle serie di potenze o, più in generale, parlando di serie nume-

riche, siamo indotti alla seguente ∞ ∞

P P

Definizione 2.9.1 Date due serie a e b reali o complesse, e posto

n n

n=0 n=0

n

X ∈

c = a b , n N,

n k n−k

k=0

P

la serie c si dice prodotto di Cauchy delle due serie.

n

n=0 ∞ ∞

P P

Si potrebbe sperare di dimostrare che se a e b sono convergenti, allora

n n

n=0 n=0

P

la serie prodotto c è convergente, magari con somma uguale al prodotto delle

n

n=0

somme. Ma non è cosı̀, come mostra il seguente esempio: se

n

(−1)

√ ∀n ∈

a = b = N,

n n n +1

155

allora n 1

X

n √ √ ∀n ∈

c = (−1) N,

n −

k +1 n k +1

k=0

e quindi n 1 n +1

X √ √

|c | ≥ ∀n ∈

=1

= N,

n n +1

n +1 n +1

k=0 P

per cui c non è infinitesima e c non può convergere. Si ha però questo risultato:

n n ∞ ∞

P P

Teorema 2.9.2 (di Cauchy) Se le serie a e b sono assolutamente con-

n n

n=0 n=0

P

vergenti, allora il loro prodotto di Cauchy c è assolutamente convergente; inoltre

n

n=0

∞ ∞ ∞

! !

X X X

·

c = a b .

n n n

n=0 n=0 n=0

P d , la cui legge di formazione è illustrata

Dimostrazione Si consideri la serie n

n=0

dallo schema che segue:

7→ ······ ···

a b a b a b a b

0 0 1 0 2 0 n 0

↓ ↑ ↑ ↑

−→ ······ ···

a b a b a b a b

0 1 1 1 2 1 n 1

↑ ↑

→ −→ −→ ······ ···

a b a b a b a b

0 2 1 2 2 2 n 2

→ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ······ ··· ···

··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ······ ↑

→ −→ −→ −→ −→ ···

a b a b a b a b

0 n 1 n 2 n n n

→ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ······ ··· ··· ···

Si ha dunque

X d = a b + a b + a b + a b + a b + a b + a b + a b + a b +

n 0 0 0 1 1 1 1 0 0 2 1 2 2 2 2 1 2 0

n=0 + . . . + a b + a b + . . . + a b + a b + . . . + a b + a b + . . .

0 n 1 n n n n n−1 n 1 n 0

e tale serie converge assolutamente, in quanto per ogni n 2 si ha

2 ! ! ! !

−1 ∞ ∞

n n n−1 n−1

X X X X X X

|d | ≤ |d | |a | · |b | ≤ |a | · |b | ∞.

= <

k k k k k k

k=0 k=0 k=0 k=0 k=0 k=0

∞ ∞

P P

Dunque d è convergente ad un numero S. D’altra parte, posto A = a e

k k

k=0 k=0

∞ 2

P P −

B = b , considerando la somma parziale della serie d di indice n 1 si ha

k k

k=0

→ ∞

per n 2 −1 ! !

n n−1 n−1

X X X

· → ·

d = a b A B.

k k k

k=0 k=0

k=0 156

Ne segue S = AB perché ogni sottosuccessione di una successione convergente deve

convergere allo stesso limite.

P

Dalla serie d , riordinando i termini “per diagonali”, si ottiene la serie

k

k=0

a b + a b + a b + a b + a b + a b + . . . + a b + a b + . . . + a b + . . . ,

0 0 0 1 1 0 0 2 1 1 2 0 0 n 1 n−1 n 0

la quale per il teorema di Dirichlet (teorema 2.8.3) è assolutamente convergente ed ha

somma AB. Ma raggruppandone opportunamente i termini si ottiene proprio la serie

∞ ∞

P P

prodotto di Cauchy di a e b , la quale dunque per il teorema 2.8.9 è una

k k

k=0 k=0

serie assolutamente convergente con somma AB.

P P

Osservazione 2.9.3 Se le serie a e b hanno indice iniziale 1, anziché 0, nella

n n

definizione di prodotto di Cauchy occorrerà prendere n

n X

X + ∀n ∈

∀n ∈ a b

a b , anziché c =

c = N.

N k n−k

n

k n−k+1

n k=0

k=1

Esempi 2.9.4 (1) Moltiplicando per se stessa la serie geometrica

1 X n |z|

z , < 1,

=

1 z n=0

|z|

si ottiene, sempre per < 1, ∞

∞ !

n

1 X

X X n

k n−k (n + 1)z ;

z z =

=

2

(1 z) n=0

n=0 k=0

da qui si ricava anche

∞ ∞ ∞ 1 1 z

X X X n

n n − − |z|

nz = (n + 1)z z = = , < 1.

2 2

− − −

(1 z) 1 z (1 z)

n=0 n=0 n=0

(2) Come sappiamo si ha, posto z = x + iy, ∞ n

z

X

z x+iy x ∀z ∈

e = e = e (cos y + i sin y) = C.

n!

n=0

z w

Calcoliamo e e con la regola della moltiplicazione di serie: il termine generale della

serie prodotto ha la forma

n n n

1 1 1 n (z + w)

X X

k n−k k n−k

z z = z w = ;

k! (n k)! n! k n!

k=0 k=0

dunque ∞ n

(z + w)

X

z w z+w ∀z, ∈

e e = = e w C.

n!

n=0 157

Pertanto l’esponenziale complessa mantiene le proprietà algebriche dell’esponenziale

z z+2πi ∈

reale. Si noti che e = e per ogni z cioè la funzione esponenziale è periodica

C,

z

di periodo 2πi; in particolare, e non è una funzione iniettiva su C.

A titolo di curiosità, mostriamo una variante del teorema 2.9.2: il prodotto di Cau-

chy di due serie è convergente, a patto che almeno uno dei due fattori sia una serie

assolutamente convergente. Si ha infatti:

∞ ∞

P P

Teorema 2.9.5 Siano a e b due serie, la prima assolutamente conver-

n n

n=0 n=0 ∞

P

gente e la seconda convergente. Allora il loro prodotto di Cauchy c è convergente

n

n=0

e si ha ∞ ∞ ∞

! !

X X X

·

c = a b .

n n n

n=0 n=0 n=0

Dimostrazione Poniamo ∞ ∞

X X

A = a , B = b .

n n

n=0 n=0

Scriviamo la somma parziale della serie prodotto nella forma N

N

N

N

N n

N X

X

X

X

X X

X b =

a

a b =

a b =

c = n−k

k

k n−k

k n−k

n n=0

n=0 n=k

k=0

n=k

k=0

k=0

" #

−k

N N N

X X X

= a b B + B a .

k h k

k=0 h=0 k=0

Da questa relazione segue che vale la tesi del teorema, cioè risulta

X c = AB

n

n=0

se e solo se −k

" #

N N

X X −

∃ a b B = 0.

lim k h

→∞

N k=0 h=0 ∈

Proviamo dunque quest’ultima relazione. Sia ε > 0 e scegliamo ν tale che

N

ε

n n

X X

|a | − ∀n ≥

< ε, b B < ε ν .

k h ε

k=ν h=0

ε 158

Allora se N 2ν si ha

ε " #

−k −k

N N N N

X X X X

− ≤ |a | − ≤

a b B b B

k h k h

k=0 h=0 k=0 h=0

−k −k

ν N N N

ε

X X X X

≤ |a | − |a | − ≤

b B + b B

k h k h

k=0 h=0 k=ν +1 h=0

ε " #

ν n n

ε

X X X

≤ |a | − |B| ≤

sup b B + ε sup b +

k h h

−ν

n≥N n∈N

ε

k=0 h=0 h=0

∞ n

X

X − ≤

≤ |a | b B + εC εC ,

sup h 1 2

k n≥ν ε h=0

k=0

ove ∞

" #

n X

X |a |

|B| + C .

C = sup b + , C = k 1

1 h 2

n∈N k=0

h=0

Ciò prova che −k

" #

N

N X

X −

b B = 0,

lim a h

k

→∞

N h=0

k=0

come richiesto.

Esercizi 2.9 ∞ n

n P

P |z| a si ha

a z = f (z) per < 1, allora posto A =

1. Provare che se k

n n k=0

n=0 ∞ f (z)

X n |z|

A z = per < 1.

n −

1 z

n=0

|z|

2. Dimostrare che se < 1 si ha

n + k 1

X n ∀k ∈

z = N.

k+1

k (1 z)

n=0

[Traccia: utilizzare l’esercizio 1.7.1 (iv).]

|z|

3. Verificare che per < 1 si ha ∞ 2

z + z

X 2 n .

n z = 3

(1 z)

k=0

4. Poniamo per ogni n N

δ = a b + . . . a b + a b + . . . + a b + a b .

n 0 n n n n n−1 n 1 n 0

∞ ∞ ∞

P P P

Si provi che se a = A e b = B, allora δ = AB.

n n n

n=0 n=0 n=0

159

5. Per y si verifichi la relazione sin 2y = 2 sin y cos y, utilizzando gli sviluppi in

R

serie di potenze del seno e del coseno.

[Traccia: si verifichi preliminarmente che risulta

n

2n + 1

X

2n 2n 2n

− − ∀n ∈

2 = (1 + 1) (1 1) = N.]

2k

k=0

6. Dimostrare, usando le serie di potenze, le relazioni

2 2 ∀x ∈

cos x + sin x = 1 R,

∀x, ∈

sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x y R.

n

(−1)

P per se stessa. La serie che

7. Determinare il prodotto di Cauchy della serie n+1

cosı̀ si ottiene è convergente? ∞

∞ −n

−n P

P

P · 3 ): calcolare esplicitamente c e provare che

2 ) (

c = (

8. Sia n

n n=0

n=0

n=0 −n −n

≤ ≤ ∀n ∈

3 c 2 N.

n 160

Capitolo 3

Funzioni m m

3.1 Spazi euclidei e

R C

Inizia qui la seconda parte del corso, in cui si passa dal “discreto” al “continuo”: lo studio

delle successioni e delle serie lascerà il posto all’analisi delle proprietà delle funzioni di

variabile reale o complessa. Ci occuperemo comunque ancora, qua e là, di successioni e

serie, in particolare di serie di potenze.

+ m m

Fissiamo m e consideriamo gli insiemi e , cioè i prodotti cartesiani di e

N R C R

per se stessi m volte:

C m 1 m i

{x ∈

= = (x , . . . , x ) : x i = 1, . . . , m},

R R,

m 1 m i

{z ∈

= = (z , . . . , z ) : z i = 1, . . . , m}.

C C,

Introduciamo un po’ di terminologia. Indicheremo in neretto (x, z, a, b, eccetera) i

m m

punti generici, o vettori, di e di . Su tali insiemi sono definite le operazioni di

R C

somma e di prodotto per scalari che li rendono entrambi spazi vettoriali:

1 1 m m m m

∀a, ∈ ∀a, ∈

a + b = (a + b , . . . , a + b ) b (oppure b ),

R C

1 m m m

∀λ ∈ ∀a ∈ ∀λ ∈ ∀a ∈

λa = (λa , . . . , λa ) (oppure ).

R, R C, C

m 2

Naturalmente, per m = 2 lo spazio si riduce al piano cartesiano mentre per

R R

m 2

m = 1 lo spazio si riduce al piano complesso Come sappiamo, è iden-

C C. R

tificabile con mediante la corrispondenza biunivoca z = x + iy; similmente, per

C 2m m

ogni m 1 possiamo identificare gli spazi e , associando al generico punto

R C

1 2 2m−1 2m 2m 1 m m

∈ ∈

x = (x , x , . . . , x , x ) il punto z = (z , . . . z ) , ove

R C

j 2j−1 2j

z = x + i x , j = 1, . . . , m. 2

Estenderemo a m dimensioni tutta la struttura geometrica di .

R

Prodotto scalare

m m

In e in è definito un prodotto scalare fra vettori:

R C m

X i i m

ha, ∀a, ∈

bi = a b b ,

R

m i=1 161

m

X i m

i

ha, ∀a, ∈

bi = a b b .

C

m i=1

m m

Si noti che, essendo e x = x per ogni x reale, il prodotto scalare dello spazio

R C

m m m

, applicato a vettori di , coincide col prodotto scalare dello spazio . Dunque il

C R R

m

prodotto scalare associa ad ogni coppia di vettori di un numero complesso e ad ogni

C

m ha,

coppia di vettori di un numero reale. Se bi = 0, i due vettori a e b si dicono

R m

ortogonali. Il significato geometrico del prodotto scalare, nel caso reale, è illustrato

nell’esercizio 3.1.1. m

Notiamo che il prodotto scalare di è una applicazione lineare nel primo e nel secondo

R

argomento, ossia risulta

( hλa + µb, ci = λha, ci + µhb, ci

m m m m

∀λ, ∈ ∀a, ∈

µ b, c ;

R, R

ha, λb + µci = λha, bi + µha, ci

m m m

m

invece il prodotto scalare di è lineare nel primo argomento ed antilineare nel secondo

C

argomento, ossia

( hλa + µb, ci = λha, ci + µhb, ci

m m m m

∀λ, ∈ ∀a, ∈

µ b, c

C, C

ha, λha, bi + µha, ci

λb + µci = m m

m

(le verifiche sono ovvie).

Norma euclidea m

La norma euclidea di un vettore z è il numero reale non negativo

C

v m

u

X p

u i 2

|z| |z | hz,

= = zi ,

t

m m

i=1 m

1 m ∈

essendo z = (z , . . . , z ); la norma di un vettore x è la stessa cosa, ossia

R

v m

u X p

u i 2

|x| |x | hx,

= = xi .

t

m m

i=1

La norma è l’analogo del modulo in e del valore assoluto in Le sue proprietà

C R.

fondamentali sono le seguenti: m

|z| ≥ ∈ |z|

(i) (positività) 0 per ogni z , e = 0 se e solo se z = 0;

C

m m m

|λz| |λ| · |z| ∈ ∈

(ii) (omogeneità) = per ogni λ e z ;

C C

m m m

|z ≤ |z| |w| ∈

(iii) (subadditività) + w| + per ogni z, w .

C

m m m

Le prime due proprietà sono ovvie dalla definizione; la terza è meno evidente, e per

dimostrarla è necessario premettere la seguente

162

Proposizione 3.1.1 (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz) Risulta

m

|ha, | ≤ |a| · |b| ∀a, ∈

bi b .

C

m m m

Dimostrazione Ripetiamo l’argomentazione svolta nella dimostrazione del teorema

m

∈ ∈

1.9.3. Per ogni a, b e per ogni t si ha

C R

m

X

2 j j j j

≤ |a =

0 + tb| (a + tb )(a + tb ) =

m j=1 m

m m X

X X j

j j 2

j j j

b

= a a + 2t Re a b + t b =

j=1

j=1 j=1 2 2

2 2 ha, |b|

ha, ha, hb, |a| ;

+ 2t Re bi + t

= ai + 2t Re bi + t bi = m

m m m m

m

dal momento che il trinomio di secondo grado all’ultimo membro è sempre non negativo,

il suo discriminante deve essere non positivo, cioè

2 2 2 m

ha, ≤ |a| · |b| ∀a, ∈

(Re bi ) b .

C

m m m m

Passando alle radici quadrate, ciò prova la tesi nel caso del prodotto scalare di ,

R

m

ha, ha,

poiché in tal caso Re bi = bi . Nel caso del prodotto scalare di osserviamo

C

m m

ha, ∈

che il numero complesso bi avrà un argomento ϑ [0, 2π[, e si potrà dunque

m

scrivere, ricordando la definizione di esponenziale complessa, iϑ

ha, |ha, |(cos |ha, |e

bi = bi ϑ + i sin ϑ) = bi ;

m m m

da cui, grazie alla linearità del prodotto scalare nel primo argomento,

−iϑ −iϑ

|ha, | ha, he

bi = e bi = a, bi ,

m m m

e dunque −iϑ −iϑ

he |ha, | he

Re a, bi = bi , Im a, bi = 0;

m m m

pertanto, per quanto dimostrato sopra,

2

−iϑ −iϑ

2 2

|ha, | he |he | ≤

bi = Re a, bi = a, bi

m m m

−iϑ −iϑ

2 2 2 2 2 2 2 m

≤ |e · |b| |e | · |a| · |b| |a| · |b| ∀a, ∈

a| = = b ,

C

m m m m m m

cioè la tesi.

Dimostriamo la subadditività della norma: per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si

ha 2 2 2 2 2

|a |a| ha, |b| ≤ |a| |ha, | |b| ≤

+ b| = + 2 Re bi + + 2 bi +

m m

m m m m m

2 2 2

≤ |a| |a| · |b| |b| |b|

+ 2 + = (|a| + ) .

m m m m

m m

m

Osservazione 3.1.2 Si noti che se a, b , allora vale l’uguaglianza

R 2 2

2

|a |a| |b|

+ b| = +

m m m

se e solo se a e b sono vettori fra loro ortogonali.

163

Distanza euclidea m m

Tramite la norma si può dare la nozione di distanza fra due vettori di o di .

R C

Definizione 3.1.3 Una distanza, o metrica, su un insieme non vuoto X è una funzione

× → ∞[

d : X X [0, con queste proprietà:

≥ ∈

(i) (positività) d(x, y) 0 per ogni x, y X, d(x, y) = 0 se e solo se x = y;

(ii) (simmetria) d(x, y) = d(y, x) per ogni x, y X;

≤ ∈

(iii) (disuguaglianza triangolare) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) per ogni x, y, z X.

Se su X è definita una distanza d, la coppia (X, d) è detta spazio metrico.

La nozione di spazio metrico è molto importante e generale, e la sua portata va molto

al di là del nostro corso. Si può verificare assai facilmente che la funzione

m m

|x − ∀x, ∈ ∀x, ∈

d(x, y) = y| y (oppure y )

C R

m

m m

è una distanza su (oppure su ), che si chiama distanza euclidea: le proprietà (i),

C R

(ii) e (iii) sono evidenti conseguenze delle condizioni (i), (ii) e (iii) relative alla norma

euclidea. La distanza euclidea gode inoltre di altre due proprietà legate alla struttura

m m

vettoriale di e :

R C m

(iv) (invarianza per traslazioni) d(x + v, y + v) = d(x, y) per ogni x, y, v (oppure

C

m ),

R m

|λ| ∈ ∈ ∈

(v) (omogeneità) d(λx, λy) = d(x, y) per ogni λ e x, y (oppure λ e

C C R

m

x, y ).

R m m

|x| ∈

Notiamo che d(0, x) = per ogni x (oppure ); inoltre se m = 2, come già

C R

m p 2 2 |(x,

∈ |z| x + y = y)| , ossia e

sappiamo, posto z = x + iy per ogni z si ha = C

C, 2

2 sono, dal punto di vista metrico, la stessa cosa.

R ∈

Per un qualunque spazio metrico si definisce la palla di centro x X e raggio r > 0

0 m

{x ∈ ∈

come l’insieme B(x , r) = X : d(x, x ) < r}; quindi la palla di centro x e

R

0 0 0

raggio r è m

{x ∈ |x − |

B(x , r) = : x < r},

R

0 0 m

m

mentre analogamente la palla di centro z e raggio r > 0 sarà

C

0 m

{z ∈ |z − |

B(z , r) = : z < r}.

C

0 0 m

−r,

Nel caso m = 1 la palla B(x , r) di è l’intervallo ]x x +r[ mentre la palla B(z , r)

R

0 0 0 0

m m

{z ∈ |z − |

di è il disco : z < r}. Un intorno di un punto x in o in è un

C C R C

0 0

insieme U tale che esista una palla B(x , r) contenuta in U . Ogni palla di centro x

0 0

è essa stessa un intorno di x ; talvolta però è comodo usare intorni di x più generali

0 0

delle palle (ad esempio intorni di forma cubica, se m = 3).

m m m m

{x } ⊂ ∈

Una successione (oppure ) converge ad un elemento x (o ) se

R C R C

n |x −

lim x| = 0,

n m

n→∞ 164

∈ ∈ ≥

cioè se per ogni ε > 0 esiste ν tale che x B(x, ε) per ogni n ν. Si noti che,

N n

essendo m

X

i j

i jn

− | ≤ |x − ≤ − |,

|x |x

x x| x i = 1, . . . , m,

n m

n j=1

la condizione lim x = x equivale alle m relazioni

n→∞ n i

in = x , i = 1, 2, . . . , m.

lim x

n→∞

Aperti e chiusi m

Definiremo adesso alcune importanti classi di sottoinsiemi di . Tutto ciò che verrà

R m

detto in questo paragrafo si può ripetere in modo completamente analogo per .

C

m

Definizione 3.1.4 Sia A . Diciamo che A è un insieme aperto se è intorno di

R ∈ ⊆

ogni suo punto, ossia se per ogni x A esiste r > 0 tale che B(x , r) A (il raggio r

0 0

dipenderà ovviamente dalla posizione di x in A).

0

Gli insiemi aperti formano una famiglia chiusa rispetto a certe operazioni insiemistiche:

Proposizione 3.1.5 L’unione di una famiglia qualsiasi di aperti è un aperto. L’inter-

sezione di una famiglia finita di aperti è un aperto. S

{A } ∈

Dimostrazione Se è una famiglia di aperti, e x A , vi sarà un indice

i i∈I i

i∈I S

∈ ∈ ⊆ ⊆

j I tale che x A ; quindi esiste r > 0 tale che B(x, r) A A . Pertanto

j j i

i∈I

S A è un aperto.

i

i∈I ki=1

T

{A } ∈ A , allora per ogni i fra 1

Se , . . . , A è una famiglia finita di aperti e x i

1 k ⊆ },

e k vi sarà r > 0 tale che B(x, r ) A ; posto r = min{r , . . . , r si ha r > 0 e

i i i 1 k

k

k T

T ⊆

⊆ A .

B(x, r )

B(x, r) i

i i=1

i=1

Esempi 3.1.6 (1) Sono aperti in R:

∅, − ∞, \ {34}, \

]a, b[ , ] a[ , ]b, +∞[ ,

R, R R Z,

1

\{ }

]0, 1[∪]2, 4[ , ]0, 1[ ;

+

n∈N

n

non sono aperti in R: \ − ∞,

[a, b[ , [a, b], ]a, b], ] a], [b, +∞[ ,

N, Z, Q, R Q,

1 1

} }

\ {

{ , [0, 1] .

+ +

n∈N n∈N

n n

2

(2) Sono aperti in :

R

2 2 2

∅, {(x, ∈ {(x, ∈ |x| |y|

, y) : y > 0}, y) : + < 1},

R R R

2 \ {(0, 0)}, B((x, y), r);

R 2

non sono aperti in :

R 2

× {0}, {(0, {(x, ∈ ≥

y) : y > 0}, y) : y 0},

R R

2 2 2 2

{(x, ∈ ≤ {(x, ∈ ≤

y) : x y}, y) : 1 x + y < 2}.

R R

165

m m

Definizione 3.1.7 Sia F . Diciamo che F è un insieme chiuso in se il suo

R R

c

complementare F è un aperto.

Si ha subito la seguente proprietà:

Proposizione 3.1.8 L’intersezione di una famiglia qualsiasi di chiusi è un chiuso.

L’unione di una famiglia finita di chiusi è un chiuso. c

{F }

Dimostrazione Se è una famiglia di chiusi, allora tutti i complementari F

i i∈I i

c

c

T S è un aperto e

sono aperti, quindi per la proposizione precedente F = F

i i

i∈I i∈I

T {F }

dunque F è chiuso. Se , . . . , F è una famiglia finita di chiusi, allora per la

i 1 k

i∈I c

k ki=1 ki=1

c

S T S

proposizione precedente F = F è un aperto e quindi F è chiuso.

i i

i

i=1

Gli insiemi chiusi hanno una importante caratterizzazione che è la seguente:

m

Proposizione 3.1.9 Sia F . Allora F è chiuso se e solo se per ogni successione

R m

{x } ⊆ ∈ ∈

F , convergente ad un punto x , risulta x F .

R

n {x } ⊆ →

Dimostrazione Supponiamo che F sia chiuso e sia F tale che x x per

n n

c c

→ ∞; ∈ ∈

n si deve provare che x F . Se fosse x F , dato che F è aperto esisterebbe

c

una palla B(x, r) contenuta in F ; ma siccome x tende a x, definitivamente si avrebbe

n

c

∈ ⊆ ∈ ∈

x B(x, r) F , contro l’ipotesi che x F per ogni n. Dunque x F .

n n

Supponiamo viceversa che F contenga tutti i limiti delle successioni che sono contenute

c c

in F , e mostriamo che F è aperto. Se non lo fosse, vi sarebbe un punto x F per

c c

il quale ogni palla B(x, r) interseca (F ) , cioè F ; quindi, scegliendo r = 1/n, per ogni

+

∈ ∈ ∩ {x },

n esisterebbe un punto x B(x, 1/n) F . La successione per costruzione,

N n n

|x − |

sarebbe contenuta in F , e convergerebbe a x dato che x < 1/n. Ma allora, per

n m c c

ipotesi, il suo limite x dovrebbe stare in F : assurdo perché x F . Dunque F è aperto

e F è chiuso.

Esempi 3.1.10 (1) Sono chiusi in R:

1

∅, − ∞, ∪ {0}, {−65},

[a, b], [a, +∞[ , ] b],

R, N, Z;

n +

n∈N

non sono chiusi in R:

1

− ∞, \

[a, b[ , ]a, b[ , ]a, b], ] a[ , ]b, +∞[ , , Q, R Q.

n +

n∈N

2

(2) Sono chiusi in :

R

2 2 2 2

∅, {(x, ∈ ≤ × {0},

, y) : x + y 1},

R R R

2 2

{(x, ∈ ≥ {(x, ∈ ≤ |x| |y| ≤

y) : x = 0, y 0}, y) : 1 + 3};

R R

2

non sono chiusi in :

R 2 2 2 2

{(x, ∈ ≤ {(x, ∈

y) : 0 < x + y 1}, y) : x = 0, y > 0},

R R

2 2 2 2

{(x, ∈ ≤ |x| |y| \

y) : 1 + < 3}, , .

R Q R Q

Si noti che esistono insiemi aperti e non chiusi, insiemi chiusi ma non aperti, insiemi né

aperti né chiusi ed insiemi sia aperti che chiusi (vedere però l’esercizio 3.1.18).

166

Punti d’accumulazione

Nella teoria dei limiti di funzioni è di basilare importanza la definizione che segue.

m m

⊆ ∈

Definizione 3.1.11 Sia E , sia x . Diciamo che x è un punto d’accumu-

R R

0 0

{x } ⊆ \ {x }

lazione per E se esiste una successione E che converge a x .

n 0 0

La condizione che x non prenda mai il valore x serve ad evitare il caso in cui x

n 0 n

è definitivamente uguale a x ; si vuole cioè che intorno a x si accumulino infiniti

0 0

punti distinti della successione. E infatti è immediato verificare che x è un punto

0

d’accumulazione per E se e solo se ogni palla B(x , r) contiene infiniti punti di E.

0

Notiamo anche che un punto di accumulazione per E può appartenere o non appartenere

1

1 } 6

{ , ma 0 = per ogni n, mentre

a E: ad esempio, 0 è punto di accumulazione per +

n∈N

n n

1/2 è punto d’accumulazione per l’insieme [0, 1] al quale appartiene.

Mediante i punti d’accumulazione si può dare un’altra caratterizzazione degli insiemi

chiusi: m

Proposizione 3.1.12 Sia E . Allora E è chiuso se e solo se E contiene tutti i

R

propri punti d’accumulazione.

Dimostrazione Se E è chiuso, e x è un punto d’accumulazione per E, allora esiste

{x } ⊆ \ {x} ⊆ → → ∞;

E E tale che x x per n per la proposizione 3.1.9 si ottiene

n n

x E.

Viceversa, supponiamo che E contenga tutti i suoi punti d’accumulazione e prendiamo

{x } ⊆ ∈

una successione E convergente a x: dobbiamo mostrare che x E, e la tesi

n ∈

seguirà nuovamente dalla proposizione 3.1.9. Il fatto che x E è evidente nel caso in

cui x è definitivamente uguale a x; in caso contrario esisteranno infiniti indici n per

n 6

i quali si ha x = x: i corrispondenti infiniti valori x sono dunque una successione

n n

\ {x}

contenuta in E e convergente a x. Perciò x è punto d’accumulazione per E, e di

conseguenza x E.

Il fondamentale teorema che segue garantisce l’esistenza di punti d’accumulazione per

una vastissima classe di insiemi. Diamo anzitutto la seguente

m

⊆ ≥

Definizione 3.1.13 Un insieme E si dice limitato se esiste K 0 tale che

R

|x| ≤ ∀x ∈

K E.

m

Teorema 3.1.14 (di Bolzano-Weierstrass) Ogni sottoinsieme infinito e limitato di

m possiede almeno un punto d’accumulazione.

R

Dimostrazione Supponiamo dapprima m = 1. Faremo uso del seguente risultato:

Proposizione 3.1.15 Da ogni successione reale è possibile estrarre una sottosuccessio-

ne monotona. {a } ⊂

Dimostrazione Sia una successione. Poniamo

R

n {n ∈ ∀m

G = : a < a > n} :

N m n

167

G è dunque l’insieme degli indici n tali che a è maggiore di tutti gli a successivi.

n m

Ovviamente, G sarà finito (eventualmente vuoto) oppure infinito.

∈ ∈ ≥

Supponiamo G finito: allora esiste n tale che n / G per ogni n n , ossia risulta

N

0 0

∀n ≥ ∃m ≥

n > n : a a .

0 m n

∈ ∈ ≥

Perciò, essendo n / G, esiste n > n (dunque n / G) tale che a a ; esisterà

0 1 0 1 n n

1 0

∈ ≥

allora n > n (in particolare n / G) tale che a a , e cosı̀ induttivamente si

2 1 2 n n

2 1 ≥ ∈

costruisce una sequenza crescente di interi n tale che a a per ogni k La

N.

k n n

k+1 k

{a } ⊆ {a },

corrispondente sottosuccessione per costruzione, è monotona crescente.

n n

k

Supponiamo invece che G sia infinito: poiché ogni sottoinsieme di ha minimo (esercizio

N

1.6.11), possiamo porre successivamente

\ {n }), \ {n }),

n = min G, n = min(G . . . , n = min(G , n , . . . , n . . .

0 1 0 k+1 0 1 k

∈ per

ottenendo una sequenza crescente di interi n G e dunque tali che a < a

k m n

k

ogni m > n ; in particolare a < a per ogni k. La corrispondente sottosuccessione

k n n

k+1 k

{a } ⊆ {a } è perciò monotona decrescente.

n n

k

Corollario 3.1.16 Ogni successione limitata in ha una sottosuccessione convergente.

R

Dimostrazione La sottosuccessione monotona della proposizione precedente è limita-

ta per ipotesi, dunque convergente (proposizione 2.3.3).

Il corollario appena dimostrato prova anche il teorema nel caso m = 1: se un insieme

E è infinito e limitato, esso contiene una successione limitata e costituita tutta di punti

distinti, la quale, per il corollario, ha una sottosuccessione monotona e limitata, dunque

convergente; il limite di questa sottosuccessione è evidentemente un punto d’accumula-

zione per E. {x }

Passiamo ora al caso m > 1. Sia una successione (costituita tutta di punti distinti)

n

contenuta in E e proviamo che esiste una sottosuccessione che converge: il suo limite

sarà il punto d’accumulazione cercato. 1 2 m

{x } {x }, {x },. {x }

Poiché è limitata, le successioni reali . . , sono limitate. Allo-

n n n n

{x } ⊆ {x }

ra, per il caso m = 1 già visto, esiste una sottosuccessione tale che

n

n,(1)

1 1 ∈ {x }

x converge ad un limite x da possiamo estrarre una ulteriore sot-

R; n,(1)

n,(1) 1 1 1

{x } → {x }

tosuccessione tale che x x (perchè estratta dalla successione

n,(2) n,(2) n,(1)

1 2 2 ∈

che già convergeva a x ) ed inoltre x converge ad un limite x Continuan-

R.

n,(2)

{x } ⊆ {x }, {x } ⊆ {x },

do ad estrarre ulteriori sottosuccessioni . . . ,

n,(3) n,(2) n,(4) n,(3)

{x }

dopo m passi otterremo una sottosuccessione di tutte le precedenti, tale che

n,(m)

1 1 2 2 m m 1 m

→ → →

x x , x x , . . . , x x in Ne segue che, posto x = (x , . . . , x ),

R.

n,(m) n,(m) n,(m) m

{x }, {x },

la successione che è una sottosuccessione di converge a x in .

R

n

n,(m)

Osservazioni 3.1.17 (1) Il punto d’accumulazione costruito nel teorema di Bolzano-

Weierstrass non è in generale unico!

(2) I punti d’accumulazione di un insieme E sono i limiti delle successioni di E che non

sono definitivamente costanti. 168

Esempi 3.1.18 (1) L’insieme è infinito ma non limitato in ed è privo di punti di

N R,

accumulazione.

{1}

(2) è un insieme limitato in ma non infinito, ed è privo di punti di accumulazione.

R

1

n

{(−1) }

(3) La successione + costituisce un insieme infinito e limitato in che ha i

R

n −1.

due punti d’accumulazione +1 e

Dal teorema di Bolzano-Weierstrass segue la seguente importante caratterizzazione dei

m

sottoinsiemi chiusi e limitati di .

R

m

Teorema 3.1.19 Sia E . Allora E è chiuso e limitato se e solo se da ogni

R

successione contenuta in E si può estrarre una sottosuccessione che converge ad un

elemento di E. {x }

Dimostrazione Sia E limitato e chiuso. Sia una successione contenuta in E; se

n

m

essa già converge ad un punto x , ogni sua sottosuccessione convergerà ancora a x,

R

il quale apparterrà al chiuso E in virtù della proposizione 3.1.9. Se non converge, essa

è comunque limitata: per il teorema di Bolzano-Weierstrass avrà una sottosuccessione

m

{x } ∈ {x }

convergente ad un elemento x ; poiché E contiene ed è chiuso, deve

R

n n

essere x E.

Viceversa, se ogni successione contenuta in E ha una sottosuccessione che converge ad

un punto di E, allora in particolare E contiene il limite di ogni successione convergente

in esso contenuta, e quindi E è chiuso per la proposizione 3.1.9. Inoltre se E non fosse

+

∈ ∈ |x |

limitato allora per ogni n esisterebbe x E tale che > n; ma nessu-

N n n m

{x }

na sottosuccessione della successione cosı̀ costruita potrebbe convergere, essendo

n

illimitata. Ciò contraddice l’ipotesi fatta su E, e quindi E è limitato.

Osservazione 3.1.20 Gli insiemi E tali che ogni successione contenuta in E ha una

sottosuccessione che converge ad un elemento di E si dicono compatti; quindi il teorema

m

precedente caratterizza i sottoinsiemi compatti di .

R

Esempi 3.1.21 Sono compatti in R:

1 {(−1)}

{−3}, ∪ {0} ∪ , ;

[a, b], [a, b] [c, d], n∈N

n +

n∈N

non sono compatti in R:

1

− ∞, ∩

] a], ]a, b], ]a, b[ , [b, +∞[ , , [0, 1],

Q N, Z.

n +

n∈N

Esercizi 3.1 m

∈ \ {0} ha, |a| · |b|

1. Si provi che se a, b allora bi = cos ϑ, ove ϑ è l’angolo

R m m m

convesso fra i due vettori. 169

m \ {0}

[Traccia: Dati a e b in e detto Π

R

l’iperpiano (m−1)-dimensionale ortogonale a

b e passante per a, si osservi che se cos ϑ 0

il piano Π interseca il segmento di estremi

0 e b in un punto della forma λb con λ

ha −

0, e si avrà λb, bi = 0; dunque, da

m 2

ha, e dall’altra

una parte si ha bi = λ|b|

m m

|a| ≤

m cos ϑ. Discorso analogo se cos ϑ 0,

λ = |b| m −b

lavorando con al posto di b.]

m i i

P

kxk |x | kxk |

2. Provare che = e = max{|x : i = 1, . . . , m} sono norme

1 i=1

m m

in e in , ossia sono funzioni positive, omogenee e subadditive a valori in

R C

[0, +∞[.

3. Descrivere le palle B(0, r) per le distanze

ka − ka −

d (a, b) = bk e d (a, b) = bk ,

∞ ∞

1 1

k · k k · k

ove le norme e sono quelle dell’esercizio precedente.

1 m

∈ ≥

4. Si provi che se x e r 0 l’insieme

R

0 m

{x ∈ |x − | ≤

B(x , r) = : x r}

R

0 0 m

m

è chiuso in (esso si chiama palla chiusa di centro x e raggio r).

R 0

5. Si provi che ogni sottoinsieme di chiuso e limitato inferiormente ha minimo, e

R

che ogni sottoinsieme di chiuso e limitato superiormente ha massimo. Vi è un

R

m m

risultato analogo in e ?

R C ∩

6. Provare che se A è aperto in allora A è aperto in Vale il viceversa?

C, R R.

7. Provare che se F è chiuso in allora F è chiuso in Vale il viceversa?

C R R.

m

{x } ⊂

8. Sia . Dimostrare o confutare i seguenti enunciati:

R

n {x };

(i) se esiste x = lim x , allora x è punto d’accumulazione per

n n

n→∞ {x },

(ii) se x è punto d’accumulazione per allora esiste lim x = x.

n n

n→∞

9. Sia E un insieme limitato superiormente e sia x = sup E. Provare che se

R

∈ ∈

x / E allora x è punto d’accumulazione per E. Cosa può succedere se x E?

m m

⊆ ⊆ ∈

10. Se E (oppure E ) e x E, diciamo che x è interno a E se E è un

R C

intorno di x. L’insieme dei punti interni a E si chiama parte interna di E e si

E.

indica con ◦

E

(i) Si provi che è il più grande insieme aperto contenuto in E.

◦ {z ∈ ≤ |z| ≤ |arg ≤

E

(ii) Determinare quando E = : 1 2, z| π/3}.

C

170

m m m m

⊆ ∈ ⊆ ∈

11. Se E e x (oppure E e x ), diciamo che x è aderente a

R R C C

E se ogni palla B(x, r) interseca E. L’insieme dei punti aderenti a E si chiama

E.

chiusura di E e si indica con

(i) Si provi che E è il più piccolo insieme chiuso contenente E.

(ii) Si provi che E contiene tutti i punti d’accumulazione per E.

iπ/4

{i, −i} ∪ {z

E quando E = = re : 0 < r < 2}.

(iii) Determinare

m m

⊆ ⊆

12. Se E (oppure E ), si chiama frontiera di E, e si indica con ∂E,

R C

l’insieme dei punti aderenti a E che non sono interni a E: in altre parole, si

◦ .

definisce ∂E = E\ E ◦

c

(i) Si provi che ∂E = E∩E , che ∂E è chiuso e che risulta E = E∪∂E, = E\∂E.

E

iπ/4

{i, −i} ∪ {z 2}.

(ii) Determinare ∂E quando E = = re : 0 < r <

m m

⊆ ⊆ ∈

13. Se E (oppure E ) e x E, x si dice punto isolato per E se esiste una

R C ∩ {x}.

palla B(x, r) tale che B(x, r) E = Provare che un punto aderente a E o è

punto d’accumulazione per E, oppure è punto isolato per E.

1 1

S −

14. Sia E = k , k + . Determinare:

k∈N k+1 k+1

(i) la chiusura di E,

(ii) la frontiera di E,

(iii) la parte interna di E.

m m

⊆ ⊆

15. Se E (oppure E ), il diametro di E è definito da

R C − ∈

diam E = sup{|x y| : x, y E}.

m

m m i m

{x ∈ ≤ ≤

Posto Q = : 0 x 1 per i = 1, . . . , m}, provare che diam Q =

R

√ m. c

◦ c

c c

E=

16. Dimostrare che risulta E = (E ) , E .

{x } ⊆

17. (i) Esibire una successione che sia limitata e che non abbia alcuna

Q

n

sottosuccessione convergente in Q.

(ii) Esibire un sottoinsieme di infinito, limitato e privo di punti d’accumulazione

Q

in Q. m

18. Dimostrare che gli unici sottoinsiemi di che sono simultaneamente aperti e

R

m ∅.

chiusi sono e

R m m

6 ∅ 6

[Traccia: per assurdo, sia A aperto e chiuso in tale che A = e A = ;

R R

c ∈ ∈

allora B = A verifica le stesse condizioni. Scelti a A e b B, siano

{t ∈ − ∈ {t ∈ − ∈

C = : a + t(b a) A}, D = : a + t(b a) B};

R R

171

∪ ∩ ∅.

allora C e D sono non vuoti, C D = e C D = Si provi che C e D

R

sono aperti, e quindi anche chiusi, in In questo modo ci siamo ricondotti al

R.

{t ≥ ⊆

caso m = 1. Adesso poniamo M = 0 : [0, t] C}. Si provi che M è non

vuoto, contenuto in C e limitato superiormente; posto µ = sup M , si provi che

∈ ∩

deve essere µ C D, il che è assurdo.]

{x ∈

19. Sia E = : p(x)}, ove p(x) è una generica proprietà. Si dimostri che:

R {x }

(i) l’insieme E è chiuso se e solo se per ogni che converge a x vale l’implica-

n

zione p(x ) definitivamente vera =⇒ p(x) vera;

n {x }

(ii) l’insieme E è aperto se e solo se per ogni che converge a x vale l’impli-

n

cazione p(x) vera =⇒ p(x ) definitivamente vera.

n

m i

20. Sia A . La proiezione di A lungo l’asse x è l’insieme

R i

{x ∈ ∃y ∈

A = : A : y = x}.

R

i

Si provi che A è limitato se e solo se le sue proiezioni A , . . . , A sono insiemi

1 m

limitati in R.

m

21. Sia E . Il derivato di E è l’insieme di tutti i punti di accumulazione per E;

R

esso si indica con δE.

(i) Si provi che δE è un insieme chiuso.

◦ 1

1

S − ,k + .

(ii) Si determinino δE e δE\ quando E = k

E k∈N k+1 k+1

22. (Insieme di Cantor) Dividiamo [0, 1] in tre parti uguali ed asportiamo l’intervallo

aperto centrale di ampiezza 1/3. Dividiamo ciascuno dei due intervalli chiusi

residui in tre parti uguali e rimuoviamo i due intervalli aperti centrali di ampiezza

1/9. Per ciascuno dei quattro intervalli residui ripetiamo la stessa procedura: al

−n

n n

passo n-simo, avremo 2 intervalli chiusi I (k = 1, . . . , 2 ), di ampiezza 3 , di

k,n −n−1

cui elimineremo le parti centrali aperte J di ampiezza 3 . L’insieme

k,n n

∞ 2

[ [

\

C = [0, 1] J

k,n

n=0 k=1

si chiama insieme ternario di Cantor.

(i) Si provi che C è chiuso e privo di punti interni.

(ii) Si dimostri che tutti i punti di C sono punti d’accumulazione per C.

(iii) Si calcoli la lunghezza complessiva degli intervalli J rimossi.

k,n

172

3.2 Funzioni reali di m variabili

m m

Sia A un sottoinsieme di , oppure di ; considereremo funzioni f definite su A a

R C

valori reali. Introduciamo anzitutto un po’ di terminologia, che d’altronde è analoga a

quella usata per le successioni. →

Definizione 3.2.1 Diciamo che una funzione f : A è limitata superiormente in

R

A se l’ insieme immagine di f , cioè

{t ∈ ∃x ∈

f (A) = : A : f (x) = t}

R

è limitato superiormente; in ogni caso si pone

( sup f (A) se f (A) è limitato superiormente,

sup f = +∞ se f (A) non è limitato superiormente.

A

Similmente, diciamo che f è limitata inferiormente in A se l’insieme f (A) è limitato

inferiormente; in ogni caso si pone

( inf f (A) se f (A) è limitato inferiormente,

inf f = −∞ se f (A) non è limitato inferiormente.

A

Diciamo infine che f è limitata in A se è sia limitata superiormente che inferiormente

in A.

Potrà accadere che sup f , quando è un numero reale, sia un valore assunto dalla fun-

A ∈

zione, cioè sia un elemento di f (A), oppure no; se esiste x A tale che f (x) = sup f ,

A

diremo che x è un punto di massimo per f in A, e scriveremo f (x) = max f . Ana-

A

logamente, se inf f è un elemento di f (A), cioè esiste x A tale che f (x) = inf f ,

A A

diremo che x è un punto di minimo per f in A, e scriveremo f (x) = min f .

A

Definizione 3.2.2 Il grafico di una funzione f : A è l’insieme

R

m+1

{(x, ∈ ∈

G = z) : x A, z = f (x)}.

R

Il sottografico di f è l’insieme {(x, ∈

G = z) : x A, z < f (x)}. |x|

→ è limitata: infatti

Esempi 3.2.3 (1) La funzione f : definita da f (x) =

R R 1+|x|

≤ ≤ ∈

si ha 0 f (x) 1 per ogni x Risulta anzi 0 = inf f e 1 = sup f ; si noti che

R. R R

0 è il minimo, raggiunto nel punto di minimo 0, mentre 1 non appartiene a f (R) e la

funzione f non ha massimo. Osserviamo anche che f è pari, ossia f (−x) = f (x) per

ogni x il suo grafico è quindi simmetrico rispetto all’asse y.

R: 173 x

(2) La funzione f : definita da f (x) = coincide con la precedente per

R R 1+|x|

x 0, mentre è la precedente cambiata di segno per x < 0: si tratta di una funzione

−f ∈

dispari, ossia f (−x) = (x) per ogni x ed il suo grafico è simmetrico rispetto

R,

−1

all’origine. Risulta in particolare 1 = sup f , = inf f e f non ha né massimo né

R

R

minimo. p 2

2 2

(3) La funzione f (x, y) = x + y è definita su , è illimitata superiormente ed è

R

limitata inferiormente da 0. Si ha sup f = +∞, mentre inf f = min f = 0.

(4) La funzione parte intera, definita per ogni x da

R

∈ ≤

[x] = max{k : k x},

Z −∞;

non è limitata né inferiormente, né superiormente, cosicché sup f = +∞ e inf f =

il suo grafico presenta dei “salti” di ampiezza 1 in corrispondenza di ciascun punto di

ascissa intera. x ±1.

(5) La funzione f (x) = è definita per x reale non nullo e assume solo i valori

|x| −1

Quindi 1 = max f = sup f , = min f = inf f . Si noti che questa funzione ha infiniti

punti di massimo e infiniti punti di minimo.

174

p m

2

− |x|

(6) La funzione f (x) = 1 è definita sulla palla unitaria di , cioè

R

m m

{x ∈ |x| ≤

B = : 1},

R m

a valori in Essa ha massimo 1 (raggiunto per x = 0) e minimo 0 (raggiunto nei punti

R.

della frontiera di B).

Funzioni continue

La nozione di funzione continua è strettamente legata all’idea intuitiva della consequen-

zialità fra causa ed effetto. Ci aspettiamo che piccole variazioni di input provochino

piccole variazioni di output: ad esempio, quando si pigia il pedale dell’acceleratore,

piccoli incrementi di pressione del piede producono piccoli aumenti di velocità della

macchina. Comunque nella nostra esperienza ci sono anche esempi di fenomeni di tipo

impulsivo: piccoli aumenti di pressione del dito su un interruttore causano, oltre una

certa soglia, un drastico aumento dell’intensità della luce presente in una stanza. Chia-

meremo continue quelle funzioni y = f (x) per le quali variando di poco la grandezza x

si ottiene una piccola variazione della quantità y. Più precisamente:

m m →

Definizione 3.2.4 Sia A un sottoinsieme di , oppure di , sia f : A e sia

R C R

x A. Diciamo che f è continua nel punto x se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale

0 0

che ∈ |x − | |f −

x A, x < δ =⇒ (x) f (x )| < ε.

0 m 0

Diciamo che f è continua in A se è continua in ogni punto di A.

Osservazione 3.2.5 La continuità di una funzione è un fatto locale: essa può esserci

o no a seconda del punto x che si considera. Per un generico punto x A i casi

0 0

sono due: o x è punto d’accumulazione per A (definizione 3.1.11), oppure x è punto

0 0

∩ {x }

isolato di A, nel senso che esiste un intorno B(x , δ) di x tale che A B(x , δ) =

0 0 0 0

175 →

(esercizio 3.1.13). Nel secondo caso, ogni funzione f : A è continua in x , poiché

R 0

qualunque sia ε > 0 risulta

∈ |x − | |f −

x A, x < δ =⇒ x = x =⇒ (x) f (x )| = 0 < ε.

0 m 0 0

Nel primo caso, che è l’unico interessante, la definizione di continuità di una funzione

si riconduce a quella più generale di limite di funzione, che daremo fra poco.

2 → 7→

(2) Se f : è continua in un punto (x , y ), allora le funzioni x f (x, y )

R R 0 0 0

7→

e y f (x , y) sono continue rispettivamente nei punti x e y . Si noti però che il

0 0 0

viceversa è falso: esistono funzioni f (x, y) tali che f (·, y) è continua (rispetto a x) per

·)

ogni fissato y, f (x, è continua (rispetto a y) per ogni fissato x, ma f non è una funzione

continua delle due variabili (x, y) (si veda l’osservazione 3.2.7 oppure l’esercizio 3.210).

Non tutte le funzioni più importanti sono continue! Vediamo qualche esempio.

Esempi 3.2.6 (1) Tutte le funzioni affini sono continue. Si tratta delle funzioni f :

m → della forma

R R m

X i i

ha,

f (x) = xi + b = a x + b,

m i=1

m

∈ ∈

ove a e b sono assegnati.

R R

m

Fissato x e scelto ε > 0, si ha

R

0

|f − |ha, − i |;

(x) f (x )| = x x

0 0 m

in virtù della disuguaglianza di Cauchy-

Schwarz (proposizione 3.1.1) si ottiene

|f − ≤ |a| · |x − |

(x) f (x )| x .

0 m 0 m ε

6

Quindi se a = 0 basta prendere 0 < δ < per avere

|a| m

|x − | |f − ≤ |a| · |x − | |a|

x < δ =⇒ (x) f (x )| x < δ < ε;

0 m 0 m 0 m m

m

d’altronde se a = 0 si ha f (x) = b per ogni x , e la continuità è ovvia.

R

(2) La somma di una serie di potenze con raggio di convergenza R > 0 è una funzione

∞ n

P

{z ∈ |z|

continua sul disco B(0, R) = : < R}. Sia infatti f (z) = a z per

C n

n=0

|z| |z | − |z |,

< R: fissati z con < R e ε > 0, scegliamo un numero positivo σ < R

0 0 0

176

⊆ ∈

cosicché risulta B(z , σ) B(0, R). Allora per ogni z B(z , σ) si ha

0 0

∞ ∞ ∞

X X X

n n n n

− −

|f − a z a z a (z z ) =

(z) f (z )| = =

n n n

0 0 0

n=0 n=0 n=1

X n−1 n−2 n−2 n−1

− ≤

a (z z )(z + z z + . . . + zz + z )

= n 0 0 0 0

n=1

X n−1 n−2 n−2 n−1

≤ |a ||z − |(|z| |z| |z | |z||z | |z | ≤

z + + . . . + + )

n 0 0 0 0

n=1

∞ ∞

|z − |

z

X X

0

n−1 n

≤ |a ||z − | | |(|z |

=

z n(|z + σ) n|a + σ) .

n 0 0 n 0

|z | + σ

0

n=1 n=1

n

P

Dato che la serie di potenze na z ha ancora raggio di convergenza R (esercizio

n

2.7.9), otteniamo che la serie all’ultimo membro è convergente, con somma uguale a un

numero che dipende da z e da σ, cioè da z e da R; in particolare, esiste K > 0 tale

0 0

che |f − ≤ − | ∀z ∈

(z) f (z )| K|z z B(z , σ).

0 0 0

Adesso basta scegliere δ positivo e minore sia di σ che di ε/K, e si ottiene

|z − | |f −

z < δ =⇒ (z) f (z )| < ε,

0 0

e ciò prova la continuità di f in z .

0

(3) Come conseguenza dell’esempio precedente, le funzioni trigonometriche cos x e sin x

z

sono continue su mentre l’esponenziale e è continua su (e in particolare su Se

R, C R).

x

a > 0, anche la funzione a è continua su essendo

R,

∞ n n

(ln a) x

X

x x ln a ∀x ∈

a = e = R.

n!

n=0 ∈

(4) La funzione parte intera f (x) = [x] è continua in ogni punto x / ed è discontinua

Z

∈ ∈ − −

in ogni punto x Infatti, scelto x / sia δ = min{x [x], [x + 1] x}: allora

Z. Z,

qualunque sia ε > 0 si ha

|t − |[t] −

x| < δ =⇒ [t] = [x] =⇒ [x]| = 0 < ε.

∈ ∈]0,

D’altra parte se x allora, scelto ε 1] si ha

Z

|[t] − |[t] − ≥ ∀t ∈ −

[x]| = x| = 1 ε ]x 1, x[ ,

quindi è impossibile trovare un δ > 0 per cui si abbia

|t − |[t] −

x| < δ =⇒ [x]| < ε.

6

(5) Se b > 0 e b = 1, la funzione logaritmo di base b è continua in ]0, +∞[. Sia infatti

∈ |x − |

x > 0: se δ ]0, x [ e x < δ, si ha, supponendo ad esempio x < x :

0 0 0 0

x x x

h i

0 0

| − | | | −

log x log x = log = log e| ln = log e| ln 1 + 1 .

0

b b b b b

x x x

0 177

Notiamo ora che vale l’importante disuguaglianza

≤ ∀t −1

ln(1 + t) t > : ≥

essa segue dalla crescenza del logaritmo e dal fatto, verificabile direttamente se t 0 e

−1

con il criterio di Leibniz (proposizione 2.5.3) se < t < 0, che

∞ n

t

X t ∀t −1.

≤ = e >

1+ t n!

n=0

Da tale disuguaglianza ricaviamo −

x x x δ

0 0

| − | ≤ | − | ≤ |

log x log x log e| 1 = log e| log e| ;

0

b b b b b −

x x x δ

0

quindi, fissato ε > 0, basterà prendere δ abbastanza piccolo per ottenere che l’ultimo

membro sia minore di ε. Nel caso in cui sia x < x, il calcolo è del tutto simile.

0 1

Osservazione 3.2.7 È importante sottolineare che una funzione delle m variabili x ,

m i

. . . , x può essere continua separatamente in ciascuna variabile x , senza essere continua

1 m

rispetto alla m-pla (x , . . . , x ). Ad esempio, consideriamo la funzione f cosı̀ definita:

xy

 6 6

se x = 0 oppure y = 0,

 2 2

x + y

f (x, y) = 0 se x = y = 0;

per essa si ha:

• ∈ 7→

per ogni y la funzione x f (x, y) è continua su

R R;

• ∈ 7→

per ogni x la funzione y f (x, y) è continua su

R R;

• 7→

la funzione (x, y) f (x, y) è discontinua nel punto (0, 0).

I primi due punti sono facili da verificare: per il primo, ad esempio, si noti che quando

7→

y = 0 la funzione x f (x, 0) è identicamente nulla e dunque continua; invece quando

6

y = 0 la funzione è il rapporto di due polinomi nella variabile x, il secondo dei quali

sempre strettamente positivo, per cui la funzione è continua come conseguenza degli

6

esercizi 3.2.5 e 3.2.6. Il terzo punto si verifica facilmente osservando che per (x, y) =

(0, 0) si ha |xy|

|f − |f

(x, y) f (0, 0)| = (x, y)| = ;

2 2

x + y

se valesse la continuità nel punto (0, 0), fissato ε > 0 dovremmo trovare δ > 0 tale che

2 2 2 |f

risulti, per ogni (x, y) verificante x + y < δ , (x, y)| < ε. Ma fissando ad esempio

1 1

2 2 |f

ε = e scegliendo x = y, con y verificante 2y < δ , si trova invece (y, y)| = ,

4 2

14

quantità costante che ovviamente è maggiore del nostro ε = . Quindi la f non è

continua in (0, 0). 178

Esercizi 3.2 m

⊆ → ⊆ → ⊆ ∈

1. Siano f : A e g : B con f (A) B; sia x A e sia

R R R R, 0

y = f (x ). Si provi che se f è continua in x e se g è continua in y , allora la

0 0 0 0

funzione composta g f (x) = g(f (x)) è continua in x .

0

m

⊆ → ∈

2. Descrivere le funzioni f : A che in un fissato punto x A verificano

R R 0

le seguenti proprietà, “parenti” della definizione di continuità:

(i) esiste ε > 0 tale che per ogni δ > 0 risulta

∈ |x − | |f −

x A, x < δ =⇒ (x) f (x )| < ε;

0 m 0

(ii) esiste δ > 0 tale che per ogni ε > 0 risulta

∈ |x − | |f −

x A, x < δ =⇒ (x) f (x )| < ε;

0 m 0

(iii) per ogni ε > 0 e per ogni δ > 0 risulta

∈ |x − | |f −

x A, x < δ =⇒ (x) f (x )| < ε;

0 m 0

(iv) esistono ε > 0 e δ > 0 tali che risulta

∈ |x − | |f −

x A, x < δ =⇒ (x) f (x )| < ε.

0 m 0

m

⊆ →

3. (Permanenza del segno) Sia f : A una funzione continua in un punto

R R

x A. Si provi che se f (x ) > 0, allora esiste una palla B(x , R) tale che

0 0 0

∈ ∩

f (x) > 0 per ogni x B(x , R) A.

0

4. Si provi che la funzione 1

 ∈ \ {0}

se x

sin R

 x

f (x) = λ se x = 0

 ∈

è discontinua nel punto 0, qualunque sia λ R.

5. Si provi che sono funzioni continue le combinazioni lineari di funzioni continue ed

i prodotti di funzioni continue. 1

6

6. Si provi che se f è continua in x e f (x ) = 0, allora è continua in x .

0 0 0

f

[Traccia: usare il teorema di permanenza del segno (esercizio 3.2.3).]

α

∈ ≥

7. Sia α Provare che la funzione f (x) = x è continua su [0, +∞[ (se α 0)

R.

oppure su ]0, +∞[ (se α < 0). 179 m ∈

8. (Funzioni a valori vettoriali) Sia A un sottoinsieme di , sia x A e sia

R 0

m n

⊆ →

f : A una funzione: la funzione (vettoriale) f associa ad ogni vettore

R R

1 m 1 n n

∈ ∈

x = (x , . . . , x ) A un altro vettore f (x) = (f (x), . . . , f (x)) . Diciamo

R

che f è continua in x se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che

0

∈ |x − | |f −

x A, x < δ =⇒ (x) f (x )| < ε.

0 m 0 n 1 n

Provare che f è continua in x se e solo se le sue n componenti scalari f , . . . , f

0

sono continue in x .

0 m m →

9. Sia B una palla di oppure di , sia f : B una funzione continua. Per

R C R

ogni coppia di elementi fissati a, b B, provare che la funzione

− ∈

g(t) = f (ta + (1 t)b), t [0, 1],

è ben definita e continua.

2 →

10. Sia f : la funzione seguente:

R R  2 2

− −

4(x y)(2y x ) ∨ 0 se y > 0

f (x, y) = 2

y ≤

0 se y 0.

Si provi che: 2 \ {(0,

(i) f è continua in 0)};

R

(ii) f è discontinua in (0, 0);

(iii) per ogni y f (·, y) è continua su

R, R;

∈ ·)

(iv) per ogni x f (x, è continua su

R, R.

m

⊆ ∈

11. Sia A , sia λ e siano f, g due funzioni reali limitate definite in A. Si

R R

provi che ≤ ≥

sup

(f + g) sup f + sup g, inf (f + g) inf f + inf g,

A A A

A A A

( (

≥ ≥

λ sup f se λ 0 λ inf f se λ 0

A

A

sup

(λf ) = inf (λf ) =

≤ ≤

λ inf f se λ 0, λ sup f se λ 0.

A

A A A

3.3 Limiti

Estendiamo ora al caso delle funzioni reali la nozione di limite, che ci è già nota nel caso

m m →

delle successioni. Sia A un sottoinsieme di oppure di , sia f : A sia x un

R C R, 0

punto d’accumulazione per A. 180

Definizione 3.3.1 Sia L Diciamo che L è il limite di f (x) per x che tende a x

R. 0

in A, e scriviamo lim f (x) = L,

x→x , x∈A

0

se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che

∈ \ {x }, |x − | |f −

x A x < δ =⇒ (x) L| < ε.

0 m

0 →

Se, in particolare, L = 0, si dice che f è infinitesima per x x .

0

m m

Se l’insieme A coincide con (o con ), oppure è sottinteso dal contesto, si scrive

R C

più semplicemente lim f (x) anziché lim f (x).

x→x x→x , x∈A

0 0

Si noti che in generale x non appartiene ad A, e che x non è tra i valori di x che sono

0 0 ∈

coinvolti nella definizione di limite. Quindi, anche se per caso si avesse x A, non è

0

lecito far prendere alla variabile x il valore x . Ad esempio, consideriamo la funzione

0

( −19 ∈ \ {130}

se x R

pippo(x) = 237 se x = 130 :

il punto 130 è di accumulazione per e benché risulti pippo(130) = 237, si ha

R, −19.

lim pippo(x) =

x→130 ±∞:

Il limite di una funzione può essere anche −∞, →

Definizione 3.3.2 Diciamo che f (x) tende a +∞, oppure a per x x in A,

0

se per ogni M > 0 esiste δ > 0 tale che

∈ \ {x }, |x − |

x A x < δ =⇒ f (x) > M,

0 0 m

oppure ∈ \ {x }, |x − | −M.

x A x < δ =⇒ f (x) <

0 0 m

In tal caso scriviamo −∞.

lim f (x) = +∞, oppure lim f (x) =

x→x , x∈A x→x , x∈A

0 0

Nel caso m = 1 e A in particolare, si può fare anche il limite destro, oppure il

R,

limite sinistro, per x x ; nella definizione 3.3.1 questo corrisponde a prendere come

0 − ∞,

A la semiretta ]x , +∞[ oppure la semiretta ] x [. Si scrive in tali casi

0 0

lim f (x) = L, oppure lim f (x) = λ,

+

x→x x→x

0 0

e ciò corrisponde a dire che per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che

|f −

x < x < x + δ =⇒ (x) L| < ε,

0 0 181

oppure − |f −

x δ < x < x =⇒ (x) λ| < ε.

0 0 ⊆

Infine, sempre nel caso m = 1 e A se A è illimitato superiormente, oppure

R,

→ → −∞:

inferiormente, si può fare il limite per x +∞, oppure per x si avrà

lim f (x) = L, oppure lim f (x) = λ,

x→+∞ x→−∞

se per ogni ε > 0 esiste M > 0 tale che

|f − −M |f −

x>M =⇒ (x) L| < ε, oppure x < =⇒ (x) λ| < ε.

Esempi 3.3.3 (1) Si ha

 

+∞ se a > 1 0 se a > 1

 

 

x x

1 se a = 1 1 se a = 1

lim a = lim a =

x→+∞ x→−∞

 

 

0 se 0 < a < 1, +∞ se 0 < a < 1;

( ( −∞

+∞ se b > 1 se b > 1

lim log x = lim log x =

b b

−∞

x→+∞ se 0 < b < 1, +∞ se 0 < b < 1.

+

x→0

(2) Se x risulta

Z,

0 −

lim [x] = x 1, lim [x] = x ;

0 0

− +

x→x x→x

0 0

∈ →

in particolare, se x il limite di [x] per x x non esiste (esercizio 3.3.3). Si ha

Z

0 0

però −∞.

lim [x] = +∞, lim [x] =

x→+∞ x→−∞

(I lettori sono invitati a verificare tutte queste affermazioni!)

Osservazione 3.3.4 I limiti sono legati alla continuità nel modo seguente. Sia f :

A sia x un punto di accumulazione per A. Il punto x può appartenere o non

R, 0 0

appartenere ad A. Se x A, si ha

0 ⇐⇒ ∃ ∈

f continua in x lim f (x) = L e L = f (x ).

R 0

0 x→x

0

Se invece, caso più interessante, x / A, allora il fatto che il limite esista finito equivale

0 }

a dire che possiamo estendere la funzione f all’insieme A∪{x in modo che l’estensione

0

sia continua in x : basta assegnarle in tale punto il valore del limite. In altre parole,

0

definendo ( ∈

f (x) se x A

f (x) = L se x = x ,

0

si ottiene l’equivalenza

∃ ⇐⇒

lim f (x) = L f è continua in x 0

x→x 0

(si confronti con l’osservazione 3.2.5). 182

Esempi 3.3.5 (1) Risulta sin x

lim = 1;

x

x→0

ciò segue dalle disuguaglianze π π

sin x h i

≤ ∀x ∈ − \ {0}

≤ 1 ,

cos x x 2 2 →

e dal fatto che il primo e il terzo membro tendono a 1 per x 0 (esempio 3.2.6 (3); si

veda anche l’esercizio 3.3.8). Dunque la funzione

sin x

 ∈ \ {0}

se x R

 x

f (x) = 1 se x = 0

è continua nel punto 0. D’altronde questo si poteva vedere anche ricordando che, per il

teorema 2.7.11, ∞ 2n+1

x

X n ∀x ∈

(−1)

sin x = R,

(2n + 1)!

n=0

da cui ∞ 2n

sin x x

X n ∀x ∈ \ {0};

= (−1) R

x (2n + 1)!

n=0

la serie di potenze a secondo membro ha raggio di convergenza infinito, ed in particolare

f , la quale

ha somma uguale a 1 per x = 0. La sua somma in è dunque la funzione

R

risulta continua in virtù dell’esempio 3.2.6 (2).

(2) Proviamo che −

1 cos x 1

lim = .

2

x 2

x→0

Si ha (teorema 2.7.11) ∞ 2n

x

X n ∀x ∈

cos x = (−1) R,

(2n)!

n=0

da cui ∞ 2n−2

1 cos x x

X n−1 ∀x ∈ \ {0}.

= (−1) R

2

x (2n)!

n=1

La serie a secondo membro ha raggio di convergenza infinito e nel punto 0 ha somma

uguale a 1/2; ne segue che la somma della serie, cioè la funzione

1 cos x

 ∈ \ {0}

se x R

 2

 x

f (x) = 1

 se x = 0

 2 183

è continua per x = 0, e ciò prova la tesi.

Si noti che la stessa conclusione si poteva ottenere più semplicemente, osservando che

2

2

− − sin x 1

1 cos x 1 cos x = ,

=

2 2

x x (1 + cos x) x 1 + cos x

da cui, per l’esempio precedente e per la continuità del coseno, esempio 3.2.6 (3),

1 cos x 1

lim .

=

2

x 2

x→0

(3) In modo analogo, utilizzando la serie esponenziale, si prova che

x −

a 1 ∀a

= ln a > 0.

lim x

x→0

I limiti per funzioni di m variabili (m > 1) costituiscono un problema alquanto difficile,

più che nel caso di una sola variabile: è spesso più facile dimostrare che un dato limite

non esiste, piuttosto che provarne l’esistenza quando esso esiste. Il motivo è che in

presenza di più variabili il punto x può avvicinarsi al punto d’accumulazione x da

0

varie direzioni, lungo una qualunque retta o anche lungo traiettorie più complicate. Gli

esempi che seguono illustrano alcune delle possibili situazioni.

Esempi 3.3.6 (1) Vediamo se esiste il limite 2 2

x y

lim .

2 2

x + y

(x,y)→(0,0)

2 2 2 2

≤ ∈

Osservato che x x + y per ogni (x, y) , risulta

R

2 2

x y 2 22

≤ ≤ |(x,

y y)|

2 2

x + y

e quindi il limite proposto esiste e vale 0.

(2) Esaminiamo ora l’esistenza o meno del limite

xy

lim .

2 2

x + y

(x,y)→(0,0)

In questo caso sia il numeratore che il denominatore sono polinomi di secondo grado:

se ci avviciniamo all’origine lungo la retta y = kx, si ottiene

xy k

= .

2 2 2

x + y 1 + k

Quindi la funzione che stiamo esaminando assume valore costante su ogni retta per

l’origine, ma la costante cambia da retta a retta: ciò significa che in ogni intorno

k ∈

dell’origine la funzione assume tutti i valori con k ossia tutti i valori compresi

R,

2

1+k

− →

nell’intervallo ] 1, 1[. Dunque essa non ha limite per (x, y) (0, 0).

184

2

yx →

(3) Come si comporta la funzione per (x, y) (0, 0)? Se, come nell’esempio

2 4

y +x

precedente, ci restringiamo alle rette y = kx, otteniamo i valori

3

2 kx kx

yx = =

2 4 2 2 4 2 2

y + x k x + x k + x

→ ∈

i quali, per (x, y) (0, 0), tendono a 0 qualunque sia k Dunque il limite della

R.

funzione per (x, y) (0, 0), se esiste, deve essere 0. D’altra parte, se ci si restringe alle

2

parabole y = cx , si ottiene il valore costante

2

yx c

=

2 4 2

y + x c +1

che varia da parabola a parabola. Di conseguenza, anche in questo caso, il limite della

funzione non esiste.

Dagli esempi precedenti si conclude che non esiste una ricetta sicura e universale per

stabilire l’esistenza o la non esistenza di un limite in più variabili: ogni caso va studiato

a parte.

Osservazione 3.3.7 Nel caso speciale m = 2 esiste un metodo abbastanza efficace in

molti casi, basato sull’utilizzo delle coordinate polari, già incontrate nello studio della

forma trigonometrica dei numeri complessi. Poniamo

x = r cos ϑ ≥ ∈

r 0, ϑ [0, 2π].

y = r sin ϑ,

Geometricamente, nel piano xy la quantità r è la

distanza del punto (x, y) dall’origine, mentre il nu-

mero ϑ è l’ampiezza dell’angolo che il segmento di

estremi (0, 0) e (x, y) forma con il semiasse positi-

vo delle ascisse (orientato in verso antiorario).

7→

Si noti che la corrispondenza (r, ϑ) (x, y) non

è biunivoca: infatti, tutte le coppie (0, ϑ) rappre-

sentano l’origine, mentre le coppie (r, 0) e (r, 2π)

rappresentano lo stesso punto sul semiasse positi-

7→

vo delle ascisse. L’applicazione (r, ϑ) (x, y) tra-

sforma rettangoli del piano rϑ in settori di corone

circolari del piano xy. 185 2

7→

Naturalmente, ricordando la corrispondenza (x, y) x+iy, definita fra e la quale

R C,

è bigettiva e preserva le distanze, si vede immediatamente che la rappresentazione in

2

coordinate polari è la trasposizione in della rappresentazione in forma trigonometrica

R

dei numeri complessi.

Consideriamo allora un limite della forma

lim f (x, y),

(x,y)→(0,0)

ove f è una funzione reale definita in un intorno di (0, 0), salvo al più (0, 0). Vale il

seguente risultato:

Proposizione 3.3.8 Risulta ∈

lim f (x, y) = L R

(x,y)→(0,0)

se e solo se valgono le seguenti condizioni:

(i) per ogni ϑ [0, 2π] esiste il limite, indipendente da ϑ,

lim f (r cos ϑ, r sin ϑ) = L;

+

r→0

(ii) tale limite è uniforme rispetto a ϑ, vale a dire che per ogni ε > 0 esiste ρ > 0 tale

che |f − ∀r ∈ ∀ϑ ∈

(r cos ϑ, r sin ϑ) L| < ε ]0, ρ[ [0, 2π].

→ →

Dimostrazione Supponiamo che f (x, y) L per (x, y) (0, 0): allora, per defini-

zione, fissato ε > 0 esiste ρ > 0 tale che

|f − ∀(x, ∈

(x, y) L| < ε y) B((0, 0), ρ).

∈ ∈ ∈

Dato che (r cos ϑ, r sin ϑ) B((0, 0), ρ) per ogni r ]0, ρ[ e per ogni ϑ [0, 2π],

otteniamo |f − ∀r ∈ ∀ϑ ∈

(r cos ϑ, r sin ϑ) L| < ε ]0, ρ[, [0, 2π],

cosicché valgono (i) e (ii). ∈

Viceversa, per ogni punto (x, y) B((0, 0), ρ), posto r cos ϑ = x e r sin ϑ = y, si ha

r ]0, ρ[ e dunque, per (i) e (ii),

|f − |f −

(x, y) L| = (r cos ϑ, r sin ϑ) L| < ε;

ne segue f (x, y) L.

Esempi 3.3.9 (1) Consideriamo il limite 2 2

2(x + y ) .

lim 2 2

ln[1 + (x + y )]

(x,y)→(0,0)

Utilizzando le coordinate polari si ha 2

2r

lim = 2,

2

ln(1 + r )

+

r→0

ed il limite è ovviamente uniforme rispetto a ϑ, dato che tale variabile è sparita. Si

conclude che il limite cercato è 2. 186

(2) Consideriamo il limite molto simile 2 2

2(x + 3y ) .

lim 2 2

ln[1 + (4x + y )]

(x,y)→(0,0)

Con la stessa procedura arriviamo a

2 2

2 2 2 2

2r (cos ϑ + 3 sin ϑ) cos ϑ + 3 sin ϑ 3 2 cos ϑ

lim = 2 = 2 ,

2 2 2

2 2 2 3 cos ϑ + 1

ln[1 + r (4 cos ϑ + sin ϑ)] 4 cos ϑ + sin ϑ

+

r→0

e questo limite dipende da ϑ. Ne segue che il limite proposto non esiste.

Il “teorema-ponte”

Il collegamento fra i limiti di successioni ed i limiti di funzioni è fornito dal teorema che

segue, il quale ci darà modo di dedurre senza colpo ferire tutta la teoria dei limiti di

funzioni dai corrispondenti risultati già dimostrati nel capitolo 2 per le successioni.

m m

Teorema 3.3.10 (teorema-ponte) Sia A un sottoinsieme di oppure di , sia

R C

→ ∈

f : A e sia x un punto di accumulazione per A. Sia inoltre L oppure

R R

0

±∞.

L = Si ha lim f (x) = L

x→x 0

{x } ⊆ \ {x }, → ∞,

se e solo se per ogni successione A convergente a x per n risulta

n 0 0

lim f (x ) = L.

n

n→∞ ∈ → →

Dimostrazione (=⇒) Sia ad esempio L e supponiamo che f (x) L per x x ;

R 0

{x } \ {x } → ∞.

sia poi una successione contenuta in A che tende a x per n Per

n 0 0

ipotesi, fissato ε > 0, esiste δ > 0 tale che

∈ ∩ \ {x }) |f −

x B(x , δ) (A =⇒ (x) L| < ε;

0 0

→ ∈

d’altra parte, poiché x x , esiste ν tale che

N

n 0

≥ |x − |

n ν =⇒ x < δ.

n 0 m

6

Inoltre, dato che x = x per ogni n, si ha

n 0 ∈ ∩ \ {x }) ∀n ≥

x B(x , δ) (A ν,

n 0 0

e pertanto |f − ∀n ≥

(x ) L| < ε ν.

n

→ → ∞. ±∞

Ciò prova che f (x ) L per n Se L = la tesi si prova in modo del tutto

n

simile. ∈

(⇐=) Supponiamo che L e che si abbia lim f (x ) = L per qualunque suc-

R, n→∞ n

{x } \ {x } → ∞.

cessione contenuta in A tendente a x per n Se, per assurdo, non

n 0 0

187

fosse vero che f (x) tende a L per x x , esisterebbe ε > 0 tale che per ogni δ > 0 si

0

∈ \ {x }

troverebbe un punto x A per il quale avremmo

δ 0

|x − | |f − ≥

x < δ ma (x ) L| ε.

δ 0 m δ {x } ⊆ \ {x }

Scegliendo δ = 1/n, potremmo allora costruire una successione A tale

n 0

che 1 +

|f − ≥ ∀n ∈

|x − | ma (x ) L| ε .

x < N

n

n 0 m n

{x } ⊆ \ {x }, →

Avremmo perciò A x x ma f (x ) non tenderebbe a L, contro

n 0 n 0 n

l’ipotesi. Dunque lim f (x) = L.

x→x 0

±∞

Il caso L = è del tutto analogo. ⊆

Osservazioni 3.3.11 (1) Il teorema-ponte vale anche nel caso in cui m = 1, A e

R

→ ±∞

x (esercizio 3.3.11). →

(2) Dal teorema-ponte si deduce che una funzione f : A è continua nel punto

R

∈ {x } ⊆

x A se e solo se per ogni successione A convergente a x risulta

0 n 0

lim f (x ) = f (x ).

n 0

n→∞

Esempio 3.3.12 Calcoliamo il limite notevole

log (1 + y)

b ,

lim y

y→0

6 {y }

ove b > 0, b = 1. Utilizzeremo il teorema-ponte. Sia una successione infinitesima

n

6

tale che y = 0 per ogni n. Posto, per ogni n, x = log (1 + y ), risulta

n n n

b

x −

y = b 1,

n

n

e quindi log (1 + y ) x

n n

b = ;

x −

y b 1

n

n

{y }

dalle proprietà di segue (per la continuità del logaritmo, esempio 3.2.6 (5)) che

n

{x } 6

è infinitesima e che x = 0 per ogni n. Tenuto conto dell’esempio 3.3.5 (3) e del

n n

teorema-ponte, otteniamo log (1 + y ) x 1

n n

b = ,

lim = lim x −

y b 1 log b

n

n→∞ n→∞

n

e pertanto, ancora dal teorema-ponte,

log (1 + y) 1

b

lim = .

y log b

y→0

Per un altro modo di calcolare tale limite si veda l’esercizio 3.3.10.

188

Dal teorema-ponte e dai corrispondenti risultati esposti nel teorema 2.1.11 seguono le

usuali proprietà algebriche dei limiti: m m

Proposizione 3.3.13 Sia A un sottoinsieme di oppure di , sia x un punto

R C 0

d’accumulazione per A e siano f, g : A funzioni tali che

R

∃ ∃

lim f (x) = L, lim g(x) = M,

x→x x→x

0 0

con L, M Allora:

R.

(i) lim [f (x) + g(x)] = L + M ;

x→x 0

(ii) lim [f (x)g(x)] = LM ;

x→x 0 f (x) L

6 = .

(iii) se M = 0, lim

x→x g(x) M

0 ±∞,

Si tenga ben presente che nei casi in cui L, oppure M , o entrambi, valgono 0 e ci si

− ∞, · ∞/∞;

può imbattere in forme indeterminate del tipo +∞ 0 (±∞), 0/0, in tutti

questi casi può succedere letteralmente di tutto (esercizi 3.3.15, 3.3.16, 3.3.17 e 3.3.18).

Esercizi 3.3 x →

non ha limite per x 0 (in si provi poi

1. Si provi che la funzione f (x) = R);

|x| x m

che, analogamente, la funzione f (x) = non ha limite per x 0 (in ).

R

|x| m

2. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti: x 3

1 1 6 6

1 1

2 , lim , lim , lim , lim .

lim x , lim |x| −

x x x x 3

x→0 x→0 x→3

x→−2 x→4 x→0

3. Sia f : ]a, b[→ sia x ]a, b[. Provare che

R, 0

∃ ⇐⇒ ∃ ∃

lim f (x) = L lim f (x) = L e lim f (x) = L.

x→x +

x→x x→x

0 0 0

4. Dimostrare che ∃ ∃ |f |L|;

lim f (x) = L =⇒ lim (x)| =

x→x x→x

0 0

è vero il viceversa?

5. In quali punti x la funzione

R

0 ( ∈

1 se x Q

h(x) = ∈ \

0 se x R Q

ha limite? 189

6. Posto ( ∈

x se x Q

f (x) = p

|x| ∈ \

se x ,

R Q

calcolare, se esistono, i limiti

lim f (x), lim f (x).

x→+∞ x→−∞

7. (Teorema di permanenza del segno) Sia f : A sia x un punto d’accumula-

R, 0

zione per A. Si provi che se lim f (x) > 0

x→x 0

allora esiste una palla B(x , R) tale che

0 ∀x ∈ ∩ \ {x }).

f (x) > 0 B(x , R) (A

0 0

8. (Monotonia dei limiti) Siano f, g : A sia x un punto d’accumulazione per

R, 0

≤ \ {x },

A. Si provi che se f (x) g(x) in una palla B(x , R) allora si ha

0 0

lim f (x) lim g(x),

x→x x→x

0 0

sempre che tali limiti esistano.

9. Provare che il limite di una funzione in un punto, se esiste, è unico.

m

⊆ →

10. (Limiti di funzioni composte) Sia f : A sia x un punto d’accumula-

R R, 0

zione per A e sia ∈

lim f (x) = y R.

0

x→x 0

⊆ ⊇

Sia poi B tale che B f (A) e supponiamo che y sia punto d’accumulazione

R 0

per B. Sia infine g : B tale che

R ∈

lim g(y) = L [−∞, +∞].

y→y 0

Si provi che se vale una delle due condizioni seguenti:

6

(a) g è continua in y , oppure (b) f (x) = y in un intorno di x ,

0 0 0

allora lim g(f (x)) = L.

x→x 0

Si provi inoltre che ciò è falso in generale se non valgono né (a) né (b).

11. Enunciare e dimostrare il teorema-ponte nel caso in cui A sia illimitato

R

−∞.

superiormente o inferiormente e x tenda a +∞ oppure

12. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

− − −

1 cos x sin x x sin x tan x

tan x , lim , lim , lim .

lim 2 3 3

x x x cos x

sin x

x→0 x→0 x→0

x→0 190

13. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

2

x +1 sin πx 1 1

(i) lim , (ii) lim , (iii) lim ,

2

− −

x 2 x 2 x + 1 (x + 1)

x→1 x→2 x→−1 3x

3x 1

1/x −

(iv) lim , (v) lim x , (vi) lim 1 ,

2x

1 e x

x→0 x→+∞ x→−∞ 3

3x ln(1 + x )

x

(vii) lim , (viii) lim x , (ix) lim ,

2x 2

1 e x

x→+∞ x→+∞

+

x→0

√ 3x

1

x

sin 1/x −

, (xi) lim x , (xii) lim 1 .

(x) lim x x

x→+∞

+

+ x→0

x→0

14. Dimostrare che ln x

α ∀α ∀α

lim x ln x = 0 > 0, lim = 0 > 0.

α

x

x→+∞

+

x→0

15. Si costruiscano quattro coppie di funzioni f (x), g(x) tali che:

−∞,

(a) valga lim f (x) = +∞ e lim g(x) =

x→x x→x

0 0 −

(b) per il limite della differenza f (x) g(x) valga una delle seguenti quattro

situazioni: − − −∞,

lim [f (x) g(x)] = +∞, lim [f (x) g(x)] =

x→x x→x

0 0

− ∈ −

lim [f (x) g(x)] = λ lim [f (x) g(x)] non esiste.

R,

x→x x→x

0 0

16. Analogamente all’esercizio 3.3.15, si forniscano esempi che illustrino tutti i casi

±∞.

possibili per il limite di f (x)g(x) quando lim f (x) = 0 e lim g(x) =

x→x x→x

0 0

17. Analogamente all’esercizio 3.3.15, si forniscano esempi che illustrino tutti i casi

f (x) quando lim f (x) = 0 e lim g(x) = 0.

possibili per il limite di x→x x→x

g(x) 0 0

18. Analogamente all’esercizio 3.3.15, si forniscano esempi che illustrino tutti i casi

f (x) ±∞ ±∞.

possibili per il limite di quando lim f (x) = e lim g(x) =

x→x x→x

g(x) 0 0

19. Sia I un intervallo di e sia f : I una funzione. Diciamo che f è crescente

R R

in I se 0 0 0

∈ ≤

x, x I, x < x =⇒ f (x) f (x );

diciamo che f è strettamente crescente in I se

0 0 0

x, x I, x < x =⇒ f (x) < f (x ).

Diciamo poi che f è decrescente, oppure strettamente decrescente, in I, se

0 0 0 0

∈ ≥

x, x I, x < x =⇒ f (x) f (x ) oppure f (x) > f (x ).

191

Una funzione crescente, o decrescente, in I si dirà monotona; una funzione stret-

tamente crescente, o strettamente decrescente, in I si dirà strettamente monotona.

∈ esistono (finiti) i limiti

Si provi che se f è monotona in I allora per ogni x I

0

destro e sinistro −

+ f (x), f (x ) = lim f (x),

f (x ) = lim 0

0 −

+

x→x x→x

0 0

e che −

( +

≤ ≤

f (x ) f (x ) f (x ) se f è crescente

0

0 0

− +

≥ ≥

f (x ) f (x ) f (x ) se f è decrescente.

0

0 0

m m →

20. Sia A un sottoinsieme di o di , sia x un punto di A e sia f : A una

R C R

0 →

funzione. Il massimo limite ed il minimo limite di f per x x sono i numeri

0

m, µ [−∞, +∞] cosı̀ definiti:

m = lim sup f (x), µ = lim inf f (x);

+ + x∈B(x ,r)

r→0 r→0

x∈B(x ,r) 0

0

essi si denotano con le scritture

m = lim sup f (x), µ = lim inf f (x).

x→x

x→x 0

0

Si verifichi che ≤

(i) lim inf f (x) lim sup f (x);

x→x x→x

0 0

(ii) si ha lim inf f (x) = lim sup f (x) se e solo se esiste, finito o infinito,

x→x x→x

0 0

lim f (x), ed in tal caso

x→x 0 lim inf f (x) = lim sup f (x) = lim f (x).

x→x x→x

x→x

0 0

0

21. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti: 2

(x+y)

− −

1 cos xy e 1

sin xy , lim , lim ,

lim p

2 2 2 2

x + y x + y 2 2

x + y

(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)

(x,y)→(0,0) 2 2 2 2

x y x y y + x + y

lim , lim , lim .

2 4 2 2

|y| |x| |y|

x + y x + x + +

(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)

2

x

22. (i) Posto f (x, y) = , si provi che esistono, e sono diversi fra loro, i due limiti

2 2

x +y

h i

lim lim f (x, y) , lim lim f (x, y) .

y→0 x→0 x→0 y→0

xy

(ii) Posto invece f (x, y) = , si provi che i due limiti esistono e sono uguali,

2 2

x +y

ma che non esiste il lim f (x, y).

(x,y)→(0,0)

192

(iii) Posto infine 1 1

( 6 6

y sin + x sin se x = 0 e y = 0

x y

f (x, y) = 0 se x = 0 oppure y = 0,

si provi che esiste il terzo limite, ma non i primi due.

3.4 Proprietà delle funzioni continue

Le funzioni continue a valori reali hanno svariate proprietà legate all’ordinamento di R.

Il primo risultato riguarda funzioni definite su insiemi compatti (osservazione 3.1.20),

m m

i quali, visto che consideriamo funzioni definite in o , sono limitati e chiusi

R C

(teorema 3.1.19). m m

⊆ ⊆

Teorema 3.4.1 (di Weierstrass) Sia A (oppure A ) un insieme com-

R C

patto non vuoto, e sia f : A una funzione continua. Allora f è limitata in A ed

R

assume massimo e minimo su A. ∈

Dimostrazione Sia L = sup f ; può essere L = +∞, oppure L In ogni caso

R.

A {y } ⊆ →

dalle proprietà dell’estremo superiore segue che esiste f (A) tale che y L

n n

→ ∞: ∈

per n infatti, se L = +∞ nessun n è maggiorante per f (A) e quindi esiste

N 1

∈ ∈ − è mag-

y f (A) tale che y > n, mentre se L nessun numero della forma L

R

n n n

1

∈ − ≤

giorante per f (A) e quindi esiste y f (A) tale che L < y L.

n n

n

{y } ⊆ ∈ {x }

Poiché f (A), per ogni n esiste x A tale che f (x ) = y . La successione

n n n n n

{x }

è dunque contenuta in A. Dato che A è compatto, esiste una sottosuccessione n k

{x } → ∞ ∈

estratta da che converge per k ad un punto x A: essendo f continua, si

n → ∞.

deduce che f (x ) = y converge a f (x) per k

n n

k k

{y } {y }

D’altra parte, poiché è una sottosuccessione della successione che converge

n n

k → ∞.

a L, anche y deve tendere a L per k Per l’unicità del limite (esercizio 3.3.9), si

n

k ∈

ha L = f (x). In particolare, essendo f a valori in si ha L e dunque f è limitata

R, R

superiormente; inoltre L f (A), cioè L è un massimo.

In modo del tutto analogo si prova che f è

limitata inferiormente e che ha minimo in A.

Osservazioni 3.4.2 (1) Il punto di mas-

simo, cosı̀ come quello di minimo, non è

necessariamente unico!

(2) Il teorema di Weierstrass è falso se

togliamo una qualunque delle sue ipotesi:

• ∞[

l’insieme A = [0, è chiuso ma non limitato e la funzione f (x) = x è continua

in A ma non limitata; 1

• l’insieme A =]0, 1] è limitato ma non chiuso e la funzione f (x) = è continua ma

x

non limitata; 193

• −

nell’insieme compatto A = [0, 2] la funzione f (x) = x [x] non è continua e non

ha massimo. m m

Il risultato che segue riguarda funzioni definite su una palla B(x , R) di o di .

R C

0

Teorema 3.4.3 (di esistenza degli zeri) Sia f : B(x , R) una funzione conti-

R

0

nua, e supponiamo che esistano a , b B(x , R) tali che f (a ) < 0, f (b ) > 0. Allora

1 1 0 1 1

esiste almeno un punto x B(x , R) tale che f (x) = 0.

0 ⊆

Dimostrazione Supponiamo dapprima m = 1 e B(x , R) cosicché B(x , R) =

R,

0 0

]x R, x + R[ (il fatto che tale intervallo sia aperto non ha comunque nessuna impor-

0 0

tanza nell’argomento che segue). Si ha f (a ) < 0 < f (b ) e possiamo anche supporre

1 1

−f

che a < b , perché in caso contrario basta considerare al posto di f .

1 1 1 (a + b ): se f si

Dividiamo in due parti uguali l’intervallo [a , b ] mediante il punto 1 1

1 1 2

annulla proprio in tale punto abbiamo finito e la tesi è provata, altrimenti per uno (ed

1

1 (a + b )], [ (a + b ), b ] si avrà la stessa situazione di

uno solo) dei due intervalli [a , 1 1 1 1 1

1 2 2

partenza, ossia la f sarà negativa nel primo estremo e positiva nel secondo. Indicheremo

tale intervallo con [a , b ]: dunque abbiamo costruito un intervallo [a , b ] tale che

2 2 2 2

[a , b ] [a , b ],

2 2 1 1

1 −

− (b a ),

b a = 1 1

2 2 2

f (a ) < 0 < f (b ).

2 2

In modo analogo si divide in due par-

ti l’intervallo [a , b ]: se f si annulla nel

2 2

1 (a + b ) abbiamo fini-

punto medio 2 2

2

to, altrimenti si va avanti. Ci sono due

possibilità:

(1) dopo un numero finito di suddivisioni, si trova che la f si annulla proprio nell’n-simo

12 (a + b ) e in tal caso la tesi è provata;

punto medio n n

+

(2) per ogni n si costruisce un intervallo [a , b ] tale che

N n n

1

⊂ − −

[a , b ] [a , b ], b a = (b a ), f (a ) < 0 < f (b ).

n n n−1 n−1 n n n−1 n−1 n n

2 {a } {b }:

Consideriamo, nel caso (2), le due successioni e esse sono limitate (sono

n n

contenute in ]x R, x + R[) e monotone, crescente la prima e decrescente la seconda.

0 0

Siano allora ` = lim a , L = lim b :

n n

n→∞ n→∞ −n+1

≤ − − →

poiché a < b per ogni n, sarà ` L; dato che b a = 2 (b a ) 0, sarà

n n n n 1 1

` = L.

Poniamo x = ` = L e proviamo che x è il punto cercato. Dalla continuità di f e dalle

→ ∞, ≤ ≤

disuguaglianze f (a ) < 0 < f (b ) otteniamo, per n f (x) 0 f (x), ossia

n n

f (x) = 0. La tesi è provata nel caso m = 1.

194 ⊂

Se m > 1, o anche se m = 1 e B(x , R) ci si riconduce al caso precedente

C,

0

introducendo la funzione − ∈

g(t) = f (ta + (1 t)b ), t [0, 1].

1 1

− ∈

I punti ta + (1 t)b per t [0, 1] descrivono, come sappiamo (paragrafo 1.11), il

1 1

segmento di estremi a e b : quindi sono contenuti in B(x , R). Inoltre g è continua

1 1 0

(esercizio 3.2.1), e verifica g(0) = f (b ) > 0, g(1) = f (a ) < 0. Per la parte già

1 1

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∈ −

dimostrata, esiste t [0, 1] tale che g(t ) = 0; posto allora x = t a + (1 t )b , si

1 1

∗ ∗

ottiene x B(x , R) e f (x ) = 0. La tesi è provata.

0

Osservazione 3.4.4 Il teorema di esistenza degli zeri vale in ipotesi molto più generali

sull’insieme di definizione di f : basta che esso sia connesso, cioè “non fatto di due o più

m m

pezzi staccati”; più rigorosamente, un sottoinsieme E di o di è connesso se non è

R C ∪ ∩

possibile trovare due aperti non vuoti e disgiunti A e B tali che E = (A B) E. Si può

far vedere che E è connesso se, dati due punti a, b E, ci si può muovere con continuità

da a a b (non necessariamente in modo rettilineo) senza mai uscire dall’insieme E.

Se f è continua in A ma A non è connesso, il teorema 3.4.3 è ovviamente falso: per

∪ →

esempio, la funzione f : [0, 1] [2, 3] definita da

R

≤ ≤

1 se 0 x 1

f (x) = −1 ≤ ≤

se 2 x 3

è continua, prende valori sia positivi che negativi ma non è mai nulla.

Dal teorema di esistenza degli zeri segue senza troppa fatica un risultato assai più

generale:

Corollario 3.4.5 (teorema dei valori intermedi) Se A è un sottoinsieme connesso

m m →

di o di e se f : A è continua, allora f assume tutti i valori compresi fra il

R C R

suo estremo superiore e il suo estremo inferiore.

∈ ∈

Dimostrazione Sia y ] inf f, sup f [ ; dobbiamo provare che esiste x A tale che

A A

f (x) = y. Dato che inf f < y < sup f , per le proprietà dell’estremo superiore e

A A

dell’estremo inferiore esistono a, b A tali che

≤ ≤

inf f f (a) < y < f (b) sup f.

A A

Poniamo ora g(x) = f (x)−y: la funzione g è continua e verifica g(a) < 0 < g(b). Poiché

A è connesso, per il teorema di esistenza degli zeri esiste x A tale che g(x) = 0, ossia

f (x) = y. La tesi è provata.

Siamo ora in grado di dimostrare il teorema 1.12.12 relativo alla misura degli angoli

orientati in radianti, enunciato nel paragrafo 1.12, e che qui richiamiamo:

∈ \ {0} ∈

Teorema 1.12.12 Per ogni w esiste un unico numero ϑ [0, 2π[ tale che

C

`(γ (1, w)) = 2 a(Σ (1, w)) = ϑ.

+ +

195

La funzione g(w) = `(γ (1, w)) è dunque surgettiva da in [0, 2π[ ed è bigettiva da

C\{0}

+

S(0, 1) in [0, 2π[. Il numero ϑ si dice misura in radianti dell’angolo orientato individuato

dai punti 1, 0, w.

Dimostrazione Useremo le notazioni stabilite nel paragrafo 1.12. Poniamo

g(w) = `(γ (1, w)) = 2 a(Σ (1, w)), w γ (1, i).

+ + +

Dal corollario 1.12.11 segue che √

|v − |`(γ − ≤ |v − ∀v, ∈

w| < (1, v)) `(γ (1, w))| 2 w| w γ (1, i);

+ + +

ciò mostra che g : γ (1, i) [0, π/2] è continua e iniettiva. Inoltre, l’arco γ (1, i) è un

+ +

insieme connesso. In particolare, π

1 `(S(0, 1)) = ;

g(1) = `(γ (1, 1)) = 0, g(i) = `(γ (1, i)) =

+ + 4 2

quindi, per il teorema dei valori intermedi, g è anche surgettiva. Notiamo che la disu-

−1 →

guaglianza sopra scritta ci dice che l’inversa g : [0, π/2] γ (1, i) è pure continua.

+ ∈

La funzione g(w) = `(γ (1, w)) è poi ben definita per ogni w S(0, 1), a valori in

+

[0, 2π[; verifichiamo che essa è ancora continua (salvo che nel punto 1) e surgettiva. A

questo scopo osserviamo che, in virtù della proposizione 1.12.10 e dell’esercizio 1.12.4,

∈ −1)

per w γ (i, si ha

+ π

π −iw))

+ `(γ (1, = + g(−iw).

g(w) = `(γ (1, w)) = `(γ (1, i)) + `(γ (i, w)) = +

+ + + 2 2

−iw ∈ 7→ −iw)

Poiché γ (1, i), per quanto già dimostrato (e per la continuità di w la

+

7→

funzione w g(−iw) è continua, e vale π/2 nel punto w = i; dunque g è continua su

−1)

γ (1, e, in particolare, g(−1) = π.

+ ∈ \ {1},

Se, infine, w γ (−1, 1) allora

+ −1)) −w))

g(w) = `(γ (1, w)) = `(γ (1, + `(γ (−1, w)) = π + `(γ (1, = π + g(−w).

+ + + +

−w ∈ −1), 7→

Essendo γ (1, la funzione w g(−w) è continua; ne segue che anche

+

\ {1} →

g : S(0, 1) [0, 2π[ è continua. Poiché inoltre g assume il valore π nel punto

−1,

w = si ricava sup g(w) = sup g(z) + π = 2π.

w∈S(0,1) z∈γ (1,−1)

+

Ciò prova che g : S(0, 1) [0, 2π[ è surgettiva. Osserviamo che

lim g(w) = 2π, lim g(w) = 0,

w∈γ (1,−i), w→1 w∈γ (1,i), w→1

− +

cosicché g è discontinua nel punto 1 S(0, 1).

Il teorema 1.12.12 è completamente dimostrato.

196

Funzioni continue invertibili

Consideriamo una funzione f : A

→ continua e iniettiva; ci chiedia-

R R −1

mo se anche la funzione inversa f :

f (A) A è continua.

Si vede facilmente che in generale la

risposta è no: ad esempio, sia A =

·

[0, 1]∪ ]2, 3] e sia f (x) = x I (x) +

[0,1]

− ·

(x 1) I (x). Analizzando il grafi-

]2,3]

co di f si riconosce che f è iniettiva e

f (A) = [1, 2]. Determiniamo la funzio-

−1

ne inversa f risolvendo rispetto a x

l’equazione y = f (x). Si ha

( (

∈ ∈

x se x [0, 1] y se y [0, 1]

⇐⇒

y = f (x) = x =

− ∈ ∈

x 1 se x ]2, 3] y + 1 se y ]1, 2],

−1

e il grafico di f si ottiene per simme-

tria rispetto alla bisettrice y = x (osser-

vazione 1.3.1). Si riconosce allora che

f è continua in tutti i punti, compre-

−1

so x = 1, mentre f è discontinua nel

punto x = f (1) = 1.

Sotto opportune ipotesi sull’insieme A,

−1

però, l’esistenza e la continuità di f

sono garantite dal seguente risultato. →

Teorema 3.4.6 Sia I un intervallo di (limitato o no). Se f : I è continua e

R R

iniettiva, allora:

(i) f è strettamente monotona;

(ii) f (I) è un intervallo;

−1 →

(iii) f : f (I) I è ben definita e continua.

Dimostrazione (i) Siano a , b I con a < b , e confrontiamo f (a ) con f (b ): se si

0 0 0 0 0 0

ha f (a ) < f (b ), proveremo che f è strettamente crescente in I, mentre se f (a ) > f (b )

0 0 0 0

proveremo che f è strettamente decrescente in I; l’eventualità f (a ) = f (b ) è vietata

0 0

dall’iniettività di f . Supponiamo ad esempio f (a ) < f (b ) (il caso opposto è del tutto

0 0

analogo). Sia [a, b] un arbitrario sottointervallo di I, siano c, d punti di [a, b] tali che

c < d e ammettiamo, per assurdo, che risulti f (c) f (d). Consideriamo le funzioni

(ovviamente continue) − − ∈

x(t) = a + t(c a ), y(t) = b + t(d b ), t [0, 1].

0 0 0 0

197

Osserviamo che ≥

f (x(0)) = f (a ) < f (b ) = f (y(0)), f (x(1)) = f (c) f (d) = f (y(1)).

0 0

Quindi, introdotta la funzione − ∈

F (t) = f (y(t)) f (x(t)), t [0, 1],

si può agevolmente verificare (esercizio 3.2.1) che F è una funzione continua tale che

F (0) > 0 F (1). Per il teorema di esistenza degli zeri (teorema 3.4.3), vi sarà allora

∗ ∗ ∗ ∗

∈]0,

un punto t 1] tale che F (t ) = 0, vale a dire f (x(t )) = f (y(t )): dall’iniettività di

∗ ∗ ∗ ∗

− − −

f si deduce che x(t ) = y(t ), ovvero t (d c) + (1 t )(b a ) = 0. Dato che b > a

0 0 0 0

e d > c, ciò è assurdo.

Pertanto f (c) < f (d) e dunque f è strettamente crescente in [a, b].

Per l’arbitrarietà di [a, b] I, si ottiene allora che f è strettamente crescente in I.

(ii) Per il teorema dei valori intermedi (corollario 3.4.5) si ha

inf f, sup f f (I),

I I

mentre, per definizione di estremo superiore ed estremo inferiore,

f (I) inf f, sup f .

I I

Dunque f (I) è un intervallo (che indicheremo con J) di estremi inf f e sup f : esso

I I

può comprendere, o no, uno o entrambi gli estremi.

−1

(iii) Anzitutto, f è ovviamente ben definita su J ed è una funzione strettamente

−1

monotona (crescente se f è crescente, decrescente se f è decrescente), con f (J) = I.

Sia y un punto interno a J, e poniamo

0 −1 −1

` = lim f (y), L = lim f (y);

− +

y→y y→y

0 0

−1

questi limiti esistono certamente poiché f è monotona. Inoltre si ha (esercizio 3.3.19)

−1

≤ ≤

` f (y ) L se f è crescente,

0

−1

≥ ≥

` f (y ) L se f è decrescente.

0

Dimostriamo che ` = L: dato che f è continua nei punti ` e L, si ha

−1 −1

f (`) = lim f (f (y)) = lim y = y , f (L) = lim f (f (y)) = lim y = y ,

0 0

− − + +

y→y y→y y→y y→y

0 0 0 0

−1

cosicché f (`) = f (L) e dunque, per iniettività, ` = L = f (y ), cioè

0

−1 −1

∃ lim f (y) = f (y ).

0

y→y 0

−1

Quindi f è continua in y .

0

Se y è un estremo di J, l’argomento sopra esposto si ripete in modo ancor più semplice.

0 198

Osservazione 3.4.7 Il teorema precedente è di gran lunga il caso più importante, ma

−1

la continuità di f si ottiene anche nel caso in cui la funzione continua ed iniettiva f

sia definita su un insieme A compatto: vedere l’esercizio 3.4.1.

Esempi 3.4.8 (1) La funzione f (x) = sin x è continua ma non certo iniettiva; tuttavia

la sua restrizione all’intervallo [−π/2, π/2] è iniettiva, essendo strettamente crescente.

−1

La funzione inversa di tale restrizione si chiama arcoseno e si scrive f (y) = arcsin y.

Essa è definita su [−1, 1], è a valori in [−π/2, π/2] ed è continua per il teorema 3.4.6.

Si noti che ∀x ∈

sin(arcsin x) = x [−1, 1], π

π

k ∀k ∈

− ∀x ∈ − + kπ, + kπ ,

arcsin(sin x) = (−1) (x kπ) Z.

2 2

(2) La restrizione della funzione cos x all’intervallo [0, π] è continua e strettamente

decrescente, quindi iniettiva. L’inversa di tale restrizione si chiama arcocoseno e si

scrive arccos x; essa è definita su [−1, 1], è a valori in [0, π] ed è continua per il teorema

3.4.6. Si noti che ∀x ∈

cos(arccos x) = x [−1, 1],

12 π

k ∀x ∈ ∀k ∈

− )π) + [kπ, (k + 1)π],

arccos(cos x) = (−1) (x (k + Z.

2

199

(3) La restrizione della funzione tan x

all’intervallo ] π/2, π/2[ è continua e

strettamente crescente, quindi è inietti-

va (ed anche surgettiva su L’inver-

R).

sa di tale restrizione si chiama arcotan-

gente e si scrive arctan x; essa è definita

su è a valori in ] π/2, π/2[ ed è

R,

continua per il teorema 3.4.6. Si noti

che ∀x ∈

tan(arctan x) = x R,

mentre −

arctan(tan x) = x kπ

∈ −

per x ] π/2 + kπ, π/2 + kπ[ e per

k Z. x

6

(4) Sia b > 0, b = 1. La funzione log x, inversa della funzione continua b , è continua

b

per il teorema 3.4.6, ma lo sapevamo già (esempio 3.2.6 (5)).

2n+1

(5) Se n la funzione x è conti-

N,

nua e strettamente crescente su dun-

R,

que è iniettiva (ed anche surgettiva su

La funzione inversa è quindi defi-

R).

nita e continua su a valori in ed è

R, R

la funzione radice (2n + 1)-sima:

1 2n+1

⇐⇒

x = y y = x .

2n+1 200

La radice (2n + 1)-sima ora definita è il

prolungamento a tutto della funzione

R

1

7→ ≥

y y , che fu introdotta per y 0

2n+1

nel paragrafo 1.8.

Ricordiamo a questo proposito che in

campo complesso le radici (2n+1)-sime

di un numero reale y sono 2n + 1: una

1 , le altre 2n non so-

è reale, ed è y 2n+1

no reali e sono a due a due coniugate

(esercizio 1.12.23).

Esercizi 3.4

1. Sia f : continua e tale che

R R ∃ ∃

lim f (x) < 0, lim f (x) > 0.

x→−∞ x→+∞

Provare che esiste x tale che f (x) = 0.

R

2. Sia f una funzione continua definita in [0, 1] a valori in tale che f (0) = 23. Si

Q,

calcoli f (e 2).

3. Sia f : [a, b] [a, b] continua. Si provi che f ha almeno un punto fisso, cioè esiste

x [a, b] tale che f (x ) = x .

0 0 0

4. Supponiamo che la temperatura all’equatore sia, ad un dato istante, una funzione

0

continua della longitudine. Si dimostri che esistono infinite coppie di punti (P, P )

0

situati lungo l’equatore, tali che la temperatura in P e la temperatura in P siano

uguali fra loro; si provi inoltre che una almeno di tali coppie è formata da due

località diametralmente opposte.

5. Stabilire se le seguenti funzioni sono invertibili oppure no:

−x

x ∈ − ∈

(i) f (x) = x + e , x (ii) f (x) = e x, x

R; R;

x

2 ∈

∈ , x

(iii) f (x) = x + x, x (iv)f (x) = sin R;

R; 1+|x|

3 3

∈ − ∈

(v) f (x) = arctan x, x (vi) f (x) = x x, x

R; R;

3 π π π π

3

∈ ∈

(vii) f (x) = sin x, x [− , ], (viii) f (x) = sin x , x [− , ].

2 2 2 2 −1

⊆ →

6. Sia f : A continua e iniettiva. Se A è compatto, si provi che f è

R R

continua. {y } ⊆

[Traccia: si mostri che per ogni f (A), convergente ad un fissato

n n∈N

−1 −1

∈ →

y f (A), risulta f (y ) f (y).]

n

3 ∈ →

7. Sia f (x) = x + x + 1, x Si provi che f : è bigettiva e si calcoli, se

R. R R

esiste, il limite

3y

−1

lim f .

y +4

y→+∞

201


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia aziendale
SSD:
Università: Pisa - Unipi
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher contexsempre di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Pisa - Unipi o del prof Acquistapace Paolo.

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